Ilustrísimo Sr. Director del
Departamento de Didáctica de las Ciencias
Experimentales y de las Matemáticas
Carlos Alberto Barros Pacheco Abrantes de Figueiredo licenciado en Enseñanza
de las Matemáticas y alumno del programa de doctorado Enseñanza de las Ciencias
Experimentales y de las Matemáticas , del bienio 2003/2005 le ajunta el trabajo de
investigación (original y tres copias) “OS EXEMPLOS UTILIZADOS POR
PROFESSORES ESTAGIÁRIOS QUANDO ENSINAM O CONCEITO DE
FUNÇÃO”, dirigido por los Profesores Dr. D. Lorenzo Blanco Nieto de la Universidad
de Extremadura y Dr. D. Luis Carlos Contreras González de la Universidad de Huelva,
en el área de la Didáctica de las Ciencias Experimentales para la obtención de la
suficiencia investigadora y del diploma de estudios avanzados, así como el proyecto de
tesis doctoral.
En Badajoz, 9 de octubre de 2005
(Fdo. Carlos Alberto Barros Pacheco Abrantes de Figueiredo)
Composição do Tribunal:
Presidente:
Professor Doutor Miguel Ángel Fajardo Caldera
Vogais:
Professor Doutor Constantino Ruiz Macias
Professor Doutor Ricardo Luengo González
Diploma Estúdios Avanzados obtido em
1 de Dezembro de 2005
1
UNIVERSIDAD de EXTREMADURA
MEMORIA DEL PERIODO DE DOCENCIA E
INVESTIGACIÓN DEL PROGRAMA DE
DOCTORADO
“ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES
Y DE LAS MATEMÁTICAS”
Autor:
Carlos Alberto Barros Pacheco Abrantes de Figueiredo
Directores:
Profesor Dr.
D. Lorenzo Blanco Nieto
Universidad de Extremadura
Profesor Dr.
D. Luis Carlos Contreras González
Universidad de Huelva
Badajoz, Septiembre 2005
2
Agradecimentos
Aos meus dois directores
Porque souberam fazer-me transformar uma vontade numa experiência de vida.
Aos meus quatro professores estagiários.
E a ti, Cristina,
Por todo o trabalho de revisão
E tudo mais.
3
Aos meus pais
Para que possam retribuir todo o orgulho que tenho neles
E
Evidentemente
Cristina, Miguel e Isabel
4
Índice
1.
Curriculum Vitae
4
2.
Resumo das Disciplinas
9
3.
Projecto de Investigação
27
A. Introdução
27
B. Fundamentação Teórica
31
C. Escolha e Interesse do Tema
67
D. Metodologia
72
E. Análise dos dados
92
F. Conclusões e Sugestões
146
Bibliografia
155
5
1.
CURRICULUM VITAE
Nome: Carlos Alberto Barros Pacheco Abrantes de Figueiredo
Ano de nascimento: 1962
Naturalidade: São Julião da Figueira da Foz, Figueira da Foz
Filiação:
Mário Serafim Abrantes de Figueiredo
Maria do Céu Barros Alves Pacheco Abrantes de Figueiredo
B. I. : 4378388 em 07/02/96 do arq. de Portalegre
Nº de contribuinte: 159366615 de ELVAS
Estado Civil: Casado
Residência:Rua Quinta do Sena 6 , 2º D
7350 ELVAS
Telefone: 068/622078
Tlm: 917180000
Habilitações Literárias: Licenciatura em Ensino de Matemática, pela Universidade
de Évora, em 15 de Dezembro de 1988 com a classificação de 13 valores.
Formação Profissional: Estágio Integrado no ano 1987/88 com 14 valores.
Situação Profissional: Profissionalizado no 7º Escalão, Professor do Quadro de
Nomeação Definitiva (P.Q.N.D.) na Esc. Sec. D. Sancho II de Elvas no grupo
disciplinar de matemática.
Níveis Distribuídos:
87/88
88/89
89/90
90/91
91/92
92/93
93/94
94/95
95/96
1996/97
1997/98
1998/99
1999/00
2000/01
2001/02
2002/03
Esc. Sec. André de Gouveia Évora
7º e 8º anos do curso unif.
11º ano do ens. sec. (Regência)
Esc. Sec. de Campo Maior
7º e 9º anos do curso unif.
1º , 2º e 3º anos do curso geral noct.
D. Sancho II de Elvas (P.Q.N.D.)
9º ano do curso unif.
10º e 12º anos do ens. sec.
8º ano do curso unif.
10º ano do ens. sec.
11º e 12º anos do ens. sec.
10º e 12º anos do ens. sec.
10º (reforma) e 12º anos do ens. sec.
11º (reforma) e 12º anos do ens. sec.
10º e 12º (reforma) anos do ens. sec.
11º Ano e Mét. Quantitativos
10º Ano e 12º Ano
10º Ano e 11º Ano
11º ano do Ens. Sec.
12º ano do Ens. Sec.
10º ano do Ens. Sec.
12º ano do Ens. Sec.
10º ano do Ens. Sec.
11º ano do Ens. Sec
10º ano do Ens. Sec.
6
2003/04
2004/05
11º ano do Ens. Sec
10º ano do Ens. Sec.
11º ano do Ens. Sec
10º ano do Ens. Sec.
12º ano do Ens. Sec
Acções de Formação assistidas:
87/88
Esc. sec. André de Gouveia Évora
Contradomínios, com base em estudo do gráfico, de funções
compostas (uma aplicação da calculadora gráfica)
89/90
Escola Sup. de Educ. de Portalegre
Plano de formação e acção pedagógica
92/93
Escola Sec. D. Sancho II Elvas
O Geoplano na sala de aula
95/96
Universidade de Évora
Seminário sobre a Avaliação na Aprendizagem
96/97
Universidade de Évora
Seminário sobre a Avaliação de Estagiários
96/97
Esc. Sec. D. Sancho II
Utilização didática e
pedagógica das redes telemáticas
97/98
Educação Ambiental I
Esc. Sec. D. Sancho II
97/98 Esc. Sec. D. Sancho II
Utilização didática da Internet
98/99 Esc. Sec. D. Sancho II
Educação Ambiental II
98/99 Esc. Sec. D. Sancho II
O Euro
Pelo Centro de informação Europeia Jacques Delors, foi Formadora Maria
Hermínia Oliveira, em Outubro de 2001.
2000/01 Esc. Sec. D. Sancho II
7
Cidadania Europeia
Pelo Centro de informação Europeia Jacques Delors, foi Formador Carlos
Medeiros, em Dezembro de 2001.
2003/04 Esc.Sec. D. Sancho II
Utilização Didáctica e Pedagógica das Redes Telemáticas
Aprofundamento
Formador: Mário Nascimento
Acções de formação ministradas:
EXP/2
92/93
Esc. Sec. D.Sancho II
Processador de texto científico
Palestras:
Junho de 1993, semana cultural da Esc. Sec. D. Sancho II, para Prof. de
Matemática e alunos do 12º ano.
Sobre o Infinito...
Delegado de Grupo disciplinar de Matemática:
Escola Secundária de Campo Maior, de Janeiro a Agosto de 1989.
Membro do Conselho Pedagógico:
Escola Secundária de Campo Maior, de Janeiro a Agosto de 1989
Escola Sec. D. Sancho II de 89/90 até 93/94 (Secção de Formação)
Projectos:
Projecto Minerva: ( projecto nacional português
computador nas escolas de todos os ciclos de ensino )
de
introdução
do
8
Corresponsável da criação, desenvolvimento e acompanhamento do Projecto
Minerva a nível da Escola Secundária D. Sancho II de Elvas durante ao anos de 1991 a
1996.
Projecto “Ciência Viva”: ( projecto nacional português de introdução da
investigação Matemática e/ou cientifica nas escolas de todos os ciclos de ensino )
Corresponsável do desenvolvimento e acompanhamento do Projecto “Ciência
Viva” a nível da Escola Secundária D. Sancho II de Elvas durante os anos de 2001 a
2003.
Laboratório de Matemática:
Corresponsável da criação, desenvolvimento e acompanhamento do
Laboratório de Matemática a nível da Escola Secundária D. Sancho II de Elvas
durante ao anos de 2001 a 2003. A criação deste laboratório insere-se dentro dos
objectivos do Projecto “Ciência Viva” e visa estimular a investigação Matemática
entre os alunos do ensino secundário da Escola Secundária D. Sancho II de Elvas.
Orientador de Estágios Pedagógicos:
89/90 , orientação de Estagiários do 2º ano de Profissionalização em Exercício
em colaboração com a Escola Superior de Educação de Portalegre.
De 90/91 a 04/05 , orientação de Estagiários no âmbito dos Estágios
Integrados em colaboração com a Universidade de Évora.
De 89/90 a 04/05, Supervisão de todas as actividades curriculares e
extracurriculares dos Estagiários que integraram os núcleos de Estágio que funcionaram
na Escola Secundária D. Sancho II de Elvas.
Doutoramento:
Departamento: Didáctica de las Ciências Experimentales y Matemáticas.
Facultad de Educación
UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA
1º Ano Disciplinas aprovadas
La Investigación Sobre el Profesorado de Ciencias Experimentales
SOBRESALIENTE 9 VALORES
Conocimiento Didáctico del contenido Matemático
9
SOBRESALIENTE 10 VALORES
Paradigmas De Investigación en Educación Matemática
SOBRESALIENTE 9,5 VALORES
Procesos y Tácticas en Didáctica de la Química
SOBRESALIENTE 10 VALORES
Las Concepciones y Enseñanza de Geometría en la Formación Inicial de Profesores
SOBRESALIENTE 10 VALORES
2º Ano Linha investigativa:
“ El profesorado de Matemáticas: Formación Inicial y Desarrollo
Profesional”
Seminários Assistidos:
“Instrumentos de obtención de datos y su validaciónen la Investigación en
Didáctica de la Matemática”
Pelo Professor Doutor J. Luis Ramos (Unex)
em 12 de Abril de 2005
“Analisis Cienciométrico, conceptual y metedológico de la Investigación e
Educación Matemática”
Pelo Professor Doutor Manuel Torralbo Rodríguez (U. Córdoba)
Em 20 de Abril de 2005
10
2.
Resumos das disciplinas
“El Binomio de Newton es tan bello como la Venus de Milo.
Lo que hay es poca gente que se de cuenta.”
1.
Fernando Pessoa
Conocimiento Didáctico del Contenido Matemático
Este curso foi da responsabilidade do Professor Doutor D. Lorenzo J. Blanco
Nieto e teve como objectivos analisar as principais variáveis que intervêm na Educação
Matemática e, fundamentalmente, no processo de aprender a ensinar matemática e no
desenvolvimento profissional do professor. Para a consecução deste objectivo o veículo
substancial materializou-se num roteiro de conteúdos dividido em 5 etapas percorridas
presencialmente. Em paralelo, desenvolveu-se o estudo aprofundado de uma tese em
colaboração com o seu autor Professor Doutor Luís Carlos Contreras da Universidade
de Huelva que, num apoio à distância com base numa plataforma virtual da sua
Universidade, nos proporcionou uma abordagem prática de como analisar e, num futuro,
elaborar uma tese com determinadas características.
A vertente presencial do curso desenrolou-se em grande grupo onde a discussão
e debate dos temas propostos pelo docente assumiram o papel mais destacado. O
percurso pelos diferentes temas proporcionou aos assistentes uma visão global e
histórica de qual o estado actual da formação inicial e do desenvolvimento profissional
bem como de toda a investigação que envolve aqueles aspectos.
Em termos históricos, foi feita uma síntese de toda a evolução da Educação
Matemática e da Respectiva Formação do Professorado nestes últimos 50 anos, desde a
introdução da Matemática Moderna, passando pela reacção a esta, o aparecimento da
Resolução de Problemas e terminando no que poderá ser a Matemática do século XXI.
Nesta altura o Docente decidiu inflectir o percurso nos temas, dado o interesse
mostrado pelos assistentes ao curso, para se centrar com mais profundidade no tema
Resolução de Problemas. Este tema, na realidade, faz parte dos que constam da
11
disciplina mas cujo calendário estava previsto para mais tarde e, antecipadamente, foinos dado a distinguir exercício de problema, particularmente: Problema Matemático,
suas características, seus objectivos e os vários tipos existentes.
Um outro tema abordado actualizou-nos nas linhas investigativas sobre
formação e conhecimentos dos professores, primeiro com uma introdução sobre os
problemas tradicionais que ainda se colocam mas, com mais destaque a toda a evolução
da formação inicial e permanente que se estabeleceu durante a década de noventa: A
consolidação dos movimentos à volta da necessidade de reflexões profundas sobre a
educação Matemática em centros e nas universidades, sendo que O Pensamento dos
Professores e o seu Desenvolvimento Profissional se tornam o cerne de toda a
actividade reflexiva e investigativa dos núcleos de investigação em Didáctica e
Formação. Desta forma surge um novo conceito de professor como um profissional
reflexivo, o objectivo dos estudos e investigações não visam apenas ajudar o
profissional do ensino com métodos e técnicas para aplicação quotidiana mas, mais
processualmente, induzir a necessidade de reflexão e análise da sua própria praxis com
vista a proporcionar ao professor uma coerência e autonomia no seu desenvolvimento
profissional. Isto é, dar continuidade à evolução que tem existido em que numa primeira
fase, na formação, se vai desligando da aprendizagem da Matemática e sua Didáctica
para uma verdadeira aprendizagem da Didáctica da Matemática e, posteriormente
durante a carreira docente, privilegiar um processo em que o professor se assuma como
um agente processador de informação que evolui coerentemente com o seu pensamento
e consciente das repercussões da sua actuação. Claro está que para a consciencialização
do professor será necessário que este se coloque a par do que se avançou na
investigação sobre as concepções do professor de matemática. Neste rumo, em paralelo
com a tese em estudo, os assistentes ao curso aprofundaram as tendências didácticas que
se vão cristalizando hoje e, também, de que constam actualmente as duas agendas sobre
investigação dos professores em Espanha e Portugal.
Por fim, foi feita toda uma sistematização do papel da resolução de problemas na
formação inicial de professores e no ensino/aprendizagem da Matemática, de como a
resolução de problemas influi no currículo de hoje, a motivação que pode proporcionar
e como altera a forma de condução de uma aula. Um destaque fundamental deve ser
dado à resolução de problemas na medida em que tem servido de veículo a muita da
investigação que se tem feito e se faz sobre concepções dos estudantes para professores
e sua formação inicial.
12
A vertente virtual deste curso, começando pelos objectivos, é de reforçar o meio
escolhido pelo docente que, no âmbito do seu curso, pretendeu que fosse estudada com
profundidade uma tese de doutoramento em ambiente virtual. Com o conhecimento
profundo que apenas o autor da tese possui podem ser apontados os aspectos mais
importantes a analisar, sendo a análise destes promovida pelas questões selectivas
apresentadas na plataforma. Ao longo de mais de uma dezena de questões os alunos do
curso foram tomando consciência do que uma tese com estas características envolve,
não apenas toda a fundamentação teórica subjacente mas também as idiossincrasias
inerentes a um estudo de caso. As questões foram quase cirúrgicas, no sentido em que
obrigavam a um estudo pormenorizado e atento das principais partes da tese de forma a
produzir uma resposta completa e coerente.
A análise da tese aprofundou fundamentalmente os seguintes aspectos:
-Reflexão sobre as justificações de estudos sobre concepções
-Análise dos termos empregues na tese
-Implicações das concepções no E/A da Matemática
-Descritores de boas e más concepções
-Primeiras categorizações de concepções
-Modelos de tendências dos professores
-Metodologia empregue na tese. Metodologias qualitativas e quantitativas
-Actuação sobre o pensamento do professor
-Caracterização da tese
-Caracterização dos instrumentos utilizados na tese
-Colaboração no desenvolvimento profissional do professor
-Análise do processo de justificação do sistema de categorias da tese
Na última sessão deste curso, já com a presença do Professor Doutor Luís Carlos
Contreras, tivemos a oportunidade de com ele debater e esclarecer um ou outro ponto
que em foro não tenha ficado tão claro.
13
2.
La
Investigación
sobre
el
Profesorado
de
Ciencias
Experimentales
Este curso, um dos cinco que compõem o 1º ano do Doutoramento em Didáctica
das Ciências Experimentais e da Matemática, teve como responsável o Professor Doutor
D. Vicente Mellado Jiménez e os seus objectivos prendem-se com os actuais temas de
investigação sobre o professorado de ciências.
Este curso é fundamentalmente apoiado por: sessões presenciais e o livro
“Aprender a ensinar Ciências Experimentais na formação inicial do professorado”.
Assim, um resumo do curso passa, necessariamente, pela interligação dos dois e
contempla-os de forma única.
A finalidade do curso foi introduzir os assistentes nas actuais linhas de
investigação quer seja na forma, método ou substância. Esta finalidade fica bem patente
se olharmos aos seus objectivos gerais, a saber:
Conhecer a actual agenda de investigação e as fontes bibliográficas
Rever os marcos teóricos e os temas de investigação
Analisar os distintos procedimentos metodológicos de recolha de e
análise de dados
Analisar os processos de mudança didáctica do professorado de ciências
e as consequências para a formação
Desenhar um projecto de investigação pessoal
Para alcançar todos estes objectivos o curso foi dividido em cinco partes
distintas, sendo elas:
1ª
Características e condicionantes da prática docente
2ª
Filosofia da ciência
3ª
As actuais linhas de investigação e metodologias
4ª
O desenvolvimento profissional
5ª
Apresentação de um projecto de tese
Na primeira parte foram abordadas as características e condicionantes da
profissão docente, as qualidades inerentes a uma boa prática, a sua postura quanto ao
método de ensino utilizado, influencias no aluno, comportamento e atitudes do
14
professor face aos conteúdos a leccionar, conhecimento profissional do professor,
diferenças entre professores experientes e inexperientes, o seu posicionamento
ideológico face ao processo ensino-aprendizagem, concepções e crenças, aspectos
afectivos no desempenho, etc. No essencial foi revisto tudo o que influencia a prática
docente, como que uma preparação para dar sentido às restantes quatro partes.
A segunda parte foi de índole manifestamente filosófica, mais concretamente
versou sobre as tendências filosóficas actuais que podem orientar a investigação em
ciência. De facto, as influências em investigação didáctica provêm a montante do
posicionamento ideológico do investigador, condicionando a partir desse ponto toda a
sua produção investigativa. A apresentação de todo o panorama ideológico foi
esclarecedor, e mais ainda quando, de um ponto de vista formal, ficaram claras as
características de cada tendência apresentadas na forma pura. Em conjunto,
despistaram-se as diferenças com base num quadro de diferenciação segundo a forma de
posicionamento face à avaliação das teorias científicas. Em forma de síntese foi
explicitada toda a sua implicação na investigação em didáctica das ciências
experimentais e as formas distintas de fazer essa investigação.
Nesta terceira parte do curso foi feito um percurso pelos temas que se investigam
neste momento, incluindo também uma revisão de resultados mais significativos e um
aprofundamento das metodologias que regem a investigação desses temas. Foram
tratados temas como as concepções sobre a natureza e o ensino-aprendizagem das
ciências, atitudes dos professores e também os conhecimentos do conteúdo e da
didáctica no ensino das ciências experimentais. Durante esta fase do curso tornou-se
claro o papel das investigações sobre a formação inicial dos professores, as
concepções/problemas/motivações e a forma de aprender e ensinar a ciência. E,
relativamente aos aspectos referidos, mostrar como as vivências enquanto alunos estão
profundamente arraigadas e influem no seu desempenho enquanto professores. Também
foram estudados: a forma como cada professor constrói os seus conhecimentos do
conteúdo e da didáctica das ciências, os factores de ordem afectiva e atitudinal e
questões sobre a reflexão individual. A componente relativa à auto-confiança é decisiva
e nela reflectem-se factores tais como o conhecimento do conteúdo e as expectativas
relativas aos alunos, o que por sua vez, irá ditar o tipo de atitudes do professor e,
15
consequentemente, a qualidade do ensino proporcionado. Não esqueçamos que, de uma
certa forma, ensinar é transformar conteúdos em representações compreensíveis para os
alunos.
Sobre a metodologia focou-se a progressão de métodos racionalistas (onde a
análise é quantitativa e a procura resultados universais, predictivos e objectivos) para
outros com premissas metodológicas distintas que utilizam métodos qualitativos,
pretendendo resultados que se tornem guias que, em contextos concretos, nos dêem
dados úteis à prática docente. Não visa generalizar, mas descrever e comparar resultados
de investigações sobre o mesmo tema. Esta é a fase mais problemática numa
investigação pois da metodologia aplicada na recolha e tratamento dos dados depende a
validação de todo o processo.
Esta dificuldade também é sentida nos estudos de caso, tema também tratado no
curso. Deverá ser muito cuidadosa a forma de representar os factos para não ameaçar a
validade interna, a fiabilidade e a consistência dos dados da investigação. Neste resumo
não cabe uma descrição fina do que é um estudo de caso, para isso remeto para o item
3.2 e 4ª parte do livro inicialmente referido, mas uma das principais características
deste método é o papel do investigador dentro da investigação interagindo com os
demais elementos e procurando mudanças qualitativas. O investigador é um elemento
mais do universo não adoptando uma posição exterior de simples observação.
Sobre a formação do professor foram referidas a fase inicial de formação e
também a formação permanente. Na fase de formação inicial dos professores, apontouse para a utilização de uma metodologia mais consistente com os modelos teóricos
propostos e, no desenvolvimento profissional, para uma prática frequente de reflexão
sobre a conduta em aula. Um ponto muito interessante recai sobre a necessidade de
juntar professores experientes àqueles que ainda estão em formação, para que as
experiências dos primeiros possam ser aproveitadas pelos segundos. Esta convivência
produziria um questionar contínuo, um processo de reflexão em círculo com benefícios
para todos e, a jusante, para os alunos.
Sintetizando: descrevendo todo o desenvolvimento profissional nas múltiplas
vertentes, deu-se singular relevo às destrezas e às atitudes, bem como ao facto da
necessidade de que cada professor reconsidere a cada momento as suas “verdades”
sobre o ensino-aprendizagem e, com tudo o que foi leccionado neste curso, melhorar na
sua actividade. E que seja, cada vez mais, uma dedicação em vez de uma ocupação.
16
A quinta e última parte do curso foi dedicada à apresentação do projecto de
investigação pessoal de cada um dos doutorandos mas, visto que à data da redacção
deste resumo ainda não se tinha verificado, não posso sobre ela estender-me muito.
Posso, porém, referir que foram apontadas as principais etapas de um projecto de tese,
indicações que se revelaram de uma utilidade considerável na altura de desenhar aquele
que apresentarei na última sessão deste curso.
17
3.
Paradigmas de Investigación en Educación Matemática
Este curso foi da responsabilidade do Professor Doutor D. Ricardo Luengo
González e desenvolveu-se segundo dois aspectos diferenciados: a parte presencial e
trabalho produzido individualmente ou em grupo.
A parte presencial constou de aulas implementadas pelo docente, onde
abordámos os temas constantes do programa da disciplina, e de três seminários onde
foram apresentados os trabalhos de professores convidados. Os temas abordados, dentro
da investigação educativa, iniciaram-se com a explicação do que são Teorias,
Paradigmas e Metodologias, dando relevo ao grau de abstracção decrescente. Falou-se
das teorias condutivistas, cognitivistas e construtivistas, dos paradigmas positivista,
fenomenológico, crítico e complementarista, explicando como cada um pode utilizar as
metodologias qualitativa, quantitativa ou mista. Ainda sobre teorias investigativas foinos dada a conhecer uma das muitas definições de paradigma, “un conjunto integrado
de conceptos sustantivos, variables y problemas junto con sus correspondientes
enfoques y herramientas metodológicas” (Gage), conceito difícil de definir e ainda
mais de clarificar em termos de aplicação específica e diferenciada nas diferentes
metodologias investigativas. Consequentemente, também a forma de aferir os resultados
mediante a garantia de validez e fiabilidade dos produtos da investigação serão
diferenciadas consoante paradigmas e tipo de metodologia empregue.
Sobre uma forma de investigação que tende em ganhar confiança e adeptos nas
novas linhas de investigação, a Investigação-Acção, foi amplamente debatida e dados
exemplos de teses que se enquadram nesta linha e, ainda, as vantagens que apresenta na
sua utilização. Desde a variante BÁSICA que contribui para gerar ciência à
APLICADA que resolve problemas reais aplicando ciência. Foi mostrado como “el
estudio de una situación educativa con el fin de mejorar, el proceso de E/A (la
practica), en colaboración con los demás” cujo objecto é estudar os problemas
educativos tal como ocorrem e percebidos/problematizados pelos investigadores em
participação com todos os agentes envolvidos e, para que tudo isto fizesse sentido, foi
exposta toda a metodologia, fases, procedimentos e validação. Cabe neste ponto
enfatizar o processo de validação que se denomina Triangulação, que será novamente
referido à frente neste resumo. A Investigação-Acção cai dentro do tipo de investigação
18
Crítica, em que a análise sendo comprometida não permite generalizações que, pelos
objectivos inerentes, também não são exigíveis.
Ainda no âmbito dos paradigmas que se utilizam na investigação educativa foinos proporcionado o acesso a dois trabalhos que exemplificam a aplicação das distintas
metodologias (quantitativa e qualitativa) e paradigmas subjacentes, foram elas “La
entrevista cualitativa como técnica de la evaluación de la docência universitária”
por Dª Mª José Mayorga Fernández de cariz qualitativo e “Colaboración guiada y
ordenadores: algunos de sus efectos sobre logros en el aprendizaje” por Ruben
Darío Martínez, Elsa Inês Martin, Yolanda Haydeé Montero e María Eugenia Pedrosa
este outro de características quantitativas.
Para a parte do curso cujo âmbito era individual e em grupo foi disponibilizado
material numa plataforma virtual com o intuito de nos dar apoio e facultar informação
inicial aos trabalhos. Contudo, convém salientar que o grosso da informação foi captada
na Internet de forma a poder cumprir com êxito os trabalhos exigidos e, desta forma,
enriquecer de forma substancial toda a listagem de conteúdos ministrados
presencialmente.
O primeiro trabalho individual que elaborei foi uma reflexão sobre “O que é
investigar?; Como se investiga?; O que se investiga?; Para quê se investiga?” e serviu
para sistematizar, em termos pessoais, qual a ideia que se tem sobre todo o processo
investigativo. O segundo trabalho constou de um resumo alargado sobre o método de
validação de resultados dentro da Investigação-Acção, tendo sido feita toda a pesquisa
sobre “A Triangulação” na Internet. O objectivo alcançado com a elaboração deste
segundo trabalho foi a boa interiorização do que consiste o método, que aconteceu por
via da síntese de todo o material encontrado e analisado.
Também, em grupo, realizei dois trabalhos, foram eles:
1º Trabalho
Resumo das principais teorias, Condutivista e Cognitivista.
Resumo dos quatro paradigmas, positivista, fenomenológico, crítico e
complementarista.
Um quadro onde se referem as características principais, similitudes e
diferenças entre os quatro paradigmas.
19
2º Trabalho
Resumo da investigação do tipo Ex-Post-Facto.
Resumo da investigação do tipo Quase Experimental.
Resumo da investigação do tipo Estudo de Caso.
De igual modo, os elementos do grupo conseguiram por via da recolha de
material, sua análise e consequente síntese nos resumos, ficar com ideias muito claras
sobre todas as matérias estudadas, o que pressupõe que após a conclusão deste curso
estarão todos bastante mais qualificados para enfrentar as tarefas que se seguem neste
curso de doutoramento.
O curso teve, ainda, uma vertente prática. Com as apresentações efectuadas
pelos três convidados do responsável pelo curso pudemos contactar com diferentes tipos
de investigações. As diferenças encontraram-se a todos os níveis, uma delas era o
trabalho de segundo ano com vista à obtenção do DEA, a segunda também era uma
investigação com este objectivo mas com um grau de desenvolvimento muito mais
avançado pois estava já a servir de base a uma tese de doutoramento. Por fim, a terceira
investigação apresentada era uma tese de doutoramento. Era, naturalmente, um trabalho
muito mais completo, cuidado e de uma qualidade invejável.
As diferenças entre as apresentações também se mostraram a nível de
paradigmas empregues e, consequentemente, ao de diversificação de metodologias.
No entanto, convém salientar que qualquer uma das três cumpriu o seu papel que
era de evidenciar, na prática, todos processos, métodos e resultados que se podem
utilizar e obter de investigações como as apresentadas.
Resta-me concluir com a consciência da necessidade de um curso com estas
características teórico-práticas. Para alunos de doutoramento que já no próximo ano
lectivo terão de começar uma investigação e, nos anos consequentes, iniciar uma tese de
doutoramento, é premente dotá-los com ferramentas teóricas e mostrar-lhes a sua
aplicação na prática de forma a tornar um pouco mais fácil um trabalho que se afigura
tão-somente assustador.
20
4.
Procesos y Tácticas en Didáctica de la Química
O curso aqui resumido foi da responsabilidade da Professora Doutora Dña.
Concepción Caro Gaméz e, como o próprio nome do curso indica, focalizou os aspectos
importantes sobre os processos e tácticas da Didáctica da Química com o objectivo de
promover e aprofundar os conhecimentos sobre o processo de ensino-aprendizagem
desta ciência. A forma de o conseguir baseou-se na aquisição, por parte dos
participantes, de conhecimentos significativos sobre a Didáctica da Química com
referências às técnicas e processos metodológicos como princípios directores desta
disciplina.
Na introdução ao curso foi abordado, para melhor situar os participantes, uma
descrição do nosso entorno com base num diagrama que, em etapas de dimensão
decrescente, se refere desde o universo ao átomo com passagem por etapas intermédias
como por exemplo a Via Láctea e um ecossistema. Foi também feita uma descrição e
divisão do que genericamente se chama Ciência, dividida em ciências puras e aplicadas,
sendo que as primeiras se separam em formais e empíricas e as segundas em diversos
ramos de aplicação prática. Foram também caracterizadas todas as subdivisões das
ciências puras até às classificações finais de disciplinas como a Química, a Botânica, a
Matemática ou a Semiótica. Ainda nesta fase introdutória foram discutidos processos
metodológicos em investigação científica dando-se ênfase não apenas à diversidade mas
também, e principalmente, aos processos em si, destacando-se que os processos
encerram neles próprios metodologias que se adequam e orientam a Didáctica da
Química.
Sobre o tema referente aos princípios orientadores da Química foi exposto que,
enquanto ciência, é um conjunto de processos e consequentes produtos. Os processos
são o Método Científico e a atitude científica de quem o aplica e os produtos são o
conjunto de conhecimentos sistematizados em três pilares: os factos, as leis e as teorias.
O Método Científico trata de integrar de forma completa e válida os três pilares de
qualquer ciência e, em particular, da Química. Assim, interessa estudar cuidadosamente
a forma como se estabelece a relação entre processos e produtos pois esta forma de
correspondência constitui o eixo transversal da Didáctica da Química.
21
Relativamente às tácticas e estratégias do ensino-aprendizagem da Química foi
destacado o interesse dos processos inerente ao processo investigativo em Química que,
como se referiu atrás, constituem elementos estratégicos primordiais de uma Didáctica
da Química eficaz pois preconizam as características importantes do processo de
ensino-aprendizagem desta ciência. Estes processos, ao serem fundamentais à Química,
também o serão na aplicação e exploração das tácticas e estratégias que se incluem e
constituem a Didáctica da Química, sendo eles:
-Observar: directa ou indirectamente; qualitativa ou quantitativamente; os
objectos, factos e fenómenos.
-Classificar.
-Comunicar: praticando a linguagem simbólica própria da actividade científica
tais como representar magnitudes, símbolos e signos; utilizar própria e correctamente a
linguagem científica, elaborar resumos e relatórios com os processos e resultados das
observações e das experiências.
-Recolher dados e informação de distintas fontes como sejam livros, revistas,
Internet, comentários, etc.
-Desenhar experiências.
-Enunciar hipóteses e leis.
-Medir de forma directa ou indirecta, detectar erros de medição e utilizar
instrumentos com as respectivas unidades.
-Estabelecer/controlar variáveis e formular generalizações.
-Planificar investigações e verificar os seus produtos.
-Perguntar, predizer, inferir, ordenar e classificar dados em tabelas, quadros,
gráficos e fichas.
-Analisar os dados já classificados e ordenados com vista a interpretá-los.
-Usar números e relações espaço-temporais.
-Redigir, apresentar, resolver e comentar partindo de dados experimentais ou
teóricos.
Convém referir que existem outras vertentes nas quais se deve promover um
grande reforço de forma a desenvolvê-las e maximizar os seus frutos, essas vertentes
são características pessoais que se destacam em maior ou menor grau nos estudantes
como sejam a curiosidade pela investigação, a capacidade na aquisição de processos e
habilidades, a criatividade para investigar/descobrir e a qualidade da comunicação.
22
Por fim foram apresentadas as diferentes perspectivas com as quais se pode
abordar a Didáctica da Química, o paradigma atomista inserido na teoria Condutivista, o
paradigma construtivista dentro da teoria Cognitivista e, por último, uma perspectiva
emergente que é o paradigma holista.
No primeiro paradigma a aplicação do condicionamento à educação chama-se
Aprendizagem programada, onde os conteúdos são divididos em partes mais simples e
satura-se o aluno com múltiplas perguntas, às quais se presume que o estudante sabe
responder, incentivando-o e dando prémios pelas respostas correctas. Na prática, o
ensino das Ciências era feito essencialmente através da resolução de exercícios de rotina
com vista à memorização de conceitos e procedimentos. Tratava-se de um ensino
mecanicista onde a metodologia dominante consistia na repetição, até à exaustão, de
exercícios-tipo, com vista à memorização de respostas únicas, para reproduzir nos testes
e exames. Assim se determina o conhecimento do “todo” pela aprendizagem das
“partes”.
Relativamente ao segundo, o paradigma Construtivista, para o qual o
conhecimento não é uma cópia da realidade, mas sim uma construção do ser humano,
que se realiza a partir dos esquemas que a pessoa já possui (conhecimentos prévios),
incluindo os do meio que o rodeia.
O Construtivismo é o modelo que defende que o indivíduo, nos aspectos
cognitivos, sociais e afectivos do comportamento, não é um simples produto do
ambiente, mas sim uma construção própria que se vai produzindo dia a dia como
resultado da interacção destes factores.
Estas construções que se realizam todos os dias e em quase todos os contextos
da vida dependem, sobretudo, de dois aspectos:
1. Da representação inicial que se tem da nova informação
2. Da actividade interna ou externa que se desenvolve a propósito da nova
informação
O modelo construtivista está centrado na pessoa, nas suas experiências prévias
das quais realiza novas construções mentais, considera que a construção se produz
quando
•
O sujeito interactua com o objecto do conhecimento (Piaget)
•
A construção é feita em interacção com outros (Vigotski)
•
For significativa para o sujeito
23
Assim, o Professor que se sinta mediador da aprendizagem
1. Conhece os interesses dos alunos e as suas diferenças individuais
2. Conhece as necessidades evolutivas de cada um dos alunos
3. Conhece os estímulos contextuais dos alunos: familiares, comunitários,
educativos e outros
4. Promove o conflito cognitivo-desequilibrio-reequilibrio
5. Contextualiza as actividades que propõe
6. Ensina a pensar, como pensar e sobre o que pensar
Em conclusão, apresenta-se como capaz de, através de uma estratégia com base
no modelo “O método de Projectos”, interactuar em situações concretas, significativas e
estimular o “saber”, o “saber fazer” e o “saber ser”. Isto é, o conceptual, o
procedimental e o atitudinal.
O terceiro e último paradigma, embora enraíze fortemente no segundo, apresenta
características próprias. O Holismo reconhece que a aprendizagem está dependente de
experiências prévias de aprendizagem. Com estas experiências e com outras propostas
pelo professor consegue-se induzir o aluno numa dificuldade e esta provoca um conflito
que terá de ser resolvido de acordo com os diálogos que se consigam produzir, quer
sejam com os companheiros quer com o professor. Este processo permite que os alunos
aprendam a ser, através da exploração da própria personalidade e inter-actuação com os
demais, alcançando as condições para proceder com uma ampla capacidade de
autonomia no raciocínio e responsabilidade pessoal.
Neste tipo de processo a atitude do professor é fundamental já que facilitará ou
inibirá o trabalho de diálogo entre e com os alunos. Para tal descrevem-se algumas
atitudes e papéis (roles) para melhorar o diálogo holista entre todos:
-As opiniões, pontos de vista, crenças partilhadas por todos.
-Uma atitude de confiança básica nos demais para estabelecer uma
relação assente na colaboração.
-Disponibilidade para aprender com os demais.
-Atitude de escuta, constante observação, sempre atento e interessado
numa atitude plena.
-Mostrar uma mente aberta e imparcial para ver todos os ângulos da
realidade sem a comprimir apenas numa opinião.
-Atitude de companheirismo e amizade sem rivalidades, desejo de
impressionar ou de chegar primeiro.
24
-Evitar sempre a preconcepção, o limitar, o etiquetar, o pré-julgar e o
preconceito (prejuicio).
