UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
CÁLCULO – PROVA DE TRANSFERÊNCIA FACULTATIVA E PARA
PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 02/12/2012
Candidato:_________________________________________________________
Curso Pretendido: __________________________________________________
OBSERVAÇÕES:
01 – Prova SEM consulta
02 – A prova PODE ser feita a lápis
03 - PROIBIDO o uso de calculadoras e similares
04 - Duração: 2 HORAS
1a Questão (10 pontos):
a)
Determine o valor de c para que a função dada por
f ( x) 
( x 2  1) ( x  4 )
cx2
satisfaça a
igualdade f (1)  f (2) .
b) Para o valor da constante c obtida no item anterior, determine todos os valores de x para
os quais f ( x)  0 .
SOLUÇÃO
a) f 1 
10
30
e f 2 
c2
2c  2
Igualando:
10
30

 20c  20  30c  60 
c  2 2c  2
b) Devemos resolver a inequação:
c  4
( x 2  1) ( x  4 )
0
2  4x
x2 1
+++++++++++++++++++++++++++++
x
x4
----------- ++++++++++++++++++++
++
4
x
2  4x
+++++++++++++++++ ----------------
x
1
2
f x 
----------- +++++++++ --------------1
4
x
2
Portanto o Conjunto-Solução da inequação é:

S  x   /  4  x 

1

2
2a Questão (10 pontos): As retas tangentes ao gráfico da função f x   x 3  4 x 2  5x  7 pelos
pontos x  1 e x  3 são concorrentes num ponto P. Encontre as coordenadas desse ponto.
SOLUÇÃO
A equação da reta tangente ao gráfico da função f x  pelo ponto x0 , y0  é:
y  y0  f x0 
. x  x0 
Temos: f x   3x 2  8x  5

Para x0  1  y0  5 
f 1  0
Assim, a reta tangente é: y   5  0.x  1  y  5

Para x0  3  y0  1 
f 3  8
Assim, a reta tangente é: . y   1  8.x  3  y  8x  25
Para encontrar o ponto P, basta igualar as equações das retas, ou seja:
8 x  25  5  8 x  20  x 
Portanto:
5
2
5

P ,5 
2

3a Questão (10 pontos): Usando Integração Por Partes, resolver a integral I   arctgx.dx .
SOLUÇÃO
O método de Integração por Partes é:  u.dv  u.v   v.du
1

u  arctgx  du  1  x 2 dx

dv  dx  dv  dx  v  x
 

Então: I  x.arctgx  
x
dx 
1 x2


1
I  x.arctgx  ln 1  x 2  C
2
4a Questão (10 pontos): Achar z  f x, y  se
z
  
 cos x  x cos y e f  x,   cos x  3x
y
 2 2
SOLUÇÃO
Temos: z  f x, y   
z
dy
y
f x, y    cos x  x cos y  dy 
f x, y   y. cos x  x.seny  C x 


  
Como f  x,   cos x  3x , então: cos x  3x  . cos x  x  C x   C x   4 x
2
2
 2 2
Portanto:
f x, y   y. cos x  x.seny  4 x
o
 f x, y  dxdy , onde R é a região do 1 quadrante limitada por
5a Questão (10 pontos): Calcular
R
5  y  9  x2 :
a) considerando f x, y   6;
b) considerando f x, y   x  y.
SOLUÇÃO
0  x  2
a) Em ambos os casos a região de integração R é: R : 
.
2
5  y  9  x

f x, y  dxdy  
2 9 x 2

0 5
2
9 x 2
6dydx   6 y 5
0
dx   54  6 x 2  30dx   24  6 x 2 dx
2
2
0
0
R

R

f x, y  dxdy  24 x  2 x 3

2
0

 f x, y  dxdy  32
R
b)

f x, y  dxdy  
R

R

R
2 9 x 2

0 5
9 x 2
2


x  y  dydx  0  xy  y 
2 5

2
 

9  x2
dx    x. 9  x 2 
0
2

2


2
 5x 
25 
 dx
2 

81
x4
25 
3
2
f x, y  dxdy    9 x  x   9 x 
 5 x   dx
0
2
2
2

2
2

x4
f x, y  dxdy    4 x  x 3  9 x 2 
 28  dx
0
2


2

R


x4
x5
f x, y  dxdy  2 x 2 
 3x 3 
 28 x  =
4
10

0
16
 f x, y  dxdy  8  4  24  5  56

R
 f x, y  dxdy 
R
196
5
6a Questão (10 pontos): Um menino chutou uma bola. Esta atingiu altura máxima de 12 metros e
voltou ao solo 8 segundos após o chute. Sabendo que uma função quadrática expressa a altura
y da bola em função do tempo t de percurso, encontre esta função.
3
a) y   t 2  6t
4
4
b) y   t 2  4t
3
1
c) y   t 2  3t
4
3
d) y   t 2  5t
5
SOLUÇÃO
A função quadrática procurada tem a forma: y  at 2  bt  c .
Porém, para t  0 , temos y  0 .
Assim, concluímos que c  0 .
Por outro lado, para t  8 , temos y  0 .
Logo: 64a  8b  0  b  8a
A altura máxima atingida é a ordenada do vértice, ou seja: y v 

