Escola de Engenharia
Departamento deProdução e Sistemas
Prof. Ana Cristina Braga
FICHAS DE ESTATÍSTICA BIOMÉDICA
1º SEMESTRE 2005/2006
Escola de Engenharia
Departamento deProdução e Sistemas
Prof. Ana Cristina Braga
FICHA Nº 1
1. Leia com atenção as descrições dos seguintes estudos e indique o plano utilizado:
a. Kilbourne et al. (1983) investigaram uma epidemia em Espanha. Tratava-se de uma
afecção multisistémica em que os doentes apresentavam tosse, dispeneia (falta de
ar), dor torácica pleurítica, cefaleias, febre e infiltrados pulmonares bilaterais no RX
do tórax. Embora se suspeitasse à partida de um agente infeccioso, encontrou-se uma
forte associação com o consumo de óleo alimentar vendido como azeite, mas
contendo uma elevada proporção de óleo de semente de colza. Os estudos
epidemiológicos mostraram que praticamente todos os doentes tinham ingerido esse
óleo mas que os não afectados raramente o tinham feito.
b. Knutson et al. (1981) trataram doentes com feridas, queimaduras e úlceras,
utilizando açúcar granulado mais povidona-iodada. O estudo decorreu de Janeiro de
1976 até Agosto de 1980. Dos 759 doentes tratados naquele período, 154 fizeram o
tratamento clássico e aos restantes 605 foi adicionado o açúcar. Os investigadores
encontraram uma percentagem inferior de doentes a necessitarem de transplante de
pele no grupo que fez a mistura de açúcar com povidona-iodada em relação aos que
fizeram o tratamento clássico (só povidona-iodada). Para além disso o novo
tratamento é menos doloroso e mudança dos pensos mais fácil.
c. Colditz (1987) descreve uma relação entre a menopausa e o risco de doença
coronária. As intervenientes neste estudo foram seleccionadas do Nurses´ Health
Study que iniciou em 1976. Este estudo incluiu 120000 mulheres casadas,
enfermeiras de profissão e com idades compreendidas entre os 30 e 35 anos. Colditz
e tal. Identificaram 116000 na pré menopausa, sem evidência de doença coronária no
início do estudo, e pretendiam determinar se a entrada na menopausa alterava o risco
de doença coronária.
O censo inicial incluía informações sobre a idade, história familiar de enfarte
miocárdio ou de angina de peito, hábitos tabágicos, peso, altura, uso de
anticoncepcionais ou de estrogéneos pós-menopausa e antecedentes de enfarte
miocárdio, angina de peito, diabetes, hipertensão ou níveis de cálcio sérico
aumentados. As consultas de seguimento (follow-up) foram efectuadas em 1978,
1980 e 1982 e os dados estavam completos para 95,4% das participantes.
2. A principal diferença entre um estudo experimental e um estudo de observação é:
a. Os grupos de estudo em que a exposição está presente e ausente têm igual dimensão
b. Um dos estudos é prospectivo
c. Um dos estudos é emparelhado
d. É o investigador que determina as unidades experimentais a serem expostas e não
expostas
e. Um dos estudos utiliza obrigatoriamente um grupo de controlo (não exposto)
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3. Indique o tipo de estudo usado (estudo transversal, ensaio clínico aleatório, estudo de coorte
ou estudo caso controlo) em cada uma das investigações indicadas a seguir:
a. Quinze mil homens adultos trabalhadores numa companhia de aviação foram
examinados inicialmente m 1951 e foram classificados segundo um critério de
diagnóstico de doença coronária. De 3 em 3 anos eles foram examinados no sentido
de encontrar novos casos da doença.
b. A partir de um certo censo populacional seleccionamos uma amostra aleatória de
mulheres de meia-idade, cada uma fez um exame médico para averiguar se tinha
doença coronária. Todas as que tinham a doença foram excluídas do estudo. Todas
as outras foram distribuídas de forma aleatória para um de dois grupos: um grupo de
exercício, no qual se fez uma programação sistemática de exercícios durante dois
anos, e um outro grupo que não tinha nenhum programa de exercício. Ambos os
grupos foram examinados duas vezes por ano para comparação do aparecimento da
doença coronária.
c. Cem indivíduos com a hepatite infecciosa e 100 controlos emparelhados em termos
de vizinhança foram interrogados sobre o facto de terem comido bivalves nos três
meses precedentes.
d. Foram envidados questionários pelo correio, seguindo a lista telefónica e
seleccionando uma pessoa de 10 em 10 nomes. Recolhe-se informação sobre a idade,
sexo, hábitos tabágicos e sintomas respiratórios durante os sete dias precedentes,
para cada pessoa. Mais de 90% dos questionários foram preenchidos e devolvidos.
Calculamos a frequência de sintomas do aparelho respiratório com base nestas
respostas.
4. Num estudo sobre a eficácia de um antibiótico no tratamento de provável bacteriemia oculta,
500 crianças com febre mas sem sinais de infecção foram aleatoriamente distribuídas em
dois grupos: um em que foi administrado um antibiótico e um outro em que foi administrado
um placebo. Em termos de planeamento este estudo será um:
a. estudo coorte
b. ensaio clínico
c. estudo transversal
d. ensaio clínico aleatório paralelo
e. ensaio clínico aleatório.
5. Num estudo epidemiológico sobre cancro ósseo, foram contactadas 400 mulheres que
trabalhavam em contacto com rádio e 500 mulheres que trabalhavam como telefonistas.
Vinte trabalhadoras em contacto com rádio e 4 telefonistas desenvolveram um cancro ósseo
durante o mesmo período de 30 anos (1955 – 1985). Este estudo é um exemplo de um:
a. estudo transversal
b. estudo coorte
c. ensaio clínico paralelo
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d. estudo de uma série de casos clínicos
e. estudo caso-controlo.
6. Considere a hipótese de que os alcoólicos têm uma incidência aumentada de acidentes de
viação fatais.
a. Planeie um estudo caso-controlo para testar esta hipótese usando os seguintes passos:
i. Diagnóstico dos casos – difícil ou não? Onde encontraria os casos?
ii. Nomeie uma população adequada na qual poderia escolher os indivíduos para
o grupo do controlo;
iii. Faça uma lista das características para as quais lhe pareça que deve proceder
a um emparelhamento, justificando a sua escolha.
iv. Que característica deve agora determinar para cada um dos indivíduos que
fazem parte do estudo?
v. Que dificuldades podem aparecer na avaliação dessa característica?
b. Será que para a investigação anterior poderíamos indicar outro tipo de estudo, como,
por exemplo um estude de coorte ou um estudo transversal? Justifique a sua resposta.
7. Assinale na margem esquerda o tipo de ensaio clínico mais apropriado a cada afirmação,
usando as iniciais: AC aleatório cruzado; AP aleatório paralelo; NA não aleatório; CE com
um grupo de controlo externo.
a. Mais frequentemente usado na investigação oncológica em doentes terminais;
b. Não apropriado para comparar dois tratamentos, em que um deles é a cirurgia;
c. Aos doentes mais idosos é dado um placebo e aos mais novos o tratamento a testar;
d. Em iguais condições, necessita de um maior número de observações que um ensaio
clínico aleatório cruzado.
8. As seguintes afirmações são mais características de alguns dos tipos de estudos – ensaio
clínico aleatório (ECA), ensaio clínico não aleatório (ECNA), transversal (T), caso-controlo
(CC), coorte concorrente (CO) e coorte histórico (CH). Assinale na margem esquerda
(usando as iniciai acima) o tipo(s) de estudo(s) mais apropriado(s) a cada afirmação.
