Fenômenos de Transporte I
Aula 02
Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez
1
3. Estática dos fluidos
3.1- Introdução
Por definição, um fluido deve deformar-se continuamente quando
uma tensão tangencial de qualquer magnitude lhe é aplicada. A
ausência de movimento relativo (e por conseguinte, de deformação
angular), implica a ausência de tensões de cisalhamento.
Na estática dos fluidos, a velocidade relativa entre as partículas do
fluido é nula, ou seja, não há gradiente de velocidade. Uma vez que
não há movimento relativo dentro do fluido, o seu elemento não se
deforma.
Portanto, em fluidos em equilíbrio estático atuam somente forças
de campo gravitacional e normais e não há esforços tangenciais.
2
3.2- Equação básica da estática dos fluidos
Em um fluido em repouso (estático), submetido ao campo
gravitacional, as únicas forças que atuam sobre um elemento fluido
são o peso e as forças devidas às pressões estáticas p = p(x, y, z).
Consideremos um elemento de volume xyz, com faces paralelas
aos planos de um sistema de coordenadas retangulares x, y, z,
isolado de um fluido em repouso com massa específica , conforme
é mostrado na Figura 1.
As forças de pressão atuam sobre o elemento fluido de acordo com
a coordenada de posição da face do elemento cúbico sobre a qual
atua a pressão.
3
Figura 1: Elemento de volume isolado de um fluido em repouso
com as pressões estáticas exercidas pelo restante do fluido
4
A força peso do elemento fluido é dado por:
W  mg  ρVg  ρxyz g
(1)
A força de superfície resultante, devida às pressões estáticas que
atuam sobre o elemento, é dada por:


Fp   p x  p x  x yzi  p y  p y  y xz j   p z  p z  z xy k
(2)
Como o fluido está em repouso, a força resultante que atua sobre
um elemento de volume deve ser nula, ou seja, tem-se um condição
de equilíbrio dada por:
F  W  F
p
 0
(3)
5
( 1 ) e ( 2) em ( 3 ):
 ρxyz g 
px


 p x  x yz i  p y  p y  y xz j 
 pz
 p z  z xy k  0
(4)
Dividindo a equação (4) pelo volume xyz, rearranjando os
termos e fazendo o limite quando o volume do elemento tende a
zero, obtém-se
p y  p y  y
 p x  p x  x
p z  p z  z 

lim 
i 
j
k   ρg
xyz  0
x
y
z


p
p
p
i 
j  k  ρg
x
y
z
(5)
(6)
O termo do lado esquerdo da equação (6) é a definição do
gradiente de pressão, em coordenadas retangulares, dado por:
p
p
p
p 
i 
j  k
x
y
z
(7)
6
Portanto, a equação (6) pode ser escrita como:
p  ρg
(8)
A equação (8) é equação básica da estática dos fluidos.
Considerando o sistema de coordenadas retangulares mostrado na
Figura 1, a equação (8) pode ser decomposta nas componentes
escalares.
p
 ρg x
x
p
 ρg y
y
p
 ρg z
z
Por conveniência, escolhemos o referencial com o eixo y paralelo
ao vetor gravidade, de forma que:
gx  0
gy   g
gz  0
7
Assim, considerando um eixo y vertical com sentido positivo para
cima, conclui-se que a pressão varia somente em função de y, de
maneira que se pode escrever
p
  ρg
y
(9)
E que os planos xz horizontais são planos isobáricos, ou seja,
pontos que estão à mesma altura (ou profundidade) dentro do
mesmo fluido possuem pressões estáticas iguais.
8
3.3- Variação da pressão em um fluido em repouso
a) Variação da pressão em um fluido incompressível ( = cte)
Um fluido incompressível tem massa específica constante, de forma
que a integração da equação básica da estática dos fluidos fica
simplificada.
Tem-se que:
P   ρg
( 10 )
e, considerando um referencial com eixo y vertical, com sentido
positivo para cima, resulta que a equação (10) fica sendo:
dp
  ρg  constante
dy
( 11 )
9
A variação da pressão com a altura é determinada por meio da
integração da equação (11) com as condições de contorno
adequadas. Considerando que a pressão num nível de referência
y0 é p0 , determina-se a pressão p(y) numa altura y com a
integração da equação (11), de forma que:
p y 

