Universidade Federal de Pelotas
Disciplina de Microeconomia 1
Professor Rodrigo Nobre Fernandez
Lista 2 - Soluções
1) Derive as agregações de Engel e Cournot para o caso de n bens. Reescreva essas agregações
em termos de elasticidades.Interprete (por exemplo, é possível que todos os bens que um indivíduo
consuma sejam bens inferiores? Por quê? Se um indivíduo consome n bens, no máximo quantos
bens podem ser inferiores?
S: Derivando a relação de “adding-up”,
p1 x1 (p, m) + p2 x2 (p, m) + ... + pn xn (p, m) = m
com relação à renda, obtermos a agregação de Engel:
p1
∂x2 (p, m)
∂xn (p, m)
∂x1 (p, m)
+ p2
+ ... + pn
=1
∂m
∂m
∂m
Multiplicando cada termo do lado esquerdo da equação por
p 1 x1
m
xi m
xi m
e rearranjando os termos obtemos:
m ∂x1 (p, m)
p2 x2 m ∂x2 (p, m)
pn xn m ∂xn (p, m)
+
+ ... +
=1
x1
∂m
m
x2
∂m
m
xn
∂m
Logo a agregação de Engel escrita em termos de elasticidades:
s1 η1 + s2 η2 + ... + sn ηn = 1
onde si =
pi xi
m
é a fração da renda gasta com o bem i e ηi é a elasticidade renda do bem i.
Podemos concluir que:
1. Todas as elasticidades renda podem ser iguais a um. Nesse caso, um aumento da renda a um aumento na
mesma proporção do consumo de todos os bens.
2. Se ηi > 1 para algum bem i, então deve existir algum bem j diferente do bem i tal que ηj < 1: se a fração
da renda consumida do bem i aumentou mais proporcionalmente à renda, o consumo de algum outro bem
j terá que aumentar menos que proporcionalmente à renda.
3. No máximo n-1 bens podem ser inferiores. Se todos os bens são inferiores, então a elasticidade renda
será negativa para todo bem i. Como si ≥ 0 , então se todas as elasticidades renda forem negativas, a
igualdade acima não será verificada.
Se derivarmos a relação de “adding-up” em relação ao preço do bem i, obtemos a agregação de Cournot:
xi (p, m) +
n
X
pj
j=1
Multiplicando a expressão por
pi
m,
∂xj (p, m)
=0
∂m
obtemos a agregação de Cournot em termos de elasticidades:
n
pi xi (p, m) X pi ∂xj (p, m)
+
pj
=0
m
m
∂m
j=1
Reescrevendo a expressão acima (multiplique o somatório por
n
xj
xj ):
pi xi (p, m) X xj pj pi ∂xj (p, m)
+
=0
m
m xj
∂m
j=1
1
Em termos de elasticidades:
si +
n
X
sj εM
ji = 0
j=1
Rearranjando os termos da última equação, obtemos:
n
X
si 1 + εM
ji = −
sj εM
ji
(1)
j=1,j6=1
Se o bem i é elástico (inelástico), então εM
ii < −1, e o lado esquerdo de (1) é negativo (positivo). O lado
direito de (1) deve ser negativo (positivo) também, ou seja, a soma ponderada das elasticidades preço cruzadas
dos outros bens com relação ao bem i deve ser na média positiva (negativa). Portanto, se a demanda do bem
i é elástica (inelástica), então os outros bens devem ser , na média ponderada pela fração gasta em cada bem,
substitutos (complementares) do bem i, independente de como esse bens afetem a função de utilidade.
Outra implicação que pode ser extraída de (1) é a reação dos gastos nos outros bens devido a uma mudança
no preço do bem i: essa reação depende da elasticidade preço de i. Se a demanda i é elástica, então quando o
preço do bem i diminui, o gasto com os outros bens diminui também.
2) Suponha a existência de n bens. Usando a propriedade de homogeneidade das funções de
demanda Marshalliana, mostre que as elasticidades preço e renda para um dado bem i satisfazem
a seguinte igualdade:
ηi +
Pn
j=1 ij
=0
onde ηi é a elasticidade renda do bem i e ij é a elasticidade preço da demanda do bem i com relação ao
preço do bem j. Interprete intuitivamente a relação acima.
S: A função de demanda Marshalliana é homogênea de grau zero nos preços e na renda. Logo, para cada
bem i=1,...,n temos:
xi (tp, tm) = xi (p, m) , ∀t > 0
Derivando essa expressão em elação a t, obtemos:
n
X ∂xi (p, m)
∂xi (tp, tm)
m+
pj = 0
∂m
∂pj
(2)
j=1
para todo t>0. Dividindo a igualdade acima por xi (tp, tm), fazendo, t=1 e reescrevendo (2) em termos de
elasticidades obtemos a expressão desejada:
ηi +
Pn
j=1 ij
=0
válida para todo i=1,...n.
3) Suponha que a elasticidade renda da demanda per capita de cerveja é constante e igual a
0.75 e a elasticidade preço é também constante e igual 0.5. Os consumidores gastam em média,
R$ 400,00 por ano com cerveja. A renda média anual destes consumidores é de R$ 6.000,00.
Cada garrafa de cerveja custa R$ 3,00.
a) Se o governo pretende desestimular o consumo de cerveja em 50%, qual deve ser o aumento no preço para
que essa meta seja alcançada?
S: A elasticidade preço constante igual -0.5 significa que um aumento em 10% no preço leva a uma redução
na quantidade demandada de 5%. Logo, um aumento no preço em 100% levaria à redução almejada pelo governo
de 50% na quantidade consumida de cerveja. Cada garrafa de cerveja passaria então a custa R$ 6,00.
2
b) Suponha que o governo estimou um aumento de R$ 3.000,00 na renda média. O governo deseja manter
o nível de consumo de cerveja constante no próximo ano, usando um imposto sobre a cerveja. Qual deve ser o
aumento no preço da cerveja no próximo ano para que seu consumo não se modifique, dado que a previsão do
aumento da renda se realize?
Como a elasticidade renda da demanda de cerveja é constante igual a 0.75 e um aumento na renda de R$
3.000,00 sobre uma renda de R$ 6.000,00 corresponde a um aumento de 50% na renda, o aumento no consumo
de cerveja é de 0.75x0.5=35.50%. Pelo mesmo motivo explicado no item a, o aumento no preço da cerveja
necessário para anular o efeito do aumento de renda é de 2x37.50% = 75%. Cada garrafa de cerveja passaria a
custar R$ 5,25.
4) Encontre as demandas Hicksianas e a função despesa para os seguintes casos :
1−α
a) u (x1 , x2 ) = xα
,0 < α < 1
1 x2
b) Quais são os parâmetros do problema?
S:
1−α
L = p1 x1 + p2 x2 + µ u − xα
1 x2
As CPOs do problema são:
µαxα−1
x1−α
= p1
1
2
(3)
−α
µ (1 − α) xα
1 x2 = p2
(4)
1−α
u = xα
1 x2
(5)
Divida (3) por (4) para obter:
x2 =
p1
p2
1−α p2
p1
1−α
α
x1
(6)
Insira (6) em (5) e obtenha:
xh1 = ū
α
1−α
1−α
(7)
Substituindo (7) em (6):
xh2
α
= ū
1−α
−α p1
p2
α
(8)
Inserindo as demandas compensadas na restrição orçamentária, temos a função dispêndio:
1−α
e (p1 , p2 , ū) = ūα−α (1 − α)α−1 pα
1 p2
(9)
b) u (x1 , x2 ) = ax1 + bx2 a, b > 0
S: Neste caso, não podemos montar o Lagrangiano para resolver o problema, pois a solução será de canto.
Porém, podemos resolver o sistema usando a intuição econômica. Intuitivamente, o consumidor irá adquirir
apenas o bem relativamente mais barato, na quantidade que lhe assegure o nível de utilidade ū. Deste modo,
as demandas Hicksianas são:
xh1 (p1 , p2 , ū) =