 12
4a
4ac  b 2
 b2
 64a 2
3
 12 
 12 
 12  a  
 b6
Assim:
4a
4a
4a
4
Portanto:
3
y   t 2  6t
4
7a Questão (10 pontos): A concentração C de uma certa substância química no fluxo sangüíneo
em t horas após ser injetada no músculo é dada por
C=
3t
.
54  t 3
Após quantas horas essa concentração será máxima?
a) 2 horas
b) 3 horas
c) 4 horas
d) 5 horas
SOLUÇÃO
Devemos ter

dC
 0 (Ponto Crítico).
dt

dC 3. 54  t 3  3t.3t 2

2
dt
54  t 3

dC 162  6t 3


2
dt
54  t 3



Igualando a zero: 162  6t 3  0  t 3  27 
8a Questão (10 pontos): Calculando a integral I  
a)  1
b) 8
c)
26
5
t  3 horas
dx
8
1
23 x
, obtemos:
d) 9
SOLUÇÃO
Fazendo:
2  3 x  t  2  3 x  t2 

Para x  1  t  1

Para x  8  t  2
Então: I  
2
1
3

x  t2  2  x  t2  2

3

2
 t 5 4t 3

6t.t 2  2
dt  6. t 4  4t 2  4dt  6. 
 4t 
1
t
3
5
1
2
1 4
96  160  120  3  20  60
 32 32

I  6. 
 8    4   6.

3
5 3
15
 5

2
I

2
 dx  3. t 2  2 .2tdt
26
5
9a Questão (10 pontos): Qual é a variação percentual no volume de um cilindro circular reto
quando seu raio sofre um aumento de 12% e a sua altura diminui de 8%.?
a) o seu volume permanece constante
b) o volume aumenta de 12%
c) o volume diminui de 4%
d) o volume aumenta de 16%
SOLUÇÃO
O volume de um cilindro de raio r e altura h é V   r 2 h .
A Diferencial Total é: dV 
V
V
.dr 
dh  dV  2 rhdr   r 2 dh
r
h
Dividindo por V   r 2 h , obtemos:
 r2
dV 2 rh
dV
dr dh

dr

dh 
 2. 
2
2
V
V
r
h
r h
r h
Tomando
dr
dh
dV
 12 e
 8 , temos:
 24  8  16 
r
h
V
10a Questão (10 pontos): Calculando o valor da integral
a) 
b) 2
c) 1
d)

Aumenta 16%

2

2

3 cos
0
r 2 sen 2  drd , obtemos:
12
5
SOLUÇÃO
3 cos
r3

I     sen 2 

2 3
0

d  
2

 sen 3 sen 5  2
I  9.


