Berechnung und Simulation
in der Wälzlagertechnik
Dipl.-Ing. Jochen Sarfert
INA-Sonderdruck aus „Konstruktion“
Special Antriebstechnik, April 2002
Springer VDI Verlag Düsseldorf
Berechnung und Simulation in der Wälzlagertechnik
Abstimmung von Wälzlager und Maschine in der Produktentwicklung
Dipl.-Ing. Jochen Sarfert
In der Antriebstechnik ist es wichtig, dass Wälzlager und Maschine
frühzeitig im Entwicklungsprozess
aufeinander abgestimmt werden.
Neuzeitliche Berechnungs- und
Simulationswerkzeuge aus der
Wälzlagertechnik liefern hier einen
wesentlichen Beitrag. Sie unterstützen den Konstrukteur bei der
Beurteilung von Designvarianten
und erläutern das Zusammenspiel
von Bewegung und Lastübertragung. Ihre Anwendung und
Leistungsfähigkeit wird anhand
von ausgewählten Beispielen
vorgestellt.
Einleitung
Der rasant wachsende Druck des globalen Wettbewerbs erzwingt immer kürzere
Entwicklungszeiten und stellt höchste
Qualitätsanforderungen im Produktentstehungsprozess. Vor diesem Hintergrund gilt es, die Einflussnahme und das
Zusammenspiel aller am Prozess beteiligten Disziplinen aufeinander abzustimmen
und zu optimieren. Eine besondere Rolle
übernimmt hierbei die Berechnung und
Simulation. Durch den konsequenten
Einsatz dieser Instrumentarien bereits in
der frühen Entwicklungsphase werden
Produkteigenschaften am virtuellen Modell studiert und konstruktive Varianten
schnell und kostengünstig beurteilt.
Im angestrebten Idealfall folgt der rechnergestützten Voroptimierung ein Prototyp,
der den Freigabetest am Prüfstand ohne
weitere Iterationsschleifen besteht (Bild 1).
Neben Zeitgewinn liefert dieses Vorgehen
wertvolle Informationen über das Potenzial
an Risiken und Verbesserungen, die rechtzeitig zur Steigerung der Produktqualität
umgesetzt werden können.
Auch in der Wälzlagertechnik werden
derartige Simulationsverfahren erfolgreich
eingesetzt (Bild 2). Ein Schwerpunkt liegt
hierbei in der Abstimmung des Systemverhaltens Wälzlager/Maschine durch den
Einsatz spezieller Auslegungsprogramme
und Verfahren der Strukturmechanik. Für
Detailoptimierungen und Grenzbetrachtungen gewinnen die Methoden der
Kontaktmechanik sowie der dynamischen
Simulation zunehmend Bedeutung. Die
Anwendung dieser Verfahren und Methoden wird an ausgewählten Beispielen
vorgestellt.
Der richtige Ansatz für
das richtige Werkzeug
Die breite Produktpalette der Wälzlager –
von den klassischen Vertretern der rota-
Bild 1
2
tiven Lager bis zu den jüngeren Linearführungen – spiegelt das Spektrum der Anwendungen und den daraus abgeleiteten
Anforderungen an die Berechnung wider.
So müssen beispielsweise beim KfzGetriebe die unterschiedlichen Betriebszustände in der komplexen Welle-Lagerstruktur ebenso beherrscht werden wie
die auf Steifigkeit und Präzision auszulegenden Linearführungen einer
Werkzeugmaschine.
Es scheint zunächst schwer vorstellbar,
dass dieses von derart unterschiedlichen
Ansprüchen geprägte Anforderungsprofil
von nur einem Berechnungswerkzeug
erfüllt werden kann. Bei genauer Analyse
der Problemstellung wird aber klar, dass
alle Fragestellungen zur richtigen Abstimmung von Wälzlager und Maschine auf
die Basismethodik der Wälzlagerberechnung zurückgeführt werden können:
1. Berechnung der Lastverteilung,
2. Bestimmung der Tragsicherheit und
der Lebensdauer.
