Bioestatística – Distribuições Estatísticas
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sua ocorrência, quando o número de observações é
muito grande. A probabilidade propriamente dita é o
limite da frequência relativa quando o número de
observações cresce indefinidamente.
A definição estatística é útil na prática;
porém apresenta dificuldades do ponto de vista
matemático, visto que um número limite real pode
não existir. Por essa razão, desenvolveu-se
axiomaticamente uma teoria moderna, na qual a
probabilidade é um conceito indefinido, como ponto
e linha são indefinidos em geometria.
Teoria elementar de probabilidade
A probabilidade de ocorrência de um evento
E, que possa ocorrer de h maneiras diferentes em um
total de n modos possíveis igualmente prováveis é
dada por:
h
n
p Pr{E}
A probabilidade de Nao ocorrência do
evento (q), denominado insucesso, é dada por:
q Pr{não E}
O
evento
~
E , E ou ~ E .
n h
n
"não
h
n
1
E"
é
1 p
denotado
Exemplo 3 - Se em 1000 lances de uma
moeda resultam 529 caras, a frequência relativa
dessas caras é 529/1000=0,529. Se em outros 1000
lances resultam 493 caras, a frequência relativa no
total dos 2000 lances é de (529+493)/2000=0,511.
De acordo com a definição estatística, prosseguindose dessa maneira, poder-se-á finalmente chegar cada
vez mais próximo de um número que será
denominado probabilidade de ocorrer cara em um
único lance de uma moeda. De acordo com os
resultados até agora, ela será de 0,5 com um
algarismo significativo. Para obter outros algarismos
significativos, deveriam-se ser feitas outras
observações adicionais.
por
Exemplo 1 - Admita que o evento E seja a
ocorrência dos números 3 ou 4, em um único
lançamento de um dado. Há seis maneiras segundo as
quais o dado pode cair, e que resultam nos números
1,2,3,4,5 e 6. Se o dado é "honesto", (não viciado),
pode-se supor que as seis maneiras sejam igualmente
prováveis. Como E pode ocorrer de duas destas
maneiras, teremos:
p Pr{E}
2
6
1
3
Probabilidade
Condicional:
independentes e dependentes.
Exemplo 2 - A probabilidade de não ter
conseguido um 3 ou um 4, isto é, de ter conseguido
{1,2,5,6} é:
q Pr{E} 1
1
3
2
3
probabilidade
Eventos
Se E1 e E2 são dois eventos, a probabilidade
de E2 ocorrer, depois de E1 ter acontecido é definida
por:
Pr{E1|E2}
Ou probabilidade de E2 dado E1 e é
denominada de probabilidade condicional de E2
depois de E1 ter ocorrido.
Se a ocorrência ou não de E1 não afetar a
probabilidade da ocorrência de E2, então:
Pr{E2|E1}=Pr{E2} e diz-se que E1 e E2 são eventos
independentes; caso contrário, eles são eventos
dependentes. Se se representar por E1 e E2 a
ocorrência de ambos os eventos, então:
Pr{E1E2}=Pr{E1}Pr{E2}
Exemplo 4 - A determinação do sexo na
raça humana é feita através dos coromossomos X e
Y. Há na célula humana normalmente 23 pares de
cromossomos. A mulher possui o par XX e o homem
XY. Sendo assim, qual a probabilidade de nascer
menino e qual a probabilidade de nascer menina na
raça humana?
Note-se que a probabilidade de um evento é
um número compreendido entre 0 e 1. Se um evento
não pode ocorrer, sua probabilidade é 0. Se ele deve
ocorrer, isto é, se sua ocorrência é certa, sua
probabilidade é 1.
Se p é a probabilidade de que um evento
ocorra, a vantagem a favor de seu acontecimento é p
: q (leia: p para q), a vantagem contra seu
acontecimento é q : p.
Definição
de
frequência relativa.
1
como
Da definição anterior, o termo "igualmente
provável" é vago, pois estamos definindo
essencialmente a probabilidade em seus próprios
termos. Por esta razão, alguns autores têm
estabelecido
uma
definição
estatística
de
probabilidade. De acordo com isso, a probabilidade
avaliada ou a probabilidade empírica de um dado
evento é considerada como a frequência relativa de
Temos probabilidade de 50% homens e 50%
mulheres:
1
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Sexo
Cromossomos
Homem
XY
Bioestatística – Distribuições Estatísticas
Mulher
XX
XX
XX
Exemplo 7 - Qual a probabilidade de se
retirar 1 ás em um baralho de 52 cartas?
