Capítulo 11
Interação de fótons com a matéria
versão 2008.2
Uma onda eletromagnética carrega consigo momento e energia.
Como a onda se propaga com velocidade c, a relação entre energia e
momento para uma onda eletromagnética plana é E=cp. Quando a onda
eletromagnética é emitida, absorvida ou espalhada, tanto a energia quanto o
momento são compartilhados com as partículas responsáveis pelo processo.
Então,
enquanto analisando qualquer processo no qual radiação
eletromagnética interage com partículas carregadas, devemos aplicar as leis
de conservação e energia e momento. O problema surge quando
consideramos a interação de uma onda eletromagnética com um elétron
livre. Se, por exemplo, um elétron absorve uma energia E da onda, ele deve
também absorver um momento p=E/c. Mas se supormos que o elétron livre
está inicialmente em repouso no referencial do laboratório, a energia
absorvida transforma-se em energia cinética do elétron. Mas a energia
cinética de um elétron é relacionada com seu momento por
K = mo2 c 4 + p 2 − mo c 2
onde mo é a massa de repouso do elétron. Mas esta relação é incompatível
com p=E/c e E=K, de acordo com as leis de conservação de energia e
momento. Assim, concluímos que um elétron livre não pode interagir com
uma onda eletromagnética sem violar os princípios de conservação de
energia e momento. No caso de um elétron ligado a um átomo, molécula ou
sólido, a energia e o momento absorvidos são compartilhados tanto pelo
elétron quanto pelo átomo, molécula ou sólido. Mas como o átomo,
molécula ou sólido possuem uma massa muito maior do que a massa do
elétron, a energia de recuo do átomo, molécula ou sólido é tão pequena que
não é levada em conta.
Embora um grande número de interações são conhecidos para fótons
com a matéria, os mais importantes são : efeito fotoelétrico, espalhamento
Compton, Thomson, Rayleigh, interação foto-nuclear e produção de pares.
O Espalhamento Rayleigh e elástico, o fóton e meramente redirecionado
para um angulo θ sem perda de energia. As interações foto-nucleares são
importantes apenas para energias acima de alguns MeV, onde são
responsáveis por problemas de proteção radiológica através da produção
159
(γ,n) de nêutrons. A importância relativa do efeito Compton, do efeito
fotoelétrico, e da produção de pares, depende da energia do fóton e do
numero atômico Z do meio absorvedor. Estes processos levam a uma
transferência de energia total ou parcial para a matéria. Uma diferença entre
fótons e partículas carregadas é que Raios-x e gama são muito mais
penetrantes na matéria do que as últimas. Outra diferença é que o feixe de
fótons não é degradado em energia conforme atravessa a matéria. Somente
atenuado em intensidade. Os fótons ou desaparecem totalmente ou são
espalhados para ângulos significativos. Este comportamento destoa
completamente da interação de partículas carregadas, que são freadas
lentamente através de uma interação contínua com os átomos absorvedores.
A atenuação sofrida por um feixe de fótons segue um decaimento
exponencial com respeito à espessura
I=Ioexp(-µx)
Onde Io é intensidade do feixe incidente; x a espessura do absorvedor; µ o
coeficiente de absorção.
O coeficiente de absorção é a grandeza que característica do material
absorvedor e é diretamente relacionada com a seção de choque de interação.
Efeito fotoelétrico
No processo de absorção por efeito fotoelétrico, um fóton é totalmente
absorvido por um átomo. No seu lugar, um fotoelétron rápido é ejetado do
átomo. A interação acontece com o átomo como um todo e não pode ocorrer
com elétrons livres, uma vez que um elétron livre não pode absorver um
fóton sem o momento não seja conservado. A energia do fotoelétron (Ee) é
dada por:
E e = hν - E b
Onde Eb é a energia de ligação do elétron e hν é a energia do fóton. Para
raios gama com energias acima de algumas dezenas de keV, o fotoelétron
leva consigo a maioria do energia do fóton. A interação também cria um íon
no material absorvedor com uma vacância em uma de suas camadas. Em
geral, esta vacância é rapidamente preenchida com a captura de um elétron
livre do meio e/ou por rearranjo de outros elétrons do átomo. Então, um ou
mais fótons de raio-X podem ser produzidos. Na maioria dos casos, os
fótons de raio-X são re-absorvidos pelo meio, embora sua possível emissão
possa vir a influenciar a resposta dos detetores de radiação. Outro efeito
possível é a emissão de um elétron Auger. O efeito fotoelétrico é a interação
dominante para fótons (UV, raio-X ou gamma) de baixa energia. O
160
processo é mais significativo para absorvedores com alto número atômico Z.
Não há uma expressão analítica simples para a probabilidade de absorção
por efeito fotoelétrico para toda a faixa de energia Eγ e Z, mas uma
aproximação é dada por
Pfe ∝
Zn
Eγ3,5
onde o expoente n varia entre 4 e 5. Esta forte dependência do efeito
fotoelétrico com o número atômico do material é a razão principal para o
uso de matérias de alto Z (como o chumbo) em blindagens. Detetores de
raios gama também utilizam materiais com alto Z.
A figura abaixo mostra o coeficiente de absorção total, mas também a
contribuição parcial de cada processo específico, para do NaI em função da
energia do fóton incidente. Conforme pode ser visto pela figura, o
coeficiente de absorção cai rapidamente com a energia do fóton, mas
aumenta rapidamente nas proximidades de uma camada interna. Logo após
este ponto, o coeficiente de absorção volta a cair rapidamente.
No caso não relativístico e energias acima da camada K (supõe-se que
apenas elétrons da camada K contribuem), a aproximação de Born prevê que
a seção de choque para o efeito fotoelétrico
σ fe = 4α
onde σ o =
4
 mc 2
2 Z σ o 
 hv
5



