Dúvidas ....Matemática Básica
(Equações básicas – linguagem
matemática – operações básicas e suas
aplicações no Raciocínio)
Prof. Ivan Zecchin – [email protected]
Fui sua aluna na escola ....., gostaria muito que o senhor tirasse algumas dúvidas.
Não consegui resolver essas questões; elas não fazem parte da sua apostila.
1) Um número mais o dobro de seu quadrado é igual a cinco
vezes esse número. Seu valor pode ser:
a) 5 ou 2
b) 0 ou 2.........
c) 0 ou 3
d) 2 ou 3
e) 0 ou 5
Resolução: (linguagem matemática – equações)
O nº desconhecido é "X"
seu quadrado.......x²
O dobro de seu quadrado....2.x²
cinco vezes o nº.....5x
Então "Um número mais o dobro de seu quadrado é igual a cinco
vezes esse número." será................................x + 2x² = 5x
Procedimento
1
Passa-se o 5x para o lado esquerdo, ficando x – 5x = - 4x
A equação fica.......2x² - 4x = 0
Resolvendo a equação do 2ºgrau................2x² - 4x =
0..................x = 0 ou x = 2
procedimento
Divide-se tudo por 2........fica x² - 2x = 0
Coloca-se o x em evidência........x ( x – 2) = 0
Se uma multiplicação dá zero, então um deles é zero....x = 0 ou
x-2=0, de
Onde x = 2
Obs:Também poderíamos ter resolvido a equação pela fórmula
de Báskara.
Letra “B”
Resolução pelo “Raciocínio”
Se um nº mais o dobro de seu quadrado é igual a 5 vezes o
próprio nº, então o dobro do quedrado dele é igual a 4 vezes ele,
ou seja ; o quadrado do nº é igual ao dobro do próprio nº !
Qual é o número cujo quadrado é igual ao dobro dele mesmo ?
Ora....0 ou 2 .
2) Somando-se o triplo do inverso de um número com quatorze,
obtém-se oito.
O valor desse número é:
a) 8
b) 2
c) 1/3
2
d) 3
e) 1/2
Resolução:
número.....x
inverso.....1/x
triplo do inverso.....3 . 1/x = 3/x
Daí, "Somando-se o triplo do inverso de um número com
quatorze, obtém-se oito"............será....3/x + 14 = 8........x = -½
procedimento
passa-se o 8 para o outro lado subtraindo
3/x = -6
passa-se o x para o outro lado multiplicando.....3 = - 6x..........- 6x
=3
multiplica-se por (-1) invertendo-se os sinais......6x = - 3
passa-se o 6 dividindo............x = -3/6
simplifica-se por 3.......x = - ½
letra.......NDA
3) A proporção entre (x+8) e 9 é a mesma que entre (x-6) e 8.
O valor de x é?
a) 138
b) 27
c) 64
d) 118......
3
e) 164
Resolução
Proporção é uma igualdade entre razões (divisões)
(x+8) / 9 = (x - 6) / 8
Multiplicando "em cruz"......9x - 54 = 8x + 64
x = 118
letra....”D”
..................................................................
Fui aluno do CPC no curso 3X1. Não estou conseguindo resolver esta questão, poderia
ajudar-me, por favor?
Duas grandezas a e b foram divididas, respectivamente, em partes diretamente
proporcionais a 3 e 4 na razão 1,2. O valor de 3a+2b é:
Um forte abraço e um Bom Carnaval.
OLÁ:
RESOLUÇÃO:
a...b....divididos.....respectivamente......3.....4
a/3 e b/4
Essas razões são iguais a 1,2, daí;
a/3 = 1,2 e b/4 = 1,2
LOGO; a = 3,6 e b = 4,8
Ele pede 3a + 2b, ou seja, 3 . 3,6 + 2 . 4,8 = 10,8 + 9,6 =
20,4
Tudo bem ??
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Operações
4
AB
BC +
CA
............................
Na conta de somar armada acima, A, B e C são algarismos
distintos entre si. Um resultado possível para essa soma é
(A) 55
(B) 56
(C) 65
(D) 67
(E) 77
Resolução ( Operações básicas)
Percebe-se que os algarismos não serão grandes, devido aos resultados das
alternativas.
Para A = 1, B = 2
C = 4 (método das tentativas) teremos soma 77 (letra "E")
Na verdade há alguns procedimentos:
Observe que a soma dos algarismos da direita vai dar o algarismo da direita na
soma. A única soma de algarismos
pequenos que dá 7 é 1 + 2 + 4.....daí......
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(BIO-RIO, CONCURSO TRENSURB 2010) linguagem Matemática
20 - Juca tem hoje a idade que Lino terá daqui a 15 anos. Se Lino
tivesse o triplo da idade que tem, seria 9 anos mais velho do que
Juca. O produto das idades atuais de Juca e Lino é igual a:
(A) 405;
(B) 456;
(C) 324;
(D) 366;
(E) 382.
RESOLUÇÃO:
Chamemos de
5
J : a idade de Juca HOJE (portanto,em 15 anos será J + 15)
L: a idade de Lino HOJE (portanto, em 15 anos será L + 15)
Observando o text e convertendo para a linguagem matemática....
“Juca tem hoje a idade que Lino terá daqui a 15 anos”
J = L + 15
“Se Lino tivesse o triplo da idade que tem, seria 9 anos mais
velho do que Juca.”
3.L = J + 9
Temos aí um sistema de equações:
J = L + 15
3.L = J + 9
Substituindo a primeira na segunda.....
3L = L + 15 + 9
2L = 24
L = 12 anos
Voltando na primeira e substituindo L por 12...
J = 12 + 15
J = 27 anos
Ele pede o produto das idades deles, Hoje ( L e J)
12 . 27 =
324 (resposta)
........................................................................
Agradeço novamente pela sua atenção!
Tenha um ótimo final de semana!
Atenciosamente
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Divisão - aplicações
6
(TRF 5a R-2003) O chefe de uma seção de certa empresa dispunha de 60 ingressos para
um espetáculo, que pretendia dividir igualmente entre seus funcionários. Como no dia
da distribuição dos ingressos faltaram 3 funcionários, coube a cada um dos outros
receber 1 ingresso a mais do que o previsto. O número de ingressos entregues a cada
funcionário presente foi:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
gabarito: C
RES.: O melhor nesses casos é testar cada alternativa.
O nº total de ingressos (60) dividido pelo nº de ingressos de cada um deve dar o nº de
funcionários, antes e depois de terem faltado 3 funcionários
Observe que as alternativas trazem o nº de ingressos de cada um, DEPOIS de terem
faltado 3 funcionários, ou seja, há m ingresso a mais para cada um, em relaçãoao que
era antes.
a) 60/3 = 20 ( funcionários)
Então ANTES eram 23 funcionários e 2 ingressos. Mas 60/23 não dá 2.....errado!!
b) 60/4 = 15 funcionários.
Então ANTES eram 18 func. E 3 ingressos,mas 60/18 não dá 3................errado!!
c)60/5 = 12 funcionários
Então ANTES eram 15 func. E 4 ingressos cada e 60/15 é 4..............correta!!
A outra maneira de fazer é escrevendo as equações (ANTES e DEPOIS) e resolver o
sistema do segundo grau. Dá um trabalhão.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
Sequência de operações>>>>>
Certo dia, um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo número de
páginas de um texto. Ele executou essa
tarefa em 45 minutos, adotando o seguinte procedimento:
– nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das
páginas e mais meia página;
7
– nos 15 minutos seguintes, a metade do número de
páginas restantes e mais meia página;
– nos últimos 15 minutos, a metade do número de
páginas restantes e mais meia página.
Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um
número compreendido entre
(A) 5 e 8
(B) 8 e 11
(C) 11 e 14
(D) 14 e 17
(E) 17 e 20
Gabarito: A
RES:
Observe:
Do total de páginas a serem digitadas ele:
Nos primeiros 15 minutos
retira metade...........divide por 2
retira 1/2 página.... - 1/2
8
Nos próximos 15 minutos
retira metade....divide por 2
retira 1/2 página.....- 1/2
Nos últimos 15 minutos
retira metade.....divide por 2
retira 1/2 página.... - 1/2
Assim, completa a tarefa.......sobram "0" páginas
Agora, à partir do "0" faça o caminho contrário invertendo as operações
0 + 1/2 = 1/2
1/2 x 2 = 1
1 + 1/2 = 1,5
1,5 x 2 = 3
9
3 + 1/2 = 3,5
3,5 x 2 = 7 (resposta)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Sequência de operaçãoes
Certo dia, Teobaldo, funcionário de um escritório, levou ao
trabalho um pacote de balas para chupar durante o expediente.
Entretanto, logo ao chegar ao escritório, foi convocado a
participar de uma reunião e para lá se dirigiu, antes de poder
chupar sequer uma bala do pacote que havia levado. Na sua
ausência, seus colegas − Nivaldo, Clodoaldo e Percival −, vendo
o pacote de balas sobre a mesa de Teobaldo, adotaram o
seguinte procedimento:
− primeiramente, Nivaldo levou consigo a terça parte da
quantidade existente no pacote e mais 3 balas;
− em seguida, Clodoaldo levou consigo a terça parte do que
havia sobrado no pacote e mais 3 balas;
− finalmente, foi a vez de Percival, que adotou o mesmo
procedimento de Nivaldo e Clodoaldo.
Considerando que apenas essas três pessoas mexeram em tais
balas e que, ao sair da reunião, Teobaldo encontrou o pacote
em sua mesa com apenas 7 balas, a quantidade inicial de balas
do pacote que Teobaldo levou ao escritório nesse dia era:
Resposta: 45
Lembrei que o sr. ensinou na aula um macete de como resolver
este tipo de questão, entretanto fiquei em dúvida quando
acontece esse tipo de coisa, ou seja, quando ocorre fração.O
exemplo que tenho anotado que nos foi passado é este:
Gastei 2/3 e no final sobrou 40. Aí faço 40/1/3 e encontro o
total (=120)
Mas percebi que o problema desta questão é diferente... Enfim,
10
o sr. pode me ajudar?? Como faço quando é com fração?
Obrigada desde já pela atenção!
Abraço,
RESOLUÇÃO (Sequência de operações)
A cada vez que se retira 1/3.........ficam 2/3 , ou seja a quantia multiplicada por 2/3.
Então,o que cada um faz??
Multiplica por 2/3 e tira 3 , o que forma uma sequência de operações:
Era “X”
x 2/ 3
-3
x 2/3
-3
x 2/3
-3
.........Ficam 7
Agora, faça o caminho contrário (some 3 e divida por 2/3, lembrando que dividir
por 2/3 corresponde a multiplicar por 3/2)
7
+3........................................10
x 3/2.......................................15
+ 3.......................................18
x 3/2 ......................................27
+ 3...................................... 30
x 3/2...................................... 45 (número inicial
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Argumentos Categóricos
Admita como verdadeiras as seguintes declarações:
• todo matemático sabe física;
• há médicos que não sabem física.
Com base nestas declarações, é correto concluir que há
(A) médicos que não são matemáticos.
(B) médicos que são matemáticos.
11
(C) médicos que sabem física.
(D) físicos que são matemáticos.
(E) físicos que são médicos
Resolução: Lógica da argumentação/diagramas.
Matemática está dentro de Física e médicos tem ao menos uma parte fora de Física
(podendo ser total mente fora).
Daí, com certeza há médicos que não são Matemáticos (letra "A"), pois se há
médicos fora de Física, esles também estarão fora de
Matemática. A letra "C" torna-se errada quando desenhamos os médicos fora de
Física, o que é possível.
.>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
Caro professor,
Não entendi este problema poderia me esclarecer?
Em um grupo há 10 estudantes de Matemática e 8 de Física.
Se há, ainda, 3 estudantes de uma terceira disciplina, que não
estudam Matemática nem Física, então o número de estudantes
de apenas uma disciplina, nesse grupo de 15 pessoas, será:
a) 8
b) 9
c) no mínimo 11
d) no máximo 8
e) um valor entre 10 e 15
Olá.
Dos 8 estudantes de Física, pode ser que todos também estudem Matemática, então
teríamos apenas 10, mais 3 da outra disciplina = 13 (NO MÍNIMO)
Porém, são 15 pessoas, logo existem 2 de Física que não estudam Matemática (Só
Física) e 6 (os restantes dos 8) que estudam também Matemática.
Como são 10 de Matemática e desses 6 estudam Física..........4 estudam SÒ Matemática
Temos mais 2 que estudam SÓ Física e 3 que estudam SÓ a outra matéria.
TOTAL (Uma só matéria) = 4 + 2 + 3 = 9 (letra b)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Geometria
Classificação dos polígonos
12
Questões de geometria
1)No plano cartesiano da figura abaixo, cada quadradinho tem 1cm de lado. Uma linha
poligonal começa no ponto A = (0, 0), mantém o padrão que a figura mostra, e termina
no ponto B = (167, 56).
O comprimento da linha poligonal AB é de:
•
a) 327cm
•
b) 329cm
•
c) 331cm
•
d) 333cm
•
e) 335cm
13
2)Em um jardim, um canteiro é formado por 9 quadrados juntos, como na figura a
seguir:
Sabendo que o perímetro do canteiro é de 120m, então a área do canteiro em metros
quadrados é igual a:
•
a) 252
•
b) 300
•
c) 324
•
d) 360
•
e) 396
3) Um homem e uma mulher estão postados de costas um para o outro. O homem
voltado para o SUL e a mulher para o NORTE. A mulher caminha 5 metros para o
NORTE, gira e caminha 10 metros para o OESTE, gira e caminha 15 metros para o
SUL, gira e caminha 20 metros para o LESTE. O homem caminha 10 metros para o
SUL, gira e caminha 20 metros para o LESTE, gira e caminha 30 metros para o
NORTE, gira e caminha 40 metros para o OESTE. A partir dessas informações, a
distância entre a reta que representa a trajetória LESTE, da mulher, e a reta que
representa a trajetória OESTE, do homem, é, em metros, igual a
•
a) 10.
•
b) 20.
•
c) 30.
•
d) 35.
•
e) 40.
4) Na figura, o segmento AB mede 20 m e o ponto E situa-se exatamente na metade
dessa distância. O segmento BC mede 20 m e o ponto F situa-se exatamente na metade
dessa distância. O segmento AC mede 20 m e o ponto D situa-se exatamente na metade
dessa distância. O segmento DE mede 10 m e o ponto H situa-se exatamente na metade
14
dessa distância. O segmento EF mede 10 m e o ponto I situa-se exatamente na metade
dessa distância. O segmento DF mede 10 m e o ponto G situa-se exatamente na metade
dessa distância. Os segmentos GH, HI e GI apresentam a mesma medida e é 5 m. A
distância percorrida por um caminhante que caminha sobre os lados da figura seguindo
uma única vez o percurso sugerido pelas letras ABCDEFGHI é, em metros,
•
a) 85.
•
b) 90.
•
c) 95.
•
d) 100.
•
e) 105.
Qual é a área da região em negrito na figura apresentada se os perímetros dos
quadrados maior e menor são, respectivamente iguais a 18m e 14m?
15
•
a) 6m²
•
b) 8m²
•
c) 10m²
•
d) 9m²
•
e) 7m²
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17 • Q115456
Prova: CONSULPLAN - 2010 - Prefeitura de Itabaiana - SE - Técnico de Contabilidade
Disciplina: Raciocínio-Lógico | Assuntos: Geometria Básica;
Qual das figuras geométricas citadas é não-plana?
•
a) Triângulo.
•
b) Paralelogramo.
•
c) Circunferência.
•
d) Paralelepípedo.
•
e) Círculo.
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18 • Q115449
16
Estatisticas
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Prova: CONSULPLAN - 2010 - Prefeitura de Itabaiana - SE - Técnico de Contabilidade
Disciplina: Raciocínio-Lógico | Assuntos: Geometria Básica;
Sejam duas circunferências
de
e
, quantas vezes o diâmetro de
•
a) 2
•
b) 4
•
c) 6
•
d) 8
•
e) 12
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. Se o raio de tem o dobro da medida do diâmetro
é maior que o raio de
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?
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19 • Q164682
Prova: FUMARC - 2011 - BDMG - Advogado
Disciplina: Raciocínio-Lógico | Assuntos: Geometria Básica;
Um círculo cuja área mede π m2 é dividido em duas partes. A área de uma parte é 3/2 da
área da outra parte. É CORRETO afirmar que a área da parte menor mede
•
a) 0,2 π m2
•
b) 0,4 π m2
•
c) 0,42 π m2
•
d) 0,43 π m2
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20 • Q149937
Prova: FGV - 2009 - MEC - Analista de Sistemas - Especialista
Disciplina: Raciocínio-Lógico | Assuntos: Geometria Básica;
Ver texto associado à questão
17
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Dos sólidos apresentados, cabe(m) totalmente na caixa somente:
•
a) I
•
b) II
•
c) III
•
d) I e II
•
e) II e III
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<Combinatória
18)
Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e
quer expô-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos
os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os
quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde
que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem
cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes
maneiras que os seis quadros podem ser expostos
é igual a
a) 20. b) 30. c) 24. d) 120. e) 360.
RES: ( Contagem – Combinatória )
Devemos escolher 3 posições, das 6 disponíveis para
fixar os quadros de Portinari (onde a ordem não
importa). Os outros quadros ocuparão as 3 posições
restantes,naturalmente e em ordem.
Escolhendo 3 posições de 6.
Temos 3 etapas ...... ...... ......
18
Número de opções de escolha por etapa 6 . 5 .4
Divide-se?.......sim, pois a ordem não importa.
6.5.4/3.2.1 = 20 maneiras
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>P.A.
Um estacionamento cobra R$ 1,50 pela primeira hora. A partir da segunda, cujo
valor é R$ 1,00 até décima segunda, cujo valor é R$ 0,40, os preços caem em PA.
Se um automóvel ficar 5 horas nesse local, quanto gastará seu proprietário?
Desde já muito Obrigado!!!
Da segunda até a décima segunda tem 11 termos, ou seja, 10 razões.
A diferença é (0,40 – 1,00) - 0,60, que dividida em 10 partes dá - 0,06
(RAZÃO)
Os preços caem, então, de 0,06 em 0,06, a partir da segunda hora.
1º hora..............................1,50 (não faz parte da P.A.)
2º hora..............................1,00
3º hora...............................0,94 (1 – 0,06)
4ºhora................................0,88
5º hora..............................0,82
.............................................................
Total.................................5,14 (Resposta)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>P.A.
Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com um depósito inicial de R$ 120,00
e, à partir dessa date fez depósitos mensais nessa conta, depositando em cada mês R$
12,00 a mais que no mês anterior. Ao efetuar o 19° depósito, o total depositado era de:
( em R$)
Desde já muito Obrigado!!!
