Mecânica Técnica
Aula 8 – Equilíbrio do Ponto
Material em Três Dimensões
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Tópicos Abordados Nesta Aula
Solução de Exercícios.
Equilíbrio em Três Dimensões.
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Exercício 1
1) Considere que o cabo AB esteja submetido a uma força de 700N.
Determine as forças de tração nos cabos AC e AD e a intensidade da
força vertical F.
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Solução do Exercício 1
Determinação da Força em Cada Cabo:
A (0, 0, 6)
B ( 2, 3, 0)
Módulo do vetor posição:
rAB = 2 2 + 3 2 + 6 2
rAB = 7 m
C (−1,5; 2; 0)
D ( −3, − 6, 0)
Força F:
r
r
F = ( Fk )
Cabo AB:
Vetor posição:
r
r
r
r
rAB = 2i + 3 j − 6k m
Vetor unitário:
r
u AB
r
u AB
r
r
r
2i + 3 j − 6 k
=
r
r7
r
= 0,286i + 0,429 j − 0,857 k
Vetor Força AB:
v
r
FAB = FAB ⋅ u AB
r
v
r
r
FAB = 700 ⋅ (0,286i + 0,429 j − 0,857 k )
r
r
r
v
FAB = (200i + 300 j − 600k )N
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Solução do Exercício 1
Cabo AC:
Vetor posição:
r
r
r
r
rAC = −1,5i + 2 j − 6k m
Cabo AD:
Vetor
posição:
r
r
r
Módulo do vetor posição:
Módulo do vetor posição:
rAD = 32 + 6 2 + 6 2
rAD
rAC = 1,5 2 + 2 2 + 6 2
rAC = 6,5 m
Vetor unitário:
r
r
r
r
− 1,5i + 2 j − 6k
u AC =
6,5
r
r
r
r
u AC = −0,230i + 0,307 j − 0,923k
Vetor
Força AC:
v
r
FAC = FAC ⋅ u AC
r
= −3i − 6 j − 6k m
rAD = 9 m
Vetor unitário:
r
r
r
u AD
r
u AD
r
v
r
r
FAC = FAC ⋅ (−0,230i + 0,307 j − 0,923k )
r
v
r
r
FAC = (−0,230 ⋅ FAC i + 0,307 ⋅ FAC j − 0,923 ⋅ FAC k ) N
r
− 3i − 6 j − 6k
=
9
r
r
r
= −0,333i − 0,666 j − 0,666k
Vetor Força AD:
v
r
FAD = FAD ⋅ u AD
r
v
r
r
FAD = FAD ⋅ (−0,333i − 0,666 j − 0,666 k )
r
v
r
r
FAD = (−0,333 ⋅ FAD i − 0,666 ⋅ FAD j − 0,666 ⋅ FAD k ) N
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Solução do Exercício 1
Condição de equilíbrio:
r
∑F = 0
r
r
r
r
FAB + FAC + FAD + F = 0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
200i + 300 j − 600k − 0,230 ⋅ FAC i + 0,307 ⋅ FAC j − 0,923 ⋅ FAC k − 0,333 ⋅ FAD i − 0,666 ⋅ FAD j − 0,666 ⋅ FAD k + Fk = 0
Sistema de equações:
=0
200 − 0,230 ⋅ FAC − 0,333 ⋅ FAD = 0
(I)
y
=0
300 + 0,307 ⋅ FAC − 0,666 ⋅ FAD = 0
(II)
z
=0
∑F
x
∑F
∑F
− 600 − 0,923 ⋅ FAC − 0,666 ⋅ FAD + F = 0
(III)
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Solução do Exercício 1
Solução das equações:
FAD = 600 − 0,690 ⋅ FAC
De (I):
FAD
Em (IV):
200 − 0,230 ⋅ FAC
=
0,333
FAD = 600 − 0,690 ⋅ FAC (IV)
FAD = 600 − 0,690 ⋅ 131,57
FAD = 509,21 N
Em (III):
Substituindo (IV) em (II):
300 + 0,307 ⋅ FAC − (0,666 ⋅ (600 − 0,690 ⋅ FAC )) = 0
300 + 0,307 ⋅ FAC − 400 + 0,459 ⋅ FAC = 0
− 100 + 0,766 ⋅ FAC = 0
FAC
100
=
0,766
− 600 − 0,923 ⋅ FAC − 0,666 ⋅ FAD + F = 0
− 600 − 0,923 ⋅ 131,57 − 0,666 ⋅ 509,21 + F = 0
F = 600 + 0,923 ⋅ 131,57 + 0,666 ⋅ 509,21
F = 600 + 121,43 + 339,13
FAC = 131,57 N
F = 1060,57 N
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Exercício 2
2) Determine a deformação necessária em cada mola para manter a
caixa de 20kg na posição de equilíbrio. Cada mola tem comprimento
de 2m sem deformação e rigidez k = 300N/m.
