ERMAC 2010: I ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL
11 - 13 de Novembro de 2010, São João del-Rei, MG; pg 194 - 199
194
Cálculo do Raio Crítico de Pontos Quânticos Cilíndricos e Esféricos
Paulo César M. Machado, Sérgio A. de Figueiredo, Mara Grace S. Figueiredo e
Leonardo da C. Brito
Escola de Engenharia Elétrica e de Computação, EEEC, UFG
CaixaPostal: 131, 74001-970, Goiânia, GO
E-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Resumo: Neste trabalho apresentamos as soluções analíticas para o cálculo do raio de pontos
quânticos cilíndricos e esféricos em que o elétron possui energia nula, isto é, o elétron está
num estado de transição entre um estado ligado à impureza central (energia negativa) e um
estado desligado da impureza (energia positiva). Apresentamos também o método numérico
utilizado para resolver as equações transcendentais obtidas, envolvendo a função de Bessel e a
segunda solução da equação hipergeométrica confluente e suas derivadas.
1. Introdução
Pontos quânticos (PQ) são estruturas semicondutoras quase-zero-dimensionais onde os elétrons
são confinados nas três dimensões espaciais. Nos últimos anos os PQ têm atraído muita atenção
devido, dentre outras, às suas potenciais aplicações em circuitos integrados nano-eletrônicos
uma vez que os níveis de integração requeridos não estão ao alcance da tecnologia atual de
transistores [4]. Os PQ podem apresentar diferentes formas geométricas: esféricos, piramidais,
cilíndricos, etc [3,6]. Denominamos disco quântico (DQ) ao ponto quântico cilíndrico em que a
altura do cilindro é muito menor que o diâmetro da face circular.
Um dos interesses em PQ é o cálculo dos níveis de energia de impurezas doadoras
hidrogenóides localizadas em tais estruturas. O modelo mais comumente utilizado nesse estudo
considera que os elétrons não podem escapar para o exterior do ponto, o que corresponde ao
modelo de barreiras de potencial de alturas infinitas. A principal vantagem deste tipo de
aproximação é o fato de simplificar os cálculos e dar uma visão qualitativa do sistema.
Dependendo do valor do raio do PQ, o elétron pode ter energia negativa, representando estados
em que o elétron está ligado à impureza doadora ou energia positiva, representando estados em
que o elétron está desligado da impureza doadora, mas ainda está confinado no PQ.
Neste trabalho utilizamos um modelo mais realista, que considera a barreira de potencial de
altura finita, e calculamos o valor do raio do disco quântico (DQ) e do ponto quântico esférico
(PQE) correspondente à energia nula do elétron, que chamaremos de raio crítico. Raio crítico é,
portanto, o valor do raio do PQ para o qual o elétron se desliga da impureza.
A principal razão de se calcular o raio crítico de pontos quânticos é limitar a região da procura
de raízes das equações transcendentais que fornecem os níveis de energia do elétron ligado à
impureza: para raios do PQ maiores que o raio crítico a energia do elétron é negativa,
representando estados ligados, e existe uma única raiz real; para raios do PQ menores que o
raio crítico a energia do elétron é positiva, representando estados desligados, e só existem
raízes complexas.
2. Metodologia
A equação de Schrödinger de um elétron ligado à uma impureza doadora hidrogenóide central
num PQ, sujeito a um potencial de confinamento V(r) é escrita na forma
 2 2 e2

−
∇ −
+ V (r ) ψ = Eψ
 2m *

ε 0r


(1)
195
2.1 Disco Quântico (DQ)
Primeiro consideramos a impureza localizada no centro de um DQ circular de raio R.
Consideramos o movimento do elétron apenas no plano (r,θ) e que o potencial na direção z,
perpendicular ao plano (r,θ), seja mais intenso que nas outras duas direções, de tal modo que
desprezamos seus efeitos sobre a dinâmica do movimento eletrônico.
Em coordenadas cilíndricas e unidades adimensionais, onde os comprimentos são escritos em
unidades de raio de Bohr efetivo, a 0 = (ε 0  2 ) (m1* e 2 ) e as energias em unidades de Rydberg
efetivo, Ry = (e 2 ) (2m1* a 02 ) , escrevemos a eq. (1) da seguinte forma:
 ∂ 2ψ 1 ∂ψ
1 ∂ 2ψ 
2
− 2 +
+ 2
+ V (r ) − ψ = Eψ
2
 ∂r