OLÁ, segue resolução:
19
Veja a sequência dos depósitos feitos (são 19, ao todo)
120, 132, 144, 1156,...............................,
Ora, é uma P.A. de primeiro termo (a1) 120 e razão (r) 12.
Ele pergunta o TOTAL depositado, então devemos somar os 19 termos da P.A..
Para isso calcularemos antes o valor do 19º depósito............a19
an = a1 + (n – 1 ). R
a19 = 120 + ( 19 – 1 ) . 12
a19 = 120 + 216
a19 = 336
Agora somamos.....................S19
Sn = (a1 + an) n
/2
S19 = (120 + 336) . 19 / 2
S19 =
456 . 19 / 2
S19 = 4332 (resposta)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Equações
Em uma prova com X questões a nota máxima é 10,0 e todas elas têm o
mesmo valor. Suponha que um aluno acerte 18 das 32 primeiras questões e,
das restantes, ele acerte 40%. Assim sendo, se esse aluno tirou nota 5,0
nessa prova, então X é um número:
A) múltiplo de 4.
(B) divisível por 17.
(C) menor que 50.
(D) primo.
(E) quadrado perfeito
O gabarito está como A, mas não é o definitivo!
Obrigada
20
Olá, segue resolução
RESOL.
Se a prova valia 10 e ele tirou 5, então acertou a metadedas questões,ou
seja......................... X/2.
Logo, somando os acertos teremos...X/2.
Primeira parte.........tinha 32.........................................acertou .....18
segunda parte,,,tinha (X - 32)....acertou 40%.....ou seja.....0,4 . ( X - 32 )
Somando os acertos e igualando a X/2:
18 + 0,4.(X - 32) = X/2
18 + 0,4X - 12,8 = X/2 (MMC)
36 + 0,8X - 25,6 = X
0,2X = 10,4
X = 52 questões, que é múltiplo de (divisível por) 4.............letra "A"
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Equações-Sistemas - Raciocínio
Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o
número de irmãos igual ao número de irmãs.
Cada filha tem o número de irmãos igual ao
dobro do número de irmãs. Qual é o total de
filhos e filhas do casal?
a)3
b)4
c)5
d)7
olá.
RESOLUÇÂO:
Suponha que são "H" filhos e "M" filhas.
21
Todos são irmãos.
Cada filho tem tantas irmãs como irmãos, daí, tirando esse filho (ficam" H - 1" filhos) o
número de irmãos ficará igual ao número de irmãs (que continua "M").
H-1=M
Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs, daí, tirando essa
filha (fica "M - 1") o número de irmãos (que continua "H")
será igual ao dobro do número de irmãs.
H = 2. ( M - 1 )
Temos, então, um sistema de equações:
H-1=M
H = 2. (M-1)
.......................
Fazendo a segunda equação menos a primeira, termo a termo (poderia, é claro, ser por
substituição), teremos;
1 = 2(M-1) - M
1 = 2M - 2 - M
M=3
Substituindo M por 3 em qualquer das equações anteriores, teremos H = 4
Logo, são 3 gurias e 4 moleques, o que totaliza (ele pede o total).........7 rebentos
Capite??
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>PA
Em uma progressão aritmética em que o valor do quarto termo é k-1 e o oitavo
termo vale 2k+1 tem-se, para a soma dos 20 primeiros termos, um valor igual a?
a) (105k -190)/2
b) 105k + 90
c) 105k - 190
d) (105k - 90)/2
e) (105k + 90)/2
22
RES:
Entre o quarto e o oitavo termos existem 4 razões (8 – 4) e a diferença entre eles é
2k + 1 – (k – 1) = k + 2
Logo, cada razão vale (k+2)/4
Do oitavo termo ao 20º termo teremos 12 razões (20-8), então o vigésimo termo
Será o oitavo mais 12 razões;
A20 = 2k+1 + 12 (k+2)/4 = 2k+1 + 3k + 6 = 5k+7
Do oitavo termo para o primeiro temos 7 razões, logo tiramos 7 razões do oitavo
para obter o primeiro;
A1 = 2k+1 – 7(k+2)/4 = 2k+1 -7/4 k - 14/4 =( 8k + 4 - 7k - 14)/4 = (k - 10)/4
Somando os 20 termos....Sn = (a1 + an) . n / 2
S20 = [ (k - 10)/4 + 5k + 7] . 20 / 2
.............................................
.............................resolvendo
.......
S20 = (105k - 90)/2
.......................................letra "E"
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Proporções
23
Certo dia, Celeste e Haroldo, agentes de fiscalização financeira, foram incumbidos de
analisar 51 solicitações... Decidiram, então, dividir entre si o total de solicitações, em
partes que eram, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais aos seus respectivos
tempos de serviço e inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Sabe-se que
Celeste trabalhava há 15 anos e tinha 36 anos de idade, enquanto que Haroldo lá
trabalhava há 10 anos. Assim, se coube a Haroldo analisar 34 solicitações, a sua idade
era...
A - superior a 50 anos
B - entre 45 e 50 anos
C - entre 40 e 45 anos
D - entre 35 e 40 anos
E inferior a 40 anos
Resolução:
Mantenha os valores aos quais a divisão for Direta e inverta aqueles aos quais a
divisão for inversa, multiplicando-os a seguir, respectivamente;
DP: 15 e 10
IP : 36 e X (que é a pergunta, a idade de Haroldo)....invertendo...1/36 e 1/X
Multiplicando..........15/36 e 10/X....simplificando....5/12 e 10/X
Calculando o Coeficiente de Proporcionalidade (CP), que é a divisão da soma das
solicitações (51) pela soma dos números obtidos acima....51 / (5/12 + 10/X)
A multiplicação do CP pelo número referente a cada pessoa produzirá a parte das
solicitações que lhe cabe, mas já sabemos quanto cabe a Haroldo (34), logo caberá
a Celeste o restante (51 – 34 = 17). Daí.....
51 / (5/12 + 10/X) . 5/12 = 17
Resolvendo.......................255/12 = 17 . ( 5/12 + 10/X) = 255/12 = 85/12 + 170/X =
= 255/12 - 85/12 = 170/X = 170/12 = 170/X.......daí.....X = 12 anos
Obs: contextualmente, esse resultado é impossível. Algum dado do texto está
errado.
Outra resolução:
O número de Celeste (5/12) multiplicado pelo CP deve dar 17 (o nº de solicitações
que cabe a ela)
5/12 . CP = 17.....................CP = 12 . 17/5
O nº de Haroldo multiplicado pelo CP, deve dar 34.......10/X . 12.17/5 = 34
10.12.17 = X . 5 . 34
X = 10.12.17/5.34
24
X = 12anos
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Sequências
Na sequência seguinte, o número que aparece entre parênteses é obtido segundo uma lei
de formação.
65(20)13
-
96(16)24
-
39(52)3
-
336(?)48
Segundo essa lei, o número que substitui corretamente o ponto de interrogação é
A - 18
B - 24
C - 28
D - 32
E – 36
Resolução: Divida o primeiro pelo terceiro e multiplique o resultado por 4.
65/13 = 5 .....x4........(20)
96/24 = 4......x4........(16)
39/ 3 = 13....x4........(52)
336/48 = 7.....x4........(28)
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Equações/Sistemas
Olá, é uma questão de MATEMÁTICA.
Questão do trf4 para técnico - FCC
>
> Pelo controle de entrada e saída de pessoas em uma Unidade do Tribunal Regional
Federal, verificou-se em certa semana que o número de visitantes na segunda-feira
correspondeu a 3/4 do da terça-feira e este correspondeu a 2/3 do da quarta-feira. Na
quinta-feira e na sexta-feira houve igual número de visitantes, cada um deles igual ao
dobro do da segunda-feira. Se nessa semana, de segunda à sexta-feira, o total de
visitantes foi 750, o número de visitantes na
> (A) segunda-feira foi 120.
> (B) terça-feira foi 150.
> (C) quarta-feira foi igual ao da quinta-feira.
> (D) quinta-feira foi igual ao da terça-feira.
> (E) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira.
RESOLUÇÃO:
Escrevendo as informações...
1-)
2-)
3-)
4-)
S = 3T/4
T = 2Qa/3
Q = 2S
Se=2S
25
5-) S + T + Qa + Q + Se = 750
Escrevendo tudo em função da segunda(S), para podermos resolver, teremos:
de 1........T = 4S/3
de 2 .......Qa = 3T/2...mas T = 4S/3.....logo.....Qa = 3.(4s/3)/2 = 12s/6.....Qa =
2S
Mas, quinta também é igual a 2S.......................daí.....Qa
=Q
......letra "C"
Obs: Se não ocorresse essa "coincidência", colocaríamos tudo em função de "S",
substituiríamos na
equação maior(5) e acharíamos o "S". Depois acharíamos os outros.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Porcentagens
32)
O valor de um carro popular aumenta anualmente à razão de 10%. Se o
valor deste carro é, atualmente R$ 24.200,00, então há 2 anos atrás, o valor
em R$, era??
Antes dos aumentos era.........X
Aumentou 10%...............................................foi para 110%, ou seja ...1,1 do
que era......ficou 1,1.X
Aumentou de novo 10%,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,foi para 110% do que era...ou
seja 1,1 . 1.1 . x
Ficou, no final, valendo 24200, logo............1,1 . 1.1 . x = 24200
1,21X = 24200
X = 24200/1,21
x = 20.000 (valor original do carro)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>PG
Professor você pode resolver essa questão abaixo?.Numa PG, o primeiro termo é igual a
7500, e o quarto é igual a 20% do terceiro. Determine o quinto termo da progressão.
Gabarito é 12
Não tem alternativa.
Obrigado,
26
RESOLUÇÃO: Fórmula: an = a1 . qn - 1
a1 = 7500 .....................................primeiro termo
n = 5..............................................nº de termos
q = 20% = 0,2..............................razão(valor que multiplica um termo para se obter o próximo)
an = termo procurado (no caso, o quinto – a5)
a5 = 7500 . (0,2)5 – 1
a5 = 7500 . 0,24
a5 = 7500 . 0,0016
a5 = 12
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Frações
To: [email protected]
Subject: Ajuda em exercícios.
From: ,..................................com.br
Sinto muito mas não estou conseguindo resolver estes exercícios. Por favor uma ajuda.
Agradeço antecipadamente sua atenção.
Olá.
Lembre-se: 1) Se gastei 3/7,sobraram 4/7
Se usei 5/9, sobraram 4/9
etc
2) 4/5 DE x, significa 4/5 vezes x
Então vamos lá...
1) Um certo número de alunos é aprovado em um concurso. No exame psicotécnico
3/8 são reprovados. Do restante, 2/5 rodam no teste fisico. Se a metade dos
classificados é 45, determine o número inicial de aprovados.
São reprovados......3/8 dos inicialmente aprovados, mais 2/5 do RESTANTE(5/8),
ou seja, mais 2/5 x 5/8 = 1/4 doa aprovados inicialmente.
27
Total de reprovados.....3/8 + 1/4 = 5/8 dos aprovados inicialmente, logo, são
classificados....3/8 dos aprov. inicialmente(3/8 de "A")
Se a metade dos classificados é 45, então são 90 classificados......daí 3/8 de "A" =
90...ou seja...A = 8 . 90/3...A = 240
Resposta: Os aprovados inicialmente eram 240
2) Um certo número de árvores frutíferas deveria ser colhida. No primeiro dia 5/12
das árvores foram colhidas. No segundo dia 4/7 das restantes foram colhidas e no
terceiro dia 2/5 das que não haviam sido tocadas, foram colhidas. Se sobraram 90
árvores sem colher, qual o total inicial?
Pensa aí......é do mesmo tipo. Tenha fé, você consegue!! Não saindo, cole-a no email
e me envie. Eu comento prá você.
........................................................................................................................................
Regras de três
) Operando ininterruptamente, uma máquina é capaz de tirar X cópias de um texto em 6
horas, enquanto que, nas mesmas condições, outra copiadora executaria o mesmo
serviço em 4 horas. Se essas duas máquinas operassem juntas, que fração das X cópias
elas tirariam após 2 horas de funcionamento ininterrupto?
a) 5/12
b) 1/2
c) 7/12
d) 2/3
e) 5/6
RES:
Se uma delas faz o serviço em 4 h, então faz 1/4 do serviço(X) em cada hora
Se uma delas faz o serviço em 6 h, então faz 1/6do serviço(X) em cada hora
Trabalhando juntas, vão "somar" os esforços e numa mesma hora farão 1/4 + 1/6) do
serviço.( = (6+4) / 24 = 5/12 do serviço (X) )
Regra de três.....
1h.............................5/12
2h.............................?
...................................................
? = 2. 5/12
? = 5/6 do serviço (5/6 de X).............................................letra "E"
28
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
(TRF 3ª Região - Analista Judic 2007 FCC) Nos jogos Panamericanos de 2006, na
cidade de Cali, um quadro de resultados parciais apresentava os três países com maior
número de medalhas de ouro (105, 31 e 19), de prata (73, 49 e 20) e de bronze (41, 40 e
25): Canadá, Cuba e EUA. Em relação a esse quadro, sabe-se que:
- Os EUA obtiveram 105 medalhas de ouro e 73 de prata;
- Cuba recebeu a menor quantidade de medalhas de bronze;
- Canadá recebeu um total de 80 medalhas.
Nessas condições, esse quadro informava que o número de medalhas recebidas
a) por Cuba foi 120
b) por Cuba foi 115
c) pelos EUA foi 220
d) pelos EUA foi 219
e) pelos EUA foi 218.
No gabarito é "E", mas pelos meus cálculos é 219, "D". Podes conferir pra mim se o
gabarito está correto?
RES:
Os números estão misturados....
EUA.........................105( 0 ) e 73 (P)
Cuba .............................25(B)
Canadá.........................19(0), 20(P) e 41(B) ...única soma que dá 80 !!
Sobrou apenas um valor de “Bronze”......40, que é dos EUA, um valor de “Prata”
......49, que é de Cuba e um valor de “ouro”......31, que é de “Cuba”.
Total dos EUA.......105 + 73 + 40 = 218......letra “E”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Porcentagens
Das 96 pessoas que participaram de uma festa de confraternização dos
funcionários do Departamento Nacional de Obras Contra as Secas, sabe-se
que 75% eram do sexo masculino. Se, num dado momento antes do término
29
da festa, foi constatado que a percentagem dos homens havia se reduzido
a 60% do total das pessoas presentes, enquanto que o número de mulheres
permaneceu inalterado, até o final da festa, então a quantidade de homens
que haviam se retirado era.
a) 36
b) 38
c) 40
d) 42
e) 44
Obrigada
RESOLUÇÃO:
Sexo masculino...........75/100 de 96 =72 homens, logo......24 mulheres.
X = nº de homens que se retiraram da festa
Após saírem "X" homens(ficam 72 - X) a percentagem de homens no grupo
passa a ser de 60% dos presentes (72 - x + 24), daí....
FICARAM 72 - X, QUE CORRESPONDEM A 60% DO TOTAL DE PESSOAS
(HOM + MULH), OU SEJA, 0,6(72-X + 24)
72 - X = 0,6 . ( 72 - X + 24)
72 -X = 0,6 . ( 96 - X)
72 - X = 57,6 - 0,6X
0,4X = 14,4
X = 36 (36 homens saíram)...................letra "A"
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Sequências
30
56)
RES.; A diferença entre o lado esquerdo e o lado direito, multiplicado
pelo lado de baixo, produz o nº de dentro;
1º ......(21 – 13) x 5 = 40
2º.......(23 – 17) x 7 = 42
3º.......(19 – 7) x 3 = 36 ......letra “b”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Porcentagens/conjuntos
57) Caro Professor,
Caiu esta questão na prova da Refap(14/03/20010), não entendi como resolver,
poderia verificar, por favor.
Uma escola possui 1800 alunos dos quais 40% escolheram espanhol como
língua estrangeira, e 55% são do sexo masculino. Sabe-se que 30% das
mulheres escolheram espanhol como língua estrangeira. Desse modo, o número
de alunos do sexo masculino e que escolheram espanhol é igual:
A) 243
b)1112
c) 323
d) 477
E) 1250
31
RESOLUÇÃO:
Fazem Espanhol........................0,4 x 1800 = 720 pessoas
São Homens.............................0,55 x 1800 = 990
São Mulheres..........................0,45 x 1800 = 810 (ou o restante de 1800 – 990)
Mulheres que fazem Espanhol........0,3 x 810 = 243
Como são 720 PESSOAS que fazem espanhol e 243 são mulheres, os outros
Serão Homens.......................720 – 243 = 477 homens/espanhol (d)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
OUTRAS....sempre de acordo com o edital do TJ
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
razões e proporções.........................................................................................................
1) No departamento de expedições de uma empresa, 3 funcionários
resolvem dividir a confecção de “X” pacotes, de maneira
proporcional ao número de filhos de cada um e, ao mesmo tempo,
inversamente proporcional aos seus salários, que são R$ 1500,00,
R$1800,00 e R$2400,00, respectivamente. A Paulo, o primeiro deles,
que tem 5 filhos, coube a confecção de 60 pacotes.
Sabendo-se que Pedro, o 2°, tem 4 filhos e Miguel tem 6 filhos. ‘X’,
é, então, um valor entre:
a)
b)
c)
d)
e)
100 e 120
120 e 130
130 e 140
140 e 150
150 e 160
Resolução:
DP
a
5
4
6...............manténha
IP
a
1500
1800
2400...........inverta
............................................................................... ........ multiplique
DP
a
1/300
1/450
1/400
Como ao primeiro coube 60 pacotes, temos que “seu número”
multiplicado pelo CP dará 60:
32
1/300 x CP = 60 pacotes
CP = 18000
Agora, conhecendo o CP, vamos multiplicá-lo pelos outros para descobrir
quantos pacotes cabe a cada um deles;
1/450 x 18000 = 40 pacotes
1/400 x 18000 = 45 pacotes
Somando todos teremos o total de pacotes (X);
60 + 40 + 45 = 145 pacotes..............................................letra “D”
2)
Pense em dois números pares naturais. A soma deles é menor que
20. O produto dos dois é o dobro do quadrado do menor. A razão entre a
soma dos dois e o menor é 3. A diferença entre eles é maior que 5.
Calcule os números.
RESOLUÇÃO:
X e Y são os números, então da terceira informação tira-se que;
(X +Y) / X = 3......ou seja....X+Y = 3X.....
ou ...2X = Y...ou seja, um é o dobro do outro.