p0
y

dp   ρg dy
y0
p y   p 0   ρg  y  y 0 
ou seja, a diferença de pressão entre dois pontos, num fluido
incompressível, é diretamente proporcional à diferença de
altura entre esses dois pontos.
10
Para líquidos, geralmente é mais conveniente a adoção de um
referencial com um eixo h, paralelo ao vetor campo gravitacional,
com origem na superfície livre e sentido positivo para baixo,
conforme é mostrado na Figura a seguir;
g
Patm
0
h
+y
P(h)
p h 

h

dp  ρg dy
patm
0
p h   p atm  ρgh  0
11
p h   p atm  ρgh
( Equação da hidrostática )
p h   p atm  γ h
( 12 )
p h   p atm  γ h
A equação (12) é conhecida como a lei de Stevin, que diz que a
diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é
igual ao produto do peso específico () do fluido pela diferença de
cotas entre dois pontos (h).
Assim, num fluido incompressível ( = constante):
- a pressão varia linearmente com a profundidade;
- a pressão é a mesma em todos os pontos sobre um dado plano
horizontal y no fluido.
12
Pressão atmosférica
Para se determinar a pressão atmosférica a uma dada altitude, é
necessário conhecer-se primeiro como a temperatura varia com a
altitude. Uma boa aproximação para a troposfera (altitudes de até
11000 km) é aquela que considera que a temperatura reduz-se
linearmente com a altitude. Nesse caso, e considerando o ar
atmosférico como gás ideal, a pressão à altitude z acima do nível do
mar, poderá ser estimada por meio da seguinte equação:

B.z 
p  p 0 1 

T

0 
5, 26
( 13 )
onde p0 = 101325 N/m2 (pressão atmosférica ao nível do mar na
altitude zero), B = 6,5x10-3 Kelvin/m e T0 = 288,16 Kelvin (15C).
13
Tabela: Pressão atmosférica em função da altitude
Altitude (m)
0
300
600
900
1200
1500
1800
2100
2400
2700
3000
Patm (mca)
10,33
9,96
9,59
9,22
8,88
8,54
8,20
7,89
7,58
7,31
7,03
A pressão atmosférica pode ser obtida através da expressão dada a
seguir, que apresenta precisão para a maioria das aplicações:
p = 760 – 0,081h (mm de Hg)
h = altitude do local em metros.
14
Exemplo. Estimar a pressão atmosférica à altitude de 3000m,
utilizando a equação (13) e comparar o valor obtido com aquele
utilizando a lei de Stevin (eq. 12).
Utilizando a fórmula dada pela equação (13), temos:

B.z 
p  p 0 1 

T

0 
5, 26
6,5x10 K/m3000m 
 101325N/m 1 

288,16K


2
3
5, 26
p  70086N/m 2
Por outro lado, utilizando a lei de Stevin com ar = 11,77N/m3, temos:
p  p 0  γ h  101325N/m 2  11,77N/m3 3000m 
p  66015N/m 2
Isso representa uma diferença de apenas 5,8% com relação ao
valor exato obtido por meio da equação (13). Para altitudes
inferiores a 1000m, os erros serão inferiores a 5%.
15
b) Variação da pressão em um fluido compressível ( é variável)
A variação da pressão em um fluido compressível também é
determinada através da integração da equação básica da estática
dos fluidos dada por:
P  ρg
( 14 )
Para um fluido compressível a massa específica  não é
constante, de forma que é necessário expressá-la em função de
outra variável na equação (14). Uma relação entre a massa
específica e a pressão pode ser obtida através da equação de
estado do gás ou por meio de dados experimentais.
16
m
PV  nRT 
RT (lei dos gases perfeitos)
M
m
PM  RT  ρRT
V
PM
ρ 
RT
PM
P 
g
RT
( 15 )
A equação (15) introduz outra variável, que é a temperatura, de
maneira que é necessária uma relação adicional da variação da
temperatura com a altura.
17
3.4- Medidas de pressão.
3.4.1- Barômetro de mercúrio.
As medidas de pressão são realizadas em relação a uma
determinada pressão de referência. Usualmente, adota-se como
referência a pressão nula existente no vácuo absoluto.
A pressão relativa ocorre porque muitos instrumentos de pressão
são do tipo diferencial, registrando não a magnitude absoluta,
mas a diferença entre a pressão do fluido e a atmosfera que pode
ser positiva (manômetros) ou negativa (vacuômetros).
18
Deve-se observar que, nas equações de estado, a pressão utilizada é
a absoluta, dada por:
pabsoluta  patm  prelativa
( 16 )
A pressão atmosférica local, representada por patm pode ser
medida por um barômetro. O mais simples é o barômetro de
mercúrio construído por Evangelista Torricelli em 1643.
( Barômetro de mercúrio )
19
Na Figura anterior, tem-se:
h é a altura da coluna de mercúrio no tubo de vidro;
Patm é a pressão atmosférica local; e
P0 é a pressão de vapor do mercúrio.
Aplicando a equação básica da estática dos fluidos no barômetro
de mercúrio, temos:
P   ρg
dp
  ρ Hg g
dy
pB

pA
h

dp   ρ Hg g dy
0
p B  p A   ρ Hg gh
20
Pontos que estão a mesma altura, dentro do mesmo fluido, têm a
mesma pressão, de forma que pA = patm e como pB = p0 , obtém-se:
p0  patm   ρ Hg gh
ou
patm  p0  ρ Hg gh
( 17 )
Em condições normais de temperatura e pressão, a pressão de
vapor do mercúrio é praticamente nula, ou seja, p0  0,
resultando:
patm  ρ Hg gh
( 18 )
A pressão atmosférica normal, ao nível do mar, corresponde a uma
coluna de mercúrio com altura h = 76 cm. Substituindo os dados,
Hg = 13600 kg/m3 , g = 9,81 m/s2 , h = 0,76 m , na equação (18),
resulta:
patm = 101320 N/m2 (Pa) = 101,32 kPa
1 atm = 101325 Pa(N/m2) = 101,325 kPa = 1,01325 bar = 1,0332 kgf/cm2 = 33,91 ftH2O
= 10,332 mH2O (mca) = 14,7 psi (lbf/in2) = 29,92 inHg = 760 mmHg (Torricelli)
21
3.4.2- Manômetro de tubo em U com líquido manométrico.
A introdução de um líquido manométrico no manômetro de tubo
em U, permite utilizá-lo na medição de pressões de gases ou
líquidos, pois esse líquido impede que o gás escape pelo tubo. É
importante que se utilize um líquido manométrico que apresente
um peso específico bastante elevado de modo a evitar colunas
contendo o fluido manométrico muito altas.
22
De acordo com a lei de Stevin (equação 12), a pressão em C em
relação à pressão em B (observando que PB = PA), será dada por:
PC  PB  γ h 2  PA  γ h 2
( 19 )
Ocorre que em C, temos a interface do fluido com o líquido
manométrico, sendo que a pressão aí é igual à pressão em D, por se
tratar de pontos na mesma horizontal de um mesmo líquido, PC =
PD ; assim, tendo em vista o resultado anterior, temos:
PD  PA  γ h 2
( 20 )
Aplicando novamente a lei de Stevin (equação 12), para
determinação da pressão em D, em relação à pressão na superfície
livre do líquido manométrico no tubo, onde reina a pressão
atmosférica local, resulta em:
PD  Patm  γ LM h1
( 21 )
23
Igualando as equações (20) e (21), resulta o seguinte resultado:
PA  γ h 2  Patm  γ LM h1
PA  Patm  γ LM h1  γ h 2
( 22 )
Na equação 22, a pressão PA representa a pressão absoluta no tubo
(líquido ou gás). Para a medida da pressão relativa (ou
manométrica) o valor da pressão atmosférica é zero (na escala
efetiva). Assim, a pressão manométrica no ponto A será:
PA  γ LM h1  γ h 2
( 23 )
Para medir pressões de líquidos (ex. água) utiliza-se mercúrio
como fluido manométrico (SGHg =13,6).
24
Exemplo 01: Água escoa através dos tubos A e B. Óleo com
densidade relativa 0,8, encontra-se na parte superior do tubo em U
invertido. Mercúrio (densidade relativa 13,6), encontra-se no fundo
das curvas do manômetro. Determine a diferença de pressão, PA –
PB.
25
p C  p A   ρ água gd1
p D  p C   ρ Hg gd 2
p E  p D   ρ óleogd 3
p F  p E   ρ Hg gd 4
p B  p F   ρ água gd 5
p B  p A  ρágua gd1  ρ Hg gd 2  ρóleogd 3  ρ Hg gd 4  ρágua gd 5
p B  p A  ρágua gd1  d 5   ρ Hg gd 2  d 4   ρóleogd 3
SG fluido 
ρ fluido
ρ água a 4 C
0
ρ Hg  SG Hg ρ água a 4 C