7/2
por átomo
8πre2
= 6,651 × 10 − 25 cm 2 é a seção de choque de espalhamento
3
Thomson, e α é a constante de estrutura fina α=1/137.
Fig. 1– Efeito fotoelétrico em um átomo livre. Se o elétron da camada K é
ejetado pelo fóton incidente, outro elétron de um nível de maior energia
161
pode preencher a vacância, resultando na emissão de um fóton com uma
energia igual à diferença de energia entre os dois níveis envolvidos.
5
10
NaI
total
fotoelétrico
Rayleigh
Compton
pares
4
10
3
10
2
µ/ρ(cm /g)
2
10
1
10
0
10
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
-5
10
0
10
1
10
2
3
10
10
4
10
5
10
Energia (keV)
Fig. 2 – coeficiente de absorção por densidade para NaI em função da
energia do fóton para os diversas interações. Fonte programa XmuDat.
Espalhamento Rayleigh
O espalhamento Rayleigh é elástico. O modelo de espalhamento Rayleigh,
proposto inicialmente por Lord Rayleigh em 1871, é aplicável quando o raio
do alvo é muito menor do que o comprimento de onda do fóton incidente, o
que implica que a energia transferida durante o processo é muito pequena.
Par a maioria dos raios-X e raios gama de baixa energia, O processo de
espalhamento Rayleigh é o modo predominante de espalhamento elástico. A
seção de choque para este processo é inversamente proporcional a λ4 da
radiação incidente e pode ser escrita como
σ Rayleigh
8πa 6  2πnm 
=
3  λ 
4
 m 2 − 1
 m 2 + 1


2
Onde a é o raio da partícula alvo, m=ns/nm é a razão do índice de refração da
partícula alvo (ns) em realação ao índice de refração do meio (nm) .
162
Espalhamento Compton
No espalhamento Compton, a interação acontece entre o fóton
incidente e o elétron no material absorvedor. Na faixa de energia dos raios
gama, o espalhamento Compton é o mecanismo dominante (veja Fig. 1). A
interpretação mais comum para o efeito Compton (encontrada em vários
textos) é que o fóton incidente transfere parte de sua energia para o elétron
(supostamente em repouso), também chamado de elétron de recuo. O fóton
é então espalhado em um ângulo θ com respeito a sua direção inicial.
Devido ao fato que todos os ângulos de espalhamento são possíveis, a
energia transferida para o elétron pode variar de zero até uma fração
significativa da fóton incidente.
A expressão que relaciona a energia transferida e o ângulo de
espalhamento pode ser obtida aplicando simultaneamente a conservação de
energia e momento.
po = p cosθ + pe cos φ
0 = psenθ − pe senϕ
Como o elétron está inicialmente em repouso, a sua energia total é moc2 .
Após o espalhamento, o elétron adquire momentum e de acordo com a
relatividade especial, sua energia é dada por
E e2 = pe2 + mo2 c 4
Aplicando a conservação da energia
Eo + mo c 2 = E + Ee
Resultando em
Eo
E=
1+
Eo
(1 − cosθ )
mo c 2
onde moc2 é a energia de repouso do elétron (511 keV). Para ângulo
pequenos, a energia transferida também é muito pequena.
163
A energia do elétron de recuo é dada por
  Eo