Este curso também apresentou uma vertente não presencial, a responsável proporcionou
material bibliográfico de apoio e consolidação, tendo em vista uma articulação com os
trabalhos presenciais. Por minha parte apresentei os resumos dos trabalhos:
“La Enseñanza y el Aprendizaje del Conocimiento Químico”
C. Furió, C. Domínguez, R. Azcona, J. Guisáosla
Capitulo 6: Factores que influyen en el aprendizaje científico
da obra
“Didáctica de las Ciencias en la Educación Secundaria obligatoria”
Neus Sanmarti
Um comentário a um artigo sobre o Holismo:
“Nueva visión de la Ciencia revolucionará la alimentación”
Fulvia Carvajal, Agencia AUPEC-UNIVALLE
E, como resultado de trabalho individual, os resumos contendo as principais
características das Educações Atomista, Construtivista e Holista.
25
5.
Las concepciones y la enseñanza-aprendizaje de la Geometría en
la Formación Inicial de Profesores
Este curso, incluído no primeiro ano do doutoramento em Didáctica das Ciências
Experimentais e da Matemática, foi leccionado pelo Professor Doutor D. Manuel
Barrantes López, teve como primeira finalidade fazer entender aos assistentes do curso
como são importantes as concepções dos estudantes para professores na sua futura
actuação profissional, bem como todo o sentido que o processo ensino-aprendizagem
toma em função delas.
Uma outra finalidade prendeu-se com o aprofundar na investigação em
Didáctica da Geometria nos Ensinos Primário e Secundário.
Por último, foi também finalidade deste curso introduzir, clarificar e analisar em
pormenor as metodologias utilizadas em investigação didáctica.
Cabe ainda referir que foi pedido que fossem elaborados dois trabalhos no
âmbito deste curso. O primeiro é este resumo que também irá integrar o trabalho final
de segundo ano e o outro visa uma integração de resultados constantes de vários artigos
publicados em revistas da especialidade. O tema por mim escolhido é composto por
artigos que têm em comum a “Visualização em Geometria”, sendo esta a designação do
trabalho.
O curso, de sessões presenciais, foi na prática suportado pela tese de
doutoramento do docente e revelou-se extremamente útil na clarificação e
exemplificação de todas as fases, procedimentos e particularidades da elaboração de
uma tese de doutoramento.
A importância das concepções nos estudantes para professores foi-nos
introduzida com base no seguinte problema: “ Porquê, ao longo de tantos anos, falha o
ensino da Geometria? “.
Posto o problema, o primeiro objectivo consiste em tentar resolvê-lo logo no seu
início, isto é na formação inicial do professor. A premência de questionar esta formação
é evidente nas vertentes que a compõem, que integram o currículo de Geometria. Assim,
um currículo adequado teria necessariamente que: integrar um tipo de problemas
diferente, valorizar a concordância entre o que se recebe na formação e o que se
26
leccionará, passar de uma metodologia de giz e quadro para uma aprendizagem de
aprender fazendo, utilizar de uma metodologia que se tornasse mais estável e não fosse
abandonada. A formação existente separa a investigação da aplicação dos seus
resultados e baseava-se em aspectos teóricos muito concretos.
A necessidade de encontrar aquele currículo destinou-se a contrariar o estado das
coisas. O que se verifica é a tendência do estudante para voltar ao modelo que
experimentou enquanto aluno. Mesmo com uma formação baseada noutros parâmetros
há sempre uma deriva que vai ao encontro do modelo de giz e quadro.
Foi, portanto, necessário proceder a uma investigação para determinar o que é
um currículo ideal para a formação inicial de professores do ensino primário e
secundário. Essa investigação teria, forçosamente, de passar pela análise das concepções
dos estudantes, pois são elas que determinam o percurso profissional do professor e,
actuando sobre elas, modificá-las e alterar todo o processo de ensino-aprendizagem da
Geometria.
Num estudante para professor não é fácil a descrição directa das suas
concepções, assim, indo por via indirecta, estudam-se as suas recordações como alunos
que foram e as suas expectativas como professores que vão ser para poder analisar e
descrever as suas concepções. Pelo dito, fica patente a necessidade desta investigação.
Numa fase anterior à descrição da investigação sobre as concepções foi revista a
investigação existente na actualidade. Foram-nos apresentados, fundamentalmente, os
resultados mais importantes na área desta investigação e que lhe iriam servir de
sustentação teórica. Foram revistos os diversos modelos de professores existentes e a
alternativa investigativa, os níveis de aprendizagem da Geometria pelo Modelo de Van
Hiele, erros nos manuais escolares, estudo de significados, interesse das concepções,
avaliação e referências actuais no processo de ensino-aprendizagem.
A última fase deste curso introduziu-nos profundamente na metodologia da
investigação. Foi analisada cada uma das partes constantes da metodologia utilizada, o
como, o porquê e o quando, com todas as descrições e fundamentações dos elementos:
o marco inicial, categorias e subcategorias utilizadas, questionários, caracterização da
população, grupos de discussão e o tratamento da informação. Alguns dos vários
aspectos importantes foram:
27
- As razões invocadas para a utilização das duas formas de análise da
informação: a qualitativa (descritiva e interpretativa) e a quantitativa, utilizadas
respectivamente nos grupos de discussão/entrevistas e no questionário fechado.
- Todos os aspectos relevantes no tratamento da informação no questionário
aberto, as unidades de análise, ideias núcleo, expectativas, razões e consequente análise.
- Elaboração do questionário fechado e aplicação.
- Razões da utilização de grupos de discussão, características teóricas e
objectivos. Validação dos resultados pelos grupos de discussão formados pelos
melhores informantes.
- Produção de um questionário fechado, válido que se poderá utilizar de futuro.
As conclusões e implicações desta investigação vão ao encontro da hipótese
inicialmente apresentada, a necessidade da apresentação de um currículo inovador com
vista à mudança qualitativa na formação inicial de professores nos aspectos relativos aos
Conteúdos e metodologias
Materiais, recursos e actividades
A aprendizagem
A avaliação
O papel do professor e do aluno,
e a necessidade de conhecer as concepções dos estudantes com vista a modificar as suas
atitudes relativas ao processo do ensino-aprendizagem da Geometria.
28
Projecto de Investigação
OS EXEMPLOS UTILIZADOS
POR
PROFESORES ESTAGIÁRIOS
QUANDO ENSINAM
O CONCEITO DE FUNÇÃO
Badajoz, Setembro 2005
29
Índice
3.
Projecto de Investigação
A. Introdução
1.1
1.2
Resumen
Introdução
B. Fundamentação Teórica
1.1 Conhecimento Profissional
1.1.1 Profissão e formação do professor
1.1.2 Notas Históricas
1.1.3 Phronesis e Episteme
1.1.4 Contextualização da investigação
1.2 Conhecimento Didáctico do Conteúdo
32
32
32
41
45
46
46
49
52
54
55
2. Esquemas Conceptuais
2.1 Construção do Conceito
2.2 Exemplificação de Conceitos
60
60
63
3. Conceito de Função
3.1 Introdução
3.2 Evolução do Conceito de Função
3.3 Análise do tema “Funções” segundo os Programas
Curriculares dos 10º e 11º anos
3.3.1 Conteúdos
3.3.2 Indicações Metodológicas
3.4 Comparação entre os Sistemas de Ensino Português
e Espanhol
66
66
66
C. Escolha e Interesse do Tema
Objectivos do Estudo
D. Metodologia
1. Introdução
2. Aspectos orientadores
3. Os intervenientes
4. Recolha dos materiais
5. Sistema de categorias
6. A codificação e a apresentação
E. Análise dos dados
1. Limitações inerentes ao estudo
2. Análise dos dados
2.1 Análise do quadro de M
70
72
72
80
81
85
86
86
87
88
91
93
105
106
106
106
115
30
2.2 Análise do quadro de S
2.3 Análise do quadro de P
2.4 Análise do quadro de J
2.5 Análise por Categorias
F. Conclusões e Sugestões
1. Conclusões e Implicações
1.1 Relativas às especificidades dos exemplos
1.2 Relativas ao papel dos exemplos no ensino/aprendizagem
1.3 Relativas à existência de padrões ao nível do Conhecimento
Didáctico do Conteúdo
1.4 Sugestões para a Formação Inicial
Bibliografia
125
136
146
156
160
161
161
163
166
167
169
31
3.
PROJECTO DE INVESTIGAÇÃO:
OS EXEMPLOS UTILIZADOS POR PROFESSORES
ESTAGIÁRIOS QUANDO ENSINAM O CONCEITO DE FUNÇÃO.
A.
Introdução
1.1
Resumen
TÍTULO:
LOS
EJEMPLOS
UTILIZADOS
POR
LOS
PROFESORES
EN
PRÁCTICAS CUANDO ENSEÑAN EL CONCEPTO DE FUNCIÓN.
Siendo profesor tutor de estudiantes para profesores desde hace dieciséis años
puede adivinarse la satisfacción que ha supuesto para mí participar en la entrada en la
carrera de tantos profesores y, además, ayudarlos a superar las dificultades iniciales que
tal hecho conlleva.
La investigación expuesta en este trabajo implica a cuatro estudiantes para
profesores y el contexto en que trabajaron durante su año de prácticas.
Sabemos que cuando un estudiante para profesor se presenta a las primeras
experiencias lectivas lo hace acompañado de toda su historia. Estos estudiantes poseen,
inicialmente, toda la materia aprendida en la fase instructora durante la formación
inicial proporcionada por el centro de formación donde asistió a clase, pero también
poseen una experiencia escolar de muchos años: todas las creencias y actitudes sobre las
matemáticas y la enseñanza de matemáticas. No pretendemos, en este año de
profesionalización, apagar toda esa historia y sustituirla por aquello que se considera
apropiado para el actual profesor de matemáticas. Además, todos los profesores tienen
su tendencia didáctica, que podrá ser tradicional, espontaneista, tecnológica o
investigativa y que fueron estudiadas y utilizadas por Climent (2002), Carrillo y
Contreras (1993,1994,1995,1998) a partir de las tendencias de
los profesores
presentadas por Porlán (1992). Por todo esto, será necesario partir de esos
conocimientos y concepciones existentes y crear interacciones con las nuevas
concepciones que queremos trabajar (Blanco, 1998).
Como este trabajo incide sobre profesores en formación inicial debemos tener en
cuenta que enseñar a ser profesor implica, además de los aspectos del aprendizaje de las
32
materias de las asignaturas, el aprendizaje de los aspectos de cómo enseñar y de cómo
incluirse en el espacio educativo escolar y en la profesión (Ponte et al, 2000) porque
conocer profundamente los contenidos científicos de una especialidad, aunque sea un
requisito fundamental, no garantiza automáticamente el dominio de algunas categorías
del conocimiento pedagógico de un profesor, como el conocimiento curricular o el
conocimiento didáctico (Shulman, 1987; Grossman, 1990). En el fondo, preparar
profesores es trasmitir un conocimiento de diferente naturaleza de aquel que
tradicionalmente se ha transmitido durante años en los centros de formación. Aprender a
enseñar tiene una componente personal que se genera y evoluciona a partir de la
reflexión individual de la experiencia discente y docente (Blanco, Mellado y Ruiz,
1995). No queremos abandonar la idea de que este conocimiento apenas se transmite y
adquiere al mismo tiempo que la formación inicial, su evolución es fundamental para
una buena práctica y nunca será, por lo tanto, un conocimiento estático y momentáneo.
Por eso quisimos investigar durante este año no sólo las interacciones entre estudiantes
para profesores, entre ellos y su tutor de escuela, sino también la forma como esa
convivencia producía modificaciones significativas en las competencias que presentaron
esos estudiantes para profesores. El sentido del término competencias
debe ser
entendido como aquel que Llinares (2004) utiliza cuando se refiere a las “habilidades”
que el estudiante debe haber adquirido al superar su curso, de manera que esté
capacitado, cualificado, apto, idóneo, entendido, eficaz, preparado, etc.
La perspectiva es, por lo tanto, de cariz constructivista y, teniendo en cuenta que
se pretende que estos profesores se asuman como profesionales reflexivos, racionales,
que toman decisiones, emiten juicios, poseen creencias y generan rutinas propias de su
desarrollo profesional ( Marcelo, 1987), entendemos la investigación como integrada en
el paradigma del pensamiento del profesor.
El estudio va integrar Cuatro áreas básicas: El Conocimiento Didáctico del
Contenido; Esquemas conceptuales; la Ejemplificación; el Concepto de Función.
El conjunto de todos los conocimientos, técnicas y las capacidades personales
innatas, es aquello que permite al profesor ejercer su profesión. Concretamente, el
profesor de matemáticas, utiliza y desarrolla cotidianamente un conocimiento muy
específico, y necesariamente adecuado, para hacer inteligibles los temas para sus
alumnos, los contenidos, pero principalmente, los conceptos abstractos incluidos en los
programas escolares. Ese conocimiento fue primero designado como Conocimiento del
33
Contenido Pedagógico por Schulman en 1986; en este trabajo, utilizaremos la
designación de Marcelo (1993) para ese conocimiento: El Conocimiento Didáctico del
Contenido.
Esquemas conceptuales. De una forma muy simple, podemos identificar los objetos
puramente mentales que se obtienen de las definiciones generales como siendo
conceptos.
Concepto, esquema conceptual o estructura conceptual no son términos fáciles
de definir. Un primer contacto con el tema fue el hecho por Skemp e 1971, en su libro “
The psychology of Learning Mathematics”. Por otro lado Tall y Vinner (1981) indican
que adquirir un concepto significa construir un esquema conceptual del mismo.
La ejemplificación. “Por ejemplo” son dos palabras que encierran mucho del espíritu
de este trabajo. Es una expresión que todo profesor de matemáticas usa un sin número
de veces todos los días. Lo que atrae de esta expresión es, en realidad, lo que le sigue y
en que contexto son pronunciadas estas dos palabras. Por eso, la ejemplificación durante
la formación de profesores es, en nuestro entender, un asunto que merece un trato más
atento.
El concepto de Función. Naturalmente necesitamos de un vehículo que pueda
transportar los tres aspectos referidos anteriormente. El concepto de función fue, por
diferente razones de orden metodológica, el concepto escogido para estudiar los
ejemplos utilizados por cuatro profesores en formación; los conocimientos que ellos ya
poseen en el año de practicas y los contextos de utilización de esos ejemplos.
El Conocimiento Didáctico del Contenido, término introducido por Marcelo (1993) se
construye a partir del conocimiento del contenido que el profesor posee, así como del
conocimiento pedagógico general, del conocimiento de los alumnos y es también la
consecuencia de la propia biografía personal y profesional del profesor.
La necesidad de dar un significado preciso a los términos estructuras o esquemas
conceptuales, se pone de manifiesto en los trabajos de Skemp (1971) donde habla de
definir y aclarar ambigüedades en el sentido de los términos utilizados por el utilizados
cuando explica la forma en que los individuos construyen conceptos. Los términos
“conceptos” y “esquemas cognitivos” pueden, por ahora, ser entendidos en el sentido
dado por Skemp (1971) en “The Psychology of Learning Mathematics” donde el autor
escribe sobre la construcción de conceptos en general y de la construcción de conceptos
matemáticos en particular. Según el autor consideraremos los conceptos como
34
adaptaciones a estructuras conceptuales llamadas esquemas y un concepto es un objeto
puramente mental y requiere, para su formación, un cierto número de experiencias que
tienen algo en común y que, por abstracción, racionalizamos sus semejanzas.
Por otro lado, Tall y Vinner (1981) señalan que adquirir un concepto significa
construir un esquema conceptual del mismo. De esta forma introdujeron dos términos
que definieron como “la imagen del concepto” y “la definición del concepto”. Para
adquirir la definición de concepto podemos introducir ejemplos en el aula y usarlos de
forma que se construya la imagen de concepto (Vinner, 1991).
La adquisición de un esquema conceptual requiere que se asocien ciertos
significados a la palabra que designa el concepto: imágenes mentales (cualquier clase de
representación: forma simbólica, diagrama, gráfico, etc.), propiedades, procedimientos y
experiencias desarrolladas asociadas al concepto (Azcárate, 1995;1997).
DEFINICIÓN
ESQUEMA CONCEPTUAL
El esquema conceptual está formado por ejemplos del concepto, no ejemplos,
procedimientos a él vinculados, recuerdos de experiencias con él, propiedades, etc.
(Calvo y Azcárate, 2001). Los atributos relevantes de un concepto son las características
que un objeto debe poseer para poder ser considerado como un ejemplo de ese concepto
(Wilson, 1990; Calvo y Azcárate, 2001).
En esta investigación la adquisición del concepto se basará en un esquema
simple que,
en la Metodología, también orientará la construcción del sistema de
categorías. Es una descripción muy intuitiva basada en los pasos siguientes:
Adquisición del Concepto
Contacto inicial
Primeras manipulaciones
Dudas en sus contornos
Relaciones con otros
conceptos existentes
Aplicaciones del concepto
a la vida real
35
Para transmitir conceptos es necesario definir y ejemplificar, por este orden o
por el contrario. ¿Cuál es la importancia real de la definición formal de la
ejemplificación? ¿Qué será más importante en la ejemplificación, la definición del
concepto o el esquema conceptual de concepto? ¿Cómo nos apropiamos del concepto?
¿Cómo es que éste “madura” y se desarrolla?
Usamos el término “ejemplo” para referirnos a un amplio espectro de géneros
matemáticos tales como ilustraciones de conceptos, técnicas de demostración,
problemas, objetos matemáticos que satisfacen una condición dada, etc. (Watson y
Mason, 2002). Podemos, si quisiésemos, distinguir entre dos grandes clases de
ejemplos: los esencialmente inductivos, aquellos que apuntan para algo más general, los
que son particularizaciones de una generalidad. Usamos estos ejemplos para
personificar, o materializar conceptos abstractos y mostrar procedimientos generales; su
uso es una práctica pedagógica muy común que facilita la abstracción por parte del
alumno. También tenemos otros ejemplos, aquellos a que llamamos ejercicios. No son
inductivos, si no que cumplen un papel ilustrativo y son usados para la actividad
práctica del alumno (Rowland et al, 2003).
Usando las dos clases de ejemplos descritos, la selección de los ejemplos por
parte de los profesores no es trivial ni arbitraria, la forma de dificultad gradual y
creciente es, generalmente, bien comprendida; de esta manera, el éxito experimentado
por los alumnos a través de ejemplos rutinarios nos preparan para enfrentar otros más
desafiadores (Rowland et al, 2003). Además, la utilización de ejemplos puede ser
acertada o no, promover o no buenos aprendizajes. Siendo así, estamos interesados en
crear buenas relaciones entre lenguaje y comprensión activa, esto es, relaciones que son
efectivas en dirigir los alumnos hacia formas útiles de comprender las matemáticas
(Watson y Mason, 2002) a través de ejemplos que el profesor utiliza.
El concepto de función juega un papel particular en esta investigación. El objeto
de estudio de esta investigación no es el concepto de función en sí, reiteramos lo que ya
fue afirmado en el Capítulo Introducción, podríamos utilizar cualquier un de los
contenidos de los programas de 10º o 11º curso pero la selección del concepto de
función como vehículo de investigación ha obedecido a criterios que explicaremos en el
capítulo dedicado a la metodología.
Un número muy significativo de investigadores dedicó mucha atención al
concepto de función y publicaron ampliamente sobre este concepto y los aspectos con él
36
relacionado, entre muchos: Carmen Azcárate (1995, 1997), David Tall (1981, 1989),
Shlomo Vinner (1991), Phill Demarois (1996, 1999), Anna Sierpinska (1988) , Ed
Dubinsky (1996, 2000), Ann Sfard (1992) e Eduard Gray (1994). Sus trabajos sobre la
construcción de conceptos se basan, casi siempre, en el concepto de función.
Phill DeMarois y David Tall (1996) presentaron su visión de la forma como se
construye el concepto de función en al alumno, así como el modo de describir la forma
como ese concepto va siendo comprendido. El modelo presentado se basa en los
términos Camadas y Facetas. El término facetas se destina a describir la dimensión
relativa a la amplitud del concepto de función, mientras que el término camada se usa
para describir la dimensión relativa a la profundidad con que el concepto de función es
obtenido por el alumno.
Puesto que en este estudio recurriremos al concepto de función como un
vehículo que nos permite analizar la ejemplificación de los cuatro estudiantes para
profesores, pensamos que éste es el modelo más adecuado en esta investigación.
Por todo lo expuesto y, atendiendo a que este trabajo apenas abordará parte del
año de prácticas del grupo de estudiantes, lo que es relativo a los capítulos de las
Funciones de 10º y 11º curso, tanto en lo que concierne a la formación como a la
investigación, el vehículo de estudio será la ejemplificación en funciones presentada en
la enseñanza de estos contenidos.
37
Objetivos del Estudio:
Estudiar las especificidades de los ejemplos para establecer relaciones con la
variable del esquema conceptual.
Observar el papel de los ejemplos en el proceso de enseñanza/aprendizaje del
concepto de Función durante el año de prácticas de cuatro profesores.
Estudiar, por la ejemplificación utilizada, la existencia de patrones al nivel del
Conocimiento Didáctico del Contenido de cuatro profesores en su año de prácticas
pedagógicas.
Aportar algunas sugerencias para la Formación Inicial de Profesores con el
estudio de la ejemplificación de estos cuatro alumnos para profesores.
Considerando los objetivos propuestos y porque se pretende observar de manera
colaborativa con los sujetos integrados en su medio y, observados directamente por un
periodo de tiempo; este estudio se encuadra en el ámbito de un estudio etnográfico y
apunta para una metodología encuadrada en un paradigma cualitativo.
Por causa, también, de esos objetivos, el estudio no se hará sobre los ejemplos en
sí. Lo que se pretende es observar situaciones específicas del proceso de
enseñanza/aprendizaje por vía indirecta, ver lo que nos dicen los ejemplos, las
situaciones en que fueron utilizados y con que función y objetivos para que, a partir de
esos aspectos, podamos hacer una lectura de otros de caracterización más difícil. Los
ejemplos serán la forma y el vehículo para poder observar los conocimientos iniciales
que un profesor lleva para el terreno, cuáles son los instrumentos que su experiencia
como estudiante y la formación académica le proporcionaron y, después del análisis,
reflexionar de manera a poder mejorar su desempeño como joven profesor. Por todo
esto, este trabajo tendrá como característica principal ser un análisis descriptivo e
interpretativo.
38
La constitución del sistema de categorías de esta investigación fue dirigida por
un imperativo de simplicidad y por el propio proceso de adquisición de los conceptos de
funciones. Para este estudio se optó por un sistema simple y sin subcategorías que, de
algún modo, reflejase el proceso adquisitivo del esquema conceptual de función:
1ª Categoría. Definición: porque el primer momento pasa por la presentación de
función.
2ª Categoría. Representación: porque después de la presentación del concepto de
la función vienen los primeros contactos con sus posibles representaciones.
3ª Categoría. Características: en el sentido de señalar pormenores, porque las
primeras dudas surgen y se vuelve necesario aclararlas trabajando los pormenores de la
función.
4ª Categoría. Aplicaciones Internas: porque el concepto de función se relaciona
con otros conceptos matemáticos.
5ª Categoría. Aplicaciones Externas: porque la aplicación a la vida real y a las
otras ciencias es fundamental para una comprensión global del concepto de función y
para su enseñanza.
Sistema de Categorías
Definición
Representación
Características
Aplicaciones Internas
Aplicaciones Externas
Codificación
39
La ejemplificación de cada uno de los estudiantes para profesores fue analizada
en cada una de las categorías.
El material analizado está constituido por las entrevistas realizadas en
Septiembre de 2004 y Junio de 2005, por todas las fichas de trabajo sobre funciones
elaboradas por los cuatro informantes y, finalmente, por todas las notas de campo
recogidas provenientes de todas las clases en que los estudiantes para profesores fueron
asistidos por el tutor.
Este trabajo no fue, ni pretendía ser, un estudio exhaustivo sobre la forma de
ejemplificar de los cuatro estudiantes para profesores que se dispusieron a colaborar con
su tutor. El objetivo que se persiguió fue el de encontrarse coincidencias y discrepancias
que pudiesen ser consideradas importantes, dignas de una atención más cuidada y,
sobretodo, que su evidencia pudiese ser factor de un estudio más profundo y de una
reflexión por parte de todos y cada uno de los cinco participantes en esta experiencia
común.
En la opinión de J, que todos seguramente compartimos, está mucho del espíritu
que orientó todos y cada uno de los días en que nos ayudamos mutuamente:
“…,si una persona tiene experiencia y nunca reflexiona en aquello que está
haciendo, nunca va a conseguir llegar a la conclusión de si es buen o si es mal
profesor, si utiliza bien los ejemplos, o si no utiliza bien los ejemplos.” (Junio 2005)
Los resultados obtenidos están agrupados de acuerdo con los objetivos
formulados y están, por lo tanto, agrupados como siendo:
-Relativos a las especificidades de los ejemplos
-Relativos al papel de los ejemplos en la enseñanza/aprendizaje
-Relativos a la existencia de patrones al nivel del Conocimiento Didáctico del
Contenido
-Sugerencias para la Formación Inicial
De esos resultados consideramos que la ejemplificación presentada por el
profesor es un instrumento que puede ser usado para observar y estudiar el
conocimiento del profesor de forma alternativa o, entonces complementar los
instrumentos que hoy están disponibles.
40
1.2 Introdução
As Licenciaturas em Ensino, do sistema de Ensino Superior Português, incluem no
seu 5º ano o Estágio Pedagógico disponibilizado pela própria universidade que o
estudante frequenta.
A orgânica e funcionamento dos Estágios Pedagógicos em Portugal é,
fundamentalmente, regulamentada pela portaria nº. 431/79 de 16 de Agosto. Como se
pode observar pelo ano da portaria, 1979, este modelo de formação de professores já
existe em Portugal há 25 anos. A legislação aplicável evoluiu ao longo destes anos, de
forma a aperfeiçoar e colmatar lacunas que foram sendo identificadas.
O objectivo fundamental do Estágio Pedagógico é introduzir o estudante para
professor na profissão com um mínimo de capacidades e ferramentas que lhe permitam
encetá-la de forma competente e o menos dolorosa possível.
Um ano não é o tempo necessário, e muito menos o suficiente, para uma
independência total da tutoria mas, como bem sabemos, é mais do que em muitos países
da nossa Europa.
Nesse ano o Professor Estagiário assume TODAS as responsabilidades perante
duas turmas que lhe são distribuídas e, com elas, desenvolve um trabalho tão autónomo
e semelhante ao que o espera nos anos em que se tornar um profissional de Ensino.
Neste período não poderá ser director de qualquer das turmas mas fará uma
coadjuvância anual ao director de turma de uma das suas duas turmas. Na função
lectiva, propriamente dita, o estagiário será acompanhado por três Orientadores
(tutores): o Orientador de Escola que o acompanha diariamente e que é, na realidade, o
seu apoio quotidiano fundamental e, também, dois Orientadores da Universidade que o
acompanham com menor frequência mas com papeis igualmente fundamentais que são
o Orientador Pedagógico e o Orientador Científico. O primeiro assiste às aulas do
professor estagiário ao longo de todo o ano, orienta-o nas planificações e na forma de
desenvolver as aulas e os outros dois apenas assistem um número limitado de aulas,
normalmente 4 ou 5 por ano, mas estão disponíveis na Universidade para um apoio e
orientação mais específicos.
No final do ano o professor estagiário é avaliado pelos três Orientadores.
41
Como orientador de estágios pedagógicos que sou, por parte da escola, há
dezasseis anos se pode adivinhar o gosto que tem sido para mim participar na entrada na
carreira de tantos professores e, também, de os ajudar a superar as suas primeiras
dificuldades que tal facto comporta.
Ao contrário dos outros dois orientadores, o pedagógico e o científico, não me foi
proporcionada
qualquer
formação
específica
para
a
tarefa
de
conduzir
a
profissionalização destes estudantes para professores. O orientador pedagógico é um
professor do Departamento de Pedagogia e Educação da Universidade de Évora e o
orientador científico pertence ao Departamento de Matemática, como tais com
preparação específica para o seu papel. Pelo meu lado a preparação para a orientação
destes jovens professores foi a prática que fui adquirindo ao longo do tempo, com base
no ensaio e no erro (um mal necessário por vezes), nas conversas, reflexões e discussões
com os orientadores pedagógicos com quem colaborei e, sobre tudo no inicio, com o
grande exemplo que tive da minha própria Orientadora de escola Dr.ª Lurdes Malheiro.
Facilmente se percebe a motivação que me impele a inscrever-me num programa
de doutoramento e, neste segundo ano, enveredar por uma linha investigativa ligada à
formação inicial e desenvolvimento profissional de professores.
O objectivo é, seguramente, poder proporcionar aos jovens professores com quem
virei a trabalhar uma melhor, e de maior qualidade, colaboração e ajuda na sua entrada
nesta profissão que é ser Professor.
A escolha do objecto da investigação foi fácil para mim. Em todos estes anos
sempre me chamou a atenção a particularidade com que os professores estagiários
escolhem os seus exemplos e, mais do que isso, a situação e o modo como os aplicam. E
forçosamente, qual o efeito nos seus próprios alunos.
Bastou adicionar as duas parcelas anteriores sendo a soma resultante o presente
trabalho.
Neste trabalho queremos aprofundar um pouco sobre a exemplificação utilizada
pelos estudantes para professores e a sua aplicação no ano de estágio.
42
O estudo vai interligar quatro áreas básicas:
O conjunto de todos os saberes, técnicas e as capacidades pessoais inatas, é aquilo
que permite ao professor exercer a sua profissão. Como em qualquer profissão temos
um tempo em que nela entramos e outro em que desenvolvemos capacidades para
melhor a exercermos. Como em qualquer profissão existem conhecimentos, métodos e
técnicas que são transmitidos, que podemos adquirir e há outras capacidades que são
inerentes, inatas, à própria pessoa que desempenha essa profissão. Em particular, o
professor de Matemática, utiliza e desenvolve quotidianamente um conhecimento muito
específico, e que se quer adequado, para tornar inteligível aos seus alunos os temas, os
conteúdos, mas principalmente, os conceitos abstractos incluídos nas programações
escolares. Esse conhecimento foi primeiro designado por conhecimento do
Conhecimento de Conteúdo Pedagógico por Shulman em 1986, neste trabalho
utilizaremos a designação de Marcelo (1993) para esse conhecimento: O
Conhecimento Didáctico do Conteúdo.
Esquemas conceptuais. De uma forma muito simples, podemos identificar os objectos
puramente mentais que se obtêm das definições gerais como sendo conceitos.
Conceito, esquema conceptual ou estrutura conceptual não são termos fáceis de definir.
Uma primeira abordagem ao tema foi feita por Skemp em 1971 no seu livro “The
psychology of Learning Mathematics”. A forma como interiorizamos e utilizamos a
definição do conceito ou uma sua representação ou, segundo Vinner e Tall (1981), a
imagem do conceito, é matéria que será tratada em capítulo próprio.
A Exemplificação apresentada por professores estagiários. “Por exemplo” são duas
simples palavras que encerram muito do espírito deste trabalho. É uma expressão que
todo o professor de matemática usa um sem número de vezes todos os dias. O que atrai
nesta expressão é, na verdade, o que se segue a ela e em que contexto são estas duas
palavras pronunciadas.
O contacto do professor com os alunos é feito fundamentalmente através de
exemplos e a construção de esquemas conceptuais, que desse contacto deriva, também.
Para quem trabalha com estudantes para professores ou com professores em formação
os exemplos por eles empregues são objecto de análise e discussão, dão indícios das
necessidades apresentadas e, indirectamente, sinais da sua boa ou deficiente preparação
43
científica e pedagógica. Por isso, a exemplificação durante a formação inicial de
professores é, a nosso ver, um assunto merecedor de um olhar mais atento.
O conceito de Função. Naturalmente precisamos do veículo que possa transportar os
três aspectos referidos anteriormente. O conceito de função foi, por razões várias de
ordem metodológica, o conceito escolhido para estudar os exemplos utilizados por
quatro professores em formação, os conhecimentos que eles possuem no ano de estágio
pedagógico e os contextos de utilização desses exemplos.
44
B.
Fundamentação Teórica
Introdução
O percurso profissional de qualquer professor, seja ele empírico ou não, é
composto por episódios marcantes que provocam mudanças. Essas mudanças
significativas são, segundo Fullan e Hargreaves (1991), aprendizagens.
A investigação apresentada neste trabalho é sobre quatro professores estagiários e
o contexto em que trabalharam durante o ano da sua profissionalização.
É sabido que quando um estudante para professor se apresenta às primeiras
experiências lectivas o faz acompanhado por toda a sua história. O estudante para
professor possui, à partida, toda a matéria aprendida na sua fase instrutória durante a
formação inicial proporcionada pelo centro de formação que frequentou, mas também
uma experiência escolar de muitos anos: todas as crenças e atitudes sobre a matemática
e o ensino da matemática. Neste ano de profissionalização não pretendemos apagar toda
essa história e substitui-la por aquilo que se considera apropriado para o actual professor
de matemática. Assim, será necessário partir desses conhecimentos e concepções
existentes e criar interacções com novas concepções que lhe queremos incutir (Blanco,
1998).
Por isso quisemos investigar durante este ano não só as interacções entre
professores estagiários, entre eles e o seu orientador de escola mas também a forma
como essa convivência produzia (ou não) modificações significativas nas competências
apresentadas por esses estudantes para professores. O sentido do termo competências
deve entendido como aquele que Linares (2004) utiliza quando se refere às
“habilidades” que o estudante deve ter adquirido ao superar o seu curso, de forma a
estar capacitado, qualificado, apto, idóneo, entendido, experiente, eficaz, preparado, etc.
A perspectiva é, portanto, de cariz construtivista e tendo em conta que se promove
que estes professores se assumam como profissionais reflexivos, racionais, que toma
decisões, emite juízos, possui crenças e gera rotinas próprias do seu desenvolvimento
45
profissional (Marcelo, 1987) entendemos a investigação como integrada no paradigma
do pensamento do professor.
Este trabalho, como já deixámos antever na sua introdução, vai incidir sobre o
patamar inicial do conhecimento profissional de quatro estudantes para professores e,
mais especificamente, num dos componentes desse conhecimento que é o conhecimento
didáctico do conteúdo. Isto é, tratando-se de estudantes para professores, descrever o
estado do conhecimento profissional de onde partem após o percurso académico através
dos seus exemplos.
Neste capítulo, dedicado à recolha bibliográfica e fundamentação teórica,
trataremos de aprofundar, sistematizar e indicar os sentidos de todos os termos ligados
aos quatro aspectos principais que se interligam neste estudo:
O conhecimento didáctico do conteúdo que é um dos componentes do
conhecimento profissional, estruturas conceptuais, a exemplificação de conceitos e o
conceito de função.
1.1 Conhecimento Profissional.
1.1.1 Profissão e formação do professor
Na sociedade de hoje é necessário e fundamental um alto grau de especialização
dos protagonistas de qualquer actividade profissional. A função docente não deverá
fugir a esta regra que se vai impondo. Na particular função de professor de matemática a
formação específica em matemática não será suficiente mas é, obviamente, necessária.
Contudo, é fundamental aceitar as diferenças entre um Matemático e um Professor de
Matemática já que o conhecimento do conteúdo matemático dos professores está
relacionado com o contexto e com o próprio processo de ensino da matemática
(Llinares, 1994), isto é: “Um curso de formação inicial de professores de matemática
deve ser necessariamente diferente de um curso de matemática que visa formar
matemáticos para se dedicarem prioritariamente á investigação (Ponte, 2002, 3)
convém por outro lado não descurar o conteúdo matemático, por isso é bastante fácil
aceitar que “sem dominar, com um elevado grau de competência, os conteúdos que se
46
supõe deve ensinar, o professor não pode exercer de modo adequado a sua função
profissional” (Ponte, 2002, 4).
A formação inicial de professores recebe com frequência comentários muito
críticos de diversos sectores. Os professores universitários das áreas de especialidade
consideram que os jovens professores não saem devidamente preparados nas matérias
que irão ensinar. Os professores da área de educação lamentam que tudo o que ensinam
acaba por ser “varrido” pelo conservadorismo da prática de ensino. Os novos
professores lamentam que nada do que aprendem na formação inicial lhes serviu para
alguma coisa e que só na prática profissional aprenderam o que é importante (Ponte,
2002).
A formação inicial de professores visa formar profissionais competentes para o
exercício da profissão. Por detrás desta afirmação, aparentemente simples e consensual,
escondem-se uma imensidão de problemas. O que é um professor competente? De que
conhecimentos necessita? Que capacidades deve ter — na esfera cognitiva, afectiva e
social? (Ponte, 2002). Aceitamos que o conhecimento do professor de matemática é
bastante específico e que não basta ser um conhecimento sobre o conhecimento
matemático mas também deve incluir outros conhecimentos relacionados com o
ensino/aprendizagem e do contexto onde se realiza o trabalho docente (Blanco, 2004).
Uma das características principais de uma profissão, que poderá distinguir entre
profissionais competentes são as capacidades inerentes à boa prática das suas funções.
Especialmente interessante é a visão de Alarcão (1998) de um ponto de vista de
competências próprias do professor e sobre o conhecimento profissional, ao considerar
que
“A noção de competência profissional educativa do professor foi
olhada,
num
passado
não
muito
distante,
como
um
conjunto
de
microcompetências acumuláveis, válidas por si só, independentemente do
contexto do seu desempenho e susceptíveis de, uma vez aprendidas, possuírem a
capacidade de transferência quase automática para a vida profissional. Este
conceito
reflecte
uma
perspectiva
atomística,
analítica,
tecnicista
e
descontextualizada do conhecimento e da actuação que teve a sua expressão em
movimentos de raiz positivista e que, em formação de professores, conheceu o seu
ponto culminante na convicção de que a formação por competências, com base
47
em objectivos operacionais, seria a resposta para a formação de professores
competentes e eficazes no seu desempenho (...)