ρ óleo  SG óleoρ água a 4 C
0
0
26
pB  p A  ρágua gd1  d 5  SG Hg d 2  d 4   SG óleod3 
kg
m
m




p B  p A  10 3 9,81 2 10  8  13,6 3  5  0,8x4 inx0,0254
m
s
in
3
pB 
pB 
1kPa
pB 
kg m
p A   25814,43 2 2
m s
N
p A   25814,43 2   25814,43Pa
m
 103 Pa ; 1 atm  101,325 kPa
p A   25,81 kPa x  1
p A  p B  25,81 kPa
p A  p B  0,25 atm
27
Exemplo 02: Ar está passando por um tubo com 4cm de coluna de
água (4,0cmH2O) de vácuo. O barômetro indica que a pressão
atmosférica local é 730 mmHg. Qual é a pressão absoluta do gás (Ar)
em polegadas de mercúrio (inHg)?
Dado: 760mmHg = 29,92inHg
Vácuo
Ar
Ar
4 cm
Água
 29,92inHg 
Patm  730mmHg
  28,9inHg
 760mmHg 
28
 1in  1ft  29,92inHg 
Pvácuo   4cmH 2 O
   0,12inHg


 2,54cm  12in  33,91ftH2 O 
Pabsoluta  Patm  Prelativa

vácuo
Pabsoluta  Patm  Pvácuo
Pabsoluta  28,92inHg  0,12inHg
Pabsoluta  28,8 inHg
29
3.4.3- Piezômetro.
O piezômetro é o dispositivo mais simples para a medição de pressão.
Consiste na inserção de um tubo transparente no recipiente (tubulação)
onde se quer medir a pressão.
- O líquido subirá no tubo piezométrico a uma altura “h”, correspondente
à pressão interna;
- Devem ser utilizados tubos piezométricos com diâmetro superior a 1cm
para evitar o fenômeno da capilaridade;
- Não serve para a medição de grandes pressões ou para gases.
Aplicando a lei de Stevin (eq. 12), considerando somente a pressão relativa
em A (ou manométrica), temos:
PA  γ h
( 24 )
30
3.4.4- Manômetro metálico de Bourdon.
Diferentemente dos manômetros de tubo com líquido, o manômetro de
Bourdon (Eugène Bourdon, 1849, França) mede a pressão de forma
indireta, por meio da deformação de um tubo metálico, daí o seu nome.
Conforme indica a Figura a seguir, neste manômetro, um tubo recurvado de
latão, fechado numa extremidade e aberto na outra (denominada tomada de
pressão), deforma-se, tendendo a se endireitar sob o efeito da mudança de
pressão. Um sistema do tipo engrenagem-pinhão, acoplado à extremidade
fechada do tubo, transmite o movimento a um ponteiro que se desloca sobre
uma escala. O tubo recurvado de latão, por estar externamente submetido à
pressão atmosférica local, somente se deformará se a pressão na tomada for
maior ou menor que aquela.
31
Assim, a pressão indicada por este manômetro é sempre a pressão
relativa. Quando não instalado, o manômetro de Bourdon indica
zero, em qualquer altitude.
Quando este manômetro ocupa um ambiente onde a pressão seja
diferente da pressão atmosférica local, a pressão indicada Pindicada
(ou manométrica ) será dada por:
Pindicada  Ptomada  Pambiente
( 25 )
onde Pambiente é a pressão no ambiente onde está o manômetro e
Ptomada é a pressão na tomada, ou seja é a pressão absoluta em
relação à pressão do ambiente local onde está instalado o
manômetro.
Uma escala muito utilizada neste manômetro é aquela produzida
