Instituto Superior de Ciências do Trabalho e Empresa
Curso: Gestão e GEI, 1o Ano
Cadeira: Optimização
Caderno 1 : Domínios de Definição, Limites e Continuidade
(Tópicos de teoria e exercícios)
Elaborado por: Diana Aldea Mendes
Departamento de Métodos Quantitativos
Fevereiro de 2009
Capítulo 1
Noções Topológicas e Domínios de
Definição de Funções
1.1
Tópicos de Teoria
Definição 1: Seja (Rn , d) um espaço métrico com a distância d entre dois pontos x =
(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn e y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn definida por:
q
d (x, y) = (x1 − y1 )2 + . . . + (xn − yn )2 .
Seja a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn e ε > 0. A bola aberta de centro a e raio ε designa-se por
B (a, ) ou B (a) e é definida pelo seguinte conjunto de pontos
B (a, ε) = {x ∈ Rn : d (x, a) < ε} .
R
R
B(a,ε)
B(a,ε)
a3
ah
a2
0
a
A
a- ε
A
a+ε
ε
ε
R
a
a2
0
R
0
h
R
a1
a1
R
B ola ab erta em R
Bola aberta em R2
Bola aberta em R 3
Definição 2: Seja (Rn , d) um espaço métrico com a distância d, A ⊆ Rn e a =
(a1 , . . . , an ) ∈ Rn . Têm-se então que:
1
2CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES
• a é um ponto interior de A se existe pelo menos uma bola aberta de centro a e raio
ε contida em A, isto é
∃ ε > 0 tal que B (a, ) ⊆ A
• a é um ponto exterior de A se existe pelo menos uma bola aberta de centro a e raio
ε contida em Rn \A (ou seja: existe pelo menos uma bola aberta de centro a e raio
ε que não contém pontos pertencentes a A), isto é
∃ ε > 0 tal que B (a, ) ⊆ Rn \A ou seja B (a, ) ∩ A = ∅
• a é um ponto fronteiro de A se em qualquer bola aberta de centro a e raio ε existe
pelo menos um ponto de A e existe pelo menos um ponto de Rn \A, isto é
∀ ε > 0 : B (a, ) ∩ A 6= ∅ e B (a, ) ∩ Rn \A 6= ∅
• a é um ponto de acumulação de A se em qualquer bola aberta de centro a e raio ε
existem infinitos elementos de A, isto é
∀ ε > 0 : B (a, ) ∩ Aé um conjunto infinito
• a é um ponto isolado se não é um ponto de acumulação.
y
exterior
−
h
exterior
−
h
fronteiro
−
interior h
−
A
h
− 1
fronteiro h
0
y=2
isolado
−
h
2
x
Definição 3: Seja (Rn , d) um espaço métrico com a distância d e A ⊆ Rn . Designa-se
por:
• Interior de A (IntA) o conjunto dos pontos interiores de A
1.1. TÓPICOS DE TEORIA
3
• Exterior de A (ExtA) o conjunto dos pontos exteriores de A
• Fronteira de A (F rontA) o conjunto dos pontos fronteiros de A
• Fecho ou aderência de A (F echA ou Ā) à união do interior de A com a fronteira de
A, isto é
F echA = IntA ∪ F rontA
• Derivado de A (A0 ) o conjunto dos pontos de acumulação de A.
• O conjunto A ⊆ Rn diz-se aberto se IntA = A e diz-se fechado se F echA = A.
Definição 4: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Se para cada x ∈ A se faz corresponder um e só um y = f (x) ∈ B então tem-se uma função f de A em B (f : A −→ B) .
• f : Rn → R diz-se função real de n variáveis reais.e representa-se por uma expressão
com n variáveis
• f : Rn → Rm diz-se função vectorial de n variáveis reais e representa-se por um
sistema de m funções com n variáveis.
Definição 5: Seja a função f : Df ⊆ Rn −→ Rm . O conjunto Df é o domínio ou
campo de existência da função f e representa o conjunto dos todos os pontos de Rn para os
quais se podem efectuar todas as operações indicadas nas m expressões, isto é, corresponde
à intersecção dos domínios das m funções coordenadas f1 , ..., fm ..: Df = Df1 ∩ .... ∩ Dfm .
