Exame final–LECom - 2004/2005
Métodos Numéricos – Duração 3 horas
Recurso – 22 de Julho de 2005
APRESENTE TODOS OS CÁLCULOS QUE TIVER DE EFECTUAR
1. Considere a figura ao lado que representa um lago.
h é a profundidade do lago, A(h) = 4.7h é a área
da secção molhada, P (h) = 4 + 2h representa o perímetro molhado, R(h) é o raio hidráulico dado por
A(h)
P (h) , S = 0.001 (inclinação longitudinal do lago),
v = 0.02 (parâmetro de rugosidade da superfície do
lago) e Q = 12.2 (vazão do lago).
Pretende-se determinar a profundidade h do lago pela aplicação da equação de Manning
para verificação da capacidade da vazão de lagos:
2
1
A(h) R(h) 3 S 2
.
Q=
v
Sabendo que h ∈ [1, 2], utilize o método mais adequado, considerando no critério de
paragem ε1 = 10−1 e ε2 = 10−2 (2 iterações).
2. Considere a matriz dos coeficientes de um

k

k
A=
1
certo sistema linear

3 −1
6 1 .
5 −7
Com base numa das condições suficientes baseada na matriz A, para que valores de k se
garante a convergência do método de Gauss-Seidel?
3. Considere-se um pórtico em L invertido com um apoio flexível de rotação:
Para os seguintes valores θi do ângulo, obtiveram-se os correspondentes fi :
π/3
2π/3
π
θi 0
fi 0.5 −0.2453 −2.1067 −4.5841
Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho
V.S.F.F.
(a) Pretende-se ajustar o modelo
M (θ) = c1 cos(θ) + c2 sen(θ) + c3 θ
em que c3 = K/(P L) e K é constante, aos valores da tabela, utilizando a técnica
dos mínimos quadrados.
Usando 4 casas decimais nos cálculos, apresente (na sua forma final) o sistema das
equações normais que utilizaria para calcular c1 , c2 e c3 , sem o resolver.
Nota: Use radianos nos cálculos.
(b) Para o valor de θ̄ = 2.5, que valor fornece um polinómio interpolador de grau 2?
4. Um fluido atravessa a secção de um tubo com uma velocidade v(r), sendo r a distância
radial ao centro da secção. Determine a quantidade Q (usando 4 casas decimais nos
cálculos) de fluido que atravessa esta secção por unidade de tempo, dada por:
Z r0
Q = 2π
r v(r)dr
0
em que r0 = 4.5 é o raio da secção circular do tubo, usando os valores da tabela:
r
0
0.5
1
1.5
2
3
3.5
4
r0
v(r) 3 2.9499 2.8942 2.8312 2.7584 2.5643 2.4199 2.1918 0
5. A figura representa dois triângulos equiláteros
x
30
O maior tem lado igual a x. Usando o método DSC (baseado em interpolação quadrática)
determine x de modo a minimizar a soma das áreas dos dois triângulos.
Use 4 casas decimais nos cálculos e inicie o processo iterativo com x1 = 20. Considere
ainda δ = 1, M = 0.1 e ε = 0.5 (duas iterações).
Que relação existe entre os triângulos?
Nota: A área de um triângulo é igual a 0.5× base × altura.
6. A figura ao lado representa uma caixa cuja parte superior e
inferior é formada por abas que permitem fechá-la. Pretendese determine as dimensões da caixa que minimizam o gasto
de material na sua construção, sabendo que a sua capacidade
(volume da caixa) deve ser de 10 dm3 . Use a restrição do
volume para eliminar a variável x3 na função a minimizar
obtendo uma função em x1 e x2 .
x3
x2
x1
x2
2
x1
2
(a) Utilize o método de segurança de Newton para determinar uma aproximação à
(0) (0)
solução. Use x(0) = (x1 , x2 )T = (1.5, 1.5)T e faça apenas uma iteração.
(b) Use a condição de optimalidade de primeira ordem para obter a solução exacta do
problema. Confirme que se trata de um mínimo através da condição de optimalidade de segunda ordem.
Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho
FIM