em unidades práticas de kgf/cm2. Outras escalas de pressão
utilizadas são bar e psi.
32
Exemplo 03: Para a instalação da Figura a seguir, são fornecidos:
pressão indicada no manômetro de Bourdon Pindicada = 2,5 kgf/cm2 e
peso específico do mercúrio Hg = 1,36x104 kgf/m3. Pede-se
determinar a pressão no reservatório 1, P1 .
33
Solução: Determinemos, primeiramente, a pressão no ambiente
onde está o manômetro de Bourdon. Essa pressão é a do gás
contido no reservatório 2, P2, que é a mesma pressão que reina na
superfície livre do reservatório 2. Por sua vez, essa pressão é igual
à pressão em A, pois A está no mesmo plano horizontal da
superfície livre do mercúrio no reservatório 2. Assim, P2 = PA.
Pela aplicação direta da lei de Stevin (eq. 12) em A, levando-se em
consideração a coluna de mercúrio de altura h = 1,5m temos que a
na escala relativa (efetiva) a pressão no ambiente 2 é:
P2  PA  γ Hg h
(1)
Então, a pressão relativa no ambiente onde está o manômetro de
Bourdon será:
Pambiente  P2  γ Hg h
(2)
34
Para o manômetro de Bourdon, temos:
Pindicada  Ptomada  Pambiente
(3)
com Pindicada = 2,5 kgf/cm2 , Ptomada = P1 e Pambiente = Hg.h
Isolando Ptomada no primeiro membro na expressão acima e
substituindo estes últimos resultados, temos:
P1  Pindicada  Pambiente  2,5kgf/cm2  γ Hg .h
Reconhecendo que Hg = 1,36x104 kgf/m3 = 1,36x10-2 kgf/cm3 e que h
= 1,5m = 150cm, temos para P1 o valor de:
P1  2,5kgf/cm2  1,36x102 kgf/cm3 150cm 
P1  4,54 kgf/cm2 (Ambiente 1)
35
Exemplo 04: Qual é a pressão indicada pelo manômetro C se as
pressões indicadas pelos manômetros A e B são respectivamente PA
= 45 psi e PB = 20 psi? A pressão barométrica é 30,55 inHg.
14,7 psi = 29,92 inHg (Tabela de conversões de pressão)
Solução: A pressão barométrica correspondente local, Patm é:
 14,7psi 
Patm  30,55inHg
  15psi
 29,92inHg 
36
As pressões nos compartimentos 1 e 2 não estão à pressão
atmosférica local. O manômetro indica a pressão absoluta (tomada)
em relação à pressão do ambiente local onde está instalado o
manômetro:
Pindicada,A  Ptomada,A  Pambiente
Ptomada,A  Pindicada,A  Pambiente
Ptomada,A  45  15  60 psia
A unidade de pressão é psi, a letra “a” no final é para frisar que o
valor da pressão é de pressão absoluta.
Tanto o manômetro A quanto o manômetro B medem a pressão no
compartimento 1. Assim,
Ptomada,B  Ptomada,A  60 psia
37
O manômetro B mede a pressão no compartimento 1 (tomada B)
em relação à pressão no compartimento 2, PB:
Pindicada,B  Ptomada,B  Pambiente,2
Pambiente,2  Ptomada,B  Pindicada,B
Pambiente,2  60  20  40 psia
O manômetro C mede a pressão no compartimento 2 (tomada C),
assim:
Ptomada,C  Pambiente,2
Ptomada,C  40 psia
A leitura do manômetro C então pode ser calculada:
Pindicada,C  Ptomada,C  Pambiente
Pindicada,C  40  15  25 psi
38
39