• Sejam F e G duas funções quaisquer. Para calcular os domínios de definição temos
que ter em consideração que
F
=⇒ G 6= 0
G
√
— n F =⇒ F ≥ 0 se n par
—
— log F =⇒ F > 0
— F G =⇒ F > 0
— arcsin F ou arccos F =⇒ −1 ≤ F ≤ 1
4CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES
1.2
As equações e os gráficos de algumas curvas no plano
real
• Recta
y − b = m (x − a)
Exemplo 1.2.1 : y = x − 1
y
o
o
y<x-1
o
o
o
o
o
y=x-1
o
o
o
o
o
o
o
1
x
o
o
o
o
o
o
o
o
y>x-1
-1
o
• Circunferência de centro (a, b) e raio r :
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
Exemplo 1.2.2 : x2 + y 2 = 1
y
o
o
o
o
o
x2+y2<1
o
o
o
o
x2+y2=1 o
o
o
x
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
x2+y2>1
1.2. AS EQUAÇÕES E OS GRÁFICOS DE ALGUMAS CURVAS NO PLANO REAL 5
• Parábola: orientada na direcção do eixo dos yy :
y − b = m (x − a)2
e orientada na direcção do eixo dos xx :
2
x − a = m (y − b) =⇒ y = b ±
r
Exemplo 1.2.3 : y = x2
y
y=x2
y>x2
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
y<x2
x
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
√
Exemplo 1.2.4 : x = y 2 , ou equivalente y = ± x
y
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
x>y2
o
o
o
o
o
o
o
o
o
x<y2
x
o
o
o
o
o
o
x=y2
• Hipérbole: orientada na direcção do eixo dos xx :
(x − a)2 (y − b)2
−
=1
p2
q2
x−a
m
6CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES
e orientada na direcção do eixo dos yy :
(y − b)2 (x − a)2
−
=1
q2
p2
Exemplo 1.2.5 : Hipérbole equilateral: y =
1
x
y
o
o
o o
o o
o
o
o
y=1/x
o
y<1/x
o
o
o
o
o
o
o
o
o
y>1/x
x
o
o
o
o
o
o
1.3
o
o
o o
Exercícios Propostos
1. Representa graficamente os conjuntos e indique o interior, o exterior, a fronteira, o
fecho e o derivado. Diga se são abertos e (ou) fechados:
©
ª
(a) A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4 ∪ {(6, 7)}
ª
©
(b) B = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 1 ≥ 0 ∧ x − y + 1 > 0 ∧ x2 − y ≤ 0
ª ©
ª
©
(c) C = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4 ∧ y > 0 ∪ (x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 − 4 ∧ y < 0
©
ª
(d) D = (x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 ∧ y ≤ x + 1 ∪ {(−2, 1)}
2. Determine e represente graficamente o domínio de definição D de cada uma das
seguintes funções f : D ⊆ R2 → R:
(a) f (x, y) =
p
1 − x2 − y2
(b) f (x, y) = log (x + y)
1.3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
7
(c) f (x, y) = log (1 − x + y), com x, y ≥ 0
(d) f (x, y) =
log (4 − x − y)
√
4
xy − 3
1
(e) f (x, y) = p
4 − x2 − y 2
q
(f) f (x, y) = 1 + − (x − y)2
(g) f (x, y) =
(h) f (x, y) =
(i) f (x, y) =
p
√
x2 − 4 + 4 − y2
p
√
1 − x2 + 1 − y2
x2
1
+ y2
1
(j) f (x, y) = p
√
y− x
x2 y 2
(k) f (x, y) = q
(x2 + y2 )3
(l) f (x, y) = arcsin
y
x
¡
¢
(m) f (x, y) = log 1 − x2 + cos (xy)
¶
µ
x + y 1/2
(n) f (x, y) =
x2 − y
xy
(o) f (x, y) =
|x| + |y|
¢xy
¡
(p) f (x, y) = −x2 − y 2 + 4
3. Determine o domínio de definição das seguintes funções:
(a) f (x, y) =
⎧
⎪
⎪
⎨
1
log (x + y)
,
(x, y) : x + y > 0
⎪
⎪
⎩ √1 − x − y , (x, y) : x + y ≤ 0
⎧
2x3 + 3y4
⎪
⎪
, (x, y) 6= (0, 0)
⎨
2x3 − y 3
(b) f (x, y) =
⎪
⎪
⎩
1
, (x, y) = (0, 0)
8CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES
(c) f (x, y) =
(d) f (x, y) =
⎧
⎪
log (3x + y) ,
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
1
x+y
p
x2 + y 2
3y 2 − x
,
,
(x, y) : 3x + y > 0
(x, y) : 3x + y ≤ 0
(x, y) : x 6= 3y
0
, (x, y) : x = 3y
¡ 2
¢
⎧
log x + y2
⎪
⎪
⎨
, (x, y) : y 6= 1
2y
−
1
(e) f (x, y) =
⎪
⎪
⎩
1
, (x, y) : y = 1
⎧
x−y
⎪
⎨ xye x+y , (x, y) 6= (0, 0)
(f) f (x, y) =
⎪
⎩
0
, (x, y) = (0, 0)
x2 sin2 y + y 3 cos2 x
x4 + y 4 + 2x2 y 2
⎧
2y2
⎪
⎪
, (x, y) : y 6= x
⎨
3x + y
(h) f (x, y) =
⎪
⎪
⎩
1
, (x, y) : y = x
⎧
xy
⎪
⎨ x2 − y 2 , (x, y) : x 6= ±y
(i) f (x, y) =
⎪
⎩
0
, (x, y) : x = ±y
⎧ 3
x + 4y 2
⎪
⎪
, (x, y) 6= (0, 0)
⎨ 2
x − 5y 2
(j) f (x, y) =
⎪
⎪
⎩
0
, (x, y) = (0, 0)