Considero que o desempenho de qualidade não resulta apenas do
domínio de certos conhecimentos e da sua articulação em acção, mas é o rosto
visível de uma competência pessoal, global, interactiva, de natureza ecológica,
caracterizada não tanto pela presença de determinados elementos, mas sobretudo
pela sua interactividade e pela sua capacidade de mobilização em situação, isto
é, na interacção com o meio ambiente. A ser assim, as microcompetências
identificadas só adquirem o seu real sentido se perspectivadas na sua
interactividade, isto é, teremos de pensar em redes dinâmicas de competências e
não apenas em listas estáticas de competências.” (pág. 48-9).
Assim temos que concordar com a visão integradora de todos os aspectos
anteriormente referidos e plasmados no conceito: O papel de um perfil de competências
nos cursos de formação de professores. A definição das competências visadas pelo
processo formativo é uma tarefa central na concepção e construção do plano curricular
de qualquer curso. Toda a formação deve assentar numa definição clara, tanto quanto
possível, das suas metas e objectivos, ponto de partida para a definição das áreas,
disciplinas, conteúdos e processos de formação e de avaliação. No desenvolvimento ou
revisão curricular dos cursos de formação inicial de professores, como de resto em
muito outros cursos, este perfil é frequentemente implícito ou mesmo omisso, partindose da definição dos territórios disciplinares, situação que tem vários inconvenientes. Por
exemplo, pode não ser coberto todo o âmbito da intervenção disciplinar ou profissional,
deixando de fora áreas de formação importantes. Ou pode não existir articulação
disciplinar em torno de critérios organizadores. Nesta perspectiva, as áreas disciplinares
tendem a constituir-se como “ilhas” completamente autónomas, cabendo ao estudante
fazer a “síntese” do que aprendeu e ser capaz de o aplicar posteriormente. Um perfil de
competências, devidamente articulado, em “rede”, pode ajudar a ultrapassar estes
problemas, servindo de guia e de orientação no processo de desenvolvimento curricular
dos cursos de formação de professores (Ponte et al, 2000).
No exercício de uma profissão é indubitavelmente importante, como se viu, a
formação inicial do indivíduo que a desempenhará. Mas para além disso todo o percurso
no exercício da profissão deve ser objecto de um cuidado especial: cada etapa tem as
48
suas especificidades, cada período contém as suas idiossincrasias. Na verdade, os
primeiros anos de prática do professor constituem um período de intenso
desenvolvimento do seu conhecimento profissional. Há uma variedade de problemas
práticos a resolver – como preparar as aulas, como se relacionar com os alunos, como
manter o controlo da situação na aula (Ponte, 2001). O conhecimento profissional é o
conhecimento necessário para desempenhar com sucesso uma actividade profissional,
que se debate com questões bastante diferentes das da vida académica ou da vida
quotidiana (Ponte e Oliveira 2002).
Outro aspecto, que se prende com todo o desenrolar da carreira, é o
desenvolvimento profissional, que corresponde aos momentos em que o professor
procura explicitamente melhorar a sua formação na área de especialidade de docência,
no domínio educativo, em aspectos de natureza cultural ou pessoal, tendo em vista o
exercício da sua actividade profissional (Ponte et al, 2000).
1.1.2 Notas Históricas
Num breve apanhado histórico sobre os principais aspectos e evoluções do estudo
do conhecimento profissional, convém destacar o que, a nosso ver, é mais importante
para o nosso trabalho e que nos permite por um lado iniciar a sua fundamentação e, por
outro, ancorar de forma firme a sua evolução. Por razões de melhor perspectivação
estão salientadas a negrito os aspectos considerados importantes no âmbito do trabalho.
No que concerne particularmente a este estudo, o conhecimento profissional do
professor é orientado para o exercício da sua actividade prática (Elbaz, 1983; Pacheco,
1995). Elbaz (1983) enfatiza largamente a componente prática do saber dos professores.
Para si o conhecimento do professor é essencialmente prático, ou seja, é um saber
orientado para a prática, um saber “de como fazer” (pág. 14). É partindo de saberes
teóricos e de saberes criados a partir da experiência que o professor constrói o seu
saber prático, isto é, o saber orientado para a sua situação prática e concreta. Esta
integração de saberes só se completa quando interage com os sistemas de valores e
crenças pessoais do indivíduo, a sua consciência axiológica. Para além da dimensão
académica, a formação inicial tem necessariamente que contemplar uma
componente que, sendo prática, é integradora de todos os saberes, tem de ser capaz
de construir soluções adequadas para os diversos aspectos da sua acção profissional, o
49
que requer não só a capacidade de mobilização e articulação de conhecimentos
teóricos, mas também a capacidade de lidar com situações concretas, competências
que se têm de desenvolver progressivamente ao longo da sua formação — durante a
etapa da formação inicial e ao longo da carreira profissional (Ponte, 2002).
A especificidade do saber dos professores é marcada por Shulman (1986), ao
incluir nas diferentes componentes do saber profissional dos professores três categorias
no conhecimento referente ao conteúdo: o conhecimento do conteúdo a ensinar, o
conhecimento didáctico do conteúdo e o conhecimento do currículo.
Dando especial relevância à componente do conteúdo disciplinar, Shulman (1986)
indica diversas fontes do conhecimento profissional dos professores: a teoria, a prática e
o domínio dos valores ideológicos e filosóficos. Note-se que enquanto há neste autor
componentes essencialmente identificadas como saber académico, como seja, o
conhecimento do conteúdo, o conhecimento didáctico não é, no seu entender, “nem
exclusivamente técnico [resultante da teoria], nem somente reflexivo [resultante da
prática]” (Shulman, 1993, 58). Para este autor, o papel do raciocínio e da reflexão são
essenciais na construção do saber: “Nós não aprendemos a partir da experiência, mas
sim do pensar sobre a experiência” (Shulman, 1993, 60).
Do trabalho de Guimarães (1996) extraímos o seguinte quadro que mostra de
forma sucinta as características de alguns modelos existentes:
O Conteúdo do Conhecimento Profissional
Modelo
cognitivo
Conhecimento do
conteúdo
Conhecimento da
gestão e organização
da sala de aula
Modelo de
Elbaz
Conhecimento do
conteúdo
Conhecimento
do
processo de
ensino/aprendizagem
Modelo de
Shulman
Conhecimento do
conteúdo
Conhecimento
didáctico do
conteúdo
Conhecimento do
currículo
Conhecimento do
meio
Conhecimento de si
Conhecimento do
currículo
Modelo de
Barth
Conhecimento do
conteúdo
Conhecimento
do
ensino do conteúdo:
• Preparação:
. selecção de tarefas
.
ordenação
de
tarefas
•Passagem à prática:
. estruturação na
aula
. interacção na aula
50
Santos (2000), na sua tese de doutoramento, também percorre numa visão
retrospectiva o que têm sido os estudos sobre o conhecimento profissional e desse
trabalho gostaríamos de destacar a seguinte passagem:
“Já Azcárate (1998) aponta uma série de características do conhecimento
profissional tal como, ser contextual, interactivo, especulativo, situado, de carácter
prático e pessoal e adaptável a contextos determinados: “O saber profissional não é
um conhecimento académico nem empírico, é um conhecimento prático” (p. 32). Por
outras palavras, segundo esta autora, se o conhecimento profissional é gerado num
dado contexto concreto, ele é produto da própria actividade. É assim um saber dirigido
à acção, integrador de outros conhecimentos que se caracteriza pela elaboração de
teorias práticas que orientam e dirigem a acção (Azcárate, 1999).” (pág. 25)
… e continua
“Leinhardt e Greeno (1986) apresentam um modelo para explicar a estrutura do
conhecimento profissional dos professores, em particular dos professores de
Matemática, baseado na psicologia cognitiva. Partindo do pressuposto que a
actividade de ensino é de elevada complexidade e, tendo o professor que se confrontar
constantemente com ambientes que variam, estes autores defendem que este
conhecimento se estrutura através de conjuntos interrelacionados de acções
organizadas, denominados por esquemas (schemata). Estes esquemas incluem as
rotinas, os esquemas de informação e a agenda. As rotinas são repertórios de
actividades que frequentemente são utilizadas. São pequenas peças de comportamentos
conhecidos, quer pelo professor, quer pelo aluno, que permitem ao professor dispor de
fontes mentais para actividades mais gerais e significativas do ensino. Os esquemas de
informação resultam de registos que o professor vai realizando, para utilizar quando
é oportuno. Por último, a agenda é um plano mental, não visível em texto escrito, que
contém os objectivos e as acções para a aula. É dinâmico e não estático, uma vez que
pode ser modificado ao longo do ensino (Leinhardt et al., 1991).
Segundo estes autores existem, para além da agenda, mais três formas de acesso
ao conhecimento profissional dos professores: (i) o curricular; (ii) as explicações; e
(iii) as representações. O guião curricular (curriculum script), é uma estrutura de
conhecimento, semelhante a um esquema, que permite ao professor interpretar
situações e actuar sobre elas. Este conhecimento sobre o modo como se ensina um dado
tópico é cumulativo e construído ao longo da experiência do professor. Inclui
51
sequências de ideias ou passos a serem introduzidos, representações a serem usadas,
notas sobre conceitos ou procedimentos que em geral criam dificuldades aos alunos. Ao
contrário da agenda, é relativamente estável ao longo da aula e é revisto ou
actualizado de uma forma cumulativa ao longo do tempo. Este guião será tanto mais
rico e flexível quanto mais estruturar em malha, e não em sequência linear, os
objectivos gerais, os sub-objectivos e as acções.
As explicações são a actividade através da qual o professor comunica aos alunos
o conteúdo da matéria. É um conjunto de técnicas usadas pelo professor. Não se reduz
aquilo que diz ou mostra. Inclui igualmente a sequência de experiências que permite
ao aluno construir uma compreensão significativa do conceito ou do processo.
Assume um papel central no ensino, não sendo mais do que formas de implementar a
agenda e o guião curricular.” (pág. 30-31).
1.1.3 Phronesis e Episteme
Para o nosso estudo importa referir que “consideraremos que o conhecimento
profissional do professor provém de quatro factores principais:
a sua cosmovisão ou ideologia
a sua experiência como discente
os saberes académicos que adquiriu
a sua experiência como docente“ (Climent, 2002, 72).
Como, para este estudo, vamos trabalhar com estudantes para professores que
nunca leccionaram, esta última componente do conhecimento profissional será,
forçosamente, apenas embrionária.
Nas relações e interligações entre a teoria e a prática é de salientar a maneira
como Kessels e Korthagen (1996, 1999) vêem a forma como a teoria se relaciona com a
prática. Estes autores assinalam que o século XX considerou o conhecimento teórico e
abstracto superior ao conhecimento essencialmente prático (as destrezas concretas ou
implícitas) para um bom desempenho em determinada actividade. Kessels e Korthagen
comparam esta situação, especialmente no que concerne à interacção entre a
investigação e a prática, às diferenças entre os conceitos da Grécia antiga de Episteme e
Phronesis, acreditando que estes dois conceitos são relevantes para a forma como a
investigação/teoria se relaciona com a prática.
52
Para Platão o conhecimento, designado por Episteme é geral, abstracto e
processual. É, na essência, Universal. As proposições ou afirmações do conhecimento
epistémico são de natureza geral, aplicam-se a diferentes situações e problemas e não
apenas a um caso concreto e específico. Consequentemente, estas afirmações são
formuladas em termos gerais e abstractos. Assim sendo, estas afirmações são tomadas
como verdadeiras e, sendo verdadeiras, são intemporais e objectivas. É o conhecimento
que nos permite fazer generalizações. Este é o conhecimento que tem sido tomado como
o mais válido e superior, já que as situações concretas são vistas como aplicações
particulares do conhecimento.
Por outro lado, o conhecimento Aristotélico, a Phronesis está contextualizado e
depende unicamente desse contexto. É uma sabedoria prática e não um conhecimento
abstracto e universal. Trata-se de um tipo de conhecimento não teórico mas antes o seu
oposto: o conhecimento sobre situações concretas. Todo este conhecimento é
contextual, permitindo que os aspectos específicos da questão em causa se sobreponham
ao princípio geral.
Em resumo, a Episteme é a teoria que se adequa a um grande número de situações,
é a teoria com “T” maiúsculo. Por outro lado a Phronesis é um conhecimento que se
aplica a situações particulares e específicas, com experiências na acção, é a teoria com
“t” minúsculo. Para Aristóteles não é possível conseguir uma boa prática apenas com
base num sistema de princípios e regras gerais.
Kessels e Korthagen acreditam que o conhecimento da prática profissional é
melhor alcançado pela Phronesis do que pela Episteme e que tentar aplicar sempre as
regras gerais e universais está, em última instância, condenado ao fracasso. Contudo,
evidenciam que a Episteme pretende, ao início, ajudar-nos a entender problemas
genéricos da situação, enquanto que a Phronesis, num segundo momento, nos ajuda a
perceber melhor os pormenores da situação e encontrar um caminho útil baseado numa
atenção dirigida a aspectos inerentes à própria situação concreta.
Assim, e relativamente ao conhecimento profissional e à formação de professores,
o caminho indicado deve ser orientado pela Phronesis. Kessels e Korthagen sugerem
que, dada a existência de um fosso entre a teoria e a prática na actividade docente,
torna-se necessário disponibilizar ao estudante um conhecimento não conceptual mas
antes perceptivo, não relacionado com regras gerais e universais mas com a própria
prática docente.
53
1.1.4 Contextualização da investigação
Em síntese, ensinar a ser professor implica, para além dos aspectos da
aprendizagem das matérias disciplinares, a aprendizagem dos aspectos do como ensinar
e do como se inserir no espaço educativo escolar e na profissão (Ponte et al, 2000),
porque conhecer profundamente os conteúdos científicos de uma especialidade, embora
seja um requisito fundamental, não garante automaticamente o domínio de algumas
categorias do conhecimento pedagógico de um professor, como o conhecimento
curricular ou o conhecimento didáctico (Shulman, 1987; Grossman, 1990). No fundo,
preparar professores é transmitir um conhecimento de diferente natureza daquele que
tradicionalmente se tem vindo a transmitir ao longo de anos nos centros de formação.
Preparar professores é ensiná-los a “ como ensinar”, transmitir-lhes um conhecimento
que tem uma componente pessoal, de reflexão individual sobre a experiência docente
(Blanco, 1998).
Como vimos atrás este conhecimento específico sobre “como ensinar” que os
professores desenvolvem para além do conhecimento de conteúdos matemáticos e
conteúdos gerais sobre psicopedagogia é, segundo Shulman (1986), o conhecimento
didáctico do conteúdo. Um conhecimento que permite transformar a matéria a leccionar
em representações compreensíveis para os alunos. Ou, também, a componente dinâmica
do conhecimento profissional que para Blanco, Mellado e Ruiz (1995), se gera e evolui
a partir dos próprios conhecimentos, crenças e atitudes que requerem um envolvimento
pessoal, cuja evolução se produz mediante um processo dialéctico entre a teoria
assimilada e a prática desenvolvida, todo isto num processo de reflexão-acção. Atendase aos termos empregues por Blanco, Mellado e Ruiz (1995), que são “ se gera e
evolui” quando se referem a este conhecimento. Não queremos deixar a noção que este
conhecimento apenas se transmite e adquire aquando da formação inicial, a sua
evolução é fundamental para uma boa prática e nunca será, portanto, um conhecimento
estático e momentâneo.
54
1.2 Conhecimento Didáctico do Conteúdo
Coube, como já vimos na secção anterior, a Shulman (1986) o mérito de chamar
a atenção para a importância de um terceiro domínio, de algum modo a meio caminho
entre o conhecimento das técnicas didácticas e pedagógicas e o conhecimento do
conteúdo: o conhecimento do conteúdo pedagógico, que apresenta como a capacidade
de compreensão profunda das matérias de ensino, permitindo encontrar as maneiras
mais adequadas de as apresentar aos alunos de modo a facilitar a aprendizagem. Este
conhecimento compreende por isso, no seu entendimento, as formas mais úteis de
representação das ideias, as analogias mais importantes, as ilustrações, exemplos,
explicações e demonstrações, numa palavra, a forma de representar e formular a matéria
para a tornar compreensível para os alunos.
O conhecimento didáctico tem por primeira vertente a disciplina a ensinar, neste
caso a Matemática. Não se trata, aqui, do conhecimento da Matemática como ciência,
mas da interpretação que dela faz o professor enquanto disciplina escolar. Para além dos
conceitos e procedimentos fundamentais da disciplina (indicados nos respectivos
programas) surgem aqui igualmente as formas de representação desses mesmos
conceitos (em diversas linguagens e suportes, incluindo representações gráficas e
simbólicas), bem como a perspectiva geral sobre a Matemática escolar, incluindo as
conexões internas (entre diversos tópicos) e externas (com outras disciplinas e áreas do
conhecimento). Ou seja, faz uma grande diferença se o professor está ou não à vontade
no que respeita aos conceitos fundamentais da sua disciplina, como também, se os vê
como fazendo parte de um todo integrado ou em compartimentos estanques. Faz uma
grande diferença se o professor considera fundamentais os aspectos calculatórios,
conceptuais ou argumentativos da Matemática, dando ênfase, em consequência, ao
ensino de algoritmos, à compreensão de conceitos ou à argumentação e demonstração
matemática (Ponte e Oliveira, 2002).
O Conhecimento Didáctico do Conteúdo, termo introduzido por Marcelo (1993) e
que utilizaremos em diante, constrói-se a partir do conhecimento do conteúdo que o
professor possui, assim como do conhecimento pedagógico geral, do conhecimento dos
alunos e é também consequência da própria biografia pessoal e profissional do
professor. A pesquisa sobre este conhecimento, nos inícios dos anos 90, trouxe para a
55
análise do processo de aprender a ensinar uma componente de referência obrigatória.
Assim, foi necessário propor as questões: como se produz o processo de transformação
do conhecimento da matéria que o estudante possui em conhecimento ensinável? Em
que medida o nível de compreensão que um professor tenha de uma disciplina afecta a
qualidade dessa “transformação”? Em que medida a formação inicial do professor
contribui para facilitar o desenvolvimento desses processos de transformação? Que
diferenças existem nesses processos segundo as diferentes disciplinas e níveis
educativos? (Marcelo, 1998).
As respostas a estas perguntas têm vindo a ser respondidas ao longo dos últimos
15 anos, aliás o próprio Marcelo refere várias destas respostas em alguns trabalhos de
1993 nos quais destaca os trabalhos de Blanco (1991) em que são analisados, mediante
entrevistas e observações, o ensino interactivo de professores de EGB (Enseñanza
General Básica) com experiência e de estudantes para professores, pondo em evidência
as diferenças entre uns e outros e, também, outros trabalhos de Mellado em que é
analisado o Conhecimento Didáctico do Conteúdo em professores de ciências.
Este tipo de conhecimento vem particularmente bem descrito por Leonor Santos
(2000) quando estabelece que:
O conhecimento didáctico do conteúdo depende, por um lado, de um
conhecimento profundo dos conteúdos e, por outro, de métodos gerais de ensino. Não
se confinando a nenhum deles, resulta da sua combinação. Através de uma
compreensão profunda, flexível e aberta do conteúdo, o professor deve possuir diversas
representações das ideias a transmitir, dispor de analogias, de exemplos e de
explicações que assentam na compreensão dos processos de aprendizagem dos alunos e
das suas concepções. Deve compreender o que torna fácil ou difícil a aprendizagem de
um dado assunto, quais as concepções e preconceitos que o aluno traz consigo e quais
as suas implicações para a aprendizagem de um dado tópico. É o conhecimento
didáctico do conteúdo que permite ao professor transformar o seu saber académico
numa forma compreensível para o aluno. É neste conhecimento que reside a diferença
entre o saber do professor de uma dada disciplina daquele que desenvolve ou trabalha
nessa área do saber. Desenvolvendo o conceito de conhecimento didáctico do conteúdo,
Shulman (1993) considera que este não é apenas um repertório de múltiplas
representações de um dado assunto. Esta forma de conhecimento é caracterizada por
“uma forma de raciocínio que é facilitadora da geração das transformações, o
56
desenvolvimento do raciocínio pedagógico” (Shulman et al., 1987, 115). Shulman
desenvolve assim um modelo de raciocínio e acção pedagógicos onde inclui:
— A compreensão dos objectivos a ensinar e de outras disciplinas;
— Uma transformação, onde considera a interpretação crítica da diversidade de
materiais já existentes disponíveis ao professor; o desenvolvimento do referido
repertório de representações, metáforas, analogias; a selecção do método de ensino e
da organização da aula e a adaptação destes aspectos às características específicas
dos alunos com que no momento está a trabalhar;
— O ensino propriamente dito;
— A avaliação enquanto se desenvolve o próprio ensino e após este;
— A reflexão que ocorre quando planifica, durante o ensino e na revisão e
avaliação sobre o que foi feito;
— Uma nova compreensão na qual ocorre o crescimento do saber sobre os
objectivos do ensino, a matéria ensinada, os alunos e sobre si próprio.
(pág. 32-34)
Esta forma de descrever o conhecimento que permite ao professor exercer
apropriadamente a sua profissão não tem estado isento de críticas, entre outras,
destacamos as de Azcárate (1998) que, referindo-se ao conhecimento didáctico do
conteúdo, afirma que o problema não reside em transformar um conhecimento noutro
mais acessível, mas sim em elaborar um conhecimento diferente das disciplinas, um
conhecimento profissionalizante da Matemática que capacite o professor numa
intervenção didáctica fundamentada. O conceito de Shulman, segundo esta autora,
reflecte uma visão muito parcial e simplificadora do saber e capacidades postas em jogo
pelo professor face ao ensino e aprendizagem do conhecimento matemático. A questão
de base provém de considerar como referencial de partida a epistemologia da própria
Matemática no desenvolvimento de um conhecimento que tem características próprias e
diversas desse referencial (Azcárate, 1999). Esta autora questiona igualmente até que
ponto é legítimo diferenciar analiticamente o conhecimento profissional em diferentes
componentes, que se configuram como separadas, se o entendermos como um todo
integrado cujo sentido de integração está definido pela sua finalidade: o ensino da
Matemática.
57
Tomando o conhecimento didáctico do conteúdo na versão de Shulman (1986) ou
de Blanco, Mellado e Ruiz (1995) que aqui já descrevemos e outros que não
descreveremos, tais como Reynolds (1991), Marks (1990), Wilson e outros (1987) e
todas as críticas associadas a uns e a outros podemos liminarmente concluir que os
estudantes para professores não podem ter adquirido durante a sua história académica, e
também não o farão em um ano de práticas, todos os instrumentos e conhecimentos
necessários ao desempenho da profissão. Esta mesma ideia é obtida como conclusão nos
estudos de Brown e Borko (1992). Segundo as autoras o conhecimento didáctico
consiste na compreensão da forma de representar os tópicos e questões disciplinares de
modo apropriado para alunos de diversos tipos de interesses e níveis de capacidades,
concluindo que todos estes aspectos estão pouco desenvolvidos nos jovens professores.
Os conceitos prévios, regras de construção e adjectivos comparativos poderão ser
o ponto de partida obtido durante a formação do estagiário. Mas o conhecimento dos
conteúdos científicos não garante automaticamente o domínio de algumas categorias do
conhecimento pedagógico do professor, tal como o conhecimento curricular ou o
conhecimento didáctico (Shulman, 1987; Grossman, 1990). O princípio que norteia toda
a formação de um estagiário leva a equacionar a forma como se podem desenvolver as
suas aprendizagens é uma importante condição para se analisar o modo de concretizar a
formação inicial de professores (Ponte et al, 2000).
O mais importante será saber quais os processos e dispositivos que os podem
ajudar mais rapidamente a ultrapassar essas limitações, assumindo um conhecimento
profissional e uma capacidade de pensar, em termos educativos, suficiente para um
adequado desempenho profissional (Ponte, 2001) .
De qualquer forma, tem sido positivo dar ênfase ao Conhecimento Didáctico do
Conteúdo, não só pelas oportunidades que oferece para esclarecer o processo de
aprender a ensinar, mas também porque, uma vez estabelecida a sua importância para a
formação dos professores, esse conhecimento se converte em critério apropriado para
avaliar a qualidade das experiências oferecidas aos professores em formação para
adquirir o referido conhecimento (Marcelo, 1998), ou bem porque chamou a atenção
para a quantidade de variáveis que determinam o conhecimento profissional do
professor e que a complexidade deste conhecimento pode, por si apenas, justificar as
dificuldades apresentadas pelos estudantes para professores para aprenderem a ensinar
(Blanco, Mellado e Ruiz, 1995).
58
Nesta linha de pensamento pensamos que o mesmo se aplica ao conhecimento
profissional do professor que é estruturado por diversos elementos. Dois deles, além do
Conhecimento Didáctico do Conteúdo, são o Desenvolvimento Profissional que é a
evolução das concepções bem como a coerência entre as verbalizadas e as
efectivamente utilizadas na acção e, também, a Identidade Profissional, isto é, o
conceito que engloba imagens que o estudante ou o professor concebem, num exercício
de introspecção, que lhes permitem referenciarem-se como elementos de um grupo
sócio-cultural de características bem diferenciadas. Essas imagens, como de resto
acontece com todo o conhecimento, são referenciais. Segundo Christiansen e Walther
(1986), construímos as nossas imagens ou representações dos objectos através da nossa
actividade e, por sua vez, estas imagens servem para a nossa orientação no meio
ambiente. Assim, a génese das imagens é regulada pela actividade. À medida que
trabalhamos com um dado objecto diversas imagens vão-se definindo, modificando,
diferenciando e articulando. Além disso, as imagens dos objectos regulam a nossa
actividade na medida em que permitem a antecipação do desenrolar dos processos
(Ponte e Oliveira, 2002).
Mas, como referido por diversas vezes, as contingências deste tipo de trabalho
obrigam-nos a estreitar os aspectos a observar. Pelo dito abordaremos apenas aspectos
relativos ao Conhecimento Didáctico do Conteúdo. Para melhor apresentação dos
resultados deste trabalho adoptaremos a diferenciação feita por Climent (2002) de
conhecimento didáctico do conteúdo referido ao ensino, que inclui conhecimentos e
recursos próprios de como se ensina, e conhecimento didáctico do conteúdo referido à
aprendizagem, que inclui o conhecimento dos aspectos próprios de como o aluno
aprende.
Já se sabe há muito tempo que se aprende matemática principalmente através da
tomada de contacto com exemplos em vez de ser directamente à custa das definições.
Efectivamente, é apenas pelos exemplos que as definições têm algum sentido (Watson e
Mason, 2002). Portanto faz sentido considerar os exemplos como elemento do
conhecimento didáctico do conteúdo que faz a ponte entre a forma como o professor
ensina e a forma como os alunos aprendem, isto é, algo que une os dois pólos deste
processo de ensinar alguém que aprende.
59
2.
Esquemas Conceptuais
Como já referimos atrás no capítulo A. Introdução, um dos aspectos principais
deste trabalho assenta na noções de “conceito” e, relacionado com ele, também os
conceitos de “esquema” e “estrutura cognitiva”. Estes termos são fundamentais na
medida em que é sobre eles que pesa a descrição do conhecimento matemático
evidenciado por determinado individuo em determinado momento. Esta afirmação
parece-nos pacífica quando o indivíduo em questão é um aluno ou um estudante para
professor de matemática.
2.1
Construção do Conceito
A necessidade de dar um sentido preciso a estes e outros termos já se mostra
evidente nos trabalhos de Skemp (1971) em que o autor se encarrega de definir e esbater
ambiguidades no sentido dos termos por ele empregues quando explica a forma como os
indivíduos constroem conceitos em geral mas também, em particular, como constroem
conceitos matemáticos. Os termos “conceitos” e “esquemas cognitivos” podem por
agora ser compreendidos no sentido dado por Skemp (1971) em "The Psychology of
Learning Mathematics" onde o autor escreve sobre a construção de conceitos em geral e
da construção
de conceitos
matemáticos
em
particular:
Segundo
o
autor
consideraremos os conceitos como adaptações a estruturas conceptuais chamadas
esquemas e um conceito é um objecto puramente mental e requer, para a sua
formação, um certo número de experiências que têm algo em comum e que, por
abstracção, consciencializamos as suas semelhanças.
Deste trabalho de Skemp podemos constatar que a construção de um conceito é
feito à custa da identificação, por abstracção, do que entre várias experiências se
mantém inalterável ou, então, o que formalmente for comum a todas essas experiências,
situações ou descrições. Estas características tendem a permanecer e persistir na
memória para lá da recordação de uma apresentação particular da experiência. O
resultado, afirma, é um objecto puramente mental e é produzido por processos
cognitivos, são adaptações de estruturas conceptuais, esquemas, às quais chama
conceito.
60
Nos anos que decorrem entre 1988 e 1995 um outro autor, Duval, desenvolve as
suas próprias explicações com base nos aspectos teóricos mais importantes de Piaget e
Skemp. Neste contexto a aquisição de um conceito dá-se no momento em que o
indivíduo coordene, sem contradições, as diferentes representações do objecto
matemático. A implicação construtivista é evidente, a estrutura conceptual estará, desta
forma, em permanente construção.
Por outro lado Tall e Vinner (1981) assinalam que adquirir um conceito significa
construir um esquema conceptual do mesmo. Desta forma introduziram dois termos que
definiram como a “imagem do conceito” e a “definição do conceito”. Para uma
aquisição da definição do conceito podemos usar o nosso quotidiano para introduzir
exemplos e usá-los de forma a construir a imagem do conceito (Vinner, 1991).
A aquisição de um esquema conceptual requer que se associem certos
significados à palavra que designa o conceito: imagens mentais (qualquer classe de
representação: forma simbólica, diagrama, gráfico, etc), propriedades, procedimentos e
experiências desenvolvidas associadas ao conceito (Azcárate, 1995; 1997)
DEFINIÇÃO
ESQUEMA CONCEPTUAL
O esquema conceptual está formado por exemplos do conceito, não-exemplos,
procedimentos a ele vinculados, recordações de experiências com ele, propriedades, etc.
(Calvo e Azcárate, 2001). Os atributos relevantes de um conceito são as características
que um objecto deve possuir para poder ser considerado um exemplo desse conceito
(Wilson, 1990 ; Calvo e Azcárate, 2001).
A Metáfora do Andaime ilustra de forma precisa o papel destes termos na
actividade matemática de um indivíduo. Na construção da imagem de um conceito a
definição tem o papel equivalente ao de um andaime durante a construção de um
edifício mas, depois de construído o edifício, o andaime pode ser retirado porque o
edifício já não necessita do seu auxilio na sustentação. Assim, o papel da definição
aparece como o suporte para a construção da imagem do conceito que, uma vez
construída, é ela a que se utiliza e dispensa a definição do conceito.
61
No âmbito deste trabalho, o estudo do conceito de função é utilizado como forma
de observar a prática pedagógica do estagiário e, pela análise da exemplificação
evidenciada, pensamos poder aferir as qualidades e características do desempenho
profissional neste ano de formação.
Outros trabalhos se seguiram que escapam ao âmbito deste trabalho, seria
praticamente impossível referir exaustivamente toda a bibliografia existente sobre este
tema. Contudo parece nos importante destacar os trabalhos de Vinner com muitos
outros investigadores, “o simbolismo e proceitos” de Tall e Gray já nos anos 90 e,
ultimamente duas teorias muito interessantes desenvolvidas por Sfard A. (1992) com a
noção de “interiorização, condensação e coisificação” e “construção reconstrução do
conceito” com encapsulação de Ed Dubinsky (1996) com particular interesse para a sua
teoria APOS (2000).
Nesta investigação a aquisição do conceito será baseada num esquema simples
que, na Metodologia, também será orientador da construção do sistema de categorias. É
uma descrição muito intuitiva que assenta nos seguintes passos:
Aquisição do conceito
Contacto Inicial
Primeiras Manipulações
Dúvidas nos seus Contornos
Relações com outros conceitos existentes
Aplicações do Conceito ao Real
62
2.2
Exemplificação de Conceitos
De início, para definição de exemplo, poderemos utilizar, segundo o Dicionário da
Língua Portuguesa 7º Edição da Porto Editora, ”Palavra ou facto que serve para
concretizar a verdade de uma regra ou afirmação”
Relativamente á exemplificação convém reforçar o seu papel no objectivo de criar
ligações e relações entre conceitos matemáticos. Esta perspectiva incluída no NCTM de
2000 vem descrita: “O pensamento matemático envolve a busca de ligações e, provocar
ligações constrói uma compreensão matemática. Sem ligações os estudantes têm que
aprender e memorizar demasiados conceitos isolados e capacidades. Com ligações, os
alunos constroem novas aprendizagens baseadas em conhecimentos anteriores.”,
podemos ver as implicações deste estabelecimento de ligações no artigo “Conections
within Mathematics” (David, H. e Shriki, A.) onde os autores expõem, com vista à
transmissão daquela perspectiva, a sua crença na necessidade de existência de uma
“meta percepção” matemática por parte dos professores.
Qual a real importância da definição formal na exemplificação? Qual será mais
importante na exemplificação, a definição do conceito ou o esquema conceptual do
conceito? Como nos apropriamos do conceito? Como “amadurece” e se desenvolve?
Com base num processo descrito pela metáfora do andaime? Existem outras
formulações, segundo Meeham, M. (2002) a exemplificação pode provocar conflitos
nos estudantes que obrigam a um re-alinhamento entre a imagem do conceito e a
definição formal do conceito que irá provocar uma reestruturação na imagem do
conceito, no seguimento do que atrás se referiu como amadurecimento do conceito.
Pode extrapolar-se este processo circular para o desenvolvimento do conhecimento do
conteúdo do professor estagiário? Além disso, o conhecimento didáctico do conteúdo
inclui: as formas mais úteis de representar os conteúdos, as analogias mais eficazes,
ilustrações, exemplos, explicações e demonstrações -
resumido: as formas de
representar e formular a matéria de forma a torná-la compreensível aos outros
(Shulman, 1986, 9).
63
Para este trabalho tem especial interesse um artigo de Tall e Thomas (1989) onde é
proposta a noção de “organizadores genéricos” que têm como propósito ajudar o
estudante na abstracção do conceito mais geral conseguida à custa da exemplificação e
contraexemplificação. Vital é a importância que os autores dedicam ao uso de contraexemplos. Também aqui se torna importante referir que já Bakar e Tall (1991) se
referiam a protótipos mentais: “ A nossa hipótese é de que os estudantes desenvolvem
“protótipos”1 , tais como uma função é como y = x, ou um polinómio, ou 1/x, ou um
gráfico sinusoidal. Quando lhes perguntamos se um gráfico é uma função, na ausência
de uma definição operatória, a mente tenta responder raciocinando com protótipos
mentais” (pág. 40). E, no caso concreto das funções, não só os alunos constroem
“protótipos”, já em Hitt (1994;1998) podemos apreciar que os professores de
matemática também têm problemas com o conceito de função.
Pelo atrás dito, decorrem duas afirmações, que não sendo verdades categóricas,
nos parecem pacíficas de aceitar.
- Pela exemplificação (exemplos e contra exemplos2) se ajuda o aluno a
construir a estrutura mental do conceito.
- Pela exemplificação utilizada pode-se observar o conhecimento didáctico do
conteúdo no jovem professor.
Para reforçar a primeira afirmação usamos o termo “exemplo” para nos referirmos
a um amplo espectro de géneros matemáticos tais como ilustrações de conceitos,
técnicas de demonstração, problemas, objectos matemáticos que satisfazem uma dada
condição, etc. (Watson e Mason, 2002). Podemos, se quisermos, distinguir entre duas
grandes classes de exemplos: os essencialmente indutivos, aqueles que apontam para
algo mais geral, os que são particularizações de uma generalidade. Usamos estes
exemplos para personificar, ou materializar, conceitos abstractos e mostrar
procedimentos gerais, o seu uso é uma prática pedagógica muito comum que facilita a
1
Protótipos: são modelos originais sobre os quais se materializa um novo padrão e do qual se retiram
representações ou cópias do mesmo tipo. São modelos básicos que possuem todas as características
essenciais do produto reproduzido
2
O papel dos exemplos e dos contra exemplos no processo de construção de um conceito é o seu papel na
visualização das propriedades definidoras desse conceito. È um processo “vivo” onde não se pode atestar
que o temos ou não o conceito, na realidade vamos adquirindo distintas aproximações dele. Assim, para
uma criança, uma galinha não é uma ave porque quase não voa e um golfinho é um peixe. Com isto
queremos dizer que as propriedades não se amadurecem todas ao mesmo tempo e podemos ter imagens
mentais incompletas.
64
abstracção por parte do aluno; depois temos outros exemplos, aqueles a que chamamos
exercícios. Não são indutivos, antes cumprem um papel ilustrativo e orientados para a
actividade prática do aluno (Rowland et al. 2003).