Existem 4 ases nesse baralho. Logo
P=4/52=1/13
XY
XY
Observações: 1000 em cada 100.000
nascimentos ocorre a Síndrome de Down
(mongolismo ou trisomia 21). A chance de nascer
crianças com mongolismo aumenta com a idade da
mãe. Caracteriza-se por haver 47 cromossomos (o
normal é 46 cromossomos na célula humana (23
pares)). Há cerca de 1% de chance de uma criança
ser afetada quando a mãe possui idade superior a 40
anos. A Síndrome de Turner ocorre quando há
ausência do segundo cromossomo X ou do Y e
causa o nascimento de pessoas baixas e estéreis.
Exemplo 8 - Uso da probabilidade na
Mecânica Quântica - Trata- se os fenômenos de
movimento e equilíbrio do mundo macroscópico com
a mecânica Newtoniana. Já no mundo microscópico,
a Mecânica Quântica, cuja teoria foi desenvolvida
por vários cientistas, como Max Planck, Einstein,
Neils Bohr e De Broglie, explica os fenômenos que
envolvem partículas de pequenas dimensões, como
por exemplo, o estudo da corrente elétrica
(movimentos dos elétrons) em um diodo. Nesse
estudo, o cálculo de probabilidade é fundamental. Há
uma "barreira" de potencial natural ao movimento
dos elétrons. Existe a probabilidade do elétron
"atravessar" essa barreira e se propagar no mesmo
sentido, não refletindo seu movimento. Isso é
verificado quando se calcula a densidade de
2
probabilidade
, onde
representa o estado
quântico do elétron. A figura abaixo ilustra a barreira
de potencial e a densidade 2 , ambas em função de
x (posição do elétron).
Exemplo 5 - Sabe-se hoje que há cerca de
175000 genes compondo o cromossomo de uma
célula humana. Os tipos sanguíneos são definidos por
genes denominados IA, IB e i. Os genes IA e IBsão
dominantes em relação ao gene i. Há quatro tipos de
sangue: Tipo O (ii), tipo A (IAIA ou IAi), tipo B (IBIB
ou IBi) e tipo AB (IAIB). Se um home IAi casa-se com
uma mulher IBi, qual as probabilidades da criança:
a) Nascer com sangue tipo O. (25%)
b) Nascer com sangue tipo A. (25%)
c) Nascer com sangue tipo B. (25%)
d) Nascer com sangue tipo AB. (25%)
Genes Sanguíneos
Homem
IAi
IAIB
IAi
Curva de densidade de probabilidade, muito usada
em física quântica.
Mulher
IBi
B
I i
ii
Exemplo 6 - A NASA gasta cerca de dois
milhões de dólares por ano na identificação de
asteróides com mais de 1 km de diâmetro. A tabela a
seguir indica a freqüência em função do tempo para
cada diâmetro de determinado asteróide.
Diâmetro
25 cm
3a4m
30 a 100 m
1 km
3 a 10 km
2
Frequência
Todos os dias
A cada 4 meses
A cada 500 anos
A cada 300.000
anos
A cada 10
milhões de anos
A probabilidade de cair um asteróide de
1km de diâmetro é da ordem de 1/300000
A probabilidade dele cair nos oceanos é
cerca de 70%.Explique.
2
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Bioestatística – Distribuições Estatísticas
Exemplo 9 - O "gato de Schrödinger". Em
1935, o físico austríaco Erwin Schröndinger
idealizou um experimento hipotético para demonstrar
seu descontentamento com a recém criada mecânica
quântica. Seu virtual "gato de Schrödinger" é um
felino aprisionado em uma caixa hermeticamente
fechada, com um sistema perverso: um vidro com
gás mortal, acionado por um detetor de radiatividade
e um átomo radiativo. O átomo teria 50% de chance
de emitir uma partícula radiativa em um certo
intervalo de tempo. Se isso ocorressem, o martelo,
sob a ação do detetor, quebraria o vidro com veneno
e o animal morreria. Para Schröndinger, o paradoxo
estava na impossibilidade de a teoria determinar se o
gato estaria vivo ou morto, pois o átomo teria outros
50% de chance de não emitir radiatividade, evitando
o acionamento do martelo. O gato de Schröndinger
permaneceria neste estado "misto"(vivo/morto) até
que alguém resolvesse abrir a caixa para verificar.
1.
3
d) não ser vermelha
e) ser vermelha ou branca
4.Um dado honesto é lançado duas vezes.
Determinar a probabilidade de ocorrer um 4, 5 ou 6
no primeiro lance e 1, 2, ou 3 no segundo lance.
Distribuição
de
probabilidade
discreta.
Se uma variável X pode assumir
um conjunto discreto de valores, X1,X2…,Xk com as
probabilidades p1 + p2 +pk =1 ; diz-se que está
definida uma distribuição de probabilidade discreta
de X. A função p(X) que assume os valores para
X=X1;X=X2; X=Xk é denominada função de
probabilidade ou de frequência X. Como X pode
assumir valores com certas probabilidades, ele é
denominado de variável aleatória discreta.