Einfluss der Simulation im Entwicklungsprozess
Bild 2
Simulationswerkzeuge der Wälzlagertechnik in der Produktentwicklung
Dieser einheitliche Ansatz ist ein idealer
Ausgangspunkt für die Methoden- und
Softwareentwickler. Sie nutzen dabei die
Möglichkeiten des objektorientierten
Designs, um aus gleichen Basisklassen
unterschiedliche Ausprägungen zu generieren. Nach diesem Vorgehen entstand
das Berechnungsprogramm BEARINX ® für
die Analyse von wälzgelagerten Systemen [1, 2]. Am Beispiel einer Getriebemodellierung soll der Leistungsumfang
aufgezeigt werden.
Wälzlagertechnische Getriebeauslegung mit BEARINX®
Die Berechnung beginnt mit der Modellierung. Hierzu liegen die Angaben des
Getriebeherstellers vor. Im vorliegenden
Fall handelt es sich um ein Windenergie-
Bild 4
Bild 3
Beschreibung des Leistungsflusses in einem Windenergiegetriebe
getriebe, bestehend aus einem einstufigen
Planetensatz mit zwei nachgeschalteten
Stirnradstufen.
Im ersten Schritt analysieren wir den
Leistungsfluss durch das Getriebe und
teilen diesen dem Programm mit. Dies geschieht in einer eigens hierfür entwickelten
Struktursprache, der sogenannten „Logischen Struktur“ (Bild 3), [3]. Hierbei stehen
– ähnlich wie in der Regelungstechnik –
spezielle Leistungsübertragungselemente
wie z.B. Eingang, Wandlung, Verzweigung, Begrenzung und Ausgang zur
Verfügung.
Auf diese Weise lassen sich beliebige Getriebeanordnungen strukturiert abbilden.
Programm-intern wird der Leistungsfluss
in einem Gleichungssystem behandelt,
dessen Lösung den mechanischen Zustand „Drehmoment, Drehzahl, statische
Lasten“ aller an der Leistungsübertragung
beteiligten Einheiten liefert.
Im zweiten Schritt modellieren wir die
elastische Gesamtstruktur (Bild 4). Hierzu
zählt die Wellengeometrie ebenso wie die
Nachgiebigkeiten der Lagerbohrungen,
die wir über reduzierte Steifigkeitsmatrizen
aus einer gesonderten FEM-Vorrechnung
berücksichtigen können.
Im dritten Schritt rufen wir die Lagerdaten aus einer Datenbank ab. Die
Beschreibung umfasst alle Angaben zur
inneren Geometrie und schließt die Profilgestaltung von Laufbahn und Wälzkörper
ein. Die Lager-Außengeometrie der
Planetenräder beschreiben wir als
elastische Ringe, um die Wechselwirkung
von Zahneingriff und Lagerabstützung
realitätsnah zu ermitteln. Über weitere
Eingaben erfassen wir spezielle Angaben
zur Schmierung und Verunreinigung.
Nach Abschluss der Eingabe wird die
Berechnung gestartet. Vom Rechner wird
jetzt das elastische Gesamtsystem unter
Berücksichtigung aller Komponenten bis
hin zum nichtlinearen Einzelkontakt aller
Wälzkörper gelöst. In einem MonitorFenster können wir die einzelnen Schritte
des iterativen Rechenprozesses verfolgen.
Im vorerst letzten Schritt überprüfen wir
die Ergebnisse und werten sie aus. Unser
Augenmerk richten wir auch hier zunächst
auf die Lastverteilung. Diese verfolgen wir
von den Lastdaten der Getriebeelemente
über die Spannungen und Verformungen
Modellierung der elastischen Struktur
3
Bild 5
Darstellung der Ergebnisse
der Wellensysteme bis ins Wälzlager und
den Einzelkontakt (Bild 5). Ein Vergleich
der berechneten Lebensdauer mit den
Vorgaben zeigt uns schließlich, ob unsere
Konstruktion den Anforderungen gerecht
wird.
