Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico-Quantitativo
Prova realizada pela ESAF em 23/09/2012
para Analista Tributário da Receita Federal do Brasil
56. A negação da proposição “se Paulo estuda, então Marta é atleta” é logicamente equivalente
à proposição
a) Paulo não estuda e Marta não é atleta.
b) Paulo estuda e Marta não é atleta.
c) Paulo estuda ou Marta não é atleta.
d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta.
e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta.
RESOLUÇÃO:
Denominemos por p a proposição simples “Paulo Estuda” e por q a proposição simples “Marta é
atleta”. Na linguagem lógica a proposição composta, dada no enunciado, será: “p→q”.
Questão semelhante à questão 40 da prova para Oficial de Fazenda (SEFAZ-2011), resolvida e
comentada no Toque de Mestre nº 36, de 07/07/2011. Basta conhecer as regras para negação
de proposições compostas e saber que, para negar uma proposição condicional: mantemos o
antecedente (p), negamos o conseqüente (q) e trocamos o conectivo → (se, então) pelo
conectivo da conjunção (∧), ou seja, ~(p→q) ⇔ p∧~q. Traduzindo para a linguagem falada fica:
“Paulo estuda e Marta não é atleta”.
Não sabendo a regra podemos chegar à opção correta de resposta através da Tabela Verdade,
mas perde-se tempo. Demonstração, através da Tabela Verdade:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→q
V
F
V
V
Negação
~(p→q)
F
V
F
F
Opção A
~p∧~q
F
F
F
V
Opção B
p∧~q
F
V
F
F
Opção C
p∨~q
V
V
F
V
Opção D
~p→~q
V
V
F
V
Opção E
~p∨~q
F
V
V
V
⇔
Gabarito: Letra B.
57. Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos. Se Natália é prima de Carlos,
então Marta não é mãe de Rodrigo. Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria.
Ora, Leila não é tia de Maria. Logo
a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana.
b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.
c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.
d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana.
e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo.
RESOLUÇÃO:
Temos, no argumento lógico do enunciado da questão, 4 premissas, sendo pedida uma
conclusão. Para que esse argumento lógico seja válido, com todas as premissas verdadeiras a
conclusão também terá que ser verdadeira. As 4 premissas:
1) Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos;
2) Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo;
3) Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria;
4) Ora, Leila não é tia de Maria.
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Destas, a única premissa que não é uma proposição condicional (que admite 3 possibilidades
verdadeiras – ver “p → q” na tabela da questão anterior) é a 4ª premissa, que é incondicional.
Assim começamos a resolução da questão atribuindo valor verdade V para a proposição “Leila
não é tia de Maria” e, consequentemente, a proposição “Leila é tia de Maria” será F (falsa).
Para que a 3ª premissa também seja verdadeira, o valor verdade do antecedente “Marta não é
mãe de Rodrigo” terá que ser F, pois o consequente “Leila é tia de Maria” é F.
Para que a 2ª premissa também seja verdadeira, o valor verdade do antecedente “Natália é
prima de Carlos” terá que ser F, pois o consequente “Marta não é mãe de Rodrigo” é F.
Para que a 1ª premissa também seja verdadeira, o valor verdade do antecedente “Paulo é irmão
de Ana” terá que ser F, pois o consequente “Natália é prima de Carlos” é F.
Temos então os seguintes valores verdade para as proposições simples:
Paulo é irmão de Ana = F;
Natália é prima de Carlos = F;
Marta é mãe de Rodrigo = V;
Leila é tia de Maria = F.
Analisando as opções de resposta, verificaremos qual proposição composta tem V como valor
verdade, ou seja, a única que poderá ser a conclusão da argumentação:
a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana. F ∧ F = F (não pode ser conclusão);
b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. V ∧ F = F (não pode ser conclusão);
c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. F ∧ F = F (não pode ser conclusão);
d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana. V ∧ V = V (é a única que pode ser
conclusão);
e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo. V ∧ F = F (não pode ser conclusão);
Gabarito: Letra D.
58. Uma esfera foi liberada no ponto A de uma rampa. Sabendo-se que o ponto A está a 2
metros do solo e que o caminho percorrido pela esfera é exatamente a hipotenusa do triângulo
retângulo da figura abaixo, determinar a distância que a esfera percorreu até atingir o solo no
ponto B.
a) 5 metros
b) 3 metros
c) 4 metros
d) 6 metros
e) 7 metros
RESOLUÇÃO:
Para encontrarmos o valor da hipotenusa, basta lembrar que a fórmula do seno de um ângulo é
dada pela divisão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. Denominando por X a
hipotenusa, temos:
2
1 2
e lembrando que o seno de 30º é igual a 1/2, fica:
⇒ X = 4.
sen30º =
=
X
2 X
Eis aí a solução, 4 metros, questão fácil.