A segunda afirmação pode ser suportada pela forma como utilizamos a
exemplificação. Usando as duas classes de exemplos descritas, a selecção dos exemplos
por parte dos professores não é trivial nem arbitrária, a forma de dificuldade gradual e
crescente é geralmente bem compreendida, assim, o sucesso experimentado pelos
alunos através de exemplos rotineiros preparam-nos para atacarem outros mais
desafiadores (Rowland et al. 2003). Além do mais, a utilização de exemplos pode ser ou
não acertada, promover ou não boas aprendizagens. Portanto estamos interessados em
criar boas relações entre linguagem e compreensão activa, isto é, relações que são
efectivas em dirigir os alunos para formas úteis de compreenderem a matemática
(Watson e Mason, 2002) através de exemplos que o professor utiliza.
65
3.
Conceito de Função
3.1
Introdução
Quando se aborda um conceito em Matemática, uma das formas de fazer é ter
sempre em conta a abordagem Histórico-Epistemológica. Quando confrontados com
qualquer conceito põe-se imediatamente de manifesto que ao longo do seu
desenvolvimento se sucederam perspectivas diversas. A evolução do conceito é em
forma de etapas, se em determinada época uma formulação do conceito era considerada
correcta, posteriormente, seria abandonada e substituída por outra.
A análise Histórico-Epistemológica de determinado conceito não se usa em
Matemática para o seguir historicamente (cronologicamente), mas antes para concluir
sobre o seu ensino e aprendizagem. Aliás, este tipo de análise prende-se com os
paralelismos encontrados entre a evolução Histórica dos conceitos e as dificuldades com
que se enfrentam os estudantes no seu próprio percurso escolar.
Esta abordagem dos conceitos matemáticos permitiria, assim, desenvolver
modelos didácticos que tenham em conta as condições essenciais para do seu ensino e
aprendizagem.
O conceito de função joga um papel particular nesta investigação. O objecto de
estudo desta investigação não é o conceito de função em si, reiteramos o que já foi
afirmado no Capítulo Introdução, poderíamos utilizar qualquer um dos conteúdos das
programações de 10º ou 11º anos mas a escolha do conceito de função como veículo de
investigação obedeceu a critérios que explicaremos no capítulo dedicado à metodologia.
3.2
Evolução do conceito de Função
O conceito de função tem sido, nas últimas décadas, considerado fundamental no
ensino e aprendizagem da matemática. É certo que o grosso da atenção dada ao assunto
versa, sobretudo, relativamente às dificuldades de aquisição deste conceito por partes
dos alunos e, também, todos os obstáculos e concepções alternativas que todos os dias
são evidenciados. Contudo esta atenção não se manifesta apenas naquela vertente, uma
grande maioria das investigações feitas sobre a aquisição de conceitos e evolução de
estruturas cognitivas nos alunos é feita com base neste conceito. Um número muito
66
significativo de investigadores dedicou muita atenção e publicaram profusamente sobre
o conceito de função e aspectos com ele relacionado. Já referimos alguns trabalhos de
Cármen Azcárate (1995, 1997), mas também, obviamente, de David Tall (1981, 1989),
Shlomo Vinner (1991), Phill Demarois (1996, 1999), Anna Sierpinska (1988) , Ed
Dubinsky (1996, 2000), Ann Sfard (1992) e Eduard Gray (1994) cujos trabalhos sobre a
construção de conceitos se baseiam quase sempre no conceito de função.
Da revisão bibliográfica feita chamou-nos a atenção a variedade de formas de
tratar este tema e o número de investigações orientadas no sentido de aclarar pontos e
pormenores relacionados com aspectos ou sub temas do conceito de função. Não é
nossa intenção fazer um relato extensivo dos actuais interesses e linhas de investigação,
contudo há uma série de trabalhos que nos pareceram poder dar uma base orientadora à
metodologia empregue para o estudo que se desenvolve neste trabalho.
No início da década de noventa estudava-se a aquisição do conceito de função
segundo duas dimensões diferentes: em profundidade e em amplitude. Este conceito era
tanto mais aprofundado pelo aluno quanto maior fosse o grau de abstracção que ele
pudesse conseguir e, pelo outro lado, seria mais amplo se o aluno pudesse desenvolver e
inter relacionar diferentes representações do conceito de função. Nesse tempo
investigava-se o modo em como a imagem do conceito no aluno podia ser descrito
segundo estas duas dimensões (DeMarois e Tall, 1996).
Em 1996 Phill DeMarois e David Tall apresentaram a sua visão da forma como se
constrói o conceito de função no aluno, bem como o modo de descrever a forma como
esse conceito vai sendo compreendido. O modelo apresentado assenta nos termos
Camadas e Facetas. O termo facetas destina-se a descrever a dimensão relativa à
amplitude do conceito de função, enquanto o termo camada se destina a descrever a
dimensão relativa à profundidade com que o conceito de função é obtido pelo aluno.
O que nos interessou neste modelo foi o facto de se destinar exclusivamente ao
conceito de função, enquanto que os outros modelos referidos em 2.1 se debruçam sobre
a aquisição de conceitos em geral. Por outro lado, visto que neste estudo iremos recorrer
ao conceito de função como veículo que nos permite analisar a exemplificação dos
quatro professores estagiários, pensamos ser este o modelo mais adequado nesta
investigação.
67
O termo faceta deve ser entendido como “qualquer um dos lados ou aspectos” e o
termo camada como “uma das várias capas ou estratos”. A designação das várias
camadas variou desde a sua primeira apresentação em 1996 até à designação
apresentada em 1999. Tomaremos esta última por supormos que será fruto do
amadurecimento por parte dos investigadores. Com um crescente grau de profundidade
teremos Pré-procedimento, Procedimento, Processo, Objecto e Proceito. A descrição
detalhada de cada uma das camadas não cabe neste trabalho mas poderá ser consultada
em DeMarois e Tall, (1999). Contudo o termo proceito (Gray e Tall, 1994) é um termo
que merece ser descrito pela importância no que respeita à descrição e construção de
conceitos. Proceito é uma simbiose entre três coisas: um processo, um conceito e um
sinal. Assim “2+3” inclui o processo de adicionar, o conceito de soma e o sinal + que
representa tanto o conceito como o processo. No que concerne à camada mais profunda
deste modelo, o proceito apenas é alcançado pelos estudantes que evidenciam uma
flexibilidade em ver e manipular uma função tanto como um processo como um objecto
quando situados numa situação problemática (DeMarois e Tall, 1996).
Já relativamente às facetas consideramos muito importante descrevê-las, isto
porque pensamos utilizá-las para integrar o sistema de categorias, mais propriamente
para a análise do material recolhido, esse sistema será descrito no Capítulo D.
Metodologia. As Facetas estudadas em DeMarois e Tall, (1999) incluem a notação da
função, o uso coloquial da máquina de funções como caixa de imput e output,
numérica (tabelas) e geométrica (gráficos) e incluem também a verbal e a escrita.
O modelo poderá ser representado como um disco dividido em fatias, as facetas e
de sectores circulares concêntricos, as camadas, conforme a figura 1.
68
Figura 1
Este modelo ainda suporta as relações entre as várias facetas. As quatro facetas,
Numérica, Simbólica, Coloquial e Gráfica possuem ligações que poderão, ou não, ser
evidenciadas se o estudante realiza as ligações entre as várias facetas.
Numérica
(tabelas)
Simbólica
(equação)
Geométrica
(gráficos)
Coloquial
(máquina de
output e imput)
Figura 2
Interessa-nos este tipo de modelo porque se adequa ao nosso estudo de forma
muito particular pois fornece as perspectivas adequadas à observação e análise de
qualquer processo de exemplificação que se apresente num contexto de conceito de
função.
69
Porém, no nosso anseio de recolher dados e tentativa de descrever situações não
perdemos a noção de que é impossível saber o que os estudantes realmente pensam.
Tudo o que se pode fazer é ver o que eles conseguem atingir, dizer e fazer (Asiala et al,
1996).
3.3
Análise do tema “Funções” segundo os Programas Curriculares
dos 10º e 11º anos.
O tema “Funções” é um conteúdo que atravessa todo o percurso escolar de um
aluno do ensino secundário em Portugal. Tem uma importância tal que lhe são
dedicados três trimestres, um em cada um dos três anos do secundário, nos 10º, 11º e
12º anos.
Interessa, portanto, fazer uma análise mais detalhada para que se possa melhor
compreender a importância deste tema, quais os conteúdos a tratar nos 10º e 11º anos e
a profundidade e metodologias a considerar. As articulações entre os conceitos dentro
de cada conteúdo ficam plasmadas em diagramas conceptuais.
Pensamos que desta análise resultará uma imagem de qual deverá ser o tratamento
a dar aos temas e poder enquadrar aquele que foi dado pelos quatro professores
estagiários aos seus alunos.
O programa curricular referente à disciplina de MATEMÁTICA A do 10º ano do
ensino secundário, na sua reformulação de 2003, indica no que concerne ao capitulo das
Funções que: “A abordagem das funções reais considerará sempre estudos dos
diferentes pontos de vista – gráfico, numérico e algébrico – sobre tipos simples de
funções, desde as algébricas inteiras (que são tratadas no 10º ano), passando pelas
fraccionárias e acabando nas transcendentes – Exponenciais e logarítmicas ou
trigonométricas.” (pág. 2), e segue “ Os conhecimentos sobre funções, indispensáveis
para a compreensão do mundo em que vivemos, vão ser ampliados com base no estudo
analítico, numérico e gráfico devendo privilegiar o trabalho intuitivo com funções que
relacionam variáveis da vida corrente, da Geometria, da Física, da Economia ou de
outras disciplinas. Em particular faz-se o estudo detalhado de algumas funções
polinomiais e da função módulo e resolvem-se analítica, gráfica e numericamente
70
algumas equações e inequações. “ (pág. 28) e também “Este tema tem uma ênfase
muito grande na ligação entre as fórmulas e as representações geométricas. Esta
ligação é muito importante para todos os que utilizarem matemática. A capacidade de
as relacionar é uma capacidade fundamental para o mundo de hoje e do futuro e assim
este tema deverá fornecer uma formação para a vida toda tão básica como a tabuada.”
(pág. 28-29).
Por seu lado o programa curricular referente à disciplina de MATEMÁTICA A do
11º ano do ensino secundário completa um pouco mais os esquemas conceptuais no
âmbito das funções. “Tal como no 10º ano privilegiam-se funções que relacionam
variáveis com significado concreto. As operações com funções são abordadas neste
Tema. Serão estudadas funções inversas e funções compostas. As noções de taxa média
de variação e de taxa de variação/derivada desempenham um papel central neste Tema,
sendo introduzidas recorrendo a um uso informal da noção de limite. O conceito de
taxa de variação é importante para as disciplinas de ”Economia” e ”Física e
Química” pelo que é vantajoso que seja explorado em coordenação com estas
disciplinas, nos respectivos cursos gerais. A utilização de exemplos concretos dessas
disciplinas, a realização de actividades comuns ou a leccionação de algum aspecto
numa dessas disciplinas para posterior aprofundamento na disciplina de Matemática
são algumas das possibilidades que se oferecem aos professores.” (pág. 5).
De um ponto de vista abrangente, as considerações gerais que este programa
curricular (referente à disciplina de MATEMÁTICA A do 10º ano do ensino
secundário) faz no início sobre a generalidade dos conteúdos, e com as funções em
particular, prende-se com as necessidades que se presume um ensino secundário de
qualidade deve suprir, “Um cidadão com formação secundária necessita mais de
noções que de notações para enfrentar as situações que precise de compreender (e
esclarecer) e os problemas que tenha de resolver.” (pág. 5). As noções referidas são
sem dúvida conceitos ou suas construções que este estudo ilustra.
Se nos debruçarmos mais atentamente em aspectos mais particulares, isto é, no que
é importante em termos de Conteúdos e Indicações Metodológicas destes programas
curriculares, podemos ressaltar:
71
3.3.1 Conteúdos
10º
Função, gráfico e representação gráfica.
Estudo intuitivo de propriedades das funções e dos seus gráficos.
Resolução de problemas envolvendo funções polinomiais.
11º
Resolução de problemas envolvendo funções ou taxa de variação.
Estudo intuitivo de propriedades das funções racionais e dos seus
gráficos.
Conceitos intuitivos de limite, de +∞ e de -∞.
Noção de taxa média de variação e seu cálculo.
Noção de taxa de variação e sua obtenção.
Interpretação geométrica da taxa de variação.
Noção de derivada com base na intuição de limite.
Constatação com base em argumentos geométricos das relações entre o
sinal da derivada e a monotonia da função e os zeros com os extremos da
função.
Funções definidas por ramos.
Soma, diferença, produto e quociente de duas funções.
Composição e inversas de funções.
3.3.2 Indicações Metodológicas
10º
Para todos os tipos de funções devem ser dados exemplos a partir de
questões concretas (tanto de outras disciplinas que os estudantes frequentem — Física,
Química, Economia, etc. — como de situações reais — por exemplo de recortes de
jornais). Particular importância deverá ser dada a situações problemáticas, situações de
modelação matemática e a exemplos de Geometria, …
As propriedades sugeridas são: domínio, contradomínio, pontos notáveis
(intersecção com os eixos coordenados), monotonia, continuidade, extremos (relativos e
absolutos), simetrias em relação ao eixo dos YY e à origem, limites nos ramos infinitos.
O estudo das transformações simples de funções deve ser feito tanto usando papel
e lápis como calculadora gráfica ou computador; a função f tanto pode ser dada a partir
de um gráfico como a partir de uma expressão analítica.
72
Deve ser dada ênfase especial à resolução de problemas usando métodos
numéricos e gráficos, nomeadamente quando forem usadas inequações.
A resolução analítica de problemas deve ser sempre acompanhada da verificação
numérica ou gráfica.
11º
Pretende-se que os estudantes recordem propriedades das funções e
apreendam intuitivamente o conceito de taxa de variação de preferência num contexto
de modelação matemática… como boas oportunidades para discutir as noções de
domínio de funções nos contextos das situações por elas modeladas.
O conceito de limite, a ser formalizado mais tarde, deve ser utilizado de forma
intuitiva (incluindo o de limite lateral esquerdo e direito). Neste contexto devem ser
introduzidos os símbolos +∞ e -∞, devendo chamar-se a atenção para o facto de não
serem números reais, mas apenas símbolos com um significado preciso.
No caso da função inversa os estudantes precisam de analisar os casos em que será
possível inverter uma função (poderá ser introduzida noção de injectividade, apenas
como noção auxiliar) e devem constatar a relação entre os gráficos de uma função e da
sua inversa.
As articulações de todos os aspectos relativos às funções que em cima referimos
traduzem-se de forma directa nos livros de texto de 10º e 11º anos adoptados pela
Escola Secundária D. Sancho II de Elvas. Assim sendo, e para melhor visualização,
seguem-se os mapas conceptuais de tudo o que sobre funções terá que ser leccionado, e
objecto de exemplificação, por parte dos professores estagiários.
Para uma melhor visualização de todo o processo de leccionação dos temas
sobre funções, seguem-se os mapas conceptuais em apreciação:
73
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78
79
3.4
Comparação entre os Sistemas de Ensino Português e Espanhol.
Os conteúdos relativos ao conceito de Função tratados neste estudo destinam-se
a alunos de 10º e 11º anos, isto é, alunos de 16 e 17 anos. Os 10º e 11º anos são os dois
primeiros anos do ciclo, o Ensino Secundário, que compreende três anos, até ao 12º ano,
sendo um ciclo que já não está integrado no Ensino Obrigatório do Sistema de Ensino
Português e que antecede a entrada em uma de três possibilidades: o mundo laboral,
Cursos de Especialização Tecnológica ou o Ensino Superior.
Comparativamente ao Sistema de Ensino Espanhol, estes tês anos equivalem ao
último ano do Ensino Básico Obrigatório e aos dois anos de Bachillerato.
Assim sendo, o 10º ano do Ensino Secundário corresponde ao 4º da Educación
Secundaria Obligatoria e o 11º ano do Ensino Secundário corresponde ao 1º de
Bachillerato.
Se compararmos as alternativas dos dois sistemas a nível de Ensino Secundário
(16;17;18 anos) e Bachillerato (17;18 anos) verificamos que são muito semelhantes.
Nos dois sistemas os alunos podem escolher entre percursos de carácter marcadamente
científico, humanístico, tecnológico, artístico ou profissional.
No sistema português existem três programas diferentes de Matemática,
Matemática-A, Matemática-B e a Matemática Aplicada às Ciências Sociais. Os
conteúdos relativos ao conceito de função que figuram neste estudo referem-se à
programação relativa à Matemática-A, à programação relativa aos percursos científicos
que dão acesso a um prosseguimento de estudos superiores universitário ou politécnico.
O capítulo relativo às Funções de 12º ano Matemática-A contempla as funções
exponencial, logarítmica e trigonométricas aprofundando no cálculo, limites notáveis e
funções derivadas com vista a uma aplicação à resolução de problemas e a situações da
vida real.
80
C. Escolha e Interesse do Tema
Relembremos os termos “conceitos” e “esquemas cognitivos” compreendidos no
sentido dado por Skemp (1971) em "The Psychology of Learning Mathematics" onde se
referem as experiências que possuem algo em comum e que promovem a abstracção que
foi tratado no ponto B-2. Esquemas conceptuais. As experiências referidas estarão, em
determinadas ocasiões, ligadas aos exemplos que o professor proporcionará nas suas
aulas. Assim, se as definições são importantes para a estrutura do conceito não menos
importantes serão os exemplos para a construção coerente dessa estrutura
A necessidade de uso de exemplos parece-nos óbvia pois torna-se difícil que os
alunos possam aprender com base exclusiva nas definições, são os exemplos e contraexemplos que ajudam a perceber e matizar as definições dos conceitos (Orton, 1990).
Esta necessidade traduz, em parte, o que nas aulas de qualquer professor de
matemática ocupa uma substancial fatia do tempo disponível. Um dos objectivos do
ensino da matemática é a transmissão de conteúdos programáticos estipulados. Mas não
tentar ir mais além é cercear a finalidade do ensino da disciplina. Assim, mais que a
transmissão de conteúdos, devemos transmitir conceitos e esquemas cognitivos para que
a matemática faça sentido e, em última análise, se possa tornar aplicável e útil.
A exemplificação encerra em si mesma as duas faces da mesma moeda: se por um
lado tem o papel esclarecedor, por outro, se deficiente, pode criar problemas graves de
todos conhecidos – erros de conceito, concepções alternativas, obstáculos cognitivos,
etc.
Assim sendo, não é de estranhar que a forma de transmissão de conhecimentos
seja, por parte do professor, um processo que requer todo o cuidado. Perante esta
assumpção impõe-se uma escolha de metodologia. A decisão por uma ou outra
metodologia é dos assuntos por demais estudado até aos dias de hoje. Não o iremos
fazer, mas hoje uma dessas metodologias mais preconizadas é a Resolução de
Problemas (R. P.).
Contudo, qual a percentagem de professores que baseia o desenvolvimento do seu
método de ensino na RP? Pelo menos em Portugal essa percentagem não deve ser muito
81
alta. Por outro lado, se focarmos apenas os três últimos anos do ensino pré universitário,
a RP pode constituir um sério problema a muitos professores. Além disso, nem todos os
professores apresentam uma tendência investigativa, talvez uma grande parte continue
apresentando
uma
tendência
tradicional.
Tendência
tradicional
e
tendência
investigativa, bem como espontaneísta e tecnológica, são adaptações à educação
matemática utilizadas por Climents (2002), Carrillo e Contreras (1993, 1994,1995,1998)
das tendências de professores apresentadas por Porlán (1992). Consequentemente, se
pretendermos estudar o conhecimento profissional, ou mesmo o desenvolvimento
profissional, de um professor não investigativo, como se poderá fazer? Forçá-lo a
resolver problemas seria retirá-lo do seu ambiente e estudá-lo numa envolvente
artificial.
Do meu ponto de vista, existe um denominador comum a qualquer uma das quatro
tendências que é a forma de exemplificação.
Numa interpretação diferente da usual até se pode considerar a RP como uma
forma de exemplificação, complexa e completa no seu objectivo mas, contudo,
consideramo-la uma forma de exemplificar.
Como encaixa uma situação de RP na exemplificação de um conceito? Contreras
(1998) na sua tese de doutoramento indica-nos, entre outras, as definições de Kantowski
(1981) “ Um problema é uma situação que difere do exercício em que o resolutor tem
um procedimento ou algoritmo que o conduza com certeza à solução” (pág.113), Blum
e Niss (1991) “ Uma situação que envolve certas questões abertas que desafiam
intelectualmente
alguém
que
não
possui
imediatamente
métodos/procedimentos/algoritmos, etc. directos suficientes para responder “ (pág. 37)
ou então para Karl (1989) “ A resolução de problemas é o processo de aplicação dos
conhecimentos previamente adquiridos a situações novas e não familiares “ (pág.
471).
Blanco, (1993) propõe para definição de Problema, neste caso de “investigação
matemática”, como “Sendo problemas directamente relacionados com conteúdos
matemáticos, cujas proposições podem não conter nenhuma estratégia para representálos, e sugerem a busca de algum modelo para encontrar a solução. Nestas actividades
são usuais expressões como: Provar que… Encontrar todos os… Para que…é… . Este
tipo de problemas costuma associar-se com actividades que implicam conceitos difíceis
82
e um alto conhecimento matemático,…”. Segue o exemplo: Provar que se a soma dos
três termos de uma progressão aritmética é 36, então o termo médio vale 12.
Concordamos com Blanco em que um problema possa ser um exemplo de
aplicação de conceitos dentro de uma situação particular.
No fundo uma situação particular que envolva um determinado conceito será
sempre um exemplo. No quotidiano o nome será exemplo ou exercício, consoante a
situação é apresentada aos alunos resolvida ou é apresentada por resolver. Para
nós o exemplo incluirá ambas as apresentações.
Note-se que, ligado a um problema, está sempre associada a sua demonstração ou
a sua prova de resolução, é aqui que impera a necessidade de utilizar conceitos
associados à natureza do problema. Portanto, será um exemplo de conceitos ou, então,
onde aplicar determinado(s) conceito(s). Digamos que o problema é uma hipótese de
exemplo e a prova é a sua confirmação.
Partimos de um princípio de que não são apenas os professores de tendência
investigativa que são bons profissionais e assumimos que poderão existir bons
profissionais de tendência tradicional.
Por outro lado, as tendências manifestadas pelo professor no início do ano de
práticas, considerando que a falta de experiência ainda não permitiu a cristalização
efectiva dessas tendências, normalmente não são coerentes com as tendências
apresentadas em aula. Por isso, mais uma vez, podemos pensar que a exemplificação
será um veículo apropriado ao estudo do desenvolvimento do conhecimento didáctico
do conteúdo do professor durante o ano de estágio pedagógico.
Desta forma o tipo de exemplificação utilizada, os exercícios apresentados, os
problemas poderão ser um factor (entre vários) que permite estudar e aprofundar o
conhecimento didáctico do conteúdo que um professor estagiário apresenta ao longo
deste ano de profissionalização.
A necessidade de introduzir, modificar e desenvolver uma estrutura conceptual no
aluno obriga a que se modifique3 a nossa própria estrutura do conceito, à medida que
3
“Modificar” no sentido de que o conceito possa não ser utilizado mas sim transmitido, alteração do
objectivo da estrutura conceptual.
83
controlamos as várias perspectivas do conceito mais capacitados estamos para poder
transmitir (de formas diversas se necessário) o conceito em causa. No fundo, é este
processo ensino/reflexão/ensino a que nos obrigamos que melhora a nossa própria
prática e enriquece a forma como conseguimos manusear um conceito. “Cada conceito
pode ser definido de diferentes maneiras. Dispor de uma grande variedade de definições
equivalentes colabora na resolução de problemas onde o conceito está envolvido.”
(Calvo e Azcárate, 2001). Isto é a exemplificação será tanto mais eficaz quanto mais
variada for a forma de perspectivar, abordar o conceito. O atrás dito é facilmente aceite
se tivermos em conta a sensação que todos os professores já experimentaram que
“conhecemos, perspectivamos e manuseamos melhor os conceitos que já ensinámos ou
que ensinamos mais frequentemente”, o que é equivalente a afirmar que “ melhor se
exemplifica quanto melhor se controla o conceito (e vice-versa) e mais diversificada for
a perspectivação desse conceito”. A diversidade na abordagem do conceito permite uma
maior capacidade nas inflexões do professor4. Não se pense que os estagiários têm
sempre uma formação académica sólida, muitas vezes, em conceitos simples,
apresentam deficiências e limitações graves na sua manipulação e operacionalização.
“Da análise das respostas verifica-se que a maioria dos estagiários não relacionou
convenientemente, em termos gráficos, uma função com as suas 1ª e 2ª derivadas, e
muito menos relacionou o gráfico da 1ª derivada com o da 2ª.” (Almeida e Viseu, 2002).
Aliado a este facto ainda podemos juntar a insuficiente formação para transformar a
ciência em algo que se possa aprender, ou seja, um ainda fraco conhecimento didáctico
do conteúdo e imagens do conceito pobres provoca o uso de apenas alguns exemplos
prototípicos do conceito enquanto se considerar esse conceito. (Hershkowitz, 1990).
Assim sendo é perfeitamente natural que os conhecimentos dos conteúdos se
desenvolvam com a necessidade de os transmitir de forma correcta e o mais
diversificada possível. A exemplificação, de forma correcta e variada, obriga à
reestruturação constante do conceito por meio de novas e diferentes abordagens. É
interessante observar que os polinómios podem “servir como exemplos a conceitos tão
diferentes como Expressões, Sequencias, Funções, Vectores” (Arnon, I.).
4
A chamada capacidade de inflexão que é, obviamente, maior quanto maior for a experiência
(conhecimento do conteúdo) do professor. Trata-se das capacidades que o professor tem para em dado
momento seguir outra linha de raciocínio imposta pelo aluno, que não consta da planificação, mantendo a
qualidade da exemplificação e da exposição.
84
Na óptica da formação o esquema adoptado para o acompanhamento e avaliação
do grupo de estagiários é consentâneo com o modelo formativo-colaborativo. Em
oposição ao modelo sumário-tradicional, o esquema baseado na interacção indicado
pela Universidade de Évora abrange os três responsáveis pelo grupo de estágio e assenta
numa linha participativa entre todos os protagonistas, será um processo que ocupa todo
um período de um ano e a avaliação final não é baseada apenas num único momento
(autocrático) no final do processo. Este modelo de formação destaca características
próprias
- de retroalimentação que se destina a evidenciar os aspectos importantes do
ensino e da formação do estudante para professor,
- melhorar o processo formativo, respeitar as idiossincrasias de cada participante
promovendo a superação de dificuldades bem como a motivação.
Pelo dito, atendendo que este trabalho apenas abordará parte do ano de estágio do
grupo de estudantes, o que é relativo aos capítulos das Funções de 10ºe 11º anos, tanto
no que concerne à formação como à investigação, o veículo de estudo será a
exemplificação em funções apresentada na leccionação destes conteúdos.
Objectivos do Estudo:
Estudar as especificidades dos exemplos para estabelecer relações com a
variável do esquema conceptual.
Observar o papel dos exemplos no processo de ensino/aprendizagem do
conceito de Função no ano de Estágio Pedagógico de quatro Professores.
Estudar, pela exemplificação utilizada, a existência de padrões ao nível do
Conhecimento Didáctico do Conteúdo de quatro Professores no seu ano de Estágio
Pedagógico.
Trazer algumas sugestões à Formação Inicial de Professores pelo estudo da
exemplificação destes quatro Professores Estagiários
85
D. Metodologia
1.
Introdução
Este capítulo tem como função descrever e justificar as orientações
metodológicas deste estudo. Procurar-se-á explicar e fundamentar as escolhas dos
informantes, metodologias seguidas, materiais recolhidos e técnicas utilizadas para
alcançar os propósitos do trabalho.
O trabalho que desenvolvemos está ancorado no estudo de exemplos utilizados
no ensino de conceitos integrados no estudo das Funções. As características dos
exemplos, o seu papel em determinadas ocasiões, nas situações próprias de uma aula e
os benefícios e/ou danos que a sua utilização possam causar são realidades da vida
quotidiana de qualquer professor e um aprofundamento do conhecimento de todas estas
questões será certamente enriquecedora para esta nossa actividade que é ser professor.
Este estudo será limitado à utilização de exemplos no ensino de Funções por
professores inexperientes que iniciam no ano de estágio pedagógico a sua carreira
profissional. Assim sendo, todos os exemplos objecto deste estudo são próprios deste
tema específico e utilizados por estes professores no ano inicial da sua carreira.
Considerando os objectivos enunciados no final do capítulo anterior e porque se
pretende observar de forma colaborativa, com os sujeitos integrados no seu meio,
observados directamente por um período de tempo, este estudo enquadra-se no âmbito
de um estudo etnográfico e aponta para uma metodologia enquadrada num paradigma
qualitativo.
Por esses objectivos propostos o estudo não será feito sobre os exemplos em si.
O que se pretende é observar situações específicas do processo de ensino/aprendizagem
por via indirecta, ver o que nos dizem os exemplos, as situações em que foram
utilizados e com que função e objectivo para que, a partir desses aspectos, possamos
fazer uma leitura de outros mais dificilmente caracterizáveis. Os exemplos serão a
forma e o veículo para podermos olhar para os conhecimentos iniciais que um professor
traz para o terreno, quais são os instrumentos que a sua vivência como estudante e a
formação académica lhe proporcionaram e, depois da sua análise, reflectir de forma a
86
poder melhorar a sua performance como jovem professor. Por tudo isto este trabalho
terá como principal característica ser uma análise descritiva e interpretativa.
2.
Aspectos orientadores
Durante este ano o trabalho de introdução de quatro jovens professores no mundo
da educação matemática será melhor estudado e, se possível, melhor compreendido.
Iremos dar a ênfase à atitude, não à prática. A prática será um guia e não o
caminho. Abordaremos o problema sob o ponto de vista da Investigação Colaborativa
em educação. Concordamos com J.M. Escudero (1989, 1990, 1992) quando afirma ser
uma prática de indagação na aula que terá de se inspirar em certos critérios gerais de
orientação em vez de um conjunto de passos e procedimentos a aplicar. No presente
trabalho o papel do investigador é também o de orientador do grupo de estágio e, por
sua vez, o grupo de estágio também é, ele próprio, o grupo em estudo. Não achamos que
possa existir incompatibilidade de situações.
A Investigação apresentará um cariz Colaborativo se existir um grupo harmonioso
de indivíduos que fazem confluir as suas experiências, emoções, conhecimentos e
energias com o objectivo de construir novos conhecimentos. Este objectivo será melhor
alcançado se juntarmos as linhas autobiográficas e heterobiográficas de cada elemento,
em que a primeira aporta as experiências e conhecimentos de cada um e a segunda
realça o contraste de experiências, servindo a do indivíduo para enriquecer as
experiências do grupo. No fundo a investigação colaborativa ultrapassará o mero
processo didáctico, será uma atitude numa tarefa que um grupo realiza e, sobretudo,
comparte.
Os exemplos são simultaneamente um produto e um instrumento que o professor
usa. Como em qualquer profissão, os instrumentos de trabalho de um professor por
vezes são criados por ele próprio e outras são fruto da criação de outro professor, num
caso cabe estudar o instrumento em si e noutro a utilização que dele é feita.
Será tida em consideração uma opinião dos quatro professores estagiários antes
da criação e utilização dos exemplos bem como outra após esses momentos. Como foi
amplamente focado nas considerações teóricas deste trabalho a análise e reflexão sobre
a prática é o que nos permite melhorar e ajudar a melhorar, em virtude dos três
momentos identificados, a saber: uma primeira entrevista, a recolha da informação
87
sobre os exemplos e a segunda entrevista. A análise e reflexão entre todos os
intervenientes ao longo de todo o processo foi uma constante, permitiu esclarecer
dúvidas e aclarar pormenores logo no momento em que surgiram.
3.
Os intervenientes
Os protagonistas deste estudo são os quatro professores estagiários que por
designação superior foram colocados na Escola Secundária D. Sancho II de Elvas.
Como já foi referido no capitulo 1 são alunos do 5º ano da Licenciatura em Ensino da
Matemática da Universidade de Évora e que neste último ano fazem a sua
profissionalização numa escola acompanhados por três orientadores. Dois são
designados pela Universidade, um com responsabilidade científica e outro com
responsabilidade pedagógica sobre os estudantes para professores. O terceiro é
disponibilizado pela escola onde os quatro se encontram a realizar o estágio pedagógico.
É este terceiro orientador que mais colabora com os estudantes para professores, que os
acompanha diariamente no ano de estágio e que é, também, o autor deste estudo.
Os quatro professores que são os quatro informantes deste estudo não foram
escolhidos ou sorteados. Os processos internos da Universidade de Évora ditaram que
seriam estes quatro estudantes os integrantes do núcleo de estágio da Escola Secundária
D. Sancho II de Elvas. Questionados sobre a sua disponibilidade para integrarem a
equipa de trabalho a constituir todos eles optaram por uma resposta afirmativa.
A posição do orientador de escola é privilegiada pelo contacto, reflexão e
direcção dos professores estagiários. Será, portanto, natural que esta investigação tenha
uma forte componente colaborativa, funcionando esta colaboração nos dois sentidos. Se
por um lado o orientador da escola ajuda os estudantes para professores na entrada na
carreira, também eles, enquanto informantes, com a sua colaboração permitem ao
investigador retirar conclusões e respectivas implicações para a sua futura actuação no
papel de orientação na formação inicial de professores.
Os professores serão doravante designados por M, S, P e J.
88
M é uma professora de 23 anos cuja principal característica é a serenidade do
seu trato com as pessoas. A forma suave como trata os alunos é muito bem recebida por
estes e toda a sua actividade profissional é influenciada pela forma ponderada como
aborda todos os aspectos relativos à sua vida de professora. M sabe ouvir, mesmo tendo
muitas ideias originais, e põe em prática as sugestões dos colegas e dos seus
orientadores conseguindo uma simbiose entre o que ouve dos outros e o que pensa por
si. M empenhou-se todos os dias em trabalhar o melhor que pôde e de acordo com as
solicitações dos alunos, encarando o seu ano de estágio como uma oportunidade para
melhor iniciar a sua carreira de professora.
S tem 24 anos e é uma professora muito intuitiva e espontânea que não gosta de
preparar as suas actividades com demasiada minúcia, mas que consegue que saia tudo
muito bem de forma espontânea. S tem uma característica intrínseca de líder e liderava,
de facto, o grupo dos quatro estudantes que constituíam o núcleo de estágio. É ela que
exibe o melhor currículo académico, tendo também estado na Bulgária integrada no
programa Erasmus. Como Professora fez jus às expectativas que criou e revelou possuir
umas capacidades inatas que lhe permitirão ser uma profissional de excepção. Os alunos
estranharam, de início, a sua exuberância que após os primeiros contactos não foi factor
de perturbação nas relações com eles mas, pelo contrário, de grande empatia. A
necessidade de reflexão é uma boa característica que tem mas utiliza-a depois dos
episódios e não antes. Como não gosta de prepara e prever aposta no seu instinto mas
não deixa de reflectir sobre o que lhe chamou a atenção. Por isso S aproveitou o ano de
estágio pedagógico para ver e reflectir, não apenas sobre si mas também sobre os outros
companheiros e sobre o orientador a cujas aulas assistia.
P também tem 24 anos e é o oposto de S no que se refere a preparação e previsão
do que vai fazer. P é muito meticulosa, não arrisca na sorte e prefere tentar controlar
todas as variáveis que constituem uma aula. As aulas de P são preparadas ao pormenor,
os exemplos, exercícios, as exposições da matéria, etc. As suas aulas desenrolam-se de
uma forma muito premeditada. Contudo se a aula não decorre como foi previsto P não
entra em pânico e tenta trazer, sem sobressaltos, a aula ao caminho que havia
previamente traçado. Pela preparação que teve normalmente consegue fazê-lo sem que
se note qualquer ansiedade da sua parte. É uma professora amiga dos seus alunos e estes
apreciam o seu carácter afável e a maneira como os trata. A forma como o seu estágio se
desenvolveu permitiu-lhe aprender com algumas situações com que se deparou,
principalmente que não se conseguem controlar todas as variáveis mas, tal facto, não é
89
motivo de demasiada apreensão para si. Como qualquer um dos outros quatro tem boas
razões para esperar ser uma profissional competente.
J tem 25 anos no início do estágio pedagógico. Este facto não o força a ser o
mais formal perante os alunos, na realidade era o que mais próximo deles estava em
termos de vivência pelo facto de ainda se sentir mais estudante que professor. J era
muito solicitado para actividades, tanto extra-lectivas como lectivas, com os seus alunos
e tinha com eles uma relação muito próxima, o que lhe permitia comunicar com os
alunos com imensa facilidade. J manifesta um apreço evidente pelo que faz e a alegria
com que começa os seus dias promete uma realização profissional fácil de alcançar. J
não domina os conteúdos científicos com a facilidade das companheiras mas isso não o
impede de ensinar com um rendimento que não é comum a um professor no primeiro
ano de actividade, a facilidade com que desce ao nível dos conhecimentos dos alunos é
o seu trunfo. A sua relação com os restantes elementos do grupo é afável e muito alegre
proporcionando ao grupo uma animação e ambiente propício ao trabalho em conjunto,
sendo por isso um professor com quem se pode colaborar com muita facilidade.
Estas são algumas das características que os quatro estudantes para professores
mais evidenciaram e esta descrição, por certo muito limitada, não é um retrato completo
de todos eles.
