Formulário de Cálculo Diferencial Exterior ∗
• Cenário :
Variedade diferenciável M n .
• Objetos visados :
p–formas , p = 0, 1, 2, . . . , n.
Forma diferencial exterior de ordem p, p–forma, é um campo tensorial diferenciável †
ω(m) que associa a cada elemento m ∈ M ‡ um tensor ω de ordem p, totalmente covariante
e totalmente anti-simétrico (quando p ≥ 2) ;
(i) ω(m) é uma classe de equivalência ,
ω(m) = [ω(x)] ,
x ≡ (x1 , x2 , . . . , xn ) e ω(x) ≡ (ωi1 i2 ...ip (x))
onde
,
(i) = 1, . . . , n
representam, respectivamente, m e ω(m) num sistema de coordenadas x quaisquer ;
se
Relação de equivalência :
ω(x) ∼ ω(x)
ωi1 i2 ...ip (x) =
∂xjp
∂xj1 ∂xj2
.
.
.
ω j j ...j (x)
(j)=1 ∂xi1 ∂xi2
∂xip 1 2 p
Xn
para qualquer mudança de coordenadas x ⇀
↽ x.
(ii) ω(m) é de classe C k , k ≥ 1 em m, ou seja, as componentes tensoriais ωi1 i2 ...ip (x) são
funções reais com derivadas parciais de ordem k ≥ 1 contı́nuas em x.
(iii) ω...j...i... (x) = −ω...i...j...(x)
,
∀ par de ı́ndices (i, j) .
Propriedades
ωi1 i2 ...ip com dois ou mais ı́ndices iguais são nulas.
ωi1 i2 ...ip são completamente determinadas pelas componentes tensoriais
estritas, ωI1 I2 ...Ip , as quais obedecem ao ordenamento I1 < I2 < . . . < Ip .
n!
.
O número de componentes estritas é igual a p!(n−p)!
Não existe p–forma de ordem p > n.
pf - (1)
pf - (2)
pf - (3)
pf - (4)
• Módulo Λp (M) :
É o conjunto das formas de ordem p equipado com as operações
Adição : (ω + θ)i1 ...ip (x) := ωi1 ...ip (x) + θi1 ...ip (x),
:= f (x)ωi1 ...ip (x) , onde
Multiplicação por f :
(f ω)i1 ...ip (x)
f é uma função real diferenciável qualquer, f ∈ F (M).
Sinteticamente ,
(ω + θ)(m)
(f ω)(m)
:=
:=
ω(m) + θ(m),
f (m)ω(m).
A dimensão de Λp (M) é igual ao número de componentes estritas
∗
n!
p!(n−p)!
.
Não contém integração sobre variedades diferenciáveis.
No presente texto subentende-se diferenciabilidade como sinônimo de classe C k com k suficientemente
grande.
‡
Aqui e no que segue M significa M n .
†
1
• Produto exterior :
Operador ∧ definido por
∧ : Λp (M) × Λq (M) −→ Λp+q (M)
: (θ, ω) 7−→ θ ∧ ω = ϑ tal que
1 1 P
ϑi1 ...ip+q (x) := p! q! π (sign π) π(θi1 ...ip ωi1+q ...ip+q )(x) ,
onde π significa permutação
dos ı́ndices (i1 , . . . , ip+q ) e
(
+1 se π é par
(sign π) =
−1 se π é ı́mpar.
Propriedades
θ ∧ ω = (−1)pq ω ∧ θ
(θ ∧ ω) ∧ ϑ = θ ∧ (ω ∧ ϑ) ⇒ Notação :
(θ + ω) ∧ ϑ = θ ∧ ϑ + ω ∧ ϑ
ϑ ∧ (θ + ω) = ϑ ∧ θ + ϑ ∧ ω
f (θ ∧ ω) = (f θ) ∧ ω = θ ∧ (f ω)
Obs. f ∧ ω = f ω , f ∈ Λ0 (M) .
∧ - (1)
∧ - (2)
∧ - (3)
∧ - (4)
• Derivada exterior :
θ∧ω∧ϑ
Operador d definido (explicitamente) por
d : Λp (M) −→ Λp+1 (M)
: ω−
7 → dω = ϑ tal que
ϑki1 ...ip (x) :=
1
p!