Abschließend betrachten wir noch ein
weiteres Leistungsmerkmal von BEARINX ®
– die Parameteranalyse. Sie ist eine wertvolle Hilfe, wenn es darum geht, anhand
von Sensitivitätsstudien Einflussgrößen zu
identifizieren und zu optimieren. So wird im
vorliegenden Beispiel die Auswirkung einer
unsymmetrischen Lasteinleitung an der
Planetenverzahnung auf die Tragfähigkeit
der Lagerung untersucht (Bild 6). Aus den
Schnittpunkten der Ergebnislinien mit dem
Vorgabewert ergibt sich ein Fenster, das
den zulässigen Bereich der Geometrieabweichungen begrenzt.
Bild 6
Parameteranalyse am Zahneingriff
Einheitliche Verfahren
erleichtern die Bewertung
Zu den BEARINX ®-Ergebnissen zählt die
Lebensdauer mit der Bezeichnung Lnr.
Es handelt sich hierbei um die neue
Referenzlebensdauer nach dem Entwurf
von Beiblatt 4 zur DIN ISO 281. Da diese
Lebensdauer einen wichtigen Schritt zur
einheitlichen Lagerbewertung darstellt und
die Berechnung auch im FVA-Programm
RIKOR implementiert wird, soll näher
darauf eingegangen werden.
Wie ein historischer Rückblick belegt, bauen alle bis heute standardisierten Verfahren
zur Berechnung der Wälzlager-Lebensdauer auf der Basisgleichung von Lundberg
und Palmgren aus dem Jahre 1947 auf.
Aus dem Ansatz für die Ausfallwahrscheinlichkeit und einer idealisierten Annahme für
die Lastverteilung im Lager folgt die einfach
handhabbare Formel für die nominelle
Ermüdungslebensdauer L10.
1
ln S =
t oc
e
·N ·
C
L10 = 1P
2
p
V yzoh
Die Einflüsse von Werkstoff und Schmierung wurden seit 1977 über die modifizierte Lebensdauer mit den Faktoren a2
und a3 berücksichtigt.
Lna = a1 · a2 · a3 · L10
Da erkannt wurde, dass die Einflüsse nicht
unabhängig voneinander sind, setzte sich
in der Praxis der gemeinsame Faktor a23
durch.
Lna = a1 · a23 · L10
1985 veröffentlichten Ioannides und Harris
[4] eine wesentliche Erweiterung der Theorie. Sie führten eine Ermüdungsgrenze
des Werkstoffes sowie eine diskretisierte
Betrachtung des beanspruchten Volumens
ein.
c
1
ln S = N e · e 31s – su2 y z h4 · dV
Mit dieser Erweiterung ist es heute möglich, alle beanspruchungsrelevanten Einflüsse wie z.B. Oberflächenrauigkeiten,
Schmutzpartikel oder Eigenspannungen
über die hierdurch verursachten lokalen
Spannungen im Lebensdauermodell zu
berücksichtigen. Der formale Rahmen für
eine praktische Anwendung dieser Systembetrachtung wurde nach internationaler Einigung 1999 im Amendement 2 zur
ISO 281 veröffentlicht.
Lnm = a1 · axyz · L10
Bild 7
4
Die neue Referenzlebensdauer nach DIN ISO 281 Bl. 4 (E)
Bild 8
Automatisch generierte Modelle für Drehverbindungen
Ausgehend von dieser allgemeinen Vorgabe wurden in dem zuständigen nationalen
DIN-Arbeitskreis zwei konkretisierte Verfahren zur Lebensdauer formuliert und als
Entwürfe vorgestellt [5, 6]. Das Beiblatt 1
zu DIN ISO 281 behandelt ein vereinfachtes Näherungsverfahren,
Lnm = a1 · aDIN · L10
während das Beiblatt 4 den Rechenalgorithmus für die Ermittlung der Lebensdauer eines allgemein räumlich belasteten
Wälzlagers beschreibt.
