CÉSAR RIBEIRO
MATEMÁTICA
fDICAS E MACETESe
CÉSAR RIBEIRO
MATEMÁTICA
fDICAS E MACETESe
Esta amostra do livro exibe um pouco do seu conteúdo: mais de duzentas questões
resolvidas, onde o candidato pode aproveitar as dicas mostradas durante a
resolução. No final de cada capítulo, questões de vestibulares e de concursos de
admissão às principais escolas militares que exigem conhecimentos de ensino
médio.
Este primeiro volume visa a cobrir o conteúdo programático da primeira série do
ensino médio.
Como comprar?
Através do site: http://www.escolademestres.com/dicasemacestes.
Através do site http://www.matdm.hpg.com.br.
Diretamente na Escola de Mestres, Rua Siqueira Campos 43 – 515 –
Copacabana – RJ – horário de 14:00h às 21:00h.
Filiais do Curso Progressão – Rio de Janeiro – RJ (21 2413-9300).
Filiais do Curso Intelecto – Rio de Janeiro – RJ (21 3384-3242).
SUMÁRIO – PRIMEIRO VOLUME CAPÍTULO 00: OS CONCURSOS E ESTE TRABALHO – UM PAPO SUPERLEGAL E
MUITO IMPORTANTE ............................................................................................................ 013
CAPÍTULO 01: NOÇÕES DE LÓGICA.
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................
PROPOSIÇÃO E SENTENÇA ABERTA .....................................................................................
CONECTIVOS .............................................................................................................................
QUANTIFICADORES – NEGAÇÃO ...........................................................................................
A CONTRAPOSITIVA .................................................................................................................
“PRECEDÊNCIA” ENTRE OS CONECTIVOS ..........................................................................
TAUTOLOGIA × CONTRADIÇÃO .............................................................................................
ALGUMAS QUESTÕES QUE ENVOLVEM RACIOCÍNIO LÓGICO ........................................
COMPLEMENTO AO CAPÍTULO: A INDECIDIBILIDADE ....................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
021
021
021
025
026
026
028
029
034
035
038
040
CAPÍTULO 02: INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DOS CONJUNTOS.
CONJUNTO – REPRESENTAÇÃO .............................................................................................
CONJUNTOS VAZIO, UNITÁRIO, FINITO E INFINITO ..........................................................
CONJUNTOS IGUAIS .................................................................................................................
CONJUNTO UNIVERSO .............................................................................................................
SUBCONJUNTO – INCLUSÃO ..................................................................................................
UNIÃO, INTERSECÇÃO E DIFERENÇA ...................................................................................
CONJUNTO DAS PARTES .........................................................................................................
COMPLEMENTAR ......................................................................................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
041
041
041
042
042
043
047
048
050
053
059
CAPÍTULO 03: CONJUNTOS NUMÉRICOS.
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................
CONJUNTO N (NÚMEROS NATURAIS) ...................................................................................
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL ....................................................................................
TOTAL DE ALGARISMOS USADOS PARA ESCREVER OS NÚMEROS DE 1 A N .................
CONJUNTO Z (NÚMEROS INTEIROS) ....................................................................................
DIVISÃO EM Z ...........................................................................................................................
MÚLTIPLO E DIVISOR EM Z ...................................................................................................
PRINCIPAIS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE .......................................................................
NÚMERO PRIMO .......................................................................................................................
FATORAÇÃO DE UM NÚMERO INTEIRO POSITIVO ............................................................
QUANTIDADE DE DIVISORES POSITIVOS .............................................................................
M.D.C. (MÁXIMO DIVISOR COMUM) ......................................................................................
M.M.C. (MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM) ..................................................................................
060
060
060
061
061
062
062
063
063
063
063
064
065
M.D.C. OU M.M.C. DE NÚMEROS FATORADOS ....................................................................
CONJUNTO Q (NÚMEROS RACIONAIS) .................................................................................
PROBLEMAS COM TORNEIRAS ...............................................................................................
CONJUNTO I (NÚMEROS IRRACIONAIS) ..............................................................................
CONJUNTO R (NÚMEROS REAIS) ...........................................................................................
