UNIVERSIDADE DO ALGARVE
ESCOLA SUPERIOR DE GESTÃO HOTELARIA E TURISMO
ESTATÍSTICA II
TESTE MODELO I
1. Após alguns testes efectuados à personalidade de um indivíduo conclui-se que,
este é louco com uma probabilidade igual a 0.6, ladrão com uma probabilidade de
0.7 e não é louco nem ladrão com uma probabilidade de 0.25.
1.1. Determine a probabilidade do indivíduo ser louco e ladrão.
1.2. Determine a probabilidade do indivíduo ser apenas louco ou apenas ladrão.
1.3. Determine a probabilidade do indivíduo ser ladrão, sabendo que o mesmo não é
louco.
2. Relativamente a certo tipo de imposto com quatro escalões verificou-se:
- As percentagens de contribuintes que estão no 1º, 2º e 3º escalões são
respectivamente 40%, 30% e 20%;
- As percentagens de contribuintes que não prestaram declarações falsas são de
25% no 1º escalão, de 15% no 2º escalão, de 20% no 3º escalão e de 30% no
4º escalão.
Determine:
2-1 a percentagem de contribuintes que prestaram declarações falsas.
2-2 a percentagem de contribuintes que estão no 4º escalão, tendo prestado
declarações falsas.
3. Numa experiência de aprendizagem um indivíduo realiza duas vezes seguidas
uma determinada tarefa, podendo falhar ou ser bem sucedido em cada uma delas.
A probabilidade de falhar a primeira tentativa é de 0.25. Se falhar a primeira, a
probabilidade de ser bem sucedido na segunda é de 0.5. Se for bem sucedido na
primeira, a probabilidade de falhar na segunda é de 0.1.
Qual a probabilidade de ser bem sucedido na segunda tentativa?
4. Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que:
1
P ( A) = P ( B) = P (C ) = ;
P ( A ∩ B) = P(C ∩ B) = 0 ;
4
P( A ∩ C ) =
1
8
Calcule a probabilidade de ocorrência de pelo menos um dos acontecimentos (A, B
ou C).
5. Suponha que o n.º de revistas semanais publicadas em grandes cidades tem a
seguinte distribuição de probabilidade:
1
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N.º de revistas
Proporção de cidades
1
2
3
4
5
0,44
0,36
a
0,06
0,01
Para a variável aleatória do n.º de revistas semanais publicadas, determine:
5-1 O valor de a.
5-2 A função distribuição.
5-3 O valor médio e a variância.
6 – A procura diária (em centenas de horas) dos serviços prestados por uma
empresa de limpeza é uma variável aleatória com a seguinte função densidade
de probabilidade:
1
⎧⎪
2 x − a 0,5 ≤ x ≤ 1,5
f (x ) = ⎨
2
⎪⎩ 0
outros valores
6.1 – Determine a.
6.2 – Calcule a probabilidade de a procura diária exceder 100 horas.
6.3 – Calcule a receita diária esperada, sabendo que a empresa cobra 10 € por hora
de serviço prestado.
7–
Um produtor de refrigerantes resolveu lançar uma campanha publicitária,
oferecendo prémios impressos nas capsulas das garrafas. Durante a campanha
95% das garrafas distribuídas para venda não tinham prémio. Ao adquirir 15
garrafas, qual a probabilidade de receber pelo menos 2 prémios?
8–
O montante de depósitos à ordem efectuados diariamente em certa agência
bancária é uma variável aleatória com distribuição Normal de valor médio 120 €
e variância 64 €2.
8.1 Determine a percentagem de dias em que o montante de depósitos à ordem se
situa entre 110 e 135 Euros.
8.2 Determine a probabilidade do montante de depósitos à ordem ser superior à
média, nos dias em que esse montante é inferior a 125 Euros.
9–
O número de clientes diários de um cabeleireiro é uma variável aleatória com
distribuição de Poisson de média 15. O horário de funcionamento vai das 10 às
16 horas, não fechando para almoço. Sabe-se ainda que, devido a limitações
de pessoal se atendem no máximo 25 clientes por dia.