Lnr = f (Schmierung, Verunreinigung,
Ermüdungsgrenze, Lastverteilung)
Dieses Verfahren ist in die Punkte „Lastverteilung“ und „Lebensdauer“ gegliedert
und kann somit einfach in das übliche
Konzept für ein Rechenprogramm zur
Wälzlageranalyse integriert werden.
Im Einzelnen enthält das Beiblatt wichtige
Vereinbarungen zur Modellierung des
Wälzlagers als elastisches Ersatzsystem.
So wird beispielsweise für die Linienberührung neben der Federgleichung auch
ein Scheibenmodell zur Berücksichtigung
von Verkippungen der Laufbahnen und
Profilierungen am Wälzkörper beschrieben. Das Kapitel „Lebensdauer“ enthält
eine Anleitung zur Umsetzung der Lastverteilung in eine Lebensdauer. Dabei
werden die im Faktor aDIN zusammengefassten Einflüsse aus Schmierung und
Verunreinigung bereits im Einzelkontakt
berücksichtigt (Bild 7).
Bild 9
Ergebnisse einer Anwendungsberechnung
Das im DIN-Entwurf vorgestellte Verfahren
bildet somit eine geeignete Grundlage, die
Ergebnisse aus unterschiedlichen Berechnungsprogrammen künftig vergleichbar zu
bewerten.
Finite-Elemente-Methode
für den Alltag der
Wälzlagerberatung
Die meisten Anwendungsfälle in der Wälzlagerpraxis können mit leistungsfähigen
Programmen wie dem vorgestellten
BEARINX ® berechnet werden. Es gibt aber
auch Ausnahmen, bei denen die Komplexität der Lagerumgebung den Einsatz der
Finite-Elemente-Methode erfordert.
Ein typisches Anwendungsgebiet hierfür
sind die Drehverbindungen, bei denen
die Lagerringe über Schrauben mit den
Anschlussbauteilen verbunden sind.
Für den Nachweis der Tragfähigkeit muss
somit neben der Lastverteilung im Lager
auch die Beanspruchung der Schrauben
ermittelt werden.
Auf der Suche nach einem geeigneten
Lösungsansatz standen zwei Forderungen im Blickpunkt:
1. ein hinreichend genaues Berechnungsmodell und
2. die Berechnung soll am Arbeitsplatz
eines Beratungsingenieurs ohne
FEM-Expertenwissen durchgeführt
werden können.
Im vorliegenden Fall fiel die Wahl auf eine
Kombination:
1. Für die Berechnung wurden – abgestimmt auf die begrenzt vorhandenen
Geometrievarianten – parametrisierte
FEM-Modelle entwickelt (Bild 8).
2. Die Benutzerschnittstelle wurde in
BEARINX ® integriert.
Der komplette Eingabedatensatz für die
Geometrieerzeugung wird mit allen
erforderlichen Randbedingungen im XMLFormat an das FEM-Modul übergeben.
Im vorliegenden Fall handelt es sich um
das Programm ABAQUS/CAE. Innerhalb
der FEM-Umgebung steuert ein Skript die
automatische Generierung der FEMStruktur und die Weitergabe an den FEMSolver. Die im Postprocessing aufbereiteten Ergebnisse können ähnlich wie die
Eingabe über eine XML-Datei ausgeleitet
und mit BEARINX ® visualisiert werden (Bild 9).
Der Beratungsingenieur braucht dabei
seine gewohnte Umgebung nicht zu verlassen. Er kann seinen Kunden somit
bereits im frühen Stadium der Entwicklung
mit einer hochwertigen FEM-Analyse bei
der Auslegung unterstützen. Auf diese
Weise entfallen Wartezeiten, die bei der
Beauftragung von Berechnungsexperten
entstehen können.
5
Bild 10 Numerisch generierte Oberflächen
Mischreibung wird berechenbar
Neuzeitliche Methoden für die Lebensdauerberechnung, wie z.B. nach dem Modell
von Ioannides und Harris, bauen darauf
auf, dass die Verteilung der Spannung im
Mikro-Bereich des Wälzkontaktes und des
angrenzenden Volumens genau bekannt
ist. Vor diesem Hintergrund wurden
Modelle entwickelt, die das Tragverhalten
unter dem wechselseitigen Einfluss von
Oberflächenrauigkeit und Schmierfilmentlastung beschreiben.