SIMÉTRICO, MÓDULO E INVERSO MULTIPLICATIVO ........................................................
POTENCIAÇÃO – PROPRIEDADES .........................................................................................
RADICIAÇÃO ..............................................................................................................................
PRINCIPAIS CASOS DE RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES ..................................
INTERVALOS ..............................................................................................................................
INTERVALOS INFINITOS ..........................................................................................................
NOTAÇÃO CIENTÍFICA .............................................................................................................
INDUÇÃO FINITA OU INDUÇÃO MATEMÁTICA ...................................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
066
066
067
068
068
069
070
072
073
074
074
075
075
076
078
091
CAPÍTULO 04: RELAÇÕES BINÁRIAS.
PRODUTO CARTESIANO – PAR ORDENADO ........................................................................
PLANO CARTESIANO – COORDENADAS RETANGULARES .................................................
RELAÇÃO – DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM ........................................................
PROPRIEDADES DAS RELAÇÕES ...........................................................................................
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ................................................................................................
RELAÇÃO INVERSA ...................................................................................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
092
093
094
096
097
097
099
101
102
CAPÍTULO 05: FUNÇÕES.
FUNÇÃO OU APLICAÇÃO – DEFINIÇÃO ...............................................................................
ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO ............................................................................
PLANO CARTESIANO ORTOGONAL – COORDENADAS RETANGULARES ........................
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO ...................................................................
DOMÍNIO E IMAGEM ATRAVÉS DO GRÁFICO .....................................................................
VALOR DA FUNÇÃO NUM PONTO ..........................................................................................
TRANSFORMAÇÕES SOBRE GRÁFICOS DE FUNÇÕES .......................................................
RAIZ DE UMA FUNÇÃO ............................................................................................................
FUNÇÕES PAR E ÍMPAR ...........................................................................................................
SINAL DE UMA FUNÇÃO ..........................................................................................................
QUALIDADES DE UMA FUNÇÃO ............................................................................................
FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE (MONOTONICIDADE) ......................
FUNÇÃO INVERSA .....................................................................................................................
FUNÇÃO COMPOSTA ...............................................................................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
103
104
106
106
109
110
111
114
114
115
116
118
119
120
122
125
137
CAPÍTULO 06: FUNÇÕES DA FORMA y = ax + b.
FUNÇÃO CONSTANTE ..............................................................................................................
FUNÇÕES POLINOMIAIS DO PRIMEIRO GRAU ...................................................................
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = x .......................................
RAIZ OU ZERO ...........................................................................................................................
VARIAÇÃO DO SINAL ................................................................................................................
INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE – RESOLUÇÃO ...................................................
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS ..................................................................................................
INEQUAÇÕES-POTÊNCIA ........................................................................................................
COMPLEMENTOS AO CAPÍTULO: DESIGUALDADES – PROPRIEDADES ........................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
CAPÍTULO 07: FUNÇÃO QUADRÁTICA.
FUNÇÃO QUADRÁTICA (TRINÔMIO DO 2º GRAU) – ESBOÇO DO GRÁFICO ..................
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = x2 ......................................
RAÍZES OU ZEROS E VARIAÇÃO DO SINAL ...........................................................................
MÁXIMO OU MÍNIMO, CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO, CONJUNTO IMAGEM E
EIXO DE SIMETRIA ...................................................................................................................
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º GRAU .......................................................................
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU – DEFINIÇÃO ...............................................................................
INEQUAÇÕES PRODUTO OU QUOCIENTE ...........................................................................
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS ..................................................................................................
INEQUAÇÕES-POTÊNCIA ........................................................................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
139
139
142
143
143
144
146
147
148
149
151
161
162
164
167
169
171
171
172
172
173
174
177
192
CAPÍTULO 08: FUNÇÃO EXPONENCIAL.
FUNÇÃO EXPONENCIAL – DEFINIÇÃO .................................................................................
ESBOÇO DO GRÁFICO .............................................................................................................
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = ax ......................................
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ....................................................................................................