r ∂r r ∂θ 
r

(2)
A equação (2) é separável e sendo assim, escrevemos,
ψ (r , θ ) = F (r )e imθ ,
m = 0, ± 1 ,±2, ...
(3)
Substituindo-se esta expressão na equação (2), obtemos as seguintes equações diferenciais
ordinárias satisfeitas pela função F(r), dentro do DQ (r < R), conforme a eq. (4) e fora do DQ
(r > R), conforme a eq. (5):
(
)
r 2 F ′′(r ) + rF ′(r ) + 2r + Er 2 − m 2 F (r ) = 0
δ r 2 F ′′(r ) + δ rF ′(r ) + [2r − (V0 − E )r 2 − δ m 2 ]F (r ) = 0
(4)
(5)
onde F ′(r ) e F ′′(r ) denotam as derivadas de primeira e segunda ordem de F (r ) e o parâmetro
δ é dado pela relação δ = m1* / m 2* .
A equação (4) dentro do DQ para E = 0 fica:
(
)
r 2 F ′′(r ) + rF ′(r ) + 2r − m 2 F (r ) = 0
(6)
Comparando com a equação de Bessel modificada [1]
(
)
x 2Y ′′( x) + (1 − 2 s ) xY ′( x) + s 2 − γ 2 a 2 + γ 2 β 2 x 2γ Y ( x) = 0
(7)
Para x ≡ r e Y(x) ≡ F(r), obtemos: s = 0, γ = ½, β = 2 2 e a = 2m.
As soluções da eq. (7) são [1]:
Y ( x) = Ax s J a ( β x γ )
(8)
onde Ja são as soluções da equação de Bessel de índice a. Então as soluções da eq. (6) são:
F (r ) = AJ 2 m (2 2 r 1 / 2 )
(9)
E, portanto, na região dentro do DQ:
ψ 1 (r , θ ) = AJ 2 m (2 2 r 1 / 2 )e imθ ,
r≤R
(10)
196
Resolvendo a eq. (5) fora do DQ para E = 0:
δ r 2 F ′′(r ) + δ rF ′(r ) + [2r − V0 r 2 − δ m 2 ]F (r ) = 0
(11)
Pode-se, através da mudança de coordenadas ξ = 2r /(λδ ) , colocar a eq. (11) na forma,
F ′′(ξ ) +
 λ 1 m2
+ − − 2
ξ 4 ξ

F ′(ξ )
ξ

F = 0


(12)
onde o parâmetro λ é um número real e positivo dado pela relação λ2 = 1 /(δ V0 ) . A derivada
primeira da eq. (12) é eliminada fazendo a transformação F (ξ ) = φ (ξ )
λ 1
φ ′′(ξ ) +  − +
ξ 4

1
4
ξ , obtendo a equação
− m 2 
φ (ξ ) = 0
ξ 2 
(13)
que é a conhecida equação de Whittaker [1], com solução em função da equação
hipergeométrica confluente. Como condição de contorno, a solução da eq. (13) deve ir a zero
quando r for para infinito. Esta restrição não é satisfeita pela primeira solução da equação
hipergeométrica confluente, M (a, b; x) . Devemos então usar a segunda solução, U (a, b; x) [2]:
U (a, b; x) =
M (a − b + 1,2 − b; x) x1−b 
π  M (a, b; x)
−


senπb  (a − b)!(b − 1)!
(1 − a )!(1 − b)!

(14)
onde M (a, b; x) é definida como [2]:
M (a, b; x) = 1 +
ax a (a + 1) x 2
+
+
b.1! b(b + 1).2!
(15)
com b ≠ 0, − 1, − 2,  . Esta função converge para todo x finito, tem uma singularidade no
infinito ( x → ∞ ) e se torna um polinômio se o parâmetro a é zero ou um inteiro negativo.
A solução da eq. (13) é, portanto,
φ (ξ ) = Be −ξ 2ξ U ( m + 1 2 − λ , 2 m + 1; ξ )
m
(16)
onde B é uma constante de normalização. A solução fora do DQ é então dada por:
ψ 2 (r , θ ) = Be
− r /( λδ ) 
2r 


 λδ 
m
2r  imθ

U  m + 1 2 − λ , 2 m + 1;
e
λδ 

r≥R
(17)
Aplicando-se as condições de continuidade da função de onda, ψ 1 (r = R, θ ) = ψ 2 (r = R, θ ) , e
conservação da corrente na interface do DQ, ψ 1′ (r = R, θ ) = δψ 2′ (r = R, θ ) , a equação
transcendental resultante é:
U′ λ  2 
−  
U 2R
1/ 2
(
(2
J 2′ m 2 2 R1 / 2
J 2m
2R
1/ 2
) − 1 1 − m λδ  = 0
R 
) 2
(18)
197
onde U ′ e J ′ denotam, respectivamente, a derivada primeira das funções U e J com relação a
x e U = U ( m + 1 2 − λ , 2 m + 1; 2r /(λδ ) ).
Para um dado número quântico m a solução da equação transcendental (18) fornece o raio do
DQ para qual é nula a energia do elétron ligado à impureza doadora.
2.2 Ponto Quântico Esférico (PQE)
Em coordenadas esféricas e unidades adimensionais a eq. (1) é escrita da seguinte forma,
 1 ∂  2 ∂ψ 
1
∂ 
∂ψ 
1
∂ 2ψ
− 2
r
+ 2
senθ
+ 2