(g) f (x, y) =
q
4. Seja a função f (x, y) = log (xy − 1) + 9 − (x − 1)2 − y2 .
(a) Determine o seu domínio de definição e represente-o graficamente.
(b) Indique, justificando, se Df é um conjunto aberto e/ou fechado.
Capítulo 2
Limites e Continuidade
2.1
Tópicos de Teoria
• Definição: Seja f : Df ⊆ R2 −→ R uma função real de domínio Df e seja (a, b) um
ponto de acumulação de Df . Diz-se que l ∈ R é o limite de f (x, y) no ponto (a, b)
e escreve-se lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = l se e só se
"
∀δ > 0, ∃ ε > 0 :
q
#
(x − a)2 + (y − b)2 < ε ∧ (x, y) ∈ Df \ {(a, b)}
=⇒ |f (x, y) − l| < δ
A definição do limite traduz-se no essencial por: ”a proximidade de (x, y) de (a, b) deve
obrigar à proximidade de f (x, y) de l ”.
Geometricamente: O domínio Df é uma região do plano e um ponto (x, y) pode
aproximar-se do ponto (a, b) por uma infinidade da caminhos possíveis (rectas, parábolas,
etc.), como mostra a figura:
y
(x,y)
(x,y)
(x,y)
b
(x,y)
h
(x,y)
(x,y)
a
9
x
10
CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
A definição de limite de f (x, y) em (a, b) obriga a: para que exista lim(x,y)→(a,b) f (x, y)
é necessário (mas não é suficiente) que existam e tenham o mesmo valor os limites ao longo
de todos os caminhos possíveis (limites relativos).
⎧
1. iterados (ou sucessivos)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
• Limites relativos
⎨ a). direcção = recta
⎪
⎪
2.
direccionais
⎪
⎪
⎩
⎩
b). direcção = parábola
1. Limites iterados:
⎧
⎨ l1 = limx→a (limy→b f (x, y))
⎩
l2 = limy→b (limx→a f (x, y))
2. Limites direccionais
(a) O caminho é uma recta não vertical de declive m que passa por ponto (a, b) e
a equação da família de rectas é dada por
y = b + m (x − a) ,
m∈R
Nesse caso o limite a calcular é
lr =
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) =
lim
(x,y)→(a,b)
y=b+m(x−a)
f (x, y) = lim f (x, b + m (x − a))
x→a
(b) O caminho é uma parábola de eixo vertical que passa por ponto (a, b) e a
equação da família de parábolas é dada por
y = b + m (x − a)2 ,
m∈R
Nesse caso o limite a calcular é
lp =
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) =
lim
(x,y)→(a,b)
y=b+m(x−a)2
´
³
f (x, y) = lim f x, b + m (x − a)2
x→a
• Algumas desigualdades a utilizar em problemas com a definição de limite de funções
de duas variáveis são:
2.1. TÓPICOS DE TEORIA
11
p
x2 + y 2
p
|y| ≤ x2 + y2
|x| ≤
¢
1¡ 2
x + y2
2p
|x ± y| ≤ |x| + |y| ≤ 2 x2 + y 2
¯ 3
¯ ¡
¢
¯x − y 3 ¯ ≤ x2 + y 2 3/2
|x × y| = |x| × |y| ≤
• Definição: Seja f : Df ⊆ Rn −→ Rm uma função definida pelas m funções coordenadas y1 = f1 (x1 , ..., xn ) , ..., ym = fm (x1 , ..., xn ) , e seja A = (a1 , ..., an ) um
ponto de acumulação de Df . Diz-se que o limite de f no ponto A é o ponto
B = (b1 , ..., bm ) ∈ Rm e escreve-se lim f (x) = B, se cada uma das funções cox→A
ordenadas fi tem limite no ponto A e esse limite é bi , isto é, lim fi (x) = bi .
