FÍSICA
Prof. Edson Rizzo
CINEMÁTICA
AULA 1
A mecânica estuda os diferentes tipos de movimentos e as suas causas. A mecânica divide-se em:
Cinemática
Dinâmica
Mecânica
Estática
Hidrostática
Cinemática
É a parte da mecânica que estuda a descrição dos movimentos sem levar em conta suas causas.
Conceitos Básicos
Partícula ou Ponto Material
É um corpo cujas dimensões são consideradas desprezíveis em relação as demais dimensões
envolvidas no fenômeno. Um ponto material não possui tamanho, mas possui massa.
Um ponto material não sofre rotação em torno do seu eixo.
Movimento e Repouso
Uma partícula está em repouso, em relação a um dado referencial, quando sua posição permanece
a mesma e, em movimento, quando sua posição varia com o decorrer do tempo.
São estados cinemáticos que um corpo pode se apresentar são conceitos relativos, isto é,
dependem do referencial adotado.
Trajetória
É uma linha geométrica formada pelas sucessivas posições ocupadas por um ponto material, com o
decorrer do tempo. É um conceito relativo, isto é, depende do referencial adotado.
Espaço (s)
O espaço de uma partícula indica a posição que ela se encontra, em relação a um dado referencial.
O espaço pode ser positivo, negativo ou nulo.
Deslocamento Escalar ( s)
Ou variação do espaço. É a diferença entre as posições final e inicial de uma partícula.
1
Se as posições inicial e final forem as mesmas, o deslocamento escalar vale zero ( S = 0).
Portanto, não confunda deslocamento escalar ( S) com distância percorrida (d).
Se o movimento da partícula ocorrer num único sentido:
d = I SI
Se o movimento da partícula ocorrer nos dois sentidos (vai e vem):
d > I SI
Velocidade Escalar Média
É a razão entre o deslocamento escalar sofrido pela partícula e o respectivo intervalo de tempo.
Vm
S
t
unid(Vm )
unid(Vm )
S2 S1
t2 t1
m
(MKS ou SI)
s
km
(usual )
h
A velocidade instantânea mede a rapidez com que o espaço varia
Regra prática:
3,6
m
s
km
h
x 3,6
x 10
2
m
s
cm
s
x 10
-2
Movimento Uniforme (MU)
Características
A velocidade escalar é constante e diferente de zero.
vcte
0
A aceleração escalar é constante e igual a zero.
acte = 0
Como a velocidade é sempre a mesma, não existe aceleração. O móvel
percorre espaços iguais em tempos iguais.
Função Horária
(Equação de movimento)
S = S0 + v . t (1º grau)
S = espaço final
S0 = espaço inicial
v = velocidade
t = tempo
2
Classificação
Movimento Progressivo (v > 0)
O móvel se desloca no sentido da trajetória. Os espaços crescem algebricamente com o tempo.
Movimento Retrógrado (v < 0)
O móvel se desloca no sentido oposto ao da trajetória. Os espaços decrescem com o tempo.
EXERCÍCIOS - SÉRIE SALA
1. Um dos fatos mais significativos nas corridas de automóveis é a tomada de tempos, isto é, a medida do
intervalo de tempo gasto para dar uma volta completa no circuito. O melhor tempo obtido no circuito de
Suzuka, no Japão, pertenceu ao austríaco Gerard Berger, piloto da equipe Mclaren, que percorreu os 5874 m
da pista em cerca de 1 min 42 s.
Com base nesses dados, responda:
a) Quanto vale o deslocamento do automóvel de Gerard Berger no intervalo de tempo correspondente a
uma volta completa no circuito? (Justifique)
b) Qual a velocidade escalar média desenvolvida pelo carro do piloto austríaco em sua melhor volta no circuito?