ū,
se
qualquer valor entre 0 e ū,
se
0,
se


3
p1
a
p1
a
p1
a
<
=
>
p2
b
p2
b
p2
b
xh2 (p1 , p2 , ū) =



ū,
se
qualquer valor entre 0 e ū,
se
0,
se


p1
a
p1
a
p1
a
>
=
<
p2
b
p2
b
p2
b
A função de dispêndio é dada por:
e (p1 , p2 , ū) = ūmin
c) u (x1 , x2 ) = axρ1 + bxρ2
1/ρ
np
p2 o
a b
1
,
a, b > 0 e 0 < ρ < 1
S: Primeiramente usaremos a=b=1, e então formulamos o Lagrangiano:
1
ρ
ρ ρ
L = p1 x1 + p2 x2 + µ ū − x1 + x2
As CPOs são:
xρ1 + xρ2
p1 = λ
1−ρ
ρ
xρ−1
1
1
−1
xρ1 + xρ2 ρ xρ−1
2
p2 = λ
ū = xρ1 + xρ2
(10)
(11)
ρ1
(12)
Portanto:
ūρ = xρ1 + xρ2
Dividindo (10) por (11) teremos:
x1
p1
p2
1
ρ−1
= x2
(13)
Substituindo (13) em (12) teremos:
x1 = ū 
 ρ1
ρ

p1ρ−1
ρ
ρ−1
p2
ρ
ρ−1
(14)