A variável aleatória é denominada
também variável casual ou estocástica.
A distribuição de probabilidade
pode ser representada graficamente, mediante o
gráfico de p(X) versus X (X,p(X)), da mesma forma
que a distribuição é denominada de função de
distribuição de probabilidade.
Exercícios
Determinar a probabilidade p de:
a) Aparecer um número ímpar em um único
lance de um dado honesto.
b) De ocorrer pelo menos uma cara em dois
lances de uma moeda honesta.
c) De surgir um ás, um dez de ouros ou um
dois de espadas na retirada de uma única carta de um
baralho, bem embaralhado, de 52 cartas.
d) De aparecer o total 7 em um único
lançamento de dois dados.
e) De aparecer uma coroa, no próximo lance
de uma moeda, se, no total de 100 lances, 56 são
caras.
Distribuição de probabilidade contínua
Pode-se estender os conceitos anteriores
para o caso em que a variável X assume um conjunto
contínuo de valores. O histograma correspondente ao
caso anterior torna-se uma curva contínua.
P(X) é denominada de função de densidade
de probabilidade, ou função de densidade e quando é
dada uma função desta natureza, diz-se que foi
definida uma distribuição de probabilidade para
P(X).
A variável X é denominada de variável
aleatória reduzida.
Veremos
as
diversas
distribuições
estatísticas; porém, recordaremos os conceitos da
análise combinatória.
Análise Combinatória.
Para a obtenção de probabilidade de eventos
complexos, a enumeração é frequentemente difícil, e
para facilitar os cálculos há necessidade do auxílio da
análise combinatória.
2.Uma experiência consiste em lançar uma
moeda e um dado. Se E1 é o evento correspondente
ao aparecimento de uma "cara" no lançamento de
uma moeda e E2 o de ocorrer "3"ou "6"no lance do
dado, expor em palavras o significado de cada
notação.
a)E1
b)E2
c)E1E2
d)Pr{E1E2}
e)Pr{E1|E2}
f)Pr{E1 + E2}
3.Uma bola é retirada ao acaso de uma urna
que contém 6 vermelhas, 4 brancas e 5 azuis.
Determinar a probabilidade dela:
a) ser vermelha
b) ser branca
c) ser azul
Fatorial:
Definimos como fatorial de zero: 0!=1 e
fatorial de 1 como 1!=1 e fatorial de n escrevemos
como n! dado por:
n! n(n 1)(n 2)...0!
3
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Bioestatística – Distribuições Estatísticas
Arranjo : Uma permutação de n objetos
diferentes, tomados p de cada vez, é uma escolha p
de n objetos, não se levando em consideração a
ordem de sua disposição:
(n
p )!
C9,5
n!
( n p )! p!
102!
103.102! 102!
10.9.8.7.6!
6!
5040
9!
(9 5)!5!
9!
4!5!
.9.8.7.6.5!
5!4.3.2.1!
210
Exemplo 15 - Use a aproximação de Stirling
para calcular 50!
Exemplo 10 - Simplifique: 102!/(103!-102!)
102!
103! 102!
10!
6!
Exemplo 14 - De quantas maneiras
diferentes uma comissao de 5 pessoas pode ser
escolhida entre 9 ?
Combinação : Uma combinação de n
objetos diferentes, tomados p de cada vez, é uma
escolha p dos n objetos, não se levando em
consideração a ordem de sua disposição:
Cn, p
10!
(10 4)!
A10,4
n!
An , p
4
102!
102!.(103 1)
n!
1
102
2 nnne
n
S
2 505050 e
50
Também chamamos:
Exemplo 11 - Dadas as letras A, B e C
encontre:A3,2 e determine C3,2 explicitando seus
valores:
n
Cn, p
n!
( n p )! p!
p
n
A3,2
3!
(3 2)!
3!
1!
3.2.1!
1!
onde
6
São:
A,B ,
C,A , C,B , B,A , B,C
C3,2
3!
(3 2)!2!
3!
1!2!
A,C ,
3.2.1!
1!2.1!
p
é
denominado
de numero
Binomial, ou binomial de n, p.
A seguir discutiremos sua aplicação no
Triângulo de Pascal.
3
São: A,B , A,C , C,B
Aproximação de Stirling para n!.
Exercícios
Para n grande, n! torna-se impraticavel.
Assim, usa-se a aproximação devida a Stirling.
n!
n
2 nn e
1.
Determine :
a)
n! (n 1)!
n
Aqui e 2.71828… é a base dos logarítmos
naturais ou neperianos.
b)
Exemplo 12 - De quantas maneiras
diferentes podem ser dispostas uma fila de 5 pedaços
de mámore de cores diferentes?
c)
d)
5!