(Justifique)
2.
Um veículo movimenta-se numa pista retilínea de 9 km de extensão. A velocidade máxima que ele
pode desenvolver no primeiro terço do comprimento da pista é 15 m/s e nos dois terços seguintes é de
20 m/s. O veículo percorreu essa pista no menor tempo possível. Dê a velocidade média desenvolvida.
3.
Um passageiro perde um ônibus que saiu da rodoviária há 5 minutos e pega um táxi para alcançá-lo.
O ônibus desenvolve uma velocidade média de 60 km/h o táxi uma de 90 km/h. Quantos minutos são
necessários ao táxi para alcançar o ônibus?
4. Dois móveis, A e B, percorrem uma trajetória retilínea conforme as funções horárias SA = 30 + 20t e
SB = 90 - 10t, sendo t em segundos.
a) Qual a distância entre os móveis no instante t =0?
b) Qual o instante de encontro dos dois móveis?
c) Quais os instantes em que a distância entre eles ficou igual a 60 m?
5. Um médico recém-formado trabalha em duas cidades A e B. Ele sai da cidade A às 12 horas e chega à
cidade B exatamente às 14 horas do mesmo dia. Normalmente a viajem é feita com velocidade média
de 50km/ h . Num dia de muito tráfego ele percorreu a metade do percurso com velocidade média de
40km/ h . Para chegar a tempo e não haver atraso, qual deve ser a velocidade média na parte restante
do percurso?
SÉRIE CASA
1. Dois móveis, P e Q, partem simultaneamente de um mesmo ponto com velocidade 5 m/s e 8 m/s,
respectivamente. Qual a distância entre eles, após 12 segundos de movimento, nos casos:
a) os dois móveis se móveis se movem na mesma direção e sentido.
b) os dois móveis se movem na mesma direção e em sentidos contrários.
c) os dois móveis se movem em direções perpendiculares.
2. Dois moveis se movimentam sobre uma mesma reta, em movimento uniforme, partindo
simultaneamente de dois pontos X e Y da reta, distanciados de 140 cm. Quando eles se movem em
sentidos opostos, eles se encontram 10s após a partida. Quando eles se movem no mesmo sentido,
eles se encontram após 70s. Determine as velocidades dos dois móveis.
3. Um homem, correndo, ultrapassa uma composição ferroviária, com 100 metros de comprimento, que se
move vagarosamente no mesmo sentido. A velocidade do homem é o dobro da velocidade do trem. Em
relação à terra, qual o espaço percorrido pelo homem, desde o instante em que alcança a composição
até o instante em que a ultrapassa?
3
4.
De duas cidadezinhas, ligadas por uma estrada reta de 10 quilômetros de comprimento, partem
simultaneamente, uma em direção a outra, duas carroças, puxadas cada uma por m cavalo à velocidade
de 5km/h. No instante de partida, uma mosca, que estava pousada na testa do primeiro cavalo, parte voando
em linha reta, com uma velocidade de 15km/h e vai pousar na testa do segundo cavalo. Após um
intervalo de tempo desprezível, parte novamente e volta, com a mesma velocidade de antes, em
direção ao primeiro cavalo até pousar em sua testa. E assim prossegue nesse vaivém, até que os dois
cavalos se encontram e a mosca morre esmagada entre as duas testas. Quantos quilômetros percorreu
a mosca?
5. Um observador, situado em C, vê passar uma carreta M dotada de velocidade constante 17 m/ s; 4,2
segundos depois ouve o choque da carreta contra o obstáculo AB. Sendo de 340 m/s a velocidade de
propagação do som no ar, determine a distância que separa o observador do obstáculo.