5  
 3

2

2
9 cos 3 .sen 2 d  9

2

2
1 1 1 1
 I  9.     
3 5 3 5
2
sen 2.1  sen 2 . cos  d
I
12
5
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
PROGRAMAÇÃO – PROVA DE TRANSFERÊNCIA FACULTATIVA E PARA
PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 02/12/2012
Candidato:_____________________________________________________
Curso Pretendido: _______________________________________________
OBSERVAÇÕES:
01 – Prova SEM consulta
02 – A prova PODE ser feita a lápis
03 - Duração: 2 HORAS
04 - resolva a prova de programação empregando uma pseudo-linguagem
(pseudocódigo, Portugol, etc.) ou uma linguagem de programação (C, C++, Pascal, etc.) de seu
domínio.
1a Questão (10 pontos): O programa-1 abaixo, escrito em pseudocódigo, lê datas nos dados de
entrada: mês e ano da data atual e também mês e ano do nascimento de uma pessoa, calcula e mostra a
idade em anos e meses. Supondo que as datas de entrada sejam: mês = 07, ano = 2010 e nascimento,
mês = 10 e ano = 1989, assinale a alternativa que corresponde ao cálculo realizado.
Programa-1
INTEIRO mes, mesNasc, ano, anoNasc, Idade, Meses
ESCREVA “digite o mes e o ano atual”
LEIA mês, ano
ESCREVA “digite o mes e o ano de seu nascimento”
LEIA mêsNasc, anoNasc
SE anoNasc > ano
ENTÃO ESCREVA “data de nascimento e data atual, incompatíveis”
SENÃO
Idade  ano - anoNasc
SE mesNasc > mes
ENTÃO
Idade  Idade - 1
Meses  12 – (mesNasc – mês)
SENÃO Meses  mes – mesNasc
FIM-SE
FIM-SE
ESCREVA “ Idade: “, Idade, ”anos e“, Meses,” meses“
FIM Programa-1
Obs.: “  “ representa atribuição, por exemplo: a  b significa que “a” recebe o valor “b”
( a ) 21 anos e 9 meses
( c ) 20 anos e 9 meses
( b ) 20 anos e 3 meses
( d ) 21 anos e 3 meses
2a Questão (10 pontos): Assinale uma das alternativas que mostra o que será impresso pelo trecho de
programa abaixo escrito em pseudocódigo, assumindo que o usuário forneceu os valores 30 e 15 para as
variáveis x e y respectivamente?
LEIA x
LEIA y
SE x > y
ENTÃO
x  y + x
y  x – y
FIM - SE
ESCREVA x, y
( a ) 30 e 15
( b ) 30 e 45
( c ) 15 e 30
( d ) 45 e 30
3a Questão (10 pontos): Uma empresa está selecionando entre seus empregados os que irão fazer um
treinamento especial. O funcionário selecionado deve satisfazer a dois critérios. O primeiro critério para que
um funcionário seja pré-selecionado é que ele deve ter um salário menor ou igual a R$ 700,00 ou maior ou
igual a R$ 1.200,00. O segundo critério leva em conta o tempo de trabalho e o funcionário deve ter no
mínimo 3 anos na empresa. Marque a alternativa que indica a expressão lógica que representa este
critério.
( a ) ((salario ≤ 700,00) E (salario ≥ 1200,00)) OU (tempo > 3)
( b ) ((salario ≤ 700,00) OU (salario ≥ 1200,00)) E (tempo ≥ 3)
( c ) ((salario ≤ 700.00) OU (salario ≥ 1200,00)) E (tempo < 3)
( d ) ((salario ≤ 700.00) E (salario ≥ 1200,00)) OU (tempo ≥ 3)
4a Questão (10 pontos): Dada a série de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Considere a execução do
trecho de programa a seguir para calcular o N-ésimo termo da série. Suponha que as variáveis têm os
seguintes valores antes de iniciar a execução do cálculo (repetição enquanto ( ) faça...): k = 7, nA = 1 e
nB = 1, assinale qual alternativa contêm o termo Fib(N) calculado.
k  N-2
ENQUANTO k > 0 FAÇA
nAB  nA + nB
nA  nB
nB  nAB
k  k-1
FIM – ENQUANTO
ESCREVA “Fib( “, N, “ ) = “, nAB
( a ) 55
( b ) 34
( c ) 21
( d ) 13
5a Questão (10 pontos): Um algoritmo lê e armazena uma frase com símbolos do alfabeto  indicado
abaixo, num arranjo unidimensional de 80 posições (vetor Vet[ ]). Supondo a frase lida e armazenada
abaixo, analise o trecho de código que conta a quantidade de vogais diferentes de “A” e assinale a
alternativa que melhor representa a contagem realizada:
Alfabeto  = {A, B, C, …, X, Y, Z }, com 26 símbolos.
Frase “ESTA FRASE E UM EXEMPLO”
k1
vogal  0
ENQUANTO k  80 FAÇA
SE (Vet[k] = ‘E’) OU (Vet[k] = ‘I’) OU (Vet[k] = ‘O’) OU (Vet[k] = ‘U’)
ENTÃO vogal  vogal + 1
FIM-SE
kk+1
FIM - ENQUANTO
ESCREVA “número de vogais =”, vogal
(a)7
(b)2
(c)6
( d ) 10
6a Questão (10 pontos): Escreva um programa que lê três números inteiros determina e mostra o maior
