XXXII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE
MATEMÁTICA
Primeira Fase – Nível 1
6o ou 7o ano
Esta prova também corresponde à prova da
Primeira Fase da Olimpíada Regional nos
Estados de:
AL – BA – ES – GO – MG – PA – RS – RN –
SC
12 de junho de 2010
A duração da prova é de 3 horas.
Cada problema vale 1 ponto.
Não é permitido o uso de calculadoras nem consultas a notas ou livros ou ainda o uso do telefone celular.
Você pode solicitar papel para rascunho.
Entregue apenas a folha de respostas.
Ao participar o aluno se compromete a não divulgar o conteúdo das questões até a publicação do gabarito no site da OBM.
1. Qual dos números a seguir não é múltiplo de 15?
A) 135
B) 315
C) 555
D) 785
E) 915
2. Ana, Esmeralda e Lúcia têm, juntas, 33 reais. Ana e Esmeralda, juntas, têm 19 reais e Esmeralda e Lúcia,
juntas, têm 21 reais. Quantos reais tem Esmeralda?
A) 6
B) 7
C) 10
D) 12
E) 14
3. Aumentando 2% o valor um número inteiro positivo, obtemos o seu sucessor. Qual é a soma desses dois
números?
A) 43
B) 53
C) 97
D) 101
E) 115
4. Qual é o maior número de fichas que podemos colocar em um tabuleiro 5 × 5 , no máximo uma em cada casa,
de modo que o número de fichas em cada linha e cada coluna seja múltiplo de 3?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 15
E) 24
5. Carlos tem 2010 blocos iguais de 10 cm de largura por 20 cm de
comprimento e 1,5 cm de espessura e resolveu empilhá-los
formando uma coluna de 20 cm de largura por 40 cm de
comprimento, como na figura. Qual dos valores a seguir, em
metros, é o mais próximo da altura dessa coluna?
A) 7
B) 7,5
C) 8
D) 8,5
E) 9
6. Qual das alternativas apresenta um divisor de 35 ⋅ 44 ⋅ 53 ?
A) 42
B) 45
C) 52
D) 85
E) 105
( 4 ) por 4 obtemos o número:
4
2
7. Dividindo-se o número 4
A) 2
B) 43
C) 44
D) 48
E) 412
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1
8. As quatro faces de um dado são triângulos equiláteros, numerados de
1 a 4, como no desenho. Colando-se dois dados iguais, fazemos
coincidir duas faces, com o mesmo número ou não. Qual dos números a
seguir não pode ser a soma dos números das faces visíveis?
A) 12
B) 14
C) 17
D) 18
E) 19
9. Quantos divisores positivos de 120 são múltiplos de 6?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 12
10. O desenho mostra dois quadrados de papel sobrepostos, um de lado
5 cm e outro de lado 6 cm. Qual é o perímetro da figura formada (linha
grossa no contorno do desenho), em centímetros?
A) 31
B) 34
C) 36
D) 38
E) 41
11. O horário indicado pelo relógio ao lado está correto. A partir desse
momento, porém, o relógio começa a atrasar exatamente 5 minutos a
cada hora real. Depois de quantos dias o relógio voltará a apresentar um
horário correto?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 12
12. No reticulado a seguir, pontos vizinhos na vertical ou na horizontal estão a 1 cm de distância.
1cm
1cm
Qual é a área da região sombreada?
A) 7
2
B) 8
C) 8,5
D) 9
E) 9,5
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13. Um jornal publicou a tabela de um campeonato de futebol formado por quatro times, apresentando os gols
marcados e os gols sofridos por cada time. Por uma falha de impressão, a tabela saiu com dois números
borrados, conforme reprodução a seguir.
Gols marcados
8
1
4
5
Craques do Momento
Independentes
EC Boleiros
Esmeralda FC
Gols sofridos
4
6
***
***
Sabe-se que o time Esmeralda FC sofreu dois gols a mais que o time EC Boleiros. Quantos gols sofreu o time
Esmeralda FC?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
14. Ana começou a descer uma escada no mesmo instante em que Beatriz começou a subi-la. Ana tinha descido
3
da escada quando cruzou com Beatriz. No momento em que Ana terminar de descer, que fração da escada
4
Beatriz ainda terá que subir?