 
2 (1 − cos θ ) 
mo c 

Ee = Eo  
 E


(
)
1
−
cos
θ

1+  o

2
  mo c 

Dois casos extremos podem ser identificados:
a) θ≈ 0. Neste caso, as equações para as energias do fóton e do elétron
predizem que E≈Eo e Ee ≈ 0.
b) Colisão frontal θ≈ π. Neste extremo, o fóton incidente é retroespalhado para a sua direção incidente, enquanto que o elétron recua
na direção do fóton incidente (espalhamento para ângulo zero). Este
extremo representa a máxima energia que pode ser transferida ao
elétron em uma interação Compton. Neste caso as energias finais do
fóton e do elétron ficam
E (θ = π ) =
Eo
E
1+ 2
mo c 2
p/ o fóton
e
 2 Eo

mo c 2
Ee = Eo 
 1 + 2 Eo

mo c 2



 p/ o elétron



Para um dada energia do fóton incidente, a distribuição de energias do
elétron tem uma forma geral mostrada na figura abaixo
164
dN/
dN/dEe
θ=π
π
θ=0
Eo
EC
Contínuo Compton
Ee
Borda Compton
O “gap” entre o a energia máxima do elétron de recuo e a energia do
fóton incidente é dada por
EC = E − E e (θ = π ) =
E
1+ 2 E
mo c 2
No limite hv>>moc2 , esta diferença de energia tende a um valor constante
EC =
mo c 2
= 0.256 MeV
2
A análise anterior supõe que o elétron está livre (não ligado). De fato,
a energia de ligação do elétron influencia o contínuo Compton. Estes efeitos
são mais notados para energias do fóton baixas, onde aparece um
arredondamento do pico próximo ao extremo superior, além do
aparecimento de uma queda mais gradual, ao invés de abrupta , do espectro
de energias do elétron.
A distribuição angular dos gammas espalhados é descrito pela fórmula
de Klein-Nishina
dσ


1

= Zr 

(
)
α
θ
dΩ
1
+
1
−
cos


2
o
2

α 2 (1 − cos θ ) 2
 1 + cos 2 θ 


 1+


2

2
1 + cos θ [1 + α (1 − cos θ )] 