e o menor valor.
Programa-6
INTEIRO x, y, z, menor, maior
ESCREVA “digite três números inteiros“
LEIA x, y, z
menor  x
maior  x
SE menor > y
ENTÃO menor  y
FIM-SE
SE maior < y
ENTÃO maior  y
FIM-SE
SE menor > z
ENTÃO menor  z
FIM-SE
SE maior < z
ENTÃO maior  z
FIM-SE
ESCREVA “maior valor = “, maior
ESCREVA “menor valor = “, menor
FIM Programa-6
7a Questão (10 pontos): Escreva um programa que lê e escreve uma palavra, na ordem de entrada e
invertida, exemplo:
Entrada: “palavra-exemplo”
Saída impressa: “palavra-exemplo olpmexe-arvalap”
Obs.: armazene o nome em um arranjo unidimensional (um vetor) considerando que após a leitura, todos os elementos
do vetor são ocupados por espaço em branco (“b”) ou uma letra (A,B,..Z; a,b,..z).
Programa-7
INTEIRO k
CARACTER Vet[80]
ESCREVA “digite uma palavra“
LEIA Vet
k1
ENQUANTO Vet[k] ≠ ‘ ‘ FAÇA
ESCREVA Vet[k]
k k+1
FIM – ENQUANTO
ESCREVA “ “
ENQUANTO k > 0 FAÇA
ESCREVA Vet[k]
k k-1
FIM – ENQUANTO
FIM Programa-7
8a Questão (10 pontos): Existem muitas formas de determinar o valor do número , dentre as mais
simples podemos utilizar uma expansão em série, como mostrado abaixo. Note que a quantidade de
termos utilizada define a precisão do valor obtido, por exemplo, para 10 termos obtemos  = 3,041840 e
para 1.000 termos  = 3,140593 e ainda com 1.000.000 de termos obtemos  = 3,141592.
Escreva um programa que solicita a informação do número de termos calcula e mostra o valor obtido para
o número  usando a série acima para o cálculo.
Programa-8
INTEIRO N, denominador, sinal
REAL Pi
ESCREVA “digite o número de termos para o cálculo“
LEIA N
sinal  1
denominador  1
Pi  0
ENQUANTO N > 0 FAÇA
Pi  Pi + sinal/denominador
sinal  -1 * sinal
denominador  denominador + 2
NN-1
FIM-ENQUANTO
Pi  4 * Pi
ESCREVA “Pi = “, Pi
FIM Programa-8
9ª Questão (10 pontos): Escreva um programa que lê uma sequencia de N números inteiros positivos
(obs.: valor de N é digitado pelo usuário antes da sequencia e N ≤ 50), armazenando-a em um arranjo
unidimensional (um vetor), depois calcula e mostra a soma dos números armazenados nas posições que
são múltiplos de 3. Exemplo: para N = 8, a sequencia armazenada no vetor A = {1, 3, 7, 4, 2, 6, 1, 7},
apresenta: soma = A[3] + A[6] = 7 + 6 = 13.
Programa-9
INTEIRO k, A[50], soma, resto
FAÇA
ESCREVA “digite a quantidade de números (N ≤ 50)“
LEIA N
ENQUANTO (N < 0 OU N > 50)
soma  0
k1
ENQUANTO k < N FAÇA
ESCREVA “digite o”, k, “número:“
LEIA A[k]
resto  k – 3 * (k/3)
SE resto = 0
ENTÃO soma  soma + A[k]
FIM-SE
kk+1
FIM-ENQUANTO
ESCREVA “Soma em posições de múltiplos de 3, S = “, soma
FIM Programa-9
10a Questão (10 pontos): Considere um programa que gerencia a venda de passagens da empresa de
aviação XYZeta. Os dados de cada venda são colocados em um registro com as seguintes informações:
número do voo, local de partida e de destino, número da poltrona, data (dia/mês/ano), nome do passageiro
e, valor da passagem em reais. Suponha que um conjunto com 300 registros de passagens vendidas nos
últimos 19 meses está armazenado no vetor REGp[ ] que contem em cada elemento os dados citados na
seguinte estrutura:
VOO
172
579
414
PARTIDA
São Paulo
Brasília
Vitória
DESTINO
Recife
Curitiba
Manaus
POLTRONA
22
13
4
DIA
12
7
6
MÊS
12
10
9
ANO
2012
2012
2012
PASSAGEIRO
Mario Aeronauta
Rosa dos Ventos
Ícaro Volterra
VALOR
234,55
435,00
1235,33
Escreva a função FaturaMes (um sub-programa), que calcula o número e o valor total de passagens
vendidas em um dado mês. Os dados de entrada da função serão os números do mês e do ano a ser feito
o cálculo e a saída será a soma calculada e quantas passagens foram vendidas.
FaturaMes ( REGp[ ] )
INTEIRO k, mês, ano, NumPassag
REAL SomaValor
ESCREVA “escreva o mês e o ano da pesquisa“
LEIA mês, ano
k1
NumPassag  0
SomaValor  0
ENQUANTO k < 300 FAÇA
SE mes = REGp[k].mes E ano = REGp[k].ano
ENTÃO Somavalor  Somavalor + REGp[k].valor
NumPassag  NumPassag + 1
FIM-SE
kk+1
FIM - ENQUANTO
ESCREVA “Em: “, mês, ”/”, ano, “foram vendidas “, Numpassag, “passagens”
ESCREVA “totalizando um faturamento de R$ “, SomaValor
FIM FaturaMes