Descrição das patologias mais frequentes numa dada região para planear serviços de
saúde;
Mais adequados para o estudo de resultados raros;
Potencialmente sujeitos a erros de casualidade invertida (confusão entre antecedente e
consequente);
Mais adequados para o estudo de exposições raras;
podem existir problemas éticos na sua execução;
O menos apropriado para ser um projecto de investigação a realizar no final do ano para
um aluno de Engª Biomédica.
O tempo necessário para a realização do estudo é em geral menor do que a duração do
follow-up observado.
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FICHA Nº 2
1. As notas obtidas por 12 alunos de uma disciplina, num exame, foram as seguintes:
6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 11, 12, 14, 16
a.
b.
c.
d.
Determine a moda da amostra;
Determine a mediana;
Determine o 1º e o 3º quartis;
Determine a média da amostra.
2. Obteve-se uma amostra de 100 tempos de reacção a um estímulo em milisegundos:
10 14 11 15 7 7
13 11 12 10 8 9
14 12 12 10 9 7
11 8 11 10 13 8
20 8 17 12 19 14
20
14
11
11
17
10
18
9
11
12
14 9 8 6 12 12 10 14 11 13 9 12
12 10 10 11 7 17 12 9 9 11 7 10
18 6 12 12 10 8 14 15 12 11 9 9
13 20 6 13 13 8 9 16 15 11 10 11
18 16 15 16 10 20 11 19 20 13 11 20
Calcule a tabela de frequências dos valores 6,7,8,…,20;
a. Desenhe um histograma de frequências;
b. Calcule a média;
c. Determine o 1º e o 3º quartil;
d. Determine o 10º e o 90º percentis da amostra. Explique em termos da forma da
distribuição de frequências, porque razão o 90º percentil está mais afastado da
mediana do que o 10º;
e. Determine a amplitude da amostra.
f. Desenhe um diagrama tipo caixa (“Box Plot”).
3. O n.º de chamadas telefónicas (por minuto) recebidas em certa empresa foi registado durante
um período de 50 minutos, observando-se os seguintes valores:
1, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 4, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 1,
4, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 1
a. Construa a tabela de frequências da amostra (absolutas, relativas, absolutas
acumuladas e relativas acumuladas);
b. Determine a média, o desvio padrão, a mediana e a moda da amostra;
c. Desenhe o histograma de frequências absolutas.
4. Pediu-se a 36 pessoas para classificarem o Sistema de Saúde em Portugal de acordo com a
seguinte escala: 1(péssimo), 2(mau), 3(pouco razoável), 4(razoável), 5(muito razoável), 6(bom), 7(muito
bom),8(excelente)
As classificações obtidas foram:
5
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5
3
8
2
7
6
7
5
5
6
3
4
3
6
3
7
7
6
8
3
6
3
7
5
2
6
7
6
4
8
3
3
4
6
5
3
a. Proceda à organização dos dados, construindo uma tabela onde figurem as
frequências absolutas, relativas, absolutas acumuladas e relativas acumuladas;
b. Calcule a média, o desvio padrão, a mediana e a moda;
c. Desenhe o histograma de frequências absolutas;
d. Será a distribuição de frequências unimodal? Justifique.
e. Que pode concluir sobre a distribuição de opiniões?
f. Calcule a percentagem de pessoas que têm opinião:
i. Desfavorável;
ii. Favorável.
5. Numa empresa, a fabricação de peças é feita em série. Retirou-se uma amostra aleatória
simples de 45 lotes, cada um com 50 peças e, registou-se o número de peças defeituosas em
cada lote, tendo-se obtido os seguintes resultados:
1
8
5
5
5
8
2
5
4
5
7
6
4
2
1
2
5
4
4
10
4
2
3
4
6
6
9
5
3
4
4
7
4
8
2
9
5
4
3
6
6
3
7
3
5
a. Identifique o tipo de variável apresentada;
b. Proceda à organização dos dados construindo uma tabela de frequências onde
constem as frequências absolutas, relativas, absolutas acumuladas e relativas
acumuladas;
c. Construa o histograma de frequências absolutas;
d. Calcule a média, a variância, a mediana e a moda da amostra.
6. O vencimento/hora de 100 operários é dado pela tabela
Vencimento Nº operários
[120 ;125[
10
[125 ;130[
20
[130 ;135[
38
[135 ;140[
25
[140 ;145[
7
a. Construa o histograma de frequências absolutas;
b. Calcule o vencimento/hora médio, o desvio padrão, a mediana e a moda;
c. Determine o n.º de operários com vencimentos compreendidos entre:
i. x − s e x + s
ii. x − 2 s e x + 2 s
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7. A tabela seguinte dá a distribuição de frequências da duração de 500 lâmpadas:
[300 ; 500[
[500 ; 700[
[700 ; 900[
[900 ; 1100[
[1100 ; 1300[
50
150
200
75
25
a. Construa o histograma de frequências absolutas;
b. Construa o gráfico de frequências acumuladas;
c. Determine o n.º de lâmpadas (aproximado) que têm uma duração inferior a 900
horas.
8. Considere a seguinte amostra já classificada
classes
frequências
[90, 93[
1
[93, 96[
3
[96, 99[
5
[99,102[
7
[102,105[ [105, 108[ [108,111[
6
3
3
a. Construa o histograma da amostra;
b. Calcule a média e o desvio padrão amostrais.
frequência
9. Considere-se uma amostra constituída por 100 latas de leite em pó, cujo rótulo indica um
peso médio de 450 gramas
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
422
a.
b.
c.
d.
427
432
437
442
447
452
457
462
peso (g)
Apresente a tabela das frequências relativas;
Calcule a média da amostra e o desvio padrão das observações;
Qual a proporção de latas com peso superior a 450 g?
O que pode concluir sobre a forma da distribuição?
7
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frequência
10. A distribuição dos pesos (mg) de 500 cigarros de uma determinada marca está representada
no seguinte histograma
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
770
790
810
830
850
870
890
peso (mg)
a. Calcule a média, a mediana, a moda e a variância da amostra;
b. Qual a proporção de cigarros com menos de 820 mg?
c. Qual a proporção de cigarros cujo peso está compreendido entre 800 e 880 mg?
11. Considere os dados referentes a doentes com cancro colorectal e respectivo estadio da
doença
Doente Idade estadio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
51
56
81
64
82
88
58
56
61
64
68
45
70
58
54
52
60
63
74
73
3
4
3
3
*
2
1
3
1
*
3
2
2
2
3
2
3
3
3
2
Doente Idade estadio
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
71
83
58
70
83
88
73
79
62
73
75
90
76
85
53
72
72
77
80
46
2
3
4
2
2
3
3
2
3
2
2
3
4
4
3
3
4
4
3
2
Doente Idade estadio
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
60
60
61
63
67
67
70
71
76
91
73
77
84
73
80
85
76
75
77
65
3
2
2
4
2
3
3
3
3
2
3
2
2
3
3
3
4
4
3
2
Doente Idade estadio
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
83
63
65
75
89
71
43
73
28
47
50
71
71
72
79
93
76
82
83
64
2
2
3
3
*
2
3
4
3
3
4
3
3
3
4
3
1
3
3
4
Doente Idade estadio
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
70
73
82
87
86
51
58
75
47
81
73
63
63
80
84
73
80
58
59
59
2
2
3
3
3
3
3
4
4
2
3
3
3
3
4
3
4
4
3
3
Doente Idade estadio
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
69
70
71
73
61
65
74
65
70
63
77
86
90
58
80
75
61
82
Faça a análise exploratória destes resultados.
8
3
4
2
4
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
4
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FICHA Nº 3
1.
