3.
3.1
Alguns conceitos de cálculo
Derivada de uma função
Para calcular a derivada de uma função, usa-se o comando diff. O
primeiro argumento deverá ser uma função de uma ou mais variáveis, o segundo argumento é a variável em ordem à que vai ser derivada a função, e um
terceiro argumento optativo, que indica a ordem da derivação (se não aparecer entender-se-á que se trata de uma derivada de primeria ordem). Alguns
exemplos:
(C1)
(D1)
diff(x^n, x);
nxn−1
Podemos usar o apóstrofo para que maxima nos mostre, em notação matemática, o cálculo que está a ser feito:
(C2)
(D2)
’diff(exp(a*x), x) = diff(exp(a*x), x);
(C3)
(D3)
’diff(sin(x), x, 2) = diff(sin(x), x, 2);
deax
= aeax
dx
d2 sin x
= − sin x
dx2
Se a função a ser derivada depende de várias variáveis, pode escrever-se
uma lista de variáveis de derivação, seguida cada uma da sua ordem (nesse caso
21
não pode ser omitida a ordem de derivação), para calcular derivadas parciais.
Por exemplo:
(C4)
(D4)
’diff(x^3/y, y, 1, x, 2) = diff(x^3/y, y, 1, x, 2);
∂ 3 x3 /y
6x
=− 2
∂ 2 x∂y
y
3.1.1
Interpretação geométrica da derivada
Em termos geométricos, a derivada de uma função é uma outra função
que em cada ponto é igual ao declı́ve da função original nesse mesmo ponto.
Por exemplo, a figura 3.1 mostra o gráfico da função log(x) e a sua derivada,
1/x, obtido com o comando:
(C5)
plot2d([log(x), 1/x], [x, 0.1, 10], [y, -1, 4])$
Perto da origem, o declı́ve de log(x) tem um valor elevado, mas para
valores maiores de x o declı́ve aproxima-se de zero.
f(x)
3
log(x)
1/x
2
1
2
4
6
8
-1
Figura 3.1: Gráfico de log(x) e a sua derivada, 1/x.
22
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
x
3.1.2
Algumas propriedades
Se u e v forem duas funções que dependem de x, podemos usar o comando
depends para definir essa dependência
(C6)
(D6)
depends([u, v], x);
[u (x) , v (x)]
e a seguir poderemos calcular propriedades gerais para quaisquer funções
u e v. Por exemplo, a derivada do produto e do quociente das funções são
1
:
(C7)
(D7)
’diff(u*v, x) = diff(u*v, x);
d (uv)
dv
du
=u
+
v
dx
dx dx
(C8)
(D8)
’diff(u/v, x) = ratsimp(diff(u/v, x));
u dv −
d (u/v)
= − dx 2
dx
v
du
dx v
A regra da cadeia usa-se quando queremos calcular a derivada de uma
função composta, isto é, uma função y que depende de uma outra função x,
que pela sua vez depende da variável t:
(C9)
(D9)
depends(y, x, x, t);
[y (x) , x (t)]
Assim, y depende implicitamente da variável t e a sua derivada em função
de t será:
(C10)
(D10)
1A
’diff(y, t) = diff(y, t);
dy
dx dy
=
dt
dt dx
função ratsimp usa-se para agrupar as fracções sobre um denominador comum.
Alguns conceitos de cálculo
23
Exemplo 3.1
Constrói-se uma caixa de altura x, a partir de uma lâmina quadrada, com
aresta d = 30 cm, cortando quatro quadrados de aresta x nos cantos da lâmina.
Encontre o valor que deverá ter x para que o volume da caixa seja o máximo
possı́vel.
x
x
d
d
O volume da caixa, em função de x, será
(C11)
(D11)
vol(x) := x*(30 - 2*x)^2;
2
vol (x) := x (30 − 2x)
Podemos fazer uma tabela de valores para ter alguma ideia do comportamento da função vol(x). Primeiro criamos uma lista de possı́veis valores de
x, que pode estar compreendido entre 0 e 15
(C12)
(D12)
xi : makelist(i, i, 0, 15);
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]
A seguir, vamos usar o comando map para aplicar a função vol a cada elemento da lista xi, e com a lista de valores de x e do volume criamos uma matriz onde cada linha representa um par de valores (x, vol(x))
24
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
(C13)
(D13)
yi : map(vol, xi);
[0, 784, 1352, 1728, 1936, 2000, 1944, 1792, 1568, 1296, 1000, 704, 432, 208, 56, 0]
(C14)
(D14)
transpose(matrix(xi, yi));
0
 1