x→A
• Definição (Continuidade): Seja f : Df ⊆ R2 −→ R uma função real de duas
variáveis reais de domínio Df . A função f diz-se contínua num ponto (a, b) (que seja
ponto de acumulação do Df ) se as seguintes três condições são verificadas
— Existe f (a, b) ou seja (a, b) ∈ Df
— Existe lim(x,y)→(a,b) f (x, y)
— lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = f (a, b)
• Definição: Diz-se que uma função f : Df ⊆ R2 −→ R é prolongável por continuidade ao ponto (a, b) (ou que f tem em (a, b) uma descontinuidade removível)
se
— (a, b) ∈
/ Df
— Existe lim(x,y)→(a,b) f (x, y)
• Sendo f prolongável por continuidade ao ponto (a, b), a função f ∗ , prolongamento
de f por continuidade ao ponto (a, b), é definida como segue:
⎧
, se (x, y) ∈ Df
⎨ f (x, y)
∗
f (x, y) =
⎩
lim(x,y)→(a,b) f (x, y) , se (x, y) = (a, b)
12
CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
• Definição: Uma função f : Df ⊆ R2 −→ R é descontínua no ponto (a, b) (ponto de
acumulação de Df ) se f não é contínua em (a, b), nem prolongável por continuidade
ao ponto (a, b) .
• Definição: Uma função f : Df ⊆ R2 −→ R diz-se contínua no seu domínio Df ⊆
R2 , se fôr contínua em todos os pontos desse domínio.
2.2
Exercícios Propostos
1. Seja a função
f (x) =
Calcule, se existirem:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
1
x+1
,
x≤0
e−x
,
x>0
(a) limx→1 f (x) ; limx→−1 f (x) ; limx→0 f (x) ; limx→+∞ f (x) ; limx→−∞ f (x)
2. Seja a função: f (x, y) =
x+y
. Calcule o seu limite no ponto (1, 2) .
6x − y 2
3. Considere a seguinte função
⎧
x2 y
⎪
⎪
⎨
y + x sin x
f (x, y) =
⎪
⎪
⎩
1
,
(x, y) : y 6= −x sin x
,
(x, y) : y = −x sin x
Calcule o seu limite na origem dos eixos.
4. Seja a função
⎧
xy
⎪
⎪
⎨ p 2
x + y2
f (x, y) =
⎪
⎪
⎩ 1
,
(x, y) 6= (0, 0)
,
(x, y) = (0, 0)
Estude o seu limite na origem dos eixos.
5. Provar pela definição que lim(x,y)→(0,0) f (x, y) 6= 0, para a função
xy
f (x, y) = q
(x2 + y 2 )3
2.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
6. Dada a função
13
⎧
xy
⎪
⎨ x2 − y 2
f (x, y) =
⎪
⎩
1
,
(x, y) : x 6= ±y
,
(x, y) : x = ±y
Verifique se a função tem limite em (0, 0) .
7. Calcule α ∈ R\ {0} , ∀ β de modo que a função
seja contínua em x = 0.
⎧
sin (αx)
⎪
⎪
⎪
⎪
x
⎪
⎪
⎪
⎨
α+β
f (x) =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
eαx − cos x
⎪
⎩
βx + sin x
, x<0
, x=0
, x>0
8. Verifique se a função
f (x) =
é contínua em R.
9. Dada a função
⎧
1
⎪
⎨ (1 + sin x) x2
⎪
⎩
1
⎧ 3
x + 4y2
⎪
⎪
⎨ 2
x − 5y2
f (x, y) =
⎪
⎪
⎩
0
, x 6= 0
, x=0
, (x, y) 6= (0, 0)
, (x, y) = (0, 0)
Verifique se a função é contínua na origem dos eixos.
10. Faça o estudo da continuidade da função
⎧ y−2
⎪
⎨
x+3
f (x, y) =
⎪
⎩
0
, (x, y) 6= (0, 0)
, (x, y) = (0, 0)
14
CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
11. Dada a função f : R2 −→ R2
f:
⎧
x−4
⎪
⎪
Z1 =
⎪
⎨
2y + 2
⎪
⎪
⎪
⎩ Z2 = y − 3
x2 + 1
Estude-a quanto à continuidade no ponto (0, 0).
12. Considere a função
xy
f (x, y) = p
x2 + y 2
Diga, justificando, se é prolongável, por continuidade, no ponto (0, 0) .
13. Seja a função
⎧
3x2 + y 2
⎪
⎪
⎨ 4
x + y4
f (x, y) =
⎪
⎪
⎩
0
, se x4 + y 4 6= 0
, se x4 + y 4 = 0
Estude a continuidade da função.
14. Dada a função
⎧
x sin y + y sin x
⎪
⎪
⎨
2 (x + y)
f (x, y) =
⎪
⎪
⎩
1
, (x, y) 6= (0, 0)
, (x, y) = (0, 0)
Estude-a quanto à continuidade na origem dos eixos.
