ISSN 1984-8218
O Estudo da Propagação das Plantas Anuais
com Parâmetros Fuzzy
Jennifer Cristina Borges∗
Rosana Sueli da Motta Jafelice†
Faculdade de Matemática, UFU
38400-100, Uberlândia, MG
E-mail: [email protected], [email protected],
Rosinês Luciana da Motta‡
Equilı́brio Proteção Florestal
13416-222, Piracicaba, SP
E-mail: motta [email protected].
RESUMO
As Plantas anuais produzem sementes ao fim de cada verão. A cada ano, as plantas crescem,
florescem e morrem, deixando seus descendentes na forma de sementes dormentes. As sementes
que sobrevivem ao inverno produzem uma nova geração. No ano seguinte, enquanto uma fração
das sementes que sobreviveram germinam, outras podem permanecer dormentes por mais um
ano. Um modelo elaborado por [1] descreve a dinâmica de plantas anuais, considerando um
banco de sementes de dois anos. Esse modelo considera apenas o número de plantas em cada
geração, isto é, o meio é considerado espacialmente homogêneo. O modelo apresentado por
[2] modificou o anterior, considerando um banco de sementes de três anos, com parâmetros
constantes.
O objetivo deste trabalho é descrever a dinâmica das plantas anuais considerando um banco
de sementes de três anos e analisar a fração de sementes que germinaram como um parâmetro
fuzzy, que depende da profundidade da semente no solo e da temperatura ambiente.
Em seguida definimos as variáveis.
Pn = número de plantas na geração n;
γ = número de sementes produzidas por planta em agosto;
α = fração de sementes com um ano de idade que germinaram em maio;
β = fração de sementes com dois anos de idade que germinaram em maio;
δ = fração de sementes com três anos de idade que germinaram em maio;
σ = fração de sementes que sobreviveram a um dado inverno.
Consideramos α, β e δ como parâmetros fuzzy que dependem da temperatura do ambiente
(t) e a profundidade da semente no solo (s). Assim, obtemos a equação de diferenças:
Pn = α(t, s)σγPn−1 + β(t, s)σ(1 − α(t, s))σγPn−2 + δ(t, s)σ(1 − β(t, s))σ(1 − α(t, s))σγPn−3 . (1)
Para simplificar façamos:
a = α(t, s)σγ, b = β(t, s)σ(1 − α(t, s))σγ
e c = δ(t, s)σ(1 − β(t, s))σ(1 − α(t, s))σγ.
Assim, Pn = aPn−1 + bPn−2 + cPn−3 , substituindo Pn = dλn e considerando λ ̸= 0 obtemos:
λ3 − aλ2 − bλ − c = 0. Dependendo dos parâmetros da equação de terceiro grau anterior a
população Pn cresce ou decresce, ou seja, Pn = dλn , o comportamento de Pn depende de λ.
Para λ = 1, temos a equação da seguinte forma: 1 = a + b + c. Substituindo os valores de a, b e
∗
Aluna do PETMAT-UFU. Agradecemos ao SESu/MEC e à FAPEMIG pelo apoio financeiro.
Agradecemos ao CNPq (Processo no 477918/2010-7) e à FAPEMIG pelo apoio financeiro.
‡
Bolsista Rhae - MCT/CNPq - Equilı́brio Florestal.
†
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c, colocando γ em evidência e considerando m = α(t, s)σ + β(t, s)σ(1 − α(t, s))σ + δ(t, s)σ(1 −
β(t, s))σ(1−α(t, s))σ, obtemos: γ = 1/m. Se λ > 1 então γ > 1/m, logo, Pn cresce. Se γ < 1/m
então Pn decresce.
Construı́mos um Sistema Baseado em Regras Fuzzy (SBRF) onde as entradas são a temperatura ambiente e a profundidade da semente no solo; e a saı́da é a germinação. As funções de
pertinência são trapezoidais. O método de inferência usado é o de Mamdani e o de defuzzificação
é o Centro de Gravidade. As regras fuzzy são construı́das utilizando informações obtidas de um
especialista na área de ciências biológicas e da literatura [3]. Os dados utilizados no exemplo
são da espécie Xanthium Strumarium L., conhecida também como carrapicho-grande, que é uma
planta de propagação anual. O carrapicho-grande é considerado uma planta medicinal de grande
importância devido as suas folhas e raı́zes conterem substâncias que atuam como diurético, laxante, sedativo, entre outros. A maior porcentagem de germinação de sementes desta planta
ocorre quando as temperaturas estão entre 20◦ C e 30◦ C e a profundidade entre 1cm e 8cm. Na
Tabela 1 apresentamos três casos de propagação de plantas anuais, onde as temperaturas são
diferentes e a profundidade é a mesma. Nestes exemplos não são considerados alterações no
solo.
1◦
Caso
2◦ Caso
3◦ Caso
s
7 cm
12 cm
25 cm
t (1o ano)
30◦
24◦
7◦
t (2o ano)
22◦
20◦
2◦
t (3o ano)
25◦
14◦
8◦
α
0.8759
0.4813
0.1628
β
0.7138
0.163
0.1443
δ
0.8759
0.1443
0.1724
1/m
1.7726
2.7163
5.9575
Tabela 1: Valores utilizados nos três casos de propagação de plantas.
A Figura 1 apresenta a solução numérica da equação de diferenças (1) para cada caso estudado, considerando γ = 5 e σ = 0.6.
7000
1° Caso
2° Caso
3° Caso
6000
Número de plantas
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
1
2
3
Geração
4
5
6
Figura 1: Gráfico do número de plantas com seis gerações para P1 = 100, P2 = 105 e P3 =110.
Concluı́mos que o modelo proposto está compatı́vel com a teoria estudada, pois no 1◦ e 2◦
caso temos γ > 1/m (Tabela 1) então Pn cresce. No 3◦ caso, temos γ < 1/m (Tabela 1) então
Pn decresce. Observamos também que nas temperaturas entre 20◦ C e 30◦ C, houve uma maior
porcentagem de germinações, como afirma [3], a temperatura é essencial para a propagação de
uma planta anual.
Palavras-chave: Propagação de plantas, Conjuntos Fuzzy, Equações de Diferenças.
Referências
[1] L. Edelstein-Keshet, “ Mathematical Models in Biology”, Birkhãuser Mathematics Series,
United States of America, 1988.
[2] E.M. Moura e R.S.M. Jafelice, Aplicações com Equações de Diferenças: Progressão
Geométrica e Solução de Equação do Terceiro Grau, FAMAT em Revista, 3 (2004) 2742.
[3] S.E. Weaver e M.J. Lechowitz, The biology of Canadian weeds, Canadian Journal of Plant
Science, 63 (1983) 211-225.
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