BOM DIA!!
ÁLGEBRA
COM JENNYFFER LANDIM
Aula 3
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Números inteiros: operações e propriedades
Adição
Os termos da adição são chamadas parcelas e o resultado da
operação de adição é denominado soma ou total.
1º parcela + 2º parcela = soma ou total
§
A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: a +
b=b+a
§
O zero é elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0
Subtração
O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o
segundo, subtraendo e o resultado da operação de subtração é
denominado resto ou diferença.
minuendo - subtraendo = resto ou diferença
A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração: a - b ≠
b - a (sempre que a ≠ b)
Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será
adicionado de k.
Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto será subtraído
de k.
A subtração é a operação inversa da adição:
M-S=R↔R+S=M
A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao
dobro do minuendo.
M + S + R = 2 × M
Valor absoluto
O Valor absoluto de um número inteiro indica a distância deste número até
o zero quando consideramos a representação dele na reta numérica.
Atenção: O valor absoluto de um número nunca é negativo, pois representa
uma
distância.
A representação do valor absoluto de um número n é | n |. (Lê-se "valor
absoluto de n" ou "módulo de n".)
Números simétricos
Dois números a e b são chamados de simétricos ou opostos quando: a + b =
0
Exemplos:
-3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0.
4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0.
O oposto de 5 é -5.
O simétrico de 6 é -6.
O oposto de zero é o próprio zero.
Dois números simétricos sempre têm o mesmo módulo.
Exemplo: |-3| = 3 e |3| = 3
Já foi dito na aula anterior, mas vale lembrar, que
nas
operações
matemáticas
de
adição,
multiplicação e subtração (exceto a divisão), o
resultado da soma, do produto e da diferença de
dois números inteiros será sempre outro número
inteiro.
As divisões, as potenciações e as radiciações
entre dois números inteiros nem sempre têm
resultado inteiro. Assim, dizemos que estas três
operações não estão bem definidas no conjunto
Z.
Adição e subtração
Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números
inteiros. Observe os exemplos seguintes:
Ex. 1: Calcular o valor da seguinte expressão:
10 - 7 - 9 + 15 - 3 + 4
Solução:
Faremos duas somas separadas

uma só com os números positivos: 10 + 15 + 4 = +29

outra só com os números negativos: (-7) + (-9) + (-3) = -19

Agora calcularemos a diferença entre os dois totais encontrados: +29 - 19 = +10
Obs.: O resultado terá sempre o sinal do número que tiver o maior valor absoluto!
Ex. 2: Calcular o valor da seguinte expressão: -10 + 4 - 7 - 8 + 3 – 2
Solução:
1º passo: Achar os totais (+) e (-):
(+): +4 + 3 = +7
(-): -10 - 7 - 8 - 2 = -27
2º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior
módulo:
-27 + 7 = - 20
Multiplicação
Os termos de uma multiplicação são chamados
de fatores e o resultado da operação de
multiplicação é denominado produto.
1º fator x 2º fator = produto
O primeiro fator também pode ser chamado
multiplicando enquanto o segundo fator pode ser
chamado multiplicador.
A ordem dos fatores nunca altera o resultado de
uma multiplicação: a x b = b x a
O número 1 é o elemento neutro da multiplicação:
1xa=ax1=a
Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores,
o produto será adicionado de k vezes o outro fator:
a x b = c ↔ (a + k) x b = c + (k x b)
Se multiplicarmos um dos fatores por uma
constante k, o produto será multiplicado por k: a ×
b = c ↔ (a × k) × b = k × c
Podemos distribuir um fator pelos termos de uma
adição ou subtração qualquer: a × (b ± c) = (a ×
b) ± (a × c) Prop. distributiva
Divisão
Na divisão inteira de N por D ≠ 0, existirá um único
par de inteiros, Q e R, tais que:
Q × D + R = N e 0 ≤ R < |D| (onde |D| é o valor
absoluto de D)
A segunda condição significa que R (o resto)
nunca pode ser negativo.
Os quatro números envolvidos na divisão inteira
são assim denominados:
N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente
de zero);
Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo).
Exemplos:
1) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60,
o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 4.
8 × 7 + 4 = 60 e 0 ≤ 4 < |7|
2) Na divisão inteira de -60 por 7 o dividendo é
-60, o divisor é 7, o quociente é -9 e o resto é 3.
-9 × 7 + 3 = -60 e 0 ≤ 3 < |7|
Ø
Quando ocorrer R = 0 na divisão de N por D, teremos Q ×
D = N e diremos que a divisão é exata indicando-a como
N ÷ D = Q.
Ø
Quando a divisão de N por D for exata diremos que N é
divisível por D e D é divisor de N ou, equivalentemente,
que N é múltiplo de D e D é fator de N.
Ø
O zero é divisível por qualquer número não nulo: D ≠ 0 →
0 ÷ D = 0.
Ø
Todo número inteiro é divisível por 1: N ÷ 1 = N.
Ø
Se multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma
divisão por uma constante k ≠ 0, o quociente (Q) não
será alterado mas o resto (R) ficará multiplicado por k, se
R × k < D, ou será igual ao resto da divisão de R × k por D,
se R × k ≥ D.
Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é
preciso observar os sinais dos dois termos da operação:
Sinais iguais (+)
Sinais opostos (-)
(+) × (+) = +
(+) × (-) = -
(-) × (-) = +
(-) × (+) = -
(+) ÷ (+) = +
(+) ÷ (-) = -
(-) ÷ (-) = +
(-) ÷ (+) = -
Vamos pensar um
pouco!!!
Ho
ra
de
ex
er
ci
ta
r
1º. Luísa e Gabriel fazem os seguintes percursos sobre uma mesma
reta numérica:
- “A partir do zero, Luísa caminha seis unidades no sentido positivo e
em seguida anda onze unidades no sentido negativo.”
- “Gabriel, partindo também do zero, anda doze unidades no sentido
negativo e em seguida caminha nove unidades no sentido positivo.”
Determine o ponto em que se encontrarão após os percursos.
2º. Quais são os números inteiros compreendidos entre -7 e +2?
3º. Calcule x – y, quando:
a) x = -12 e y = - 5
b)x = +7 e y = - 9
c)x = +9 e y = - 3
d) x = -18 e y = -6
4º. Para fazer uma torta de morango, Vitória gastou R$ 29,00. Ela
vendeu a torta para sua vizinha por R$ 73,00. De quantos reais foi o
seu lucro?
5º. Um reservatório contém 1000 litros de água e efetuamos,
sucessivamente, as seguintes operações:
- Retiramos 89 litros
- Colocamos 46 litros
- Colocamos 30 litros
- Retiramos 154 litros
- Retiramos 90 litros
Qual a quantidade de água que ficou no reservatório?
Continuaremos na próxima
aula!
Beijinhos para todos!!