15. Seja a função
f (x, y) =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
2y 2
3x + y
, (x, y) : y 6= x
1
, (x, y) : y = x
Que pode concluir quanto à continuidade da função? Justifique.
2.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
16. Seja a função
15
⎧
3x3 + 2y 3
⎪
⎪
⎨
x2 + y 2
f (x, y) =
⎪
⎪
⎩
0
, (x, y) 6= (0, 0)
, (x, y) = (0, 0)
Estude-a quanto à continuidade.
17. Estude a continuidade das seguintes funções:
(a) f (x, y) =
⎧
⎪
⎪
⎨
x2 y
x4 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
⎪
⎪
⎩
0
,
⎧
xy
⎪
⎪
⎨ p 2
x + y2
(b) f (x, y) =
⎪
⎪
⎩ 1
⎧
xy − 2
⎪
⎪
,
⎨
y+4
(c) f (x, y) =
⎪
⎪
⎩ 2
,
(x, y) = (0, 0)
, (x, y) 6= (0, 0)
, (x, y) = (0, 0)
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
18. Dada a função f : R2 −→ R2
f:
⎧
x2 y
⎪
⎪
Z1 = 4
⎪
⎨
x + y2
⎪
⎪
⎪
⎩ Z2 =
2xy
+ y2
x2
Estude-a quanto à continuidade na origem.
19. Considere a função
f (x, y) =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x2 y
y + x sin x
, (x, y) : y 6= −x sin x
1
, (x, y) : y = −x sin x
Prove que a função não é contínua em (0, 0) . Justifique.
16
CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
2.3
Exercícios de Revisão
1. Considere a função f : R2 −→ R2
f:
⎧
xy sin y
⎪
⎪
⎪
⎨ Z1 = x2 + 2
⎪
⎪
⎪
⎩ Z2 =
x
x+y
(a) Estude-a quanto ao limite na origem dos eixos.
(b) Estude-a quanto à continuidade na origem.
2. Considere a função
⎧ p
x2 + y 2 + 2xy
⎪
⎪
⎨
3y − x
f (x, y) =
⎪
⎪
⎩
1
, (x, y) : x 6= 3y
, (x, y) : x = 3y
(a) Determine o seu domínio.
(b) Calcule o limite da função no ponto (3, 1) .
(c) Estude a continuidade da função nesse ponto.
3. Considere a função
¢
¡
⎧
log x2 + y 2
⎪
⎪
⎨
2y − 1
f (x, y) =
⎪
⎪
⎩
1
, (x, y) : y 6= 1
, (x, y) : y = 1
(a) Calcule o limite da função no ponto (0, 1) .
(b) Verifique se existe uma descontinuidade removível no ponto (0, 1) .
(c) Estude a função quanto à continuidade no seu domínio de definição. Justifique.
4. Para a função
f (x, y) =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x2 y2
x2 y2 + (x − y)2
, (x, y) 6= (0, 0)
0
, (x, y) = (0, 0)
2.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
17
(a) Determine o seu domínio.
(b) Verifique se a função tem limite na origem dos eixos.
(c) Estude a continuidade da função. Justifique.
5. Seja a seguinte função
5xy3
f (x, y) = q
(x2 + y 2 )3
(a) Determine o seu domínio.
(b) Calcule o limite da função no ponto (0, 0) .
(c) Estude a continuidade da função.
(d) Diga se a função é prolongável, por continuidade, ao ponto (0, 0) . Justifique.
6. Considere a função
f (x, y) =
y 2 sin3 x + x3 sin2 y
x4 + y4 + 2x2 y 2
(a) Determine o seu domínio. Justifique.
(b) Estude a topologia do domínio da função.
(c) Calcule o limite da função na origem dos eixos.
(d) Estude a função quanto à continuidade. Justifique.
(e) Diga se a função é prolongável, por continuidade. Justifique.
(f) Considere a nova função
g (x, y) =
⎧
⎨ f (x, y) , (x, y) 6= (0, 0)
⎩
0
, (x, y) = (0, 0)
Verifique se a função g (x, y) é contínua na origem dos eixos. Justifique.
7. Resolva o exercício anterior para a seguinte função
f (x, y) =
y 2 cos3 x + x3 sin2 y
x4 + y4 + 2x2 y 2
18
CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
8. (Exame 2a Época - 11/09/96) Considere a função f : R2 −→ R, com n natural e p
real, definida por
⎧
xy n + py
⎪
⎪
⎨ 2
x + y2
f (x, y) =
⎪
⎪
⎩ 0
, (x, y) 6= (0, 0)
, (x, y) = (0, 0)
(a) Indique o domínio da função, referindo se é um conjunto aberto e/ou fechado.
