3. Determine os valores máximo e mı́nimo absoluto de f no conjunto D.
a) f (x, y) = 5 − 3x + 4y, D é a região triangular fechada de vértices (0, 0), (4, 0) e (4, 5)
b) f (x, y) = x2 + 2xy + 3y 2 , D é a região triangular fechada de vértices (−1, 1), (2, 1) e (−1, −2)
c) f (x, y) = x2 + y 2 + x2 y + 4, D = {(x, y) | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}
√
d) f (x, y) = y x − y 2 − x + 6y, D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 9, 0 ≤ y ≤ 5}
e) f (x, y) = 1 + xy − x − y, D é a região limitada pela parábola y = x2 e a reta y = 4
f) f (x, y) = 2x2 + x + y 2 − 2, D = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 4}
g) f (x, y) = 2x3 + y 4 , D = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1}
h) f (x, y) = x3 − 3x − y 3 + 12y, D é o quadrilátero de vértices (−2, 3), (2, 3), (2, 2) e (−2, −2)
4. Determine os pontos da superfı́cie z 2 = xy + 1 que estão mais próximos da origem.
5. Encontre três números positivos cuja soma é 100 e o produto é máximo.
6. Determine o volume da maior caixa retangular com arestas paralelas aos eixos coordenados e
que pode ser inscrita no elipsóide
9x2 + 36y 2 + 4z 2 = 36.
7. A base de um aquário com volume V é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da
ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões
do aquário com e sem tampa (também de vidro) para minimizar o custo total do material.
8. Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mı́nimo da função
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sujeita à(s) restrção(ões) dada(s).
a) f (x, y) = x2 − y 2 ; x2 + y 2 = 1
b) f (x, y) = 4x + 6y; x2 + y 2 = 13
c) f (x, y) = x2 y; x2 + 2y 2 = 6
d) f (x, y) = x2 + y 2 ; x4 + y 4 = 1
f) f (x, y, z) = 2x + 6y + 10z; x2 + y 2 + z 2 = 35
g) f (x, y, z) = 8x − 4z; x2 + 10y 2 + z 2 = 5
h) f (x, y, z) = xyz; x2 y 2 + 3z 2 = 6
i) f (x, y, z) = x2 y 2 z 2 ; x2 + y 2 + z 2 = 1
j) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 ; x4 + y 4 + z 4 = 1 k) f (x, y, z) = x4 + y 4 + z 4 ; x2 + y 2 + z 2 = 1
l) f (x, y, z, t) = x + y + z + t; x2 + y 2 + z 2 + t2 = 1
m) f (x1 , . . . , xn ) = x1 + · · · + xn ; x21 + · · · x2n = 1
n) f (x, y, z) = x + 2y; x + y + z = 1, y 2 + z 2 = 4
o) f (x, y, z) = 3x − y − 3z; x + y − z = 0, x2 + 2z 2 = 1
p) f (x, y, z) = yz + xy; xy = 1, y 2 + z 2 = 1
9. Utilize os multiplicadores de Lagrange (e outros métodos) para encontrar os extremos de f
na região descrita pela desigualdade.
a) f (x, y) = 2x2 + 3y 2 − 4x − 5, x2 + y 2 ≤ 16
b) f (x, y) = e−xy , x2 + 4y 2 ≤ 1
√
10. (a) Determine o valor máximo de f (x1 , x2 , . . . , xn ) = n x1 x2 · · · xn dado que x1 , x2 , . . . , xn
são números positivos e x1 + x2 + · · · + xn = c onde c é uma constante.
(b) Deduza da parte (a) que se x1 , x2 , . . . , xn são números positivos, então
√
n
x1 x2 · · · xn ≤
x1 + x2 + · · · + xn
.
n
Essa desigualdade diz que a média geométrica de n números positivos não pode ser maior do que
a média aritmética desses números. Sob que circunstâncias as duas médias são iguais?
11. (a) Maximize
(b) Tome
Pn
i=1
xi yi sujeita às restrições
ai
xi = qP
a2i
e
4
Pn
i=1
x2i = 1 e
Pn
bi
yi = qP
i=1
b2i
yi2 = 1.
e mostre que
X
ai b i ≤
r
X
a2i
r
X
b2i
para números a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn . Essa desigualdade é conhecida como Desigualdade de
Cauchy-Schwartz.
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