Daí podem ser: 1e2 ou 2e4 ou 3e6 ou 4e8 ou 5e10 ou 6e12 ou 7e14
ou.......etc, mas como sua soma é menor que 20 e maior
que 5, só pode ser o par 6 e 12
Obs: a outra informação levaria à mesma conclusão e um “sistema” não
resolveria o problema, pois as duas equações são equivalentes (a
mesma).
3)
Os dados na tabela abaixo foram divulgados pela ANP, na quinta,
2/10/2008.
Vale lembrar que os preços calculados pela ANP tratam-se de uma média
e podem variar conforme o posto.
ESTADO
Álcool(R$)
GASOL(R$)
Paraíba.................................1,88...............2,40
Pernambuco.........................1,86...............2,59
33
Rio Grande do Norte...........1,95...............2,67
Uma família viajando pelo nordeste, naquele dia, em um veículo
bicombustível, registrou, na tabela abaixo, três dos abastecimentos de
combustível que fez, mas se esqueceu de registrar a quantidade de litros
que foram colocados no tanque do carro, em cada abastecimento.
COMBUSTÍVEL
ESTADO
LITROS DE COMBUSTÍVEL
Gasolina..........................Paraíba......................................
Álcool..............................Pernambuco.............................
Gasolina...........................Rio Grande do Norte..............
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Total:
138,6
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Como a quantidade de combustível, em litros, colocada no tanque desse
veículo foi sempre proporcional ao preço do litro do combustível
escolhido para aquele abastecimento e o preço cobrado pelo litro de
combustível foi o que está registrado na tabela da ANP,quantos litros de
combustível foram colocados em Pernambuco?
a) 37,2
b) 46,2
c) 48,0
d) 53,4
e) 74,5
Resolução:
Deve-se achar, primeiramente o coeficiente de proporcionalidade. Ele
relaciona quantidade colocada com o preço do combustível e fornece a
soma das quantidades, então somamos os preços (2,40 + 1,86 + 2,67 =
6,93)
Daí, o CP será 138,6 : 6,93 = 20
Agora basta multiplicar o preço de “Pernambuco” por 20.
Quantidade colocada em PE = 1,86 x 20 = 37,2 litros...............alternativa a
34
4) Uma herança de R$ 4730000,00 será dividida entre Andre,Sônia
e Fabiano, em partes inversamente proporcional às suas idades.Sabendo
que eles tem respectivamente 50,40 e 16 anos ,quando receberá cada um
deles?
RESOLUÇÃO.:
Se a divisão fosse diretamente proporcional você dividiria o total a ser
dividido pela soma das idades, mas como [e inversamente proporcional
divida a quantia pela soma dos INVERSOS das idades, para achar o
coeficiente de proporcionalidade (CP). Depois disso, multiplique o CP
pelos inversos das idades.
Soma dos inversos das idades: 1/50 + 1/40 + 1/16 = 43/400
CP = 47300 dividido por 43/400 = 47300 x 400 / 43 = 440000
Agora multiplique pelos inversos das idades...
O primeiro receberá......440.000 x 1/50 = 8800
O segundo receberá.....440.000 x 1/40 = 11000
O terceiro receberá ......440.000 x 1/16 = 27500
5) Divida o numero 54 em partes inversamente proporcionais aos
números 1/2, 2/3 e 1/10..
RESOLUÇÃO.: mesmo procedimento....
CP = 54 dividido por 2 + 3/2 + 10 .....54/ 27/2.....54 x 2/27......= 4
Primeiro......4 x/2..........= 8
Segundo......4 x 3/2......= 6
Terceiro......4 x 10.......= 40
6)
Regras de três.............................................................................................
35
1-Uma impressora tem capacidade para imprimir 14 páginas por minuto
em preto e 10 páginas por minuto em cores. Quanto tempo outra
impressora levaria para imprimir um texto com 210 páginas em preto e 26
em cores, se sua capacidade de operação é igual a 80% da capacidade da
primeira?
(A) 16 minutos e 45 segundos.
(B) 20 minutos.
(C) 21 minutos e 25 segundos.
(D)) 22 minutos.
(E) 24 minutos e 30 segundos.
Resolução...........Regras de 3
Faça uma de cada vez...primeiro as páginas em preto, depois as
coloridas....
Preto:
tempo(min)
pag
capac
1
14
100
x
210
80
................................................................................................
*quanto mais tempo....mais páginas.......("pág" é Diretamente
prop....mantenha como está)
*quanto mais tempo....menor a capacidade ....(Capac. é Invers.
proporcional....inverta)
1/x
=
14/210 .
80/100
resolvendo......................x= 18,75 minutos
36
Coloridas:
tempo
pag
capac
1
10
100
x
26
80
.......................................................................
(mesmo julgamento da proporcionalidade feito acima)
1/x = 10/26 . 80/100
resolvendo...............x = 3,25minutos
Somando os tempos gastos....18,75 + 3,25 = 22 minutos
2) Uma pessoa faz um trabalho em 6 horas, porém quando é ajudada por
um amigo o serviço fica pronto em 4 horas. Se a primeira pessoa iniciar o
serviço e a segunda vier ajudá-la uma hora depois, o serviço (a parte feita
pelos dois) ficará pronta em:
a) 2h
b) 2h20min
c) 2h45min
d) 1h40min
e) 3h
Resolução:
Se o primeiro faz um serviço em 6h, então faz 1/6 do serviço a cada hora
e o outro faz 1/4 do serviço a cada hora. Como o primeiro já trabalhou
uma hora, antes de ser ajudado, ele já fez 1/6 do serviço, faltando
portanto fazer 5/6.
Daí: 1h----------1/6 +1/4 (os dois trabalhando juntos somam os esforços)
X-------------5/6
...........................................
1/x = (1/6 + 1/4)/5/6 ou
1/x = 5/12 / 5/6
1/x = 1/2
37
ou 1/x = 5/12 . 6/5
ou
daí, X = 2 h ............alternativa (a )
2)Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36m
de certo tecido. Podemos afirmar que para fazer 12m do mesmo
tecido, com o dobro da largura, 15 operários, trabalhando 6h por
dia, levarão quantos dias?
RESOLUÇÃO:
OPERÁRIOS
DIAS
HORAS
METROS
LARGURA
12
90
8
36
a
15
X
6
12
2a
90/x = 36/12 x 6/8 x 15/12 X a/2a
90/x= 3 x 3/4x 5/4 x 1/2
90/x = 45/32
x = 90 x 32 /45 = 64 dias
obs: Depois de colocados os dados deve-se julgar as grandezas, sempre
tendo como base a grandeza que contém a variável(no caso, dias gastos
para fazer o serviço).
Se foram gastos MAIS dias...............foram usados MENOS operários
(Grandezas inversas)
Se foram gastos MAIS dias..............foram usadas MENOS horas de
trabalho por dia(grandezas inversas)
Se foram gastos MAIS dias...............foram feitos MAIS metros do
tecido(grandezas diretas)
Se foram gastos MAIS dias...............foram feitos tecidos de MAIOR largura
(grandezas diretas)
38
Nas grandezas diretas mantêm-se as frações como estão e nas inversas,
invertemos as frações, como estão acima.
3) Sabe-se que, operando 5 horas por dia, uma máquina tira um certo
número de cópias em 6 dias. De quanto
deve ser aumentada sua capacidade operacional para que ela seja capaz
de tirar o mesmo número de cópias em
4 dias, operando 4 horas por dia?
(A) 93,5% (B) 90% (C) 83,5% (D) 85% (E) 87,5%
SOLUÇÃO
Temos um problema de regra de três composta,
Daí:
Nº horas por dia Nº dias Capacidade oper.
5
6
*100%
4
4
X
..........................................................................................
* como não é fornecida a capacidade inicial, supomos 100%
Análise individual da grandeza incógnita (capacidade operacional) com todas as
outras:
− Capacidade operacional é inversamente proporcional ao nº de dias (quanto
menor o número de dias,
maior deverá ser a capacidade operacional);
− Capacidade operacional é inversamente proporcional ao nº de horas por dia
(quanto menor o número
de horas por dia trabalhada, maior deverá ser a capacidade operacional).
Portanto,
100%/x = 4/5 . 4/6 (2/3)
100%/X = 8/15
X = 100% . 15/8
39
X = 187,5%
Logo, o aumento da capacidade operacional deverá ser
de 187,5% - 100% = 87,5%.
LETRA (E)
4) - Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade,
trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em
24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por
dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros,
em quantos dias a mesma obra ficaria pronta?
a) 24
b) 16
c) 30
d) 15
e) 20
RESOLUÇÃO: (REGRA DE TRÊS COMPOSTA)
T.............H/D...............D............P
50
8
24
100%
40
10
X
80%
..............................................................
24/X = 40/50 . 10/8 . 80/100
Resolvendo..........................................x= 30 dias (letra “C”)
5- Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se
apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque
encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for
40
aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se
as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao
máximo, em quanto tempo o tanque encherá?
a) 12 horas
b) 30 horas
c) 20 horas
d) 24 horas
e) 16 horas
RESOLUÇÃO: (REGRA DE TRÊS SIMPLES)
TEMPO...............QUANTIDADE/TANQUE
1h
1/24 + 1/48
X
( = 1/16)
1
..............................................................
x/16 = 1.................x = 16 h (letra “E”)
6) Um criador tem milho para alimentar 48 aves durante 12 dias. No fim de
dois dias ele compra mais 32 aves. Se a ração não é diminuída, quantos
dias deverá durar o milho restante?
RESOLUÇÃO:
O segredo está na expressão grifada acima. O problema começa quando
já haviam se passado dois dias, ou seja, quando havia
ração suficiente para apenas 10 dias, daí:
AVES
DIAS(duração da ração)
48..............10
80...............X
....................................
41
resolvendo.........................grandezas inversas..........10/X = 80/48..............X
= 6 dias
7)
Porcentagens.........................................................................................................
1) A produção de cana de açúcar no Piauí deverá crescer cerca de 12% na
safra deste ano, segundo levantamento do CONAB, provocando, como
consequência, um aumento na produção sucroalcooleira.
O levantamento parcial,segundo feito este ano pelo CONAB, estima que a
produção chegue a 840,4 mil toneladas de cana. Da colheita deste ano, eu começou
no mês de junho e prossegue até o final de novembro, a maior parte da cana, 812,7
mil toneladas,será destinada a produção de açúcar e álcool. O restante será
destinado a outros produtos. (internet, acesso em 31/10/2008)
Considere que a estimativa seja confirmada e que a produção de cana de açúcar
que foi destinada a outros produtos em 2007 tenha sido na mesma proporção
prevista para 2008. Nessas condições, em 2007, a cana de açúcar destinada a outros
produtos foi, em mil toneladas, um número:
a)menor que 58 b) entre 58 e 63 c) entre 63 e 68 d) entre 68 e 73 e) maior que 73
Resolução :
Os dados trazem, então, um acréscimo embutido de 12%. Se o original era “x”,
então cada dado é 1,12 . X (100% originais mais 12% de aumento).
Daí: Produção total.........1,12X = 890,4......X = 795 (em 2007)
42
Açúcar e álcool:......1,12X = 812,7......X = 725,6 (em 2007)
Para outros produtos.....o resto!! Ou seja: 795 – 725,6 = 69,4 mil toneladas
Alternativa d
2) Um número é reduzido em 55%, aumentado a seguir em 215% e
posteriormente, reduzido a 40% de seu valor atual, o resultado final é
1.134. Que número era esse, originalmente?
RESOLUÇÃO:
Reduziu 55%......................passa a ser 45% = 0,45
Aumentou 215%.................passa a ser 315% = 3,15
Reduziu “a” 40%................passa a ser 40% = 0,4
Se o número procurado é “X”, então seu valor final será calculado assim:
X . 0,45 . 3,15 . 0,4 = 1134 (informação)
Resolvendo a equação....................X = 2000
3) Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$
688,85. Qual era o preço do televisor antes do aumento?
Solução:
Seja P o preço antes do aumento de 15%. Temos que P × 1,15 = 688,85.
Assim, o preço P = 688,65 / 1,15 = 68865 / 115 = R$ 599,00.
4) . Os registros da Secretaria de Segurança mostraram que durante o
mês de fevereiro de 2007, em certo bairro, aconteceram 360
roubos e furtos de veículos. As anotações registram 135 roubos e furtos
de veículos importados. Tomando-se como base os
resultados dessas observações, espera-se que a ocorrência de roubos e
furtos de veículos importados no mês de março de
2007 seja de
(A) 37,25%
(B) 37,50%
(C) 38,00%
(D) 38,50%
(E) 38,75%
RESOLUÇÃO:
Veículos importados também são veículos!! Logo, foram contados nos
360 iniciais. Basta verificar, então, que percentual 135 é de 360. Para
43
saber o que um número é de outro, percentualmente.......dividimos um
pelo outro.
135 / 360 = 0,375 = 37,5%............letra “B”
Comentários: a questão apresenta elementos de Estatística, pois ocorre a
projeção de resultados de um período para outro. Rigorosamente, as
alternativas deveriam trazer na frente das taxas a expressão “do total de
veículos roubados”
5) A expectativa de uma pessoa passar em um concurso público,
sabendo que para o cargo que escolheu existem 20 vagas e
2.500 candidatos inscritos, é de 1 em
(A) 110
(B) 115
(C) 120
(D) 125
(E) 130
RESOLUÇÃO
A mesma idéia da questão anterior, basta dividir um pelo outro, não
efetuando a divisão, mas sim simplificando, pois as alternativas se
encontram na forma fracionária.
20 / 2500
= 2 / 250 = 1 / 125.............letra “D”
PROVA do Banco do Brasil (20/3/2011)
Resolução: Prof. Ivan Zecchin – [email protected] MATEMÁTICA E RACIOCINIO LÓGICO
31. Qual das expressões seguintes NÃO é equivalente a
0, 0000000625 ?
44
(A)
125/2
x
10-9
(B)
625
x
10-10
(C)
5/16
x
10-6
(D)
5/8
x
10-7
(E)
25/4
x
10-8
Resolução: (POTÊNCIAS)
O expoente negativo do 10 indica o número de casas que a
vírgula se deslocará para a esquerda. Para isso, acrescentamos
tantos zeros quantos forem necessários. Faremos a conta de
divisão, quando houver, e contaremos as casas. Observar que
os algarismos não mudam, mas tão somente a posição da
vírgula.
Analisando as alternativas....
(A) 125/2 x10-9 = 62,5 x 10-9 = 0,0000000625 (confere)
(B) 625 x10-10 = 0,000000625 ( confere)
(C) 5/16 x 10-6 = 0, 3125 x 10-6 = 0,0000003125 ( não confere)
(D) 5/8 x 10-7 = 0,625 x 10-7 = 0,0000000625(confere)
(E) 25/4 x 10-8 = 6,25 x 10-8 = 0,0000000625 (confere)
45
Comentário: A resposta era visível, uma vez que 5/16 = 0,3125,
ocorrendo a observação grifada acima.
Alternativa “C”
32) Relativamente aos tempos de serviço de dois funcionários
do Banco do Brasil, sabe-se que sua soma é 5 anos e 10 meses
e que estão entre si na razão 3 : 2.
Nessas condições, a diferença positiva entre os tempos de
serviço desses funcionários é de
(A) 2 anos e 8 meses.
(B) 2 anos e 6 meses.
(C) 2 anos e 3 meses
(D) 1 ano e 5 meses
(E) 1 ano e 2 meses
Resolução: (PROPORÇÕES)
5 anos e 10 meses = 70 meses
T1 / T2 = 3/2 e
CP = 70 / 5
T1 + T2 = 70
= 14
( a soma original ...T1 + T2 ... dividida pela soma simplificada...3+5)
Agora, multiplique cada número simplificado pelo CP.
T1 = 3 x 14 = 42 meses
T2 = 2 x 14 = 28 meses
46
Diferença.........14 meses = 1 ano e 2 meses
Obs: o problema também poderia ter sido resolvido pelo Sistema
de Equações:
T1 / T2 = 3/2
T1 + T2 = 70
..........................
Alternativa
“E”
33) Se x e y são números inteiros tais que x é par e y é impar,
considere as seguintes afirmações :
I - x + y é ímpar.
II - x - 2y é ímpar.
III - (3x) . (5y) é ímpar.
É correto afirmar que
(A) apenas I e II são verdadeiras.
(B) apenas II e III são verdadeiras
(C) I, II e II são verdadeiras
(D) I , II e II são falsas
(E) apenas I é verdadeira
Resolução: (NÚMEROS NATURAIS – PARIDADE)
Observações...
1234-
A soma de dois pares é sempre par.
A soma de dois ímpares é sempre par.
A soma de par com ímpar é sempre ímpar.
Todo nº natural multiplicado por 2, fica par.
47
5- Somente são classificáveis como par ou ímpar, os números
Naturais .....{0, 1, 2, 3, 4, 5,.....}
6- Um par, multiplicado por qualquer outro natural, fica par
7- Um ímpar, multiplicado por um par, fica par, mas multiplicado
por um ímpar, fica ímpar.
Daí...
I-
x + y é ímpar. Verdade, observação 3, acima.
II x - 2y é ímpar. Falso, pois pode dar negativo, portanto
nem par nem ímpar, observação 5, acima. Além disso, a
diferença entre dois pares, quando não for negativa, será par.
III (3x) . (5y) é ímpar. Falso, pois a expressão é
equivalente a 15 . x.y sendo que x.y é par (observação 7) e 15
vezes um par é par (observação 7)
Alternativa “E”
34) Palmira faz parte de um grupo de 10 funcionários do Banco
do Brasil cuja média das idades é 30 anos. Se Palmira for
excluída do grupo, a média das idades dos funcionários
restantes passa a ser 27 anos. Assim sendo, a idade de Palmira,
em anos, é
(A) 60
(B) 57
(C) 54
(D) 52
(E) 48
Resolução: (MÉDIA ARITMÉTICA)
Se a média das idades dos 10 funcionários é 30 anos, então a
soma das 10 idades ( ∑(10 idades) ), dividida por 10, dará 30.
∑(10 idades) / 10 = 30
48
Daí, ∑(10 idades) = 300
Se uma pessoa de X anos se retira a média passa a 27.
- se sai uma pessoa......ficam 9.
- se diminui X anos de 300....ficam (300 – X ) anos ( a soma ).
A nova média, então, será....( 300 – X ) / 9 que dará 27
( 300 – X ) / 9 = 27
300 – X = 243
X = 300 – 243
X = 57 anos ( idade de Palmira)
Alternativa “B”
36) Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação em
que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados
em 20%. Se ao encerrar a liquidação
o comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preços
anteriores aos dela, então os preços oferecidos na liquidação
devem ser aumentados em
(A) 18,5%
(B) 20%
(C) 22,5%
(D) 25%
(E) 27,5%
Resolução: PORCENTAGENS
49
Supondo que o preço era de 100, teremos que a redução foi de
20% de 100, que corresponde a 20, ou seja, o produto passou a
custar 80.