GABARITO
AULA 1 - SÉRIE AULA
1- a) Zero
2345-
b) 57,58 m/s
18 m/s
10 mim
a) 60 m
b) 2 s
200/3 Km/h
c) 0 e 4 s
SÉRIE CASA
1-
a) 36 m b) 156 m c) 113,2 m
2- 8 cm/s e 6 cm/s
3- 200 m
4- 15 Km
568 m
AULA 02
Movimento Uniformemente Variado (MUV)
Características
A velocidade escalar varia uniformemente com o tempo.
V variável
A aceleração escalar é constante e diferente de zero.
acte
0
Os deslocamentos ( S), em intervalos de tempos sucessivos e iguais, variam em progressão aritmética.
Aceleração Escalar Média
É a razão entre a variação da velocidade pelo intervalo de tempo, mede como a velocidade varia
por unidade de tempo.
am
V
t
v 2 v1
t2 t1
unid(am )
m
s
2
(MKS ou SI)
unid(am )
km
h2
(usual )
A aceleração instantânea mede, a rapidez com que a velocidade varia.
4
Função Horária dos Espaços.
S
S0
v0 t
at 2
2
ou
S
v0 t
at 2
2
Função Horária das Velocidades
v
v0 at
Equação de Torricelli
v2
v02
2a S
Velocidade Média
A velocidade escalar média pode ser calculada pela média aritmética entre a velocidade escalar inicial (v 0) e
a velocidade escalar final (v).
Classificação
Movimento Acelerado:
|v| aumenta
v . a > 0 (sinais iguais)
Movimento Retardado
|v| diminui
v . a < 0 (sinais opostos)
Legenda
MPUA – movimento progressivo uniformemente variado.
MPUR – movimento progressivo uniformemente retardado.
MRUR – movimento retrógrado uniformemente retardado.
MRUA – movimento retrógrado uniformemente acelerado.
EXERCÍCIOS - SÉRIE AULA
1. Um carro se movimenta sobre uma estrada retilínea com velocidade de 18 km/h. O motorista,
para não chegar atrasado a uma cidade X, acelera uniformemente até atingir a velocidade de 108 km/h em 5
segundos. Determine:
a) a aceleração no intervalo de 0 a 5s;
b) a distância percorrida pelo carro nesse mesmo intervalo.
2. Um corpo percorre em MUV o trajeto entre dois pontos A e B distantes entre si 200 metros. Ao passar
por A, sua velocidade é 36 km/h e por B, 108 km/h. Determine:
a) o tempo gasto para percorrer AB;
b) a velocidade do corpo 3 segundos após passar por B.
3.
Um automóvel desloca-se numa estrada retilínea com velocidade constante e igual a 108 km/h. Num
determinado instante, ele passa por um guarda que coloca sua moto em movimento com aceleração
2
constante e igual a 4 m/s e sai em perseguição ao automóvel. Pede-se:
a) o tempo gasto pelo guarda para alcançar o automóvel;
b) a velocidade da moto no instante em que alcança o automóvel;
c) qual a distância entre eles no instante em que a moto atinge a velocidade do automóvel.
4. Dois móveis partem do repouso, de um mesmo ponto e no mesmo instante. Sabendo que percorrem
2
2
trajetórias retilíneas e paralelas e se movem no mesmo sentido com aceleração de 4 m/s e 10 m/s ,
determine o instante em que a distância entre eles é 300 m.
5
5. Dois móveis, A e B, partem do mesmo ponto O, com movimentos retilíneos uniformemente variados
(sendo A, retardado, e B, acelerado) e percorrem as trajetórias
indicadas na figura.
O móvel A possui velocidade inicial de 40 m/s e fica reduzida a
36 m/s em 2 segundos. O móvel B parte do repouso e adquire,
no fim de 3 segundos, a velocidade de 30 m/s. Determine a
distância ente A e B no instante 8 s.
SÉRIE CASA
1. Um ponto material parte do repouso e em MUV adquire a velocidade de 30 m/s em 6 segundos.