A)
1
4
B)
1
3
C)
1
12
D)
5
12
E)
2
3
15. Alguns números inteiros positivos, não necessariamente distintos, estão escritos na lousa. A soma deles é 83
e o produto é 1024. O menor número é igual a:
A) 1
B) 2
C) 4
D) 8
E) 16
16. Numa sala do 6º ano, todos gostam de pelo menos uma das duas matérias: Matemática ou Português. Sabe-
se que
3
5
dos alunos gostam de Matemática e
dos alunos gostam de Português. A sala tem 56 alunos.
4
7
Quantos alunos gostam dessas duas matérias ao mesmo tempo?
A) 4
B) 8
C) 13
D) 24
E) 26
17. O desenho representa um canto de um tabuleiro retangular
convencional, formado por quadradinhos de lado 1 cm. Nesse tabuleiro,
17 quadradinhos são brancos. Qual é a área do tabuleiro, em
centímetros quadrados?
A) 29
B) 34
C) 35
D) 40
E) 150
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3
18. A figura representa uma barra de chocolate que tem um amendoim
apenas num pedaço. Elias e Fábio querem repartir o chocolate, mas
nenhum deles gosta de amendoim. Então combinam dividir o chocolate
quebrando-o ao longo das linhas verticais ou horizontais da barra, um
depois do outro e retirando o pedaço escolhido, até que alguém tenha
que ficar com o pedaço do amendoim. Por sorteio, coube a Elias
começar a divisão, sendo proibido ficar com mais da metade do
chocolate logo no começo. Qual deve ser a primeira divisão de Elias
para garantir que Fábio fique com o amendoim ao final?
A) Escolher a primeira coluna à esquerda.
B) Escolher as duas primeiras colunas à esquerda.
C) Escolher a terceira linha, de cima para baixo.
D) Escolher as duas últimas linhas, de cima para baixo.
E) Qualquer uma, já que Fábio forçosamente ficará com o amendoim.
19. Quatro amigos, Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo e Dernaldo estão jogando cartas. São 20 cartas diferentes, cada
carta tem uma entre 4 cores (azul, amarelo, verde, vermelho) e um número de 1 a 5. Cada amigo recebe cinco
cartas, de modo que todas as cartas são distribuídas. Eles fazem as seguintes afirmações:
Arnaldo: “Eu tenho quatro cartas com o mesmo número.”
Bernaldo: “Eu tenho as cinco cartas vermelhas.”
Cernaldo: “As minhas cinco cartas são de cores que começam com a letra V.”
Dernaldo: “Eu tenho três cartas de um número e duas cartas de outro número.”
Sabe-se que somente uma das afirmações é falsa. Quem fez essa afirmação?
A) Arnaldo
B) Bernaldo C) Cernaldo D) Dernaldo E) Não é possível definir.
20. A figura a seguir foi recortada em cartolina e depois dobrada para formar um icosaedro. As faces em branco
foram numeradas de modo que ao redor de cada vértice (pontas do sólido) apareçam os números de 1 a 5. Qual
número está na face com a interrogação?
ICOSAEDRO
A) 1
4
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
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PRIMEIRA FASE – NÍVEL 1 (6º. ou 7º. anos)
GABARITO
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PRIMEIRA FASE – NÍVEL 1 (6º. ou 7º. anos)
GABARITO
GABARITO NÍVEL 1
•
•
1) D
6) B
11) D
16) E
2) B
7) E
12) B
17) C
3) D
8) E
13) D
18) A
4) D
9) C
14) E
19) B
5) B
10) D
15) A
20) D
Cada questão da Primeira Fase vale 1 ponto. (Total de pontos no Nível 1 = 20 pontos).
Aguarde a publicação da Nota de Corte de promoção à Segunda Fase no site: www.obm.org.br
1. Resposta:
Todo múltiplo de 15 é múltiplo de 3 e de 5, mas 785 não é múltiplo de 3 porque a soma de seus algarismos é 7 +
8 + 5 = 20, que não é múltiplo de 3. Assim, 785 não é múltiplo de 15.