Gabarito: Letra C.
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Mas vamos ajudar a quem não lembra, como é fácil guardar os valores do seno, do cosseno e
da tangente para os principais arcos (30º, 45º e 60º).
Façamos uma tabela e recordemos que no círculo trigonométrico (eixo dos senos vertical e
eixo dos cossenos horizontal) à medida que o arco aumenta, o valor do seno também aumenta
(o seno é crescente) mas o cosseno diminui (decrescente). Então coloque 1, 2, 3 para o seno e
3, 2, 1 para o cosseno
Função
30º
45º
60º
SENO
1
2
3
COSSENO
3
2
1
TANGENTE
Agora, coloque esses números sob raiz quadrada (exceto o 1, pois a raiz quadrada de 1 é igual
a 1 e divida-os por 2.)
Função
30º
45º
60º
1
2
3
SENO
2
2
2
COSSENO
3
2
2
2
1
2
TANGENTE
Pronto, já temos os valores do seno e do cosseno para estes arcos. Faltam os valores da
tangente. Então lembremos que o valor da tangente pode ser obtido dividindo-se o cateto
cat. oposto
, mas se dividirmos o numerador e o
oposto pelo cateto adjacente, ou seja tg =
cat. adjacente
denominador da fração pela hipotenusa, não estaremos alterando seu valor e ficamos com:
cat. oposto
cat. adjacente
cat. oposto
hipotenusa
= sen e
= cos .
. Mas, já vimos que
tg =
cat. adjacente
hipotenusa
hipotenusa
hipotenusa
Podemos então concluir que a tangente também pode ser obtida, fazendo-se: tg =
Efetuando as divisões, assim ficará a tabela:
Função
30º
1
2
45º
60º
2
2
COSSENO
3
2
2
2
3
2
1
2
TANGENTE
3
3
1
3
SENO
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sen
.
cos
⎛ 2 1⎞
⎟⎟ , o determinante de A5 é igual a
59. Dada a matriz A = ⎜⎜
⎝ 0 1⎠
a) 20.
b) 28.
c) 32.
d) 30.
e) 25.
RESOLUÇÃO:
Será interessante ao leitor, buscar e ler o Toque de Mestre nº 38, de 19/04/2012 (é um resumo
bem objetivo sobre o assunto “Matrizes e Determinantes”) e ver que podemos resolver de
forma fácil e rápida, encontrando o determinante da matriz A e elevando-o à quinta potência
(aplicação da propriedade nº 13 do TM 38).
⎛ 2 1⎞
⎟⎟ , então det A = (2 ⋅ 1) − (0 ⋅ 1) = 2 − 0 = 2 . Logo: det A 5 = 2 5 = 32.
A = ⎜⎜
0
1
⎝
⎠
Se fizermos o produto A ⋅ A ⋅ A ⋅ A ⋅ A para encontrar a matriz A5, também teremos para o seu
⎛ 32 31⎞
⎟⎟ , o mesmo determinante, pois (32 ⋅ 1) − (0 ⋅ 31) = 32 − 0 = 32 . Mas a
resultado, A 5 = ⎜⎜
⎝ 0 1⎠
perda de tempo será bem maior.
Gabarito: Letra C.
60. A variância da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 5 e 3 é igual a
a) 3.
b) 2.
c) 1.
d) 4.
e) 5.
RESOLUÇÃO:
Primeiro vamos calcular a média dos valores amostrais, X =
∑ X = 2 + 3 + 1 + 4 + 5 + 3 = 18 = 3.
n
6
6
Façamos uma tabela com os valores observados e o quadrado da diferença entre cada valor e a média:
X
(X − X)
2
2
3
1
4
5
3
∑
1
0
4
1
4
0
10
∑ (X − X) , basta dividir
2
Sabendo que a fórmula para a variância amostral é dada por: S 2 =
10 por 5 para encontrar a resposta: S2 = 2.
n −1
(∑ X )2 ⎫⎪ , mas
1 ⎧⎪
⋅ ⎨∑ X 2 −
⎬
n −1 ⎪
n ⎪
⎩
⎭
pela primeira forma será mais rápido, pois a média é um valor exato e os valores são pequenos.
O mesmo resultado será encontrado se utilizarmos a fórmula: S 2 =
Gabarito: Letra B.