2
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9.1– Qual a probabilidade de entre as 10 e as 12 horas chegarem menos de 5
clientes?
9.2– Qual a probabilidade de num dia ficarem clientes por atender?
10– Para uma amostra aleatória de 100 domicílios numa grande área metropolitana,
o número de domicílios nos quais ao menos um adulto se encontra actualmente
desempregado é igual a 15. Estime a percentagem de domicílios na área nos
quais há pelo menos um adulto desempregado, utilizando o intervalo de
confiança de 90%.
11– Considere que o tempo de vida (em milhares de horas) de determinado tipo de
peça electrónica tem distribuição Normal com média 30 e variância 9.
Determine a probabilidade de uma amostra aleatória de 25 peças ter um tempo
de vida médio entre 28 e 31 milhares de horas.
12- A resistência de um certo tipo de cabos é uma variável aleatória com
distribuição Normal de parâmetros desconhecidos. Dessa população foi retirada
uma amostra casual de dimensão 25. Sabendo que a amostra forneceu os
seguintes resultados:
25
∑ xi = 75
i =1
;
25
∑x
i =1
2
i
= 321
12.1– Construa um Intervalo de Confiança a 99% para o desvio padrão.
12.2– Para um nível de significância de 5%, será de admitir que a resistência média
à rotura deste tipo de cabos é igual a 2.5?
13- Numa sondagem para efeitos de marketing, 60 das 200 pessoas inquiridas
revelaram-se conhecedoras das propriedades extraordinárias da farinha Bola
de Neve. Após uma intensa campanha publicitária foi feita nova sondagem,
desta vez a 300 pessoas, das quais 111 revelaram serem conhecedoras
daquelas qualidades. Deve concluir-se que, devido a campanha de publicidade,
o referido produto se tornou mais conhecido? (use α = 5%)
3
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ESTATÍSTICA II
RESOLUÇÃO DO TESTE MODELO
1-
LO – Indivíduo louco
LA – Indivíduo ladrão
P(LO) = 0.6
P(LA) = 0.7
1 - P(LO ∪ LA) = 0.25 ⇔ P(LO ∪ LA) = 0.75
1.1- P(LO ∪ LA) = P(LO) + P(LA) – P(LO ∩ LA) ⇔
⇔ P(LO ∩ LA) = 0.6 + 0.7 – 0.75 ⇔
⇔ P(LO ∩ LA) = 0.55
1.2- P(LO ∩ LA) ∪ P(LA ∩ LO) = 0.05 + 0.15 = 0.20
1.3- P(LA | LO) =
2-
P( L A ∩ LO ) 0.15
=
= 0.375
P( LO )
1 − 0.6
A- Contribuintes do 1º escalão
B- Contribuintes do 2º escalão
C- Contribuintes do 3º escalão
D- Contribuintes do 4º escalão
F- Contribuintes que prestaram declarações falsas
P(A) = 0.40
P(B) = 0.30
P(C) = 0.20
P(D) = 0.10
P(F|A) = 0.75
P(F|B) = 0.85
P(F|C) = 0.80
P(F|D) = 0.70
2.1- Pelo Teorema da Probabilidade Total,
P(F) = 0.75*0.4 + 0.85*0.3 + 0.8*0.2 + 0.7*0.1 = 0.785
2.2- Pelo Teorema de Bayes,
P( D | F ) =
3-
P( D).P( F | D) 0.1 * 0.7
=
≅ 0.0892
P( F )
0.785
F- Falhar a realização da tarefa
S- Ser bem sucedido na realização da tarefa
Através do diagrama em árvore:
4
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F 0.5
0.25
F
S 0.5
0.75
F 0.1
S
S 0.9
A probabilidade de ser bem sucedido na 2ª tentativa é: 0.25*0.5 + 0.75*0.9 = 0.8
4-
P(AUBUC) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B ∩C) + P(A∩B∩C)
Uma vez que P ( A ∩ B) = P(C ∩ B) = 0 então P(A∩B∩C)=0.