Mit dem hier vorgestellten Verfahren lassen sich sowohl real vermessene als auch
numerisch erzeugte Oberflächen untersuchen (Bild 10) [8]. Es berücksichtigt ein
elastisch-plastisches Materialverhalten der
Kontaktflächen, ein Nicht-Newtonsches
Verhalten des Schmierstoffes sowie
Gleitschlupf und thermische Effekte. Beim
Lösungsansatz wird zwischen dem Traganteil des „trockenen rauen“ Kontaktes
und dem EHD-Anteil des verbliebenen
„glatten“ Kontaktes unterschieden.
Die Summe beider Anteile steht über die
Spalthöhe im Gleichgewicht mit der
äußeren Kontaktlast.
Ein nach diesem Verfahren berechneter
Pressungsverlauf weicht je nach Lasthorizont deutlich von der Idealverteilung
der glatten Oberfläche ab (Bild 11). Als
Folge der Spannungsspitzen entstehen
dicht unter der Oberfläche lokale Spannungsmaxima. Analog verlagert sich damit
der Ort höchster Ausfallgefährdung aus
6
Bild 11 Spannungen im Kontakt der Mischreibung
dem Volumen hin zur Oberfläche. Für eine
wälzlagertechnische Beurteilung werden
die Ergebnisse der Spannungsberechnung
anhand des allgemeinen Ansatzes von
Ioannides und Harris über alle Volumenelemente ausgewertet und zusammengefasst. So ist es beispielsweise möglich,
die Auswirkung von Rauheiten mit unterschiedlicher statistischer Verteilung zu
untersuchen (Bild 12).
Die Ergebnisse geben den Hinweis, dass
die Profile mit einer unsymmetrischen Verteilung besser abschneiden als die gaußverteilten. Deutlich zu erkennen ist auch,
dass mit zunehmender Pressung der
Einfluss der Rauheit abnimmt. Im Bereich
oberhalb 2000 MPa ist der Lebensdauerkennwert der beiden untersuchten Profile
nahezu gleich.
Das Modell bestätigt und erklärt viele
Beobachtungen aus der Praxis. Es liefert
aber insbesondere wertvolle Anregungen
für weitere Verbesserungen der Oberflächengestaltung.
Das Lager dreht sich
Die Mehrzahl der klassischen Lagerberechnungen beschränkt sich auf eine
statische Betrachtung. Es gibt aber noch
viele Fragen, die hiermit nicht ausreichend
beantwortet werden können.
So interessiert z.B. die Vorhersage des
Reibmomentes in einer Planetenradlagerung ebenso wie die Vermeidung von
kritischen Schlupfzuständen im Hochlauf.
Die Antwort auf diese und ähnliche Fragestellungen kann hier nur eine dynamische
Simulation der Bewegungsabläufe aller an
der Lastübertragung beteiligten Komponenten liefern. Zu diesem Zweck wurden
unterschiedliche Modelle entwickelt.
Während bei der 1. Generation die
Prozessorleistung der Computer eine
2-D-Beschränkung auferlegte, werden
heute räumliche Modelle mit allen Freiheitsgraden eingesetzt. Ein Beispiel hierfür
ist das Simulationsprogramm „Caba3D“
mit folgenden Leistungsmerkmalen:
• Simulation sämtlicher Wälzlagerarten
• geführte Bewegungen
(z.B. Planetenradlager)
• Berücksichtigung instationärer
Betriebsbedingungen
• Berechnung sämtlicher Kraft- und
Bewegungsgrößen
• Ermittlung von Reibmoment, Schlupfund Schädigungskennwerten.
Für die Interpretation der Ergebnisse wird
der Berechnungsingenieur durch eine
komfortable 3-D-Visualisierung unterstützt.