Para voltar a custar 100, deve-se aumentar 20 em 80,ou seja,
25%.
Observação: Para saber o que um número representa de outro,
percentualmente, DIVIDA-OS !
20/80 = 0,25 = 25%
Alternativa “D”
Poderíamos, ainda, ter usado a fórmula dos reajustes
sucessivos..
IACUMULADA = ( 1 + i1 ) . ( 1 + i2) . ..... – 1
Como o valor final é o mesmo que o inicial, nesse problema, a
taxa acumulada será “0”. Uma taxa significará a redução de
20% (negativa) e a outra, o aumento (x).
0 = ( 1 – 0,2) . ( 1 + x) – 1
( 1 – 0,2) . ( 1 + x) = 1
1 + x = 1/0,8
1 + x = 1,25
X = 0,25 = 25%
Alternativa “D”
37) Josué e Natanael receberam, cada um, um texto para
digitar. Sabe-se que:
50
- no momento em que Josué iniciou a digitação das páginas de
seu texto, Natanael já havia digitado 5 páginas do dele;
- a cada 15 minutos, contados a partir do inicio da digitação de
Josué, Natanael digitou 2 páginas e Josué 3.
Nessas condições, a quantidade de páginas que Josué deverá
digitar para igualar àquela digitada por Natanael é um número
(A) divisível por 4
(B) maior que 25
(C) menor que 16
(D) primo
(E) quadrado perfeito
Resolução: EQUAÇÕES/Linguagem matemática
A partir do início da digitação por Josué, temos que:
Natanael digitou 2 páginas a cada 15 minutos, ou seja, 8
páginas por hora ( cada hora tem 4 blocos de 15 minutos).
O nº de páginas digitadas por Natanael (PNat) em um tempo (t)
medido em horas, será então:
PNa = 8 . t + 5 ( no momento em que Josué iniciou a digitação
das páginas de seu texto, Natanael já havia digitado 5 páginas
do dele, por isso o “ + 5”) )
Josué digitou 3 páginas a cada 15 minutos, ou seja, 12 páginas
por hora
O nº de páginas digitadas por Josué ( PJos), em um tempo (t)
medido em horas, será então:
51
PJos = 12 . t
Os números de páginas digitadas pelos dois serão iguais
quando:
PNa
= PJos
8t + 5 = 12t
4t = 5
t = 5/4
t = 1,25 horas
O problema pede o nº de páginas que Josué deverá digitar:
PJos = 12 . t
PJos = 12 . 1,25
PJos = 15 páginas
Alternativa “C”
38) O valor da expressão ( A2 – B3 )
/(A
B
B = -1, é um número compreendido entre:
(A)
(B)
-2 e 1
1 e
4
(C)
4 e 7
(D)
7 e 9
(E)
9 e 10
52
+ BA ) , para A = 2 e
Resolução: EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Substituindo A por 2 e B por -1, teremos...
( 22 – (-1)3 ) / ( 2-1 + (-1)2 ) = ( 4 – (-1) ) / ( 1/2 +1 ) =
= 5 / 3/2 = 5 . 2/3 = 10/3 = 3,3333...
Alternativa “B”
39) Considere que os termos da sequência seguinte foram
sucessivamente obtidos segundo determinado padrão:
( 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, ...... )
O décimo termo dessa sequência é
(A) 1537
(B) 1929
(C) 1945
(D) 2047
(E) 2319
Resolução: SEQUÊNCIAS
Observe os “aumentos” de um termo para o seguinte..
4...8....16....32....64....128....
São potências de 2
22....23....24....25....26....27....os próximos aumentos serão..28..29..
A partir do 7º termo da sequência dada (255) adicionamos
28 ( 256) para o 8º termo, obtendo 511, adicionamos 29 ( 512) a
511 e obtemos o 9º termo, 1023 e, finalmente, adicionamos 210
53
( 1024) a 1023 e obtemos o 10º termo........2047.
Alternativa “D”
Também poderíamos ter feito de outra forma, observando que
os “aumentos” formam uma PG de razão 2 e primeiro termo 22.
Como serão 10 termos, existirão 9 razões.
Somando as 9 razões e somando ao primeiro termo, teremos o
10º termo.
Somando as 9 razões..
Sn = a1 . (qn – 1) / (q – 1 )
fórmula da soma dos termos de uma P.G.
finita
Sn = 22 . ( 29 – 1) / (2 – 1)
Sn = 4 . ( 512 – 1) / 1
Sn = 4 . 511
Sn = 2044
Somando ao primeiro termo, teremos o 10º termo (a10)....
a10 = 3 + 2044 = 2047
Alternativa “D”
...................................xxxxxxxxx...............................
BANCO DO BRASIL -2006- FCC – ESCRITURÁRIO
PROPORÇÕES................................................
54
1. Três pessoas formaram, na data de hoje, uma sociedade com
a soma dos capitais investidos igual a R$ 100 000,00. Após um
ano, o lucro auferido de R$ 7 500,00 é dividido entre os sócios
em partes diretamente proporcionais aos capitais iniciais
investidos. Sabendo-se que o valor da parte do lucro que coube
ao sócio que recebeu o menor
valor é igual ao módulo da diferença entre os valores que
receberam os outros dois, tem-se que o valor do capital inicial
do sócio que entrou com maior valor é
(A) R$ 75 000,00
(B) R$ 60 000,00
(C)) R$ 50 000,00
(D) R$ 40 000,00
(E) R$ 37 500,00
São 3 sócios; A, B e C. Vamos supor que A é o que recebe
menos e C, o que recebe mais.
O texto informa que “A” recebe tanto quanto a diferença
positiva dos que recebem os outros dois.
Assim sendo, teremos:
A=C–B
Ou seja, C = A + B
Se “C” recebe tanto quanto os outros dois juntos, então ele
recebe a metade da quantia total. Como a divisão dos R$
100.000,00 é proporcional aos lucros recebidos, “C” terá
investido a metade do total, ou seja, R$ 50.000,00.
Gabarito: C
_FUNÇÃO DO 2º GRAU,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
55
2. Depois de várias observações, um agricultor deduziu que a
função que melhor descreve a produção (y) de um bem é uma
função do segundo grau y = ax² + bx + c, em que x corresponde
à quantidade de adubo utilizada. O gráfico correspondente é
dado pela figura abaixo.
Tem-se, então, que:
(A)) a = −3, b = 60 e c = 375
(B) a = −3, b = 75 e c = 300
(C) a = −4, b = 90 e c = 240
(D) a = −4, b = 105 e c = 180
(E) a = −6, b = 120 e c = 150
Temos, no gráfico, dois pares ordenados da função. O par ( 10 ,
675 ) e o par ( 25 , 0 ) representando valores de “x” e “y”,
respectivamente, em cada par. Quando substituímos o “x” na
função,obtemos sua imagem, ou seja, o “y”
Além disso, o par ( 10 , 675 ) é o Vértice
( máximo) da função, onde a coordenada “x” é calculada
fazendo-se .... – b/2a.
Temos, então, que - b/2a = 10, ou seja,
56
b = - 20a
Quando x = 25, y = 0
a . 25² + b . 25 + c = 0
625a + 25b + c = 0.......(I)
Quando x = 10, y = 675
a . 10² + b . 10 + c = 675
100a + 10b + c = 675.......(II)
Formando um sistema com (I) e (II) e subtraindo a segunda da
primeira...
625a + 25b + c = 0
100a + 10b + c = 675
...........................................
525a + 15b = - 675
Como b = - 20a
525a + 15 . ( -20a) = - 675
525a – 300a = - 675
225a = - 675
a=-3
Daí, b = - 20 . ( -3).........b = 60
Gabarito: A
Outra forma
(Raciocínio....)
Se uma raiz é 25 e o “x” do vértice é 10, então a outra raiz será
-5 ( pois são simétricas em relação ao vértice).
57
Daí, sua soma será....-5 + 25 = 2 e seu produto será -5.25 = 125.
Lembrando que a soma das raízes é –b/a e o produto é c/a, basta
testar as alternativas.
Letra “A”: -b/a = - 60/-3 = 20 e
c/a = 375/-3 = - 125
Pronto ! é essa alternativa !....”A”
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17) Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar
R$ 688,85. Qual era o preço do televisor antes do aumento?
Solução: - Porcentagens
Seja P o preço antes do aumento de 15%. Temos que P × 1,15 =
688,85. Assim, o preço P = 688,65 / 1,15 = 68865 / 115 = R$
599,00.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>Preço de venda, Custo e Lucro
32)Uma determinada linha de produtos de uma loja, por
restrições legais, não pode ser comercializada por preços
superiores a 30% sobre o preço de venda. Sendo assim, calcule
o preço máximo de venda de um produto dessa linha que foi
comprado por R$200,00.
RES: Ele quer saber o preço de venda.
PREÇO DE VENDA(V) = PREÇO DE CUSTO(C) + LUCRO(L)
O lucro pode ser baseado no custo ou na venda e nesse caso é
sobre a venda,,,
,L = 0,3.V
Substituindo na relação acima....
58
V = 200 + 0,3.V
V - 0,3V = 200
0,7V = 200
V = 200/0,7
V = 285,71
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>LÓGICA PROPOSICIONAL
Introdução:
EM UM ENCADEAMENTO DE FRASES (ARGUMENTOS) :
( com conectivos )
1- se uma frase com "e" é verdadeira........as duas partes que a
compões serão verdadeiras.
Ex: Se a frase “ Paulo estuda e João dorme” for “V”, então será
verdade que “Paulo estuda” e será verdade que “João dorme”
2- se uma frase com "ou" é verdadeira E uma parte é falsa, então a
outra parte será verdadeira.
Ex: Se é verdade que “Maria viaja ou Ana canta.” E é falso que Ana
canta, então será verdade que “Maria viaja.”
O texto poderá informar que “Ana canta” é falso dizendo que “Ana não
canta “ é verdade.
3- se uma frase com o "então" é verdadeira e a PRIMEIRA parte é
verdadeira, então a segunda parte também será verdadeira.
Ex: Se é verdade que “Se Pedro nada, então Ana dança” e for verdade
que “Pedro nada”, será verdade que “Ana dança”
4 se uma frase com o "então" é verdadeira e a SEGUNDA parte é
falsa, então a primeira pare também será falsa.
Ex: Se for verdade que “Se Jair trabalha,então Jorge viaja” e for falso
que “Jorge viaja”, será falso que “Jair trabalha”. Nesse caso, a
conclusão será que “Jair não trabalha”
59
5- Se uma frase com o "se e somente se" for verdadeira, quando uma
parte for falsa a outra também será e quando uma parte for
verdadeira, a outra também será.
Ex : Se for verdade que “ Gustavo perde o jogo, se e somente se, Ana
grita” e for verdade que “Ana grita”, será verdade que “Gustavo perde
o jogo”
Obs: em um encadeamento de frases (ARGUMENTO) as frases
informativas (premissas) sempre são admitidas como verdades.
Logo, em um argumento as regras citadas acima sempre poderão ser
aplicadas..
TABELA DE VALORAÇÕES ( para julgamento de Proposições
Compostas)
P Q ~P ~Q
V V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V V
P^Q
V
F
F
F
PVQ
V
V
V
F
pұQ
F
V
V
F
P→Q
V
F
V
V
P↔Q
V
F
F
V
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
Julgamento de Proposições compostas
Date: Tue, 14 Oct 2008 22:18:34 -0200
FromSubject: dúvida de Raciocínio Lógico
-Professor, estou com outra dúvida
Questão
-JULGUE O ITEM:
.A proposição
" Se 9 for par e 10 for ímpar, então 10<9" é uma proposição
valorada como F.
Resolva para mim.
Olá.
A proposição é uma condicional e a primeira parte é uma conjunção(frase
com o conectivo "e").
9 é par é falso e 10 é ímpar é falso. No "e", F com F, é F. Daí, a primeira
60
parte da condicional é "F", e a segunda parte ( 10 < 9 ) é F também. Então
a condicional é verdadeira, pois F com F, é V . O item está ERRADO.
Entendeu?
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
Argumentos................................
Date: Wed, 22 Oct 2008 10:59:55 -0200
From: [email protected]
To: [email protected]
Subject: Questões de raciocínio lógico - explicação
Olá prof. Ivan.
Gostaria muito de ter a explicação das respostas das questões abaixo:
- Antonio é baiano ou Catarina é catarinense. Se Clotilde é capixaba,
então Gisele não é gaúcha. Se Catarina é catarinense, então Gisele é
gaúcha. Ora, Clotilde é capixaba, logo:
a) Catarina é catarinense ou Gisele é gaúcha.
b) Antonio é não-baiano e Catarina é catarinense.
c) Antonio é baiano e Catarina não é catarinense.
d) Gisele é gaúcha e antonio é baiano.
e) Clotilde é capixaba e Gisele é gaúcha.
Regras de inferência da condicional. SE "P", ENTÃO "Q".
1- Se "P" for verdade, 'Q' também será.
2- Se "Q" for falsa, "P" também será.
Não valem as recíprocas.
Regra de inferência da disjunção.(OU)
1- se uma das partes é "F", aoutra parte é "V".
Daí:
Se é verdade que clotilde é capixaba será verdade que Gisele não é
gaúcha(frase2). Se Gisele é gaúcha é falso, então Catarina é catarinense
também será falsa(frase3), de onde obtemos que Antonio é baiano é
verdade(frase1).
Resposta: c
...................................................................................................
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
Argumentos....................................
61
Professor, se eu não conseguir fazer essa questão, não vou conseguir dormir !
27- (CESPE)
I- Considere o argumento seguinte E julgue os itens I e II a seguir::
Toda prestação de contas submetida ao TCU que expresse, de
forma clara e objetiva, a exatidão dos demonstrativos contábeis, a
legalidade, a legitimidade e a economicidade dos atos de gestão do
responsável. é julgada regular. A prestação de contas da Presidência da
República expressou, de forma clara e objetiva, a exatidão dos
demonstrativos contábeis, a legalidade, a legitimidade e a economicidade
dos atos de gestão do responsável. Conclui-se que a prestação de
contas da Presidência da República foi julgada regular.
Nesse caso, o argumento não é válido.
II- Considere o argumento seguinte:
Cada prestação de contas submetida ao TCU que apresentar ato
antieconômico é considerada irregular. A prestação de contas da
prefeitura de uma cidade foi considerada irregular. Conclui-se que a
prestação de contas da prefeitura dessa cidade apresentou ato
antieconômico.
Nesse caso, o argumento é válido.
As regras que comprovam se um argumento é válido ou não são as
"Regras de inferência"
As da condicional são:
1) Se a primeira parte for "V", a segunda também é "V". (e NÃO VALE a
recíproca)
2) Se a segunda parte for "F", a primeira também é "F". (e NÃO VALE a
recíproca)
Lembre-se que "Se A, então B" é a mesma coisa que "Todo A é B" ou
“Cada A é B”
Na segunda questão enviada - item I - ele escreve:
"Toda prestação....................é julgada regular.
Depois ele confirma a primeira parte.
Daí, é correto confirmar a segunda (regra "1" acima)
Por isso o argumento é VÁLIDO.
Como ele diz que é inválido, o item está errado.
No item II, ele coloca outra condicional e confirma, a seguir , a segunda
parte. Como conclusão ele confirma a primeira parte, tendo usado ,
assim, a recíproca da regra "1".Por isso o argumento não é válido.
Como ele diz que é válido,o item está errado.
Pronto, agora vá dormir!!
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Verdades e mentiras........................
From: [email protected]
To: [email protected]
Subject: CPC
Date: Thu, 27 Aug 2009 01:26:26 +0300
Boa noite Prof Ivan!
Aluna: Curso MPU/........................................................................Porto Alegre
Para iniciar posso lhe dizer que estás quase operando um milagre,
pois detestava raciocínio lógico até participar de suas aulas. Parabéns por sua
didática, sinto que estou evoluindo muito, entretanto, como nada é perfeito, cá
estou "empacada" na questão 42, pág 6 (verdades e mentiras)do poligrafo de
exercícios, ficarei muito grata se puderes me explicar como encontro a solução.
Bom trabalho!
Att.
L............................
1-"Três bolas I, II e III são pintadas de vermelho ou preto ou branco. Das
afirmações abaixo, somente uma é verdadeira:
1º - Abola III não é preta
2º - A bola II não é vermelha
3º - A bola I é vermelha
Quais as cores das bolas I, II e III, respectivamente?"
Lembre-se que se uma afirmativa é falsa......sua negativa é verdadeira.
Vamos testar.....(regra da Contradição)
Considerando a afirmativa 1 como verdadeira, teremos:
Se a afirmativa 1 for verdadeira ( e as outras duas falsas).....
. a bola III é vermelha ou branca
. a bola II É vermelha ( logo a III é branca)
.a bola I não é vermelha. (logo, só pode ser preta)
Veja.......tudo compatível.....então é isso!!! I-preta....II-vermelha.....IIIbranca
Se tivéssemos testado outra possibilidade quelquer a respeito de qual
afirmativa seria verdadeira teria dado
uma contradição (impossibilidade), por exemplo:
a segunda é verdadeira (e logo, a 1 e a 3 seriam falsas)
63
. a bola III é preta.
. a II é branca (pois não é vermelha e nem pode ser preta, pois a I é preta)
a bola I nãoé vermelha..........ERRADO, CONTRADIÇÃO....pois ela tem de
ser vermelha (a única que sobrou)
Portanto.......letra..."B"
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__;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
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Proposições equivalentes.............................
-From:
To: [email protected]
Subject: Dúvida
Date: Tue, 14 Oct 2008 23:07:01 -0200
Ola Professor Ivan,
Fui sua aluna no processos/DF no ano passado, estou retomando os estudos e
tenho algumas dúvidas,
como o Sr. passou seu email naquela época, ficou aqui guardado:
são três itens de uma prova do CESPE - MRE (raciocínio Lógico) Bom Prof.
Ivan, se puder me responder ficarei muito agradecida.
Desde já agradeço à atenção.
Boa Noite.
item 77
As proposições compostas A->(¬B) e B->(¬A) têm
exatamente os mesmos valores lógicos, independentemente
das atribuições V ou F dadas às proposições simples A e B. ( )
OBS(da aluna): Mesmo invertidas elas têm o mesmo valor? É simples
resolver?
OLÁ, SEGUEM COMENTÁRIOS...