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS ................................................................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
194
194
196
198
202
204
208
215
CAPÍTULO 09: FUNÇÃO LOGARÍTMICA.
LOGARITMO ...............................................................................................................................
ANTILOGARITMO ......................................................................................................................
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS ......................................................................................
MUDANÇA DE BASE .................................................................................................................
COLOGARITMO .........................................................................................................................
FUNÇÃO LOGARÍTMICA – DEFINIÇÃO .................................................................................
ESBOÇO DO GRÁFICO .............................................................................................................
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = loga x ................................
216
216
217
220
223
223
224
225
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS ...................................................................................................
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS ...............................................................................................
LOGARITMO NEPERIANO OU NATURAL ...............................................................................
LOGARITMO DECIMAL ............................................................................................................
COMPLEMENTOS AO CAPÍTULO: POTÊNCIAS DE EXPOENTE REAL ..............................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
TÁBUA DAS MANTISSAS DOS LOGARITMOS DECIMAIS .....................................................
226
232
232
233
237
237
239
256
257
CAPÍTULO 10: FUNÇÃO MODULAR.
MÓDULO ....................................................................................................................................
PROPRIEDADES DO MÓDULO ...............................................................................................
FUNÇÃO MODULAR – GRÁFICOS ..........................................................................................
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DA FUNÇÃO y = f(x) ..................
EQUAÇÕES MODULARES ........................................................................................................
DESIGUALDADES COM MÓDULOS – INEQUAÇÕES ...........................................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
262
262
263
265
269
272
275
279
286
CAPÍTULO 11: PROGRESSÕES.
SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS ......................................................................................................
TERMO GERAL – LEI DE RECORRÊNCIA ..............................................................................
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) ..........................................................................................
TERMO GERAL ...........................................................................................................................
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A. .................................................................
PROPRIEDADES ........................................................................................................................
INTERPOLAÇÃO ........................................................................................................................
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) .......................................................................................
TERMO GERAL ...........................................................................................................................
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G. .................................................................
LIMITE DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. CONVERGENTE (COM –1 < q < 1) ..........
PRODUTO DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G. .........................................................
PROPRIEDADES ........................................................................................................................
INTERPOLAÇÃO ........................................................................................................................
COMPLEMENTO AO CAPÍTULO: SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI .........................................
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................................
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES ..............................................................................
RESPOSTAS ................................................................................................................................
287
287
288
288
290
292
293
293
294
295
296
299
300
303
303
304
307
318
APÊNDICE.
FORMULÁRIO-RESUMO DO PRIMEIRO VOLUME ...............................................................
321
CÉSAR RIBEIRO
MATEMÁTICA
fDICAS E MACETESe
Capítulo 3
Conjuntos Numéricos
(Amostra)
CÉSAR RIBEIRO
MATEMÁTICA
fDICAS E MACETESe
de óleo era igual a 2/3 e que a soma era igual a 7/3. O valor do quadrado da
quantidade de óleo somado ao quadrado da quantidade de água vale:
a) 35/3. b) 37/9. c) 43/8. d) 35/4. e) 23/6.
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES – IME:
1) IME - 1990 - A coleção de selos de Roberto está dividida em três volumes. Dois
décimos do total de selos estão no primeiro volume, alguns sétimos do total estão
no segundo volume e 303 selos estão no terceiro volume. Quantos selos Roberto
tem?
2) IME - 1992 - Indique se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que se segue e justifique
sua resposta.
a) o conjunto dos números reais não tem pontos extremos reais.
b) existe um número em Q (racionais) cujo quadrado é 2.
c) o ponto correspondente a 66/77 na escala dos números reais R está situado
entre os pontos 55/66 e 77/88.
3) IME - 1999 - Considere quatro números inteiros a, b , c e d. Prove que o
produto:
(a - b)(c - a)(d - a)(d - c)(d - b)(c - b) é divisível por 12.
4) IME - 2000 - Prove que, para qualquer número inteiro k, os números k e k5
terminam sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades).
(Sugestão de amigo: calcular o valor do algarismo das unidades de k5 para k
terminando em 0, 1, 2, ..., 9).