5.4.3.2.1!
120
Exemplo 13 - De quantas maneiras
diferentes 10 pessoas podem sentar em um banco se
houver apenas 4 lugares ?
n! (n 1)!
(n 2)!
87! 86!
80!
87!
45!
44! 43!
2. Determine a probabilidade de obter filhos
com tipo de sangue O quando o pai tem sangue AB e
a mãe possui sangue B (IBi).
3. Determine a probabilidade de obter filhos
com tipo de sangue A quando o pai tem sangue AB e
a mãe possui sangue B (IBi).
4
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4. Determine a probabilidade de obter filhos
com tipo de sangue B quando o pai tem sangue AB e
a mãe possui sangue B (IBi).
5. Determine a probabilidade de obter filhos
com tipo de sangue AB quando o pai tem sangue AB
e a mãe possui sangue B (IBi).
6. Qual a probabilidade de se ganhar na loteria
somente com jogos simples ?
7. Qual a probabilidade de se ganhar na loto?
8. Um dado honesto é lançado duas vezes.
Determine a probabilidade de ocorrer um 4,5 ou 6 no
primeiro lance e 1,2,3 ou 4 no segundo lance.
9. Uma bola é retirada de uma urna ao acaso.
A urna contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5
azuis. Determine a probabilidade dela:
a) Ser vermelha.
b) Ser azul.
c) Ser branca.
d) Não ser vermelha.
e) Ser vermelha ou branca.
10. Em uma urna há 5 bolas pretas e 4
azuis. Retira-se 2 bolas sem reposição.
Determine a probabilidade das duas
bolas serem pretas ou das duas bolas
serem azuis.
11. Lança-se uma moeda honesta 5 vezes.
Construa o espaço de todas as
possibilidades.
5
5
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Bioestatística – Distribuições Estatísticas
Algumas
binomiais:
Triângulo de Pascal
Desenvolvendo os termos:
(p
q) 0 1
(p
q)1 1 p 1q
(p
q)
2
2
1p
2 pq 1q
6
2
( p q)3 1p3 3p2 q 3pq2 1q3
Se dispormos os coeficientes na forma de
um triângulo, obteremos
propriedades
n
n
n
n
0
1
n
n 1
n
p
n
dos
números
1
n
n
p
1
1 1
Blaise Pascal (1623 - 1662)
1 2 1
Blaise
Pascal
(extraído
de
http://www.mundodosfilosofos.com.br/pascal.htm)
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Pode-se escrever também:
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
3
0
3
1
3
2
3
3
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
5
0
5
1
5
2
5
3
5
4
n
0
n
1
n
2

Nascido em Clermont-Ferrand, a 19 de
junho de 1623, Blaise Pascal era filho de Étienne
Pascal, presidente da Corte de Apelação, e de
Antoinette Bégon. Segundo sua irmã e biógrafa,
Gilberte Périer, Pascal revelou desde cedo um
espírito extraordinário, não só pelas respostas que
dava a certas questões, mas, sobretudo pelas questões
que ele próprio levantava a respeito da natureza das
coisas. Perdeu a mãe aos três anos de idade; era o
único filho do sexo masculino. Assim, o pai apegouse muito a ele e encarregou-se de sua instrução,
nunca o enviando a colégios. Mesmo quando, em
1631, a família Pascal mudou-se para Paris, a
educação de Blaise permaneceu ao encargo do pai. A
irmã Gilberte escreverá mais tarde: "A máxima dessa
5
5

n
n
n 2
n 1
n
n
Assim, pode-se afirmar que:
p
q
N
N
N
i 1
i
pn iqi
Denominado de Binômio de Newton.
6
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Bioestatística – Distribuições Estatísticas
educação consistia em manter a criança acima das
tarefas que lhe eram impostas; por esse motivo só
deixou que aprendesse latim aos doze anos, para que
aprendesse com maior facilidade. Durante esse
intervalo não o deixou ocioso, pois o ocupava com
todas as coisas de que o julgava capaz. Mostrava-lhe
de um modo geral o que eram as línguas; ensinou-lhe
como haviam sido reduzidas as gramáticas sob certas
regras, que tais regras tinham exceções assinaladas
com cuidade, e que por esses meios todas as línguas
haviam podido ser comunicadas de um país para
outro. Essa idéia geral esclarecia-lhe o espírito e
fazia-o compreender o motivo das regras da
gramática, de sorte que quando veio a aprendê-las
sabia o que fazia e dedicava-se aos aspectos que lhe
exigiam maior dedicação".
a)
16
a)
a)
a)
c)
76! 74!