(
)
onde α=E/moc2 e ro é o raio clássico do elétron.
Integrando a equação acima encontramos
165
1 + α  2(1 + α ) 1
1 + 3α 
 1
ln (1 + 2α ) −
− ln (1 + 2α ) +
2 
(1 + 2α )2 
 2α
 α  1 + 2α α
σ C = 2πro2 
Fig. _ Distribuição angular de Compton.
Produção de Pares
Produção de pares é o processo que resulta na conversão de um fóton em um par elétronpósitron. Como o fóton não possui massa, enquanto ambos o pósitron e o elétron
possuem, dizemos que este processo converte energia em massa de acordo com a relação
E = mc2. Este processo é o inverso da aniquilação de pósitrons, onde massa é convertida
em energia. No entanto, há uma diferença operacional entre os dois processos: a
produção de pares acontece na presença de um material enquanto que a aniquilação não
requer esta condição. Isto se deve à necessidade de um terceiro corpo para a conservação
de momentum. O processo na vizinhança de um núcleo pode ser representado como
γ + X → e− + e+ + X *
Onde X e X* representam o estado fundamental e estado excitado do núcleo,
respectivamente.
166
Como a energia é convertida em duas partículas que possuem massas discretas, deve
haver um limiar para que este processo ocorra. Ou seja, o fóton deve ter, pelo menos,
uma energia equivalente à soma das massas das duas partículas:
Emin ≥ 2moc2
Emin ≥ 1,022 MeV
O limiar verdadeiro de energia para a produção de pares na vizinhança de um núcleo d
massa mnucl é dado por
2mo c 2
E min ≥ 2mo c 2 +
mnucl
A seção de choque para a produção de pares pode ser escrita como
 7  183  1 
σ par = 4α 2 ro2 Z 2  ln 1 / 3  −  cm 2
 9  Z  54 
A produção de pares também ocorre nas vizinhanças de partículas leves, como elétrons.
Este processo é geralmente conhecido como produção de tripleto.
Relação entre o coeficiente de absorção e a seção de choque
Se multiplicarmos a seção de choque de atenuação de fótons (σ, em
cm ) pelo densidade de átomos (N, em cm-3), obtemos a probabilidade por
unidade de comprimento pra uma interação
µ=Nσ =σ(Naρ/A)
2
167
onde Na é o número de Avogrado, ρ a densidade do material, A o peso
molecular. Para misturas compostas, o coeficiente de absorção pode ser
calculado usando a regra de Bragg (regra da aditividade)
µ
µ
= ∑ wn n
ρ
ρn
n
onde wn é o peso relativo de cada elemento no material
Os fótons podem também ser caracterizados pelo seu livre caminho
médio λ
∞
λ=
∫ xe
0
∞
∫e
− µx
− µx
dx
=
dx
1
µ
0
O efeito Auger
Nem todos os átomos ionizados em camada interna retornam ao
estado fundamental emitindo raios-X. Por conta disto, o rendimento
quântica (quantum yield) é freqüentemente menor que a unidade. O
rendimento quântico é definido como
η = (número de átomos emitindo raios-X)/(numero de átomos
ionizados em camada interna)
Assim e possível que os átomos retornem ao seu estado fundamental
sem emitir radiação. A probabilidade para este processo não radioativo, que
compete com a emissão de raios-X, decresce com o aumento do numero
atômico do elemento. Para átomos leves, o processo não radioativo domina
sobre o radioativo.
A volta ao estado fundamental no processo não radioativo é realizado
pelo efeito Auger. Apos a remoção de um elétron de camada interna, o
excesso de energia pode ser liberado na forma de raios-X ou pela emissão
de um elétron de camada mais externa . O efeito Auger é similar a um efeito
fotoelétrico interno. Se um elétron cai para um nível mais baixo de energia e
um outro é ejetado, a interação Coulombiana entre os dois é a responsável
pelo processo.
O efeito Auger esta representado na figura abaixo. Um elétron da
camada K é ionizado deixando uma vacância. Um elétron externo cai para a
camada K, preenchendo a vacância. A energia liberada neste decaimento é
usada para liberar um outro elétron externo (elétron Auger). Como resultado
168
temos um átomo duplamente ionizado (existe a possibilidade de efeito
Auger resultando em íon multiplamente carregados).
ou
Auger normal
Decaimento radioativo
Fig. 5 – Um elétron Auger é emitido pelo excesso de energia quando um
elétron externo cai para um nível de energia mais baixo
169
1.0
radioativo
η
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
Auger + Coster-Kronig
0
20
40
60
80
Z
Fig. – A eficiência quântica para a emissão de raios-X (decaimento
radioativo) em função do numero atômico.
170
Exercícios:
1 – O coeficiente de absorção total para fótons de 5 MeV em chumbo é cerca
de 0,04 cm2/gm. Se a densidade do chumbo é 11,3 gm/cm3, qual a meia
espessura (espessura para qual o feixe cai a 50 %) do cobre para estas raios
gama? Qual a espessura do cobre necessária para reduzir a intensidade para
6 % do valor inicial? (1gm é o mesmo que 1 grama)
2 – Qual a seção de choque que corresponde a um coeficiente de absorção de
0.45 cm-1 pra fótons em chumbo?