As professoras estagiárias M e S constituem um par pedagógico e a professora
estagiária P e o professor estagiário J constituem o outro. Por este facto, muito do
material recolhido é comum aos dois professores e se as considerações a esse material
são muito semelhantes isso justifica-se pela colaboração normal entre os dois elementos
do par.
A cada par pedagógico foram distribuídas uma turma de 10º ano (alunos de 1516 anos) e uma turma de 11º ano (alunos de 16-17 anos) e cada par assumia a sua
responsabilidade integral perante essas turmas.
90
4.
A recolha dos materiais
O conceito escolhido para este trabalho foi o conceito de função. Os motivos
desta escolha prendem-se com questões de ordem cronológica e de conveniência. Os
meses de Setembro a Dezembro foram utilizados na preparação e revisões bibliográficas
da investigação, começando o trabalho de campo apenas em Janeiro. Ora neste mês é a
altura em que se inicia o estudo das funções tanto no 10º como no 11º anos do ensino
secundário português. Assim, este foi o tema escolhido onde os exemplos foram
recolhidos. Os conteúdos constantes no tema que constam no programa receberam as
siglas:
Ref - Referências às categorias nas duas entrevistas
10F-10º ano “Funções”
10Ppd-10º ano “Propriedades das Funções”
10Pls-10º ano “Polinómios”
11Rac-11º ano “Funções Racionais”
11Op-11º ano “Operações com Funções”
11Drv-11º ano “Taxas de Variação e Noção de Derivada”
Por outro lado os materiais disponíveis para análise são:
1- as notas de campo recolhidas e anotadas nos planos de aula durante as
observações das aulas dos estagiários.
2- as fichas de trabalho que os estagiários elaboraram e apresentaram aos seus
alunos para resolução, quer na sala de aula, quer como trabalho para casa.
3- As entrevistas feitas aos pares pedagógicos, a J e P em Setembro de 2004 e
em Junho de 2005; e a S e M em Setembro de 2004 e em Junho 2005.
aos quais foram atribuídos os seguintes Códigos:
Ent1 para a entrevista que recebeu o número 1 (1 até 4)
PA3 para o plano de aula assistida designada pelo número 3 (neste caso)
FT6 para a ficha de trabalho que recebeu o número 6 (neste caso)
91
Quadro de Materiais Recolhidos
Notas de Campo retiradas
Fichas de Trabalho
Entrevistas os professores
das aulas assistidas.
apresentadas aos alunos.
estagiários.
Aulas assistidas de M:
Fichas de M e S:
Entrevista a M e S:
PA1, PA2,…,PA7.
FT1, FT2,…, FT11.
Ent2 (Setembro 2004)
Aulas assistidas de S:
Fichas de P e J:
Entrevista a P e J:
PA8, PA9,…,PA12.
FT12, FT13,…, FT21.
Ent1 (Setembro 2004)
Aulas assistidas de P:
Entrevista a M e S:
PA13, PA14,…,PA19.
Ent4 (Junho 2005)
Aulas assistidas de J:
Entrevista a P e J:
PA20, PA21, PA22.
Ent3 (Junho 2005)
Como foi referido a investigação conta com três momentos importantes: 1ºrecolha das opiniões dos professores no início do estágio, 2º- recolha de exemplos
utilizados por eles durante o trabalho quotidiano deste ano e 3º- recolha das
considerações dos professores no final deste período.
Para estes três momentos foram feitas duas entrevistas utilizadas no 1º e 3º
momentos e durante o 2º momento foram recolhidos elementos de análise das aulas a
que o orientador assistiu e as fichas de trabalho elaboradas pelos professores estagiários.
As entrevistas incluem cinco temas diferentes com cerca de cinco questões cada
uma. São entrevistas semi-estruturadas em que a sequência inclui questões com alguma
generalidade para que não orientem a resposta em demasia, mas também com a
objectividade suficiente par obrigar os entrevistados a responder segundo uma linha
condutora. O guião das entrevistas bem como as suas transcrições encontram-se na parte
destinada aos anexos deste trabalho.
Nas aulas assistidas recolheram-se os exemplos utilizados pelos professores e
anotaram-se os contextos em que esses exemplos foram utilizados nas próprias folhas
com os planos da aula entregues, pelos professores observados, no início da aula.
92
As professoras M e S geriam as suas aulas de forma distinta de P e J. O primeiro
par pedagógico optou por um método que envolvia as duas professoras
simultaneamente. Tanto M como S assumiam o mesmo papel na sala de aula,
simultaneamente dirigiam a aula ou assistiam os alunos não havendo em nenhuma
ocasião um protagonismo de apenas uma.
De forma diferente estabeleceram P e J a forma de condução das suas aulas.
Semanalmente um dos elementos do par pedagógico assumia a direcção dos trabalhos
funcionando o outro como assistente ao seu trabalho. Isto numa das duas turmas, na
outra os papéis invertiam-se. Semana a semana existia uma troca de forma que,
intermitentemente, assumisse ora um ora outro o papel no 10º e no 11º anos.
Pelo exposto, os planos de aula assistida foram necessariamente diferentes.
Enquanto nuns figuravam como professores S e M simultaneamente, já nos outros
figuravam apenas P ou J e, consequentemente existem planos com exemplos de M e S e
planos só com exemplos de P e planos só com exemplos de J.
Os planos de aula com todos os exemplos e anotações bem como as fichas de
trabalho estão disponíveis no capítulo que inclui todos os anexos ao trabalho.
Os elementos recolhidos em entrevista são de natureza diferente dos exemplos
constantes nas fichas de trabalho e obtidos nas aulas assistidas, por isso a forma de
analisar é forçosamente diferente mas terá que ser incluído no mesmo sistema de
categorias. A elaboração do sistema de categorias teve, consequentemente, de ser
suficientemente objectivo para incluir os exemplos utilizados pelos professores
estagiários mas, por outro lado teve também de gozar de alguma subjectividade que
permitisse incluir referências emitidas nas entrevistas.
5.
O sistema de categorias
Na bibliografia consultada encontrámos algumas classificações de exemplos.
Como já considerámos na secção 2.2 do Capítulo B. Fundamentação Teórica que os
exercícios eram considerados exemplos cabe enunciar algumas classificações de
exercícios sem, contudo, as descrever pormenorizadamente.
Blanco em 1993 estabeleceu as diferentes actividades relacionadas com a
resolução de problemas no ensino da matemática em oito tipos: 1) exercícios de
93
reconhecimento; 2) exercícios algorítmicos ou de repetição; 3) problemas de tradução
simples ou complexa; 4) problemas de processos; 5) problemas sobre situações reais; 6)
Problemas de investigação matemática; 7) problemas de puzzles e 8) histórias
matemáticas.
Sobre exemplos, propriamente ditos, existem vários trabalhos de Mason e
Watson que abordam o tema por via de uma tipificação de exemplos, chamamos
atenção para os artigos “The exercise as mathematical object: Dimentions of possible
variation in practice” onde analisam o caso em que se apresentam aos alunos colecções
de exemplos de dificuldade e complexidade crescente de forma a que eles se envolvam
mais profundamente com estruturas matemáticas e, também, para o artigo “Getting
studants to create Boundary Examples” (2001). Assim, neste artigo propõem um tipo de
exemplos aos quais lhes chamam exemplos delimitantes (boundary examples), casos
particulares, no sentido que levam o conceito até aos seus limites quando, por via da
definição, esses limites (fronteiras) não são claros. E apresentam a conjectura de que “se
não formos capazes de criar exemplos delimitantes para determinado teorema ou
processo, então é porque não o compreendemos ou abarcamos na totalidade” (Mason e
Watson 2001, 9).
Próximo de uma categorização, mas sendo antes uma separação em classes,
encontrámos uma listagem de Michener (1978) que identifica quatro classes de
exemplos: 1) exemplos de iniciação; 2) exemplos de referência; 3) exemplos modelo ou
genéricos e 4) contra exemplos. Os primeiros funcionam como motivação; os segundos
formam, de alguma maneira, um inventário, onde o conceito aparece repetidas vezes; os
terceiros “encapsulam” (ver trabalhos de Dubinsky) o que se assume por defeito, isto é,
a partir desse ponto um exemplo modelo torna-se um exemplo de referência; e os
quartos demonstram que determinadas afirmações são falsas.
Para estudar o papel que os exemplos jogam na didáctica da matemática
Rowland et al (2003) criaram um sistema de 18 códigos que são atribuídos a 18
aspectos apresentados pelos exemplos de estudantes para professores de primária. O
objectivo era classificar os estudantes pelo estudo dos exemplos bons ou dos exemplos
pobres que eles apresentaram. Embora não tenham encontrado relações directas entre
conhecimento matemático e competências pedagógicas, puderam, isso sim, esclarecer
certas ligações entre estes dois conhecimentos pela observação de determinados
momentos e episódios.
94
A constituição do sistema de categorias desta investigação foi norteada por um
imperativo de simplicidade e pelo próprio processo de aquisição dos conceitos de
funções como vimos na secção B.2. Esquemas Conceptuais. Para este estudo optou-se
por um sistema simples e sem subcategorias que, de algum modo, reflectisse o processo
aquisitivo do esquema conceptual de função:
A 1ª Categoria será a Definição, porque o primeiro momento passa pela
apresentação da função.
A 2ª Categoria será a Representação, porque após a apresentação do conceito da
função vêm os primeiros contactos com as suas possíveis representações.
A 3ª Categoria será Características, no sentido de pormenorizações, porque as
primeiras dúvidas surgem e o seu esclarecimento torna-se necessário trabalhando os
pormenores da função.
A 4ª Categoria será Aplicações Internas, porque o conceito de função se
relaciona com outros conceitos matemáticos.
A 5ª Categoria será Aplicações Externas, porque a aplicação à vida real e a
outras ciências é fundamental para uma compreensão global do conceito de função e
para o seu ensino.
Justificadas as categorias criadas seguem as discrições de cada uma delas:
1. Definição.
Os exemplos considerados nesta categoria são aqueles que se apresentam aos alunos
imediatamente após a definição do conceito, passando de uma situação geral que é a
definição para situações concretas desse conceito. São pois os primeiros exemplos.
Contudo, em alternativa, se for essa a escolha do professor, estes primeiros exemplos
podem surgir antes de se apresentar a definição. Isto é, em primeiro lugar o professor
apresenta
uma
série
de
exemplos
que
evidenciam
características
comuns;
posteriormente, com base nessas características, a definição do conceito surge
naturalmente escrita pelos alunos. Ao invés, esta alternativa configura uma transição do
particular para o geral, de situações concretas do conceito, os primeiros exemplos, para
uma outra situação de carácter mais abrangente, a definição desse conceito.
95
A origem destes exemplos assenta fundamentalmente na planificação que o
professor fez antes da leccionação do conceito, sendo escolhidos segundo os critérios
pessoais do professor e a forma como são apresentados é feita no seguimento da
planificação e da estratégia adoptadas.
De acordo com planificação e estratégia referidas os exemplos podem apresentar
qualquer das suas facetas: gráfica, numérica, algébrica, etc. A faceta que formará o
exemplo será aquela que melhor servir as intenções do professor e os objectivos
propostos, por isso pode ser um exemplo puramente matemático ou configurar uma
situação da vida real, mas terá que ser sempre uma situação de apresentação que
envolva o conceito.
Assim, estes exemplos inicialmente propostos pelo professor e trabalhados com os
alunos visam apenas um contacto inicial com o conceito. Este contacto pode ser
individual ou em grupo dependendo, mais uma vez, da estratégia adoptada pelo
professor.
Convém neste ponto realçar que estes exemplos muito simples, como se disse, se
destinam a apresentar o conceito, seja o de função no seu aspecto inicial, seja de algum
tipo de função cujo estudo se produza nestes 10º ou 11º anos.
Com estes exemplos pretende-se apenas mostrar ou sugerir aspectos gerais e
fundamentais do conceito. Como referimos atrás, são exemplos que pelos seus traços
comuns se destinam a realçar aquilo que caracteriza o conceito na sua base, isto é, os
fundamentos para a construção desse conceito.
Por serem conceitos que, na maioria das vezes, são apresentados pela primeira vez e
porque nesta fase de apresentação do conceito se pode esperar o surgimento de
situações falsamente abrangidas pela definição, esta categoria também inclui os contraexemplos básicos, necessários à exclusão desses exemplos que, por semelhança ou pela
existência de conceitos prévios, possam induzir falsas características ou conduzir a erros
na construção do conceito.
Consideremos o exemplo 1-11Op-22-PA4-M 5:
( g f )(−2) = g ( f (−2)) = g (−3) = −
11
2
5
O código do exemplo é apresentado caso, após a leitura da secção 6. Codificação deste capítulo, o leitor
queira retornar a este ponto.
96
Este é um exemplo que se apresentou aos alunos de 11º ano logo após a definição de
função composta. Este exemplo utiliza a faceta analítica e é uma ilustração
particularizada da definição que foi proposta aos alunos na linguagem simbólica.
Esta definição de função composta também foi exemplificada na faceta gráfica,
observe-se o exemplo 1-11Op-45-PA9-S :
A
B
1
C
13=f(1)
f
15=g(13)
g
que é um exemplo dado logo após a definição, simples e que apenas pretende ilustrar
graficamente o processo para determinar g(f(1)).
2. Representação de uma função.
Uma vez introduzido o conceito, depois de os alunos terem com ele tomado um
contacto inicial e se terem apercebido das suas características basilares surge um
segundo momento com os exercícios típicos ou com as primeiras situações
problemáticas do conceito em causa. Quer os exercícios quer as situações problemáticas
surgem de preferência quando o aluno já se situou no conceito a aprofundar, isto é, após
a apresentação do conceito e são escolhidos com base em critérios pessoais e de acordo
com as preferências do professor.
Uma das diferenças entre estes exemplos e os da categoria anterior prende-se com o
facto de que a autonomia do aluno em relação ao exemplo deverá se maior, o papel do
professor deverá ser menos participante de forma a promover um maior envolvimento
do aluno com o exercício ou com problema.
O surgimento destes exemplos dá-se independentemente das tendências didácticas
do professor, pode dar-se por via de uma actividade prática, de alguns problemas de
97
baixo grau de complexidade propostos pelo professor ou, simplesmente através de uma
ficha de trabalho no sentido tradicional.
São exemplos que ilustram as diversas formas de representar os vários tipos de
função em estudo dentro das programações dos 10º e 11º anos. Seguindo estas
programações atentamente podemos verificar que pelas funções tratadas poderão ser
fundamentalmente exemplos simbólicos, algébricos ou gráficos e não se esperam,
portanto, grande frequência no aparecimento de exemplos de tipo coloquial ou de
tabelas numéricas, embora estas duas últimas facetas não se possam excluir totalmente.
Podemos mesmo assegurar que desse seguimento atento dos programas pode notar-se
que existem temas em que as primeiras abordagens são especificamente com base nestas
duas facetas não deixando, no entanto, de ser abordagens transitórias.
Com o aluno plenamente envolvido neste tipo de exemplos, manuseando-os,
superando as dificuldades que estes exemplos apresentem, pretende-se alargar as formas
possíveis do aluno abordar o conceito. Com uma colecção adequada destes exemplos o
professor que os propõe pretende trabalhar de forma específica as diversas facetas do
conceito em estudo, os exemplos permitem ao aluno aperceber-se das diferentes
aproximações e das diferentes perspectivas relativamente a uma mesma relação entre
duas quantidades, isto é, aperceber-se da característica fundamental do conceito de
função.
Com estes exemplos, com as primeiras dificuldades decorrentes do incremento de
autonomia do aluno e com o início da construção do esquema conceptual pretende-se
que o aluno, em situações concretas, enfrente as primeiras perguntas, as primeiras
dúvidas e solicite esclarecimentos surgidos deste primeiro contacto com a função em
causa. Estes exemplos promovem já uma atitude mais inquiridora por parte do aluno,
motiva a sua curiosidade com a vantagem de serem situações facilmente manipuláveis.
É o caso do exemplo 2-10F-68-PA15-P onde P solicita aos alunos um primeiro cálculo
dos zeros de uma função apresentada na forma analítica:
Calcule os zeros das funções:
a)
0.2 x − 8 = a ( x)
98
Este tipo de exemplo pode ter expressão na faceta gráfica, nessa mesma aula, no
exercício seguinte, P pede aos alunos que determinem os extremos relativos da função,
exemplo 2-10F-69-PA15-P:
-2
1
2
3
4
5
6
Como se pode ver é um exemplo onde os alunos fazem as primeiras abordagens
de forma autónoma ao conceito de extremo relativo, a faceta gráfica é a que melhor
ajuda a visualizar este conceito.
3. Características de uma função.
Este tipo de exemplos surge após a fase exploratória do conceito, quando o aluno
empreende e ataca a tarefa de aprofundar o conceito nas suas várias facetas descobrindo
as suas particularidades. Construir uma estrutura ou um esquema conceptual é um
processo composto de numerosas etapas consecutivas, cada uma delas com as suas
dificuldades inerentes. Nesse processo as dificuldades requerem exemplos como forma
de serem superadas, isto é, como esclarecimento às dúvidas do aluno ou como forma de
resolver situações de confusão.
No desenrolar da relação de aprendizagem que se estabelece entre o aluno e o
conceito os exemplos desta categoria são resposta àquelas situações de dificuldade cujo
aparecimento é esperado por qualquer professor. Não há temas que sejam leccionados
sem provocar algum sobressalto a algum aluno em alguma altura, logo essas
dificuldades são esperadas, o que se sabe é que essas dificuldades são de localização
temporal indeterminada e contornos imprecisos. Os professores com mais experiência
podem ter uma facilidade acrescida em prever o aparecimento dessas situações em
comparação com aqueles que iniciaram a leccionação há menos tempo. Os exemplos
99
dedicados às situações de dúvida ou confusão podem apresentar-se antes de estas
situações surgirem, mas essa apresentação, qualidade e profusão dependem da
capacidade de previsão, experiência e originalidade do professor.
Dependendo da característica do conceito os exemplos relativos às características de
uma função são apresentados tanto de forma oral como escrita mas baseiam-se,
fundamentalmente, numa interacção imprevisível entre professor e aluno e, por isso, são
exemplos menos planeados e mais improvisados. É natural que certas facetas sejam
melhor exemplificadas na forma oral, outras de forma escrita, cabe ao professor
escolher a forma que melhor se adequar à característica do conceito que se pretende
realçar, destacar ou explicitar. Assim, depois de escolhidos ou elaborados os exemplos
eles podem apresentar um aspecto formal ou, então, apresentar-se sob a forma de
analogia, metáfora, colecção de exemplos, cadeia lógica, etc.
Como já se deixou antever são exemplos que, se bem escolhidos, pretendem por um
lado esclarecer e clarificar as características do conceito e, por outro, eliminar dúvidas e
a obviar situações de confusão. Os exemplos desta categoria destacam-se pela
importância que assumem no processo de construção da estrutura do conceito, se
quisermos, na construção da imagem desse conceito. Estes exemplos realçam
pormenores e assentam nas características específicas do conceito da função em estudo,
promovendo a construção correcta e rigorosa da sua estrutura, visando concluir,
generalizar e sistematizar no final de cada etapa.
Como finalidade estes exemplos perseguem a correcta construção dos conceitos e
são fundamentais para uma progressão segura no decurso do ensino/aprendizagem da
Matemática e, para isso, são necessários para ancorar cada passo, dar-lhe solidez e
acautelar situações futuras, como seja, preparar situações de problema que surgirão
posteriormente.
O exemplo 3-10F-96-PA20-J mostra como o professor esclarece uma dúvida
pontual de um aluno que estava confuso com a definição de função e, mais
precisamente, quando esta se apresenta de forma gráfica. O exemplo destina-se a
mostrar como um único caso de um objecto que possui duas imagens é o suficiente para
contrariar a definição. O exemplo é neste caso um contra exemplo apresentado
graficamente:
100
-1
3
5
7
4. Aplicações internas.
As aplicações internas são uma forma de exemplificação que aparece já nas fases de
maior aprofundamento do conceito e do tipo de função em estudo. Estas aplicações
podem incluir conteúdos ou conceitos leccionados anteriormente ou, então,
relacionarem-se com outros que serão leccionados posteriormente. As situações que
envolvem este tipo de exemplos requerem um maior grau de formação do conceito, uma
estrutura do conceito mais complexa por parte dos alunos, permitindo a interpretação e
o manuseamento da situação ou, no caso de o exemplo ser uma situação problema, a sua
resolução.
Os exemplos desta categoria surgem como fim de um percurso, é o finalizar de uma
estrutura que deverá possuir todos as ferramentas necessárias à aplicação do conceito
em qualquer situação estritamente matemática em que este figure. São exemplos que
não envolvem apenas o conceito em estudo, já que o edifício matemático não é um
somatório de conceitos independentes, mas sim uma rede de conceitos interligados que
se devem articular de forma coerente.
As situações propícias para a apresentação destes exemplos são os exercícios que
contemplem situações novas para o aluno ou, então, a resolução de problemas
estritamente matemáticos. São exemplos que, pela sua complexidade, não podem ser
apresentados oralmente, são apresentados sob a forma escrita para que a sua análise se
possa fazer repetidamente se necessário. A abordagem e manuseamento dos exemplos
incluídos nesta categoria poderão ser a título individual ou em grupo, poderão assumir
101
um papel importante na dinâmica que se queira incutir na sala de aula e a sua escolha
prende-se com critérios individuais de estratégia e de planificação do professor.
Não é de excluir que este tipo de exemplos possa ser utilizado no fim de ciclos
educativos, como forma de avaliação dos alunos, do tipo de ensino/aprendizagem, das
estratégias ou mesmo, dos exemplos até aí utilizados.
O objectivo destes exemplos é o de provocar um aprofundamento dentro do
conceito e nas várias facetas que ele apresente, apenas desta forma se poderá concluir
sobre o cabal cumprimento do que é exigido quer ao professor quer ao aluno. O aluno
monta uma estrutura já com algum grau complexidade que será o seu esquema
conceptual e o professor participa nesse processo fornecendo estes exemplos por ele
considerados como os mais adequados a esta fase.
Estes exemplos são situações que programaticamente se apresentam no fim de um
ciclo, como tal, são exemplos que obrigam o aluno a utilizar todos os recursos de que
dispõe sobre o conceito e suas articulações com outros conceitos. São exemplos que
promovem um domínio não apenas sobre uma estrutura, mas sim sobre uma articulação
de estruturas. Pretendem um trabalho individual do aluno sobre os temas envolvidos ou,
então, um envolvimento entre alunos na procura de uma reflexão e enriquecimento do
aluno em interacção com o grupo. O exemplo 4-11Drv-164-FT10-MS mostra como se
podem envolver numa mesma tarefa vários conceitos já leccionados com outros que se
pretendem introduzir e desenvolver posteriormente:
1. Considere a função h ( x ) = x 3 − 12 x .
a) Determine a função derivada de h . Represente graficamente a função
derivada.
b) De acordo com o que observa no gráfico, complete a tabela, e retire
conclusões.
−∞
+∞
x
Sinal de h ' ( x )
Variação e
Extremos
de h ( x )
c) Esboce o gráfico de h e verifique as suas conclusões.
102
5. Aplicações externas.
Estes exemplos são aplicações à vida real e a outras ciências. O tipo de exemplos
desta categoria é semelhante à categoria anterior apenas diferem na sua natureza. São
exemplos que podem configurar exercícios ou problemas mas incluem-se nesta
categoria por envolverem um certo grau de dificuldade. É exactamente este grau de
dificuldade aquilo que os distingue dos exemplos do mesmo género que figurem nas
outras categorias. Não estamos perante situações simples mas sim perante situações que
exigem do aluno um empenho baseado na profundidade com que se trabalham as
diferentes facetas do conceito, o que implica uma estrutura conceptual mais complexa.
Surgem como aplicação efectiva e global do conceito em causa a uma situação
determinada já quando o aluno pode perspectivar o exercício ou problema de diversas
formas e enquadrá-lo numa das facetas da função. Como são exemplos que envolvem o
conceito de função, ou de um certo tipo de função, associado a conceitos de outras
disciplinas ou a situações da vida real, obrigam a uma escolha adequada do conceito ou
de uma das suas facetas e, para isso, é necessário que o aluno possua agilidade
conceptual apropriada.
A modelação do real e a interpretação de situações em outras disciplinas é o
terreno ideal para este tipo de exemplificação. Tal como em 4. poderemos enquadrar
estes exemplos numa situação de fim de ciclo e em situação de avaliação sendo que a
sua abordagem poderá ser individual ou em grupo, cabendo sempre ao professor
escolher em função da planificação e dos critérios pessoais.
De igual modo que em 4. o objectivo destes exemplos é o de provocar um
aprofundamento dentro do conceito e nas várias facetas que ele apresente mas, por
serem de aplicação a outras disciplinas e à vida real, isso apenas acontece quando à
complexidade da estrutura conceptual vem associada a flexibilidade na sua utilização.
Ao anterior objectivo devemos também acrescentar que este tipo de exemplos
devem fomentar um trabalho individual do aluno sobre o tema ou, então, uma reflexão
entre alunos na procura de uma reflexão e enriquecimento do aluno em interacção com
o grupo.
103
Esta aplicação do conceito de função à vida real pode ser bem observado no
exemplo 5-11Drv-167-FT11-MS que aplica o estudo da função derivada à determinação
de máximos e mínimos numa determinada situação do quotidiano:
Durante várias semanas o serviço de trânsito vem pesquisando a velocidade do
tráfego numa auto-estrada.
Verificou-se que num dia normal da semana, à tarde entre as 13 horas e as 18 horas,
a velocidade do tráfego é de, aproximadamente
v(t ) = 2t 3 − 21t 2 + 60t + 40 Km/h,
Onde t é o número de horas transcorridas após o meio dia.
A que horas, dentro do intervalo de tempo mencionado, o tráfego se move mais
rapidamente e a que horas se move mais lentamente?
Como se viu o processo de categorização e posterior codificação está
relacionado com o percurso de aquisição dos conceitos utilizado nesta investigação, e já
apresentado anteriormente na secção B.2. Esquemas Conceptuais, que agora se pode
apresentar da seguinte forma:
Sistema de Categorias
Definição
Representação de uma Função
Características de uma Função
Aplicações Internas
Aplicações Externas
CODIFICAÇÃO
104
6.
A codificação e a apresentação
Com este sistema de categorias procedeu-se à análise dos dados.
As referências às categorias que constituem unidades de análise foram, como já
se disse, encontradas nas entrevistas de Setembro de 2004 e de Junho de 2005. Os
elementos das entrevistas que fossem, eles próprios, exemplos de funções eram
imediatamente inseridos na categoria correspondente e se eram referências
inquestionáveis a uma determinada categoria eram inseridas directamente nessa mesma
categoria. Os exemplos recolhidos nas aulas assistidas e nas fichas de trabalho foram
classificados na categoria correspondente com base nas características que
apresentavam.
As unidades de análise foram codificadas segundo a categoria, o conteúdo, o
material de origem e o professor que a produziu. Assim, a unidade de análise cujo
código é 3-10F-6-PA1-M pretende referir a unidade de análise dada pelo exemplo
atribuído à 3ª categoria do conteúdo Funções de 10º ano, com o número de ordem 6 e
foi anotado no plano de aula 1 da professora M.
Consideremos o exemplo
( g f )(−2) = g ( f (−2)) = g (−3) = −
11
2
ao qual foi dado o código 1-11Op-22-PA4-M , isto é:
1-11Op-22-PA4-M
Categoria
Conteúdo
Nº de ordem
Materiais
Informante
Constituídas as unidades de análise elas foram dispostas num quadro onde as
categorias figuram em coluna. Pela natureza diferente das referências nas entrevistas e
dos exemplos utilizados pelos professores nas aulas e fichas de trabalho optou-se por
considerar as referências como mais um conteúdo que se inseriu na primeira linha da
tabela em que as linhas seguintes incluem os conteúdos que integram os temas
constantes na programação.
Desta forma obteve-se uma tabela onde a informação estava melhor registada e
que facilita o acesso rápido às informações que nela constam.
105
E.
Análise dos dados
1.
Limitações inerentes ao estudo:
A ausência de exemplos em determinadas quadriculas não pode ser interpretado
como ausência de exemplos nessas categorias e nesses conteúdos. Simplesmente não
houve assistências das aulas onde esses exemplos terão sido apresentados e a não
existência de fichas de trabalho sobre determinado tema indica que os estagiários
entenderam utilizar exemplos e exercícios/problemas apresentados no manual adoptado.
2.
Análise dos dados
Seguidamente apresentam-se os quadros onde, pela disposição, se sintetiza toda
a informação que ficou disponível após o processo de catalogação. A utilização dos
quadros ajuda a referenciar a informação e permite uma primeira avaliação global
baseada no número de referências e exemplos em cada uma das categorias.