Claro que poderíamos construir as tabelas de valorações para as duas
proposições e verificar se são idênticas ( caso em as proposições seriam
equivalentes, ou seja, teriam os mesmos valores lógico, sempre). MAS...
Duas proposições são equivalentes (têm as mesmas valorações) quando
64
têm a MESMA NEGATIVA.
A negativa da primeira é A e B, e da segunda é B e A, que são a mesma
coisa. portanto,o item está certo.
(lembre-se das fórmulas de negação)
..............................................................................................................................
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.
.
item 78
Considere como premissas as seguintes proposições:
— “Ou o candidato é brasileiro nato ou o candidato
não pode se inscrever no concurso para ingresso na carreira
diplomática.”
— “O candidato não pode inscrever-se no concurso para
ingresso na carreira diplomática.”
Nesse caso, obtém-se uma argumentação lógica correta se
for apresentada como conclusão a proposição: “O candidato
não é brasileiro nato.” ( )
OBS( da aluna):
Esse eu ainda acredito que esteja certo, não
consegui entender o porque de estar errado!
O CESPE não diferencia o OU..OU.. do "OU". E. a regra de inferência do
"ou" diz que, se uma parte é falsa. a outra é verdadeira e NÃO VALE O
CONTRÁRIO (a recíproca), que é exatamente o que ele faz. A veracidade
de uma parte, nas disjunções (frases com o conectivo "OU") não
garantem a falsidade da outra parte. Por isso o item está errado.
Obs: a ESAF diferencia o “ou” do “ou....ou...”
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item 80
Considere que as premissas de um argumento incluem a
proposição: “O barão do Rio Branco foi professor e San
Tiago Dantas foi advogado”. Nesse caso, a proposição “Se
San Tiago Dantas não foi advogado, então o barão do Rio
Branco foi professor” é uma conclusão que torna o
argumento correto.
OBS( da aluna): A dúvida com relação a esse tipo de questão é se a
"ordem dos fatores altera o produto",
A então B, e B então A, significam a mesma coisa?
A primeira frase tem o conectivo "e". Daí, as duas partes que a compõe
são verdadeiras, pois uma frase com o "E" só é verdadeira quando as
duas partes o são.
Sendo assim, a primeira parte da conclusão, que é uma condicional,
65
torna-se falsa. Portanto a condicional é verdadeira, o que torna o
argumento válido (CORRETO).
Sobre a dúvida em negrito, acima, saiba que o único conectivo em que
NÃO VALE a propriedade comutativa, é justamente o “Se....,então....”.
Qualquer dúvida...............retorne.
professor, muito obrigada, você é demais.
Obrigado!
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Reconhecimento de uma proposição..................................
Prezado Professor, tudo bem?
Fui seu aluno no Instituto Processus/DF.
Escrevo-lhe para perguntar se as seguintes questões que caíram na prova do
STJ, Técnico Judiciário /Area: Administrativa, estão corretas ou não.
Se for possível, poderia explicá-las?
6-Questão 45 (STJ...2008)
Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições.
A: 12 é menor que 6.
B: Para qual time você torce?
C: x + 3 > 10
d: Existe vida após a morte.
Uma proposição é uma frase passível de julgamento em V ou
F, mas nunca ambos. Não pode ser interrogativa , nem
exclamativa, nem Imperativa. Deve ser declarativa, ou seja,
fazer uma afirmação sobre algo ( precisa ter VERBO). Não pode
ter variáveis. Encaixam-se nesses moldes, na questão 45, A e D.
ITEM CORRETO
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Regras de Inferência........................................
7)
"Se Rodolfo é mais alto que Guilherme, então Heloísa e Flávia têm
a mesma altura. Se Heloísa e Flávia têm a mesma altura, então
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Alexandre é mais baixo que Guilherme. Se Alexandre é mais baixo que
Guilherme, então Rodolfo é mais alto que Heloísa. Ora, Rodolfo não é
mais alto que Heloísa. Logo,
(A) Rodolfo não é mais alto que Guilherme, e Heloísa e Flávia não têm a
mesma altura.
(B) Rodolfo é mais alto que Guilherme, e Heloísa e Flávia têm a mesma
altura.
(C) Rodolfo não é mais alto que Flávia, e Alexandre é mais baixo que
Guilherme.
(D) Rodolfo e Alexandre são mais baixos que Guilherme.
(E) Rodolfo é mais alto que Guilherme, e Alexandre é mais baixo que
Heloísa."
RESOLUÇÂO:
As regras são o melhor caminho. Em uma condicional (Se....,então....)
quando a segunda parte é falsa (é negada, não ocorre...), então a
primeira parte também será falsa. O texto tem 4 frases (afirmativas)
e três delas são condicionais. A última é uma afirmativa direta.
Começaremos de baixo para cima (transcrevi as frases abaixo)
Rodolfo não é mais alto que Heloísa
A verdade é que “Rodolfo não é mais alto que Heloísa”
Se Alexandre é mais baixo que Guilherme, então Rodolfo é mais alto
que Heloísa
A verdade anterior torna a segunda parte dessa condicional, falsa. Daí
também será falsa a primeira parte. Logo é falso que “Alexandre é
mais baixo que Guilherme” então a verdade é que “Alexandre não é mais
baixo que Guilherme” o que contraria a segunda parte da frase a
seguir
Se Heloísa e Flávia têm a mesma altura, então Alexandre é mais baixo
que Guilherme
67
Se a segunda parte não ocorre, a primeira parte também não ocorre.
Logo, “Heloísa e Flávia têm a mesma altura” é falso e a verdade será
que “Heloísa e Flávia NÃO tem mesma altura.” O que nega a segunda
parte da frase abaixo...
Se Rodolfo é mais alto que Guilherme, então Heloísa e Flávia têm a
mesma altura.
Se a segunda parte é falsa, a primeira também será, logo “Rodolfo é
mais alto que Guilherme” é falsa e a verdade será que “ Rodolfo não é
mais alto que Guilherme”
As frases ressaltadas acima são as verdades extraídas do texto.
1-Alexandre não é mais baixo que Guilherme
2-Heloísa e Flávia NÃO tem mesma altura
3-Rodolfo não é mais alto que Guilherme
interpretações
De “1” tiramos que Alexandre é mais alto que Guilherme ou tem a
mesma altura
De “2” tiramos que Heloísa é mais alta ou mais baixa que Flávia.
De”3” tiramos que Rodolfo é mais baixo que Guilherme ou tem a mesma
altura.
A alternativa “A”,no entanto, vem com as duas verdades “2”e”3” e é,
portanto, a alternativa verdadeira.
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Verdades e Mentiras
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50(STJ....2008).......................................lógica,verdades e mentiras
68
8)Considere que João e Pedro morem em uma cidade onde cada um dos
moradores ou sempre fala a verdade ou sempre mente e João tenha feito
a seguinte afirmação a respeito dos dois: "Pelo menos um de nós dois é
mentiroso". Nesse caso, a proposição "João e Pedro são mentirosos" é V.
Duas pessoas pode assumir 4 situações quanto às suas naturezas: VV,
VF, FV ou FF.
Analisando cada caso;(considerando a declaração "pelo menos um de
nós mente")
1) VV.....nenhum mente, logo a declaração seria incompatível com a
natureza do primeiro.
2) VF.....um deles mente (o segundo) logo o primeiro poderia ter dito a
frase acima
3) FV....um deles mente (o primeiro) logo a declaração não poderia ter sido
dita p/primeiro.
4) FF.... os dois mentem, logo a declaração não poderia ter sido dita pelo
primeiro
Daí, o primeiro é V e o segundo é F.........item ERRADO.
Um abraço,
....................................................................................
Ainda sobre “
Verdades e Mentiras”..
69
2. Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei, acusados de
haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão
baixo que o rei que era um pouco surdo não ouviu o que ele disse. Os
outros quatro acusados disseram:
Bebelim: Cebelim é inocente.
Cebelim: Dedelim é inocente.
Dedelim: Ebelim é culpado.
Dedelim: Ebelim é culpado.
Ebelim: Abelim é culpado.
O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos
cinco acusados, disse então ao rei: Majestade, apenas um dos cinco
acusados é culpado, e ele disse a verdade; os outros quatro são
inocentes e todos os quatro mentiram. O velho rei, que embora um pouco
surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era:
a) Abelim
b) Bebelim
c) Cebelim
marquei a letra c, está certo?
d) Dedelim
e) Ebelim
CERTOOOOO!!!
ABAIXO, duas divertidas resoluções(estruturas lógicas)
Note que, nesse caso:
Culpado=veraz e inocente=mentiroso
Resolução-1
Uma pessoa veraz poderia dizer que um mentiroso é veraz? Claro que
não, pois ele estaria mentindo! Então o culpado não poderia acusar outro
de ser culpado!
Portanto, Dedelim e Cebelim não podem ser culpados, logo são
inocentes, e a declaração de Cebelim torna-se verdadeira (Dedelim é
inocente), então ele – Cebelim – é o culpado!
Resolução-2
Supondo Abelim culpado: Ebelim estaria dizendo a verdade e,
portanto, seria culpado, e isso é impossível, pois só há um
culpado. Abelim é, então, inocente.
Supondo Bebelim culpado: Cebelim estaria dizendo a verdade (pois se
Bebelim é culpado, todos os outros são inocentes ) e também
seria culpado, o que é impossível.
Supondo Cebelim culpado:
Todos os outros são inocentes e as declarações são compatíveis!
4. Supondo Dedelim culpado: Sua
declaração seria verdadeira, logo
Ebelim também seria culpado, o
que é impossível.
70
5.Supondo Ebelim culpado: Sua
declaração seria verdadeira, logo Abelim também seria culpado, o
que é impossível.
Cebelim é, então, o culpado
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;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; Verdades e Mentiras
CPC - Santo Ângelo/RS.............................................Ah ! Sto Ângelo...
De:
[email protected])
Enviada:terça-feira, 5 de maio de 2009 13:18:44
Para: [email protected]
Prof. Ivan, não consegui fazer o exercício . nº 53 (2ª lista) referente a verdade
e mentira da empresa dos andróides.
Peço a sua ajuda para resolvê-los.
Um abraço,
Olá, aí vai a resolução da sua dúvida. Abço.(estruturas lógicas)
3-(ESAF)Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que
sempre dizem a verdade e os de tipo M, que sempre mentem. Dr Turing,
um especialista em inteligência artificial, está examinando um grupo de
cinco andróides, rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon, para
saber, quantos dentre os cinco são verazes.Ele pergunta a Alfa: “Você é
do tipo M?” Alfa responde, mas Dr Turing, distraído, não ouve a resposta.
Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações:
# Beta: “Alfa respondeu que sim.”
# Gama: “Beta está mentindo.”
# Delta:” Gama está mentindo.”
# Épsilon: “ Alfa é do tipo M.”
Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr Turing pôde,
então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V,
naquele grupo, era igual a:
71
(A) 1
(B)2
(C))3
(D)4
(E)5
Resol:
A resposta à pergunta " Você mente?" é sempre NÃO(*). Daí, o doutor
sabe que ALFA respondeu NÃO.
Beta disse que Alfa respondeu SIM......................então Beta é do tipo M
(pois mentiu)
Gama disse que Beta mente..................................então Gama é do tipo V
(pois disse uma verdade)
Delta disse que Gama mente.................................então Delta é do tipo M
(pois mentiu)
Épsilon acusa Alfa de ser mentiroso e não sabemos o que Alfa é.
Porém, sempre que ocorre essa acusação, sabemos que um dos dois é
mentiroso e o outro é Veraz(**). daí,
ou Beta ou Épsilon diz a verdade (só um dos dois). Como já havia um
veraz (lá em cima!, o Gama!) então totalizam
2 verazes.
Comentários:(*) Se a pergunta "Você mente?" é feita para um Veraz, ele
dirá a
verdade,ou seja.....Não!
Se a pergunta é feita para quem mente, ele mentirá, e
dirá.......................................Não!
(**) Imagine "A" acusando "B" de ser mentiroso.
Se "B" realmente o for, "A" terá dito a verdade!
Se "B" não o for, "A" terá mentido!
Daí, conclui-se que a acusação "Ele mente" revela que o
acusado e o acusador sempre têm naturezas opostas, um é "V" e o outro
é "F".
Sem o conhecimento desses casos seria difícil resolver o
problema.
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Questões resolvidas de Rac.Lógico (regras de Inferência)
72
Carmen, Gerusa e Maribel são suspeitas de um crime. Sabe-se que o
crime foi cometido por uma ou mais de uma delas, já que podem ter agido
individualmente ou não. Sabe-se que, se Carmen é inocente, então
Gerusa é culpada. Sabe-se também que ou Maribel é culpada ou Gerusa é
culpada, mas não as duas. Maribel não é inocente. Logo:
a) Gerusa e Maribel são as culpadas
b) Carmen e Maribel são as culpadas
c) somente Carmen é inocente
d) somente Gerusa é culpada
e) somente Maribel é culpada
Bom, espero que você se lembre das regras:(em todo caso vou relembrálas)
1) Em uma condicional(se....então...) se a primeira parte é "V", então a
segunda também é "V".
2) Em uma condicional(se ...então...) se a segunda parte é "F", então a
primeira também é "F".
3) Em uma disjunção(Ou...ou.....) se uma parte é "F",a outra parte é "V" e
se uma é "V", a outra é "F".
No problema acima, sabemos que "maribel é culpada"(pois não é
inocente - última frase). Daí, a primeira parte da frase com ou..ou... é
verdadeira, logo a segunda é falsa (Gerusa é culpada é
"F")............................então Gerusa é inocente. (regra 3).
Na primeira frase (condicional) do texto, a segunda parte torna-se falsa
(pois já sabemos que Gerusa é inocente), então também é falso que
Carmen é inocente...............logo..................Carmen é culpada (regra 2)
Então....letra "b"
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>>>>>> Argumento........SEM o ponto de partida (USE a regra da
Contradição)
73
Ana, Beatriz e Carla desempenham diferentes papéis em uma peça de
teatro. Uma delas faz o papel de bruxa; a outra, o de fada; e a outra o de
princesa. Sabe-se que: ou Ana é bruxa, ou Carla é bruxa; ou Ana é fada,
ou Beatriz é princesa; ou Carla é princesa, ou Beatriz é princesa; ou
Beatriz é fada, ou Carla é fada. Com essas informações, conclui-se que os
papéis desempenhados por Ana e Carla são, respectivamente:
a) bruxa e fada
b) bruxa e princesa
c) fada e bruxa
d) princesa e fada
e) fada e princesa
Nos casos em que não há um "ponto de partida", ....crie um!!
Observe que todas as frases são relativas à regra 3 e, há 4 frases desse tipo
no texto.
Suponhamos que "Ana é bruxa" (se estivermos errado, ocorrerá uma
contradição)
frase 1- concluímos que Carla NÃO é bruxa-pois Ana é bruxa.(regra 3)
frase 2- Concluímos que Beatriz É princesa- pois Ana NÃOé fada.(regra 3)
frase 3- concluímos que Carla nÃO é princesa-pois Beatriz é princesa.(regra3)
frase 4- Concluímos que Carla é Fada-pois Beatriz não é fada.(regra 3)
Daí:(como não houve contradição)
ANA É BRUXA, BEATRIZ É PRINCESA E CARLA É FADA........Letra "a"
]Obs: ocorreria contradição se a suposição fosse qualquer outra que não uma
das três acima( ocorreria algo do tipo; Ana é bruxa e Ana nao é bruxa)
A questão à seguir é do mesmo tipo. Tente fazê-la!. Se encontrar problemas,
retorne o email.
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74
ARGUMENTO, SEM O PONTO DE PARTIDA (USE: Regra da Contradição)
Se não durmo bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou
furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo:
a) não durmo, estou furioso e não bebo
b) durmo, estou furioso e não bebo
c) não durmo, estou furioso e bebo
d) durmo, não estou furioso e não bebo
e) não durmo, não estou furioso e bebo
RESOLUÇÃO:
Nesses encadeamentos onde não há ponto de partida ( aquela informação que
desencadeia a resolução), supomos um início.
Veja, ou essa pessoa dorme ou não dorme..........uma das duas tem que ser verdade
(V).
Supomos, então, uma delas verdadeira. Se não ocorrerem contradições teremos
acertado e as decorrências todas estarão corretas. Se ocorrer uma contradição
(impossibilidade), concluiremos que a suposição estava errada e que o certo é o
oposto.
Vamos supor que "não durmo" seja "V", daí "durmo" será "F".
Da primeira frase teremos que "bebo" é verdade (condicional; se a 1ª é "V"....a 2ªé
"V")
Da segunda frase temos que "estou furioso"é falso. (condicional; se a 2ª é "F"....a
1ª é "F")
Da 4ª frase temos que "não bebo" é "V"., que é uma CONTRADIÇÃO, pois
havíamos concluído que "beb0" é verdade.
Até aqui concluímos que "não durmo" não pode ser "V", então é "F" ("não
durmo" é "F" e "durmo" é "V")
Daí.....
3ª FRASE...................TIRAMOS QUE............."NÃO ESTOU FURIOSO" É "v"
4º FRASE...................TIRAMOS QUE ............"NÃO BEBO" É "v".
(observe que não é necessário analisar até o fim, pois se ocorreu contradição com a
situação anterior, não ocorrerá com essa)
75
.
Portanto, as verdades são: Durmo, não estou furioso e não bebo. ..................letra
"D"
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
DIAGRAMAS LÓGICOS ( Conjuntos)
10-Uma escola de idiomas oferece apenas três cursos: um curso de
Alemão, um curso de Francês e um curso de Inglês. A escola possui
200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos
desejar. No corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no
curso de Alemão, 30% no curso de Francês e 40% no de Inglês.
Sabendo-se que 5% dos alunos estão matriculados em todos os três
cursos, o número de alunos matriculados em mais de um curso é
igual a:
a) 30
b) 10
c) 15
d) 5
e) 20
RESOLUÇÃO
76
ALEM
ÃO
a
x
y
10
c
z
INGLÊ
S
b
FRANC
X + y + 10 + a = 100
Y + z + 10 + b = 80
X + z + 10 + c = 60
...........................................
X + y +z + x + y + z + a + b + c + 10 + 10 +10 = 100 + 80 + 60
-------------------------------200 (a soma de todas as regiões deve dar 200)
X + y + z + 200 + 10 + 10 = 240
X+ y + z = 20
Agora observe que :
X, Y, Z: representam quem estuda apenas duas línguas e o problema pede
o número de pessoas que estudam MAIS de uma língua. Logo, ele se
refere a quem estuda duas ou três, ou seja 20 + 10 = 30
77
Alternativa: a
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;Diagramas Lógicos
11- Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação
popular a três diferentes propostas de políticas governamentais para redução
da criminalidade. As propostas (referidas como "A","B" e "C") não eram
mutuamente excludentes, de modo que o entrevistado poderia se declarar ou
contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a
favor de todas as três.Dos entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo
menos uma delas. Ainda do total dos entrevistados, 50% declararam-se
favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e 20% à proposta C.Sabe-se, ainda,
que 5% do total dos entrevistados se declararam favoráveis a todas as três
propostas.