π (sign π) π(
P
∂ωi1 ...ip
)(x)
∂xk
,
onde π significa permutação dos ı́ndices (k, i1 , . . . , ip ) .
Ex. 1
0–forma f
,
1–forma θ
,
2–forma ω
,
∂f
∂xk
∂θk
∂θi
ϑki = ∂x
k − ∂xi
∂ω
ij
ϑkij = ∂ω
+ ∂xjki
∂xk
ϑk =
+
∂ωki
∂xj
.
Propriedades (definição implı́cita)
d
d
d
d
d
-
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
d(αω + βθ) = αdω + βdθ , α, β ∈ R
I.
p
d(ω ∧ θ) = dω ∧ θ + (−1) ω ∧ dθ , ω ∈ Λp (M) , θ ∈ Λq (M).
d2 = 0 ; d(dω) = 0 ∀ p–forma ω.
P
∂f
k
df = nk=1 ∂x
(diferencial ordinário) para 0–formas f .
k dx
d é local ; se ω e θ coincidem em um aberto U ⊂ M, então dω = dθ
em U, isto é, o comportamento de ω fora de U não afeta dω em U ;
(dω)|U = d(ω|U ).
Teorema 1 : Existe um operador d′ : Λp (M) −→ Λp+1 (M) definido univocamente pelas
propriedades d–(1.), . . . , (5.), o qual resulta ser o operador d explicitado acima.
2
Grandezas e propriedades associadas
p–forma fechada : É uma ω ∈ Λp (M) tal que dω = 0.
p–forma exata : É uma ω ∈ Λp (M) para a qual existe alguma θ ∈ Λp−1(M) tal que
ω = dθ.
d - (6)
Toda forma exata é fechada; dω = d(dθ) = 0.
Nem toda forma fechada é, porém, exata. Isso depende de M.
Lema de Poincaré : Sobre um aberto U ⊂ M difeomórfico a R
I n todas as formas fechadas
de ordem p ≥ 1 são exatas. Para p = 0, dω = 0 significa que ω é uma função real constante.
Consequências do Lema:
d -(7)
d -(8)
Sobre R
I n toda p–forma fechada é exata.
Se M não é difeomórfica a R
I n e uma p–forma fechada ω não é exata, ela
é, porém, localmente exata, pois, como sempre é possı́vel encontrar em
torno de cada m ∈ M um aberto U ⊂ M difeomórfico a R
I n , neste aberto
ω será exata.
• Produto interior :
Operador iv definido (explicitamente) por
iv : Λp (M) −→ Λp−1 (M)
: ω 7−→ iv ω = ϑ tal que
Pn
k
, p≥1
ϑi2 ...ip (x) :=
k=1 (v ωki2 ...ip )(x)
iv f := 0
, p=0,
onde v é um campo vetorial diferenciável qualquer, v ∈ X (M).
Propriedades (definição implı́cita)
iv
iv
iv
iv
iv
-
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
iv (αω + βθ) = αiv ω + βiv θ , α, β ∈ R
I.
iv (ω ∧ θ) = (iv ω) ∧ θ + (−1)p ω ∧ (iv θ) , ω ∈ Λp (M) , θ ∈ Λq (M).
iv f = 0 ∀ 0–forma f .
iv dxk = v k (x).
iv é local ;
iv|U ω|U = (iv ω)|U , U ⊂ M
(veja d - (5)).
Teorema 2 : Existe um operador iv ′ : Λp (M) −→ Λp−1 (M) definido univocamente
pelas propriedades iv − (1), . . . , (5), o qual resulta ser o operador iv explicitado acima.
iv - (6)
iv
iv
iv
iv
iv
-
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
∂f k
∂f
n
k
, onde v(f ) simboliza
iv df = iv ( nk=1 ∂x
k dx ) =
k=1 ∂xk v = v(f )
Pn
k ∂
o operador v := k=1 v ∂xk aplicado a f ∈ F (M).