 r ∂r 
∂r  r senθ ∂θ 
∂θ  r sen 2θ ∂ϕ 2


 + V (r ) − 2 ψ = Eψ

r

(19)
Fazendo a separação de variáveis da forma ψ (r , θ , ϕ ) = F (r ) Z (θ )e iLϕ na eq. (19) têm-se,
respectivamente, dentro do PQE (r < R) e na região externa ao PQE (r > R), as eqs. (20) e (21):
r 2 F ′′(r ) + 2rF ′(r ) + [2r + r 2 E − L( L + 1)]F (r ) = 0
δ r 2 F ′′(r ) + 2δ rF ′(r ) + [2r − r 2 (V0 − E ) − δ L( L + 1)]F (r ) = 0
(20)
(21)
Estas equações são resolvidas de maneira análoga ao DQ, obtendo-se a seguinte equação
transcendental:
U′ λ  2 
−  
U 2R
1/ 2
(
(2
J 2′ L +1 2 2 R1 / 2
J 2 L +1
2R
1/ 2
) − 1 1 − L λδ − λ  = 0
R 2R 
) 2
(22)
onde U ′ e J ′ denotam, respectivamente, a derivada primeira das funções U e J com relação a
2R 

x e U = U  L + 1 − λ , 2 L + 2;
.
λδ 

Para um dado número quântico L a solução da equação transcendental (22) fornece o raio do
PQE para qual é nula a energia do elétron ligado à impureza doadora.
3. Resultados
Neste trabalho consideramos uma impureza doadora hidrogenóide localizada no centro de um
PQ de raio R, composto de arseneto de gálio (GaAs) e envolto por arseneto de gálio-alumínio
(AlχGa1-χAs), onde χ é a concentração de alumínio na liga (0≤ χ ≤ 1). A função potencial de
confinamento V(r) assume o valor nulo dentro do PQ (r < R) e valor V0 = 214 meV fora do PQ
(r > R) para uma concentração de alumínio χ = 0,3 [5]. A massa efetiva eletrônica também
assume diferentes valores dentro e fora do PQ, sendo que no GaAs (r < R) m1* = 0,067 me e no
Al0,3Ga0,7As (r > R), m 2* = 0,0919me , onde me é a massa do elétron livre [5]. Para o GaAs o
raio de Bohr efetivo é a 0 = 98,69 Å e o Rydberg efetivo é Ry = 5,83 meV.
3.1 Disco Quântico (DQ)
As Figuras 1 (a) e (b) mostram o comportamento da eq. (18) em função do raio do DQ para m =
0 (1ª sub-banda de energia) e m = 1 (2ª sub-banda de energia). As descontinuidades que
aparecem nessas figuras correspondem aos zeros da função de Bessel, J 2 m (2 2 R1 / 2 ) , que se
encontram tabelados na literatura [2].
198
(a)
(b)
Figura 1: Raios críticos (E = 0) para discos quânticos para (a) m = 0 e (b) m = 1.
A Tabela 1 mostra os quatro primeiros zeros das seis primeiras funções de Bessel de índices
inteiros.
Raízes
1ª
2ª
3ª
4ª
J0(x)
J1(x)
J2(x)
J3(x)
J4(x)
2,4048
3,8317
5,1356
6,3802
7,5883
5,5201
7,0156
8,4172
9,7610
11,0647
8,6537
10,1735
11,6198
13,0152
14,3725
11,7915
13,3237
14,7960
16,2235
17,6160
Tabela 1: Zeros da Função de Bessel – índices inteiros.
J5(x)
8,7715
12,3386
15,7002
18,9801
Pode-se ver nas Figs. 1 (a) e (b) que o zero da eq. (18) é um valor menor que o valor
correspondente à descontinuidade, de maneira que podemos tomar como intervalo que contém
este zero o intervalo [ε, RB – ε], em que ε é um valor muito pequeno e RB é o zero da função de
Bessel. A introdução do valor ε no intervalo se justifica, pois no limite inferior do intervalo não
existe DQ de raio nulo e no limite superior, no valor RB correspondente à descontinuidade, a
eq. (18) apresenta divisão por zero. Utilizamos neste trabalho ε = 0,01.
Para m = 0 tiramos da Tab. 1 que J 0 (2,4048) = 0 . Então 2 2 RB1 / 2 = 2,4048 e, portanto,
RB = 71 Å, que é o valor da descontinuidade na Fig. 1 (a). Para m = 1 tiramos da Tab. 1 que
J 2 (5,1356) = 0 . Então 2 2 RB1 / 2 = 5,1356 e, portanto, RB = 325 Å, que é o valor da