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61. O Ministério da Fazenda pretende selecionar ao acaso 3 analistas para executar um
trabalho na área de tributos. Esses 3 analistas serão selecionados de um grupo composto por
6 homens e 4 mulheres. A probabilidade de os 3 analistas serem do mesmo sexo é igual a
a) 40%.
b) 50%.
c) 30%.
d) 20%.
e) 60%.
RESOLUÇÃO:
Há uma questão semelhante (questão 15) no Toque de Mestre nº 33. Designando o sexo
masculino (homem) por H e o sexo feminino (mulher) por M, o que a questão pede são as
probabilidades P(H∩H∩H) ou P(M∩M∩M), as quais deverão ser somadas após as calcularmos.
Na primeira seleção masculina, do total de 10 pessoas, 6 são homens, então P(H) = 6/10;
Ocorrendo o evento H na primeira seleção, sobrarão 5 homens do total de 9 pessoas e P(H) = 5/9;
Ocorrendo o evento H nas duas primeiras seleções, serão 4 homens do total de 8 pessoas e
P(H) = 4/9;
6 5 4
1
Portanto, P(H∩H∩H) =
⋅ ⋅ . Simplificando as frações, resultará que P(H∩H∩H) = .
10 9 8
6
4 3 2
e
Fazendo o mesmo raciocínio para as mulheres, teremos P(M∩M∩M) =
⋅ ⋅
10 9 8
1
.
simplificando o produto das frações, teremos P(M∩M∩M) =
30
1
1
6
1
e
obteremos P(H∩H∩H) ∪ P(M∩M∩M) =
=
= 20%.
Somando
6
30
30
5
Teríamos o mesmo resultado utilizando Análise Combinatória, mas penso ser mais rápido assim.
Gabarito: Letra D.
62. Marta aplicou R$ 10.000,00 em um banco por 5 meses, a uma taxa de juros simples de 2%
ao mês. Após esses 5 meses, o montante foi resgatado e aplicado em outro banco por mais 2
meses, a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. O valor dos juros da segunda etapa da
aplicação é igual a
a) R$ 221,10.
b) R$ 220,00.
c) R$ 252,20.
d) R$ 212,20.
e) R$ 211,10.
RESOLUÇÃO:
Lembrando que a fórmula para o Montante a Juros Simples é dada por: M = C⋅(1 + i⋅t), onde M
é o Montante (Capital + Juros) e C é o Capital, teremos para o primeiro Montante:
M1 = 10.000⋅(1 + 0,02⋅5) = 10.000⋅1,1 = 11.000.
Para o segundo Montante (final), usaremos a fórmula para o Montante a Juros Compostos,
dada por M = C ⋅ (1 + i)t e consideraremos como Capital o primeiro Montante.
M 2 = 11.000 ⋅ (1 + 0,01)2 = 11.000⋅1,0201 = 11.221,10 (Montante final)
(−) 11.000,00 (capital da segunda etapa)
221,10 (Juros da segunda etapa)
Gabarito: Letra A.
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63. Um título de R$ 20.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de
desconto comercial simples de 5% ao mês. A taxa efetiva mensal de juros simples dessa
operação é igual a
a) 6,50%.
b) 5,50%.
c) 5,25%.
d) 6,00%.
e) 6,25%.
RESOLUÇÃO:
Lembremos que a fórmula para o desconto comercial simples é: D = N⋅i⋅t, onde D é o desconto,
N é o valor nominal do título, i é a taxa e t é o tempo. Com os dados do enunciado teremos:
D = 20.000⋅0,05⋅4 ⇒ D = 4.000. O valor atual (A) será o valor nominal (N) menos o desconto (D).
Logo: A = 20.000 – 4.000 ⇒ A = 16.000.
Para calcular a taxa efetiva, vamos pensar do seguinte modo: se eu pagar hoje, a dívida é de
R$16.000,00. Se eu pagar daqui a 4 meses a dívida aumentará para R$20.000,00. Que taxa de
juros está sendo cobrada?
Usaremos a fórmula para o Montante a Juros Simples, M = C⋅(1+i⋅t), para descobrir,
considerando M = 20.000, C = 16.000 e t = 4. Logo:
20.000 = 16.000⋅(1+4i) ⇒ (1+4i) =
20.000
⇒ (1+4i) = 1,25 ⇒ 4i = 0,25 ⇒ i = 0,0625 = 6,25%.
16.000
Gabarito: Letra E.
64. Para construir 120 m2 de um muro em 2 dias, são necessários 6 pedreiros. Trabalhando no
mesmo ritmo, o número de pedreiros necessários para construir 210 m2 desse mesmo muro
em 3 dias é igual a
a) 2.
b) 4.
c) 3.
d) 5.
e) 7.