Justifique.
(b) Mostre que f (x, y) é contínua em (0, 0) se e só se n ≥ 2 e p = 0.
9. (Frequência - 11/06/97) Considere a função definida por:
⎧
2y 3 − x3
⎪
⎪
⎨ 2
x + y2
f (x, y) =
⎪
⎪
⎩
β
, (x, y) 6= (0, 0)
, (x, y) = (0, 0)
(a) Calcule o domínio da função e verifique se é um conjunto aberto e/ou fechado.
(b) Existe algum valor de β para o qual a função f é contínua em todo o seu
domínio? Justifique.
10. (Exame 1a Época - 09/07/97) Considere a função f : R2 −→ R definida por
f (x, y) =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x2 + y 2
log (x2 + y 2 )
,
0
, (x, y) = (0, 0)
(x, y) 6= (0, 0)
e x2 + y2 < 1
(a) Calcule o domínio da função e represente-o graficamente. Verifique se o domínio
é um conjunto aberto e/ou fechado.
(b) Estude a continuidade da função na origem.
11. (Frequência - 15/06/98) Seja a função
f (x, y) =
¡
¢
⎧
2
⎨ log y − x
, se k(x, y)k ≥ 2
⎩ p
1 − x2 − y 2 , se k(x, y)k < 2
2.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
em que k(x, y)k =
19
p
x2 + y2 . Represente graficamente o domínio da função e veri-
fique se o conjunto é aberto e/ou fechado.
12. (Frequência - 15/06/98) Considere a função
f (x, y) =
x2
|x| + |y|
(a) Mostre que f é contínua no seu domínio. Justifique.
(b) Verifique que a função tem limite na origem dos eixos.
20
CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE
Capítulo 3
Soluções dos Exercícios Propostos
3.1
Noções Topológicas e Domínios de Funções
1. Tem-se
(a)
ª
©
ª
©
IntA = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 4 , F rontA = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 4 ∪{(6, 7)}
©
ª
©
ª
A0 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4 , F echA = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4 ∪{(6, 7)}
ExtA = R2 \F echA e {(6, 7)} é um ponto isolado em A. A é um conjunto
fechado porque A = F echA.
y
7
h
(6,7)
A
2
-2
0
h
2
6
x
x2 + y2 = 4
-2
(b)
©
ª
IntB = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1 ∧ y < x + 1 ∧ y > x2
21
22
CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
F rontB =
©
ª
(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1 ∧ y ≤ x + 1 ∧ y ≥ x2 ∪
ª
©
∪ (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 1 ∧ y = x + 1 ∧ y ≥ x2 ∪
©
ª
∪ (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 1 ∧ y ≤ x + 1 ∧ y = x2
©
ª
F echB = B 0 = (x, y) : x2 + y 2 ≥ 1 ∧ y ≤ x + 1 ∧ y ≥ x2
ExtB = R2 \ F echB, IntB 6= B =⇒ B não é aberto e F echB 6= B =⇒ B não
é fechado.
(c)
©
ª ©
ª
IntC = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 4 ∧ y > 0 ∪ (x, y) ∈ R2 : y > x2 − 4 ∧ y < 0
F rontC =
ª ©
ª
©
(x, y) : x2 + y 2 = 4 ∧ y ≥ 0 ∪ (x, y) : y = x2 − 4 ∧ y ≤ 0 ∪
∪ {(x, y) : y = 0 ∧ − 2 ≤ x ≤ 2}
©
ª ©
ª
F echC = C 0 = (x, y) : x2 + y 2 ≤ 4 ∧ y ≥ 0 ∪ (x, y) : y ≥ x2 − 4 ∧ y ≤ 0
ExtC = R2 \ F echC, IntC 6= C =⇒ C não é aberto. F echC 6= C =⇒ C não é
fechado.