descontinuidade na Fig. 1 (b). Tendo estabelecido os intervalos que contêm as raízes para m = 0
e m = 1, as raízes são calculadas utilizando-se o Método da Bissecção [7], que apesar de
apresentar uma convergência linear, tem a virtude de sempre convergir para a raiz existente em
um intervalo pré-estabelecido. Os valores obtidos para o raio crítico do DQ foram RC = 51 Å
para m = 0 e RC = 306 Å para m = 1.
3.2 Ponto Quântico Esférico (PQE)
As Figuras 2 (a) e (b) mostram o comportamento da eq. (22) em função do raio do PQE para L
= 0 (1ª sub-banda de energia) e L = 1 (2ª sub-banda de energia). As descontinuidades que
aparecem nas figuras correspondem aos zeros da função de Bessel, J 2 L+1 (2 2 R1 / 2 ) , dados
na Tab. 1. Utilizando o mesmo procedimento anterior, para L = 0 tiramos da Tab. 1 que
J 1 (3,8317) = 0 . Então 2 2 RB1 / 2 = 3,8317 e, portanto, RB = 181 Å, que é o valor da
descontinuidade na Fig. 2 (a). Para L = 1 tiramos da Tab. 1 que J 3 (6,3802) = 0 . Então
2 2 RB1 / 2 = 6,3802 e, portanto, RB = 502 Å, que é o valor da descontinuidade na Fig. 2 (b).
Neste caso o zero da eq. (22) é um valor maior que o valor correspondente à descontinuidade,
199
mas se encontra próximo a esta. O intervalo adotado para o cálculo do zero da eq. (22) foi
[RB + ε, RB + 200]. Tendo estabelecido os intervalos que contêm as raízes para L = 0 e L =
1, utilizamos novamente o Método da Bissecção e obtivemos para o raio crítico do PQE os
valores RC = 199 Å para L = 0 e RC = 521 Å para L = 1.
(a)
(b)
Figura 2: Raios críticos (E = 0) para pontos quânticos esféricos para (a) L = 0 e (b) L = 1.
4. Conclusões
Neste trabalho apresentamos a solução analítica do cálculo do raio crítico de discos quânticos e
de pontos quânticos esféricos. Os cálculos foram para estruturas de arseneto de gálio (GaAs)
envolto em arseneto de gálio-alumínio (AlGaAs). As equações transcendentais encontradas
foram resolvidas por métodos numéricos e foram calculados os raios críticos para a 1ª e a 2ª
sub-banda de energia dos discos quânticos (m = 0 e m = 1) e dos pontos quânticos esféricos (L
= 0 e L = 1).
Agradecimentos
Agradecemos à Fundação de Apoio a Pesquisa, FUNAPE – UFG, pelo suporte financeiro.
Referências
[1] M. Abramowitz and I. A. Stegun, "Handbook of Mathematical Functions", Dover, New
York, 1968.
[2] G. Arfken, "Mathematical Methods for Physicists", Academic Press, New York, 1971.
[3] R. S. D. Bella and K. Navaneethakrishnan, Donor binding energies and spin-orbit coupling
in a spherical quantum dot, Solid State Commun., vol. 130, pp. 773-776, (2004).
[4] J. C. Costa, J. Hoekstra, M. J. Goossens, C. J. M. Verhoeven, and A. H. M. V. Roermund,
Considerations about nanoelectronic GSI processors, J. Analog Int. Circ. and Signal Proc., vol.
24, n. 1, pp. 59-71, (2000).
[5] P. Harrison, “QuantumWells, Wires and Dots – Theoretical and Computational Physics”,
Wiley, Chichester, 2000.
[6] F. A. P. Osório, A. B. A. Marques, P. C. M. Machado e A. N. Borges, The effects of
magnetic field on the energy levels of shallow donor impurities in GaAs-AlxGa1-xAs quantum
dots, Microelectronics Journal, vol. 36, pp. 244-246, (2005).
[7] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling e B. P. Flannery, "Numerical Recipes in
Fortran", Cambridge University Press, Cambridge, 1992.