Suponha uma caixa com 10 bolas numeradas de 1 a 10, da qual se extrai, ao acaso, uma bola.
a)
Sendo: A o acontecimento “saída de bola par” e B o acontecimento “saída de bola
ímpar”, construa os seguintes acontecimentos:
i)
“Ocorrência de A e B”
ii)
“Ocorrência de pelo menos um dos acontecimentos A, B”
iii)
“Não ocorrência nem de A nem de B”
iv)
“Não ocorrência simultânea de A e B”
b)
Sendo C o acontecimento “saída de bola com número inferior ou igual a 5”, construa
os acontecimentos:
i)
“Ocorrência de C mas não de A”
ii)
“Ocorrência de C e A”
iii)
“Ocorrência só de C, ou só de A, ou de ambos”
iv)
“Não ocorrência de C”
v)
“Ocorrência de C, ou de A, mas não de ambos”
2.
Tira-se uma carta de um baralho de 52. Considere os acontecimentos relativos à experiência:
A1={extracção de um ás do baralho}, A2={extracção de uma carta de espadas do baralho}
a)
A1 e A2 são independentes?
b)
A1 e A2 são mutuamente exclusivos?
c)
Calcule a probabilidade da extracção de um ás ou de uma carta de espadas.
3.
No lançamento de um dado determine a probabilidade de que saia:
a)
Face par, ou número primo
b)
Face par e múltiplo de 3
4.
Considere a experiência aleatória que consiste no lançamento simultâneo de dois dados
perfeitos e os seguintes acontecimentos
A= ”soma dos resultados igual a 7”
B= ”ambos os resultados ímpares”
C= ”produto dos resultados igual a 12”
Determine a) P( A ∪ C ) , b) P( A ∪ B )
5.
Dois indivíduos A e B estão afectados por uma doença incurável. Atendendo ao estado de
evolução da doença em cada um dos indivíduos estimaram-se as probabilidades de
falecimento, ao fim de cinco anos, respectivamente em P( A) = 23 e P( B ) = 12 . Calcule a
probabilidade ao fim de cinco anos,
a)
b)
c)
d)
apenas A tenha falecido;
apenas B tenha falecido;
ambos tenham falecido;
pelo menos um tenha falecido
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6.
Durante a travessia do Canal da Mancha, um velejador tem 2/3 de probabilidades de ser
atingido pelo mau tempo, e, independentemente disso, 1/4 de probabilidades de ter uma
colisão com um petroleiro. Definindo os seguintes acontecimentos: M={ser atingido pelo mau
tempo} e C={colisão com um petroleiro}, calcule
a) P ( M ∩ C ) , b) P ( M ∩ C ) , c) P ( M ∩ C ) , d) P ( M ∪ C )
7.
Seja A e B acontecimentos independentes e P(A)=1/6 e P(B)=1/4. Determine
a) P ( A ∩ B ) , b) P( A ∪ B ) , c) P ( A ∩ B ) , d) P ( A ∩ B )
8.
Sejam A e B dois acontecimentos tais que P(A)=1/4, P(B)=2/3 e P( A ∩ B ) = 1 / 6 . Determine
a) P ( A ∪ B ) , b) P( A ) , c) P (B ) , d) P ( A | B ) , e) P( B | A) , f) P ( A ∩ B ) , g) P ( A | B ) ,
h) P ( B | A )
9.
Sejam M1, M2 acontecimentos independentes, tais que P( M 1 ∪ M 2) = 0.8 e
P ( M 1 | M 2) = 0.2 . Calcule P (M 2)
10.
Lançaram-se alguns dados ao ar e sabe-se que a soma de pontos obtidos foi igual a 2. Qual a
probabilidade de que se tivessem lançado 2 dados?
11.
Tira-se uma carta de um baralho de 52. Sabendo que a carta extraída é de espadas, qual a
probabilidade de ser um ás? (ver exercício 2)
12.
Uma caixa contém 2 bolas brancas e 2 bolas pretas. Outra caixa contém 3 bolas brancas e 2
pretas. Tira-se uma bola da 1ª caixa e mete-se na 2ª caixa e seguidamente extrai-se uma bola
da 2ª caixa, que sai branca. Qual a probabilidade de que a bola retirada da 1ª para a 2ª caixa
fosse branca?
13.
Um acidente pode ser devido a falha humana, falha de travões ou rebentamento de pneu,
sendo a 1ª causa 2 vezes mais provável do que cada uma das outras.
Determine a probabilidade de um acidente se dever a cada uma destas causas.
a)
A probabilidade de que um acidente seja correctamente atribuído a falha humana é de
b)
80% e erradamente atribuído a essa causa é de 4%. Calcule e probabilidade de que um
acidente atribuído a falha humana tenha tido essa causa.
14.
Um navio possui 3 canhões de diferentes calibres pretendendo destruir uma torre. A
probabilidade da torre ser destruída pelos canhões A, B e C é respectivamente igual a 1/3, 1/4
e 1/6. O comandante tem instruções para dar apenas um tiro com cada canhão.
Determine a probabilidade da torre ser destruída por um só canhão.
a)
Sabendo que somente um dos tiros atingiu a torre, qual a probabilidade de ter sido do
b)
canhão C?
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15.
Num hospital ingressam 50% de indivíduos com a doença K, 30% com a doença L e 20%
com a doença M. A probabilidade de cura da doença K é 0.7; para as doenças L e M, a
probabilidade é de respectivamente 0.8 e 0.9. A um doente internado foi dada alta. Calcule a
probabilidade de que esse indivíduo tenha sofrido da doença K.
16.
Num laboratório um investigador fez uma preparação com 3 classes de bactérias A, B e C, na
proporção de 10%, 30% e 60% de cada classe, respectivamente. As bactérias da classe A
reagem com sulfato em 80% dos casos, as da classe B em 60% e as da classe C em 40%.
Qual a probabilidade de uma bactéria escolhida ao acaso da preparação reaja com
a)
sulfato?
O investigador colheu uma bactéria da preparação e ela reagiu com o sulfato. Concluiu
b)
então que ela pertencia à classe C. Concorda com o investigador?
17.
Num consultório médico, um cliente pertence a uma das classes A. B ou C de acordo com a
propensão para adoecer ao longo do ano, considerando-se que, dentro de classe, a
probabilidade de que isso aconteça é respectivamente 0.2, 0.4 e 0.1. Em determinado
momento o arquivo do consultório tem a seguinte composição: classe A: 300 clientes; classe
B: 520 clientes; classe C: 180 clientes. Admita que se extraviou uma ficha de um cliente
doente. Qual a classe em que mais provavelmente o incluiria?
11
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FICHA Nº 4
BINOMIAL
1.
Dez por cento da população tem sangue do tipo B. Numa amostra aleatória de 20 pessoas
encontre a probabilidade de encontrar com o tipo B:
Exactamente três pessoas?
a)
Mais de cinco pessoas?
b)
Menos de duas pessoas?
c)
2.
Para admissão a um concurso para uma vaga de secretária exige-se uma prova de
conhecimentos que consiste em 16 questões. Cada questão tem cinco escolhas, uma correcta
e quatro erradas. Uma das candidatas questiona-se acerca das probabilidades se responder à
sorte a cada uma das questões colocadas.
Qual a probabilidade de obter três respostas correctas?
a)
Qual a probabilidade de obter duas ou mais questões correctas?
b)
Se 50 candidatas fizessem o exame e se todas respondessem à sorte, qual seria a
c)
média de respostas certas?
3.
Quando uma determinada máquina funciona devidamente apenas 1% das peças produzidas
são defeituosas. Assuma o funcionamento correcto da máquina.