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Solução do Exercício 2
Determinação das Forças :
Módulo do vetor posição:
Cabo OA:
rOC = 6 2 + 4 2 + 12 2
r
r
FOA = − FOA j N
Cabo OB:
r
r
FOB = − FOB i N
rOC = 14 m
Vetor unitário:
r
r
r
u OC
r
u OC
r
6 + 4 j + 12k
=
14
r
r
r
= 0,428i + 0,285 j + 0,857k
Peso:
r
r
W = (−20 ⋅ 9,81k )
r
r
W = ( −196,2k ) N
Cabo OC:
Vetor posição:
r
r
r
r
rOC = 6i + 4 j + 12k m
Vetor Força OC:
v
r
FOC = FOC ⋅ u OC
r
v
r
r
FOC = FOC ⋅ (0,428i + 0,285 j + 0,857k )
r
v
r
r
FOC = (0,428 ⋅ FOC i + 0,285 ⋅ FOC j + 0,857 ⋅ FOC k ) N
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Solução do Exercício 2
Condição de equilíbrio:
r
∑F = 0
r
r
r
r
FOA + FOB + FOC + W = 0
r
r
r
r
r
r
− FOA j − FOB i + 0,428 ⋅ FOC i + 0,285 ⋅ FOC j + 0,857 ⋅ FOC k − 196,2k ) = 0
Sistema de equações:
∑F
=0
− FOB + 0,428 ⋅ FOC = 0
(I)
y
=0
− FOA + 0,285 ⋅ FOC = 0
(II)
z
=0
0,857 ⋅ FOC − 196,2 = 0
(III)
x
∑F
∑F
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Solução do Exercício 2
Solução das equações:
De (III):
FOC =
196,2
0,857
FOC = 228,93 N
Em (II):
− FOA + 0,285 ⋅ 228,93 = 0
FOA = 65,24 N
Deformação da Molas:
Mola OA:
Mola OB:
FOA = k ⋅ s OA
FOB = k ⋅ s OB
65,24 = 300 ⋅ s OA
97,98 = 300 ⋅ sOB
sOA
65,24
=
300
s OA = 0,217 m
sOB =
97,98
300
sOB = 0,326 m
Em (I):
− FOB + 0,428 ⋅ 228,93 = 0
FOB = 97,98 N
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Exercícios Propostos
1) Os cabos AB e AC suportam uma tração máxima de 500N e o
poste, uma compressão máxima de 300N. Determine o peso da
luminária sustentada na posição mostrada. A força no poste atua
alongo de seu próprio eixo.
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Exercícios Propostos
2) O cabo suporta a caçamba e seu conteúdo que tem massa total de
300kg. Determine as forças desenvolvidas nas escoras AD e AE e a
força na parte AB do cabo para a condição de equilíbrio. A força em
cada escora atua ao longo do seu próprio eixo.
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Exercícios Propostos
3) Determine a força necessária em cada um dos três cabos para
levantar a escavadeira que tem massa de 8 toneladas.
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Exercícios Propostos
4) Determine a força necessária que atua ao longo do eixo de cada
uma das três escoras para suportar o bloco de 500kg.
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Exercícios Propostos
5) O vaso é suportado pelos cabos AB, AC e AD. Determine a força
que atua em cada cabo para a condição de equilíbrio. Considere d =
2,5m.
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