106
Quadro de M
Tema/Categoria
Referencias às Categorias
Definição
1-Ref-234-Ent2-M
1-Ref-285-Ent4-M
1-Ref-288-Ent4-M
1-Ref-292-Ent4-M
Representação
2-Ref-237- Ent2-M
2-Ref-239A- Ent2-M
2-Ref-240- Ent2-M
2-Ref-241- Ent2-M
2-Ref-286- Ent4-M
2-Ref-291- Ent4-M
10 Funções
1-10F-111-FT1-MS
1-10F-112-FT1-MS
10 Propriedades das Funç.
1-10Ppd-118-FT3-MS
1-10Ppd-119-FT3-MS
1-10Ppd-121-FT3-MS
1-10Ppd-122-FT3-MS
1-10Ppd-123-FT3-MS
1-10Ppd-126-FT4-MS
2-10F-1-PA1-M
2-10F-4-PA1-M
2-10F-5-PA1-M
2-10F-7-PA1-M
2-10F-8-PA1-M
2-10F-9-PA1-M
2-10F-113-FT1-MS
2-10F-114-FT1-MS
2-10F-115-FT1-MS
2-10F-116-FT2-MS
2-10F-117-FT2-MS
2-10Ppd-10-PA2-M
2-10Ppd-11-PA2-M
2-10Ppd-120-FT3-MS
2-10Ppd-124-FT3-MS
2-10Ppd-125-FT3-MS
2-10Ppd-127-FT5-MS
2-10Ppd-131-FT5-MS
2-10Pls-12-PA3-M
2-10Pls-15-PA3-M
2-10Pls-16-PA3-M
2-10Pls-17-PA3-M
2-10Pls-18-PA3-M
10 Polinómios
Características
3-Ref-242- Ent2-M
3-Ref-243- Ent2-M
3-Ref-244- Ent2-M
3-Ref-245- Ent2-M
3-Ref-279- Ent4-M
3-Ref-281- Ent4-M
3-Ref-282- Ent4-M
3-Ref-284- Ent4-M
3-Ref-289- Ent4-M
3-Ref-290- Ent4-M
3-10F-2-PA1-M
3-10F-3-PA1-M
3-10F-6-PA1-M
3-10Pls-13-PA3-M
3-10Pls-14-PA3-M
3-10Pls-19-PA3-M
Aplicações Internas
4-Ref-235-Ent2-M
Aplicações Externas
5-Ref-246-Ent2-M
5-Ref-275-Ent4-M
5-Ref-297-Ent4-M
4-10Ppd-128-FT5-MS
4-10Ppd-129-FT5-MS
4-10Ppd-132-FT5-MS
5-10Ppd-130-FT5-MS
4-10Pls-20-PA3-M
4-10Pls-21-PA3-M
4-10Pls-138-FT5-MS
4-10Pls-142-FT6-MS
4-10Pls-143-FT6-MS
107
11 Funções Racionais
11 Operações com Funç.
11 Taxas e noção Deriv.
TOTAL
1-11Rac-145-FT7-MS
1-11Rac-146-FT7-MS
1-11Rac-147-FT7-MS
1-11Rac-148-FT7-MS
1-11Rac-149-FT7-MS
1-11Rac-150-FT7-MS
1-11Rac-151-FT7-MS
1-11Rac-152-FT7-MS
1-11Rac-153-FT7-MS
1-11Rac-154-FT7-MS
1-11Op-22-PA4-M
1-11Drv-157-FT9-MS
1-11Drv-158-FT9-MS
25
2-10Pls-133-FT5-MS
2-10Pls-134-FT5-MS
2-10Pls-135-FT5-MS
2-10Pls-136-FT5-MS
2-10Pls-137-FT5-MS
2-10Pls-139-FT6-MS
2-10Pls-140-FT6-MS
2-10Pls-141-FT6-MS
4-10Pls-144-FT6-MS
2-11Op-23-PA4-M
2-11Op-24-PA4-M
2-11Op-25-PA4-M
2-11Drv-26-PA5-M
2-11Drv-27-PA5-M
2-11Drv-28PA6-M
2-11Drv-30-PA6-M
2-11Drv-31-PA6-M
2-11Drv-32-PA7-M
2-11Drv-33-PA7-M
2-11Drv-155-FT8-MS
2-11Drv-159-FT9-MS
4-11Op-43-PA9-M
3-11Drv-29-PA6-M
49
4-11Drv-160-FT9-MS
4-11Drv-162-FT10-MS
4-11Drv-163-FT10-MS
4-11Drv-164-FT10-MS
17
5-11Drv-156-FT8-MS
5-11Drv-161-FT9-MS
5-11Drv-165-FT11-MS
5-11Drv-166-FT11-MS
5-11Drv-167-FT11-MS
5-11Drv-168-FT11-MS
15
10
108
Quadro de S
Tema/Categoria
Referencias às Categorias
Definição
1-Ref-276-Ent4-S
1-Ref-278-Ent4-S
1-Ref-283B-Ent4-S
1-Ref-294-Ent4-S
Representação
2-Ref-239B-Ent2-S
2-Ref-277-Ent4-S
2-Ref-287-Ent4-S
2-Ref-296-Ent4-S
10 Funções
1-10F-111-FT1-MS
1-10F-112-FT1-MS
10 Propriedades das Funç.
1-10Ppd-118-FT3-MS
1-10Ppd-119-FT3-MS
1-10Ppd-121-FT3-MS
1-10Ppd-122-FT3-MS
1-10Ppd-123-FT3-MS
1-10Ppd-126-FT4-MS
2-10F-113-FT1-MS
2-10F-114-FT1-MS
2-10F-115-FT1-MS
2-10F-116-FT2-MS
2-10F-117-FT2-MS
2-10Ppd-39-PA8-S
2-10Ppd-40-PA8-S
2-10Ppd-41-PA8-S
2-10Ppd-42-PA8-S
2-10Ppd-120-FT4-MS
2-10Ppd-124-FT4-MS
2-10Ppd-125-FT4-MS
2-10Ppd-127-FT5-MS
2-10Ppd-131-FT5-MS
2-10Pls-133-FT5-MS
2-10Pls-134-FT5-MS
2-10Pls-135-FT5-MS
2-10Pls-136-FT5-MS
2-10Pls-137-FT5-MS
2-10Pls-139-FT6-MS
2-10Pls-140-FT6-MS
2-10Pls-141-FT6-MS
10 Polinómios
Características
3-Ref-238-Ent2-S
3-Ref-244-Ent2-S
3-Ref-280-Ent4-S
3-Ref-283A-Ent4-S
3-Ref-293-Ent4-S
3-Ref-295-Ent4-S
3-Ref-298-Ent4-S
3-Ref-299-Ent4-S
Aplicações Internas
Aplicações Externas
5-Ref-236-Ent2-S
5-Ref-247-Ent2-S
5-Ref-300-Ent4-S
3-10Ppd-36-PA8-S
3-10Ppd-38-PA8-S
4-10Ppd-35-PA8-S
4-10Ppd-37-PA8-S
4-10Ppd-128-FT5-MS
4-10Ppd-129-FT5-MS
4-10Ppd-132-FT5-MS
5-10Ppd-34-PA8-S
5-10Ppd-130-FT5-MS
4-10Pls-138-FT5-MS
4-10Pls-142-FT6-MS
4-10Pls-143-FT6-MS
4-10Pls-144-FT6-MS
109
11 Funções Racionais
11 Operações com Funç.
11 Taxas e noção Deriv.
TOTAL
1-11Rac-145-FT7-MS
1-11Rac-146-FT7-MS
1-11Rac-147-FT7-MS
1-11Rac-148-FT7-MS
1-11Rac-149-FT7-MS
1-11Rac-150-FT7-MS
1-11Rac-151-FT7-MS
1-11Rac-152-FT7-MS
1-11Rac-153-FT7-MS
1-11Rac-154-FT7-MS
1-11Op-45-PA9-S
1-11Op-46-PA9-S
1-11Op-48-PA10-S
2-11Op-47-PA9-S
2-11Op-49-PA10-S
2-11Op-50-PA10-S
2-11Op-51-PA10-S
2-11Op-52-PA10-S
2-11Drv-54-PA11-S
2-11Drv-55-PA11-S
2-11Drv-57-PA12-S
2-11Drv-61-PA12-S
2-11Drv-155-FT8-MS
2-11Drv-159-FT9-MS
1-11Drv-157-FT9-MS
1-11Drv-158-FT9-MS
27
4-11Op-44-PA9-S
3-11Drv-53-PA11-S
3-11Drv-58-PA12-S
3-11Drv-59-PA12-S
3-11Drv-60-PA12-S
37
4-11Drv-56-PA11-S
4-11Drv-62-PA12-S
4-11Drv-160-FT9-MS
4-11Drv-162-FT10-MS
4-11Drv-163-FT10-MS
4-11Drv-164-FT10-MS
14
5-11Drv-156-FT8-MS
5-11Drv-161-FT9-MS
5-11Drv-165-FT11-MS
5-11Drv-166-FT11-MS
5-11Drv-167-FT11-MS
5-11Drv-168-FT11-MS
16
11
110
Quadro de P
Tema/Categoria
Referencias às Categorias
Definição
1-Ref-221-Ent1-P
1-Ref-223-Ent1-P
1-Ref-264-Ent3-P
Representação
2-Ref-248-Ent3-P
2-Ref-249-Ent3-P
2-Ref-272-Ent3-P
2-Ref-274-Ent3-P
Características
3-Ref-226-Ent1-P
3-Ref-228-Ent1-P
3-Ref-230-Ent1-P
3-Ref-231-Ent1-P
3-Ref-265-Ent3-P
3-Ref-266-Ent3-P
3-Ref-268-Ent3-P
Aplicações Internas
4-Ref-258-Ent3-P
10 Funções
1-10F-65-PA14-P
1-10F-66-PA14-P
1-10F-67-PA14-P
1-10F-169-FT12-JP
1-10F-170-FT12-JP
1-10F-174-FT13-JP
1-10F-175-FT13-JP
1-10F-182-FT14-JP
2-10F-68-PA15-P
2-10F-69-PA15-P
2-10F-70-PA15-P
2-10F-171-FT12-JP
2-10F-172-FT13-JP
2-10F-173-FT13-JP
2-10F-176-FT13-JP
2-10F-177-FT13-JP
2-10F-178-FT13-JP
2-10F-179-FT13-JP
2-10F-181-FT13-JP
2-10F-183-FT14-JP
2-10F-184-FT14-JP
2-10F-185-FT14-JP
2-10F-186-FT14-JP
2-10F-188-FT15-JP
2-10F-189-FT15-JP
2-10F-190-FT15-JP
2-10F-191-FT16-JP
3-10F-71-PA15-P
4-10F-63-PA14-P
4-10F-64-PA14-P
4-10F-180-FT13-JP
4-10F-187-FT14-JP
4-10F-192-FT16-JP
4-10F-193-FT16-JP
4-10F-194-FT16-JP
4-10F-195-FT16-JP
4-10F-196-FT16-JP
Aplicações Externas
5-Ref-232-Ent1-P
5-Ref-260-Ent3-P
10 Propriedades das Funç.
111
10 Polinómios
11 Funções Racionais
11 Operações com Funç.
11 Taxas e noção Deriv.
TOTAL
1-10Pls-72-PA16-P
1-10Pls-197-FT17-JP
1-10Pls-198-FT17-JP
1-10Pls-199-FT17-JP
1-10Pls-200-FT17-JP
1-10Pls-201-FT17-JP
2-10Pls-75-PA16-P
2-10Pls-76-PA16-P
2-10Pls-202-FT17-JP
2-10Pls-203-FT17-JP
2-10Pls-204-FT18-JP
2-10Pls-205-FT18-JP
2-10Pls-206-FT18-JP
3-10Pls-73-PA16-P
3-10Pls-74-PA16-P
3-10Pls-77-PA16-P
4-10Pls-207-FT17-JP
5-10Pls-78-PA16-P
5-10Pls-79-PA17-P
5-10Pls-80-PA17-P
5-10Pls-208-FT18-JP
5-10Pls-209-FT18-JP
5-10Pls-210-FT19-JP
5-10Pls-211-FT19-JP
5-10Pls-212-FT19-JP
1-11Drv-81-PA18-P
2-11Drv-83-PA18-P
2-11Drv-84-PA18-P
2-11Drv-85-PA18-P
2-11Drv-86-PA18-P
2-11Drv-89-PA19-P
2-11Drv-91-PA19-P
2-11Drv-213-FT20-JP
2-11Drv-214-FT20-JP
2-11Drv-216-FT20-JP
3-11Drv-82-PA18-P
3-11Drv-87-PA19-P
3-11Drv-88-PA19-P
3-11Drv-90-PA19-P
3-11Drv-92-PA19-P
4-11Drv-217-FT21-JP
4-11Drv-218-FT21-JP
4-11Drv-219-FT21-JP
5-11Drv-215-FT20-JP
18
39
16
14
11
112
Quadro de J
Tema/Categoria
Referencias às Categorias
Definição
1-Ref-220-Ent1-J
1-Ref-222-Ent1-J
1-Ref-255-Ent3-J
1-Ref-256-Ent3-J
Representação
2-Ref-224-Ent1-J
2-Ref-250-Ent3-J
2-Ref-252-Ent3-J
2-Ref-253-Ent3-J
2-Ref-273-Ent3-J
10 Funções
1-10F-93-PA20-J
1-10F-94-PA20-J
1-10F-95-PA20-J
1-10F-169-FT12-JP
1-10F-170-FT12-JP
1-10F-174-FT13-JP
1-10F-175-FT13-JP
1-10F-182-FT14-JP
2-10F-98-PA20-J
2-10F-99-PA20-J
2-10F-171-FT12-JP
2-10F-172-FT13-JP
2-10F-173-FT13-JP
2-10F-176-FT13-JP
2-10F-177-FT13-JP
2-10F-178-FT13-JP
2-10F-179-FT13-JP
2-10F-181-FT13-JP
2-10F-183-FT14-JP
2-10F-184-FT14-JP
2-10F-185-FT14-JP
2-10F-186-FT14-JP
2-10F-188-FT15-JP
2-10F-189-FT15-JP
2-10F-190-FT15-JP
Características
3-Ref-225-Ent1-J
3-Ref-227-Ent1-J
3-Ref-229-Ent1-J
3-Ref-233-Ent1-J
3-Ref-251-Ent3-J
3-Ref-263-Ent3-J
3-Ref-267-Ent3-J
3-Ref-269-Ent3-J
3-Ref-270-Ent3-J
3-Ref-271-Ent3-J
3-10F-96-PA20-J
3-10F-97-PA20-J
Aplicações Internas
4-Ref-254-Ent3-J
Aplicações Externas
5-Ref-257-Ent3-J
5-Ref-259-Ent3-J
5-Ref-261-Ent3-J
5-Ref-262-Ent3-J
4-10F-180-FT13-JP
4-10F-187-FT14-JP
4-10F-192-FT16-JP
4-10F-193-FT16-JP
4-10F-194-FT16-JP
4-10F-195-FT16-JP
4-10F-196-FT16-JP
113
2-10F-191-FT16-JP
10 Propriedades das Funç.
10 Polinómios
1-10Pls-197-FT17-JP
1-10Pls-198-FT17-JP
1-10Pls-199-FT17-JP
1-10Pls-200-FT17-JP
1-10Pls-201-FT17-JP
11 Funções Racionais
11 Operações com Funç.
11 Taxas e noção Deriv.
TOTAL
17
2-10Pls-101-PA21-J
2-10Pls-102-PA21-J
2-10Pls-103-PA21-J
2-10Pls-104-PA21-J
2-10Pls-202-FT17-JP
2-10Pls-203-FT17-JP
2-10Pls-204-FT18-JP
2-10Pls-205-FT18-JP
2-10Pls-206-FT18-JP
3-10Pls-100-PA21-J
4-10Pls-207-FT17-JP
5-10Pls-208-FT18-JP
5-10Pls-209-FT18-JP
5-10Pls-210-FT19-JP
5-10Pls-211-FT19-JP
5-10Pls-212-FT19-JP
2-11Drv-105-PA22-J
2-11Drv-106-PA22-J
2-11Drv-107-PA22-J
2-11Drv-109-PA22-J
2-11Drv-110-PA22-J
2-11Drv-213-FT20-JP
2-11Drv-214-FT20-JP
2-11Drv-216-FT20-JP
3-11Drv-108-PA22-J
4-11Drv-217-FT21-JP
4-11Drv-218-FT21-JP
4-11Drv-219-FT21-JP
5-11Drv-215-FT20-JP
40
14
12
10
114
2.1
Análise do quadro de M
2.1.1
Categoria Definição.
M referenciou esta categoria por diversas vezes durante as duas entrevistas, mas
a sua atitude de Setembro era mais vaga do que em Junho. Em Junho M mostra-se mais
ágil e mais segura nas afirmações que produz, não joga com generalidades sobre
educação e parece conhecer melhor os assuntos sobre os quais opina.
As referências a esta categoria produzidas durante as entrevistas são quatro, uma
em Setembro e três em Junho.
Nas duas entrevistas figurava a pergunta de como se introduzem os conceitos
numa aula de Matemática, mais especificamente numa aula sobre funções. Em
Setembro M hesita, interrompendo S, que respondia, e numa resposta a medo lança
1-Ref-234-Ent2-M : “ … um exemplo…” , e segue na sua resposta titubeante. Já em
Junho, e confrontada com a mesma pergunta, responde de forma segura, mas a sua
resposta, nesta ocasião, inclui unidades de análise que não são desta categoria mas sim
de outra.
Contudo, em Junho, M não deixa de referenciar esta categoria. Como já foi dito
fê-lo por mais três vezes, só que em outras perguntas da segunda entrevista. Nessa
entrevista, a dada altura surge a pergunta sobre se as entrevistadas distinguiam tipos de
exemplos. M, entre outras coisas, refere as várias vertentes, os vários propósitos que um
exemplo pode apresentar, entre eles
1-Ref-285-Ent4-M : “não tínhamos como objectivo esclarecer uma ideia mas sim
fazê-los chegar a ela, vá.”, indicando, assim, dois distintos e um é conduzir os alunos a
uma ideia. “Ideia” no sentido de “conceito”.
Inquirida sobre o momento de quando introduzir os exemplos M esclarece que
existem diversas alturas onde o fazer, numa resposta completa e precisa. Por ordem
cronológica começa a sua resposta por:
1-Ref-288-Ent4-M:
“Quer seja para introduzir o tema,” e continua a enumerar as
restantes fases do processo de ensino/aprendizagem, referindo na sua resposta outras
categorias. Mais à frente reafirma que para introduzir um conceito de dado tema se
devem utilizar exemplos
1-Ref-292-Ent4-M:
“Sei lá, introduzir [um exemplo] em 1º lugar.” como início da
leccionação de temas.
115
É patente, ainda em Setembro, a necessidade de M em utilizar exemplos numa
aula de matemática ainda que se note uma hesitação que, como dissemos, se arrastou
por toda esta primeira entrevista. Contudo, em Junho essa necessidade de exemplificar
já toma contornos precisos, nomeadamente no como introduzir a definição de uma dada
função e também no como continuar a trabalhar o conceito. Nesta entrevista vemos
como as respostas de M se inserem claramente na categoria Definição de um novo
conceito sem ambiguidades e com uma função e um objectivo precisos.
Os exemplos utilizados por M que se englobam nesta categoria estão presentes
em fichas de trabalho nos conteúdos de Funções, Propriedades das Funções de 10º
ano, Funções Racionais e Taxas de Variação/Noção de Derivada de 11º ano e
apresenta um exemplo de introdução de conceito em Operações com Funções de 11º
ano numa aula assistida. Este último é um exemplo em cadeia de como encontrar a
imagem de três objectos diferentes pela composta de duas funções.
O único conteúdo onde M não sentiu necessidade de utilizar exemplos desta
categoria foi nas Funções Polinomiais de 10º ano visto o conceito de polinómio já não
ser um conceito novo a introduzir, mostrando assim que M consegue adequar os
exemplos às suas funções e objectivos, M usa exemplos de baixo grau de complexidade
quando pretende introduzir um novo conceito aos alunos.
Da análise aos exemplos verifica-se que todos os exemplos desta categoria e em
todos os conteúdos são gráficos ou envolvem gráficos, embora exista uma única
excepção, o que revela que a faceta preferida para a introdução destes conteúdos foi a
faceta visual. M considerou esta faceta, esta representação, a mais eficaz para introduzir
um conceito que está relacionado com um determinado tipo de função e só depois
utilizou as restantes representações. A única excepção revela-se no conteúdo Taxas de
Variação/Noção de Derivada, em que a faceta escolhida para introduzir o conceito foi
a numérica, não sendo estranho este facto dado que a definição de taxa de variação
média é numérica.
116
2.1.2 Categoria Representação.
Nesta categoria M também incluiu algumas referências e revela, ainda em
Setembro, um tipo de exemplificação própria para iniciar o trabalho com um conceito
que foi introduzido recentemente:
2-Ref-237- Ent2-M: “…podemos dar no início as coisas de forma simples, muito no
básico e depois tentar aprofundar as coisas até ao nível que nós pretendemos.” Por esta
frase M evidencia um tipo de ensino baseado num processo crescente de complexidade,
primeiro trabalham-se os exemplos mais fáceis e depois, para poder introduzir outros
aspectos do conceito, introduzem-se os exemplos que incluam as características
desejadas aumentando o grau de complexidade.
Nesta fase o entrevistador perguntou, naturalmente, como é possível neste
processo o professor aperceber-se da aprendizagem dos alunos. Como é possível ao
professor aferir da correcta aprendizagem do conceito, isto é, se os objectivos propostos
vão sendo alcançados. A resposta é óbvia tratando-se de um estudante para professor
que nunca leccionou:
2-Ref-239- Ent2-M: “Quando conseguem aplicar…”, que é a resposta esperada num
exame da disciplina de Didáctica e que preconiza um ensino por objectivos, estando M
a referir-se aos específicos. O sentido da resposta enquadra-se nesta categoria pois a
entrevista ainda está considerando o manuseamento inicial do conceito, a
particularização a situações concretas e com os novos aspectos que o conceito vai
apresentando. A resposta a esta pergunta em Junho é totalmente diferente, recai até
numa outra categoria, M remete para a resolução de situações novas e aplicações à vida
real.
As referências seguintes a esta categoria ainda durante a entrevista de Setembro
ocorreram após M ser inquirida sobre o que é para ela um exemplo. Assim para M um
exemplo é
2-Ref-240- Ent2-M: “Uma situação concreta.” e, mais à frente afirma que
2-Ref-241- Ent2-M: “eu acho que com um exemplo nós queremos particularizar as
coisas. Partir do geral para o particular, …”, e são as únicas referências que faz a esta
ou outra categoria no âmbito desta questão.
Já na entrevista de Junho, respondendo à mesma questão sobre o que é um
exemplo, M assinala que existem exemplos de vários tipos e, quando se lhe pediu para
que enumerasse esses tipos, M responde de forma muito completa referenciando várias
117
categorias. Particularmente a esta categoria a referência de M é específica a um
conteúdo, sobre transformações do plano diz
2-Ref-286- Ent4-M: “… olhem uma transformação é isto. Têm aqui os exemplos, mas
com o intuito: olhem, vejam o que é que está a acontecer ao gráfico …” como
referência ao tipo de exemplos que servem para iniciar a exploração de um conceito
através de concretizações de uma representação em particular, a gráfica.
Sobre as situações em que é apropriada a utilização de exemplos M na 2ª
entrevista, em Junho, responde
2-Ref-291- Ent4-M: “Eu acho que estamos sempre a introduzir exemplos.” porque já
percebeu que os exemplos surgem durante todo o processo de ensino/aprendizagem, o
que efectivamente se altera é a função e os objectivos dos exemplos, por isso refere,
entre outras categorias, que se usa “…, quer seja para particularizar.”
As diferenças na substância das referências são diferentes em Setembro e em
Junho. Mais vago nas primeiras quatro mas, em Julho, substancialmente mais concreta e
precisa no que pretende comunicar.
No que concerne à ocorrência de exemplos incluídos nesta categoria a profusão
é assinalável. Aliás, é a categoria onde ocorrem mais exemplos. O equilíbrio entre
exemplos assinalados nas notas de campo e os que constam nas fichas de trabalho
permite salientar a importância dada por M a este tipo de exemplos. A manifestação de
preocupação com o alicerçar do conceito torna-se evidente na análise dos exemplos. São
exemplos cuidadosamente elaborados com S nas fichas de trabalho e que têm o
objectivo claro de focar as várias representações ou facetas, num aprofundamento
correcto, dentro dos diversos conteúdos.
No plano de aula PA1 são tratadas as facetas gráficas, algébricas e respectivas
relações numéricas, por outro lado, nas fichas de trabalho FT1 e FT2 os exemplos
gráficos e algébricos dão ênfase às relações entre essas representações nos temas em
estudo que constam na programação relativa a Funções de10º ano. Os exemplos destas
duas fichas de trabalho, FT1 e FT2, configuram exercícios de nível de dificuldade
adaptado a esta categoria, não sendo de um nível de complexidade elevado são antes
exemplos que pretendem apresentar as diferentes facetas dos conceitos em estudo.
Idêntica preocupação é visível nos restantes conteúdos onde figuram exemplos:
10º ano Propriedades das Funções
118
10º ano Funções Polinomiais
11º ano Taxas de Variação/Noção de Derivada
Pela observação do quadro de M podem ser constatadas poucas ocorrências de
exemplos no tema de 11º ano Operações com Funções e nenhuma nas Funções
Racionais do 11º ano. Recordamos aqui que a inexistência de exemplos relativos a
algumas células resulta das limitações próprias deste trabalho, como atrás foi descrito.
2.1.3 Categoria Características.
Esta é a categoria com maior número de referências durante as duas entrevistas,
quatro em Setembro e seis em Junho. Nota-se pela simples observação do quadro de M
que existe um grande número de referências nesta categoria que é aquela onde figuram
os exemplos cuja função é esclarecer ou sistematizar e que têm a particularidade de
serem “criados” imediata e espontaneamente após o surgimento de uma dúvida. Durante
as duas entrevistas não ficou patente que M se apercebesse dos contornos específicos
deste tipo de exemplos como sendo os exemplos em que se exige mais das capacidades
do professor, visto que as situações que os envolvem não são facilmente previsíveis no
instante em que surgirão, nem os contornos dessa situação, em estudantes para
professores. Contudo, M suspeita das facilidades que um professor mais experiente
possa ter: 3-Ref-245- Ent2-M:
“Está mais habituado a saber que tipo de dúvidas é
que vão surgir nos alunos e, se calhar, já conhece os aspectos…”. Notou-se, isso sim,
que M dá uma importância acrescida à função esclarecedora do exemplo, em Setembro
referia que a função dos exemplos seria
3-Ref-242- Ent2-M: “…fazer com que aqueles conceitos abstractos passem a ter
algum significado.”;
3-Ref-243- Ent2-M: “Para generalizar.” e “Ou pode ser o princípio para uma
generalização, …”;
3-Ref-244- Ent2-M: “Caso aparecessem era mais fácil.” [os exemplos como forma de
esclarecer];
Em Junho esta função esclarecedora volta a fazer a sua aparição em várias referências
119
3-Ref-279- Ent4-M: “Um exemplo é uma situação que pode surgir com vários fins. Às
vezes podemos, como ela estava a dizer, esclarecer …”;
3-Ref-281- Ent4-M: “…os exemplos servem sempre para tentar esclarecer alguma
coisa.”;
3-Ref-282- Ent4-M: “…são que os levavam a tirar determinadas conclusões … era
usar os exemplos para fazê-los chegar à conclusão. “;
3-Ref-284- Ent4-M: “…tínhamos como objectivo esclarecer uma ideia …”;
3-Ref-289- Ent4-M: “…quer seja para … para esclarecer uma dúvida”;
3-Ref-290- Ent4-M: “… quer seja para … generalizar, …”.
Se o número de vezes que é referida uma determinada categoria for indicador da
importância de uma característica dos exemplos, então a importância dada por M a esta
função esclarecedora é grande, por ventura será esta a função primordial dos exemplos
na sua perspectiva. Não é evidente qualquer diferença entre a substância destas
referências nas duas entrevistas. A ideia é transmitida sob a mesma forma e com o
mesmo conteúdo, embora haja todo um ano de estágio de permeio e, essa ideia, é que
estes exemplos esclarecem, generalizam e sistematizam.
Contraditório é o facto de o aparecimento deste tipo de exemplos nas aulas
assistidas não ser muito frequente. Quando surgem dúvidas aos alunos M não as
esclarece com base em exemplos, opta por esclarecer a dúvida directamente, isto é,
utilizando a situação que criou a dúvida. Também pode constatar-se o não aparecimento
destes exemplos nas fichas de trabalho, é natural que não apareçam dado que M ainda é
uma professora sem experiência e ainda não prevê as situações que causam dúvidas e
confusão nos alunos.
Existem fichas de trabalho elaboradas por M, e também S, para todos os
conteúdos salvo para as Operações com Funções do 11º ano, o que nos leva a crer que
M ainda não possui capacidades de antecipação de dúvidas, ou erros sistemáticos,
porque os exemplos característicos dessa antecipação não existem nas fichas de
trabalho.
São sete os exemplos desta categoria observados em M.
Na aula assistida PA1 M utilizou três exemplos muito simples mas adaptados às
dúvidas surgidas, dois de cariz gráfico e outro algébrico, que se mostraram efectivos. Na
120
aula assistida PA3 M usou três exemplos algébricos e, por fim, na aula assistida PA6
utilizou um exemplo que relaciona os aspectos gráficos com os algébricos numa taxa de
variação média, sendo que os quatro cumpriram o seu objectivo: esclareceram.
Existe um aspecto a salientar, em todos os exemplos de tipo algébrico e nos
gráficos, nas expressões os coeficientes utilizados e as raízes dos gráficos são quase
sempre números inteiros, nomeadamente o 2, 3,4 ou 5 (ou os seus simétricos).
2.1.4 Categoria Aplicações Internas.
Existe apenas uma referência a esta categoria na entrevista de Setembro.
À pergunta de como se aprofundam os conceitos M responde:
4-Ref-235-Ent2-M:
“… um exemplo (…) que sejam conceitos que foram abordados
noutros anos, podemos ir buscar coisas que eles já aprenderam…”. É uma única
referência, mas ela expõe claramente todo o sentido desta categoria. Expõe claramente
que se devem utilizar exemplos que relacionam conteúdos já leccionados de forma a
relacionar temas entre si.
Nesta categoria estão apontados exemplos que relacionam pelo menos dois
temas nos conteúdos: Propriedades das Funções e Funções Polinomiais de 10º ano
bem como Operações com Funções e Taxas de Variação/Definição de Derivada de
11º ano.
Nos exemplos de 10º ano M relaciona as facetas gráfica e algébrica, que são dois
conteúdos específicos deste ano, num contexto de resolução de condições: equações e
inequações.
Na aula assistida de 11º ano PA9 relaciona as Operações com Funções e a
determinação de Domínios de Funções (10º ano)
Já os exemplos relativos ao desenvolvimento do conceito de Taxa de Variação
Média e Instantânea e Noção de Derivada apresentados nas fichas de trabalho FT9 e
FT10 M relaciona a equação reduzida da recta e sinal do declive (10º ano) com Função
Derivada e estudo da monotonia de uma função. Fundamentalmente são exercícios de
cálculo e não apresentam um grau de problematização elevado.
121
Estes exemplos que interligam temas e conteúdos do próprio ano ou de anos
diferentes são exemplos que constam tanto em aulas assistidas como em fichas de
trabalho, o que demonstra que houve um cuidado por parte de M em mostrar aos seus
alunos a importância destas aplicações e em fazer, efectivamente, a ligação entre
conteúdos do próprio ano com os de anos anteriores e posteriores e, fazendo-o, não
induz a noção de que os temas serão estanques e autónomos.
2.1.5
Categoria Aplicações Externas.
M referiu três vezes esta categoria durante as duas entrevistas.
Em Setembro M considerava que os professores vão colher os seus exemplos
5-Ref-246-Ent2-M:
“À vida real.” destacando o papel deste tipo de exemplos no
processo de ensino/aprendizagem ainda antes de qualquer actividade lectiva.
Após um ano de estágio, em Junho, a inevitabilidade do uso deste tipo de
exemplos exacerbou-se nitidamente. O uso de situações envolvendo o nosso quotidiano
passou a ser não apenas uma fonte de inspiração para colher exemplos, constituindo um
meio, considerando que os professores podiam introduzir os conceitos
5-Ref-275-Ent4-M:
“… dando um problema da vida real, …”
e passam a ser também finalidades
5-Ref-297-Ent4-M:
“…o exemplo pode servir para relacionar(…)determinadas
matérias…” relacionando estas matérias por via de um
5-Ref-297-Ent4-M:
“… problema.” referindo-se aos da vida real.
A alteração de posicionamento de M relativamente a estes exemplos não é
residual. A alteração não é de conjuntura mas sim de estrutura. Estes exemplos passam a
constituir um referente importante na sua actividade, deixa de ser apenas um caminho
que se pode utilizar e passa a ser um ponto de passagem obrigatório, é essencial mostrar
aos alunos a aplicabilidade da Matemática na vivência diária por um lado, mas também
às outras Ciências, por outro.
M mostrou ter claro que a matemática tem a sua aplicação no mundo real e que
resolve problemas do dia a dia. Mais que isso, M também tem claro que essa
122
aplicabilidade da matemática deve ser mostrada aos alunos. Assim, é natural que os
exemplos relativos a esta categoria surjam nos conteúdos propícios à aplicação na vida
real, Funções Polinomiais de 10º ano e Taxas de variação/Noção de Derivada de 11º
ano onde este tipo de exemplos aparece seis vezes em três fichas de trabalho. A ficha de
trabalho FT11 é toda ela dedicada a este tipo de exemplos, aparecendo como um fim em
si e não apenas como veículo de apresentação de conteúdos.
2.1.6 A exemplificação de M.
Pela apreciação do aspecto visual do quadro de M observa-se que a distribuição
das ocorrências relativas às referências não coincide com a distribuição das ocorrências
relativas aos conteúdos. Note-se que o aspecto geral não é afectado pela ausência de
ocorrências numa quadrícula em particular, o aspecto visual deve ser visto em termos de
mancha. Por outro lado M tem bem claras duas coisas: primeira, que os exemplos são
particularizações de conceitos (2-Ref-240-Ent2-M: “Uma situação concreta.”); e
segunda, quais são os seus objectivos (introduzir, concretizar, aplicar). Contudo, após a
apreciação dos exemplos, fica confirmada a discrepância entre a categoria que M
considera mais importante nas entrevistas e a que M mais valorizou em termos de
trabalho com os alunos, respectivamente a 3ª e a 2ª.
Dado que M é uma professora com pouca experiência não surpreende que os
exemplos relativos à 3ª categoria tenham uma frequência menor. São os exemplos
criados imediatamente após a apresentação de uma dúvida, ou antes que esta surja, e
aqueles que permitem sistematizar e generalizar um conceito. Estes são os exemplos
que mais exigem de um professor e onde apenas aqueles que são mais experientes e
com maior grau de conhecimento didáctico do conteúdo conseguem melhores
resultados. Por isso M necessitou dar maior ênfase aos exemplos da 2ª categoria. M
tenta transmitir as características próprias do conceito (3ª categoria) utilizando exemplos
das várias representações (2ª categoria), as dúvidas não serão esclarecidas e as
sistematizações não serão feitas com base nos exemplos específicos para esse fim, mas
por via indirecta utilizando os exemplos relativos às representações.
123
Em síntese, a exemplificação de M apresenta um certo desfasamento entre o que
preconiza nas entrevistas e os exemplos que realmente apresentou, ou pôde apresentar.
Se por um lado pensa que os exemplos servem fundamentalmente para esclarecer
dúvidas, resolver situações confusas e sistematizar, por outro lado a sua praxis revela
maior preocupação com o manuseamento básico do conceito e, posteriormente, a sua
aplicação interna e externa. Contudo também considerava que os exemplos mostram a
aplicabilidade da Matemática e podem constituir situações problema e aí, diga-se, foi de
facto coerente no seu trabalho com os alunos.
124
2.2
Análise do quadro de S
2.2.1 Categoria Definição.
As referências a esta categoria apenas se produziram na entrevista de Junho.
Sobre como introduzir os novos conceitos S respondeu
1-Ref-276-Ent4-S:
“…podem-se utilizar exemplos ou algo prático para se chegar a
um determinado conceito.” mas distingue a forma de introduzir consoante o tipo de
conteúdo em causa
1-Ref-278-Ent4-S:
“…depende mesmo do conteúdo.” Fazendo esta distinção, S está a
distinguir as duas situações ilustradas na categoria. Distingue os conteúdos em que se
define o conceito primeiro, vindo depois a exemplificação inicial e os outros em que se
apresentam exemplos de características comuns primeiro, de forma que os alunos, com
base nessas características, possam escrever a definição depois.
Na fase da entrevista de Junho em que o entrevistador pede a S e M que
enumerem os vários tipos de exemplos que consideram existir, S responde que existem
exemplos
1-Ref-283-Ent4-S:
“Não para (…), mas como forma de introdução.” Com esta
resposta S refere duas categorias, aqui apenas vem transcrita a parte incluída nesta
categoria, mas vemos como S distingue tipos de exemplos e, neste caso, preconiza o
exemplo com uma função introdutória para a definição dos conceitos.
Mais à frente, quando a questão é sobre a função dos exemplos, S é categórica
na resposta e mostra que distingue claramente três funções fazendo o mesmo número de
referências a três categorias. Uma das funções enquadra-se nesta categoria, indicando
como função do exemplo
1-Ref-294-Ent4-S:
“Pode servir para (…) como pode ser para introduzir, … “.
De uma forma geral podemos, então, afirmar: S não referiu claramente esta
categoria em Setembro, mas em Junho referiu-a quatro vezes. Nas primeiras duas vezes
S demonstra ter bem claro que um exemplo pode e deve servir para introduzir os
conceitos. Analisando o contexto do trecho da entrevista transcrito
125
“Há temas que são de visualização fácil, não são tão teóricos, e então podem-se
utilizar exemplos ou algo prático para se chegar a um determinado conceito. E depois
há outras coisas que são mais teóricas, que não são de tão fácil visualização e nos
exemplos não servirão tão bem para aprender esse conteúdo, e então terá de ser de
uma maneira teórica e só depois utilizar os exemplos para aplicar aquilo que se
aprendeu.”
podemos constatar que S diferencia aqueles conteúdos cuja definição pode ser
construída pelo aluno à custa dos traços comuns apresentados por uma série de
exemplos e, por outro lado, conceitos cuja definição deve ser apresentada a priori e
apenas depois os exemplos ilustrativos. S distingue estes dois tipos de exemplos como
aqueles de fácil visualização e os outros de visualização mais difícil.
As outras duas referências apontam na mesma direcção mas na terceira e na
quarta deixam antever que existem outros tipos de exemplos.
No caso de S pensamos ser relevante como após o ano de estágio esta estudante
para professora já refere e distingue com clareza os exemplos que se enquadram nesta
categoria. Ao não os referir na entrevista de Setembro não mostra evidências de os
considerar importantes no processo de ensino/aprendizagem, deixando por ventura, os
principais papéis neste processo a exemplos de outras categorias.
Os exemplos utilizados por S que se englobam nesta categoria estão presentes
em fichas de trabalho nos conteúdos de 10º Funções, 10º Propriedades das Funções,
11º Funções Racionais e 11º Taxas de Variação/Noção de Derivada e apresenta três
exemplos de introdução de conceitos em 11º ano Operações com Funções nas aulas
assistidas PA9 e PA10.
O único conteúdo onde S, conjuntamente com M, não sentiu necessidade de
utilizar exemplos desta categoria foi nas Funções Polinomiais de 10º ano visto o
conceito de polinómio já não ser um conceito novo a introduzir.
Todos os exemplos desta categoria e em todos os conteúdos são gráficos, o que
denota que a faceta preferida de escolha de exemplos para esta categoria é a visual. São
os exemplos referentes às fichas de trabalho e também os dois exemplos apresentados
na aula assistida PA9 e mais um na aula PA10. Em PA9 S utilizou um esquema visual
de diagramas de Venn para introduzir e demonstrar com o auxílio dos alunos a
126
expressão que determina o domínio da Função Composta. No segundo exemplo S já
utilizou o esquema simbólico usual, porém este exemplo está determinado pelo
esquema visual anterior. É interessante verificar que S volta a apoiar-se num esquema
de Venn semelhante ao anterior para introduzir e determinar, outra vez com o apoio dos
alunos, a necessidade da injectividade para assegurar a existência da Função Inversa e
relacionar domínios e contradomínios entre as Funções Directa e Inversa.
2.2.2 Categoria Representação.
Nesta categoria S tem apenas uma referência em Setembro. S pensa que os
alunos adquirem o conceito que o professor está leccionar quando conseguem
2-Ref-239-Ent2-S:
“…criar um conceito parecido, ou retirar partes do conceito, e se
a pessoa for capaz de o escrever.” Com esta resposta S foge à resposta mais comum que
é dizer quando o aluno consegue aplicar, optando antes pelo fraccionamento do conceito
e pela escrita das suas possíveis representações, mas não parece muito segura da sua
resposta.
Em Junho, e sobre os conceitos de visualização difícil, pensa que as definições
devem ser introduzidas primeiro, seguidas dos primeiros exemplos. Depois, para
particularizar e para começar a manusear o conceito, devem propor-se aos alunos os
primeiros exercícios,
2-Ref-277-Ent4-S:
“…terá de ser de uma maneira teórica e só depois utilizar os
exemplos para aplicar aquilo que se aprendeu.”, como forma de trabalhar as várias
facetas do conceito e suas diferentes abordagens. Com esta referência S põe em
evidência como são importantes as duas partes na aprendizagem: depois da introdução
vêm os primeiros contactos com o conceito, sendo estes revestidos de uma importância
acrescida. Estes exemplos envolverão o aluno, na prática, em tudo o que até ali foi
apenas ouvido.
S, como já vimos, distingue vários tipos de exemplos, entre eles, pensa que um
exercício é um tipo de exemplo
2-Ref-287-Ent4-S:
“…um exemplo porque é sempre um caso particular daquilo que
se deu, não é?” para exprimir que após as definições, e primeiras concretizações, devem
surgir as primeiras situações concretas de aplicação do conceito. Nesta altura S já não
127
vê o exemplo apenas como uma ilustração inicial do conceito mas amplia o termo a uma
compreensão mais abrangente do termo “exemplo”.
Mais à frente S insiste que os exemplos têm, entre outras, a função de mostrar
aplicações do conceito depois de introduzida a sua definição
2-Ref-296-Ent4-S:
“…,também para explorar novos campos.” do conceito, sendo
este excerto parte de uma resposta que abrange todo o processo de ensino de um
conceito que estamos a leccionar mas, no seguimento do parágrafo anterior, mostra
outras vertentes a dar à função do exemplo.
Comparando a resposta hesitante de Setembro com as respostas concisas de
Junho vemos que S tem agora uma visão panorâmica do processo de
ensino/aprendizagem e do papel importante que a exemplificação desempenha em todo
esse processo, mais precisamente, o papel que a exemplificação tem nas primeiras
abordagens do conceito. S deixa de referir o exemplo pelas possíveis representações e
passa a referi-lo pelas suas funções nas diversas etapas do que ela considera ser o
processo de ensino/aprendizagem.
A quantidade de exemplos que S utilizou e que se inserem nesta categoria é
muito grande. São exemplos que estão registados não apenas em fichas de trabalho mas
também nas aulas assistidas, o que revela, por parte de S, uma preocupação constante
pela utilização deste tipo de exemplos durante todo o ano de estágio. Salvo duas
excepções, encontramos estes exemplos em todos os conteúdos sobre Funções dos 10º e
11º anos, apenas as Funções Racionais e as Operações com Funções de 11º ano não
contemplam exemplos desta categoria.
Os exemplos de fichas de trabalho que se enquadram nesta categoria são
situações que pretendem trabalhar as diversas representações do conceito de função de
forma criteriosa. São exemplos que focam apenas uma ou duas representações e, para
não confundir, trabalham essas representações uma a uma ou, então, relacionam duas.
As situações são, na maioria das vezes, semelhantes e variam apenas no tipo de função
em estudo: parábola, módulo, polinomial, etc.
A Ficha 4 trabalha as translações e contracções no plano, seja nas representações
gráfica e algébrica isoladamente, seja relacionando as duas.
Na Ficha 5 podem observar-se situações simples onde se mostram características
das representações gráficas, analítica ou ambas.
128
Os primeiros três exercícios da Ficha 6 procuram realçar as semelhanças gráficas
entre uma função e o seu módulo, mostrando no processo de resolução desses exercícios
as razões dessas semelhanças.
O exemplo 2-11Drv-159-FT9-MS é um exercício onde, em cada uma das suas
alíneas, se contempla, tanto quanto possível, apenas uma regra da derivação.
Como se pode constatar, pelos exemplos atrás referidos, S apresenta exemplos
envolvendo apenas uma ou duas facetas, trabalha isoladamente uma ou, quanto muito,
duas particularidades do conceito em estudo promovendo, desta forma, uma atitude
analítica face ao processo de ensino/aprendizagem.
Os quatro exemplos da aula assistida PA8 contemplam as facetas analítica e
gráfica da função quadrática, mais propriamente a forma de encontrar as coordenadas
do vértice da parábola correspondente à expressão analítica dada. São exemplos muito
simples que visam apenas a mecanização deste processo.
Os exemplos das aulas PA9 e PA10 que constam nesta categoria são os
exercícios propostos como uma primeira aproximação às funções compostas e inversas.
São exemplos que permitem ao aluno um contacto inicial autónomo com este tipo de
funções que, não sendo situações problema, envolvem apenas o desenrolar dos
processos típicos da determinação analítica destas funções.
