Movimento
Unidimensional
Professor: Carlos Alberto
Disciplina: Física Geral e Experimental
Profº Carlos Alberto
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Objetivos de aprendizagem
Ao estudar este capítulo você aprenderá:
✔ Como descrever o movimento unidimensional em termos da velocidade
média, velocidade
instantânea;
instantânea,
aceleração
média
e
aceleração
✔ Como interpretar gráficos de posição versus tempo, velocidade versus
tempo e aceleração versus tempo para o movimento retilíneo;
✔ Como
resolver problemas envolvendo aceleração constante no
movimento retilíneo, incluindo problemas de queda-livre;
✔ Como analisar o movimento unidimensional quando a aceleração não é
constante.
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Conceitos básicos
Suposições:
1. O movimento se dá em uma linha reta;
2. Não há forças (não discutimos ainda);
3. O objeto estudado é uma partícula.
Referencial:
É o local onde um observador fixa um sistema de referencia em relação ao qual um
dado fenômeno (como um corpo em movimento) será sendo analisado.
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Conceitos básicos
Movimento e repouso:
(Depende do referencial)
Trajetória:
(Depende do referencial)
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Conceitos básicos
Deslocamento:
(Depende do referencial)
Não confunda
Deslocamento e distância total
percorrida!!!
Distância total percorrida é
sempre um escalar positivo!!!
No SI, a unidade de deslocamento é o metro (m).
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Conceitos básicos
Velocidade média:
No SI, velocidade é medida em metro por segundo (m/s).
Graficamente:
Inclinação da reta que
liga dois pontos em x(t).
Velocidade escalar média:
Sempre positiva!!!
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Exemplo 2.1: (Halliday, p.17)
Depois de dirigir uma van em uma estrada retilínea por 8,4 km a 70 km/h, você para por
falta de gasolina. Nos 30 min seguintes você caminha por mais 2,0 km ao longo da estrada
até chegar ao posto de gasolina mais próximo.
(a) Qual é o deslocamento total, desde o início da viagem até chegar ao posto de gasolina?
(b) Qual é o intervalo de tempo Δt entre o início da viagem e o instante que que você chega
ao posto?
(c) Qual é a velocidade média do início da viagem até a chegada ao posto de gasolina?
Esboce um gráfico.
(d) suponha que, para encher um bojão de gasolina, pagar e caminhar de volta para a van,
você leve 45 min. Qual é a sua velocidade média e sua velocidade escalar média do início da
viagem até o momento em que chega de volta ao lugar onde deixou a van?
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Exemplo 2.3: (Tipler, p31)
Você normalmente leva 10 min para percorrer os 5 km até a faculdade por uma estrada
reta. Você sai de casa 15 min antes do início da aula. Um retardo causado por um semáforo
com defeito o força a viajar a 20 km/h durante os primeiros 2 km do percurso. Você
chegará atrasado para a aula?
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Conceitos básicos
Velocidade instantânea:
Velocímetro → velocidade escalar (instantânea)
Sinal da derivada
Ta
n
ge
n
te
no
po
n
to
P
Interpretação geométrica:
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Exemplo 2.3: (Halliday, p20)
A posição de uma partícula que se move em um eixo x é dada por
Com x em metros e t em segundos. Qual a velocidade da partícula em t = 3,5 s? A
velocidade é constante ou estaria variando continuamente?
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Exemplo 2.5: (Tipler, p33)
A posição de uma partícula como função do tempo é dada pela curva mostrada na figura
abaixo. Encontre a velocidade instantânea no tempo t = 1,8 s. Quando a velocidade é
maior? Quando ela é zero? Ela chega a ser negativa?
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Conceitos básicos
Aceleração média
No SI, a unidade de aceleração é o metro por segundo ao quadrado (m/s2).
Aceleração instantânea
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Conceitos básicos
Aceleração: interpretação geométrica
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Conceitos básicos
Classificação do movimento
Movimento progressivo
-1
0
1
2
3
Movimento acelerado
Movimento retrógrado
-1
0
1
2
3
Movimento retardado
-1
0
1
2
3
-1
0
1
2
3
-1
0
1
2
3
-1
0
1
2
3
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Exemplo 2.4: (Halliday, p22)
A posição de uma partícula que se move em um eixo x é dada por
Com x em metros e t em segundos.
(a) Como a posição x depende do tempo t, a partícula deve está em movimento. Determine
a função velocidade v(t) e a função aceleração a(t) da partícula.
(b) Existe algum instante para o qual v = 0?