Assim, a percentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a mais
de uma das três propostas foi igual a:
a) 17%
b) 5%
c) 10%
d) 12%
e) 22%
Solução: (LETRA ‘A’)
78
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
A
50 – (5 + X + Y)
X
Y
5
30 – (X + Z + 5)
Z
20 – (Y + Z + 5)
B
C
FORA: 22
5 + X+ Y + Z + 30 – (X + Z + 5) + 20 – ( Y + z + 5) + 50 – ( X + Y + 5) = 78
90 – (X + Y + Z) = 78
X + Y + Z = 12 ( esses votaram a favor de somente duas )
5 votaram a favor de três, o que totaliza 17 ,votaram em pelo menos duas
quer dizer quem votou em duas ou (+) em três.
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
79
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
Numa escola há “n” alunos, dos quais 42 lêem o jornal “A”, 25 os jornais
“A” e”B”, 80 apenas um dos jornais e 50 não lêem o jornal “B”.
Determine o valor de “n”.
São dois conjuntos. Desenhe os dois parcialmente sobrepostos (abaixo)
Passo (1)...........25 lêem os dois, então coloque 25 na intersecção(área
comum)
Passo (2)...........42 lêem A, então dentro de A tem 42, mas como já colocamos
25, na região que pertence SOMENTE a A, colocaremos 42 – 25 = 17 (lêem só
A)
Passo (3)............80 lêem só 1 jornal. Como 17 Lêem só A, os outros (80 – 17)
lêem só B (63)
Passo (4)............ 50 nãp lêem o jornal B. Então, fora de B existem 50. Olhando
para o desenho feito até o momento, vemos que existem 17 fora de B (os que
estão só em A). Como não há outra região disponível, concluímos que os
outros 33 (50 – 17) estão fora dos dois conjuntos.
Finalmente: “n” é a soma de todas as regiões: 17 + 25 + 63 + 33 = 138
(FIGURA ABAIXO)
80
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
“A”
42-25 = 17
(2)
25
(1)
50-17=33
(4)
81
80-17=63
(3)
“B”
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Verdades e Mentiras
Jonas mente as segundas, terças e sábados, e fala a verdade nos outros
dias da semana. Danilo mente as quartas, sextas e domingos, e fala a
verdade nos outros dias da semana. Se hoje ambos dizem que não
mentiram ontem, que dia da semana é hoje?
quinta feira, quarta feira, sexta feira, terça feira, domingo.
Só é possível dizer HOJE "Eu não menti ontem" em dois casos: Se a
pessoa mentiu ontem e hoje; ou se disse a verdade ontem e hoje (
verifique que caso contrário não seria possível ter dito a frase). O único
dia possível para Danilo é a terça, pois disse a verdade na segunda e na
terça. Então.............TERÇA
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
Verdades e Mentiras – Regra da Contradição
- Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tia(s ou irmãs de Zilda. As
tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre
mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda.
Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa tem diferentes
graus de parentescos com Zilda, isto é: se uma é tia, a outra é irmã. Elisa
diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o numero de irmãs de Zilda neste
conjunto de cinco amigas é dado por:
a-1,b- 2,c- 3,d- 4,e- 5.
Suponha, por exemplo que Ana é tia (mentirosa), entaõ quando diz
que Bia é tia, terá mentido e, portanto, Bia é irmã. Bia sendo irmã, dirá a
verdade, então Cati é irmã. Cati sendo irmã dirá a verdade, então Dida é
irmã. Dida sendo irmã dirá a verdade, então como Bia éirmã, Elisa será tia.
Elisa sendo tia, terá que mentir!! mas sua declaração é; "Ana é tia", o que
é verdade!! logo ocorreu uma contradição (uma mentirosa dizendo uma
verdade). Daí, não é possível que Ana seja tia........logo........Ana é irmã
Ana é, então,irmã. Portanto, Ana teria mentido, logo Bia não seria Tia e
seria, portanto, irmã. Daí também mentiria e logo Cati seria Tia, que diz
verdade e então Dida seria irmã, que mente, daí Elisa seria irmã e mente
dizendo que Ana é Tia. Tudo compatível, portanto ....é isso!...4 irmãs.
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
82
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
(>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>Argumentos – Regras de Inferência
14- Considere como premissas as seguintes proposições:
•
•
“Ou o candidato é brasileiro nato ou o candidato não pode se
inscrever no concurso para ingresso na carreira diplomática”.
“O candidato não pode inscrever-se no concurso para ingresso
na carreira diplomática”.
Nesse caso, obtém-se uma argumentação lógica correta se for
apresentada como conclusão a proposição: “O candidato não é
brasileiro nato”. GABARITO: ERRADO
Comentários..........................................................................
É bom lembrar que o CESPE não distingue o conectivo "OU" do
"OU....OU..."
Vale sempre a regra do "OU", ou seja:
Em uma disjunção, frase com o "ou", se uma parte é falsa, a outra
é verdadeira, pois para uma disjunção ser verdadeira é necessário
que ao menos uma das partes seja verdadeira. Se uma não for,
então a outra é.
Confira na tabela.
No entanto, a recíproca não vale,ou seja, se uma parte for
verdadeira;nada se pode afirmar da outra, pois havendo uma parte
"V" a frase toda já será "V", independentemente da outra parte. Se,
na prova, ele coloca uma disjunção e a seguir confirma uma das
partes (foi isso que ele fez na questão acima), então nada pode ser
dito da outra parte. Porém, ele concluiu que a outra parte é "F". O
raciocínio está errado por isso.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
3) Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições.
A: 12 é menor que 6
B: Para qual time você torce?
C: x + 3 >10
D: Existe vida após a morte.
Comentários................................................................................................
.
A..............pode ser julgada...............é prop.
B:.............interrogativa.........não é prop.
C: tem variáveis................não é propôs.
83
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
D......Só quando partirmos saberemos, mas....ou é “V” ou é “F”.....é prop.
GABARITO: CERTO
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
PROVA-RACIOCÍNIO LÓGICO ICMS/SP 2006
Assuntos abordados:Proposições (reconhecimento e nomes), conectivos,
tabela de valorações ( tabela-verdade), nº de linhas, Tautologia,
julgamento, equivalências, etc
15-. Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II.
é um número inteiro.
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em
2000.
É verdade que APENAS
(A) I e II são sentenças abertas.
(B) I e III são sentenças abertas.
(C) II e III são sentenças abertas.
(D) I é uma sentença aberta.
(E) II é uma sentença aberta.
Resolução
Questão Mediana, os alunos precisavam saber o que é sentença aberta. E é
claro que existe uma pegadinha, acredito que muitos alunos marcaram como
alternativa correta a letra E.
LETRA A é a resposta correta. Sentença aberta é aquela proposição
simples que dependemos de variáveis (que não conhecemos) para dizer
se ela é verdadeira ou falsa. As variáveis podem ser; x, y, z, ele, ela...
No item I, não sabemos quem é o melhor jogador e no item II não sabemos os
valore s de X e Y.
LETRA A
84
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
16-. Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica
lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é a
(A) I.
(B) II.
(C) III.
(D) IV.
(E) V.
Resolução
LETRA D. A frase IV é a única proposição , as demais frases não são
proposições .
LETRA D
17-. Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso”.
Nessa proposição, o conectivo lógico é
(A) disjunção inclusiva.
(B) conjunção.
(C) disjunção exclusiva.
(D) condicional.
(E) bicondicional.
Resolução da questão 63
85
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
LETRA B. O conectivo mas é uma conjunção.
LETRA B
OBS: Essa questão deveria ser anulada,pois ele pergunta qual
o conectivo e o conectivo é o “e”. Conjunção é o nome da Proposição
Composta que é formada pelo conectivo “e”.
18-. Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
?
F
V
F
F
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de
interrogação é
(A) p . q
(B) p → q
(C) ~ (p → q)
(D) p ↔ q
(E) ~ (p . q)
Resolução
LETRA A. ERRADO. A tabela verdade do conectivo “e” (.) é V, F, F, F.
LETRA B. ERRADO. A tabela verdade do conectivo “se então” (→) é V, F, V, V.
LETRA C. CERTO. A tabela verdade da negação do conectivo “se então” (→) é
F, V, F, F.
LETRA D. ERRADO. A tabela verdade do conectivo “se e somente se” (↔) é V,
F, F, V.
LETRA E. ERRADO. A tabela verdade da negação do conectivo “e” (.) é F, V,
V, V.
LETRA C
19-. Considere as afirmações abaixo.
86
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.
II. A proposição “ (10 <
) ↔ (8 - 3 = 6)” é falsa.
III. Se p e q são proposições, então a proposição “(p → q)
tautologia.
(~q)” é uma
É verdade o que se afirma APENAS em
(A) I.
(B) II.
(C) III.
(D) I e II.
(E) I e III.
Resolução
Item I, CERTO, pois para determinar o número de linhas de uma tabela
verdade usamos a formula 2n, e esta formula gerará sempre um número par.
Item II, ERRADO, pois F ↔ F gera uma frase verdadeira
Item III, CERTO. Veja a tabela verdade abaixo, ela é tautológica, todos os
valores foram Verdadeiros.
(p → q) (~q)
V
V
V
V
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(p → q)
V
F
V
V
~q
F
V
F
V
LETRA E
20-. Se p e q são proposições, então a proposição p
(A) ~(p → ~q)
(B) ~(p → q)
(C) ~q → ~p
(D) ~(q → ~p)
(E) ~(p
q)
87
(~q) é equivalente a
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
Resolução
ENUNCIADO
p (~q)
p
F
V
V
V
F
F
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
p → ~q
F
V
V
V
Letra A
~(p → ~q)
V
F
F
F
p→q
V
F
V
V
Letra B
~(p → q)
F
V
F
F
LETRA B
21-. No argumento: “Se estudo, passo no concurso. Se não estudo,
trabalho. Logo, se NÃO passo no concurso, trabalho”, considere as
proposições:
p : " estudo",
q : "passo no concurso", e
r : " trabalho" .
É verdade que
(A) p, q, ~p e r SÃO premissas e ~ q → r é a conclusão.
(B) a forma simbólica do argumento é (p → q) → (~ p → r) |— (~q → r).
(C) a validade do argumento é verificada por uma tabela- verdade com 16
linhas.
(D) a validade do argumento depende dos valores lógicos e do conteúdo
das proposições usadas no argumento.
(E) o argumento é válido, porque a proposição [ (p → q)
→ r) é uma tautologia.
(~p → r)] → (~q
Resolução da questão 67
Questão Difícil, em virtude do tempo. O aluno demorará para fazer esta
questão algo em torno de 4 minutos.
Percebe-se um erro de digitação. Mesmo assim acredito que a questão não
deverá ser anulada, Mas em todo caso, há motivo para anular a questão. Veja
o sublinhado e negrito na alternativa e no enunciado para ver o erro de
digitação. Deixei também o erro de digitação em maiúsculo.
88
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
LETRA A. ERRADA. p, q, ~p e r não são premissas, as premissas são (p → q)
→ (~ p → r)
LETRA B. ERRADA. A linguagem simbólica é: (p → q) , (~ p → r) |— (~q → r).
LETRA C. ERRADA. Não se monta tabela verdade para esse tipo de questão.
LETRA D. ERRADA. Depende dos valores lógicos das proposições simples.
LETRA E. CORRETA. Veja a tabela verdade abaixo.
p
q
r
~p
~q
~r [ (p → q)
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
(~p → r)] → (~q (p → q) (~p → r) [ (p → q) (~p → (~
→ r)
r)]
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
LETRA E
22-. Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a p →
qé
(A) ~q → ~p
(B) ~q → p
(C) ~p → ~q
(D) q → ~p
(E) ~(q → p)
Resolução
Questão Fácil, sem maiores problemas para os alunos que estudaram. Basta
lembrar da propriedade( p → q) → ( ~q → ~p) , Contra Recíproca da
Condicional.
LETRA A
23. Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta.
(A) As proposições ~(p
q) e (~p
~ q) não são logicamente equivalentes.
89
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
(B) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o
tempo está bom”, é a proposição “Ele não faz caminhada se, e somente
se, o tempo não está bom”.
(C) A proposição ~[ p
~(p
q)] é logicamente falsa.
(D) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta”, é logicamente
equivalente à proposição “Não está quente e ele usa camiseta”.
(E) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa.
Resolução
Questão Fácil, sem maiores problemas para os alunos que estudaram. Basta
lembrar da propriedade p → q = ~q → ~p (Contra positiva)
LETRA A. ERRADA. Elas são logicamente equivalentes.
LETRA B. ERRADA. Elas são logicamente equivalentes.
LETRA C. CERTO. Veja a tabela verdade.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
(p
q)
V
F
F
F
~(p q)
F
V
V
V
[p
~(p
V
V
V
V
q)]
~[ p
~(p
F
F
F
F
q)]
LETRA D. ERRADA. Elas não são logicamente equivalentes.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
p→q
V
F
V
V
~p q
F
F
V
F
LETRA E. ERRADA. Ela é verdadeira. “Se a Terra é quadrada, então a Lua é
triangular”
FF=V
LETRA C
24-. Um seminário foi constituído de um ciclo de três conferências: uma
de manhã, outra à tarde e a terceira à noite. Do total de inscritos, 144
compareceram de manhã, 168 à tarde e 180 à noite. Dentre os que
compareceram de manhã, 54 não voltaram mais para o seminário, 16
compareceram às três conferências e 22 compareceram também à tarde,
mas não compareceram à noite. Sabe-se também que 8 pessoas
90
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
compareceram à tarde e à noite, mas não de manhã. Constatou-se que o
número de ausentes no seminário foi de um oitavo do total de inscritos.
Nessas condições, é verdade que
(A) 387 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferências.
(B) 282 pessoas compareceram a somente uma das conferências.
(C) 108 pessoas compareceram a pelo menos duas conferências.
(D) 54 pessoas inscritas não compareceram ao seminário.
(E) o número de inscritos no seminário foi menor que 420.
Resolução da questão 70
X = total de inscritos
54+22+16+52+122+8+104+
=X
378 =
X = 432
LETRA A. ERRADO. Somando o números que vejo acima temos um total de
378 pessoas que compareceram a pelo menos uma das conferências.
LETRA B. ERRADO.Somando (54+122+104 temos 280), portanto 280 pessoas
compareceram a somente uma das conferências.
91
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
LETRA C. ERRADO.Somando (22+8+52+16 temos 98), portanto 98 pessoas
compareceram a pelo menos duas conferências.
LETRA D. CERTO.
LETRA E. ERRADO. O número de inscritos no seminário foi maior que 420,
isto é 432.
LETRA D
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;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
From
To: [email protected]
Subject: CONCURSO
Date: Thu, 16 Oct 2008 15:40:11 -0200
IVAN,
SEGUE ALGUNS ITENS DA PROVA DO MMA
DEIXEI ESCRITO EM VERMELHO MINHAS RESPOSTAS PRA VER SE
PROCEDEM AS MINHAS JUSTIFICATIVAS, ME CORRIJA SE ESTIVER
ERRADA, O GABARITO ESTÁ EM AZUL E MINHAS RESPOSTAS EM
VERMELHO
Que coisa complicada ! (comentário do professor, em....que cor é essa ?)
25- O Programa Água Doce constitui iniciativa do governo
federal no sentido de garantir acesso a água de qualidade para
todos. Coordenado pela Secretaria de Recursos Hídricos e
Ambiente Urbano do MMA, o programa tem como objetivo
estabelecer uma política pública permanente de acesso à água
potável, com foco na população de baixa renda do semi-árido
brasileiro. Para isso, promove a implantação, a recuperação e a
gestão de sistemas de dessalinização da água, minimizando os
impactos ambientais, captando a água subterrânea salobra,
92
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
extraindo dela os sais solúveis e tornando-a adequada para o
consumo humano.
Com base nessas informações e no texto de definições
precedentes, julgue os itens subseqüentes.
I) Infere-se das informações acima que a proposição O
Programa Água Doce estabelece uma política
permanente de acesso à água potável e não promove a
gestão de sistemas de dessalinização da água tem valor
lógico V. AMBAS TEM QUE SER V (F)
EXATAMENTE. PARA SER "V" AMBAS AS PARTES DEVERIAM SER "V",
COMO A SEGUNDA PARTE NÃO É, ENTÃO A PROPOSIÇÃO É FALSA.
ITEM ERRADO
II) Considere as seguintes proposições:
P O Programa Água Doce não torna a água salobra
própria ao consumo;
Q O Programa Água Doce garante acesso à água de
qualidade para todos.
Nesse caso, segundo as informações, a proposição (¬P) --> Q
tem valor lógico F.
ESSE ITEM FOI ANULADO, CREIO PORQUE A REPOSTA PODE SER,
PODE TER VALOR F OU V!!! (ANULADO)
O TEXTO NÃO DIZ QUE O PROGRAMA GARANTE ACESSO À ÁGUA, MAS
SIM QUE VISA GARANTIR, O QUE TORNA "F"(?)O JULGAMENTO DA
PROPOSIÇÃO "Q". , "P" É CLARAMENTE FALSA, O QUE TORNA ~P
VERDADEIRA. A CONDICIONAL CITADA TEM, ENTÃO, A PRIMEIRA
93
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
PARTE VERDADEIRA E A SEGUNDA FALSA(?), O QUE A TORNA FALSA.
A PRINCÍPIO DIRIA QUE O ITEM ESTÁ CERTO, PORÉM HÁ DÚVIDA.
III) Considere como premissas de um argumento as seguintes
proposições.
I - Se a Secretaria de Recursos Hídricos e Ambiente
Urbano do MMA não coordenasse o Programa Água Doce,
então não haveria gestão dos sistemas de dessalinização.
II- Há gestão dos sistemas de dessalinização.
Nesse caso, ao se considerar como conclusão a proposição
"A Secretaria de Recursos Hídricos e Ambiente Urbano
do MMA coordena o Programa Água Doce", obtém-se um
argumento válido.
NÃO ENTENDI ESSE ITEM!!! (C)
Ainda bem, por isso sobrevivo...
A FRASE 'I' É UMA CONDICIONAL E A FRASE 'II' NEGA A SEGUNDA
PARTE DA MESMA. EM UMA CONDICIONAL, QUANDO A SEGUNDA
PARTE É FALSA, A PRIMEIRA TAMBÉM É(REGRA DE INFERÊNCIA).