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES – ITA:
1) ITA – 2003 – O número de divisores de 17 640 que, por sua vez, são divisíveis
por 3 é:
a) 24. b) 36. c) 48. d) 54. e) 72.
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES – ESCOLA NAVAL:
1) E.N. – 1989 – O 1989º algarismo depois da vírgula na expansão decimal de 5/39
é:
a) 0. b) 1. c) 2. d) 5. e) 8.
2) E.N. – 1990 – Escrevem-se os inteiros positivos em ordem crescente
12345678910111213... O 1991º algarismo escrito é:
a) 0. b) 1. c) 3. d) 4. e) 5.
3) E.N. – 1992 – Sejam A = [0, 2], B = (-1, 2] e C = (1, 3). O complemento de A
∩ (B – C) em relação ao conjunto B é igual a:
a) (-1, 0) ∪ [1, 2]. b) (-1, 2). c) (-1, 0] ∪ [1, 2]. d) (-1, 1]. e) (-1, 0) ∪ (1, 2].
1
4) E.N. – 1992 – Temos < 2 se e somente se:
x
a) x > 1/2. b) x < 1/2. c) 0 < x < 1/2. d) x < 0 ou x > 1/2. e) x < 0.
CÉSAR RIBEIRO
MATEMÁTICA
fDICAS E MACETESe
RESPOSTAS:
QUESTÕES DE VESTIBULARES:
1) d 2) b 3) a 4) e 5) a 6) b 7) c 8) b 9) d 10) b 11) e 12) b 13) a
14) b 15) d 16) d 17) 10, 20, 30 18) c 19) b 20) d 21) e 22) b 23) c
24) c 25) o teste foi anulado, porque, sendo x um número natural, ou inteiro, ou
racional ou irracional, será também real. 26) a 27) e
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES:
CFT: 1) c 2) b 3) c 4) d 5) b 6) b
EEAR: 1) a 2) c 3) c 4) c 5) b 6) d 7) a 8) a 9) c 10) d
13) c 14) b 15) c 16) b 17) a 18) b 19) b 20) b 21) c 22) a
25) d 26) d 27) d 28) d 29) c 30) d 31) a 32) d 33) a
36) b 37) d 38) d 39) a 40) a 41) b
EPCAR: 1) c 2) c 3) d 4) b 5) d 6) c 7) a 8) a 9) d 10) c
13) b 14) b 15) d 16) d 17) d 18) d 19) d 20) d 21) c 22) d
ESPCEX: 1) e 2) d 3) c 4) e 5) c 6) a 7) c 8) e 9) b
AFA: 1) b 2) c 3) c 4) d
EFOMM: 1) e 2) b 3) c 4) d 5) b
IME: 1) 3 535 2) a) V b) F, porque o número cujo quadrado é 2 é
racional c) V 3) usar sugestão 4) usar sugestão
ITA: 1) c
E.N.: 1) e 2) a 3) e 4) d
11) b 12) b
23) b 24) a
34) d 35) b
11) b
12) a
2 , que não é
CÉSAR RIBEIRO
MATEMÁTICA
fDICAS E MACETESe
Capítulo 7
Função Quadrática
(Amostra)
CÉSAR RIBEIRO
MATEMÁTICA
fDICAS E MACETESe
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (ITA – 1986) Sejam a, b, c números reais dados com a < 0.
−b
Suponha que x1 e x2 sejam as raízes da função y = ax2 + bx + c e x1 < x2. Sejam x3 =
e x4 =
2a
2b + b 2 − 4ac
. Sobre o sinal de y, podemos afirmar que:
−
4a
a) y < 0, ∀ x ∈ R, x1 < x < x3.
b) y < 0, ∀ x ∈ R, x4 < x < x2.
c) y > 0, ∀ x ∈ R, x1 < x < x4.
d) y > 0, ∀ x ∈ R, x > x4.
e) y < 0, ∀ x ∈ R, x < x3.
RESOLUÇÃO:
−b
, temos que x3 é a abscissa do vértice da parábola. Vamos escrever x4 de
Sendo x3 =
2a
uma forma melhor de se ver:
2b + b 2 − 4ac − 2b − b 2 − 4ac − b − b − b 2 − 4ac − b − b − b 2 − 4ac
x4 = −
.
