4/10/2015
Física Geral III
Aula Teórica 08 (Cap. 26 parte 2/3):
Potencial criado por:
1) Uma carga puntiforme
2) Grupo de cargas puntiformes
3) Dipolo elétrico
4) Distribuição contínua de cargas
Prof. Marcio R. Loos
Potencial produzido por uma carga pontual
• Vimos que uma carga puntiforme gera um campo elétrico dado por
E=
1 q
4pe 0 r 2
• Podemos obter uma expressão para o potencial criado por
uma carga pontual.
f
r r
• Partimos de
V f - Vi = - ò E × ds
i
• A fig. mostra um ponto P situado a uma distância R de uma
carga pontual positiva.
• Imagine que uma carga teste q0 é deslocada do ponto P até
o infinito.
• A trajetória é irrelevante! Escolhemos uma linha reta.
• O campo E gerado pela carga aponta radialmente para fora
dela.
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Potencial produzido por uma carga pontual
• O deslocamento ds de q0 tem mesma direção de E, logo
r r
E × ds = E ds cosq = E ds
• Como a trajetória de q0 é radial, faremos ds=dr.
• Podemos escrever
f
i=R
f =¥
V f - Vi = - ò E dr
i
¥
V¥ - VR = - ò E dr
R
V¥ = 0
VR = V
¥
V = ò E dr
mas
R
V=
q
4pe 0
¥
dr
òr
R
2
V=
E=
1 q
4pe 0 r 2
logo
¥
q
r - 2 dr
4pe 0 òR
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¥
V=
q é 1ù
4pe 0 êë r úû R
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Potencial produzido por uma carga pontual
• Continuando...
¥
V=
q é 1ù
4pe 0 êë r úû R
V=
V=
1 q
Rºr
4pe 0 R
V=
1 q
4pe 0 r
q é 1 1ù
- +
4pe 0 êë ¥ R úû
Potencial elétrico produzido por q a uma distância r.
• O que mudaria na eq. acima para uma carga negativa?
• As linhas de campo apontariam para dentro... cos 180º =-1.
• V teria um sinal NEGATIVO.
Uma carga positiva produz um potencial elétrico positivo.
Uma carga negativa produz um potencial elétrico negativo.
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Potencial produzido por uma carga pontual
• Podemos generalizar a eq. anterior para o potencial de uma carga!
• Permitiremos q>0 e q<0 (não apenas o módulo!)
V=
1 q
4pe 0 r
;± q
Gráfico do potencial V(r) gerado por computador para uma carga puntiforme positiva. A
particula está no plano xy. V->∞ quando r->0.
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Potencial produzido por um grupo de cargas puntiformes
• Usando o princípio da superposição, podemos determinar o potencial
líquido criado por um grupo de cargas num ponto.
• Calculamos o potencial resultante de cada carga através da eq.
1 q
V=
;± q
4pe 0 r
• ...e somamos os potenciais
n
V = å Vi =
i =1
1
4pe 0
n
qi
i =1
i
år
n
r r
r r
r
r n
V = - ò E × ds = - å ò Ei × ds =å Vi
¥
i =1
¥
i =1
• A soma é uma soma algébrica e não vetorial.
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V=
Exercício
1 q
4pe 0 r
;± q
Resposta:
V=3,5x102 V
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Exercício
Resposta:
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Potencial criado por um dipolo elétrico
• O princípio da posição pode ser usado para calcular o potencial
criado por um dipolo elétrico.
• Na fig. temos um dipolo elétrico.
• A carga +q cria um potencial V(+) em P.
• A carga -q cria um potencial V(-) em P.
• O potencial líquido em P vale
V = V( + ) + V( -)
V=
1
4pe 0
æ q
q ö÷
ç
çr
÷
è (+ ) r( -) ø
V=
q æç r(- ) - r(+ ) ö÷
4pe 0 çè r( + ) r(- ) ÷ø
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Potencial criado por um dipolo elétrico
• Em dipolo naturais (ex. H2O), d é muito pequeno e r>>d.
• Da fig. (b) temos as seguintes aproximações:
r( -) - r( + ) » d cosq
r( + )r( - ) » r 2
• Logo:
V=
q æç r( -) - r( +) ö÷
4pe 0 èç r(+ ) r(-) ø÷
V=
V=
1 p cosq
4pe 0 r 2
q d cosq mas
4pe 0 r 2
Potencial elétrico criado por um dipolo elétrico
V = 0 ® q = 90o
Vmáx ® q = 0
Vmin ® q = 180
o
qd = p
r( + ) » r(- )
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Plano equatorial do dipolo
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Potencial criado por uma distribuição contínua de cargas
• O potencial em um ponto P devido a uma distribuição de cargas pode ser
obtido via integração.
• Devemos escolher um elemento dq e determinar o potencial dV criado por dq.
• Consideraremos V∞=0.