Se forem examinadas, duas peças qual a probabilidade de 1 ser defeituosa?
a)
Se forem examinadas 5 peças, qual a probabilidade de nenhuma ser defeituosa?
b)
Qual o número esperado de peças defeituosas numa produção de 200?
c)
Qual o desvio padrão das peças defeituosas numa amostra de 200?
d)
4.
Os sistemas de detecção de mísseis e radares militares permitem avisar contra ataques
inimigos. Uma questão importante está relacionada com a capacidade do sistema em
identificar e avisar correctamente um ataque. Assuma que um sistema particular de detecção
tem 90% de probabilidades de detectar um ataque de míssil.
Qual a probabilidade de que um único sistema detecte o ataque?
a)
Se na mesma área forem instalados dois sistemas de detecção com funcionamento
b)
independente, qual a probabilidade de pelo menos um deles detectar o ataque?
Se forem instalados três sistemas, qual a probabilidade de pelo menos um deles
c)
detectar o ataque?
5.
Sabe-se que com um determinado tratamento administrado a doentes em condições bem
definidas se consegue 70% de curas. Se esse tratamento for aplicado a 20 doentes nas
mesmas condições, qual a probabilidade de obter:
Máximo 15 curas?
a)
12 ou mais curas?
b)
Entre 12 e 15 curas, inclusive?
c)
POISSON
6.
Um determinado restaurante tem reputação de boa comida. O gerente registou que no
sábado à noite os grupos de clientes chegam a uma média de 15 grupos cada meia hora.
12
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a)
b)
c)
Qual a probabilidade de que passem 5 minutos sem chegar nenhum cliente?
Qual a probabilidade de que oito grupos de clientes cheguem em 10 minutos?
Qual a probabilidade de que mais de 5 grupos cheguem num período de 10 minutos?
7.
Os passageiros chegam aleatoriamente e independentemente a um grande aeroporto
internacional, a uma média de 10 passageiros por minuto
Qual a probabilidade de não chegar nenhum passageiro durante um minuto?
a)
Qual a probabilidade de chegarem 3 ou mais passageiros durante um minuto?
b)
Qual a probabilidade de não chegar nenhum passageiro durante 15 segundos?
c)
Qual a probabilidade de pelo menos 1 passageiro chegar num período de 15
d)
segundos?
8.
Numa empresa Têxtil existem numerosos teares de um certo tipo. A experiência mostra que,
o número de teares que se avaria em cada mês, é uma variável aleatória X que segue uma
distribuição de Poisson com média igual a 3. Calcule:
A probabilidade de que, durante um mês, se avariem 7 ou mais teares?
a)
A capacidade mínima que deve ter a oficina de reparação, de modo que, a
b)
probabilidade de não haver teares a aguardar reparação seja pelo menos de 90%.
9.
As chamadas telefónicas chegam a uma central telefónica a uma média de 4 por minuto.
Determine a probabilidade de que num intervalo de 15 segundos ocorram 3 ou mais
chamadas?
10.
Pequenos defeitos ocorrem na produção de uma fita de seda à média de um por 300 m.
Supondo que o número de defeitos num dado comprimento de fita segue a distribuição de
Poisson, qual a probabilidade de que:
Um rolo de 720 m tenha quanto muito 2 defeitos?
a)
Um rolo com 360 m não tenha defeitos?
b)
APROX. BINOMIAL À POISSON
11.
Uma empresa de contabilidade prevê erros em 1% dos balanços das suas contas de clientes.
Uma amostra de 150 contas foi seleccionada para auditoria.
Qual a probabilidade de que nenhuma das contas seleccionadas tenha erros?
a)
Qual a probabilidade de 4 ou mais das contas conterem erros?
b)
Qual a probabilidade de exactamente 2 contas conterem erros?
c)
12.
Para um determinado modelo de calculadora de bolso, o fabricante sabe que 3% das
calculadoras irão falhar nos primeiros 30 dias de operação e serão devolvidas para
reparação. Assuma que tem um lote de 120 calculadoras:
Qual o número esperado de calculadoras a falhar nos primeiros 30 dias de operação?
a)
Qual a probabilidade de pelo menos 2 falhem?
b)
Qual a probabilidade de que falhem exactamente 3?
c)
13.
Somente 3% dos estudantes de uma cidade têm coeficiente de inteligência igual ou superior
a 130. Com uma amostra aleatória de 50 estudantes calcule:
P ( x = 2)
a)
P ( x ≥ 3)
b)
13
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FICHA Nº 5
EXPONENCIAL NEGATIVA
1.
A duração, em milhares de horas de um componente de um tipo de aparelhos de radar é uma
variável aleatória X cuja f.d.p. é
0.1e −0.1x
f ( x) = 
0
a)
b)
para x > 0
para x ≤ 0
Menos de 4 x 103 horas?
Entre 5 x 103 e 10 x 103 horas?
2.
A quilometragem (em milhares de quilómetros) que um dono de um carro realiza com um
certo tipo de pneus é uma variável aleatória com uma distribuição exponencial com θ=40.
Encontre as probabilidades de um desses pneus dure.
no mínimo 20 000 quilómetros;
a)
no máximo 30 000 quilómetros.
b)
3.
O tempo que um relógio de pêndulo trabalha sem necessidade de dar corda é uma variável
aleatória com uma distribuição exponencial com θ=120 dias. Encontre as probabilidades
para tal relógio de:
necessitar de corda em menos de 24 dias;
a)
não necessitar de corda, no mínimo, durante 180 dias.
b)
NORMAL
4.
O intervalo de tempo que um ferry demora a fazer a travessia entre duas ilhas é normalmente
distribuído com média de 2 horas e desvio padrão de 12 minutos. Nas últimas viagens, qual
a proporção de vezes que o ferry fez a travessia em:
Menos de 1 hora e 45 minutos?
a)
Mais de 2 horas e 5 minutos?
b)
Entre 1 hora e 50 minutos e 2 horas e 20 minutos?
c)
5.
Alguns fabricantes automóveis desenvolvem os sensores de emissão de forma a estes serem
substituídos depois de 100 000 milhas. Um desses fabricantes determinou que o tempo de
serviço (em meses), desses sensores, segue uma distribuição normal com média 48 meses e
desvio padrão de 9 meses.
O fabricante decidiu dar uma garantia aos sensores de 3 anos. Que percentagem de
a)
sensores não satisfazem a garantia?
b)
O fabricante decidiu substituir apenas 1% de todos os sensores. Qual deverá ser a
duração da garantia (em meses)?
6.
Seja X o número de minutos depois das 11:00 que um autocarro deixa a estação. Assuma
que a distribuição do tempo é aproximadamente normal com média 15 e desvio padrão de 4
minutos.
Se uma pessoa chegar à estação às 11:10, qual a probabilidade dessa pessoa ter
a)
perdido o autocarro?
14
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b)
7.
Se a pessoa estiver disposta correr um risco de 20% de perder o autocarro, qual o
número máximo de minutos depois das 11:00 que poderá chegar à estação?
A que horas deverá chegar à estação para ter uma probabilidade de 50% de apanhar o
c)
autocarro?
As classificações de um exame de admissão a um colégio seguem uma distribuição normal
de média 500 e desvio padrão 100. Determine a probabilidade de um estudante ter
classificação:
superior a 650;
a)
inferior a 250;
b)
entre 325 e 675.
c)
8.
Num processo fotográfico, o tempo de processamento da imagem pode ser visto como uma
variável aleatória que segue uma distribuição normal com µ=15.40 segundos e σ=0.48
segundos. Encontre as probabilidades de o tempo de processamento demorar:
no mínimo 16.00 segundos;
a)
no máximo 14.20 segundos;
b)
entre 15.00 e 15.80 segundos.
c)
9.