2. Resposta:
Sejam A, E e L, respectivamente, as quantidades de dinheiro, em reais, que Ana, Esmeralda e Lúcia possuem.
Sabemos que A + E + L = 33, A + E = 19 e E + L = 21. Portanto, podemos calcular E da seguinte forma: E = (A +
E) + (E + L) – (A + E + L) = 19 + 21 – 33 = 7.
3. Resposta:
Se 2% de um número é igual a 1, então esse número é 50. Seu sucessor é 51, portanto a soma de ambos é 101.
4. Resposta:
Cada linha ou coluna pode conter no máximo 3 fichas, então o máximo de fichas possíveis é 15. O exemplo a
seguir mostra que esse máximo é atingido.
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5. Resposta:
Cada “andar” de blocos possui 4 blocos. Com 4 ⋅ 502 + 2 = 2010 blocos, podemos formar 502 andares de
blocos completos e mais um andar incompleto, totalizando 503 · 1,5cm = 754,5cm de altura. Esse valor
corresponde a 7,545m e está mais próximo de 7,5m.
6. Resposta:
Qualquer divisor positivo de 35 ⋅ 4 4 ⋅ 5 3 = 2 8 ⋅ 35 ⋅ 5 3 deve ter a forma 2 a ⋅ 3b ⋅ 5 c , com a, b e c inteiros,
0 ≤ a ≤ 8 , 0 ≤ b ≤ 5 e 0 ≤ c ≤ 3 . Apenas 45 = 2 0 ⋅ 3 2 ⋅ 51 é dessa forma. Cada um dos outros números possui
um fator primo diferente de 2, 3 e 5.
7. Resposta:
4 (4
4
2
4
)
2
= 4 4 −4 = 416 −4 = 412
8. Resposta:
Somar os números de todas as faces visíveis é o mesmo que somar todos os números dos dois dados exceto os
dois que estão em faces coladas, então a soma será 2(1 + 2 + 3 + 4 ) − a − b , onde a e b são os números nas faces
coladas. Essa soma é igual a 20 − a − b , que pode assumir qualquer valor entre 12 (a = b = 4) e 18 (a = b = 1),
portanto nunca será 19.
9. Resposta:
Um divisor positivo de 120 = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 é da forma 2 a 3 b 5 c , com 0 ≤ a ≤ 3 , 0 ≤ b ≤ 1 e 0 ≤ c ≤ 1 inteiros. Além
disso, para que esse divisor seja múltiplo de 6, é preciso que 1 ≤ a ≤ 3 , b = 1 e 0 ≤ c ≤ 1 . Temos 3 possibilidades
para o expoente a, 1 possibilidade para o expoente b e 2 possibilidades para o expoente c, que podem ser
combinadas de todas as formas. Assim, temos 3 ⋅ 1 ⋅ 2 = 6 números.
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10. Resposta:
Para calcular o perímetro da figura, conte o perímetro dos dois quadrados, que é igual a 4 ⋅ 5 + 4 ⋅ 6 = 44cm e
desconte o perímetro do retângulo formado pela sobreposição das áreas, que é 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 = 6cm Essa diferença
é 38cm.
11. Resposta:
Ao passar 1 hora real, o relógio fica 5 minutos atrasado, que é 1/12 do tempo real que se passou. Depois de se
atrasar 12 horas, o relógio vai novamente apresentar a hora correta, pois todos os ponteiros se atrasam uma
quantidade inteira de voltas. Assim, é preciso de 12 vezes o período de 12 horas até que o relógio volte a
apresentar um horário correto, que é igual a 6 dias.
12. Resposta:
Dividindo a área sombreada em 5 triângulos e 1 retângulo, podemos calcular cada área de forma rápida,
conforme indicado na figura, pois as bases e as alturas são paralelas às retas determinadas por pontos vizinhos.
Somando todos os valores, obtemos 8cm2.