• O potencial vale, então:
dV =
1 dq
4pe 0 r
V = ò dV =
1
dq
4pe 0 ò r
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Potencial criado por uma distribuição contínua de cargas
Lembre-se:
• dq = λdl para uma linha de carga
• dq = σdA para uma distribuição superficial
• dq = ρdV para uma distribuição volumétrica
Basta :
• Escrever dq
• Analisar r e substituir na eq. abaixo
• … integrar.
V = ò dV =
1
4pe 0
ò
dq
r
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Potencial criado por uma linha de carga
• Uma barra fina de plástico de comprimento L tem uma carga positiva, de
densidade linear uniforme λ.
• Qual o potencial elétrico V criado pela barra no ponto P?
• A barra possui possui uma densidade linear de cargas
q
Þ q = lx
x
• A carga de um elemento diferencial vale:
dq
=l
dq = ldx
dx
• O potencial é dado pela Eq.:
l=
1 dq
4pe 0 r
dV =
dV =
dV =
1 l dx
4pe 0 r
r=(d2+x2)1/2
d
1
ldx
4pe 0 ( d 2 + x 2 )1 / 2
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x
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Potencial criado por uma linha de carga
L
V = ò dV = ò
0
V = ò dV =
ò (x
2
l
dx
4pe 0 ( x 2 + d 2 )1/ 2
l
dx
4pe 0 ò0 ( x 2 + d 2 )1/ 2
L
[ (
dx
= ln x + ( x 2 + d 2 )1/ 2
+ d 2 )1 / 2
)]
l
dx
l
=
[ln (x + ( x 2 + d 2 )1/ 2 )]0L
4pe 0 ò0 ( x 2 + d 2 )1/ 2 4pe 0
L
V=
V=
V =
l
l
4pe 0
[ln (L + ( L + d
2
4pe 0
2 1/ 2
)
)- ln d ] ln A - ln B = ln( A / B)
é L + ( L2 + d 2 )1 / 2 ù
ln ê
ú
d
ë
û
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Potencial criado por um disco de carga
• Um disco de raio R tem uma densidade de carga uniforme sobre sua
superfície.
• Qual o potencial elétrico V criado pelo disco no ponto P?
• Consideraremos um elemento de carga como sendo um disco de raio R’ e
largura dR’.
• O campo criado em P por todos os anéis é obtido por integração.
• O disco possui uma densidade superficial de carga uniforme
dada por
s=
q
Þ q = sA
A
dq
=s
dA
• Mas,
A = pR'2
dA
= 2pR' dA = 2pR ' dR'
dR'
Área do anel
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dq = s (2pR ' dR' )
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Potencial criado por um disco de carga
• O potencial elétrico em P é obtido pela eq.:
1 dq
4pe 0 r
dV =
dV =
dV =
1 2psR ' dR'
4pe 0
r
dq = 2psR' dR'
r=(z2+R’2)1/2
z
R’
1
2psR ' dR'
4pe 0 ( z 2 + R '2 )1/ 2
• Obtemos V devido a todos os anéis integrando a eq.
acima de r=0 até r=R
s
R ' dR'
2e 0 ò0 ( z 2 + R '2 )1 / 2
R
V = ò dV =
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Potencial criado por um disco de carga
V=
s
R ' dR'
2e 0 ò0 ( z 2 + R '2 )1/ 2
ò (x
x dx
= ( x 2 + a 2 )1/ 2
+ a 2 )1 / 2
R
V=
V=
2
s
2e 0
s
2e 0
[( z
2
+ R'2 )1/ 2
]
R
0
[( z 2 + R 2 )1/ 2 - z ]
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Exercício 1/2: Potencial elétrico e campo elétrico
• Em qual das Figuras V=0 e E=0 no ponto vermelho?
q
q
q
-q
A
B
q
q
q
q
q
-q
C
-q
q
D
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q
-q
E
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Exercício 2/2: Potencial criado por uma haste (arco)
• A Fig. mostra uma haste de plástico que tem uma carga –Q
uniformemente distribuída.
• A haste tem raio r e subtende um ângulo de 120o.
• Os eixos coordenados foram colocados de modo que o eixo de simetria
da haste coincide com o eixo x e a origem está no centro de curvatura P
da haste. Com V=0 no infinito, qual é o potencial elétrico criado pela
haste no ponto P em termos de Q e r?
Resposta:
V =-
1 Q
4pe 0 r
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Você já pode resolver os seguintes exercícios:
Capítulo 26: 5, 6, 9, 11, 13, 14
Capítulo 26: 15, 16, 26, 28, 34, 35, 36, 37, 38,
40, 41
Capítulo 26: 43, 45, 48, 56, 60, 68 e 70
Livro texto: Halliday, vol. 3, 4ª edição.
Mais informações (cronogramas, lista de exercícios):
web: loos.prof.ufsc.br
e-mail: [email protected]
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