Nas aulas assistidas PA10 e PA11, em que foram leccionadas as taxas de
variação e regras de derivação relacionadas com os declives das respectivas rectas
secantes e tangentes, S exemplificou sempre de forma que ficassem bem patentes as
relações entre estas duas facetas do conceito de função, a analítica e a gráfica. São
exemplos que contemplam uma situação da vida real mas, contudo, não configuram um
exemplo da categoria Aplicações Externas visto que a principal característica destes
exemplos é a de ser um primeiro contacto com o cálculo de taxas, derivadas e/ou
declives de rectas.
2.2.3
Categoria Características.
Esta categoria inclui oito ocorrências entre as duas entrevistas, duas em
Setembro e seis em Junho, e é a categoria mais referida em termos de entrevistas.
129
As duas referências de Setembro que se incluem nesta categoria não evidenciam
claramente que S atribua uma função de estruturação do conceito aos exemplos, nem
sequer de sistematização. S limita-se a atribuir-lhes um papel esclarecedor e elucidativo
para colmatar situações de dúvida e confusão.
3-Ref-238-Ent2-S: “Tentar dividir o que podemos estudar, podemos estudar esta
parte agora, esta parte agora, esta parte agora, e tentar ligar todas no fim…”
Veja-se como S continua, também nesta categoria, a deixar claro que se deve
fraccionar o conceito utilizando exemplos relativos a cada parte criada e pressupõe que
a sua soma, por si e no fim, proporcionará ao aluno uma construção correcta do
conceito. Neste caso o fraccionamento aparece como forma de esclarecer numa primeira
fase e, no fim, a agregação das partes funcionará como sistematização.
3-Ref-244-Ent2-S: “Caso aparecessem era mais fácil.” Esta referência surge
para mostrar a necessidade de utilização do exemplo como meio de ajudar o aluno a
ultrapassar situações de dúvida e confusão.
Em Junho S mantém essa função da exemplificação, embora a função
esclarecedora seja agora mais explícita:
3-Ref-280-Ent4-S: “Um exemplo é uma situação que pode surgir com vários fins. Às
vezes podemos, como ela estava a dizer, esclarecer, outras…”
3-Ref-283A-Ent4-S: “Não para esclarecer, mas como forma de introdução.”
3-Ref-293-Ent4-S: “Pode servir para…esclarecer…”
3-Ref-299-Ent4-S: “… no caso de funções a gente dá um exemplo qualquer e… mas
pretendemos com esse exemplo esclarecer.” Mas acrescenta outra função além da
esclarecedora
3-Ref-295-Ent4-S: “…para consolidar algo…” isto é, como forma de utilizar o
exemplo como função integradora e estruturante. Um pormenor novo que aparece
agora, em Junho, é a constatação do aparecimento de situações inesperadas:
3-Ref-298-Ent4-S: “Aí também depende, se é uma dúvida que nós estamos a contar que
apareça, já vem de casa. Se é uma dúvida que nós não estamos a contar tem que se
inventar na altura.” S após o ano de estágio sabe que tem que contar com duas
situações distintas, as esperadas e as inesperadas, e que cada uma delas exige uma
exemplificação diferente na origem e concepção. Assim, temos os exemplos que se
preparam em casa para utilizar em situações que conseguimos prever, que são
escolhidos com tempo e cuidado e que se adaptam perfeitamente à situação prevista e,
130
noutra situação, aqueles exemplos para as situações inesperadas que o professor
apresenta de forma espontânea.
S utilizou este tipo de exemplificação espontânea na aula assistida PA8 por duas
vezes com a intenção de esclarecer duas situações de confusão dos alunos quando eles
estavam a determinar analiticamente as coordenadas do vértice de uma parábola. Nas
duas ocasiões os exemplos utilizados foram adaptados às condições da dúvida. Também
elucidou outra situação de confusão quando, na aula PA11, trazia já uma situação de
cálculo de taxa de variação média para explicar melhor a determinação do declive da
recta secante. Esta foi a única situação em que S previu um episódio de incerteza
quando preparou uma lição, incluiu este exemplo e utilizou-o de forma adequada
quando o necessitou.
Os exemplos 3-11Drv-58-PA12-S; 3-11Drv-59-PA12-S; 3-11Drv-60-PA12-S
são uma sequência particularmente feliz para esclarecer uma dúvida da turma, nessa
aula PA12, relativamente à passagem da taxa de variação média à taxa de variação e,
respectivamente, a passagem do declive da secante ao declive da tangente de uma curva.
A sequência é primordialmente gráfica mas baseia-se na faceta analítica, a faceta gráfica
aparece como elemento esclarecedor.
É relevante notar que na entrevista esta categoria é referenciada oito vezes mas
durante todo o ano de aulas assistidas só foram encontrados seis exemplos desta
categoria. S privilegia, em teoria, este tipo de exemplos para esclarecer mas, quando
confrontada com as dúvidas dos alunos, não recorre a exemplos (salvo essas vezes)
prefere esclarecer verbalmente as dúvidas dos alunos com base na situação que as
originou.
Não foram encontrados exemplos desta categoria nas fichas de trabalho, o único
exemplo deste tipo criado antecipadamente foi aquele que foi atrás referenciado, o que
permite concluir que, quotidianamente, não foram antecipadas dúvidas provenientes da
normal leccionação.
Salvo os elementos gráficos, os exemplos espontâneos apresentados por S no
âmbito da função quadrática e cálculo de taxa de variação, utilizando a faceta analítica,
incluíam sempre coeficientes inteiros entre -6 e 7, não foram utilizados coeficientes
fraccionários nem irracionais.
131
2.2.4 Categoria Aplicações Internas.
S não referenciou esta categoria em nenhuma das duas entrevistas.
Na prática os exemplos que relacionam conteúdos diferentes do mesmo ano e de
anos diferentes fazem, naturalmente, a sua aparição. S não descuidou este tipo de
exemplificação, podemos vê-la tanto em aulas assistidas como em fichas de trabalho. Os
exemplos são escolhidos criteriosamente do livro de texto e de outras fontes de forma a
introduzir os alunos na complexa rede de conteúdos relacionados entre si que
constituem o programa do Ensino de Matemática no Secundário.
As fichas de trabalho que incluem estes exemplos são: FT5 e FT6 para as
Propriedades das Funções, Módulo e Polinomiais; FT9 e FT10 para as Taxas de
Variação e Noção de Derivada. Os exemplos desta categoria incluídos nas fichas de
trabalho FT5 e FT6 são exercícios que fazem a síntese destes três conteúdos,
primordialmente o estudo de características e propriedades de funções estudadas em
funções quadráticas, polinomiais e módulo. São exercícios que além de fazerem a
ligação entre temas diferentes também o fazem entre facetas diferentes, a algébrica com
a gráfica com vista a criar uma visão integradora destes subconceitos no conceito, mais
alargado, de função. Os exemplos desta categoria das fichas de trabalho FT9 e FT10
relacionam os conteúdos que envolvem o cálculo de Taxas de Variação, de 11º ano,
com as equações da recta de 10º ano incluindo ainda todos os tipos de funções
estudados neste ano, quadráticas, polinomiais e módulo. As diversas facetas e as suas
relações também não foram descuradas.
Os exemplos dados por S nas aulas assistidas são bons exemplos de relação entre
diferentes conteúdos e as suas várias facetas. Os exemplos da aula PA8 relacionam a
forma polinomial ax 2 + bx + c e os casos notáveis da multiplicação de polinómios do 8º
ano com a forma f ( x) = a ( x − h) 2 + k do 10º ano, como forma de determinar as
coordenadas do vértice de uma parábola. O exemplo 4-11Op-44-PA9-S relaciona o
tema Domínios de Funções de 10º ano com a determinação do domínio de uma função
quociente que é tema do 11º ano. Os outros dois exemplos que figuram nesta categoria
relacionam Taxas de Variação e Noção de Derivada de uma função num ponto, do
11º ano, com declives e equações de rectas na forma reduzida de 10º ano.
132
Como se pode observar S não referenciou esta categoria nas entrevistas mas isso
não foi sinal de indiferença perante esta categoria. S está segura da importância deste
tipo de exemplos na construção de conceitos por parte dos alunos, de forma que estes
não construam os conceitos e esquemas conceptuais na ideia errada de que os conceitos
sejam estanques uns relativamente aos outros.
Nesta categoria surgiram apenas exercícios no sentido tradicional e não surgiu
uma única situação problema.
2.2.5 Categoria Aplicações Externas.
S já está consciente deste tipo de exemplos e da sua importância em Setembro.
Em dada altura da entrevista S referia a necessidade na utilização de situações
concretas, mais precisamente numa situação
5-Ref-236-Ent2-S: “Real.” e, mais à frente, precisa que as situações da vida real devem
ser utilizadas pelos professores, as situações reais da vivência do professor mas, sempre
que possível, das vivências do aluno e adaptado a ele
5-Ref-247-Ent2-S: “Pois, não é como no outro dia que estávamos aqui e apareceu o
Jorge do táxi, e eu, sei lá eu o que é que é um táxi que se paga taxa para andar de táxi.
Eu nunca andei de táxi na minha terra não há táxis s´toura. E eu: Pronto!”
Em Junho, depois do estágio pedagógico, as ideias de S estão mais amadurecidas
e a prática docente revela-se nos objectivos que apresenta para a exemplificação
5-Ref-300-Ent4-S: “…e ser importante na nossa sociedade para resolver determinados
problemas para podermos fazer (…) previsões ou temos um modelo…”. A aplicação à
vida real deixou de ser mais um tipo de exercícios e S passa a conferir a estes exemplos
individualidade própria e uma importância acrescida.
S utilizou este tipo de exemplo em duas ocasiões, na aula assistida PA8 e na
ficha de trabalho FT5, em duas aplicações da Função Quadrática. Foram utilizadas as
facetas analítica e gráfica para ilustrar uma aplicação à balística, ao estudo da trajectória
de uma bola de golfe na aula PA8 e também para um estudo de queda de graves em
FT5. O tema Taxas de Variação e Noção de Derivada do 11º ano é um tema fértil para
a utilização destes exemplos, S não desperdiçou o conteúdo e utilizou as fichas de
trabalho FT8, FT9, FT10 e FT11 para trabalhar este tipo de exemplificação. Pelos
133
exercícios escolhidos podemos perceber que S está convencida da importância de
envolver os alunos nestas situações de aplicação da Matemática à vida real e às outras
Ciências e da importância das situações problemáticas para a construção das estruturas
conceptuais inseridas num bom percurso pelos temas propostos na programação.
2.2.6 A exemplificação de S.
Existem duas características da exemplificação de S que sobressaem, são elas o
fraccionamento do processo de ensino e a diferença na função do exemplo em entrevista
e na prática diária.
Como se viu, este fraccionamento do processo de ensino/aprendizagem sobressai
nas três primeiras categorias e S preconiza a utilização de exemplos adequados à fase de
ensino onde nos encontremos:
“… para esclarecer, como pode ser para introduzir, como para consolidar algo,
também para explorar novos campos. Quer dizer, no fundo vai ter… nós utilizamos os
exemplos para tudo, em qualquer objectivo, “para quê?” o exemplo está a servir para
todos eles, não é? Não está a ter um objectivo em particular, está a ter um objectivo
que a gente querer-lhe dar, que a gente quer dele. Se nós queremos que a pessoa atinja
este objectivo, o exemplo está a servir para aquele objectivo.” o ensino dos conceitos
raramente aparece de forma integrada, S diz: “Tentar dividir o que podemos estudar,
podemos estudar esta parte agora, esta parte agora, esta parte agora, e tentar ligar
todas no fim…”. Apresentação da definição seguida de exemplos ou, doutra forma,
exemplos que determinam um conceito que será depois definido é apenas o início do
processo, continuando desta forma até à conclusão do processo utilizando tipos
diferenciados de exemplos adaptados à fase em que se encontre. Mas considerando
sempre que o processo se desenrola em fases distintas.
A outra constatação é a afirmação de que a função do exemplo é,
principalmente, esclarecer, clarificar situações confusas e sistematizar quando
analisamos as referências às categorias durante as entrevistas. A 3ª categoria foi a mais
referida durante as entrevistas, oito vezes, o que nos permite comprovar a importância
dada a esta função dos exemplos: “… mas pretendemos com esse exemplo esclarecer
134
(…) para consolidar algo…”. Por outro lado se analisarmos o número de exemplos que
ocorrem nas aulas assistidas e nas fichas de trabalho a maior frequência encontra-se na
2ª categoria, isto é, existe uma diferença apreciável no que S preconiza nas entrevistas e
o que S fez no quotidiano do seu estágio. No trabalho diário S não utilizou exemplos
para esclarecer ou para dissipar as confusões dos alunos, salvaguardando uma ocasião,
também não utilizou exemplos para prever e prevenir estas confusões ou dúvidas, na sua
ocorrência S preferiu utilizar outros meios para contornar a situação. Por isso S não
valorizou na prática os exemplos da 3ª categoria da mesma forma que os valorizou nas
entrevistas, essa primazia preferiu atribuí-la aos exemplos da 2ª categoria, aqueles que
tratam os aspectos mais simples do conceito sendo, desta forma, coerente com a forma
fraccionada com que preferia tratar os temas e promover a construção dos esquemas
conceptuais dos alunos.
Eventualmente, a preferência por exemplos próprios da 2ª categoria em vez dos
exemplos relativos à 3ªa categoria para a resolução de confusões e dúvidas se prenda
com a necessidade de exemplificar de forma espontânea nestas ocasiões. Para um
estudante para professor, com pouca experiência lectiva, será difícil encontrar bons
exemplos de forma instantânea.
Em conclusão, S tem ideias bastante precisas e bases sólidas do que para ela
deve ser o processo de ensino/aprendizagem, distingue conceitos de visualização fácil e
os de visualização difícil e a forma diferenciada de os introduzir; atribui funções e
objectivos aos exemplos e escolhe-os de acordo com o que pretende e em função das
necessidades; opta quase sempre pela faceta gráfica quando pretende que os alunos
acedam às características mais simples do conceito; compreende a importância dos
exemplos de aplicação interna e externa na aplicação da Matemática, no percurso
estudantil do aluno e na estruturação de esquemas conceptuais.
135
2.3
Análise do quadro de P
2.3.1
Categoria Definição.
P não tem dúvidas sobre a forma como pensa que os conceitos devem ser
introduzidos. Em Setembro, antes de ser responsável pelas suas turmas e sem nunca ter
leccionado, P já se decantou por uma forma de introdução de conceitos
1-Ref-221-Ent1-P: “…induz-se até que eles consigam…” e sabe que o pode fazer de
pelo menos duas formas, mas indica claramente a que prefere:
1-Ref-223-Ent1-P: “O que se introduz directamente não leva os miúdos a pensar nas
coisas, aquilo que se vai introduzindo a pouco e pouco para eles chegarem lá obriga-os
a pensar nas coisas.” P opta por introduzir os conceitos por indução, isto é,
proporcionando exemplos de características comuns de forma que os alunos escrevam,
depois, a sua definição do conceito. P não considera que a introdução inicial da
definição e consequente exemplificação seja a forma correcta de construir um esquema
conceptual, esta forma “não os leva a pensar”.
Em Junho P não alterou a sua forma de pensar
1-Ref-264-Ent3-P: “Seja para introduzir temas…” mas tampouco a reforçou, limitou-se
a referir que os exemplos podem servir para introduzir temas.
P, em Setembro, prefere induzir os conceitos, como se viu, fornecendo aos
alunos exemplos de características comuns. Em Janeiro, data da aula assistida PA14, P
faz exactamente o contrário, os exemplos 1-10F-65-PA14-P, 1-10F-66-PA14-P e 1-10F67-PA14-P são prova disso. P inicia os trabalhos sobre Domínio, Contradomínio e
Zeros de uma função dando as suas definições e, seguidamente, propõe estes três
exemplos para que os alunos vejam realmente o que são estes elementos do gráfico de
uma função. Esta linha de apresentação de conceitos é seguida nas fichas de trabalho
FT12, FT13 e FT14. Os exemplos desta categoria relativos ao início do estudo de
funções que constam nestas fichas de trabalho foram apresentados, sempre, após as
definições e nunca antes. Em Maio, no tema Funções Polinomiais de 10º ano, P repete
o processo mesmo tendo a indicação dos alunos para não o fazer: “Porque se a gente
começar, estou a falar de 10º ano, por exemplo quando foi com os polinómios eu
136
comecei a dar a forma geral, a expressão geral, e eles não gostaram nada daquilo. Não
gostam de formas gerais, não gostam de letras, pois stressam com aquilo. “ Vejam-se
os exemplos da ficha de trabalho FT17 1-10Pls-197-FT17-JP,
1-10Pls-198-FT17-JP,
1-10Pls-199-FT17-JP, 1-10Pls-200-FT17-JP e 1-10Pls-201-FT17-JP onde, após definir
grau, coeficiente, etc, apresenta uma série de exemplos onde se pode observar aquilo
que foi definido.
No 11º ano, em Março, quando leccionou as Taxas de Variação a forma de
introdução também não foi diferente. P definiu o que é uma taxa de variação média e
apresenta seguidamente o exemplo 1-11Drv-81-PA18-P. Assim, todos os exemplos,
efectivamente observados, enquadrados nesta categoria foram exibidos após a definição,
curiosamente, da forma que “não leva os alunos a pensar”.
As facetas escolhidas para introduzir conceitos foram a gráfica e a analítica, que
são as facetas naturais considerando os conteúdos em questão, as propriedades das
funções e dos seus gráficos foram introduzidos graficamente e as funções polinomiais
foram-no de forma analítica. Houve uma excepção dentro desta forma natural de
introduzir, o exemplo 1-11Drv-81-PA18-P que diz respeito à definição de uma taxa de
variação média logo de representação naturalmente numérica, este surge com suporte
gráfico com um objectivo, prepara, desde uma primeira fase, a relação entre este valor e
o declive da recta secante a uma curva.
2.3.2 Categoria Representação.
P não refere esta categoria em Setembro.
Em Junho P considera importante que os alunos sejam sujeitos a situações que
possam controlar, com um grau de dificuldade apropriado, que os motive e lhes permita
progredir na sua aprendizagem
2-Ref-248-Ent3-P: “…um exemplo prático (…) uma coisa mesmo prática, acessível a
eles…“ e deixa um exemplo para o tema relativo ao estudo das Funções de 10ºano:
2-Ref-249-Ent3-P: “…a Ana tinha ido à fruta, ou o que é que é, levava um cesto, já
tinha um cesto que tinha um x preço ia pondo maçãs, cada maçã era não sei quanto
…”. Este exemplo é um dos raros casos que os estagiários realmente exemplificam,
137
quase sempre referem as categorias sem efectivamente exemplificarem. Outro pormenor
interessante é o facto de a representação escolhida ser a verbal, não é natural ao nível de
10º, 11º ou 12º anos, mas revela o quanto P desejava que o sentido da sua afirmação
fosse compreendido.
Durante esta entrevista de Junho, enquanto se falava da importância dos
exemplos P afirma:
2-Ref-272-Ent3-P: “…os exemplos vão fazendo a ponte, vai sendo estruturada, acho
que as coisas começam-se a encaixar, tipo um puzzle. (…) … acho que ajuda é na
estruturação do raciocínio…(…) Mas eu acho que [o exemplo] ajuda mais nisso do
que por uma definição.” Por outras palavras, P acaba de enunciar a metáfora do
andaime. A inclusão desta unidade de análise nesta categoria não foi pacífica, mas foi o
contexto onde ela foi produzida que ditou a sua inclusão nesta categoria. P explica o que
fazer depois de definido o conceito, explica que se deviam proporcionar aos alunos
exemplos que lhes permitissem começar a construir o conceito e, isto mesmo, é o
essencial desta categoria. Seguindo esta explicação P aclara que exemplificar
2-Ref-274-Ent3-P: ” É uma forma de visualizar a teoria.” e não utiliza o termo
“visualizar” apenas no primeiro sentido, no sentido dado pela representação visual de
função, vai para além desse nível, no sentido de construir o conceito de forma a abarcálo na sua plenitude. Não apenas a “teoria” dada pela definição.
O número de exemplos que se incluem nesta categoria facultados pelas aulas
assistidas e pelas fichas de trabalho é bastante grande, é a categoria onde figuram o
maior número de exemplos utilizados por P. Vejam-se os exemplos das fichas de
trabalho FT12, FT13, FT14, FT15, FT16 no estudo das Funções de 10º ano; FT17 e
FT18 nas Funções Polinomiais de 10º ano; FT20 no capítulo de Taxas de Variação e
Noção de Derivada do 11º ano. É um número elevado de exemplos que permitem ao
aluno, de forma autónoma, ir-se apercebendo das várias representações e suas
características das funções em estudo. São exemplos que visam uma representação de
cada vez, isolada, de forma a mostrar ao aluno que os mesmos resultados podem ser
conseguidos com uma ou outra, a analítica ou a gráfica.
Os exemplos 2-10Pls-75-PA16-P e 2-10Pls-76-PA16-P que P propôs na aula
assistida PA16 ilustram a relação entre as representações analítica e gráfica e a analogia
dos resultados quer se use uma ou outra representação. São dois exercícios onde se
138
pretende que o aluno faça corresponder as expressões analíticas de quatro funções às
respectivas representações gráficas. P escolheu estes exercícios de um manual que não é
o adoptado, estes exemplos configuram mais um problema que um exercício pois é
necessária uma boa compreensão das duas representações, principalmente como
funcionam os zeros, sinais e concavidades numa e noutra representação de função
polinomial. Pela escolha P pretende atingir objectivos bem definidos nas características
do conceito de função que pretende que os alunos trabalhem.
Na aula assistida PA18 utilizou exemplos desta categoria para estudar e
determinar taxas de variação. São exercícios simples e rotineiros.
Com os exemplos 2-11Drv-89-PA19-P e 2-11Drv-91-PA19-P da aula PA19 a
representação em estudo é apenas a analítica. São dois exercícios de início do estudo da
monotonia e cálculo de extremos de uma função utilizando a sua função derivada, que
tratada apenas analiticamente apela, obviamente, à faceta gráfica sem que esta alguma
vez faça a sua aparição. Esta relação entre o estudo da monotonia e sua ligação com o
gráfico já tinha sido destacada em exemplos anteriores que se enquadraram na categoria
Definição.
2.3.3 Categoria Características.
P refere-se a esta categoria por sete vezes, é a categoria mais referida. Sobre a
função dos exemplos P considera, entre outras, que servem para indagar e testar a
correcta interiorização dos conceitos, se a construção dos esquemas conceptuais se
produz correctamente:
3-Ref-226-Ent1-P: “ [damos exemplos] …para ver se eles já não têm dúvidas em
relação aos conceitos que foram dados.” Nesta unidade de análise P, indirectamente,
atribui ao exemplo a função de esclarecer, procura-se a existência de dúvidas com vista
a esclarecê-las. Um pouco mais à frente, esta função aparece indicando que essa busca
pode ser sobre pontos específicos, dúvidas pontuais
3-Ref-228-Ent1-P: “Sim focaliza só um aspecto e …” Ainda em Setembro P continua a
atribuir aos exemplos essa função de teste, de verificação:
3-Ref-230-Ent1-P: “Por exemplo nós estamos aqui a falar de uma coisa qualquer, e eu
digo por exemplo: “isto”, para ver se tu percebeste o que eu estou a dizer. Eu acho que
é a tal coisa da dúvida, lá está a dúvida. Tira a dúvida e não tira a dúvida.”
139
Apenas em Junho a função de esclarecer, de eliminar dúvidas, aparece de forma
clara. Ainda pensando que a definição não é suficiente para a construção do conceito P
considera que
3-Ref-231-Ent1-P: “Se for uma matéria mais teórica damos uns exemplos e clarifica…“
e que
3-Ref-265-Ent3-P: “…muitas vezes, servem para combater dúvidas, …”. Contudo, e de
forma original, é a única que refere que os exemplos podem servir para provocar uma
dúvida:
3-Ref-266-Ent3-P: “Servem para suscitar dúvidas, …” apelando, claramente, à
estratégia que todos nós usamos por vezes, isto é, confundir para depois eliminar essa
confusão e outras dúvidas, em última análise, para sistematizar.
Dentro desta categoria P refere dois tipos de exemplos, uns que se preparam em
casa antevendo as dúvidas do aluno e outros que têm que ser criados no momento e que
tem que ser
3-Ref-268-Ent3-P: “Específico para aquele [problema ou dúvida do aluno]…”. P não
refere a dificuldade de encontrar de forma imediata este tipo de exemplos, aliás acha
fácil este tipo de exemplificação porque concorda com J que se um exemplo não
esclarecer determinada dúvida facilmente se “inventa” outro.
Os exemplos de P que se agrupam nesta categoria são todos de aulas assistidas.
Embora P tenha referido em Junho que existem exemplos que se preparam em casa para
atender a certas situações de dúvida que venham a concretizar-se, o certo é que não se
encontrou qualquer destes exemplos, todos os que foram referenciados são exemplos
que P teve que criar, de improviso, para atender às situações imprevistas.
O exemplo 3-10F-71-PA15-P utiliza a faceta gráfica, foi utilizado quando surgiu
uma dúvida de como determinar graficamente um máximo local. P improvisou um caso
particular para fazer face à situação.
Os dois exemplos 3-10Pls-73-PA16-P, analítico, e 3-10Pls-74-PA16-P, gráfico,
surgiram para esclarecer uma confusão relativa a zeros e raízes de uma função
polinomial.
Com o exemplo 3-10Pls-77-PA16-P P quis mostrar aos alunos a diferença de
comportamento, perto da raiz, do gráfico de duas funções com o mesmo zero mas de
multiplicidade diferente. Os alunos não conseguiam entender o termo “arrastar”
140
utilizado por P e então foram dados dois exemplos, uma raiz com multiplicidade 5 e
outra com multiplicidade 21 para obviar as dificuldades.
Os exemplos 3-11Drv-82-PA18-P, 3-11Drv-87-PA19-P, 3-11Drv-88-PA19-P,
3-11Drv-90-PA19-P e 3-11Drv-92-PA19-P são esclarecimentos gráficos, que P teve
necessidade de utilizar, de cinco exercícios de resolução estritamente analítica que
foram propostos, respectivamente nas aulas PA18 e PA19 sobre Taxas de Variação e
aplicação das Derivadas.
Assim, embora P não tenha previsto qualquer situação de dúvida resolveu
satisfatoriamente todas aquelas com que se deparou. Salvo os casos em que se socorreu
de um máximo local e de um zero de multiplicidade 21 todas as dificuldades foram
resolvidas com a situação em causa, P não sentiu nestes casos necessidade de criar
novas situações.
Sendo a categoria que mais referências possui nas entrevistas esta tendência não
é, no entanto, acompanhada nos exemplos contabilizados. Se é a categoria mais
importante em termos de referências tal não acontece em termos de exemplos anotados
em aulas assistidas e em fichas de trabalho.
Nos os exemplos utilizados nesta categoria todos os valores numéricos
utilizados, seja em raízes de gráficos ou coeficientes de polinómios, são inteiros: -1, 1,
2, 3, 4 e 5.
2.3.4 Categoria Aplicações Internas.
Apenas ocorreu uma referência a esta categoria nas duas entrevistas. P somente a
menciona em Junho quando liga as Funções Polinomiais à resolução de inequações
4-Ref-258-Ent3-P: “ …a parte de inequações.”
Embora tenha existido unicamente uma referência na entrevista de Junho, P não
descurou este tipo de exemplificação. Os exemplos que relacionam vários conteúdos e
conceitos foram utilizados tanto nas aulas assistidas como nas fichas de trabalho, sendo
utilizados como forma de mostrar aos seus alunos que existem interligações entre as
matérias que são leccionadas no próprio ano com as de anos anteriores.
141
Podemos encontrar estes exemplos nas fichas FT13, FT14, FT15 e FT16 no
capítulo dedicado ao estudo das características das Funções de 10º ano, FT17 no estudo
das Funções Polinomiais e FT21 para o cálculo de Taxas de Variação e Noção de
Derivada.
Os exemplos das fichas FT13, FT14, FT15 e FT16 têm como função interligar
todos os subconceitos relativos às principais facetas que foram leccionados até ao 10º
ano. São exemplos que foram propostos nas representações gráfica ou analítica mas que
integram as noções de domínio, contradomínio, zeros, raiz, concavidade, monotonia,
etc. A maioria destes exemplos implica a resolução de condições. O exemplo 4-10Pls207-FT17-JP relaciona directamente a representação gráfica e a analítica pedindo ao
aluno que sugira uma expressão analítica para a função polinomial dado o seu gráfico,
envolve noções tais como paridade, zeros, grau, sinais de coeficientes, etc. Por fim os
exemplos relativos a Taxas de Variação e Noção de Derivada são os três exercícios
rotineiros que constituem toda a ficha FT21 e relacionam o cálculo de derivadas com o
estudo da monotonia e existência de extremos de uma função, bem como a
determinação de declives e equações de rectas tangentes ao gráfico de uma função.
Os exemplos 4-10F-63-PA14-P e 4-10F-64-PA14-P são os únicos observados
em aula e envolvem a representação analítica, o conceito de domínio, conjuntos
definidos em extensão/compreensão e conjunto solução associado a uma condição. É
um exercício simples de cálculo do domínio de uma função definida pela sua expressão
algébrica.
Pelos exemplos encontrados nas fichas de trabalho elaboradas por P aprecia-se o
cuidado que foi posto no objectivo de interligar vários conceitos e conteúdos do ano e
de anos anteriores. P teve esse cuidado, não deixou aos próprios alunos serem eles a
estabelecerem as ligações internas que a Matemática estabelece e, nos exemplos das
fichas de trabalho, propôs exercícios e exemplos com uma diversidade apreciável.
Contudo, não foram encontrados exemplos que constituíssem situações problemáticas,
todos os exemplos constituem exercícios tradicionais de cálculo e rotina.
2.3.5 Categoria Aplicações Externas.
P em Setembro afirma que os professores devem ir procurar os seus exemplos
142
5-Ref-232-Ent1-P: “ À vida real.” A resposta é categórica. E surpreende que, ainda sem
ter leccionado, tenha bem definido o que se pretende: “O João foi ao Supermercado e
não sei quê, não sei quê, …”; “Por exemplo. Coisas práticas, aplicações … - O teu pai
tem uma loja, e se vendesses ….-”, mais ainda, P também considera importante que se
tenha em atenção a história do aluno, deixa-o bem claro dizendo-o duas vezes:
“…sabendo o historial do aluno… ( ) … muitas vezes para conseguir fazer continhas
com uma aluna, ela era feirante, tinha que ir ao … se vendesses as calças.. ou assim, e
era a maneira dela perceber as coisas.” e também “Acho que é ir ao historial dos
alunos, ou ao nosso historial, depende dos contextos.”
O ano de estágio não operou modificações assinaláveis, P continua a dar
exemplos de aplicação à vida na entrevista de Junho, e refere um exemplo de aplicação
das funções Polinomiais
5-Ref-260-Ent3-P: “Do peixinho não sei quê, assim…” e não desenvolve mais. Não era
de esperar uma alteração significativa tendo em atenção o ponto de onde P parte, a sua
visão das aplicações da Matemática à vida real já está razoavelmente amadurecida, se o
estágio a levou mais além isso não foi evidenciado na entrevista.
A forma como P aplicou os conceitos de Função Polinomial e Taxas de
Variação/Noção de Derivada foi referida nas fichas de trabalho FT18, FT19 e FT20.
Este tipo de exemplos, de aplicação externa, não aparece noutros conteúdos visto P ter
optado pelos exercícios do manual e não por fichas de trabalho. De qualquer forma, e
sobre o que foi dado a observar nas fichas de trabalho, P utiliza um exemplo banal em
5-10Pls-208-FT18-JP, mas em 5-10Pls-209-FT18-JP aparece um elemento original, P
neste exercício pede aos alunos que elaborem uma pequena composição onde exponham
as conclusões sobre o estudo que fizeram da situação apresentada. Este exemplo
envolve uma utilização das facetas analítica e gráfica de uma polinomial, apela à
máquina de calcular gráfica e ao poder de análise e interpretação do aluno, sai portanto
do exercício rotineiro, mas não é um problema.
A ficha de trabalho FT19 é constituída por três exercícios de aplicação à vida
real 5-10Pls-210-FT19-JP; 5-10Pls-211-FT19-JP; 5-10Pls-212-FT19-JP e mostra o
envolvimento que P pretende para os seus alunos com estes exercícios, que não sendo
propriamente problemas, requerem uma boa manipulação do conceito de função.
O exemplo 5-11Drv-215-FT20-JP mostra a aplicação de uma taxa de variação
média ao lucro de uma empresa. Cumpre, tão-somente, esse objectivo.
143
As situações observadas nas aulas assistidas PA16 e PA17 são os exemplos
5-10Pls-78-PA16-P; 5-10Pls-79-PA17-P e 5-10Pls-80-PA17-P, constituem aplicações
das funções polinomiais a três conjunturas diferentes. Os exercícios 78 e 80 não
apresentam características dignas de nota, o cálculo de elementos simples das funções
permitem responder às perguntas sem dificuldade. Já o exemplo 79 constitui uma
situação próxima de um problema, só não é uma situação totalmente problemática
porque a forma como é redigido, as alíneas e a estrutura permitem ao aluno percorrer
um trajecto de resolução.
Os exemplos utilizados nas aulas assistidas PA16 e PA17 são aplicações à vida
real da Matemática, sem dúvida, mas talvez não sejam as situações que P afirmava na
entrevista de Junho que deviam ser utilizadas, “Acho que é ir ao historial dos alunos…”
pois os exemplos destas aulas não são propriamente vivências quotidianas dos alunos.
Contudo, esta precisão não deve desvalorizar a importância atribuída por P a estes
exemplos, que é substancial.
2.3.6 A exemplificação de P.
Da análise das entrevistas e das crenças que elas transmitem destaca-se o facto
de P não ter alterado a forma de pensar em cada categoria de Setembro para Junho.
Salvo alguma precisão pontual a linha de pensamento de P manteve as características
principais, não se apreciou qualquer inflexão de monta e os aspectos principais
evidenciados em Setembro eram novamente incluídos em Junho. Outro aspecto notado
foi a circunstância de P ter exemplificado por várias vezes. Durante as duas entrevistas
as categorias não foram apenas referidas, na realidade P preocupou-se em dar um
exemplo concreto sobre o que queria expor. Aliando os dois aspectos referidos observase que P tem uma opinião muito marcada sobre a forma de transmitir conceitos aos
alunos e manteve ou aprofundou essa opinião durante o ano de estágio.
Embora as opiniões expressas por P durante as entrevistas sejam firmes notouse, na prática, duas incoerências.
A primeira incoerência revela-se na forma de introduzir os conceitos. Como se
viu na análise à 1ª categoria P proclama uma forma e faz de outra, a sua falta de
144
experiência não lhe permite concretizar as estratégias em que acredita e vê-se forçada a
seguir um caminho mais fácil e mais conhecido, aquele que por ventura mais viu e
melhor conhece pela sua própria experiência de aluna.
A segunda dissonância pode ser apreciada na importância relativa dada aos
exemplos da 2ª e 3ª categorias. Nas referências proporcionadas pelas entrevistas notouse uma ponderação acrescida dada aos exemplos da categoria Características, aqueles
cujo papel principal é esclarecer e sistematizar mas, durante o ano de prática, a
preponderância de exemplos recaiu na exemplificação característica da categoria
Representação, aquela em que os exemplos visam uma forma correcta de representar e
construir o conceito. P ajudou os seus alunos a construir esquemas mentais com base
nos exemplos que trabalham representações, esclarecendo as dúvidas pertinentes
quando ocorriam mas não as aproveitou para apresentar novos exemplos, optando por
construir os esquemas com base em exemplos simples mas seguros.
Não sendo uma incongruência declarada, apenas uma discrepância, foram as
aplicações externas dos conceitos. P declarava numa das entrevistas que deveriam ser
concordantes com o historial e experiência dos alunos e, depois, os exemplos escolhidos
não eram totalmente concordantes com as suas vivências.
Se retirarmos as discordâncias entre a forma de pensar e a prática, fica um
conjunto eficaz de exemplos que se revelaram próprios para os objectivos de P. Fossem
do manual adoptado, de outros manuais ou por si criados, os exemplos utilizados
mostraram-se ajustados às pretensões de P, apresentaram os conceitos e,
progressivamente, foram-nos construindo e aplicando a situações internas e externas à
Matemática. Não utilizou sistematicamente situações problemáticas mas conseguiu
trabalhar com os alunos situações bastante próximas à resolução de problemas.
145
2.4
Análise do quadro de J
2.4.1
Categoria Definição.
O essencial daquilo que caracteriza os exemplos desta categoria aparece logo em
Setembro nas considerações que J faz sobre a forma de introduzir conceitos:
1-Ref-220-Ent1-J: “Há duas formas, ou se vai à procura desse conceito e espera-se que
eles cheguem lá, ou então, dá-se o conceito e vamos ver o que é que se faz com aquele
conceito. São duas abordagens diferentes. Agora qual delas a mais utilizada, ou que
será mais benéfico…” Contudo, a dúvida que J expressa nesta unidade de análise não é
um pormenor de pouca importância, tendo claro a alternativa, J não sabe quando optar,
quais são as características do conceito que apontem um ou outro caminho. J indica um
exemplo que obriga a uma escolha,
1-Ref-222-Ent1-J: “No 10º ano há aqui um exercício do aperto de mão, entre quatro… ,
aquilo que seria talvez um bom pretexto para introduzir as permutações. Porque se
fossem cinco, ou seis, ou por exemplo dez, não íamos apertar a mão a toda a gente. E
se nós a generalizássemos eles se calhar começavam a ver que afinal isto não pode ser
por aqui, isto é impossível contar aquilo tudo.” que é do particular para o geral, mas não
explicita um exemplo que obrigue à utilização da outra forma de introduzir conceitos.