PORTANTO É FALSO QUE 'A SECRETARIA NÃO COORDENA...', ENTÃO É
VERDADE QUE 'A SECRETARIA COORDENA...', EXATAMENTE COMO
ELE CONCLUIU. ARGUMENTO VÁLIDO - ITEM CORRETO
...............................................................................................................pausa......
..............
Date: Fri, 17 Oct 2008 09:30:23 -0300
From: @gmail.com
To: [email protected]
Subject: Arquivo Resolvidas lógica de primeira ordem
Bom dia, professor, gostaria que o senhor encaminhasse os arquivos
Resolvidas e lógica de primeira ordem (o material que o Sr. disponibilizou está
com a fonte pequena e muito clara)
94
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
Se o professor enviar os arquivos, então estudo raciocinio logico
Se estudo, então passarei no concurso do IPEA.
O professor envia os arquivos.
Portanto, passarei no concurso do IPEA
desde já, obrigado
.........................................................legal, gostei.......esse é o
espírito..........aliás, o Argumento é Válido !!
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
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Verdades e Mentiras
Prezado professor,
Sou aluno do curso preparatório para o IPEA – FORTIUM/DF e estou com
dúvidas na seguinte questão:
26-(ESAF) Três amigos Waldson, Antônio e Zé, estão sentados lado a lado
em um estádio de futebol e usando a camisa de seus respectivos times.
Um é atleticano, outro são-paulino e o terceiro flamenguista, não
necessariamente nessa ordem.
Um torcedor x sabe que:
Waldson sempre fala a verdade.
Antônio as vezes fala a verdade e
Zé nunca fala a verdade.
O torcedor x perguntou o nome deles (que estavam vestidos a caráter) e
eles responderam:
- O são-paulino falou: "Waldson é atleticano"
- O atleticano falou: "Eu sou Antônio.
- O flamenguista disse: "Zé é atleticano"
RESOLUÇÃO: ( Verdades e Mentiras – Regra da Contradição )
Inicie esse tipo de questão com quem fala a verdade(no caso, Waldson).
Lembre-se: Uma pessoa veraz NÃO PODE mentir.
Vamos utilizar a regra da Contradição, ou seja, vamos fazer suposições e
verificar o que ocorre...
95
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
Suponha que ele seja o são-paulino......sua declaração seria contraditória,
pois sendo são-paulino, não poderia ser atleticano. Como ele não mente,
concluímos que Waldson não pode ser o são-paulino.
Suponha que ele seja o atleticano.......Mais uma vez ele estaria mentindo,
dizendo que é o Antônio, mas ele não mente, então Waldson não pode ser
o atleticano.
Restou apenas, para Waldson, ser flamenguista. Daí, a declaração do
flamenguista veio dele e, portanto, é verdadeira. Logo "Zé é atleticano" e
sobra para Antônio ser são-paulino.
Os times de Wadson, antônio e zé eram, respectivamente:
gabarito - Flamengo, São Paulo e Atlético
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
VERDADES E MENTIRAS.....essa é .....!
From: @hotmail.com
To: [email protected]
Subject: aluno fortium
Oi professor Ivan. Não entendi a questão abaixo. Seria possível resolvê-la?
(banco do Brasil 2007 - CESPE) – (verdades e mentiras)
28-No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática
e lógica Raymond Smullyan apresenta vários desafios ao
raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se entre
verdadeiro e falso. Considere o seguinte desafio inspirado nos
enigmas de Smullyan.
Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta.
Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela
fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha
preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado,
quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela
fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha
preta, fala somente verdades.
Com base no texto acima, julgue o item a seguir.
_ Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma
cor” e a segunda pessoa diz “Nossas fichas são da mesma
cor”, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está
dizendo a verdade.
96
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
RESOLUÇÃO:
Independentemente das fichas que carregam, existem 4 possibilidades para
Os dois. São V e V
ou
V e F
o u
F e V
ou
F e F
Quando o primeiro for “V”, ele carrega ficha branca.............VB
Quando o primeiro for “F”, ele carrega ficha preta.................FP
Quando o segundo for “V”, ele carrega ficha preta..............VP
Quando o segundo for “F”, ele carrega ficha branca............FB
Declaração do primeiro: Nossas fichas são diferentes
Declaração do segundo: Nossas fichas são iguais
Analisando as possibilidades, segundo as fichas que carregam E a natureza de
cada um, teremos:
1ª possibilidade...... VB e VP ...a declaração do primeiro é possível, mas do
segundo não (o primeiro estaria dizendo a verdade, mas o segundo não
e, nesse caso, os dois teriam que dizer a verdade, pois são ambos
“V”).....logo, não são os dois verazes!
2ª possibilidade...... VB e FB ....a declaração do primeiro o tornaria
mentiroso, o que é impossível, pois ele é veraz....logo não pode ser o
primeiro “V” e o segundo “F”
3º possibilidade....... FP e VP ....a declaração do primeiro é compatível com sua
natureza,pois ele estaria mentindo e é mentiroso. A declaração do segundo
também é compatível, pois ele estaria dizendo a verdade e ele é veraz.....logo
é possível que o primeiro seja “F” e o segundo, “V”.
4º possibilidade..... FP e FB ......a declaração do primeiro já é incompatível,
pois ele estaria dizendo a verdade, mas ele é mentiroso. ....Logo. não é
possível que ambos sejam “F”.
Daí, conclui-se que o primeiro é “F” e o segundo é “V”.......ITEM CERTO
97
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
Muito divertido, manda outra !
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
29-.Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à
Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao
Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir
ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à
Alemanha. Portanto:
(
) Helena não vai à Holanda. Carlos não vai ao Canadá. Alexandre não vai
à Alemanha.
(
).Helena vai à Holanda. Carlos vai ao Canadá. Alexandre não vai à
Alemanha.
( X ) Helena não vai à Holanda. Carlos vai ao Canadá. Alexandre não vai à
Alemanha.
(
) .Helena vai à Holanda. Carlos não vai ao Canadá. Alexandre vai à
Alemanha.
(
) .Helena não vai à Alemanha. Carlos não vai ao Canadá. Alexandre não
vai à Alemanha.
Primeiramente convém passarmos as frases para a “forma normal” da
condicional;
Lembre-se ; a primeira parte é suficiente para a segunda e a segunda é
necessária para a primeira.
Se A, então B...=......A é suf.p; B...=...B é Nec. Para A.
F1- Se Alexandre vai à Alemanha, então Carlos não vai ao Canadá.
F2- Se Helena não vai à Holanda, então Carlos vai ao Canadá.
F3 -Se Carlos não vai ao Canadá, então Alexandre não vai à Alemanha.
F4 -Se Helena vai à Holanda, então Alexandre vai à Alemanha.
Lembre-se ainda das regras de Inferência da Condicional:
R1- Se a primeira parte é Verdadeira, então a segunda parte também é
Verdadeira.
R2- Se a segunda parte é Falsa, então a primeira parte também é Falsa.
Como não há um “ponto de partida”, faremos uma suposição. Se ocorrer
contradição, saberemos que a verdade é o oposto do que foi suposta, caso
contrário, o problema já estará resolvido
Suposição: Alexandre vai à Alemanha. De (F1) teremos que Carlos não vai
ao Canadá (Regra 1) e de (F3) teremos que se Carlos não vai ao Canadá,
então Alexandre não vai à Alemanha . , O que é impossível (contradição).
98
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
Sabemos agora que “Alexandre não vai à Alemanha” (essa é a verdade!)
De F4/R2........obtemos: Helena não vai à Holanda.
De F2/R1........obtemos: Carlos vai ao Canadá.
Logo, alternativa “c”
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PROVA DO MINISTÉRIO DA SAÚDE – 2008
* Prova sem grandes problemas. Abordou o assunto de maneira direta,
totalmente dentro do esperado(edital). Não há recursos.
Para julgar os itens de 21 a 25, considere as seguintes
informações a respeito de estruturas lógicas, lógicas de
argumentação e diagramas lógicos.
Uma proposição é uma frase a respeito da qual é
possível afirmar se é verdadeira (V) ou se é falsa (F). Por
exemplo: “A Terra é plana”; “Fumar faz mal à saúde”. As letras
maiúsculas A, B, C etc. serão usadas para identificar as
proposições, por exemplo:
A: A Terra é plana;
B: Fumar faz mal à saúde.
As proposições podem ser combinadas de modo a
representar outras proposições, denominadas proposições
compostas. Para essas combinações, usam-se os denominados
conectivos lógicos: ^ significando “e” ; v significando “ou”;
significando “se ... então”; : significando “se e somente se”; e ¬
significando “não”. Por exemplo, com as notações do parágrafo
anterior, a proposição “A Terra é plana e fumar faz mal à saúde”
pode ser representada, simbolicamente, por A^B. “A Terra é
plana ou fumar faz mal à saúde” pode ser representada,
simbolicamente, por AVB. “Se a Terra é plana, então fumar faz
mal à saúde” pode ser representada, simbolicamente, por A B.
“A Terra não é plana” pode ser representada, simbolicamente, por
¬A. Os parênteses são usados para marcar a pertinência dos
conectivos, por exemplo: (A^B) ¬A, significando que “Se a
Terra é plana e fumar faz mal à saúde, então a Terra não é plana”.
Na lógica, se duas proposições são tais que uma é a
negação de outra, então uma delas é F. Dadas duas proposições
em que uma contradiz a outra, então uma delas é V.
Para determinar a valoração (V ou F) de uma proposição
composta, conhecidas as valorações das proposições simples que
as compõem, usam-se as tabelas abaixo, denominadas tabelas-verdade.
(TABELA)
Uma proposição composta que é valorada sempre como
V, independentemente das valorações V ou F das proposições
simples que a compõem, é denominada tautologia. Por exemplo,
a proposição AV(¬A) é uma tautologia.
99
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
Tendo como referência as informações apresentadas no texto,
julgue os seguintes itens.
21 Se A e B são proposições, completando a tabela abaixo, se
necessário, conclui-se que a proposição ¬(AVB) ¬A^¬B
é uma tautologia.
ITEM CERTO. As duas partes da condicional são equivalentes, as duas são a
negação de AvB. Daí, se uma é V a outra é V e se uma é F a outra é F. Como
nas condicionais VV e FF produzem resultado V, então é uma tautologia. Claro
que poderíamos construir a tabela de valorações para cada uma delas e
verificar que são idênticas, ou seja, que as proposições são equivalentes.
22 Se A e B são proposições simples, então, completando a
coluna em branco na tabela abaixo, se necessário, conclui-se
que a última coluna da direita corresponde à tabela-verdade
da proposição composta A (B A).
AB
B A
A (B A)
VV
V
VF
V
FF
V
FV
F
ITEM ERRADO. Completando-se a tabela obtém-se todas as valorações “V”
Obs. As duas últimas linhas foram trocadas (em relação ao
tradicional).
23 Considere que a proposição “O Ministério da Saúde cuida
das políticas públicas de saúde do Brasil e a educação fica a
cargo do Ministério da Educação” seja escrita
simbolicamente na forma P^Q. Nesse caso, a negação da
referida proposição é simbolizada corretamente na forma
¬P^¬Q, ou seja: “O Ministério da Saúde não cuida das
políticas públicas de saúde do Brasil nem a educação fica a
cargo do Ministério da Educação”.
ITEM ERRADO. A negativa de P ^ Q é ~P V ~Q
RASCUNHO
UnB/CESPE – MS Caderno VERDE
Cargo: Agente Administrativo – 4 –
Raul, Sidnei, Célio, João e Adélio, agentes
administrativos do MS, nascidos em diferentes unidades da
Federação: São Paulo, Paraná, Bahia, Ceará e Acre, participaram,
no último final de semana, de uma reunião em Brasília – DF, para
discutir projetos do MS. Raul, Célio e o paulista não conhecem
nada de contabilidade; o paranaense foi almoçar com Adélio;
Raul, Célio e João fizeram duras críticas às opiniões do baiano;
o cearense, Célio, João e Sidnei comeram um lauto churrasco no
jantar, e o paranaense preferiu fazer apenas um lanche.
100
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
Com base na situação hipotética apresentada acima, julgue os
itens a seguir. Se necessário, utilize a tabela à disposição no
espaço para rascunho.
24 A proposição “Se Célio nasceu no Acre, então Adélio não
nasceu no Ceará”, que pode ser simbolizada na forma
A (¬B), em que A é a proposição “Célio nasceu no Acre”
e B, “Adélio nasceu no Ceará”, é valorada como V.
ITEM ERRADO: “Célio nasceu no Acre” é V e “ Adélio não nasceu no Ceará” é
F.
V com F, nas condicionais, é F
25 Considere que P seja a proposição “Raul nasceu no Paraná”,
Q seja a proposição “João nasceu em São Paulo” e R seja a
proposição “Sidnei nasceu na Bahia”. Nesse caso, a
proposição “Se Raul não nasceu no Paraná, então João não
nasceu em São Paulo e Sidnei nasceu na Bahia” pode ser
simbolizada como (¬P) [(¬Q)^R)] e é valorada como V.
ITEM CERTO.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
Professor, a fonte está muito clara e pequena..
Qual sua idade ?
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
PROVA DO SENADO-2008- ANALISTA- PROCESSO LEGISLATIVO-FGV
CONHECIMENTOS GERAIS
26
Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do
outro lado uma figura geométrica.
101
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
Os números são 6 e 7.
Alguém afirmou que todos os cartões que têm um triângulo
em uma face têm um número primo na outra.
Para afirmar se tal afirmação é verdadeira:
(A) é necessário virar todos os cartões.
(B) é suficiente virar os dois primeiros cartões.
(C) é suficiente virar os dois últimos cartões.
(D) é suficiente virar os dois cartões do meio.
(E) é suficiente virar o primeiro e o último cartão.
Observe que a frase “todos os cartões.....” pode ser reescrita
Assim; “ Se o cartão tem um triângulo em uma face, então tem um número
primo na outra”
O primeiro cartão tem um triângulo em uma face, isso torna verdadeiro a
primeira parte da condicional, logo a segunda parte também tem de ser
verdadeira, para que a frase seja verdadeira(V com V, é V). Se não houver um
número primo do outro lado, a frase será falsa(V com F, é F), então é preciso
virar esse cartão,para confirmar o valor lógico da frase.
O segundo cartão não tem um triângulo em sua face(o que torna a primeira
parte da condicional falsa), daí não importa a outra face,pois sendo falsa a
primeira parte da condicional, ela já é verdadeira( F com V, é V e F com F, é
V). Esse cartão NÃO precisa ser virado.
102
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
O terceiro cartão tem um número primo em sua face (7), o que torna a segunda
parte da condicional verdadeira. Sendo “V” a segunda parte, a condicionaljá é
Verdadeira, pois V com V, é V e F com V, é V. Esse cartão NÃO precisa ser
virado.
O quarto cartão tem um número que não é primo (6) em sua face, o que torna a
segunda parte da condicional falsa, portanto a veracidade da frase fica
dependente da primeira, pois V com F,é F e F com F é V. Daí, esse cartão
precisa ser virado, para confirmar o valor lógico da frase.
Alternativa
“E”. A fonte
está boa
assim ?
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
Questão da apostila ( Essa é de doer !)
(ESAF) Sabe-se que na equipe do X Futebol clube (XFC) há um
27)
atacante que sempre mente, um zagueiro que sempre fala a verdade e um
meio campista que as vezes fala a verdade e as vezes mente. Na saída do
estádio, dirigindo-se a um torcedor que não sabia o resultado do jogo que
103
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
terminara, um deles declarou “foi empate”, o segundo disse “não foi
empate” e o terceiro falou “nós perdemos”. O torcedor reconheceu somente
o meio campista, mas pode deduzir o resultado do jogo com certeza. A
declaração do meio campista e o resultado do jogo foram, respectivamente:
a)“foi empate” / o XFC venceu
b)“não foi empate” / empate
c)“nós perdemos” / o XFC perdeu
d)“não foi empate” / o XFC perdeu
e)“foi empate” / empate
Declarações:
Situações, à princípio possíveis
E: foi empate
NE: não foi empate
NP: nós perdemos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Atac.(Ment.)
NE
E
NP
E
NE
NP
Zag.(Veraz)
E
NE
E
NP
NP
NE
As situações 1 e 2 são inicialmente possíveis, mas não permitiriam ao
torcedor identificar qual deles disse o que, já que qualquer um deles
poderia ter dito qualquer uma das declarações (pois são opostas), e como
o torcedor resolveu o problema, não foram essas suas declarações.
O mesmo ocorre com 3 e 4.
A situação 5 é impossível, pois o mentiroso não estaria discordando do
veraz, e ele tem, obrigatoriamente, que fazer isso.
A situação 6, portanto, é a que ocorreu, sendo verdade que não foi
empate ( o zagueiro/veraz que o disse) e sendo mentira que “Nós
perdemos”. Então, se não foi empate e o time não perdeu, ele (o XFC)
GANHOU.
A declaração que “sobra” para o meio-campista é “FOI EMPATE”.
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
Verdades e Mentiras
28) (CESPE - STJ) João faz a seguinte afirmação a respeito dele e de Pedro:
"Pelo menos um de nós dois é mentiroso". Nesse caso, a proposição "João e
Pedro são mentirosos" é V.
29) (CESPE - STJ) Considere que A e B sejam as seguintes proposições.
104
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
A: Júlia gosta de peixe.
B: Júlia não gosta de carne vermelha.
Nesse caso, a proposição "júlia não gosta de peixe, mas gosta de carne
vermelha" está corretamente simbolizada por ¬(A^B).
Olá.
Questão 28)
Duas pessoas pode assumir 4 situações quanto às suas naturezas: VV, VF, FV
ou FF.
Analisando cada caso;(considerando a declaração "pelo menos um de nós
mente")
1) VV.....nenhum mente, logo a declaração seria incompatível com a natureza
do primeiro.
2) VF.....um deles mente (o segundo) logo o primeiro poderia ter dito a frase
acima
3) FV....um deles mente (o primeiro) logo a declaração não poderia ter sido
dita p/primeiro.
4) FF.... os dois mentem, logo a declaração não poderia ter sido dita pelo
primeiro
Daí, o primeiro é V e o segundo é F.........item ERRADO
Questão 29)
A representação correta seria ¬A ^ ¬B (mas = e), o que é diferente de ¬(A ^B).
105
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
Você pode construir a tabela de valorações para as duas formas, para verificar
que não são equivalentes. O item está errado.