2
-2
x2+y2=4
2
y=x 2 -4
-4
(d)
©
ª
IntD = (x, y) ∈ R2 : y > x2 ∧ y < x + 1 , ExtD = R2 \ F echD,
ª ©
ª
©
F rontD = (x, y) : y = x2 ∧ y ≤ x + 1 ∪ (x, y) : y ≥ x2 ∧ y = x + 1 ∪{(−2, 1)}
ª
©
ª
©
F echD = (x, y) : y ≥ x2 ∧ y ≤ x + 1 ∪{(−2, 1)} , D0 = (x, y) : y ≥ x2 ∧ y ≤ x + 1
IntD 6= D =⇒ D não é aberto. F echD = D =⇒ D é fechado
3.1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES
2. Temos os seguintes domínios de definição
©
ª
(a) Df = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1
y
x2 + y2 = 1
1
x
-1
0
1
-1
©
ª
(b) Df = (x, y) ∈ R2 : y > −x
y
y=-x
x
0
©
ª
(c) Df = (x, y) ∈ R2 : y > x − 1 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0
y
y=x-1
x
0
23
24
CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(d) Df =
¾
½
3
(x, y) ∈ R2 : y < −x + 4 ∧ y > , x 6= 0
x
y=3/ x
(3,1)
0
y=4- x
©
ª
(e) Df = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 4
y
x2 + y2 = 4
2
x
-2
0
2
-2
©
ª
(f) Df = (x, y) ∈ R2 : y = x
(g) Df = {(x, y) : (x ≤ −2 ∧ −2 ≤ y ≤ 2)} ∪ {(x, y) : (x ≥ 2 ∧ −2 ≤ y ≤ 2)}
y
2
-2
2
0
-2
x
3.1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES
©
ª
(h) Df = (x, y) ∈ R2 : (−1 ≤ x ≤ 1) ∧ (−1 ≤ y ≤ 1)
y
1
x
-1
1
0
-1
(i) Df = R2 \ {(0, 0)}
©
ª
√
(j) Df = (x, y) ∈ R2 : y > x ∧ x ≥ 0
y
y= x
0
x
(k) Df = R2 \ {(0, 0)}
©
ª
(l) Df = (x, y) ∈ R2 : − |x| ≤ y ≤ |x| \ {(0, 0)}
y
y = |x|
n
0
y = - |x|
x
25
26
CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
©
ª
(m) Df = (x, y) ∈ R2 : −1 < x < 1
y
-1
0
1
x
©
¡
¢ ¡
¢ª
(n) Df = (x, y) ∈ R2 : y ≥ −x ∧ y < x2 ∨ y ≤ −x ∧ y > x2 , o domínio está
representado pela região do plano não trasejada
y
y = x2
x
0
y=-x
(o) Df = R2 \ {(0, 0)}
©
ª
(p) Df = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 4
y
x2 + y2 = 4
2
x
-2
0
-2
2
3.1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES
27
3. Temos os seguintes domínios de definição
©
ª
(a) Df = (x, y) ∈ R2 : y 6= 1 − x
√ ª
©
(b) Df = (x, y) ∈ R2 : y 6= 3 2 x ∪ {(0, 0)}
©
ª
(c) Df = R2 \ {(x, y) : y = −x ∧ x ≤ 0} ou Df = (x, y) ∈ R2 : y 6= x
©
ª
(d) Df = (x, y) ∈ R2 : x 6= 3y2 ∪ {(0, 0) , (3, 1)}
(e) Df =
R2
¾
¶
¾
µ½
½
1
1
∪ {(0, 0)} ou Df = (x, y) : y 6=
\ {(0, 0)}
\
(x, y) : y =
2
2
¡
¢
(f) Df = R2 \ {(x, y) : y = −x} ∪ {(0, 0)} ou Df = {(x, y) : y 6= −x} ∪ {(0, 0)}
(g) Df = R2 \ {(0, 0)} , IntDf = R2 \ {(0, 0)} , F rontDf = {(0, 0)} , F echDf =
Df0 = R2 . Df é um conjunto aberto porque Df = IntDf = R2 \ {(0, 0)} .
©
ª
©
ª
(x, y) ∈ R2 : y 6= −3x ∪ {(0, 0)} , IntDf = (x, y) ∈ R2 : y 6= −3x ,
©
ª
F rontDf = (x, y) ∈ R2 : y = −3x , Df0 = F echDf = R2 , Df não é um con-
(h) Df =
junto aberto porque Df 6= IntDf , não é fechado porque F echDf 6= Df .
(i) Df = R2 , IntDf = R2 , F rontDf = ∅,ExtDf = ∅ e F echDf = Df0 = R2 , Df
é um conjunto aberto porque IntDf = Df = R2 . Df é um conjunto fechado
porque F echDf = Df = R2 .
(
√ )
√ )
5
5
x ∪{(0, 0)} , IntDf = (x, y) : y 6= ±
x , F rontDf =
(j) Df = (x, y) : y 6= ±
5
5
)
(
√
5
x , ExtDf = ∅ e F echDf = Df0 = R2 .
(x, y) : y = ±
5
(
4. Tem-se
28
CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(a) Df =
½
¾
1
∧ (x − 1)2 + y 2 ≤ 9, x 6= 0
(x, y) ∈ R2 : y >
x
y
y=1/x
( x-1 )2 + y2 = 9
x
-3
0
3.2
h
1
4
Limites e Continuidade
1. (a) l = 1/e; Não existe limite; l = 1; l = 0; l = 0
2. l = 3/2
3. Não existe limite
4. l = 0
1
< δ, logo a definição do limite não é verificada, portanto não existe o
5. p
2
x + y2
limite.