73!
d)
n
n 1
5
d)
n
2
2x
y2
5
b)
x2
2y
6
9. três moedas são lançadas. Se ocorrerem
coroas e caras, determine a probabilidade de
ocorrer exatamente uma cara.
10. Uma bolsa contém 4 bolas brancas e
duas pretas. Outras contém 3 brancas e 5
pretas. Se for retirada 1 bola de cada bolsa,
qual a probabilidade de :
a) Ambas serem brancas.
b) Ambas serem pretas.
c) Serem uma branca e uma preta.
11. Uma bola é retirada ao acaso de uma
urna que contém 6 bolas vermelhas, 4
brancas e 5 azuis.
Determine a probabilidade dela :
a) Ser vermelha.
b) Ser branca.
c) Ser azul.
d) Não ser vermelha.
e) Ser vermelha ou branca.
c) 13!/11!d) 7!/10!
b)
5
n
c)
7. Numa classe há nove rapazes e 3 moças.
a) De quantas maneiras o professor pode
escolher uma comissão de 4 pessoas?
b) Quantos poderão ter ao menos uma
moça?
c) Quantos poderão ter exatamente uma
moça?
8. Um dado é lançado. Se o número é ímpar,
qual a probabilidade de ele ser primo?
Calcule:
n!
(n 1)!
3
12
b)
6. Expandir e simplificar :
Exercícios:
a) 7!
b) 8!
2. Simplifique:
n! b) (n 2)! c) 76! 74! d) 5!74!
(n 1)!
n!
73!
73!
4. Quantos anagramas podem ser formados
com os caracteres:
a) ESTA
b)OVO
c) H2O
d) PALADAR
e) SOCIOLÓGICAS
5. Calcule:
Além das línguas, Étienne Pascal ensinava outras
coisas ao filho: dava-lhe rudimentos sobre as leis da natureza e
sobre as técnicas humanas. Tudo isso aguçava ainda mais a
curiosidade do menino, que queria saber a razão de todas as coisas
e não se satisfazia diante de explicações incompletas ou
superficiais. Diante de uma explicação insuficiente, passava a
pesquisar por conta própria até encontrar uma resposta satisfatória
e, quando se defrontava com um problema, não o largava até
resolvê-lo plenamente. Aos onze anos, suas experiências sobre os
sons levaram-no a escrever um pequeno tratado, considerado
muito bom para sua idade.
Étienne Pascal era matemático e sua casa era muito
freqüentada por geômetras. Como queria que Blaise estudasse
línguas e, sabendo como a matemática é apaixonante e absorvente,
evitou por muito tempo que o filho a conhecesse, prometendo-lhe
que a ensinaria quando ele já soubesse grego e latim. Essa
precaução serviu apenas para aumentar a curiosidade de Blaise,
que passou a se divertir com as figuras geométricas que o pai lhe
havia mostrado. Procurava tracá-las corretamente; depois passou a
buscar as proporções entre elas e, afinal, depois de propor axiomas
relativos às figuras, dedicou-se a fazer demonstrações exatas. Com
isso chegou até a 32ª proposição do livro I de Euclides.
Estarrecido, o pai verificou que o filho descobrira sozinho a
matemática. A partir de então, Blaise recebeu os livros dos
Elementos de Euclides e pôde dedicar-se à vontade ao estudo da
geometria. Os avanços foram rápidos: aos dezesseis anos escreveu
Tratado Sobre as Cônicas, que, no entanto, por sua própria
vontade, não foi impresso na época.
1.
7
(n 2)!
n!
12. Calcular: a)5!
5!74!
73!
c)
3. Simplifique:
7
A9,3
b)
d)
C 8,3
C9,3
A9,3
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Bioestatística – Distribuições Estatísticas
8
A distribuição Binomial ou de Bernoulli:
p ( x ) CN , x p x q N
p ( x)
x
N
x
pxqN
N!
pxqN
( N x)! x !