+ p1
Inserindo (14) em (13) teremos:
x2 = ū 
 ρ1
ρ

p2ρ−1
ρ
ρ−1
p2
ρ
ρ−1
(15)

+ p1
Podemos inserir (14) e (15) na função objetivo para obtermos a função de custos mínimos:
p1 ū 
 ρ1
ρ

p1ρ−1
ρ
ρ−1
p2
ρ
ρ−1
+ p1





 + p2 ū 
 ρ1
ρ

p2ρ−1
ρ
ρ−1
p2
ρ
ρ−1

+ p1

ū
ρ
ρ
p2ρ−1 + p1ρ−1

1
1

ρ−1
ρ−1
p
p
+
p
p
2 2
1 1
ρ1 

4






ū
ρ
ρ
p2ρ−1 + p1ρ−1
ρ
ρ−1
ū p2
Denote
ρ
ρ−1
= r, então
ρ−1
ρ
=
1
r
 ρ
ρ
 ρ−1
ρ−1
p
+ p2
ρ1 
 1
p−1
ρ
ρ
ρ−1
+ p1
1
e − ρ−1
= 1 − r e com um pouco de álgebra tediosa teremos:
1
e (p1 , p2 , ū) = ū (pr2 + pr1 ) r
d) u (x1 , x2 ) = min {ax1 , bx2 } a, b > 0
S: Este é outro caso onde não podemos usar o método de Lagrange, pois a função de utilidade não é
diferenciável. Devemos, mais uma vez, resolver o problema usando a intuição econômica. Como os bens são
complementares perfeitos temos que: ax1 = bx2 . Então teremos que xh1 (p1 , p2 , ū) =
modo, a função dispêndio é:
e (p1 , p2 , ū) = ū
p
2
b
+
ū
a
e xh2 (p1 , p2 , ū) = ūb . Desse
p1 a
5) Resolva os seguintes itens para as seguintes funções de utilidade do exercício 5: a,b e c.
a) Verifique se as demandas Hicksianas são homogêneas de grau 0 nos preços.
S: Vamos mostrar para o bem 1, para o outro bem é similar:
(Cobb-Douglas)
xh1 (tp1 , tp2 , ū)
α
= ū
1−α
1−α tp2
tp1
1−α
= xh1 (p1 , p2 , ū)
(Linear)
xh1 (tp1 , tp2 , ū) =



ū,
se
qualquer valor entre 0 e ū,
se
0,
se


tp1
a
tp1
a
tp1
a
<
=
>
tp2
b
tp2
b
tp2
b
= xh1 (p1 , p2 , ū)
(CES)
"
xh1 (tp1 , tp2 , ū) = ū
(tp1 )
(tp2 )
ρ
ρ−1
+ (tp1 )