=
=
=
+
4a
4a
4a
4a
4a
Colocando 1/2 em evidência, ficamos com:
1  − b − b − b 2 − 4ac  1
x4 = 
= (x + x1 ) .
+
 2 3
2  2a
2a

Podemos, portanto, concluir que o esboço do gráfico da função dada na questão é:
x1 x4 x3
x2
Pelo esboço do gráfico, é fácil perceber que y < 0 ⇔ x < x1 ou x > x2. Ou ainda: y > 0 ⇔
x1 < x < x2, o que nos permite concluir que y > 0, ∀ x ∈ R, x1 < x < x4.
RESPOSTA: alternativa c.
DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = x2:
Toda função quadrática da forma f(x) = ax2 + bx + c pode ser escrita na seguinte forma:
f(x) = a(x – xV)2 + yV
De onde fica fácil perceber que houve uma translação horizontal (determinada pela
subtração de xV, a abscissa do vértice); também houve uma dilatação ou compressão
(determinada por |a|) da função y = (x – xV)2, seguida de uma translação vertical (determinada
pela adição de yV, a ordenada do vértice). Vejamos: seja a função f(x) = 2x2 – 3x + 5.
CÉSAR RIBEIRO
•
•
MATEMÁTICA
fDICAS E MACETESe
b
−3 3
=−
= .
2a
4 4
(−3) 2 − 4.2.5
∆
9 − 40 31
yV = −
=−
=−
= .
4a
8
8
8
xV = −

Esta função, então, pode ser escrita na forma f ( x) = 2 x −

translação e uma compressão, vem:
y
y
9/16
x
O
função y = x2
y
f(x) = (x – ¾)2
f(x) = x2
O
2
3
31
. Aplicando uma
 +
4
8
f(x) = 2(x – ¾)2
9/8
¾
x
translação horizontal
O
¾
x
“compressão”
Finalmente, a translação vertical que corresponde ao gráfico procurado:
y
2
3
31

y = 2 x −  +
4
8

5
31/8
9/8
O
¾
x
Caso a função fosse f(x) = –2x2 + 3x – 5, trabalharíamos, ainda, a simetria em relação ao
eixo das abscissas (Ox), após a translação vertical, o que faria com que o esboço do gráfico
tivesse concavidade para baixo, assim:
CÉSAR RIBEIRO
MATEMÁTICA
O
¾
fDICAS E MACETESe
x
–31/8
–5
OBS.: A forma f(x) = a(x – xV)2 + yV, acima apresentada, pode facilmente ser obtida da forma
2

b 
∆ 
y = a  x +
 − 2  , chamada de forma canônica da função quadrática. Lembrando ainda
2a 
4a 

b
∆
que xV = −
e que yV = −
, temos:
2a
4a
2
2

b 
b 
∆
∆ 

2
y = a  x +
= a (x − xV ) + yV
 −
 − 2  = a x +
2a 
2a 
4a
4a 


CÉSAR RIBEIRO
MATEMÁTICA
fDICAS E MACETESe
Capítulo 8
Função Exponencial
(Amostra)
CÉSAR RIBEIRO
MATEMÁTICA
fDICAS E MACETESe
y
16
soluções
2
O
2
4
x
Há uma solução para x0 < 0 (a título de curiosidade, essa solução é aproximadamente
–0,767) e duas outras, positivas, x1 = 2 e x2 = 4. A partir de x = 4, a função exponencial
crescerá mais rápido que a quadrática, não havendo novo risco de os gráficos se intersectarem.
Há, portanto, três soluções para a igualdade.
RESPOSTA: alternativa c.
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS:
Se ax = ay, então x = y. Basicamente é este o princípio utilizado para resolver equações
exponenciais: trabalharmos com bases iguais. Há equações que se resolvem com o auxílio de
artifícios, conforme veremos abaixo:
EXERCÍCIO RESOLVIDO: Resolver as equações exponenciais:
a) 2x = 32.
b) 9x+1 = 81x.
c) 5x + 125 . 5-x = 30.
d) 3x+4 = 7x+4.