P*X)
Se p é a probabilidade de um evento ocorrer em
uma única tentativa (denominada probabilidade de
sucesso) e q = 1 - p é a de que o evento não ocorra
(denominada probabilidade de insucesso), então a
probabilidade do evento ocorrer exatamente x vêzes,
em N tentativas, isto é, que haja x sucessos e N - x
insucessos é dada por:
x
x
0,50
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
N=2
1
2
3
i
N = 2; (p+q)2 ; (2 caras, 1 cara e corôa, 2 corôas)
A média para a distribuição binomial e o
desvio padrão são dados abaixo:
0,35
0,30
P(X)
Npq
Desvio Padrão
Npq
Coeficiente de
simetria
N=3
0,40
Distribuição Binomial
Média
=Np
Variância
2
0,25
0,20
0,15
0,10
q p
Npq
0,05
0,00
1
Exemplo 1- Em 100 lances de uma moeda,
a média do número de caras é =Np=100 e o desvio
100 12 12
Npq
padrão é
2
3
i
4
N = 3; (p+q)3 ; (3 caras, 2 caras e1 corôa, 1 cara e 2
corôas,3 corôas)
5
A seguir mostramos os dados de
distribuição de probabilidade de Bernoulli para N
lançamentos de uma moeda honesta (p=1/2=q)
0,40
0,35
N=4
0,30
0,5
P(X)
0,25
N=1
0,4
0,20
P(X)
0,15
0,10
0,3
0,05
0,00
0,2
1
2
3
4
5
N = 4; (p+q)4 ; (4 caras, 3 caras e1 corôa, 2 caras e
2 corôas,1 cara e 3 corôas, 4 corôas)
0,1
0,0
1
2
i
N = 1 ; (1p+1q) ; (1 cara ou 1 corôa)
8
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Bioestatística – Distribuições Estatísticas
Exemplo – Encontre a distribuição de
Bernoulli para p = 0,5 e N = 10.
Determine também sua média e seu desvio
padrão.
0,30
N=5
0,25
Acessando “Intervalo de Confiança” →
“Distribuição de Bernoulli”, inserindo
N=10 e p = 0,5 nas correspondentes caixas e clicando
nos botões para gerar os parâmetros
Solicitados, teremos:
0,20
P(X)
9
0,15
0,10
0,05
0,00
1
2
3
4
5
6
i
Figura 1 – Distribuição de Bernoulli gerada
pelo DPA.
N = 5; (p+q)5 ; (5 caras, 4 caras e1 corôa, 3 caras e
2 corôas,2 caras e 3 corôas,
1 cara e 4 corôas, 5 corôas)
Veja que unindo as extremidades do
histograma, à medida que o valor de N cresce
indefinidamente (N tende a infinito, ou N
) o
caso discreto tende a um caso contínuo. A
distribuição Binomial é chamada de Bernoulli por ter
sido descoberta por James Bernoulli em fins do
século XVII.
Jacob Bernoulli (1623-1708) - As
primeiras contribuições importantes de Jacob
Bernoulli foi sobre lógica e álgebra publicado em
1685, probabilidade e geometria em 1687. O
resultado de seu trabalho em geometria gerou um
método de construção para dividir todo triângulo em
quatro
porções
iguais
com duas
linhas
perpendiculares. O trabalho mais original de Jacob
Bernoulli foi Ars Conjectandi publicado na Basileia
em 1713, oito anos após sua morte. O trabalho estava
na época de sua morte, mesmo assim é considerado o
mais importante na teoria da probabilidade. No livro,
Bernoulli reviu o trabalho de outros autores em
probabilidade, Schooten , Leibniz , e Prestet. Os
números de Bernoulli aparecem no livro em uma
discussão da série exponencial. Muitos exemplos são
dados em quanto se esperaria ganhar jogar o jogo de
possibilidade.
Em 1689 publicou um trabalho importante
sobre série infinita e sobre teoria de probabilidade: a
interpretação da probabilidade como a freqüência
relativa, numa experiência que ocorre
grande
número de repetições. Sua lei é uma interpretação
matemática deste resultado. Jacob Bernoulli publicou
trabalhos em séries infinitas entre 1682 e 1704. Em
maio 1690 publicou no acta Eruditorum. O papel de
Jacob Bernoulli foi importante para a historia do
cálculo, e em 1696 resolveu uma equação na
Mecânica dos Fluidos, hoje chamada "a equação de
Bernoulli".
9
Prof.
Dr.
Cláudio
S.
Sartori
Bioestatística
–
Distribuições
Estatísticas
10
A distribuição de Poisson
Distribuição de Poisson
Média
=Np
2
Variância
N(1
Outra distribuição discreta importante,
que é uma aproximação da distribuição binomial
quando N >> 1 e p << 1 é a distribuição de Poisson.
Desvio Padrão
Coeficiente de
simetria
Siméon Denis Poisson - (1781 em
Pithiviers, France - 25 April 1840 em Sceaux France)
– Teve como professores Laplace e Lagrange que o
propiciaram seus talentos matemáticos. Aos 18,
atraiu a atenção Legendre. Poisson encontrou essa
geometria descritiva, um tópico importante no École
Polytechnique. Escreveu um trabalho de teoria de
Bézout, e este era de tal qualidade que foi permitido
se graduar em 1800 sem fazer exame de admissão,
fato incomum pois a maioria dos matemáticos
superiores tiveram que servir nas províncias antes de
retornar a Paris.
Poisson foi nomeado professor École
Polytechnique em 1802, uma posição que prendeu
até 1806.
Poisson teve pouco tempo para a política
para suas energias inteiras foi dirigido arduamente
para suportar a matemática, a ciência, a instrução e o
École Polytechnique.