13. Resposta:
Todo gol marcado por um time conta também como gol sofrido por outro time, assim a quantidade total de gols
marcados é igual à quantidade total de gols sofridos. Sendo x a quantidade de gols sofridos pelo Esmeralda FC, o
EC Boleiros sofreu x – 2 gols. Assim:
8
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8 + 1 + 4 + 5 = 4 + 6 + x + x – 2 ⇔ 18 = 8 + 2x ⇔ x = 5
14. Resposta:
Quando Ana andar 3/4 da escada, Beatriz terá andado 1/4 da mesma. Isso significa que Ana é três vezes mais
rápida para descer do que Beatriz para subir. Quando Ana andar mais 1/4 da escada e terminar, Beatriz terá
andado mais um terço disso, que é 1/12. Assim, Beatriz andou 4/12 da escada, então ainda terá que subir 8/12 =
2/3 dela.
15. Resposta:
Como a soma dos números é 83, que é ímpar, um deles é ímpar. Sendo a única potência de 2 ímpar igual a 1, o
menor número é 1.
16. Resposta:
Da sala,
3
5
⋅ 56 = 42 alunos gostam de Matemática e ⋅ 56 = 40 alunos gostam de Português. Como são, no
4
7
total, 56 alunos, cada um gostando de pelo menos uma das matérias, 42 + 40 – 56 = 26 gostam de ambas
matérias.
17. Resposta:
Do desenho dado, cada lado do tabuleiro mede pelo menos 3 e, sendo o quadradinho do canto preto, a
quantidade de quadradinhos pretos é igual a 17, se a área do tabuleiro é par, e 18, se a área é ímpar. No primeiro
caso, a área é 17 + 17 = 34 = 2 ⋅ 17, o que não é possível; no segundo caso, a área é 17 + 18 = 35 = 5 ⋅ 7, e o
tabuleiro tem dimensões 5 e 7.
18. Resposta:
Quem deixar a barra de chocolate no formato a seguir obriga o outro a comer o amendoim:
Se Elias pegar a coluna mais à esquerda, o chocolate vira um quadrado de lado 3:
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A partir de agora, se Fábio pegar a coluna à esquerda, Elias pega a linha de baixo e não come o amendoim. Se
Fábio pegar as duas colunas da esquerda, Elias pega as duas linhas de baixo e não come o amendoim. Um
raciocínio análogo demonstra que Fábio também fica com o amendoim se pegar as colunas de baixo.
Qualquer outra repartição inicial de Elias permite que Fábio deixe apenas o amendoim ou o chocolate
quadrado de lado 2, o que também obriga Elias a ficar com o amendoim. Assim, Elias precisa começar
da coluna mais à esquerda.
19. Resposta:
Se a afirmação falsa fosse de Cernaldo ou de Dernaldo, significaria que Arnaldo e Bernaldo fizeram afirmações
verdadeiras. Mas se Bernaldo tivesse todas as cartas vermelhas, só haveria 3 números disponíveis para Arnaldo
pegar. Então, a afirmação falsa só pode ser de Arnaldo ou de Bernaldo.
Se a afirmação falsa foi de Arnaldo, Bernaldo deve ter as 5 cartas vermelhas, então sobram as 5 cartas verdes
para Cernaldo. Mas assim não há como Dernaldo possuir 3 cartas de um mesmo número. A afirmação falsa não
pode ser de Arnaldo.
Se a afirmação falsa foi de Bernaldo, então podemos montar a seguinte tabela de cartas e assinalar a inicial de
quem possui cada uma:
1
2
3
4
5
Azul
A
B
B
D
D
Amarelo
A
B
B
D
D
Verde
A
C
C
B
D
Vermelho
A
C
C
C
A
Assim, só Bernaldo pode ter feito a afirmação falsa.
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20. Resposta:
As faces destacadas, partilham um vértice com a face marcada com 1, portanto não podem ser iguais a 1. Assim,
observando o vértice P, Y = 1. Logo as casas marcadas com * são 2 e 5, em alguma ordem, e, observando o
vértice Q, X = 1.
Por fim, no vértice R, W ≠ 4, de modo que Z = 4.
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