(c) Descreva o movimento da partícula para t ≥ 0.
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Questão 17: (Halliday, p34)
A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em centímetros por
onde t está em segundos. Calcule
(a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de t = 2,00 s a t = 3,00 s;
(b) a velocidade instantânea em t = 2,00 s;
(c) a velocidade instantânea em t = 3,00 s;
(d) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas
posições em t = 2,00 s e t = 3,00 s.
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Movimento Uniforme
(velocidade constante)
Gráfico v x t
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Movimento Uniforme
(velocidade constante)
Gráfico x x t
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Questão 11: (Halliday, p33)
Dois trens, cada um com velocidade de 30 km/h, trafegam em sentidos opostos na mesma
linha férrea retilínea. Um pássaro capaz de voar a 60 km/h parte da frente de um dos trens,
quando eles estão separados por 60 km, e se dirige em linha reta para o outro trem. Ao
chegar ao outro trem, o pássaro faz meia-volta e se dirige ao primeiro trem, e assim por
diante. (Não temos a menor ideia da razão pela qual o pássaro se comporta desta forma)
Qual é a distância total que o pássaro percorre até os trens colidirem?
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Movimento Uniformemente Variado
(aceleração constante)
Gráfico a x t
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Gráfico v x t
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Movimento Uniformemente Variado
(aceleração constante)
Gráfico x x t
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Exemplo 2.9 e 2.10: (Tipler, p40)
Em uma auto-estrada, à noite, você vê um veículo enguiçado e freia o seu carro até parar.
Enquanto você freia, a velocidade do seu carro decresce a uma taxa constante de (5,0
m/s)/s. Qual a distância percorrida pelo carro até parar, se sua velocidade inicial é
(a) 15 m/s (cerca de 54 km/h) ou
(b) 30 m/s?
(c) Na situação descrita no exemplo, quanto tempo leva para o carro parar se sua
velocidade inicial é 30 m/s e
(d) qual a distância percorrida pelo carro no último segundo?
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Cálculo integral
Consideremos o gráfico de uma função constante:
Para uma curva qualquer
(integral definida)
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Cálculo integral
“A integração pode ser considerada como o inverso da derivação”.
Note que:
✔ Algumas integrais
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Cálculo integral
✔ Propriedades de integrais definidas
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Integrando as equações de movimento
Vimos que:
Agora:
Exemplo: Aceleração constante
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Exemplo 2.18: (Tipler, p49)
Uma balsa de travessia se desloca com velocidade v 0x = 8,0 m/s durante 60 s. Então, seus
motores são desligados e começa o acostamento. Sua velocidade de acostamento é dada
por
onde t1 = 60 s. Qual é o deslocamento da balsa no intervalo 0 < t < ∞?
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Aceleração em queda Livre
Leitura recomendada: Seção 2.6 do Moysés, página 34.
+
Uma pena e uma maça em
queda livre no vácuo sofrem a
mesma aceleração g, que
aumenta as distâncias entre
imagens sucessivas.
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Questão 44: (Halliday, p36)
Gotas de chuva caem 1700 m de uma nuvem até o chão. (a) Se elas não estivesses sujeitas a
resistência do ar, qual seria sua velocidade ao atingir o solo? (b) Seria seguro caminhar na
chuva?
Questão 45: (Halliday, p36)
Em um prédio em construção, uma chave de grifo chega ao solo com uma velocidade de 24
m/s. (a) De que altura um operário a deixou cair? (b) Quanto tempo durou a queda? (c)
Esboce os gráficos de y, v e a em função de t para a chave de grifo.
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Questão 106: (Típler, p106)
Considere o gráfico de velocidade da figura abaixo. Se x = 0 em t = 0, escreva expressões
algébricas corretas para x(t), v x(t), e ax(t) com os valores numéricos apropriados de todas as
constantes.
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Questão 109: (Típler, p106)
A figura mostra um gráfico x versus t ára um objeto que se desloca em linha reta. Para este
movimento, esboce gráficos (usando o mesmo eixo t) para (a) vx como função de t (b) ax
como função de t. (c) Use seus esboços para comparar qualitativamente o(s) tempo(s) em
que o objeto está mais afastado da origem com o(s) tempo(s) em que sua rapidez é máxima.
Explique porque os tempos não são os mesmos. (d) Use seus esboços para comparar
qualitativamente o(s) tempo(s) em que o objeto está se movendo mais rapidamente com
o(s) tempo(s) em que sua aceleração é máxima. Explique porque os tempos não são os
mesmos.
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