 2


 3

 4


 5

 6

 7


 8

 9


 10

 11

 12


 13

 14
15


0
784 

1352 


1728 

1936 


2000 

1944 

1792 


1568 

1296 


1000 

704 

432 


208 

56 
0
o comando matrix aceita uma ou várias listas com o mesmo número
de elementos e cria uma matriz onde cada lista é uma linha. O comando
transpose foi usado para que as linhas da matriz passem a ser colunas.
Aparentemente o valor máximo obtem-se para x = 5. Podemos demonstrar em forma mais precisa que essa é a resposta do problema, se calcularmos
os pontos onde a derivada da função vol é nula
(C15)
(D15)
solve(diff(vol(x), x) = 0, x);
[x = 5, x = 15]
Para determinar quais desses pontos são máximos ou mı́nimos locais,
calcula-se a segunda derivada
Alguns conceitos de cálculo
25
(C16)
(D16)
diff2 : diff(vol(x), x, 2);
8x − 8 (30 − 2x)
no ponto x = 5 o valor da segunda derivada é
(C17)
(D17)
diff2, x=5;
−120
o seu valor negativo indica que a curvatura da função nesse ponto aponta
para baixo e, portanto, a função tem um máximo local em x = 5.
Exemplo 3.2
A posição de uma partı́cula, em função do tempo t, é definida pelo vector
~r = 5 cos(t)~ux + 4 sin(t)~uy + 2 e−t ~uz
calcule a velocidade e a aceleração da partı́cula em t = 3.
Vamos representar as três coordenadas do vector posição por meio de
uma lista
(C18)
(D18)
pos: [5*cos(t), 4*sin(t), 2*exp(-t)];
5 cos t, 4 sin t, 2e−t
A velocidade é a derivada do vector posição, em função do tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.
(C19)
(D19)
vel: map(lambda([u], diff(u, t)), pos);
−5 sin t, 4 cos t, −2e−t
(C20)
(D20)
acel: map(lambda([u], diff(u, t)), vel);
−5 cos t, −4 sin t, 2e−t
26
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
nos comandos anteriores definimos uma função anónima, por meio do
comando lambda, que, dada uma função u, calcula a sua derivada em ordem
a t. A seguir aplicámos essa função a cada uma das coordenadas do vector
posição e do vector velocidade, usando o comando map do maxima. Em t = 3
a velocidade e a aceleração são
(C21)
(D21)
vf : ev(vel, t=3, numer);
[−0.70560004029934, −3.959969986401782, −0.09957413673573]
(C22)
(D22)
af : ev(acel, t=3, numer);
[4.949962483002227, −0.56448003223947, 0.09957413673573]
Os módulos da velocidade e da aceleração podem ser calculados, usando o
produto interno entre vectores, representado por um ponto:
(C23)
(D23)
modvel : sqrt(vf.vf);
4.023574122441392
(C24)
(D24)
modacel: sqrt(af.af);
4.983039363544433
3.2
Primitivas e integrais
A primitiva de uma função é qualquer outra função que quando derivada
dá como resultado a função original. Por exemplo, vamos encontrar as primitivas da função xn , onde n é um parâmetro constante
Alguns conceitos de cálculo
27
(C25) ’integrate(x^n, x) = integrate(x^n, x);
Is n+1 zero or nonzero?
nonzero;
(D25)
Z
xn dx =
xn+1
n+1
Maxima perguntou-nos se n + 1 é nula, isto é, se n é igual a −1. Para
n diferente de −1, obtemos o resultado acima, que representa apenas uma das
primitivas da função xn . Todas as outras primitivas obtêm-se somando uma
constante arbitrária ao resultado anterior.
Um integral definido, por exemplo
(C26)
(D26)
’integrate(1/(1 + x^ 2), x, 0, 1);
1
Z
0
x2
1
dx
+1
representa a área entre a função e o eixo dos x, e entre os limites x = 0 e
x = 1 (ver a figura 3.2). Neste caso o valor do integral é:
(C27)
’integrate(1/(1 + x^ 2), x, 0, 1) =
integrate(1/(1 + x^ 2), x, 0, 1);
(D27)
1
Z
0
1
π
dx =
x2 + 1
4
O valor infinito, representa-se em maxima pela variável inf. Por exemplo a função acima também pode ser integrada desde menos infinito até infinito:
(C28)
’integrate(1/(1 + x^ 2), x, -inf, inf) =
integrate(1/(1 + x^ 2), x, -inf, inf);
(D28)
Z
∞
−∞
28
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
1
dx = π
x2 + 1
2
1/(1 + x )
1.0
0.5
-1
0
1
x
Figura 3.2: Integral de 1/(1 + x2 ) entre 0 e 1.
Exemplo 3.3
Calcule a área da região delimitada pela parábola y = 2x2 − 3 e a recta y = 2x
Primeiro temos que encontrar os pontos de intersecção entre a parábola