Uma fábrica de sapatos sabe que a medida dos pés dos clientes (senhoras) segue a lei
normal, cuja média é 36 cm e o desvio padrão é 1.5cm. O responsável da produção pretende
programar a produção de um novo modelo pelo que necessita da distribuição por medidas.
Qual a percentagem prevista de pares com as medidas 32-34; 34-36; 36-38; 38-40;
a)
40-42?
Numa produção total de 3000 pares, quantos devem ter medidas inferiores a 32cm ou
b)
superiores a 42cm?
APROX. BINOMIAL À NORMAL
10.
Um operador de telecomunicações recebe um carregamento de 800 telemóveis. O fabricante
garante um máximo de 1% dos telemóveis defeituosos. Se a afirmação for verdadeira,
encontre a probabilidade do carregamento conter 15 ou mais telemóveis defeituosos.
11.
30% dos estudantes de uma determinada universidade frequentaram colégios particulares.
Assuma uma amostra aleatória de 50 estudantes.
Qual a probabilidade de exactamente 10 dos estudantes seleccionados terem
a)
frequentado um colégio particular?
Qual a probabilidade de 20 ou mais dos estudantes seleccionados terem frequentado
b)
um colégio particular?
Qual a probabilidade de o número de estudantes provenientes de colégios
c)
particulares estar entre 10 e 20 inclusive?
12.
De um questionário conduzido há 5 anos, concluiu-se que 30% dos adultos de uma cidade
bebiam regularmente álcool. Se esta for ainda a percentagem, qual a probabilidade de, numa
amostra aleatória de 1000 adultos, o número de pessoas que bebe álcool, ser:
Menor que 280?
a)
Maior ou igual a 316?
b)
15
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FICHA Nº 6
MÉDIA
1.
Se uma amostra aleatória de tamanho n=20 duma população normal com variância σ2=225
tem média x = 64.3 :
a)
Construa o intervalo de confiança de 95% para a média da população µ.
Construa também o intervalo de 90% de confiança.
b)
2.
Um inspector alimentar, ao examinar 12 fracos de compota, obteve as seguintes percentagens
de impureza: 2.3, 1.9, 2.1, 2.8, 2.3, 3.6, 1.4, 1.8, 2.1, 3.2, 2.0 e 1.9. Assumindo que estas
determinações são distribuídas normalmente:
Construa o intervalo de 99% de confiança para o teor médio de impurezas nesta marca
a)
de compotas.
Construa também o intervalo de 90% e de 95% de confiança.
b)
3.
Para estudar o crescimento das árvores de pinheiro, um trabalhador registou 40 medições das
alturas de árvores de 1 ano de idade. Os valores obtidos foram:
2.6
1.6
2.0
1.2
1.5
a)
b)
1.9
1.5
1.5
1.2
1.6
1.8
1.4
1.7
1.8
2.2
1.6
1.6
1.5
1.7
2.1
1.4
2.3
1.6
0.8
3.1
2.2
1.5
2.1
1.5
1.7
1.2
1.1
2.8
2.0
1.7
1.6
1.6
1.0
2.2
1.2
Dê uma estimativa pontual das médias das alturas da população dos pinheiros
Com 95.4% de certeza, qual o limite de erro conhecido?
4.
Uma mostra de n=100 empregados de uma companhia foi seleccionada, e, o salário mensal
foi registado. A média e o desvio padrão dos seus salários foram respectivamente x = 177500 e
s=9000. Construa o intervalo de confiança de 95% para o salário médio da população µ.
5.
Uma amostra aleatória de tamanho n é retirada duma população com média µ e desvio padrão
σ. A média e o desvio padrão da amostra são x =45 e s=5.8. Calcule o intervalo de confiança
de 95% para µ usando os seguintes tamanhos da amostra:
a) n=30 b) n=60
c) n=90
Compare os tamanhos dos três intervalos.
DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS
6.
Sejam X 1 e X 2 as médias aritméticas de duas amostras aleatórias e independentes de tamanho
n, tiradas respectivamente das distribuições N (µ1 , σ 2 ) , N (µ 2 , σ 2 ) . Determine n de modo que
σ
σ

P  X 1 − X 2 − < µ1 − µ 2 < X 1 − X 2 +  = 0.90
5
5

7.
Cinco pessoas seleccionadas aleatoriamente foram usadas num teste para medir as suas
capacidades em termos de volume de ar inspirado, antes e depois de um tratamento. Se µ x for
a capacidade média da população antes do tratamento e µ y for a capacidade média da
população depois do tratamento, construa um intervalo de confiança que tenha 90% de
16
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probabilidade de conter µ y − µ x . Defina as condições de aplicabilidade do intervalo.
pessoas
A
B
C
D
E
Volume de ar inspirado
antes (X)
depois (Y)
2750
2850
2360
2380
2950
2930
2830
2860
2250
2320
8.
As capacidades caloríficas do carvão de duas minas são (em milhões de calorias por
tonelada):
Mina A: 8500 8330 8480 7960 8030
Mina B: 7710 7890 7920 8270 7860
Assumindo que os dados constituem amostras independentes de populações normais com
variâncias iguais:
Construa o intervalo de 99% para a diferença entre as verdadeiras médias das
a)
capacidades caloríficas do carvão das duas minas.
Construa também o intervalo de 90%. O que pode concluir?
b)
9.
Duas amostras independentes de tamanho n1 e n2 foram retiradas de duas populações com
médias µ1 e µ 2 e desvios padrão σ 12 e σ 22 respectivamente. A seguinte informação amostral é
conhecida:
Amostra 1: n1 = 50 , x1 = 91.1, s1 = 5.4
Amostra 2: n2 = 50 , x2 = 92.3 , s 2 = 7.6
a)
Estime a diferença e construa o intervalo de 95% de confiança.
Qual o limite de 95% de confiança para o erro na estimação?
b)
PROPORÇÃO
10. Um clube de compras por correio oferece mensalmente produtos que podem ser adquiridos
pelos sócios. É feito um teste de aceitação do produto A enviando-o a 250 sócios, escolhidos
aleatoriamente dentre os 9000 membros. Baseada nesta amostra, somente 70 sócios decidiram
comprar o produto A.
Dê uma estimativa pontual da proporção de sócios que se espera comprem o produto.
a)
Calcule, com 95.4% de certeza, um limite do erro cometido.
b)
11.
Quarenta e uma pessoa, de uma amostra aleatória de 500 trabalhadores, estão desempregadas.
Calcule um intervalo de confiança que tenha 95% de probabilidade de conter a percentagem
de desempregados no país.
12.
Numa pesquisa de mercado, 30 famílias, de uma amostra aleatória de 150, afirmaram que
tencionavam comprar um carro novo no próximo ano. Construa um intervalo de confiança
com 95% de probabilidade de conter a proporção de todas as famílias que tencionam comprar
um carro novo no próximo ano.
13.
Uma amostra aleatória de tamanho n = 60 é retirada duma população binomial com parâmetro
π, a proporção de sucessos na população. A amostra produz x =35 sucessos.
Estime π.
a)
17
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b)
14.
Construa um intervalo de 95% de confiança indicando o erro da estimativa.
Um estudo está a ser conduzido para estimar a proporção de votantes numa grande
comunidade que apoiam a construção duma central nuclear. De 400 votantes seleccionados
aleatoriamente, só 140 apoiam o projecto.
Construa um intervalo de 90% de confiança para a proporção de todos os votantes
a)
nesta comunidade que apoiam o projecto.
Construa também os intervalos de 95% e de 98% de confiança.
b)
DIFERENÇA ENTRE PROPORÇÕES
15. Na freguesia A, 132 votantes de 400 apoiam um candidato à presidência, enquanto que na
freguesia B, 90 votantes de 150 apoiam o mesmo candidato à presidência. Encontre o
intervalo de 99% de confiança para o intervalo (π1-π2), a diferença entre a proporção actual de
votantes das duas freguesias que apoiam o candidato.