Er kann bestimmte Lagerkomponenten
und Ergebnisse zielgerecht ein- oder ausblenden. Auf diese Weise verfolgt er beim
Zylinderrollenlager z.B. den Kontakt Rolle/
Laufbahn sowie Rolle/Bord während der
Drehung des Lagers oder er prüft die
dynamische Lastverteilung eines verkippten
Lagers (Bild 13).
Bild 12 Lebensdauervergleich für Oberflächenvarianten
Die dynamische Simulation von Wälzlagern
ist extrem rechenintensiv und wird heute in
der Regel vom Berechnungsspezialisten
durchgeführt. Die Entwicklung zu einer
breiten Anwendung ist jedoch vorbereitet.
Sie wird entscheidend vom Leistungszuwachs der Prozessoren bestimmt.
Fazit und Ausblick
Die vorgestellten Verfahren zur Berechnung und Simulation in der Wälzlagertechnik sind geeignet, frühzeitig im
Prozess der Produktentwicklung wertvolle
Informationen über die Abstimmung von
Wälzlager und Maschine zu erhalten.
Sie unterstützen den Konstrukteur bei der
Vorauswahl der Lagerung und bereiten
den Weg für einen erfolgreichen Prototyp.
Der Test auf dem Prüfstand bleibt aber
Bild 13 3-D-Simulation eines belasteten Lagers (verkippt)
weiterhin unverzichtbar. Im fortschreitenden Prozess übernimmt er die Aufgabe
der Absicherung bis zur Freigabe.
Ein Ziel der künftigen Modellentwicklung
wird es sein, die höherwertigen Verfahren
zur Ermittlung der Lastverteilung und
Beanspruchung im Wälzlager in einem
System zu vereinen. Dabei wird die dynamische Simulation den Taktgeber für die
Submodelle der Struktur- und Kontaktmechanik spielen. Abgestimmt auf die
Leistung der Computerprozessoren
entsteht so eine neue Generation von
Simulationswerkzeugen, mit denen der
Berechnungszyklus „Lastverteilung –
Ermüdungslebensdauer“ um die Komponenten „Reibung und Gebrauchsdauer“
ergänzt wird.
Literaturverzeichnis
[1] Sarfert, J.: Berechnungsservice rund
um das Wälzlager. Antriebstechnik
38(1999), Nr. 4
[2] Klee, S.: Detaillierte Analyse kompletter Wälzlagerungen von Getrieben.
Antriebstechnisches Kolloquium,
29.-30. Mai, Aachen, 2001
[3] Führmann, J.: Berechnung von Getriebelagerungen nach einer allgemeinen Strukturmethode. VDI-Berichte
Nr. 261, S. 101-110, 1976,
VDI Verlag GmbH, Düsseldorf
[4] Ioannides, E.; Harris, T.A.: A New
Fatigue Life Model for Rolling Bearings.
ASME Journal of Tribology, 107,
pp. 367-378, 1985
[5] Dynamische Tragzahlen und nominelle Lebensdauer – Lebensdauerbeiwert aDIN und Berechnung der
erweiterten modifizierten nominellen
Lebensdauer. DIN ISO 281,
Beiblatt 1 (E), Dezember 2000
[6] Dynamische Tragzahlen und nominelle Lebensdauer – Verfahren zur
Berechnung der modifizierten
Referenzlebensdauer. DIN ISO 281,
Beiblatt 4 (E), Dezember 2000
[7] Binderszewsky, J., Frenk, A.:
Ein Simulationssystem für Drehverbindungen. ABAQUS Anwendertreffen 2001, Freiburg
[8] Bakolas, V., Mihalidis, A.: Analysis of
rough line contacts operating under
mixed EHL conditions.
2nd World Tribology Congress,
Sep. 3-7, Vienna, 2001
Autor:
Dipl.-Ing. Jochen Sarfert ist Leiter der
Technischen Berechnung bei der
INA-Schaeffler KG in Herzogenaurach
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91072 Herzogenaurach
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