R: 13.7 b (1b – 1 barn = 10-24 cm2)
3 – Aplicando a conservação de momento e energia, obtenha a relação entre
a energia final do fóton e o ângulo de espalhamento no espalhamento
Compton
4 – Calcule a energia de recuo do elétron no espalhamento Compton em
função da energia e ângulo do fóton espalhado.
5- A borda de absorção L1 do tungstênio ocorre em 1,02 Å. Suponha que
um fóton Kα é absorvido por um dos elétrons 2s através do efeito Auger.
Determine a velocidade do fotoelétron liberado.
6 – (Provao 2002) Na figura abaixo é mostrado um arranjo experimental para estudar a absorção de
radiação E por diferentes materiais. Sal de KC", que é disponível comercialmente, é colocado numa
pequena caixa cilíndrica, em cima de uma folha fina do material a ser estudado. Abaixo da folha é colocada
uma fotomultiplicadora e todo o sistema é blindado em chumbo.
171
Como em potássio natural há uma abundância relativa de 0,0118% de K 40 , que sofre decaimento E, o sal
de cloreto de potássio é fracamente radiativo. A experiência consiste em medir a taxa de contagens dN/dt
(número de pulsos contados por unidade de tempo), em função da espessura x da folha. Como a absorção
depende da densidade do material, é usual expressar aespessura da folha em kg/m2. No gráfico, em que a
escala vertical é logarítmica e a horizontal é linear, é mostrado o resultado obtido para dN/dt, em função de
x. Sabendo que a absorção de radiação pela matéria leva ao decaimento do número de partículas que
atravessam uma distância x dentro do meio, de acordo com a equação N(x) N0e–Px, o coeficiente de
absorção P para o alumínio, em unidades de m2/kg, é, aproximadamente,
a)
b)
c)
d)
e)
0,10
0,20
0,50
1,0
2,0
172
7 – A tabela abaixo corresponde a um conjunto de medidas da intensidade de
um feixe de fótons de 5 MeV transmitido em folhas de chumbo de
espessuras conhecidas para a determinação do coeficiente de absorção. Cada
medida foi tomada durante um tempo de aquisição igual a 10 min. A área
total corresponde ao número de fótons transmitidos + contagens de fundo.
a)Considerando que a contagem de fundo foi 10 contagens/minuto, complete
a tabela
Espessura (mm)
0
3,0
6,0
9,0
12,0
15,0
Área total
10100
8800
7700
6700
5900
5200
incerteza
Área liquida
Incerteza
b) Faça um gráfico da intensidade (número de fótons medidos) versus espessura em papel
mono-log e determine o coeficiente de absorção µ em cm-1.
173
c) Se um feixe de 1020 fótons incide perpendicularmente em uma folha de chumbo de
12,0 mm de espessura (a densidade do chumbo é ρ = 11,3 g/cm2) e se o coeficiente de
absorção total em cm2/g de fótons de 5 MeV em chumbo é total(soma de todos os
processos): 4,24 × 10-2 cm2/g; fotoelétrico: 1,26 × 10-3 cm2/g ; criação de pares: 2,1 ×
10-2 cm2/g ; Compton : 1,98 × 10-2 cm2/g e Rayleigh: 8,72 × 10-5 cm2/g, calcule quantas
interações de cada tipo (fotoelétrico, ; criação de pares, Compton, e Rayleigh) ocorrem
no chumbo.
d) Supondo que cada interação no item anterior resulta em um fóton primário sendo
removido do feixe, quanta energia é removida por cada tipo de interação ?
8) Raios-X passam através de folhas de alumínio, cada uma de 4 × 10-3 m de
espessura. Um Contador Geiger registra 8 × 103, 4,7 × 103, 2,8 × 103, 1.65 ×
103 e 9,7 × 102 eventos por min quando os raios atravessam 0, 1, 2, 3, e 4
folhas, respectivamente. Calcule o coeficiente de absorção do alumínio.
9) Raios gama com energias de 0,05, 0,3 e 1 MeV, mas com intensidades
iguais, são absorvidos por chumbo. Os coeficientes de absorção do chumbo
para estas energias são 8 × 103, 5 × 102 e 78 m-1.
a) calcule a espessura de chumbo necessária para reduzir a intensidade
de cada feixe a 1/10 de seu valor original.
b) Qual a relação entre a intensidade total (para cada energia do feixe) a
uma profundidade de 5 mm em relação a intensidade incidente total?
10) A espessura de meia-absorcao de um material (x1/2) e definida como a
espessura para absorver 50 % da intensidade de um feixe de fótons
incidente. Quantas espessuras de meia-absorcao são necessárias para atenuar
um feixe de raios-X a a)1/16, b) 1/20, c)1/200, da intensidade do feixe
incidente?
Respostas
12- 13.7 b (1b – 1 barn = 10-24 cm2)
6- letra d)
174
Referencias:
1 – W. R. Leo, Techniques for Nuclear and Particle Physics Experiments
2- Knoll
3 –A. Das e Th. Ferbel, Introductionto Nuclear and Particle Physics
Prática 1
Espectroscopia gamma de diversas fontes
Objetivo: familiarizar o aluno com o analisador multi-canal utilizado para a
análise de altura de pulsos em conjunção com o detetor Si(Li) e diversas
fontes radioativas.
Prática 2
Absorção de raios gama por cobre
175
I(x)
Detetor Si(Li)
241Am
x
x
Io
I(x)
chumbo
cobre
Prática 3
Espalhamento Compton
Detetor Si(Li)
alvo
θ
chumbo
241Am
176