Assim, P(A UB UC ) = 1 / 4 + 1 / 4 + 1 / 4 - 0 – 1 / 8 - 0 + 0 = 5 / 8
5-a)
4
∑ f ( x) = 1 ⇔ 0,44 + 0,36 + a + 0,06 + 0,01 = 1⇔ a = 1- 0,87 = 0,13
x =0
5-b)
⎧ 0
⎪
⎪0.44
⎪
⎪⎪0.80
F( x ) = ⎨
⎪0.93
⎪
⎪0.99
⎪
⎪⎩ 1
5-c)
x<1
1≤ x < 2
2≤x<3
3≤x<4
4≤x<5
x≥5
E X = ∑ x i × P(x i ) = 1 × 0 ,44 + 2 × 0, 36 + 3 × 0,13 + 4 × 0,06 + 5 × 0,01 =
= 0,44 + 0,72 + 0,39 + 0,24 + 0,05 = 1,84
6-a)
a é tal que satisfaz as seguintes condições:
i)
f(x) ≥ 0
1,5
ii)
∫ f (x) dx = 1
0,5
São estas as duas condições para que f(x) seja uma função densidade de
probabilidade (f.d.p.)
Comecemos pela condição ii)
5
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1,5
1, 5
1,5
1 ⎞
⎛
⎡ 2 1 ⎤
∫0,5 f ( x) dx = 1 ⇔ 0∫,5⎜⎝ 2x - 2 a ⎟⎠ dx = 1 ⇔ ⎢⎣ x − 2 a x⎥⎦ 0,5 = 1 ⇔
⇔ (2,25 − 0,75a ) − (0,25 − 0,25a ) = 1 ⇔ 2 − 0,5a = 1 ⇔ a = 2
Com a = 2, f(x) ≥ 0, verificando-se a condição i).
6-b)
P( X > 1) =
1, 5
∫ (2 x − 1)dx = [x
2
]
− x 1 = (2,25 − 1,5) − (1 − 1) = 0,75
1, 5
1
6-c)
Receita diária: R(x) = 10 [100 x], sendo x a procura diária (em centenas de
horas)
E[R(x)] = E [10 (100 x)] = E [1000 x] = 1000 E [x]
1, 5
⎡ 2x3 x 2 ⎤
− ⎥ =
E [x ] = ∫ x f ( x) dx = ∫ x(2 x − 1)dx = ⎢
3
2 ⎦ 0,5
⎣
0,5
0,5
1,5
1, 5
= (2,25 − 1,125) − (0,08333 − 0,125) = 1,125 + 0,0417 = 1,1667
Logo a receita média diária é de
E[R(x)] = 10 x 100 E [x] =1000 E [x] = 1000 x 1,1667 =1166,7 €
7-
X – N.º de capsulas de garrafas com prémio, em 15 garrafas
X ∼ B ( 15 ; 0.05 )
P ( X ≥ 2 | n = 15; p = 0,05 ) = 1 – P ( X < 2 | n = 15; p = 0,05) =
= 1 – [ P ( X = 0 | n = 15; p = 0,05) + P ( X = 1 | n = 15; p = 0,05)=
= 1 – [ 0.4633 + 0.3658] = 0.1709
8-
X – Montante de DO efectuados diariamente em certa agência bancária
X ∼ N ( μ = 120 ; σ = 8 )
8-1
8-2
135 − 120 ⎞
⎛ 110 − 120
<Z<
P ( 110 < X < 135 ) = P⎜
⎟ = P ( - 1.25 < Z < 1.875 ) =
8
8
⎠
⎝
= 0.9699 – 1 + 0.8944 = 0.8643
P ( X > 120 | X < 125 ) =
P(120 < X < 125) P(0 < Z < 0.625) 0.7357 − 0.5
=
=
≅
P(X < 125)
P( Z < 0.625)
0.7357
≅ 0.32
6
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9-
X - N.º de clientes de um cabeleireiro entre as 10 – 16 h (6 horas)
X ∼ P ( λ = 15 )
9-1
Y - N.º de clientes de um cabeleireiro entre as 10 – 12 h (2 horas)
Y ∼ P (λ = 5 )
P (Y < 5 | λ = 5 ) = P ( Y ≤ 4 | λ = 5) =
= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 + 0.1755 = 0.4405
9-2
P ( X > 25 | λ = 15 ) = 0.0029 + 0.0016 + 0.0009 + 0.0004 + 0.0002 +
+ 0.0001 + 0.0001 = 0.0062
10-
X – N.º de domicílios nos quais ao menos um adulto se encontra actualmente
desempregado, em 1 domicílio
X ∼ Bernoulli (p)
n = 100
15
X =
= 0.15
100
λ = 90% ⇒ α = 10% ⇒ α/2 = 5% ⇒ Z α 2 = 1,645
X−π
Z=
( )
X 1− X
n
⎛
⎜
⎜
P⎜ − Z α
⎜
2
⎜
⎝
≤
o
~ N(0,1)
⎞
⎟
⎟
X−π
≤ Z α ⎟ = 0,95 ⇔
X 1− X
2⎟
⎟
n
⎠
( )
⎛
⇔ P⎜⎜ X − Z α
⎝
2
( ) ≤ π ≤ X+Z
X 1− X
n
α
Região
Crítica
5%
( )
2
X 1 − X ⎞⎟
⎟ = 0,95
n
⎠
90%
z =-1,645
0
Região
Crítica
5%
z =1,65
Z
7
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⎛
P⎜⎜ X − 1,645 ×
⎝
( ) ≤ π ≤ X + 1,65 × X(1− X) ⎞⎟ = 0,90
X 1− X
n
⎛
P⎜⎜ 0,15 − 1,645 ×
⎝
n
0,15 × 0,85
100
( )
⎤
X 1− X
%
⎥ X − 1,645 ×
IA 90
=
π
n
⎥
⎦
⎟
⎠
≤ π ≤ 0,15 − 1,645 ×
;
X + 1,645 ×
0,15 × 0,85 ⎞⎟
= 0,90
⎟
100
⎠
( )
X 1− X ⎡
⎢
n ⎢
⎣
% = ]0,25 − 0,12 ; 0,25 + 0,12[
IC95
π
% = ]0,13 ; 0,37[
IC95
π
⎤
0.15 × 0.85
0.15 × 0.85 ⎡
%
IC 90
= ⎥0.15 − 1.645
;0.15 + 1.645
⎢
π
100
100
⎦⎥
⎣⎢
%
IC 90
= ]0.15 − 0,06 ; 0.15 + 0,06[
π
%
IC 90
= ]0.09 ; 0.21[
π
11-
X – Tempo de vida de determinado tipo de peça electrónica
X ∼ N ( 30 ; 3 )
⎛ σ ⎞
⎟⎟
X ∼ N ⎜⎜ μ ;
n⎠
⎝
⎛
⎞
⎜ 28 − 30
31 − 30 ⎟
P ( 28 < X < 31 ) = P⎜
<Z<
⎟ = P ( -3.33 < Z < 1.67 ) =
3
⎜ 3
⎟
25
25 ⎠
⎝
= 0.9525 – 1 + 0.9996 = 0.9521
12-
X – Resistência de certo tipo de cabos
X∼N(μ;σ)
12-1 λ = 99%
n = 25
n
X=
∑ Xi
i =1
n
=
75
=3
25
8
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S=
⎛ n ⎞
⎜ ∑ xi ⎟
⎜
⎟
n
2
⎝ i =1 ⎠
−
x
∑ i
n
i =1
2
n−1
(n − 1)S 2
χ (2n −1;1−α 2 )
≤ σ 2x ≤
=
(n − 1)S 2
χ (n −1;α 2 )
(25 − 1)4 ;
45.6
25
24
⇔
χ (2n −1;1−α 2 ) = χ (224;0,995 ) = 45,6
⎤
ICσ99% = ⎥
⎦
(75 )2
321 −
=2
(n − 1)S 2
χ (n −1;1−α 2 )
≤ σx ≤
(n − 1)S 2
χ (n −1;α 2 )
χ (2n −1;α 2 ) = χ (224;0, 005 ) = 9,89
(25 − 1)4 ⎡
⎢ = ] 1.45 ; 3.11 [
9.89 ⎣
12-2 Estamos perante um ensaio de hipóteses para a média em que se
desconhecem os parâmetros da distribuição (média e variância). As etapas do
ensaio de hipóteses são:
1)
H0: μ = 2,5
H1: μ ≠ 2,5
2)
α = 5%
3) Tendo em atenção que se desconhece σ2, e que a dimensão da amostra é
inferior a 30, para realizar o teste recorre-se à distribuição t:
t = x −s μ x
x
n