P
P
P
(iv (iu ω))i3 ...ip ≡ (iv iu ω)i3 ...ip = nl=1 v l (iu ω)li3...ip = nl=1 nk=1 v l uk ωkli3 ...ip .
iv iu ω = −iu iv ω.
iv 2 = 0 ; iv (iv ω) = 0 ∀ p–forma ω.
if v ω = f iv ω = iv f ω.
iv+u ω = iv ω + iu ω .
P
P
3
• Derivada de Lie sobre p–formas :
Operador Lv definido por
Lv : Λp (M) −→ Λp (M)
: ω −
7 → Lv ω = ϑ tal que
ϑi1 ...ip :=
Pn
k=1 (v
k ∂ωi1 ...ip
∂xk
k
k
k
∂v
∂v
∂v
)(x) ,
+ ωki2 ...ip ∂x
i1 + ωi1 k...ip ∂xi2 + . . . + ωi1 i2 ...k
∂xip
onde v é um campo vetorial diferenciável qualquer, v ∈ X (M).
Ex. 2
0–forma f
,
1–forma θ
(Lv f )(x) =
,
(Lv θ)i (x) =
Propriedades
Lv - (1)
Lv - (2)
k ∂f
k=1 (v ∂xk )(x)
Pn
Pn
k ∂θi
k=1 (v ∂xk
= v(f )(x)
k
+ θk ∂v
)(x) .
∂xi
Lv (αω + βθ) = αLv ω + βLv θ , α, β ∈ R
I.
Lv (ω ∧ θ) = (Lv ω) ∧ θ + ω ∧ (Lv θ).
• Derivada de Lie sobre campos tensoriais quaisquer :
Lv atua não
só sobre p–formas, mas também sobre campos tensoriais diferenciáveis de
qualquer tipo pq . Neste contexto, mais amplo, Lv é definido por
Lv : Xpq (M) −→ Xpq (M)
: t −
7 → Lv t = ϑ tal que
j ...j
j ...j
ϑi11...ipq (x) :=
Pn
k
k=1 (v
∂ti 1...ipq
k...j
jq
j
1
...k ∂v
−ti1 ...iqp ∂v
− . . . − tji11...i
+
p ∂xk
∂xk
1
∂xk
j ...j
j ...j
k
k
q ∂v
1
∂v
+tk...i
+ . . . + tj11 ...kq ∂x
ip )(x) ,
p ∂xi1
q
onde v é um campo vetorial diferenciável qualquer e Xp (M) é o módulo dos
campos tensoriais diferenciáveis q vezes contravariantes e p vezes covariantes .
Ex. 3
u ∈ X01 (M) ≡ X (M)
,
(Lv u)i (x) =
n
X
(v k
k=1
i
∂ui
k ∂v
−
u
)(x) .
∂xk
∂xk
Lv t é a derivada direcional de t ao longo de v .
Teorema 3 : Lv t = 0 ⇐⇒ t é invariante perante a transformação στ : M −→ M
gerada por v ∈ X (M). Diz-se neste caso que v é uma simetria de t .
• Parênteses de Lie :
Campo vetorial diferenciável [v, u] associado a campos vetoriais
diferenciáveis v, u ∈ X (M) quaisquer. É definido por
[v, u]i (x) :=
k ∂ui
k=1 (v ∂xk
Pn
i
∂v
− uk ∂x
k )(x) .
Propriedades
pL - (1)
Definição alternativa : [v, u](f ) = v(u(f )) − u(v(f )) , ∀f ∈ F (M).
onde v, u e [v, u] agem sobre f segundo a ação simbolizada por v(f ) em iv -(6).
pL - (2)
Anti-simetria : [v, u] = −[u, v].
pL - (3)
Identidade de Jacobi : [[v, u], c] + [[u, c], v] + [[c, v], u] = 0.
pL - (4)
O Módulo X (M) equipado com a operação interna [v, u] forma Álgebra.
Obs. De pL - (3) e (4) resulta que a Álgebra X (M) é uma Álgebra de Lie.
pL - (5)
[v, u] = Lv u.
pL - (6)
[v, f u] = v(f )u + f [v, u] , Lv (f u) = Lv (f )u + f Lv u.
