PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Cálculo B (Informática) – Turmas 128 e 138
Tópico 8 – Funções de Duas ou Mais Variáveis
Consulta Indicada: ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. Volume 2. Páginas 311 a 323.323 a342
1. Definições
Função de Duas Variáveis
Uma função real f de duas variáveis é uma relação que a cada par ordenado de números reais (x, y)
associa um único número real f (x, y).
Função de Três Variáveis
Uma função real f de três variáveis é uma relação que a cada terna ordenada de números reais
(x, y, z) associa um único número real f (x, y, z).
Função de n Variáveis
Uma função real f de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais
(x1, x2, ...,xn) associa um único número real f (x1, x2, ..., xn).
Exemplos
1. Sendo f ( x, y ) = 3 x 2 y − 1 determina:
f (1, 4) =
f (0, 9) =
f (a, ab) =
2. determina f( 2,0,1) sendo f(x) = 3x – y + z2
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2. Domínio de Funções de Duas Variáveis
O domínio de uma função de duas variáveis é, em geral, representado por uma relação binária. A
representação do domínio pode ser dada lógica ou graficamente.
Exemplo
Determina e representa graficamente o domínio de cada função:
(
a. g ( x, y ) = ln x 2 − y
)
b. f ( x, y ) = 3 x 2 y − 1
Solução:
(
a. f ( x, y ) = ln x 2 − y
)
está definida somente para
x 2 − y > 0 , ou seja,
y < x 2 . Assim sendo
Dom(f ) = {( x, y ) ∈ IR 2 | y < x 2 } .
Na representação gráfica do domínio usamos o fato de que a curva y = x 2 separa a região onde
y < x 2 da região onde y > x 2 . Para determinar a região onde y < x 2 , podemos selecionar um “ponto
teste” fora da fronteira y = x 2 e verificar se y < x 2 ou y > x 2 no ponto-teste. Por exemplo, se
(x, y ) = (0, 1) ,
então 1 < 02 não é uma relação verdadeira. Logo, este ponto não está na região onde
y < x 2 . A região correspondente ao domínio é aquela que não contém o ponto teste.
y
y = x2
y > x2
Representação gráfica do
domínio da f
⇒
y < x2
x
b. Como f ( x, y ) = 3 x 2 y − 1, devemos ter y ≥ 0 . Assim, Dom(f ) = {( x, y ) ∈ IR 2 | y ≥ 0}
y
Representação gráfica do
domínio da f
⇒
y ≥0
x
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Exercício
Determine e represente graficamente o domínio das funções abaixo definidas:
1. f ( x, y ) = ln( y − 2 x)
2.
f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 4
3. f ( x, y ) =
4 − x2
y2 + 3
3. Gráfico de Funções de Duas Variáveis
A representação gráfica de funções reais de duas variáveis gera superfícies no IR3. Em geral, essa
representação pode se tornar bastante complexa sem o auxílio de uma ferramenta computacional. No
entanto, há alguns casos que são importantes de serem lembrados:
Equação
Superfície Gerada
z = ax + by + c
Plano.
z = ax 2 + by 2 + c
z = ax 2 − by 2 + c
Exemplo
Parabolóide elíptico.
Parabolóide hiperbólico.
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Metade de uma superfície
esférica de raio r.
z = r 2 − x2 − y 2
z=
x2 + y 2
Metade de uma superfície
cônica.
4. Curvas de Nível
Uma outra forma de se visualizar funções de duas variáveis é um método semelhante ao da
representação de uma paisagem tridimensional por meio de um mapa topográfico bidimensional. Vamos
supor que a superfície z = f ( x , y ) seja interceptada por um plano z = k , e a curva de intersecção seja
projetada no plano xOy . Essa curva tem equação f ( x , y ) = k e é chamada de curva de nível (ou curva
de contorno) da função f em k .
z
{
Ck = ( x, y ) ∈ ℜ 2 / f ( x, y ) = k
0
}
y
x
As curvas de nível de uma função f
de duas variáveis são gráficos no plano xOy
da forma f ( x , y ) = k .