6. Não existe limite em (0, 0)
7. A função é contínua se β = 0 e α ∈ R\ {0} .
8. A função é descontínua em x = 0
9. É descontínua em (0, 0) , não existe limite
ª
©
10. A função é contínua em (x, y) ∈ R2 : x 6= −3 \ {(0, 0)}
11. É contínua em (0, 0)
3.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
29
12. É prolongável por continuidade em ponto (0, 0) , bastaria, para ser contínua, que
f (0, 0) = 0.
13. É contínua em R2 \ {(0, 0)}
14. A função é descontínua na origem
ª
©
15. A função é contínua para (x, y) ∈ R2 : y 6= −3x ∧ y 6= x ∪ {(2, 2)}
16. É contínua em R2
17. Tem-se
(a) A função é contínua em R2 \ {(0, 0)}
(b) A função é contínua em R2 \ {(0, 0)}
©
ª
(c) A função é contínua em (x, y) ∈ R2 : y 6= −4 \ {(0, 0)}
18. A função é descontínua na origem
19. Não existe limite (|y + x sin x| ≤ |y| + |x sin x| ≤ |y| + |x| |x|).
3.3
Exercícios de Revisão
1. (a) Não existe limite em (0, 0) .
(b) A função não é contínua na origem.
2. Tem-se
©
ª
(a) Df = (x, y) ∈ R2 : x 6= 3y2 ∪ {(0, 0) , (3, 1)}
(b) l = ∞
(c) A função é descontínua em (3, 1)
3. Tem-se
30
CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(a) l = 0.
(b) Existe uma descontínuidade removível.
(c) A função é contínua em {(x, y) : y 6= 1/2 ∧ y 6= 1} ∪
4. Tem-se
©¡ √
¢ª
± e − 1, 1 \ {(0, 0)} .
(a) Df = R2
(b) Não existe limite na origem.
(c) A função é contínua em R2 \ {(0, 0)} .
5. Tem-se
(a) Df = R2 \ {(0, 0)}
(b) l = 0.
(c) A função é contínua no seu domínio.
(d) A função é prolongável por continuidade a (0, 0), bastaria, para ser contínua,
que f (0, 0) = (0, 0) .
6. Tem-se
(a) Df = R2 \ {(0, 0)}
(b) IntDf = R2 \ {(0, 0)} , F rontDf = {(0, 0)} , ExtDf = ∅, Df0 = F echDf = R2 ,
não existem pontos isolados. Df é um conjunto aberto, mas não é fechado.
(c) l = 0
(d) A função é contínua no seu domínio, ou seja R2 \ {(0, 0)}
(e) É prolongável por continuidade em (0, 0) .
(f) A função g é contínua em (0, 0), porque existe limite em (0, 0)
7. Tem-se
3.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
31
(a) Df = R2 \ {(0, 0)}
(b) IntDf = R2 \ {(0, 0)} , F rontDf = {(0, 0)} , ExtDf = ∅, Df0 = F echDf = R2 ,
não existem pontos isolados. Df é um conjunto aberto, mas não é fechado.
(c) Não existe limite em (0, 0) .
(d) A função é contínua no seu domínio, ou seja R2 \ {(0, 0)} .
(e) Não é prolongável, porque não existe limite em (0, 0) .
(f) A função g é descontínua em (0, 0), porque não existe limite em (0, 0) .
8. Df = R2 , o domínio é um conjunto aberto e fechado.
9. Tem-se
(a) Df = R2 , o domínio é um conjunto aberto e fechado.
(b) Para β = 0 a função é contínua em (0, 0) , logo é contínua em todo o seu domínio
(R2 ).
10. Tem-se
©
ª
©
ª
(a) Df = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 , IntDf = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1 , F rontDf =
ª
©
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 , IntDf = Df =⇒ Df é um conjunto aberto. Df
não é fecahdo.
y
x2 + y2 = 1
1
x
-1
0
-1
(b) A função é contínua na origem.
1
32
CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
©
ª ©
ª
11. Df = (x, y) ∈ R2 : y > x2 ∧ x2 + y 2 ≥ 4 ∪ (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 . O conjunto
Df não é aberto e não é fechado
y
y = x2
2
1
-2
x2
+
y2
=4
-1
0
x2 + y2 = 1
1
2
x
-1
-2
12. Tem-se
(a) Df = R2 \ {(0, 0)} . A função é contínua em R2 \ {(0, 0)} e é prolongável por
continuidade ao (0, 0) .
(b) l = 0.