16.
Um produtor de extintores de moscas quer comparar duas novas formulações, 1 e 2. Dois
quartos de igual tamanho, cada um contendo 1000 moscas, são usados na experiência, um
tratado com o extintor 1 e o outro tratado com igual quantidade do extintor 2. Um total de 825
e 760 moscas sucumbem aos extintores 1 e 2 respectivamente. Estime a diferença na taxa de
mortalidade dos dois extintores, quando usados no ambiente de teste.
VARIÂNCIA
17. Um relojoeiro pretende conhecer as variações do produto que fabrica. Para construir um
intervalo de confiança para σ, baseou-se numa amostra aleatória de 10 relógios escolhidos
dentre os relógios que passaram o último teste de qualidade. Os valores dos desvios dos 10
relógios, em relação a um relógio padrão foram registados ao fim de um mês. Considere
x = 7 seg. e s = 4 seg. Supondo que a distribuição dessas medidas pode ser aproximada por
uma distribuição normal, determine o intervalo de confiança que tenha 90% de probabilidade
de conter σ.
18.
Um controlador de qualidade numa fábrica de refrigerantes sabe que a quantidade exacta de
cada lata variará, uma vez que existem factores incontroláveis que afectam o enchimento. A
quantidade média é importante, mas também é a variação dessa quantidade. Se é grande,
algumas latas conterão pouco líquido, enquanto que outras terão muito líquido. Para estimar a
variação do enchimento, o supervisor selecciona aleatoriamente 10 latas e determina o volume
do conteúdo de cada uma delas. Foram obtidos os seguintes resultados: x = 32.98 cl. e
s = 0.04 cl. Construa um intervalo de confiança de 90% para a verdadeira variação do
enchimento.
18
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FICHA Nº 7
ERROS TIPO II E II
1.
Deverá decidir quais das duas distribuições discretas descreve o comportamento de uma
variável aleatória X. Chamaremos às distribuições p0 (x ) e p1 (x ) . As probabilidades
associadas a cada valor de X=x são as seguintes nos dois modelos:
x
0
1
2
3
4
5
6
p0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,1 0,3
p1 0,2 0,1 0,1 0,2 0,2 0,1 0,1
Observe a variável X uma única vez e formule:
H0: p0 é a distribuição correcta
H1: p1 é a distribuição correcta
Um procedimento possível de decisão consiste em não rejeitar H0 se X=4 ou X=6 e rejeitar
H0 nos outros casos.
Determine a probabilidade de cometer um erro do tipo I;
a)
Determine a probabilidade de cometer um erro do tipo II.
b)
2.
Um experimentador testou diferenças de atitude quanto ao fumar, antes e depois de um filme
sobre cancro do pulmão ter sido visionado. Foi encontrada uma diferença significativa entre
os níveis de α = 0.05 e α = 0.02
a)
Qual é a hipótese nula assumida?
Qual o nível que indica o maior grau de significância, 0.05 ou 0.02? Justifique.
b)
Para α = 0.05 , rejeitar-se-á H1? Justifique. Será H1 rejeitada para α = 0.02 ?
c)
Justifique.
Ao escolher α = 0.02 em vez de α = 0.05 , aumenta-se o risco de um dos dois tipos de
d)
erro? Qual? Justifique.
3.
O espaço amostral da “estatística” de um teste é formado por cinco valores {a,b,c,d,e}.
Considere o teste sobre a função de probabilidade da variável X, de f 0 (x ) e f1 ( x ) , definidas
da seguinte maneira:
X
f0(x)
a
0
f1(x) 0,3
a)
b)
4.
b
c
d
e
0,1 0,2 0,3 0,4
0
0,2 0,4 0,1
Calcule as funções α e β, probabilidades associadas com os erros do tipo I e II,
respectivamente, se for definida como região de rejeição o conjunto
C1={b,c}
i)
C2={d}
ii)
Face aos resultados de a) qual o melhor teste (associado à região de rejeição C1 ou
C2)? Justifique.
Baseado em determinado conjunto de dados, a hipótese nula é rejeitada ao nível de
significância de 0.05. Seria também rejeitada ao nível de significância de:
0.01?
a)
0.10?
b)
19
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5.
6.
Num determinado teste de hipótese, o valor p correspondente à estatística é de 0.0316. Pode
a hipótese nula ser rejeitada ao nível de significância de:
0.01?
a)
0.05?
b)
0.10?
c)
Os testes de gravidez vendidos na farmácia têm uma ampla utilização. Assuma que a
maioria das mulheres preferirá cometer o erro de pensar que está grávida, quando de facto
não está, em oposição a pensar que está grávida, quando na realidade está.
Assumindo a hipótese nula “estar grávida”, os fabricantes destes testes deverão tentar
a)
minimizar o erro tipo I ou o erro tipo II?
Na tabela que se segue são apresentados dados hipotéticos relativos a um teste do
b)
produto:
i)
ii)
iii)
iv)
Resultado do teste
Estado real
Positivo Negativo
Grávida
388
5
Não Grávida
12
432
Qual a probabilidade do teste dar uma decisão correcta para uma mulher
grávida?
Qual a probabilidade de cometer um erro tipo I?
Qual a probabilidade de cometer um erro tipo II?
Quais os valores para a sensibilidade especificidade do teste?
MÉDIA
7.
De acordo com as normas estabelecidas para um teste de compreensão de leitura, os alunos
do oitavo ano devem ter uma média de 84.3 com um desvio padrão de 8.6. Se 45 alunos,
seleccionados aleatoriamente num certo distrito, têm uma média de 87.7, teste a hipótese
nula µ = 84.3 contra a hipótese alternativa µ > 84.3 a um nível de significância de 0.01.
8.
Suponha que é conhecido pela experiência que o desvio padrão do peso de 8 g de bolos
fabricados por uma certa padaria é 0.18 g. Para verificar se a produção está sobre controlo,
isto é, para verificar se o verdadeiro peso médio dos pacotes é de 8 g, foi extraída uma
amostra aleatória de 25 pacotes sendo a sua média x = 8.172 g . Uma vez que a padaria perde
dinheiro quando µ > 8 e os clientes o perdem quando µ < 8 , teste a hipótese nula µ = 8
contra a hipótese alternativa µ ≠ 8 usando α = 0.01 .
9.
Suponha que é necessário que a resistência à ruptura de um certo tipo de fita seja de 83.9 kg
e que 5 peças seleccionadas aleatoriamente de diferentes rolos têm uma resistência média de
83.05 kg com um desvio padrão de 3.72 kg. Assumindo que os dados provêm de uma
amostra aleatória de uma população normal, teste a hipótese nula µ = 83.9 contra a hipótese
alternativa µ < 83.9 a um nível de significância de α = 0.05 .
10.
Em doze corridas numa pista, um novo barco gastou um tempo médio de 33.6 segundos com
um desvio padrão de 2.3 segundos. Assumindo ser razoável tratar os dados como uma
20
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amostra aleatória duma população normal, teste a hipótese nula µ = 35 contra a alternativa
µ < 35 ao nível de significância de 0.05.
DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS
11.
Na comparação de dois tipos de tinta constatou-se que com 4 latas de tinta de uma marca se
pintou uma superfície de 512 cm2 com um desvio padrão de 31 cm2, enquanto que com a
mesma quantidade de outra tinta se conseguiu pintar uma superfície de 492 cm2 com um
desvio padrão de 26 cm2. Teste a hipótese nula µ1 − µ 2 = 0 contra a hipótese alternativa
µ1 − µ 2 ≠ 0 , a um nível de significância α = 0.05 . Considere que as duas populações são
normais e têm variâncias iguais.