Durante este período Poisson estudou os problemas
que relacionam-se às equações diferenciais ordinárias
e equações diferenciais parciais; estudou aplicações a
um número de problemas físicos tais como o pêndulo
em um meio resistivo e na teoria do som. Seus
estudos eram puramente teóricos. Em 1811 publicou
seu Traité de mécanique, de dois volumes que era
um tratamento excepcionalmente desobstruído
baseou em suas notas do curso no École
Polytechnique.
p)
N (1 p)
'
Np
Exemplo – Encontre a distribuição de
Poisson para p = 0,4 e N = 25.
Determine também sua média e seu desvio
padrão.
Acessando “Intervalo de Confiança”
→”Distribuição de Poisson”, e completando o
valor de N e de p nas caixas correspondentes,
teremos após clicar no botão “distribuição”:
Figura 2 – Distribuição de Poisson gerada
pelo DPA.
É dada por:
x
P ( x)
x!
e
Note que a medida que N → e p = 0,5, a
distribuição de Bernoulli aproximará da distribuição
Gaussiana.
10
Prof.
Dr.
Cláudio
S.
Bioestatística
Sartori
–
Distribuições
Estatísticas
11
A distribuição Normal ou de Gauss:
(&&)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855),
Brunswick, Germany
From the outside, Gauss' life was very
simple. Before his 25th birthday, he was already
famous for his work in mathematics and astronomy.
When he became 30 he went to Göttingen to become
director of the observatory. He rarely left the city
except on scientific business. From there, he worked
for 47 years until his death at almost 78. In contrast
to his external simplicity, Gauss' personal life was
tragic and complicated. Due to the French
Revolution, Napoleonic period and the democratic
revolutions in Germany, he suffered from political
turmoil and financial insecurity. Gauss kept an
amazingly rich scientific activity. An early passion
for numbers and calculations extended first to the
theory of numbers, to algebra, analysis, geometry,
probability, and the theory of errors. At the same
time, he carried on intensive empirical and
theoretical research in many branches of science,
including
observational
astronomy,
celestial
mechanics,
surveying,
geodesy,
capillarity,
geomagnetism,electromagnetism, mechanism optics,
actuarial science. His publications, abundant
correspondence, notes, and manuscripts show him to
have been one of the greatest scientific virtuosos of
all time. It is said, that without any help, Gauss was
able to calculate before he could even talk. He taught
himself to read, and must have continued his
arithmetical experimentation intensively, because in
his first arithmetic class at the age of eight, he
astonished his teacher by instantly solving a busywork problem: to find the sum of the first hundred
integers. (n(n+1)/2)
Veja que a medida que N tende a infinito, o
caso discreto da distribuição de Bernoulli ou
Binomial, tende a se aproximar indefinidamente de
uma curva contínua, denominada curva de Gauss.
Essa curva é representada por uma função
que tem como base o número e, denominado número
de Napier. A tabela a seguir mostra a origem desse
número, descoberto por John Napier (&).
Ilustração de lim 1
x
1 x
x
e
1
x
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
1E+09
1E+10
1E+11
1 x
x
2,0000000000000000
2,5937424601000000
2,7048138294215300
2,7169239322355200
2,7181459268243600
2,7182682371975300
2,7182804691564300
2,7182816939803700
2,7182817863958000
2,7182820308145100
2,7182820532347900
2,7182820533571100
(&)
John Napier - (Edinburgh:Scottish ( 15501617)) -Although the interpretation of Revelation
was Napier's major intellectual endeavor, he was
interested in mathematics from an early age. An early
MS, published only in 1835, De arte logistica, would
have contributed seriously to algebra had it been
published at the time. Mirifici logarithmorum
canonis descriptio, 1614, and Mirifici logarithmorum
canonis constructio,1619, set forth the concept of
logarithms and published the first table of them. In
explaining logs, he also systematized spherical
trigonometry. Napier made systematic use of decimal
notation and was an important agent in its
acceptance.
Napier was apparently reputed to be a
magician in his own age.
Podemos trabalhar com a variável
denominada de variável reduzida z:
z
Nesse caso, a distribuição Normal ou
Gaussiana fica:
Y
Y
1
2
e
1
2
e
z2
2
Esta ºe uma expressão mais simplificada,
cujo gráfico está dado a seguir:
Foi Gauss (&&) quem deduziu a expressão
para a chamada distribuição Gaussiana ou Normal:
x
x
2
2 2
11
Prof.
Dr.
Cláudio
S.
–
Bioestatística
Sartori
Distribuições
Estatísticas
12
Veja que há uma área sob a curva de 1.