RESOLUÇÃO:
Trata-se de uma Regra de Três Composta (mais de duas grandezas) e para resolvê-la de
forma rápida e segura, usaremos o Processo da Cruz, descrito no capítulo 3 do meu livro
“Matemática Básica para Concursos”, com o seguinte roteiro:
1º Passo Æ Relacionar as grandezas;
2º Passo Æ Comparar as grandezas, uma de cada vez, com a grandeza da incógnita (X)
colocando (d) para as diretamente proporcionais e (i) para as inversamente proporcionais;
3º Passo Æ Reescrever, se for o caso, invertendo a posição das grandezas que
contiverem (i) e mantendo a posição das grandezas que contiverem (d). Se todas forem
(d) não há necessidade de reescrever;
4º Passo Æ Traçar a cruz: um risco horizontal na linha em que estiver a incógnita (X) e um
risco vertical na coluna da incógnita (X);
5º Passo Æ Resolver, fazendo: X =
Pr oduto dos números riscados
.
Pr oduto dos números não riscados
Aplicando o roteiro à presente questão, temos as grandezas: metragem (do muro), dias (de
trabalho) e pedreiros (número de).
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Relacionando os dados dessas grandezas (1º passo) e já fazendo as comparações (2º passo):
Metragem
120
210
(d)
Dias
2
3
(i)
Pedreiros
6
X
A grandeza metragem é diretamente proporcional, pois se o trabalho tem uma metragem
maior, serão necessários mais pedreiros. A grandeza dias é inversamente proporcional, pois se
o prazo para execução é maior, o trabalho pode ser feito com um menor número de pedreiros.
Reescrevendo (3º passo) com inversão da grandeza inversamente proporcional e traçando a
cruz (4º passo):
Metragem
120
210
Dias
3
2
Pedreiros
6
X
Resolvendo (5º passo): X =
210 ⋅ 2 ⋅ 6
⇒ X = 7.
120 ⋅ 3
Gabarito: Letra E.
65. Em um tanque há 3 torneiras. A primeira enche o tanque em 5 horas, a segunda, em 8
horas, já a terceira o esvazia em 4 horas. Abrindo-se as 3 torneiras ao mesmo tempo e estando
o tanque vazio, em quanto tempo o tanque ficará cheio?
a) 10 horas e 40 minutos
b) 13 horas e 20 minutos
c) 14 horas e 30 minutos
d) 11 horas e 50 minutos
e) 12 horas e 10 minutos
RESOLUÇÃO:
A questão é fácil e no capítulo 1 do meu livro “Matemática Básica para Concursos” há várias
questões deste tipo, algumas resolvidas e comentadas. Mas vejo no enunciado da questão
uma impropriedade que pode dar margem a recursos para sua anulação, pois as questões
devem ser redigidas de forma a não gerar nenhuma dúvida para os candidatos. O enunciado
cita a existência de 3 torneiras, das quais duas enchem o tanque (ok) enquanto a terceira o
esvazia (?). Eu não me lembro, até hoje, de ter visto uma torneira esvaziadora, existe? Claro
que é possível facilmente chegar à solução considerando a 3ª torneira como esvaziadora, mas
o enunciado estaria indubitável se citasse 2 torneiras que enchem e 1 ralo que o esvazia.
Partindo para a solução, temos as seguintes vazões:
1) Para a 1ª torneira, que enche o tanque em 5 horas, uma vazão de ENTRADA de 1/5 de
tanque por hora;
2) Para a 2ª torneira, que enche o tanque em 8 horas, uma vazão de ENTRADA de 1/8 de
tanque por hora;
3) Para a 3ª torneira (ralo), que esvazia o tanque em 4 horas, uma vazão de SAÍDA de 1/4 de
tanque por hora;
Agora basta somar as 3 vazões (considerando negativa a de saída), multiplicar por um tempo t e
igualar a 1 (tanque cheio), pois queremos encontrar qual o tempo em que o tanque estará cheio
com a atividade daquelas torneiras (e ralo). Assim:
40
1
⎛ 1 1 1⎞
⎛ 8 + 5 − 10 ⎞
⎛ 3 ⎞
= 13 = 13 horas
⎜ + − ⎟⋅t =1 ⇒ ⎜
⎟⋅t =1 ⇒ ⎜
⎟ ⋅ t = 1 ⇒ 3t = 40 ⇒ t =
3
3
40
⎝5 8 4⎠
⎝
⎠
⎝ 40 ⎠
+ 1/3 de hora, ou seja, 13 horas e 20 minutos.
Gabarito: Letra B.
Disponibilizo o meu e-mail ([email protected]) para:
Dúvidas, críticas, sugestões, indicação de livros, aulas em cursos ou particulares.
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