O conjunto de curvas de nível é chamado mapa de contorno.
Todos os pontos ( x , y ) que estão na mesma curva de nível têm a mesma imagem
de equações
z .
No caso de f ( x , y ) representar uma grandeza física, as curvas de nível ganham particular
importância, recebendo inclusive denominações específicas.
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•
Se f ( x , y ) é a temperatura no ponto ( x , y ) de uma chapa plana, as curvas f ( x , y ) = k
são chamadas de isotérmicas ou isotermas.
•
Se f ( x , y ) é a pressão de um gás de volume x e temperatura
de isobáricas ou isóbaras.
•
Se f ( x , y ) é o potencial (elétrico ou gravitacional) na região D do plano xOy então as curvas
y , as curvas são chamadas
f ( x , y ) = k são chamadas equipotenciais.
Exemplo
Seja a função dada por z = x2 + y2
As curvas de nível para z = 0, z =1, z = 2 e z = 4 são:
z = 0 ⇒ x2 + y2 = 0 (x = y = 0 )
z = 1 ⇒ x2 + y2 = 1 (circunferência de centro C(0,0) e raio 1)
z = 2 ⇒ x2 + y2 = 2 (circunferência de centro C(0,0) e raio
2)
z = 4 ⇒ x2 + y2 = 4 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2)
Observação: As curvas de nível nunca se interceptam
Gráfico da Função (Parabolóide Elíptico)
Observação: As funções de três ou mais variáveis não podem ser representadas graficamente.
Exercícios
1) Seja a função dada f(x,y) = x2 + y2 (duas variáveis). Encontra:
a) f(1,2)
b) f(0,0)
c) f(-3,-4)
2) Seja a função dada por f(x,y) = f ( x, y ) =
a) f(0,0)
b) f(-1,-1)
d) Dom f
e) Im f
x 2 + y 2 . Determina:
c) f(1,2)
d) Dom f
e) Im f
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3) Seja a função dada por f(x,y) = f ( x, y ) =
a) f(1,0)
b) f(3,-7)
a) f(1,0)
c) f(1,-1)
1
4) Seja f(x,y) = f ( x, y ) =
x −y
2
b) f(3,-7)
3x
. Determina:
y −x
d) Dom f
e) a representação gráfica do Dom f
. Determina:
c) f(1,-1)
d) Dom f
e) a representação gráfica do Dom f
5) Determina e representa graficamente os domínios das seguintes funções:
a) f ( x, y ) =
x + y −1
b) f ( x, y ) =
1
2x − y + 1
c) f(x,y)= ln (x2- y + 1)
d) f ( x, y ) =
ln x
x −1
6) Esboça as curvas de nível das funções:
a) z = y - x2 para z = 0, z =1 e z =2
b) z = y – x para z = 0, z =2 e z =4
c) z = y – ln x para z = 0, z =1 e z =2
7) Seja a função dada por z =
4 − x2 − y 2
a) Faz as curvas de nível para z = 0, z = 1 e z = 2
b) Representa graficamente a função.
Respostas
1) a) 5
b) 0
c) 25
2) a) 0
b)
2
3) a) –3
b)
4) a) 1
b)
d) IR
2
2
e) [0,+∞ )
e) [0,+∞ )
c)
5
d) IR
9
10
c) −
3
2
d) {( x, y ) ∈ IR / y ≠ x}
1
4
c)
2
2
5) a) {( x, y ) ∈ IR / y ≥ − x + 1}
2
c) {( x, y ) ∈ IR / y < x + 1}
2
2
2
d) {( x, y ) ∈ IR / y < x }
2
2
b) {( x, y ) ∈ IR / y ≠ 2 x + 1}
2
d) {( x, y ) ∈ IR / x > 0 e x ≠ 1}
2
Exercícios Complementares
Referência: Anton, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. Volume 2.
Página
Exercícios
320
1, 3, 5, 7
321
9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 31, 33, 35, 45, 49 (importante)
322
51, 52, 53, 54
As respostas encontram-se no final do livro, nas páginas A29 e A30.
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