# ρ1
ρ
ρ−1
ρ
ρ−1

= ū 

t
ρ
ρ−1
t
ρ
ρ−1
p1
ρ
ρ−1
p2
 ρ1
ρ
ρ−1
ρ
ρ−1
+ p1

h

 = x1 (p1 , p2 , ū)
b) Mostre a validade do lema de Shephard.
S: Vamos mostrar para o bem 1, para o outro bem é similar:
(Cobb-Douglas)
1−α
e (p1 , p2 , ū) = ūα−α (1 − α)α−1 pα
1 p2
1−α 1−α
∂e (p1 , p2 , ū)
α
p2
α−1 α−1 1−α
1−α
= ūα
(1 − α)
p1 p2 = ū
= xh1 (p1 , p2 , ū)
∂p1
1−α
p1
(Linear) Nesse caso a função não é diferenciável.
(CES)
1
e (p1 , p2 , ū) = ū (pr2 + pr1 ) r
1
∂e (p1 , p2 , ū)
= ū (pr2 + pr1 ) r −1 p1r−1 = xh1 (p1 , p2 , ū)
∂p1
5
c) Mostre que a demanda Hicksiana obedece a Lei da Demanda.
S: Faremos apenas para a função Cobb-Douglas e para a CES:
1−α 1−α
∂e (p1 , p2 , ū)
p2
α
1−α
= ūα1−α (1 − α)α−1 pα−1
= xh1 (p1 , p2 , ū)
p
=
ū
1
2
∂p1
1−α
p1
1−α 1−α
α
p2
1
∂xh1 (p1 , p2 , ū)
= ū (1 − α)
<0
∂p1
1−α
p1
p1
(CES)
1
∂e (p1 , p2 , ū)
= ū (pr2 + pr1 ) r −1 p1r−1 = xh1 (p1 , p2 , ū)
∂p1
1
1
∂xh1 (p1 , p2 , ū)
1−r
2(r−1)
= ū
(pr2 + pr1 ) r −2 rp1
+ ū (r − 1) (pr2 + pr1 ) r −1 pr−2
1
∂p1
r
1
∂xh1 (p1 , p2 , ū)
= ū (r − 1) (pr2 + pr1 ) r −1
∂p1
−
1
2(r−1)
(pr2 + pr1 )−1 rp1
+ pr−2
<0
1
r
6) Cicero possui a seguinte função de utilidade u (x1 , x2 ) = x1 x2 e uma renda de R$ 24,00.
Inicialmente o preço do bem 1 custa R$ 1,00 e o preço do bem 2 R$ 2,00. Suponha que o preço
do bem 2 aumentou 50%. Calcule os efeitos renda, substituição e total.
S: Primeiramente devemos construir o Lagrangiano para encontrar as demandas:
L = x1 x2 + λ [m − p1 x1 − p2 x2 ]
As CPOS são:
Lx1 = x2 = λp1
(16)
Lx2 = x1 = λp2
(17)
Lλ = m = p1 x1 + p2 x2
(18)
Dividindo (16) por (17) e isolando x2 teremos que:
x∗2
= x1
p1
p2
(19)
Substituindo (19) em (18) encontramos que:
x∗1 =
m
2p1
(20)
x∗2 =
m
2p2
(21)
Inserindo (20) em (19) temos que:
Para os valores dados, sabemos que x∗1 (p1 , p2 , m) = 12 e x∗2 (p1 , p2 , m) = 6. A demanda do bem dois ao preço
novo é: xN
2 (1, 3, 24) = 4. Aos novos preços, o quanto de renda seria necessário para que o indivíduo consiga
atingir a mesma curva de indiferença, antes da variação dos preços? A conta é bem simples:
m = (1 × 12) + (3 × 6)
6
m = 30
Calculamos a demanda do bem 2 usando essa renda virtual, isto é: xh2 (1, 3, 30) = 5. O efeito substituição
é a diferença entre a demanda compensada (com a renda virtual) e a demanda antes da variação dos preços:
ES = xh2 (1, 3, 30) − x∗2 (1, 1, 24) = 5 − 6 = −1. Por outro lado, o efeito renda é a diferença entre a nova demanda
h
e a demanda compensada, ou seja: ER = xN
2 (1, 3, 24) − x2 (1, 3, 30) = 4 − 5 = −1. O efeito total é a soma dos
dois anteriores: ET=ER+ES=-2.
7) A função de demanda de Douglas Cornfield pelo bem x é x (px , py , m) = 2m/5px . Sua renda
é de R$ 1.000,00 e o preço de x é R$ 5,00 e o de y é R$ 20,00. Se o preço de x cai para R$ 4,00,
pede-se:
a) Calcule a mudança na demanda pelo bem x.
S: Primeiramente calcularemos a demanda de x antes e depois da mudança dos preços:
xantes (5, 20, 1000) = 80
xdepois (4, 20, 1000) = 100
Então teremos que:
4x = xdepois − xantes = 20
b) Calcule o efeito renda e o substituição.
S: Vamos usar a restrição orçamentária do consumidor para obtermos a demanda do bem y:
m = px x + py y
m = px
2m
+ py y
5px
y=
3m
5py
Calcularemos a demanda virtual, isto é, quanto de renda o consumidor precisa a este novo preço de x para
se manter na mesma curva de indiferença. Novamente usamos a restrição orçamentária do consumidor:
m = (80 × 4) + (30 × 20)
m = 920
Agora calcularemos a demanda compensada de x:
xcompensada (4, 20, 920) = 92
Repetiremos o mesmo procedimento que realizamos no exercício anterior:
ES = xcompensada (4, 20, 920) − xantes (5, 20, 100) = 92 − 80 = 12
7
ER = xantes (4, 20, 100) − xcompensada (4, 20, 920) = 100 − 92 = 8
ET = ES + ER = 20
8