Quando o x se encontra no intervalo de ( - , + ),
a área sob a curva é de 68,7%; já quando x se
encontra no intervalo ( - 2 , + 2 ) a área já é de
95% ou 0.95. A distribuição de Bernoulli b(N,X,p) se
aproxima da distribuição normal ou gaussiana
quando é grande e nem p e nem q se aproximam de
0. Z é chamado de normalmente distribuído, com
média 0 e variância 1.
A seguir veja a variação da forma da curva
com o desvio padrão :
=1
=2
=3
0,4
0,3
Desvio Padrão
Coeficiente de simetria
Y
Distribuição Normal ou Gaussiana
Média
Variância
2
0,1
0
Observe que a curva Gaussiana ou Normal é
uma curva simétrica em relação ao eixo Oy, tendo
50% de área à esquerda e a direita do eixo Oy.
Veja como se aproxima da distribuição
Normal um resultado para N=8 para um exemplo de
lançamento de moeda ) p = 0.5 = q:
0,0
-8
0,30
0,25
P(X)
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
2
4
6
8
X
0,4
Y
0,3
68,7%
0,2
0,1
95,45%
0,0
-4
-2
0
2
-6
-4
-2
0
Z
N = 8; p = 1/2 q = 1/2
= 4 = 1,41
0
0,2
4
Z
12
2
4
6
8
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Bioestatística – Distribuições Estatísticas
1
A área sob a curva Normal padrão está dada na tabela a seguir. (Área de 0 a z).
z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,1
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0754
0,2
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,3
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,4
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,5
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,6
0,2258
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2518
0,2549
0,7
0,2580
0,2612
0,2642
0,2673
0,2704
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,8
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2996
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,9
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,33151
0,3340
0,3365
0,3389
1,0
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
1,1
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
1,2
0,3849
0,3869
0,3888
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
1,3
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
1,4
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
1,5
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
1,6
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
1,7
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
1,8
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
1,9
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
2,0
0,4772
0,4778
0,4783
0,4788
0,4793
0,4798
0,4803
0,4808
0,4812
0,4817
2,1
0,4821
0,4826
0,4830
0,4834
0,4838
0,4842
0,4846
0,4850
0,4854
0,4857
2,2
0,4861
0,4864
0,4868
0,4871
0,4875
0,4878
0,4881
0,4884
0,4887
0,4890
2,3
0,4893
0,4896
0,4898
0,4901
0,4904
0,4906
0,4909
0,4911
0,4913
0,4916
2,4
0,4918
0,4920
0,4922
0,4925
0,4927
0,4929
0,4931
0,4932
0,4934
0,4936
2,5
0,4938
0,4940
0,4941
0,4943
0,4945
0,4946
0,4948
0,4949
0,4951
0,4952
2,6
0,4953
0,4955
0,4956
0,4957
0,4959
0,4960
0,4961
0,4962
0,4963
0,4964
2,7
0,4965
0,4966
0,4967
0,4968
0,4969
0,4970
0,4971
0,4972
0,4973
0,4974
2,8
0,4974
0,4975
0,4976
0,4977
0,4977
0,4978
0,4979
0,4979
0,4980
0,4981
2,9
0,4981
0,4982
0,4982
0,4983
0,4984
0,4984
0,4985
0,4985
0,4986
0,4986
3,0
0,4987
0,4987
0,4987
0,4988
0,4988
0,4989
0,4989
0,4989
0,4990
0,4990
3,1
0,4990
0,4991
0,4991
0,4991
0,4992
0,4992
0,4992
0,4992
0,4993
0,4993
3,2
0,4993
0,4993
0,4994
0,4994
0,4994
0,4994
0,4994
0,4995
0,4995
0,4995
3,3
0,4995
0,4995
0,4995
0,4996
0,4996
0,4996
0,4996
0,4996
0,4996
0,4997
3,4
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4998
3,5
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
3,6
0,4998
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
3,7
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
3,8
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
3,9
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
1
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Bioestatística – Distribuições Estatísticas
Exercícios – Distribuição de Bernoulli e
Distribuição Gaussiana
1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Calcular:
5!
C6,2
C8,3
C7,5
C7,5
C4,4
C4,0
2.
Determinar a probabilidade de, ao
lançar três vezes uma moeda honesta,
aparecerem:
a)
b)
c)
d)
Três caras
2 caras e uma coroa
2 coroas e uma cara
3 coroas
3.
Determinar a probabilidade de, em 5
lances de um dado honesto, aparecer
um 3:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
nenhuma vez
uma vez
duas vezes
três vezes
quatro vezes
cinco vezes
4.
Escrever os desenvolvimentos dos
binômios:
a) (p+q)6
b) (p+q)9
5.
Determinar a probabilidade de uma
família de 4 crianças haver:
a) pelo menos um menino
b) pelo menos um menino e uma menina.
1
1