Pede-se:
a) a sua aceleração;
b) a velocidade no instante 7s;
c) a distância percorrida durante o décimo segundo
2. Um avião, na decolagem, percorre, a partir do repouso e sobre a pista, 600 m em 15s, com aceleração
escalar constante. Determine a velocidade de decolagem do avião.
2
3. Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso, acelerando 0,50 m/s . Nesse instante, passa por
ele outro ciclista B, com velocidade constante de 5,0 m/s e no mesmo sentido que o ciclista A.
a) Depois de quanto tempo após a largada o ciclista A alcança o ciclista B?
b) Qual a velocidade do ciclista A ao alcançar o ciclista B?
4. Dois móveis, X e Y, parte simultaneamente de dois pontos, A e B, com movimentos cujos sentidos são,
-1
respectivamente, AB e BA e com a mesma velocidade inicial de 40 cm · s . O móvel X segue com
movimento uniformemente retardado e Y, com movimento uniformemente acelerado, ambos com uma
-1
aceleração de módulo 10 cm . s . Determine a posição do ponto de encontro e o instante em que se
verifica, sabendo que o móvel X atinge o ponto B com velocidade nula.
5. Dois pontos materiais, A e B, deslocam-se no mesmo sentido sobre a mesma reta com aceleração
2
2
constantes e respectivamente iguais a 20 m/s e 10 m/s . Sabendo que o movimento teve início no
instante t = 0,quando então o móvel A se encontrava a 30 m atrás do móvel B, e que neste instante as
velocidades de A e B eram respectivamente iguais a 10 m/s e 5 m/s, determine:
a) o instante em que o móvel alcança o móvel B;
b) as distâncias percorridas pelos móveis A e B até o instante do encontro;
c) as velocidades de A e B nesse instante.
GABARITO
2
SÉRIE AULA
1)
2)
3)
4)
5)
a) 5m/s
a) 10 s
a) 15 s
10 s
293,2 m
1)
2)
3)
4)
5)
a) 5 m/s
b) 35 m/s c) 47,5 m
80 m/s
a) 20 s
b) 10 m/s
SE = 35 cm e t = 1 s
a) 2 s
b)sA = 60 m e sB = 30 m
2
b) 87,5 m
b) 36 m/s
b) 60 m/s
c) 112,5 m
SÉRIE CASA
c) VA = 50 m/s e VB = 25 m/s
6
AULA 03
Lançamento Vertical e Queda Livre
Todos os corpos que se movimentam nas proximidades da superfície da Terra, na ausência do ar,
adquirem uma mesma aceleração constante, independente da sua massa; essa aceleração será
2
denominada aceleração de gravidade e seu valor aproximado é, g = 9,8 m/s . Na resolução dos exercícios
2
usaremos g = 10 m/s .
Como nessas situações os corpos se deslocam com uma aceleração constante, esse movimento
vertical é um caso particular de movimento uniformemente variado. Assim sendo, você deverá se utilizar das
funções anteriormente apresentadas no estudo e equacionamento dos problemas, lembrando que:
S
S0 v 0t
v
v0 at
v2
a 2
t
2
v02 2a S
Você deverá tomar um cuidado especial no momento de atribuir um sinal para o valor da aceleração.
Ele dependerá apenas da orientação que você atribuir à trajetória.
trajetória orientada para “cima”  a = -g
trajetória orientada para “baixo”  a = +g
Queda Livre (MUV)
2
a = g = 9,8 m/s
h
gt 2
2
t
2h
g
v
gt
v
2gh
Lançamento Vertical (MUV)
2
a = -g = -9,8 m/s
Subida
MPUR
v
a
0
0
Descida
MRUA
v
a
0
0
O tempo de subida é igual ao tempo de descida (queda)
ts = tq
Na altura máxima a velocidade da partícula vale zero e a aceleração é a gravidade.
v=0
a = -g
A velocidade com que a partícula retorna ao solo é igual a velocidade com que ela foi lançada, porém com
sinal trocado.