12.
Os dados registam o número médio de horas-homem perdidas devidas a acidentes em 10
fábricas, antes e depois de um programa de higiene e segurança ter sido implementado:
Antes
Depois
45
36
73
60
46 124 33
44 119 35
57
51
83
77
34
29
26
24
17
11
Use o nível de significância de 0.05 para testar se o programa de higiene e segurança é
eficaz.
13.
Experimentou-se uma nova máquina de enchimento estéril de frascos de antibióticos,
obtendo-se para os 33 frascos, o peso médio de 1093 mg e um desvio padrão de 36 mg. Pelo
processo de enchimento manual, uma amostra de 30 frascos deu o peso médio de 1122 mg e
um desvio padrão de 23 mg. Acha que existe uma diferença significativa entre as médias dos
pesos obtidos pelos dois processos?
14.
Os teores de nicotina de duas marcas de cigarros estão a ser medidos. Se numa experiência
50 cigarros da marca A têm um teor médio de nicotina de y1 = 2.61 mg com um desvio
padrão de s1 = 0.12 mg, enquanto que os 40 cigarros da marca B têm um teor médio de
nicotina de y 2 = 2.38 mg com um desvio padrão de s 2 = 0.14 mg, teste a hipótese nula
µ1 − µ 2 = 0.2 contra a hipótese alternativa µ1 − µ 2 ≠ 0.2 , usando α = 0.05 .
15.
Um estudo pretende comparar a atitude das pessoas sobre o feminismo com o seu grau de
autoritarismo. Foram usadas duas amostras: uma de 30 pessoas que foram classificadas de
muito autoritárias, e outra de 31, classificadas de pouco autoritárias. A cada pessoa foi dado
um questionário com 18 questões, e as pontuações finais registadas variavam desde o 18 ao
90 (pontuações altas indicavam uma atitude pro-feminismo). Do estudo obtivemos as
seguintes estatísticas:
x
Autoritarismo
n
s
elevado
baixo
30
31
67.7
52.4
11.8
13.0
Teste a hipótese nula de que o autoritarismo não é um factor que influencia a atitude da
pessoa em relação ao feminismo.
21
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Prof. Ana Cristina Braga
16.
Um estudo, sobre o número de almoços que executivos nos seguros e na banca apresentam
como despesas dedutíveis num mês, foi baseado em amostras aleatórias que produziram os
seguintes resultados:
n1 = 40 , x1 = 9.1 , s1 = 1.9
n 2 = 50 , x 2 = 8.0 , s 2 = 2.1
O que pode concluir?
PROPORÇÃO
17.
Um novo tratamento para a esquizofrenia foi testado durante seis meses com 54 doentes
seleccionados aleatoriamente. Ao fim desse período foi dada alta a 25 doentes. A proporção
usual em seis meses é de 1/3. Usando uma aproximação normal à distribuição binomial,
determine se o novo tratamento resultou em maior número de altas que o tratamento anterior
(α=0.05).
18.
Dentre as 60 lâminas testadas somente 7 lâminas do rotor de uma turbina a gaz falharam.
Até agora e em testes idênticos costumavam falhar 20% das lâminas. Serão agora as lâminas
testadas significativamente melhores que as usadas anteriormente?
19.
Num determinado país, uma série de testes conduzidos num aeroporto mostraram que os
seguranças só detectaram 72 das 100 armas falsas levadas por inspectores. Esta taxa de
detecção está abaixo da taxa nacional de detecção de 80%. Há evidência suficiente para
concluir que a detecção no referido aeroporto está abaixo da taxa nacional? Use α=0.01.
20.
Considere os dados descritos na seguinte tabela:
Doentes Não doentes
a)
b)
Raio X +
1739
8
Raio X -
51
22
Determine um intervalo de confiança 95% para a sensibilidade do teste.
Teste a hipótese da especificidade ser 70%.
DIFERENÇA ENTRE PROPORÇÕES
21.
Em 1990, 371 empresas foram seleccionadas para determinar em que medida disponham de
sistemas de informação em logística. Cinco anos mais tarde, em 1995, 459 empresas foram
seleccionadas para determinar a evolução do uso destes sistemas de informação. Assim, a
percentagem varia de 1990 para 1995, de 25% para 33%. Permitem os dados concluir que
houve um aumento significativo de empresas que dispõem de sistemas de informação em
logística? Use α=0.05.
22
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Prof. Ana Cristina Braga
FICHA Nº 8
1.
A dois grupos diferentes de doentes administraram-se os tratamentos A e B, tendo-se obtido
os resultados seguintes:
Trat. A Trat. B
Sucesso
14
11
Insucesso
17
18
As percentagens de sucesso diferem significativamente? Use α=0.05.
2.
Um ensaio destinado a comparar dois tratamentos, A e B, foi realizado em 100 doentes que
receberam sucessivamente os dois tratamentos numa ordem aleatória. Os resultados foram os
seguintes:
Trat. A
+
-
Trat. B + 45
5
- 15 35
Poderemos concluir que o tratamento A é melhor que o B? Use α=0.05.
3.
Num inquérito sobre a etiologia do cancro do pulmão interrogou-se um grupo de cancerosos e
um grupo de controle (testemunhas não cancerosos) tendo-se encontrado:
Cancerosos Testemunhas total
Fumadores
10
15
25
Não fumadores
3
8
11
total
13
23
36
A diferença de percentagem de não fumadores nos dois grupos é significativa? Use α=0.01.
4.
Considere os dados relativos ao tratamento da cistite que se apresenta na tabela seguinte:
Tratamento
Cura Trimetoprim Amoxacilina Cyclacilina Total
Sim
22
12
6
40
Não
4
12
14
30
Total
26
24
20
70
Verifique se a ocorrência de cura de infecção é independente do antibiótico utilizado. Use
α=0.05.
5.
Um total de 141 doentes com tumores cerebrais foi duplamente classificado em termos do
tipo de tumor (B-benigno, M-maligno, O-outros) e local do tumor (F-lóbulos frontais, T23
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lóbulos temporais, A-outras áreas). Trinta e oito doentes apresentavam um tumor localizado
nos lóbulos frontais, 28 doentes nos lóbulos temporais e 75 noutras áreas. Dos 78 doentes
com tumores benignos, 23 eram frontais, 21 temporais e os restantes noutras áreas. Nos
doentes com tumores malignos, 9 eram frontais, 4 temporais e 24 noutras áreas.
Construa a tabela de contingência referente à distribuição dos doentes segundo o tipo e
localização do tumor.
b)
Teste a hipótese de as duas classificações serem independentes. Use α=0.05
Foi escolhido ao acaso um cavalo para correr 80 corridas. Em cada corrida o cavalo foi
classificado de acordo com a posição no início da corrida e a posição em que ficou no final. A
tabela das frequências observadas é a seguinte:
Posição
inicial
6.
a)
1
Posição final
2
3
1a4
8
6
8
16
5a9
3
6
5
28
outras
Verifique se os dados são consistentes com a afirmação de que a posição do cavalo no final da
corrida não depende da posição inicial dada no início da corrida.
7.
Foram encontrados 77 parafusos partidos na estrutura metálica da estação dos comboios da
Vila Grande. O investigador do acontecimento considerou como hipótese nula o facto de que
a localização e a causa da fractura não estão relacionadas. Os dados registados das fracturas
encontradas são os seguintes:
localização da fractura
causa da
fractura
fogo
outras
base
meio
extremidade
21
15
8
11
18
4
Que conclusões poderá tirar o investigador do estudo, supondo que considera
α=0.05
a)
α=0.025
b)
8.