Obs: ¬(A ^ B) = ¬A v ¬B
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
Verdades e Mentiras
Date: Thu, 19 Feb 2009 16:02:17 -0300
Subject: Re: FW: Material para estudo
From:@gmail.com
To: [email protected]
Professor,
Estou com uma dúvida sim.
Foi questão de uma prova papiloscopista de 2008 - CESPE:
a questão é a seguinte:
32-Um grupo de 4 jovens foi encontrado por um policial que passava pelo local
em frente a um muro recém pichado.
O policial, tentando encontrar o autor do vandalismo, pergunta:
- Quem pichou o muro?
Jorge, um dos jovens, responde:
- Não fui eu. Eu estava apenas de passagem por aqui, assim como o senhor.
Marcelo responde em seguida, apontado para outro rapaz:
- Quem pichou o muro foi Marcos.
Pedro defende o amigo:
- Marcelo está mentindo.
Marcos se manifesta, acusando outra pessoa:
- Eu jamais picharia o muro, quem pichou foi Pedro.
O policial percebe que apenas um deles mentiu.
Questão 1:
(a) Jorge mentiu
(b) Marcos mentiu.
(c) Marcelo mentiu
(d) Pedro mentiu
(e) O diálogo e a dedução do policial são insuficientes para descobrir qual dos
jovens mentiu.
106
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
Questão 2:
(a) Jorge pichou o muro
(b) Marcos pichou o muro
(c) Marcelo pichou o muro
(d) Pedro pichou o muro
(e) O diálogo e a dedução do policial são insuficientes para descobrir qual dos
jovens praticou o vandalismo.
P.S..: Já tentei resolver pelo modelo mencionado pelo senhor em aula e não
consegui chegar ao resultado correto. A resposta da questão 1 é C e da 2 D,
segundo o gabarito que tb não tenho certeza se está correto.
abs e agradeço desde já
RESOLUÇÃO:
Observe que Pedro acusa Marcelo de estar mentindo, logo um dos dois é
o único mentiroso do
grupo. Então, os outros (Jorge e Marcos) estão dizendo a verdade, daí a
declaração de Marcos é verdadeira, ou seja, Pedro é o pichador!
Porém, Marcelo acusou Marcos.............................logo ele(Marcelo) mentiu!
Portanto: Questão 1......................(C)
Questão 2......................(D)
Só isso? Manda mais, isso me acalma.
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Tabelas –
Regras de Inferência
Bom dia Professor!
gostaria que vc me ajudasse a entender as respostas das questões abaixo, se
pudesse justificar e desenvolver....
Questão 57 - página 40 apostila curso Assistente técnico MF de Santo Ângelo
33-"se amanhã for feriado, então hoje Bidu irá viajar. Ora amanhã não
será feriado. Então pode se afirmar que:
Eu comecei pela afirmativa depois do Ora, está certo?.......CERTO!
Aí quer dizer que: A primeira parte da condicional é falsa, certo ou não?
CERTO!
ela tem 05 alternativas:
a- Bidu não viajará hoje
107
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
b- bidu viajara hoje
c- Bidu nunca viaja no feriado
d- É possível que Bidu viaje hoje
e- Bidu somente viaja em véspera de feriado
A resposta certa é a D, mas por quê? O que influi na resposta aquela palavra
"É possível?" não entendi?
Resolução: A falsidade da primeira parte da condicional não implica em
nada da segunda,ela pode ser falsa ou verdadeira. Afirmar que a segunda
ocorre está errado,assim como afirmar que não ocorre. Ele não usou uma
regra de inferência da condicional!. Agora, é possível que ocorra a segunda
letra "D",
parte e é possível que não ocorra, por isso a
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;EM VERMELHO, COMENTÁRIOS DO ALUNO
.
As afirmações de três funcionários de uma empresa são
registradas a seguir:
Augusto: Beatriz e Carlos não faltaram ao serviço ontem
Julguei as duas verdadeiras por causa do conectivo "e",
CERTO!!
certo?.....................................
Beatriz: Se Carlos faltou ao serviço ontem, então Augusto também faltou.
Eu julguei a primeira parte F pq sei q ele não faltou, posso fazer isso? Aí
consequentemente, a segunda é V,
?........ERRAAADOOO!!
certo
há há há. Bem feito ! A
falsidade da primeira parte nada acarreta da segunda.
nada pode ser feito nessa frase!! não atende a nenhuma das regras da
condicional.
Carlos: Eu não faltei ao serviço ontem, mas Augusto ou Beatriz faltaram.
Aqui achei mais complicado, a primeira parte é V, depois tem o mas que é o
conectivo "e" e depois é o conectivo "ou e ou", ou somente o ou?", me ajude a
entender. é o "ou" e compõe a segunda parte da conjunção, sendo
portanto, verdadeira. Como "Beatriz faltou" é falso (primeira frase, lá em
cima) então "Augusto faltou" é verdade! (regra do "ou").
A resposta certa é a- Augusto faltou o serviço, estava bem claro, só que quero
entender melhor a afirmativa de Carlos para não me complicar em outros
casos.
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;Argumentos – Regras de Inferência
34 - Homero não é honesto, ou Julio é justo. homero é honesto, ou Julio é
justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Julio não é justo. Beto não
é bondoso, ou Homero é honesto. Logo:
108
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
Como fazer? Eu fiz por contradição, mas gostaria que vc me explicasse e
justificasse a resposta e se posso considerar a frase "Homero não é honesto ou
Beto é bondoso" como uma suposta ou verdadeira afirmação.
Em um encadeamento de proposições, as premissas são(para efeito de
resolução) SEMPRE verdadeiras. Para resolver considere verdade UMA
DAS PARTES de qualquer frase, como se isso tivesse sido dado no
problema.
Resolva e, encontrando contradição, saberá que sua suposição está
errada. Aí saberá que a frase escolhida é falsa, então faça tudo
novamente.
Formas equivalentes da Condicional e Regras de Inferência
( Argumentos)
Subject: questão ESAF - concurso ANEEL 2006
> To: [email protected]
> From:
> Date: Mon, 23 Mar 2009 08:50:30 -0300
>
>
> Bom dia Prof. Ivan !
>
> Tenho dúvidas na resolução desta questão.
>
> Devo usar as inferências das condicionais ?
> Suposição de contradição ?(suposição, apenas quando não há ponto de
partida, o que não é o caso)
>
> Me parece fácil mas mesmo assim tive dificuldades.
> ( sei sei, e se fosse difícil ??)
>
> 34- Sabe-se que Beto beber é condição necessária para
> Carmem cantar e condição sufi ciente para Denise
> dançar. Sabe-se, também, que Denise dançar é condição
> necessária e sufi ciente para Ana chorar. Assim, quando
> Carmem canta,
>
> a) Beto não bebe ou Ana não chora.
> b) Denise dança e Beto não bebe.
> c) Denise não dança ou Ana não chora.
> d) nem Beto bebe nem Denise dança.
> e) Beto bebe e Ana chora.
*** O primeiro passo é retornar as frase para a forma tradicional:
109
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
1- Se Carmem canta, então Beto bebe.
2- Se Beto bebe, então Denise dança.
3- Denise dança, se e somente se, Ana chora
4- Carmen canta
A frase 4 torna a primeira parte da frase 1 verdadeira, o que torna a
segunda parte da mesma frase verdadeira(regra de inferência da
condicional). Se "Beto bebe" tornou-se verdade, então a primeira parte da
segunda frase torna-se
verdade o que acarreta a verdade da segunda
parte (Denise dança). A primeira parte da terceira frase é,então verdade, o
que torna a segunda parte(Ana chora) também verdade (regra da
bicondicional). Daí, TODAS as proposições simples envolvidas no texto
são verdadeiras.
>
> Obrigado.
>
> Aluno CPC - Santo Ângelo - curso Min. Fazenda.
Disponha !
Tautologias.........................................
From: [email protected]
To: [email protected]
Subject xxxxxxx(aluno do CPC, Santo Ângelo-RS
Date: Tue, 24 Mar 2009 16:37:58 -0300
Saudações!! MESTRE IVAN
Sou xxxxxxxx, aluno do CPC, de Santo Angelo-RS.Por gentileza o senhor pode
me ajudar?
Tem uma questão que não consegui captar a explicação e consequentemente
não consigo resolver sem fazer a tabela, me da a dica por favor. Também
gostaria de saber sobre o seu material com questões resolvidas, se elas
contém dicas de como se resolvem sem construir a tabela, porque
sinceramente construir tabela me confunde mais do que resolver sem tabela.E
também quero saber qual o valor do material.
35)- È um exemplo de tautologia:
a) Se João é alto, então joão é alto e Guilherme é gordo.
b) Se joão é alto, então joão é alto ou Guilherme é gordo.
c) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo.
110
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
d) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.
e) Se joão é alto ou Guilherme é gordo, então joão é alto ou Guilherme é
gordo.
Desde já agradeço..........
Olá.
A rapidez na resolução depende dos conhecimentos do assunto.
A construção da tabela é UM caminho e resolve sempre. Atribua uma letra
para cada proposição simples que aparece da proposição composta e
etc...
Agora, com um pouco de domínio sobre a tabela.......Veja a letra "B", é
uma condicional e, se "João é alto" for verdade, então a segunda parte
também será,pois é uma frase com "ou" (onde basta uma verdade para
ser verdade). Se !Jõao é alto" é falso, então a condicional já é verdadeira
(se a primeira frase é falsa, não interessa a segunda.....a condicional já
fica "V" - olhe a tabela). Daí, "B" é tautologia.
Na letra "E" temos uma condicional com a primeira parte igual a
segunda....então é tautologia(sempre, nessas condições),pois se a frase
for "V", ficará "V" com "V", que dá"V". Se for "F", ficará "F" co "F", que dá
"V".
A questão tem duas alternativas corretas.
Nas demais, o julgamento fica dependente da outra proposição simples
envolvida no problema.
Bom, qual maneira você prefere?
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:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Que letrinha pequena.
Em que asilo você vive ?
>>
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;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;> >
>
111
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
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> > Regras de Inferência......Argumentos
36). Uma professora de matemática faz três seguintes afirmações:
>>
"x<Q e z<Y" }
> x>y e Q>y, se somente se Y>z
> R#Q, se somente y=x
Questão doida...
> > Sabendo que todas as informações da professora são verdadeiras
conclui-se corretamente...
> > Professor, dá pra transformar as letras em pessoas? Assim acho mais
difícil pra entender, me confunde...
> > A primeira frase estaria correta as duas, pq temo conectivo e, certo?
> > E o resto? Confuso, por causa das letras...
>>
> > Respostas:
> > a) x>y>Q>z
> > b)x>R>y>Z
> > c)z<y<x<R esta é a correta, pq?????
> > d)x>Q>z>R
> > e)Q<x<z<Y
Na primeira frase temos o "e", então as duas partes são verdadeiras, (x<Q
e Z>Y), o que torna a segunda parte da bicondicional à seguir também
verdadeira. Daí, a primeira parte também será (ou seja, X>Y e Q>Y é
verdade - regra de inferência da bicondicional). Como a primeira parte é
uma conjunção (e), então as duas partes são verdadeiras, x>y e Q>y. . A
segunda parte da última frase torna-se, então, falsa, pois se é verdade
que x>y, será falso que x=y. Como a frase é uma bicondicional, então se a
segunda parte é falsa, a primeira também será. Ou seja. R#Q é Falso,
então a verdade é que R=Q.
As verdades são, então: x<Q....Z<Y.....X>Y....Q>Y.....R=Q.
A única alternativa compatível é a letra (C).
>>
>>
Questão 25 página 28 é mais "doida ainda"
Doida é você. Depois respondo essa.
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::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::;;;;
112
Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
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RE: duvidas
De:
IVAN ZECCHIN ([email protected])
Enviada:terça-feira, 5 de maio de 2009 3:39:57
Para: ......./df09 ([email protected])
Olá, fiz um esboço das resoluções. Veja se dá prá entender assim.
Caso não dê, retorne e serei mais explícito. Tô cansado.
Abço
37) Determinado rio passa pelas cidades A,B e C. Se chove em A, o rio
transborda. Se chove em B, o rio transborda e, se chove em C, o rio não
transborda. Se o rio transbordou, pode-se afirmar que:
a) choveu em A e choveu em B
b) não choveu em C
c) choveu em A ou choveu em B
d) choveu em C
e) choveu em A
Resol.: As três afirmativas são condicionais e nelas existem duas regras:
1- se a primeira parte for verdadeira (o que não ocorre) a segunda
também será verdadeira. 2- se a segunda parte é falsa (o que ocorre na
terceira condicional, pois a verdade é que o rio transbordou), a primeira
também é falsa, ,logo NÃO CHOVEU NA CIDADE C.
LETRA "B".
comentário: Observe que a afirmativa de que o rio transbordou torna
verdadeiras as
duas segundas partes das duas primeiras condicionais,porém a
veracidade da segunda parte nada garante da primeira,por isso nada se
pode afirmar sobre ter chovido ou não
nas cidades Ae B.
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39. Afonso, Bernardo e Carlos são amigos. Um deles é brasileiro,
outro argentino e o terceiro, uruguaio.
Somente uma das afirmativas a seguir é verdadeira.
I - Afonso é brasileiro.
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Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
II - Bernardo não é brasileiro.
III - Carlos não é uruguaio.
É correto afirmar que
(A) Afonso é brasileiro e Carlos é argentino.
(B) Afonso é argentino e Bernardo é uruguaio.
(C) Afonso é uruguaio e Bernardo é argentino.
(D) Bernardo é brasileiro e Carlos é argentino.
(E) Bernardo é argentino e Carlos é uruguaio.
Booom,
a (I) não pode ser a verdadeira, pois a (II) também se tornaria
verdadeira (sendo Afonso brasileiro, Bernardo não o será)
A (II) também não pode ser verdadeira, pois a (I) e a (III) não podem ser
ambas falsas, o que deveriam ser. Veja, se fossem ambas falsas, então
Carlos seria uruguaio e Afonso não poderia ser brasileiro. Porém, sendo
Carlos uruguaio,um dos outros dois teria que ser brasileiro, o que não
estaria ocorrendo.
Daí, a verdadeira só pode ser a (III).
Se é verdade que |Carlos não é uruguaio, então é argentino ou brasileiro.
Mas, é falso que (II) Bernardo não é brasileiro....então ele é.
Daí, sobra para o Carlos ser Argentino e, conseqüentemente Afonso é
uruguaio.
Resumo:
Afonsito.......................Urug !
Bernardinho....................Brasil !
O Hermano Carlito.........................Arg!
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Equivalência....negativas
From: [email protected]
To: [email protected]
Subject: QUESTÃO
Date: Wed, 13 May 2009 00:38:27 +0000
Professor como faço para resolver esta questão,
pois na tabela verdade não dá,
fazer a negação não dá,
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Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
não sei como fazer??????
Eu sei ! ahahaha...
Julgue:
40-A afirmação: " a inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta"
do ponto de vista lógico, a afirmação equivale a dizer que:
SE A INFLAÇÃO BAIXA, ENTÃO A TAXA DE JUROS AUMENTA
Olá, não conseguiu? Que chato!
Vamos lá !
Duas proposições com conectivos diferentes são equivalentes quando:
1- Têm a mesma tabela de valorações: Passe as duas para a forma
simbólica e construa a tabela de valorações.
Se essas forem exatamente iguais, serão equivalentes.
(esse método é trabalhoso, embora seguro)
2- Têm a mesma negativa: Negue as duas. Se as negativas forem iguais,
serão equivalentes. Essa maneira é mais apropriada para o caso.
(método rápido, porém nem sempre seguro)
Lembre-se: A negativa de P ou Q é não P e não Q
A negativa de Se P, então Q é P e não Q
Daí, a negativa da primeira e da segunda frases ficam: A inflação é baixa
e a taxa de juros não aumenta.
Elas são equivalentes! O item está certo!
certo?
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;(pausa prá diversão)
Em um parque de diversões, cada vagão do trem-fantasma
possui exatamente 3 lugares. Pretende-se ocupar os lugares
desses vagões de tal forma que, em cada vagão, haja
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Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
um homem adulto, uma mulher adulta e uma criança. Para
isso, estão disponíveis x homens adultos, y mulheres adultas
e z crianças. Nestas condições, será possível preencher
no máximo
(A) x vagões, se x é maior do que y e maior do que z.
(B) x vagões, se x é menor do que y e menor do que z.
(C) y vagões, se x é maior do que y e maior do que z.
(D) z vagões, se x é menor do que y e menor do que z.
(E) z vagões, se x é maior do que y e maior do que z.
O que determinará o número de vagões preenchidos será o menor valor, pois
haverá uma
pessoa de cada tipo em cada vagão. Então, quando o menor grupo tiver
acabado, as lotações se encerrarão.
Daí, aquele valor que FOR O MENOR DE TODOS, SERÁ TAMBÉM O
NÚMERO DE VAGÕES.
POR ISSO,LETRA "b"
Pronto, agora ao trabalho!
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41)Em seu primeiro dia de aula na faculdade, Adelson recebeu um cartão
com as seguintes instruções:
I-Suba as escadas e siga em frente pelo corredor principal se, e somente
se, seu destino for o Auditório Azul.
II- Se se destino for o Auditório Azul, desça as escadas
III-Suba as escadas
IV-Siga em frente pelo corredor principal ou vá para a sala 302.
Sabe-se que Adelson seguiu todas as instruções. Logo:
a)Seu destino era o Auditório Azul
b)seu destino não era o Auditório Azul ele foi para a sala 302.
c)chegou ao Auditório Azul, seguindo em frente pelo corredor principal
d)seguiu em frente pelo corredor principal e desceu as escadas
e)subiu as escadas
É um argumento com 4 premissas e todas são "verdadeiras".
De III, temos que é verdade que ele subiu as escadas
De II, temos que seu destino não é o auditório, pois é uma condicional com a
segunda parte falsa(Se é verdade que subiu, é falso que desceu)
De I, temos que a segunda parte é falsa(item anterior),logo a primeira parte
(frase com "e") também é falsa.
Se uma frase com "e" é falsa então ao menos uma parte dela é falsa, mas
a primeira é verdadeira (III) logo a segunda é falsa, daí.......
ele não foi pelo corredor principal.
De IV temos que a primeira parte é falsa (frase com "ou") logo a segunda é
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Questões resolvidas de Matemática Básica e Raciocínio Lógico, para o TJ-2012
verdadeira, ou seja ; ele ele foi para a sala 302
Conclusão: Existem duas alternativas verdadeiras, mas a letra "B" é
resultado da análise global e a letra "E", não.
Logo:..............................Letra "B"
É isso.
Desejo a você;
SUCESSO !!
Prof. Ivan Zecchin
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