4
• Relações entre Lv , d , iv etc. . . :
Relações fundamentais
R - (1)
R - (2)
Lv = iv d + div .
i[v,u] = Lv iu − iu Lv .
Relações adicionais
R
R
R
R
R
R
-
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Lv d = dLv , [Lv , d] = 0.
Lv iv = iv Lv , [Lv , iv ] = 0.
L[v,u] = Lv Lu − Lu Lv = [Lv , Lu ].
Lv+u = Lv + Lu .
Lf v = f Lv + df ∧ iv .
(Lv θ)(u) = v(θ(u)) − θ([v, u]) , θ ∈ Λ1 (M).
(Lv ω)(u1u2 ) = v(ω(u1u2 )) − ω([v, u1]u2 ) − ω(u1[v, u2]) , ω ∈ Λ2 (M).
......................................................................
P
(Lv ω)(u1 . . . up ) = v(ω(u1 . . . up )) − pi=1 ω(u1 . . . , [v, ui ], . . . up ) ,
ω ∈ Λp (M),
Pn
onde ω(u1 . . . up ) := (i)=1 ωi1 ...ip ui1 . . . uip ∈ Λ0 (M) ,
v(ω(u1 . . . up )) =
Lv (ω(u1 . . . up )).
R - (9)
dθ(v, u) = Lv (θ(u)) − Lu (θ(v)) − θ([v, u]) , θ ∈ Λ1 (M).
R - (10)
dω(v0 v1 v2 ) = Lv0 (ω(v1v2 )) + Lv1 (ω(v2 v0 )) + Lv2 (ω(v0 v1 ))
+
−ω([v0 , v1 ]v2 )−ω([v1 , v2 ]v0 )−ω([v2 , v0 ]v1 ) , ω ∈ Λ2 (M).
.....................................................................
P
dω(v0 . . . vp ) = pi=0 (−1)i vi (ω(v0 . . . v̂i . . . vp )
+
Pp
i+j
(−1)
ω([v
,
v
]v
.
.
.
v̂
.
.
.
v̂j . . . vp )) ,
i j 0
i
0≤i<j≤p
ω ∈ Λp (M),
onde v̂i e v̂j estão ausentes em ω(. . .).
Para F : M n −→ N s diferenciável valem :
R
R
R
R
-
(11)
(12)
(13)
(14)
nas quais
F ∗ (αω + βθ) = αF ∗ω + βF ∗ θ , α , β ∈ R
I.
∗
∗
∗
F (ω ∧ θ) = F ω ∧ F θ.
F ∗ (dω) = d(F ∗ ω).
(F ◦ G)∗ ω = G∗ F ∗ ω,
F ∗ ω ∈ Λp (M n ) é a imagem recı́proca de ω ∈ Λp (N s ) perante F , dada por
P
jp
j1
(x) . . . ∂F
(F ∗ ω)i1 ...ip (x) := s(j)=1 ∂F
(x)ωj1 ...jp (F (x)) , (i) = 1, . . . , n.
∂xi1
∂xip
Para F : M n −→ N n difeomórfica valem :
R
R
R
R
-
(15)
(16)
(17)
(18)
nas quais
F ∗ (iv ω) = iF∗−1 v (F ∗ ω).
F ∗ (Lv ω) = LF∗−1v (F ∗ ω).
F∗ [v, u] = [F∗ v, F∗ u].
(F ◦ G)∗ v = F∗ G∗ v,
′
F∗ v ≡ F v ∈ X (N n ) é a imagem de v ∈ X (M n ) perante F , dada por
P
i
(x)v k (x) , i = 1, . . . , n ,
(F∗ v)i (x) := nk=1 ∂F
∂xk
F∗−1 v ∈ X (M n ) é a imagem de v ∈ X (N n ) perante F −1 , dada por
P
∂xi
j
(F∗−1 v)i (x) := nj=1 ∂y
j (y = F (x))v (y = F (x)) , i = 1, . . . , n ,
e F ∗ ω foi apresentada após R - (14) .
5