RESOLUÇÃO:
a)
2x = 32.
2x = 25 ⇒ x = 5.
S = {5}.
b)
9x+1 = 81x.
(32)x+1 = (34)x ⇒ 32x+2 = 34x ⇒ 2x + 2 = 4x ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1.
S = {1}.
c)
5x + 125 . 5-x = 30.
Fazendo 5x = y, vem:
 y1 = 25
125
.
= 30 ⇒ y 2 − 30 y + 125 = 0 ⇒ 
y+
y
y2 = 5
Se y = 25 ⇒ 5x = 52 ⇒ x = 2.
Se y = 5 ⇒ 5x = 5 ⇒ x = 1.
S = {1, 2}.
x
d)
x+4
3
x+4
=7
4
x
3
7
 3
3
⇒3 .3 =7 .7 ⇒   =  ⇒  = 
7
3
7
7
x
S = {–4}.
RESPOSTA: a) S = {5}
4
x
−4
4
b) S = {1}
c) S = {1, 2}
d) S = {–4}
⇒ x = −4 .
CÉSAR RIBEIRO
MATEMÁTICA
fDICAS E MACETESe
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (VUNESP) Se x é um número real positivo tal que
( )
x
x
2
2 x = 2 x+2 ,
x2
x
então
é igual a:
2
a) 1. b) x. c) x . d) x3. e) x4.
RESOLUÇÃO:
Vamos igualar os expoentes: x2 = x + 2 ⇒ x2 – x – 2 = 0 ⇒ x = –1 (não serve) ou
( )
x
x2
( )
x
= 2
x=2⇒
RESPOSTA: alternativa b.
x
2
2
22
=
( 2)
2
= 2 = x.
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (FEI) A igualdade 7x + 7x–1 = 8x se verifica:
a) apenas para valores irracionais de x.
b) apenas para x = 1.
c) para x = 0 e x = 1.
d) para x = 1 e x = –1.
e) nenhuma das anteriores.
RESOLUÇÃO:
Trata-se de uma equação em que se deve escrever apenas as potências de expoente “x”
e, mediante algumas operações algébricas simples, chegarmos facilmente a uma igualdade
mais simples:
x
7x
7 .7 x + 7 x
7
7
= 8x ⇒
= 8 x ⇒ 7 x (7 + 1) = 7.8 x ⇒ 8.7 x = 7.8 x ⇒   = .
7
7
8
8
Desta última igualdade, é fácil concluir que x = 1.
RESPOSTA: alternativa b.
7x + 7x–1 = 8x ⇒ 7 x +
EXERCÍCIO RESOLVIDO: (U. Amazonas) Em pesquisa realizada, constatou-se que a
população (P) de determinada bactéria cresce segundo a expressão P(t) = 25 . 2t, onde t
representa o tempo em horas. Para atingir uma população de 400 bactérias, será necessário
um tempo de:
a) 4 horas. b) 3 horas. c) 2 horas e 30 minutos. d) 2 horas. e) 1 hora.
RESOLUÇÃO:
Façamos P(t) = 400 e fiquemos com: 25 . 2t = 400 ⇒ 2t = 16 ⇒ t = 4.
RESPOSTA: alternativa a.
EXERCÍCIO
RESOLVIDO:
( 3 + 2) + ( 3 − 2)
x
(UECE)
Se
x1
e
x2
são
as
raízes
da
equação
x
= 2 3 , então x12 + x22 é igual a:
a) 2. b) 5. c) 10. d) 17.
RESOLUÇÃO:
3− 2=
Primeiramente, há que se observar que:
Então, ficamos com:
( 3 + 2)
x
+
1
( 3 + 2)
x
1
.
3+ 2
=2 3.
Fazendo uma substituição de variável do tipo y =
2 3 y + 1 = 0. Resolvendo esta equação, encontramos y =
( 3 + 2 ) , vem:
x
3± 2.
y+
1
= 2 3 ⇒ y2 –
y