Vr
V0
7
Equações de Movimento
h V0t
v
v0
2
2
vv2 =v 0v20 –
2gt
2g s
gt 2
2
v 0
gt
v 0
v0
g
(tempo de subida)
ts
v 02
2g
(altura máxima)
hmax
EXERCÍCIOS - SÉRIE SALA
1. A famosa cachoeira de Itiquira tem uma altura de, aproximadamente, 180 m. Desprezando a
2
resistência do ar e considerando a aceleração da gravidade local igual a 10 m/s , determine:
a) a velocidade da água na base da cachoeira.
b) o tempo gasto na queda
2. De um helicóptero que desce verticalmente é abandonada uma pedra, quando ele se encontra
100 m do solo. Sabendo que a pedra leva 4s para atingir o solo, determine a velocidade de descida do
2
helicóptero, no momento em que a pedra é abandonada. Adote g = 10 m/s .
3. Um balão está subindo à razão de 15 m/s e encontra-se a uma altura de 90 m acima do solo,
2
quando dele se solta uma pedra. Quanto tempo leva a pedra para atingir o solo? Admitir g = 10 m/s .
4. No instante em que um corpo é abandonado de um ponto situado a 400 m acima do solo, outro é
lançado do solo, no sentido ascendente seguindo a mesma vertical. Determine a velocidade inicial do
2
segundo corpo para que encontre o outro a 320 m do solo. Admitir g = 10 m/s .
5. Do topo de uma elevação lança-se verticalmente para cima uma pedra com velocidade de 5 m/s. Após
2 s lança-se outra pedra de um ponto situado a 225 m do solo, na mesma vertical, de baixo para cima
com velocidade de 60 m/s. Determine a altura da elevação, sabendo que as duas pedras chegam ao
2
solo no mesmo instante. Admitir g = 10 m/s .
SÉRIE CASA
1. Perto da superfície de certo planeta, uma pedra, abandonada em repouso na data zero, percorre
15 m entre as datas zero e 2,0 s. Desprezando os efeitos do ar ambiente, determine a distância
percorrida pela pedra entre as datas 4,0 s e 6,0 s.
2. Um projétil é lançado verticalmente de baixo para cima com velocidade inicial de 200 m/s, e
8,0 segundos depois ouve-se sua explosão no ponto de lançamento. Calcule o tempo t1 desde o
2
lançamento até o instante da explosão e sua velocidade v1 nesse instante. Adote g = 10 m/s e
vsom = 340 m/s.
3. Dois móveis, A e B, são lançados verticalmente para cima com a mesma velocidade inicial de 40 m/s,
do topo de um edifício de 30 m de altura. O móvel B é lançado 3s após o lançamento do móvel A.
2
Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s , pede-se:
a) o instante em que os móveis se encontram a partir do instante em que o segundo foi lançado;
b) as velocidades de A e B nesse instante.
4. Da altura de 144 metros deixamos cair um corpo sem velocidade inicial. Queremos dividir aquela altura
em duas partes h1 e h2 tais que sejam percorridas em intervalos de tempos iguais.
2
Admitindo g = 10 m/s , determine h1 e h2.
8
5. A figura representa o gráfico posição x tempo do
movimento de um corpo lançado verticalmente para
cima, com velocidade inicial V0, na superfície de
um planeta
a) Qual o valor da aceleração da gravidade na
superfície do planeta?
b) Qual o valor da velocidade inicial V0?
GABARITO
SÉRIE SALA
1)
2)
3)
4)
5)
a) 60 m/s
b) 6 s
5 m/s
6 s ou 12 s
100m/s
1360m.
1)
2)
3)
4)
5)
75 m
t = 5,5 s e V1 = 145 m/s
a) 2,5s b) –15m/s e 15m/s.
h1 = 36 m e h2= 108 m
2
a) 2 m/s
b) 6 m/s
SÉRIE CASA
AULA 04
Movimento Circular Uniforme (MCU)
Características
Período (T)
É o intervalo de tempo gasto pelo móvel para dar uma volta completa em sua trajetória. Medido em segundo (s).
Freqüência (f)
-1
É o número de voltas executadas pelo móvel em uma unidade de tempo. Medida em hertz (Hz = s )
f
n
t
f .T 1
f
1
T
Velocidade Escalar
v
S
t
2 R
T
2 Rf (m/s)
Velocidade Angular
t
2
T
2 f (rad/s)
Relação entre V e
v
R
9
Aceleração Centrípeta (normal ou radial)
v2
R
ac
2
v (m/s2 )
R
A aceleração centrípeta é responsável pela variação da direção do vetor velocidade.
Aplicações Importantes
Duas polias girando em torno de eixos diferentes
v1
v2
1R1
2R2
f1R1
f2R2
Duas polias girando em torno de um mesmo eixo.
1
f1
v1
R1
2
v2
R2
f2
Velocidade Vetorial Média