Trata-se de um teste bicaudal, em que os valores de fronteira que delimitam a
região de não rejeição (RNRH0) das regiões de rejeição (RRH0) é dada por:
t (n −1;α ) = t (24; 0, 025 ) = 2,064
2
RNR
(região de não rejeição)
RR
-2,064
RR
2,064
4) A estatística do teste é:
9
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t=
X − μx 3 − 2,5 0,5
=
=
= 1,25
Sx
2
2
5
25
n
5) O teste cai na RNRH0, logo não se rejeita a Hipótese Nula.
6) Para um nível de significância de 5% há evidência estatística de que a
resistência média à rotura é de 2,5.
13-
X1 –
Nº de pessoas inquiridas que se revelaram conhecedoras das
propriedades extraordinárias da farinha Bola de Neve.
X2 –
Nº de pessoas inquiridas que se revelaram conhecedoras das
propriedades extraordinárias da farinha Bola de Neve, após uma
intensa campanha publicitária.
n 1 = 200
X1 =
60
= 0,3
200
n 2 = 300
X2 =
111
= 0,37
30
1- Formulação das Hipóteses
H0 : π 1 = π 2
H1 : π 1 < π 2
teste unilateral
2- Especificar o nível de significância α do teste
De acordo com o valor dado α = 5%.
3. Escolher, em função da natureza dos dados, uma estatística para o
teste e estabelecer a região de rejeição a partir do nível de
significância.
O teste a usar é:
Z=
(X
) − (π − π ) ~ N(0,1)
⎛ 1
1⎞
⎟
π (1 − π )× ⎜⎜
+
n
n ⎟
1 − X2
⎝
π=
1
2 0
1
2
o
⎠
n1 X 1 + n 2 X 2
n1 + n 2
10
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Região Crítica
5%
RRH0
95%
RNRH0
Z
0
z =-1,645
4. Calcular o valor da estatística de teste a partir dos dados da amostra.
O valor da estatística do teste é:
Z=
(X
)
=
⎛ 1
1 ⎞
⎟
π (1 − π )× ⎜⎜
+
n
n ⎟
1
− X 2 − (π 1 − π 2 )0
⎝
π=
1
2
⎠
(0,3 − 0,37 ) − 0
1 ⎞
⎛ 1
+
0,342(1 − 0,342 )× ⎜
⎟
⎝ 200 300 ⎠
=
− 0,07
≅ −1,62
0,0433
n 1 X 1 + n 2 X 2 200 × 0,3 + 300 × 0,37 170
=
=
= 0,342
n1 + n2
200 + 300
500
5. Decidir: rejeitar H0, se o valor da estatística estiver na região de
rejeição; caso contrário, aceitar H0.
Como o valor do teste (-1,62) é superior a -1,645, pertence à RNRH0, a
decisão é não rejeitar H0.
6. Expressar a decisão estatística em termos do problema.
Para um nível de significância de 5%, existe evidência estatística de que a
campanha de publicidade, feita para que o referido produto se tornasse
mais conhecido, não resultou.
11