e a recta
(C29)
parab(x) := 2*x^2 - 3$
(C30)
recta(x) := 2*x$
(C31)
(D31)
solve(parab(x) = recta(x), x);
"
√
7−1
x=−
,x =
2
√
7+1
2
#
A figura 3.3 mostra o gráfico das funções, obtido com:
(C32)
plot2d([parab(x), recta(x)], [x, -2, 3])$
Entre os dois pontos de intersecção, a recta está por cima da parábola.
A área será
Alguns conceitos de cálculo
29
f(x)
12
8
4
-1
1
2
x
Figura 3.3: Área entre y = 2x2 − 3 e y = 2x.
(C33)
area : integrate(recta(x) - parab(x), x,
part(d31,1,2), part(d31,2,2));
(D33)
(C34)
(D34)
√
√
7 7 + 10 7 7 − 10
+
6
6
area, numer;
6.173419725817378
3.3
Série de Taylor
Uma função f (x) diz-se analı́tica num ponto a, se a função e todas as
suas derivadas, f (x), f 0 (x), f 00 (x), f 000 (x), . . . existirem no ponto a. Nesse caso
30
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
a função pode ser escrita como uma série de potências
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (a)
f 000 (a)
(x − a)2 +
(a − x)3 + . . .
2!
3!
(3.1)
esse tipo de série é designada de série de Taylor. Em maxima, o comando
powerseries dá a forma geral da série de Taylor de uma função analı́tica e o
comando taylor pode ser usado para obter os primeiros termos da expansão de
uma função em série de Taylor. 2
(C35)
(D35)
’sin(x) = niceindices(powerseries(sin(x), x, 0));
sin x =
∞
i
X
(−1) x2i+1
i=0
(C36)
(D36)
(2i + 1)!
’cos(x) = niceindices(powerseries(cos(x), x, 0));
cos x =
∞
i
X
(−1) x2i
i=0
(2i)!
Os quatro primeiros termos da série binomial são
(C37)
(D37)
taylor((1+x)^n, x, 0, 3);
n2 − n x2
n3 − 3n2 + 2n x3
1 + nx +
+
+ ···
2
6
Factorizando cada termo e reagrupando como uma série infinita (por
meio do comando trunc) obtemos
(C38)
(D38)
map(factor,%);
(C39)
(D39)
(1 + x)^n = trunc(%);
(n − 2) (n − 1) nx3
(n − 1) nx2
+
+ nx + 1
6
2
n
(x + 1) = 1 + nx +
(n − 1) nx2
(n − 2) (n − 1) nx3
+
+ ···
2
6
2O
comando niceindices substitui os ı́ndices I1, I2, . . ., usados por omissão, por ı́ndices
i, j, . . .
Alguns conceitos de cálculo
31
Uma série de potências pode ser derivada ou integrada termo a termo.
Por exemplo, o integral que calculámos em D21 pode ser calculado por separado
para cada termo da série de potências da função e obtemos, assim, uma série que
permite calcular π/4
(C40)
serie : niceindices(integrate(
powerseries(1/(1+x^2),x,0),x));
(D40)
∞
i
X
(−1) x2i+1
2i + 1
i=0
(C41)
integrate(1/(1 + x^2), x, 0, 1) = ev(serie, x=1) ev(serie, x=0);
(D41)
∞
i
π X (−1)
=
4
2i + 1
i=0
3.4
A transformada de Laplace
A transformada de Laplace de uma função f (x) é uma outra função f¯(s)
definida por
Z
∞
f¯(s) =
f (x) e−sx dx
0
por exemplo, a transformada da função seno é:
(C42)
(D42)
laplace(sin(x), x, s);
1
s2 + 1
Um outro exemplo:
(C43)
32
laplace(t^2*exp(3*t)*sin(4*t), t, s);
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos
(3.2)
(D43)
2
8 (2s − 6)
3
(s2 − 6s + 25)
−
8
2
(s2 − 6s + 25)
A transformada inversa calcula-se usando o comando ilt. Por exemplo:
(C44)
(D44)
ilt(1/(s^2 + 1), s, t);
sin t
3.5
1.
Problemas
Calcule as derivadas das funções seguintes:
(a) y = e2x cos(3x) sin(x)
√
(b) y = 3x sinh(2/x)
(c) y =
2.
x3 + 4x2
x2 − 1
Calcule os pontos estacionários (onde a derivada é nula) da função
3x4 − 4x3 − 24x2 + 48x + 5
e diga quais desses pontos são máximos ou mı́nimos locais.
3.
Calcule a primitiva de (log x)20 e comprove o resultado por meio de
derivação.
4.
Calcule os seguintes integrais definidos:
Z 2
(a)
4x4 − 5x2 + 8 dx
0
Z
(b)
π/3
sin(3x) dx
0
Alguns conceitos de cálculo
33
Z
∞
(c)
2
e−x dx
−∞
5.
Calcule a derivada da função f (x), onde:
x5
Z
(a) f (x) =
p
t2 + 1 dt
1
sin(x)
Z
(t2 + 1)3 dt
(b) f (x) =
1
6.
Em cada caso calcule a série de Taylor da função, no ponto a, e até o
termo de ordem n.
1
(x − 4)2
(b) f (x) = tan(x)
(a) f (x) =
3/2
(c) f (x) = x
7.
a=π
a=1
n=5
n=6
n=8
Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções:
(a) (1 + et )2
(b) sin(2t) sinh(2t)
(c) t2 + e2t − 2
(d) t2 et sin(t)
34
a=5
Fı́sica dos Sistemas Dinâmicos