A velocidade vetorial média é dada pela razão entre o vetor deslocamento ( r ) e o intervalo de tempo gasto.

vm

r
(m/s)
t
Velocidade Vetorial Instantânea
A velocidade vetorial tem direção sempre tangente à trajetória, tem o mesmo sentido do movimento
do corpo.
10
Aceleração Vetorial Média

A aceleração vetorial média é dada pela razão entre a variação da velocidade vetorial ( v ) e o intervalo de
tempo gasto.

am
|

v
|

v
|
t
|2 v12 v 22 2v1 v 2 cos
Aceleração Vetorial Instantânea
Para um movimento curvo e variado, a aceleração vetorial admite um componente na direção da tangente à


trajetória (at ) e um componente na direção da normal à trajetória (ac ) .

a
a
 
ac at
2
ac
2
(vetorial)
2
at (módulo)
A aceleração tangencial é responsável pela variação do módulo do vetor velocidade.
at
v
(m/s)
t
a
A aceleração centrípeta é responsável pela variação da direção do vetor velocidade
ac
v2
R
2
R
v (m/s2)
Estudo Vetorial de Alguns Movimentos
RESUMO
Movimento
Trajetória

V

a1

ac

a
direção
constante
nula
nula
Nula
nula
não
nula

a

ac
não
nula
nula

a

at
não
nula
não
nula

V constante
retilínea
Uniforme

V constante
curvilínea
direção
variável

V variável
direção
constante

V variável
direção
variável
retilínea
Variado
curvilínea
11

a
 
at ac
SÉRIE SALA
1. Um corpo efetua em 2 minutos 300 voltas numa circunferência. Determine a frequência do movimento
em ciclos/minuto, rpm e em Hz.
2. Quando acionamos um cronômetro para estudar o movimento de um corpo que percorria uma
circunferência, ele havia descrito um ângulo de 45º. Sabendo-se que a frequência do movimento é
8 rps, pede-se o ângulo descrito em 2 segundos.
3. Calcule a velocidade angular média de um móvel que percorre uma circunferência de raio 20 cm,
partindo da origem da contagem dos arcos e percorrendo 4 cm em 2 segundos.
4. Um corpo descreve uma trajetória circular com velocidade angular ω = 2 rad/s constante, preso a um
barbante de comprimento L = 1 m. Uma formiga sai no instante t = 0 da origem, e caminha pelo
barbante com velocidade relativa v = 1 cm/s. Determine o número de voltas que a formiga dá ao redor
da origem até atingir o corpo.
5. Para o acoplamento de polias indicadas na figura
temos: RC = 5m, RB = 20 cm, FC = 2 rpm. Calcule a
frequência da polia A.
SÉRIE CASA
1. A roda de um automóvel efetua 1800 rpm. Determine o período da roda em minutos e em segundos.
2. Um disco de eletrola gira a 45 rpm. Sendo o diâmetro do disco igual a 16 cm, determine a velocidade
linear de um ponto de sua periferia. Adote = 3,14.
3. O esquema representa uma polia que gira em torno de um eixo. A velocidade do ponto A é 50 cm/s e a
do ponto B é 10 cm/s. A distância AB vale 20 cm.
Determine:
a) a velocidade angular da polia;
b) o diâmetro da polia.
4. Determine a velocidade de um projétil disparado contra um alvo rotativo disposto a 15 metros de
distância, sabendo que o alvo executa 300 rotações por minuto, e o arco medido entre o ponto visado
no momento do disparo e o ponto de impacto do projétil no alvo é de 180º.
5. Duas polias de centros A e B e raios RA e RB estão ligadas por uma correia. Na polia A existe um furo
F e observa-se que durante o movimento do sistema o furo executa movimento periódico de período T.
Pede-se:
Dados: T = 0,02s
RA = 20 cm
RB = 5 cm
a) as velocidades angulares das duas polias;
b) a velocidade escalar da correia.
GABARITO
1) 150 e
2) 2925º
2,5 Hz
SÉRIE SALA
3) 0,1 rad/s
4) 100
SÉRIE CASA
1)
2)
3)
4)
5)
1/1800 mim e 1/30 s
0,38 m/s
a) 2 rad/s b) 50 cm
150 m/s
a) ωA = 100π rad/s
ωB = 400π rad/s
b) VB = 2000π cm/s
12
5) 0,5 rpm