Num estudo sobre a opinião dos pais acerca dum curso em educação sexual, 360 pais, uma
amostra aleatória, foram classificados de acordo com o facto de terem uma, duas ou mais
crianças no sistema escolar, e, também se achavam o curso fraco, adequado ou bom. Baseado
nestes resultados, apresentados na tabela, teste, ao nível de significância de 0.05, se existe
uma relação entre a reacção dos pais ao curso e o número de crianças que têm no sistema
escolar.
Nº de Crianças
Opinião Curso
Fraco
Adequado
Bom
1
48
55
57
2
40
53
46
3 ou mais
12
29
20
24
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9.
Foi feito um inquérito às populações rural e urbana do concelho de Vila Boa para determinar
as preferências relativas aos programas de televisão do canal 3. A amostra conseguida
apresenta os seguintes resultados:
Zona
Urbana
Rural
Comédia
100
70
Tipos de programas preferidos
Musical
Desportivo
60
100
40
50
Policial
80
70
Teste a hipótese de que não existem diferenças nas preferências de programas entre os
residentes das zonas urbana e rural.
10.
Vai ser proposta uma nova Regulamentação para os dormitórios de um colégio de estudantes.
Pedida a opinião sobre a proposta a um grupo de 350 estudantes, registaram-se as seguintes
frequências:
Estudante
Sexo Masculino
Sexo Feminino
Opinião sobre a proposta
a favor
contra
indiferente
93
21
72
55
30
79
Verifique se estes dados são consistentes com a afirmação de que a opinião sobre a proposta é
a mesma, quer o estudante seja do sexo masculino ou do sexo feminino.
11.
Foi feita uma pesquisa de mercado a várias empresas de negócios de diversas dimensões. Para
cada grupo de empresas, foram enviados 200 questionários. As empresas foram classificadas
de acordo com o volume de negócios como: pequena empresa, média empresa, grande
empresa. Os resultados foram resumidos no quadro:
Responderam
Não responderam
Dimensão da empresa
pequena média
grande
125
82
40
75
118
160
Interessa-nos saber se as proporções das respostas ao questionário recebidas variam com a
dimensão da empresa.
25
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FICHA Nº 9
1.
A Lei de Ohm diz que a intensidade de corrente I num fio de metal é proporcional à diferença
de potencial V aplicada nos seus extremos e, inversamente proporcional à resistência R no fio.
Usando uma equação, a lei de Ohm é descrita por I =
V
.
R
Num laboratório, os estudantes realizaram várias experiências para estudar esta lei. Variaram
a diferença de potencial V e para cada valor leram o valor da intensidade I. Pretendiam assim
determinar o valor de R para aquele fio.
1
Podemos escrever a Lei de Ohm na forma I = β 0 ´+ β1V , com β 0 ´= 0 e β1 = .
R
Os dados obtidos a partir das experiências foram:
V
I
1,0
1,19
1,5
1,62
1,8
2,00
2,0
2,40
1
para aquele cabo?
R
a)
Qual a estimativa de
b)
Construa um intervalo de confiança de 95% para.
c)
Como a Lei de Ohm define no modelo o valor β 0 ´= 0 . Faça um teste estatístico em
relação a esta hipótese.
Calcule a estimativa para a resistência R e determine um intervalo de confiança de
95% para R.
Estime o valor esperado da intensidade I, para uma diferença de potencial de 1.2. Qual
o erro desta estimativa.
d)
e)
2.
0,5
0,52
1
R
Pensa-se que a frequência do chilrear de um grilo está relacionada com a temperatura. Isto
sugere a possibilidade da temperatura poder ser prevista a partir da frequência do chilrear.
Registaram-se os seguintes valores de frequência e da temperatura para o grilo listado:
freq. do chilrear / seg, (X)
temperatura, ºF, (Y)
20
89
16
72
20
93
18
84
17
81
16
75
15
70
Pressupondo um modelo normal:
Estime a temperatura para uma frequência de 19.
a)
b)
Construa um intervalo de confiança para β 0 + β1 (19 − X ) . Use α=0.05
c)
3.
Calcule o coeficiente de determinação e represente graficamente os resíduos. O que
conclui sobre o modelo?
Determine a relação existente entre o calor envolvido no endurecimento, representado pela
variável Y e os pesos de duas substâncias X1 e X2, tendo em consideração os seguintes valores
obtidos numa experiência:
Y
X1
78,5
7
X2
26
74,3 104,3
1
11
29
59
87,6
11
31
95,6 109,2 102,7
7
11
3
52
55
71
72,5
1
31
93,1 115,9
2
21
54
47
26
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4.
5.
Os dados representam os resultados obtidos por 10 alunos num exame, os seus Coeficientes
de Inteligência e o número de horas de estudo para o exame:
Q.I.
Horas
Resultado
112
5
79
126
13
97
100
3
51
114
7
65
112
11
82
121
9
93
110
8
81
103
4
38
111
6
60
124
2
86
a)
Assumindo uma relação linear, estime os valores de β0, β1, β2.
b)
Preveja o resultado de um estudante com um Coeficiente de Inteligência de 108 que
estudou 6 horas para o exame.
Para calcular a capacidade de um aparelho “air flow” foram recolhidas seis amostras de lã de
diâmetros di, i =1,2,…,6, conhecidos. As alturas nano métricas do aparelho, h, estão
k2
relacionadas com os diâmetros das fibras de lã utilizadas, segundo a expressão hi = k1d i ui ,
em que ui são os erros casuais de observação. O logaritmo decimal da variável u segue uma
distribuição normal com média zero e variância σ2.
Estime os valores dos parâmetros k1 e k2 que definem o modelo, considerando os resultados
obtidos numa experiência:
d (µ )
19.84
20.95
22.25
24.46
26.30
30.18
h (mm)
6.
335.0
330.3
293.5
239.3
205.9
160.2
A tabela seguinte relaciona o número de bactérias por unidade de volume, presentes numa
cultura, após um intervalo de tempo dado:
Tempo em horas, x
0
1
2
3
4
5
6
Nº de bactérias por unidade de volume, y 32 48 66 94 133 189 276
a)
Ajuste um modelo do tipo y = a.b x em que a e b são os parâmetros desconhecidos.
b)
Compare os valores observados com os valores dados pelo ajuste. Qual a qualidade do
ajuste?
c)
Estime o número provável de bactérias após 4 horas e meia.
27
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FICHA Nº 10
1.
2.
Num ensaio clínico aleatório, 154 mulheres com cancro da mama foram submetidas a um
tratamento com quimioterapia. Um outro grupo com 164 mulheres foi sujeita a um outro
tratamento à base de quimioterapia e radioterapia. Após 15 anos foi averiguado as que
sobreviveram, tendo-se obtido os seguintes resultados:
Quimioterapia
Quimioterapia+Radioterapia
Faleceram
78
66
Sobreviveram
76
98
a)
Calcule a razão das possibilidades para esta amostra. Interprete o seu valor.
b)
Determine um intervalo de confiança a 95% para o valor da razão das possibilidades
na população.
Dois medicamentos, Zidovudine e Didanosine, foram testados quanto ao desempenho na
prevenção da progressão de HIV em crianças. Num ensaio clínico, foi administrada a
Zidovudine a 276 crianças com HIV e a um outro grupo de 281 crianças com HIV foi
administrada a Didanosine. A tabela seguinte mostra os resultados para a sobrevivência com
as duas drogas:
Zidovudine Didanosine
Faleceram
17
7
Sobreviveram
259
274
a)
Calcule a razão das possibilidades para esta amostra. Interprete o seu valor.
b)
Determine um intervalo de confiança a 90% para o valor da razão das possibilidades
na população.
28