Projeção ortogonal
Projeção ortogonal
Definição
A projeção ortogonal de um ponto P sobre uma reta r é o ponto
P 0 de r que está mais próximo de P .
MA092 – Geometria plana e analı́tica
Projeção ortogonal. Distância entre ponto e reta.
Distância entre retas paralelas
P 0 é o ponto de interseção entre a reta r e a reta s que passa por
P e é perpendicular a r.
Francisco A. M. Gomes
P 0 é a projeção de P em r
UNICAMP - IMECC
s passa por P e por P 0
Novembro de 2015
s é perpendicular a r
P 0 é o ponto de interseção
entre r e s
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Novembro de 2015
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Projeção ortogonal
1
Observamos que mr = 3
2
Como s é perpendicular a r, temos ms = −1/mr = −1/3
3
Equação de s:
1
y − (−1) = − (x − 2)
3
→
11
10 ,
e
y =3·
11
10
Definição
A distância d entre um ponto P e uma reta r é a distância entre P e
P 0 , a projeção ortogonal de P em r.
1
1
y =− x−
3
3
O ponto de interseção entre r e s é solução de:
x 1
y = 3x − 4
→ 3x − 4 = − −
y = − x3 − 31
3 3
Logo, x =
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Distância de ponto a reta
Problema
Encontre a projeção ortogonal de P (2, −1) sobre r : y = 3x − 4.
5
Novembro de 2015
Distância de ponto a reta
Exemplo 1
4
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
P 0 é a projeção de P em r
d é a distância entre P e P 0
→
10x
11
=
3
3
7
− 4 → y = − 10
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Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
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Novembro de 2015
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Distância de ponto a reta
Distância de ponto a reta
Exemplo 2
Distância de ponto a reta
Problema
Determine a distância de P (2, −1) à reta r : y = 3x − 4.
Fórmula
Seja a reta r dada pela equação geral r : ax + by + c = 0.
A distância entre um ponto P (xP , yP ) e r é definida por
Como vimos no exercı́cio anterior, a projeção de P sobre r é
11
7
P0
, −
10
10
d=
|a xP + b yP + c|
√
a2 + b2
Exemplo
Logo,
s
d=
r
=
11
−2
10
2
2 s
2
7
9 2
3
+ − − (−1) =
−
+
10
10
10
81
9
+
=
100 100
r
90
=
100
r
Novembro de 2015
Equação geral de r: 3x − y − 4 = 0.
√
|3 · 2 − (−1) − 4|
|6 + 1 − 4|
3
3 10
d= p
= √
=√ =
10
9+1
10
32 + (−1)2
√
9
3
3 10
=√ =
10
10
10
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IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Determine a distância entre P (2, −1) e r : y = 3x − 4.
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IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Distância de ponto a reta
Novembro de 2015
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Distância de ponto a reta
Exemplo 3
Exemplo 3
Problema
Dado um triângulo con vértices A(2, 0), B(0, 4) e C(5, 5), determine a
altura relativa ao lado AB
Pontos: A(2, 0), B(0, 4) e C(5, 5)
Achando a equação geral da reta que passa por A e B:
m=
y − 4 = −2(x − 0)
h é a altura relativa a AB
h é a distância entre C e C 0
Novembro de 2015
→
y − 4 = −2x
→
2x + y − 4 = 0
A altura é a distância de C à reta:
C 0 é a projeção de C em AB
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yB − yA
4−0
4
=
= − = −2
xB − xA
0−2
2
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|a xC + b yC + c|
|2 · 5 + 1 · 5 − 4|
√
√
=
2
2
a +b
22 + 1 2
√
|11|
11
11 5
= √ =√ =
5
5
5
d=
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Distância entre retas paralelas
Distância entre retas paralelas
Distância entre duas retas paralelas
Exemplo 4
Definição
A distância d entre duas retas paralelas r e s é igual à distância entre
um ponto P de r e (sua projeção ortogonal P 0 sobre) a reta s.
Problema
Determine a distância entre
r : 3x − 2y + 4 = 0
s : 3x − 2y − 1 = 0.
e
Encontrando um ponto P de r:
P é um ponto qualquer de r
se x = 0 → −2y + 4 = 0 → 2y = 4 → y = 2 → P (0, 2)
Determinando a distância de P a s:
d é a distância entre P e s
P 0 é a projeção de P em s
d=
d é a distância entre P e P 0
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Novembro de 2015
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|a xP + b yP + c|
|3 · 0 − 2 · 2 − 1|
√
= p
2
2
a +b
32 + (−2)2
√
| − 5|
5
5 13
=√
=√ =
13
9+4
13
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Distância entre retas paralelas
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Exercı́cios
Distância entre duas retas paralelas
Exercı́cio 1
Fórmula
Sejam dadas as retas r : ax + by + c = 0 e s : ax + by + c0 = 0
A distância entre r e s é dada pela fórmula
Problema
Determine a projeção ortogonal de P (−5, 8) sobre a reta
|c − c0 |
d= √
a2 + b2
r: y=
Exemplo
Determine a distância entre
r : 3x − 2y + 4 = 0
Novembro de 2015
e
P
s : 3x − 2y − 1 = 0.
0
x
−4
2
4
18
, −
5
5
√
|4 − (−1)|
| − 5|
5
5 13
d= p
=√
=√ =
13
9+4
13
32 + (−2)2
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Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
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Novembro de 2015
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Exercı́cios
Exercı́cios
Exercı́cio 2
Exercı́cio 3
Problema
Determine a distância entre P (1, 4) e r : y = 3x + 1
Problema
Dado o triângulo ABC cujos vértices têm coordenadas A(0, 3), B(2, 1)
e C(4, 5), determine
1
A equação da reta suporte ao lado AB.
2
A altura do triângulo com relação ao lado AB.
0
√
h=3 2
x+y−3=0
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Exercı́cios
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Exercı́cios
Exercı́cio 4
Exercı́cio 5
Problema
Determine a distância entre as retas paralelas
Problema
r : 2x − 6y − 4 = 0
Novembro de 2015
s: −
e
Uma reta s está a uma distância de
x 3y
+
− 4 = 0.
2
2
√
2 unidades da reta
r : x − y = −1.
Determine as duas possı́veis equações de s.
√
10
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x−y+3=0
Novembro de 2015
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ou
x−y−1=0
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Novembro de 2015
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