Todavia é importante notar que J já demonstra possuir algum conhecimento didáctico
prático na forma de introduzir conceitos em Setembro, note-se, antes do início do ano de
estágio.
Em Junho revela uma escolha, optou por introduzir os conceitos do particular
para o geral, deixa isso claro tendo em consideração as referências que faz quando
questionado sobre como é que introduz os temas a leccionar. Assim, sobre as funções
racionais diz:
1-Ref-255-Ent3-J: “… e através dos números racionais. Números racionais, o que é
que é um número racional, particularizando para depois generalizar para a função
racional.”, para seguidamente repetir a mesma ideia para a função módulo:
1-Ref-256-Ent3-J: “Função módulo, por exemplo (…) e dava cada um dos ramos da
função, e a partir daí para as funções módulo. Translações …”.
Relativamente à forma de introduzir os conceitos J alterou a sua forma de
pensar, de uma indefinição em Setembro passa a uma postura concreta em Junho, de
146
não saber bem “qual delas a mais utilizada, ou que será mais benéfica” passa a um
método assente em “particularizando para depois generalizar”.
J, na prática, fez o que afirmou na entrevista de Junho. Na aula assistida PA20 o
tema em estudo é Representação Gráfica e Pontos Notáveis de uma função mas, antes
de abordar estes assuntos, J começou por reintroduzir a noção de gráfico de uma função.
Assim, representou no quadro três gráficos de três situações (supostamente) da vida real
e pela sua análise voltou a estabelecer as condições para que um gráfico possa
representar uma função. Das situações particulares generalizou, posteriormente, para a
definição.
Os exemplos utilizados no tema relativo às Funções de 10º ano incluídos nas
fichas de trabalho FT12, FT13 e FT14 não seguem a mesma linha de apresentação
referida no parágrafo anterior. São exercícios donde se depreende que J definiu primeiro
e apresentou os exemplos depois, ou seja da generalidade da definição partiu para o
particular do exemplo. Disso mesmo é testemunho o exemplo 1-10F-182-FT14-JP, para
apresentar apenas um, todos os outros são formalmente similares. Este exemplo é um
exercício onde se apresentam cinco gráficos e se pede ao aluno que, de entre eles,
indique os que representam funções contínuas. Obviamente a definição de gráfico de
uma função contínua já tinha sido dada. Os exemplos referidos nesta categoria também
assentam nessa mesma lógica, definição seguida de exemplos. São exemplos onde se
mostra grau, coeficiente, etc. após a definição.
Os exemplos analisados nesta categoria estão incluídos nos temas Funções e
Funções Polinomiais de 10º ano e as facetas utilizadas são, logicamente, a gráfica e a
algébrica. J não fugiu às facetas que instintivamente se utilizam para trabalhar estes
conceitos e fê-lo utilizando todos os procedimentos que estamos habituados a ver
noutros professores.
2.4.2 Categoria Representação.
Durante a entrevista de Setembro J considera que, após a introdução do conceito,
se deve desenvolver, estruturar o conceito
147
2-Ref-224-Ent1-J: “Por exemplificação. (…) Sim. Através de exemplos, de
problemas…” e faz esta afirmação sem qualquer hesitação. Mas no seguimento da
entrevista J e P envolvem-se num diálogo sobre a diferença entre exemplo, exercício e
problema, discutiam este objectivo que é de trabalhar o conceito depois da sua
introdução e, embora não estejam muito seguros dessas diferenças apresentando os
argumentos de forma frágil, estão de acordo na sua utilidade nesta fase de
manuseamento do conceito. Aquela fragilidade argumentativa é natural nesta fase da
sua preparação para a docência, a inexperiência será, provavelmente, a responsável.
Em Junho J considera que os professores trabalham e ensinam os conceitos
apoiando-se em
2-Ref-250-Ent3-J: “Casos práticos…”; 2-Ref-252-Ent3-J: “Concretos.”
2-Ref-253-Ent3-J: “Considerando uma situação concreta, um exemplo.” Não houve,
portanto, grande evolução na forma de pensar e o ano de estágio terá servido para
consolidar esta opinião: os esquemas conceptuais são construídos à custa de exemplos.
Existe uma diferença entre Setembro e Junho que sendo subtil é importante. Em
Setembro para J a aquisição de conceitos era feita através de exemplos, exercícios ou
problemas, não sabendo precisar as diferenças. Em Junho apenas refere exemplos e
numa grande parte da entrevista não referiu, nunca, exercícios ou problemas falando
sempre em exemplos e situações concretas. J inclui todas as situações numa forma lata
de exemplificação?
A resposta é afirmativa, mais à frente, opinando sobre a importância dos
exemplos
2-Ref-273-Ent3-J: “…acabando pela prática por ser exemplo,… (…)Mas acaba por
ser um conector, acaba por ser uma … acaba por ser um meio, um fim, um princípio.
Um exemplo, acaba por ser quase tudo. A teoria [a definição] ali acaba por perder um
bocado a sua… a pesar de estar a … constante, presente em todo o currículo, acaba
por ser aquilo que menos importa ao fim e ao cabo.” J cai, talvez, no exagero de retirar
toda a importância de definição na construção do conceito e transfere essa importância à
exemplificação, mantendo, isso sim, a definição como uma sombra presente em todos
os temas do currículo.
Entre aulas assistidas e fichas de trabalho o número de exemplos incluídos nesta
categoria é bastante grande. Os dois exemplos da aula PA20 são duas situações que
utilizando as representações analítica e gráfica têm como utilidade praticar com a
148
máquina de calcular, à custa da expressão analítica da função conseguir prever o seu
gráfico e, em função disso, estabelecer os limites do visor da máquina.
Os exemplos desta categoria que constam na aula PA21 são uma cadeia de
exercícios para aplicação da Regra de Ruffini, um exercício de aplicação do Teorema do
Resto e outra cadeia de exercícios também para aplicação do Teorema do Resto. São
exemplos da categoria Representação porque se destinam fundamentalmente a
aprofundar no conceito de divisão inteira de polinómios, J utiliza a faceta algébrica
insistindo sempre em exercícios rotineiros simples.
Na aula PA22, tema Taxas de Variação, o exemplo 2-11Drv-105-PA22-J
explora um deslocamento de 300 Km com velocidades variáveis para trabalhar o
conceito de taxa média de variação que tinha sido introduzido anteriormente. Neste caso
uma velocidade média obtida à custa da representação gráfica. J utiliza esta
representação após ter introduzido o conceito na sua vertente numérica mostrando,
assim, a equivalência de resultados obtidos por representações diferentes.
Já a sequência à qual foi atribuída o código 2-11Drv-106-PA22-J revela como de
forma analítica J utiliza esta sequência para, à custa da definição de Taxa de Variação
Média, induzir a noção do conceito de Taxa de Variação num instante. J utiliza a
noção intuitiva de limite e de acréscimo infinitesimal, expondo assim o limite da razão
incremental e a noção de derivada num ponto.
Os Exercícios das fichas de trabalho FT12, FT13, FT14, FT15, FT16 no estudo
das Funções de 10º ano; FT17 e FT18 nas Funções Polinomiais de 10º ano; FT20 no
capítulo de Taxas de Variação e Noção de Derivada do 11º ano, são exercícios que na
sua maioria são de rotina e aplicação simples das várias representações possíveis dos
conceitos tratados. São exemplos que tratam cada uma das facetas por separado
possivelmente para que não surjam confusões desnecessárias caso envolvessem
demasiada informação. Realizam a sua função que é promover no aluno a construção
gradual dos esquemas conceptuais do currículo.
2.4.3 Categoria Características.
Na entrevista de Setembro as três vezes que J referiu esta categoria foi para
deixar claro que um exemplo também tem a função de simplificar:
149
3-Ref-225-Ent1-J: “Para mim é algo mais prático, mais fácil, mais fácil de visualizar,
um bocadinho mais simples. Posso dar um conceito geral, um conceito que seja, que
seja mais abrangente que dou um exemplo, da mesma coisa mas de forma mais
minimalista… (…) Para ser mais fácil, mais… uma coisa mais fácil de assimilar logo,
prático, directo.”
3-Ref-227-Ent1-J: “O exemplo é algo mais minimal, é uma coisa pequenina, uma
unidade em que dá só para se realmente eles compreenderam o conceito.”
3-Ref-229-Ent1-J: “Simplificar as coisas.” No desenrolar da entrevista pode-se apurar
que o sentido dado à simplificação vai ao encontro da resolução de confusões. Se é
simples então é mais fácil de compreender. E mais à frente esse sentido ocorre
claramente quando questionado sobre o efeito de um bom exemplo:
3-Ref-233-Ent1-J: “Compreensão.”
Em Junho as referências a esta categoria mantêm a substância mas a forma
alterou-se. A função de generalização e sistematização é agora apresentada sem
ambiguidades
3-Ref-251-Ent3-J: “…particularizar para depois generalizar.” embora os traços de
simplificação continuem a figurar no seu discurso
3-Ref-263-Ent3-J: “E então tento simplificar o máximo possível. Arranjar algum
exemplo ou alguma coisa mais…” e, por outro lado, a ajuda na superação de
dificuldades por parte do aluno é incontornável
3-Ref-267-Ent3-J: “Porque muitas vezes consegue-se ver qual é o ponto em que o aluno
está a ter dificuldades e arranjar um exemplo, mesmo que não tenha muito a ver com,
directamente com aquele exemplo que está a ser tratado, mas focando só o ponto que
ele não percebe posso ir buscar um exemplo muito simples …” apelando à criação de
exemplos no momento em que sejam detectadas as dificuldades. Esse exemplo, segundo
J, deve ser
3-Ref-269-Ent3-J: “Específico, muito concreto.” para aquele momento de dificuldade,
3-Ref-270-Ent3-J: “Como se tivesse um grosso, por exemplo, uma coisa muito mais
geral e ele só tem um problema num daqueles pontinhos. E aí eu ia procurar qual é,
realmente, o problema que ele tem.”
3-Ref-271-Ent3-J: “Sim [dá-se um exemplo para esse problema específico].”
Para J esclarecer equivale a simplificar. Fica afirmado em dez referências.
Assim, se enquadrado nesta categoria, o exemplo que esclarece deve ser um exemplo
simples, num processo de particularizar e simplificar até se poder generalizar e
150
sistematizar. Em conclusão, o processo de construção dos esquemas conceptuais deve
ser feito com base e após uma atomização do conceito, num somatório de passos mais
simples.
J apenas apresenta quatro exemplos nesta categoria e são todos de aulas
assistidas.
Os exemplos 3-10F-96-PA20-J e 3-10F-97-PA20-J surgem interligados. Quando
J explicava um exercício onde se pedia para indicar os gráficos que representavam
funções surge uma dúvida que J tenta esclarecer com base na própria situação. A dúvida
envolvia a noção de domínio e a noção que numa função todos os objectos têm uma,
mas apenas uma, imagem. Para melhor esclarecer J cria um exemplo gráfico, muito
simples, onde o problema em questão aparece isolado. Nesta situação J foi plenamente
coerente com as crenças que explicitou nas entrevistas, isto é, simplificar tanto quanto
possível, isolar a dúvida de forma a que ela possa ser sanada.
O exemplo 3-10Pls-100-PA21-J é encaixado nesta categoria pela função que J
lhe atribuiu. O exercício em si destina-se a encontrar o quociente e o resto da divisão
inteira de dois polinómios, é um exercício rotineiro de aplicação do algoritmo, logo
estaria melhor enquadrado na 2ª categoria, categoria Representação. Contudo J utilizouo, de forma abusiva, para generalizar que: quando o grau do divisor é 1 o resto é de grau
zero, logo não inclui a variável.
O quarto exemplo desta categoria é também um exemplo que visa o
esclarecimento de uma dúvida e, mais uma vez, por simplificação de processo. No
cálculo da função derivada, e confrontado com uma dúvida de um aluno relativamente à
origem de um produto, J indica todos os factores que originam esse produto que figura
na expressão final. E simplifica ainda mais o processo, explicita também todos os
passos do cálculo da função derivada de forma que não restassem dúvidas da origem de
cada um dos factores constantes na expressão.
Esta categoria não inclui exemplos de fichas de trabalho ou preparados com
antecedência com vista a esclarecer ou a sistematizar, apenas exemplos formados no
instante e de forma não programada que, contudo, cumpriram a sua função, esclarecer a
dúvida daquele momento.
151
Os exemplos desta categoria criados por J de forma espontânea para esclarecer
ou sistematizar, dentro dos temas Funções Polinomiais e de Noção de Derivada,
incluíram apenas coeficientes inteiros. Foram esses coeficientes -7, -4, 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
2.4.4 Categoria Aplicações Internas.
Referência a esta categoria apenas aparece uma em Junho. É uma referência que
pelo seu conteúdo só pode aparecer nesta altura depois de se leccionar. Mais que isso,
só depois de leccionar estes conteúdos com a máquina de calcular se pode fazer uma
referência desta natureza:
4-Ref-254-Ent3-J: “… em termos de visualização, por exemplo na parte das
assimptotas o viewscreen, utilização do viewscreen, o desenho da função e a
aproximação da assimptota, dá-lhes uma visualização não só, dá-lhes a visualização
gráfica, e dá-lhes a noção de limite. Para onde a função está a tender.” É aqui que a
prática que um ano de estágio proporciona, embora pouca, se torna evidente, nestas
afirmações concretas sobre os temas e as estratégias específicas para esses temas.
Esta referência, mesmo que sendo única, é suficiente para afirmar que J no fim
do estágio é consciente das ligações entre os conteúdos da programação e que a
máquina de calcular pode ajudar a estabelecer essas ligações.
Com apenas uma única referência na entrevista de Junho, tal facto não implicou
que J descurasse este tipo de exemplificação. Os exemplos que relacionam vários
conteúdos e conceitos foram utilizados nas fichas de trabalho, como forma de mostrar
aos seus alunos que as matérias que são leccionadas no próprio e em anos anteriores se
relacionam umas com as outras.
Podemos encontrar estes exemplos nas fichas FT13, FT14, FT15 e FT16 no
capítulo dedicado ao estudo das características das Funções de 10º ano, FT17 no estudo
das Funções Polinomiais e FT21 para o cálculo de Taxas de Variação e Noção de
Derivada.
Os exemplos das fichas FT13, FT14, FT15 e FT16 destinam-se a relacionar
todos os subconceitos relativos às representações mais frequentes que foram leccionadas
até ao 10º ano. São exemplos que foram apresentadas nas facetas gráfica ou analítica
mas que incluem as noções de domínio, contradomínio, zeros, raiz, concavidade,
152
monotonia, etc. A maioria destes exemplos implica a resolução de condições. O
exemplo 4-10Pls-207-FT17-JP relaciona directamente a representação gráfica e a
analítica pedindo ao aluno que sugira uma expressão analítica para a função polinomial
dado o seu gráfico, envolve noções tais como paridade, zeros, grau, sinais de
coeficientes, etc. Os últimos exemplos relativos a Taxas de Variação e Noção de
Derivada são os três exercícios rotineiros que constituem toda a ficha FT21 e
relacionam o cálculo de derivadas com o estudo da monotonia e existência de extremos
de uma função, bem como a determinação de declives e equações de rectas tangentes ao
gráfico de uma função.
Não foram incluídos nesta categoria exemplos dados por J nas aulas assistidas. A
razão prende-se com motivos relativos à componente aleatória da marcação das aulas
que foram assistidas, a J corresponderam-lhe um maior número de aulas onde os
conteúdos não estavam relacionados com funções ou, se estavam, eram aulas onde este
tipo de exemplos não estavam indicados.
2.4.5 Categoria Aplicações Externas.
J não referiu esta categoria em Setembro mas, em Junho, referiu-a quatro vezes.
Esta diferença deve-se ao facto de ter havido um ano de estágio a separar as duas
entrevistas. Esta explicação é sustentada pelo tipo de referência, o seu conteúdo e o
contexto em que é produzida. Quando se perguntou a que conteúdos foram relacionados
os polinómios J responde que relacionou com situações
5-Ref-257-Ent3-J: “… sobre a vida real.” e quando foi pedido que concretizasse
indicou uma situação
5-Ref-259-Ent3-J: “Daquelas do tanque enche até ao ponto tal …” que é um dos
exemplos utilizados numa das fichas de trabalho.
J não dá a resposta standard quando explica como se apercebe se os alunos estão
a apreender os conceitos, a construir os seus esquemas conceptuais, essa resposta
costuma ser “quando aplicam a exercícios”. J vai um pouco mais longe e afirma que é
5-Ref-261-Ent3-J: “Através da percepção da resolução de exercícios da vida real já se
começa a ver se eles conseguem aplicar a matéria dada…” e dá como exemplo quando
se estuda uma situação de trajectórias em balística
153
5-Ref-262-Ent3-J: “… Quando o projéctil cai ou assim, já sabem que têm que ir ver os
zeros da função …” para não haver dúvidas ao que se refere.
Como se pode ver não são situações de “ouvir dizer”, pela forma em que são
colocadas e pela substância que apresentam não deixam dúvidas que são situações
vividas como professor.
J aplicou os conceitos de Função Polinomial e Taxas de Variação/Noção de
Derivada nas fichas de trabalho FT18, FT19 e FT20. Nestas fichas J apresenta os
exercícios em que pretende mostrar aos seus alunos a forma como temas do programa
de 10º ou de 11º ano se podem utilizar na vida quotidiana. A ausência de exemplos
desta natureza nos outros conteúdos não significa que não tivessem sido apresentados
aos alunos, esta ausência deve-se a J, e também P, terem utilizado os exemplos
propostos pelo manual adoptado. De qualquer forma, e sobre o que foi dado a observar
nas fichas de trabalho, J utiliza um exemplo trivial em 5-10Pls-208-FT18-JP, mas em 510Pls-209-FT18-JP figura uma componente inédita: J neste exercício pede aos alunos
que elaborem uma pequena composição onde exponham as conclusões sobre o estudo
que fizeram da situação apresentada. Este exemplo envolve uma utilização das facetas
analítica e gráfica de uma função polinomial, apela mais uma vez à máquina de calcular
gráfica e ao poder de análise e interpretação do aluno, sai portanto fora do âmbito do
exercício rotineiro, mas não chega a ser um problema.
Mais uma vez não foram observados exemplos propostos em aulas assistidas que
se enquadrem nesta categoria, por certo eles foram propostos em outras aulas mas, pelas
mesmas razões invocadas na categoria anterior, não foram recolhidos para este trabalho.
2.4.6 A exemplificação de J
A exemplificação de J e as referências das entrevistas têm um denominador
comum: simplificar. “O exemplo é algo mais minimal, é uma coisa pequenina, uma
unidade em que dá só para se realmente eles compreenderam o conceito.”
Em todas as três primeiras categorias o fraccionar dos conceitos aparece como
forma de aplicação do processo indutivo de apresentação do conceito. J simplifica para
154
mais tarde integrar novamente, simplifica separando cada representação para as poder
tratar separadamente, simplifica uma situação confusa de forma a isolar o elemento
responsável e debelá-lo. Respectivamente nas categorias Definição, Representação e
Características.
Na categoria Definição J entra em contradição entre aquilo que afirma nas
entrevistas e aquilo que faz nas fichas de trabalho FT12, FT13, FT14 e FT17. Se nas
entrevistas considera que se devem utilizar os exemplos antes e, pelos seus traços
comuns, definir depois, já os exemplos apresentados nas fichas de trabalho apelam ao
processo inverso, definir primeiro e exemplificar depois. Esta contradição é aparente, o
que na realidade acontece é uma influência de P naquela parte que é trabalho comum ao
par pedagógico que os dois constituem. Se considerarmos os exemplos das aulas
assistidas, estes sim, constituem a exemplificação estritamente pessoal de J, então o
processo de referência não foi contrariado.
Se alguma discrepância existe é entre a categoria que foi mais referida e a que
foi mais utilizada. Nas entrevistas a categoria que foi mais referenciada foi a terceira,
Características, mas aquela que mais exemplos incluiu, tanto de aulas assistidas como
em fichas de trabalho, foi a segunda, Representações. J pensa que a função mais
importante dos exemplos é esclarecer dúvidas e sistematizar mas quando exemplifica,
essa primazia direcciona-se para as representações, para a aplicação. J esclarece e ajuda
os alunos a construir os seus esquemas conceptuais, não pelas características, que é
antevendo as suas dúvidas e resolvendo-as, mas sim pelas representações, fazendo-os
trabalhar situações simples que envolvem uma representação de cada vez esperando que
os alunos construam os esquemas sem o seu envolvimento em situações complicadas.
No final, coerentemente com o processo de simplificação que J afirma e pratica.
Em conclusão, J manteve sempre as suas crenças de Setembro a Junho e no
período de estágio que decorre entre estes dois momentos aplicou aquilo em que
acredita.
J pôs em prática um processo baseado na simplificação daquilo que considera
complicado de ensinar aos alunos. Tanto na apresentação, primeiros contactos e
esclarecimento de dúvidas/sistematização dos conceitos J optou por partir para colar
depois, apoiando a sua forma de leccionar neste processo e escolhendo os exemplos
adequados aos diferentes passos que este envolve. No final propõe aos alunos exemplos
155
internos e da vida real com o propósito de “Através da percepção da resolução de
exercícios da vida real já se começa a ver se eles conseguem aplicar a matéria
dada…”.
2.5
Análise por Categorias
1. Categoria Definição.
Uma análise conjunta relativamente a esta categoria revela duas semelhanças
entre os quatro professores estagiários. Em Junho os quatro, depois de um ano de
estágio, tinham ideias mais precisas sobre os exemplos enquadrados nesta categoria, as
suas opiniões sobre a forma de introduzir conceitos revelou-se mais precisa e bastante
menos vaga. Todos distinguiam, em Junho, as duas formas diferentes de introduzir um
conceito, quer seja induzindo-o ou definindo-o e ilustrando depois.
A segunda semelhança prende-se com a faceta utilizada pelos quatro professores
estagiários para introduzirem os conceitos. Todos eles utilizaram sistematicamente a
faceta gráfica para este fim, o que demonstra que todos consideram a faceta gráfica a
indicada para apresentar os conceitos aos alunos.
Contudo, na apresentação de conceitos não houve apenas unanimidades. Na
realidade existiram discrepâncias que se consideram assinaláveis. Embora S e M tenham
utilizado os exemplos desta categoria para ilustrar um conceito após a sua introdução,
para dar significado à definição que foi dada em primeiro lugar, as suas indicações nas
duas entrevistas apontavam (debilmente) a estes exemplos um papel indutivo. Já P e J
consideravam de forma clara e inequívoca que o objectivo dos exemplos desta categoria
era induzir o conceito. Não apenas introduzir, note-se, o seu papel era levar o aluno a
aperceber-se da generalidade da definição à custa das particularidades comuns dos
exemplos apresentados. A passagem à prática foi diferente nestes dois professores,
enquanto J aplicou o que preconizou nas entrevistas, P fez exactamente o contrário,
definiu primeiro e ilustrou de seguida.
Os quatro professores estagiários tinham, em Junho, a certeza de que a
aprendizagem dos conceitos deve ser significativa e, necessariamente, estavam
156
convictos que a construção de esquemas conceptuais depende de uma introdução
coerente e sólida.
2. Categoria Representação.
De uma forma geral os quatro informantes estão de acordo quanto à forma de
trabalhar as várias representações do conceito, passa por apresentar muitos exemplos de
cada faceta de modo isolado ou no máximo relacionando duas. A grande maioria dos
exemplos referia-se a situações que envolveram ou a representação gráfica ou a
analítica, algumas vezes ambas quando se utilizou a calculadora gráfica. As únicas
excepções são os exemplos propostos por J aos seus alunos com vista a trabalharem o
conceito de Taxa de Variação Média em que utilizou com sucesso a faceta numérica e
conseguiu relacioná-la com a algébrica utilizando a máquina de calcular.
O pensamento comum aos quatro informantes aponta para o fraccionamento dos
processos ou das situações, por vezes do próprio conceito que está a ser trabalhado. O
mais importante é não complicar de início e a função deste fraccionamento e
consequente simplificação prende-se com questões de motivação. As palavras
empregues são diferentes “ir do simples para o mais complexo”, “fraccionar as coisas e
somar no fim” ou “peças de um puzzle que encaixam no fim” mas o sentido é o mesmo,
a utilização destes exemplos destina-se sempre a determinar os primeiros contactos
autónomos do aluno com as várias representações do conceito e, se possível, com
sucesso. Os exemplos propostos revestiram-se de situações puramente matemáticas mas
também tomaram por vezes aspectos de modelação ou de aplicação à vida real.
As referências de Junho a esta categoria são mais precisas e mais claras que as
de Setembro, quando as houve nesta ocasião, o que denota a objectividade, a direcção e
o propósito dados a este tipo de exemplos ao longo de todo o ano de estágio.
3. Categoria Características.
Esta categoria foi a mais referida por todos os professores estagiários, por isso
talvez seja indicativo que eles consideram que a principal função do exemplo seja a de
esclarecer as características dos conceitos. Este dado é reforçado pela reiteração em
Junho. Todavia, a actuação ao longo do ano não foi consentânea com esta crença, estes
157
exemplos tiveram um papel muito ténue na sua actuação e não utilizaram os exemplos
nesta vertente pois quando era necessário esclarecer não recorreram a exemplos, antes
utilizaram as situações que geraram a dúvida, esclarecendo a situação e não o que
provocou a dúvida.
Esta categoria inclui também os exemplos que o professor preparou para aquelas
situações de dúvida que aparecem sempre que se trata um determinado conceito. Salvo
uma única vez, em que S preparou um, esses exemplos nunca foram propostos nem nas
aulas a que assistimos nem nas fichas de trabalho que elaboram e apenas S referiu nas
entrevistas que existem dúvidas que podemos esperar e outras que não.
Coincidente é o facto de todos os professores estagiários, nas poucas situações
em que criaram espontaneamente exemplos, quando por via de uma dúvida apresentada
tiveram que introduzir um exemplo não preparado, os coeficientes ou números
utilizados foram inteiros que variaram entre -7 e 7, nunca fraccionários ou irracionais.
4. Categoria Aplicações Internas.
Não se apreciam quase referências a esta categoria durante as entrevistas de
Setembro e Junho, é a categoria menos referida mas não foi uma categoria ignorada.
Pelo contrário, o cuidado em usar exemplos que envolvessem vários conteúdos do
mesmo ano ou de anos diferentes foi comum a todos os professores estagiários
mostrando aos alunos a não estanquicidade dos temas matemáticos. Porém, também é
coincidente a todos eles a não utilização de qualquer situação com características de
problema. Todos os exemplos considerados configuraram sempre exercícios rotineiros,
tradicionais, variando apenas o grau de dificuldade.
5. Categoria Aplicações Externas.
Esta categoria tanto é referenciada nas entrevistas de Setembro como nas de
Junho, sendo que nas de Junho a importância dada aos exemplos que modelam ou
explicam situações da vida real está mais realçada. As crenças de Setembro
relativamente a estes exemplos não iam além do que é aconselhável notando-se que em
Junho já eram tidos como essenciais para o culminar do tratamento dos conteúdos e dos
158
conceitos. Esta mudança de atitude deve-se à consciencialização provocada pelo
tratamento dado pelas indicações metodológicas e realce provenientes do Ministério da
Educação e, também, pelo próprio trabalho prático com os alunos e com os
orientadores, verificando no terreno essa importância.
A importância destes exemplos para a formação do aluno revela-se nas fichas de
trabalho que os professores estagiários elaboraram para as suas turmas, são fichas de
trabalho totalmente formadas por estes exemplos que levam os alunos a aperceberem-se
das reais aplicações dos conceitos matemáticos.
Detectámos algumas situações muito próximas da Resolução de Problemas nas
fichas de trabalho mas, infelizmente, a resolução destas situações foram relegadas para
trabalho de casa por falta de tempo ou por troca por outras, deixando assim ao arbítrio
do aluno e da sua curiosidade a respectiva resolução.
159
F. Conclusões e Sugestões
Este trabalho não foi, nem pretendia ser, um estudo exaustivo sobre a forma de
exemplificar dos quatro professores estagiários que se dispuseram a colaborar com o seu
orientador. O objectivo que se perseguiu foi o de se encontrarem coincidências e
discrepâncias que pudessem ser consideradas importantes, dignas de um olhar mais
atento e, sobretudo, que a sua evidência pudesse ser um factor de um estudo mais
aprofundado e de uma reflexão por parte de todos e cada um dos cinco participantes
desta experiência conjunta.
Os
exemplos
produzidos
durante
actividade
docente
e
utilizados
quotidianamente pelos professores podem ser considerados um bom material por
constituírem unidades de análise razoavelmente objectivas. A dificuldade reside nos
instrumentos utilizados para caracterizar a prática lectiva com base nessas unidades de
análise, este trabalho gostaria de constituir o início da criação de um instrumento com
essa finalidade.
Na opinião de J, que todos seguramente compartimos, está muito do espírito que
orientou todos e cada um dos dias em que nos ajudámos mutuamente:
“…, se uma pessoa tiver experiência e nunca reflectiu daquilo que está a fazer,
nunca vai conseguir chegar à conclusão se é bom ou se é mau professor, se utiliza bem
os exemplos, ou se não utiliza bem os exemplos.” (Junho 2005)
160
1.
Conclusões e implicações.
1.1
Relativas às especificidades dos exemplos
Existem traços comuns às referências e à exemplificação dos quatro professores
estagiários. Consideramos significativos os aspectos:
A categoria mais referida nas entrevistas é a Categoria Características:
Tema/Categoria
Definição
Representação
Características
Aplicações
Internas
Aplicações
Externas
Referencias às
Categorias
1-Ref-234-Ent2-M
1-Ref-285-Ent4-M
1-Ref-288-Ent4-M
1-Ref-292-Ent4-M
2-Ref-237- Ent2-M
2-Ref-239A- Ent2-M
2-Ref-240- Ent2-M
2-Ref-241- Ent2-M
2-Ref-286- Ent4-M
2-Ref-291- Ent4-M
3-Ref-242- Ent2-M
3-Ref-243- Ent2-M
3-Ref-244- Ent2-M
3-Ref-245- Ent2-M
3-Ref-279- Ent4-M
3-Ref-281- Ent4-M
3-Ref-282- Ent4-M
3-Ref-284- Ent4-M
3-Ref-289- Ent4-M
3-Ref-290- Ent4-M
4-Ref-235-Ent2-M
5-Ref-246-Ent2-M
5-Ref-275-Ent4-M
5-Ref-297-Ent4-M
Tema/Categoria
Definição
Representação
Características
Aplicações
Internas
Referencias às
Categorias
1-Ref-276-Ent4-S
1-Ref-278-Ent4-S
1-Ref-283B-Ent4-S
1-Ref-294-Ent4-S
2-Ref-239B-Ent2-S
2-Ref-277-Ent4-S
2-Ref-287-Ent4-S
2-Ref-296-Ent4-S
3-Ref-238-Ent2-S
3-Ref-244-Ent2-S
3-Ref-280-Ent4-S
3-Ref-283A-Ent4-S
3-Ref-293-Ent4-S
3-Ref-295-Ent4-S
3-Ref-298-Ent4-S
3-Ref-299-Ent4-S
Tema/Categoria
Definição
Representação
Características
Aplicações
Internas
Aplicações
Externas
Referencias às
Categorias
1-Ref-221-Ent1-P
1-Ref-223-Ent1-P
1-Ref-264-Ent3-P
2-Ref-248-Ent3-P
2-Ref-249-Ent3-P
2-Ref-272-Ent3-P
2-Ref-274-Ent3-P
3-Ref-226-Ent1-P
3-Ref-228-Ent1-P
3-Ref-230-Ent1-P
3-Ref-231-Ent1-P
3-Ref-265-Ent3-P
3-Ref-266-Ent3-P
3-Ref-268-Ent3-P
4-Ref-258-Ent3-P
5-Ref-232-Ent1-P
5-Ref-260-Ent3-P
Tema/Categoria
Definição
Representação
Características
Aplicações
Internas
Aplicações
Externas
Referencias às
Categorias
1-Ref-220-Ent1-J
1-Ref-222-Ent1-J
1-Ref-255-Ent3-J
1-Ref-256-Ent3-J
2-Ref-224-Ent1-J
2-Ref-250-Ent3-J
2-Ref-252-Ent3-J
2-Ref-253-Ent3-J
2-Ref-273-Ent3-J
3-Ref-225-Ent1-J
3-Ref-227-Ent1-J
3-Ref-229-Ent1-J
3-Ref-233-Ent1-J
3-Ref-251-Ent3-J
3-Ref-263-Ent3-J
3-Ref-267-Ent3-J
3-Ref-269-Ent3-J
3-Ref-270-Ent3-J
3-Ref-271-Ent3-J
4-Ref-254-Ent3-J
5-Ref-257-Ent3-J
5-Ref-259-Ent3-J
5-Ref-261-Ent3-J
5-Ref-262-Ent3-J
Aplicações
Externas
5-Ref-236-Ent2-S
5-Ref-247-Ent2-S
5-Ref-300-Ent4-S
161
Essa não é, porém, a única coincidência. Repare-se como o aspecto das tabelas
onde figuram a totalidade das referências é semelhante. Pelo número de referências
retiramos das palavras dos professores estagiários que os exemplos servem sobretudo
para esclarecer dúvidas e para sistematizar. Sem a pressão do ambiente da sala de aula e
da actividade lectiva, em conversa descontraída e despreocupada é essa a função dos
exemplos que sobressai das opiniões destes professores estagiários, seja em Setembro
seja em Junho.
Outra coincidência é que a função da exemplificação menos considerada é a de
interligação entre conceitos matemáticos a nível interno. De todos os contactos tidos
entre os professores estagiários e o seu orientador sempre sobressaiu a aplicação da
matemática a nível externo, a ligações a nível interno são tão óbvias para eles que não
sentem grande necessidade de trabalhar esse facto com os seus alunos de forma isolada.
A somar a este facto, as linhas apontadas nos programas, exemplos propostos nos
diversos manuais e as orientações das disciplinas de didáctica sempre apontam para a
resolução de problemas, sobretudo, da vida real. Por isso não estão muito despertos para
os exemplos exclusivamente matemáticos.
Em todas as situações improvisadas referidas ao esclarecimento de dúvidas que
foram dadas a observar pelos quatro professores estagiários, aqueles exemplos que
ocorreram sem preparação, os coeficientes, zeros e outros valores numéricos utilizados
são inteiros, dando a ideia que o universo com que trabalham é sempre Z e nunca
utilizaram outros que fossem de Q ou R. Poder-se-á perguntar se a dificuldade dos
alunos em trabalharem com elementos de R não poderá estar relacionado com uma
inclinação dos professores para não o fazerem nos seus exemplos. A explicação para
este facto reside no cuidado que estes professores tiveram em não introduzir elementos
que pudessem criar algum ruído na exemplificação. A sua opinião é de que a utilização
de elementos de Q ou R poderiam introduzir um grau de dificuldade artificial e
desnecessário. Ora efeito é exactamente o contrário. A banalização da utilização destes
números produziria nos alunos uma indiferença na sua utilização Pela não utilização,
acaba-se por gerar dificuldades desnecessárias quando esses números forem utilizados.
162
1.2
Relativas ao papel dos exemplos no ensino/aprendizagem
Mas, curiosamente, a categoria que inclui mais exemplos é a Categoria
Representação. Na agitação e tensão quotidianas da docência a importância relativa de
cada categoria vai-se modificando. Agora a importância transfere-se para os exemplos
próprios da segunda categoria, a principal característica do exemplo já não é esclarecer
e sistematizar passando a ser a construção dos conceitos à custa das suas representações.
O aspecto gráfico é rei e a representação analítica impera, toda a actividade gira em
torno de exemplos simples desta dupla faceta que requer (quase) toda a atenção. A
percentagem de exemplos desta categoria utilizados no dia a dia reflecte-se por sua vez
na quantidade de tempo dispendida com os alunos. Assim, a actividade usual com os
alunos centrou-se fundamentalmente em exemplos que configuravam exercícios
elementares e rotineiros tratando até à exaustão faceta por faceta, conteúdo por
conteúdo e sofrendo, deste modo, as relações internas e externas um tratamento
deficitário como pode ser confirmado pela pouca quantidade de exemplos das 4ª e 5ª
categorias.
As 4ª e 5ª categorias incluem exemplos que podem ser situações problema e,
caso surgissem, as dúvidas levantadas deviam ser esclarecidas de imediato, o que é mais
exigente para estudantes para professores e, talvez por isso, tenham optado por
exercícios rotineiros que se incluem na 2ª categoria e que são menos propícios à criação
de situações de dúvida.
Não foi essa a indicação do orientador, antes pelo contrário, os professores
estagiários sempre foram incentivados a criar nas suas aulas situações de problema mas,
por umas ou outras razões, optaram por não o fazer. Esta forma de actuar é resultante da
auto-constatação das dificuldades inerentes a uma exposição a situações que mais
exigem do professor; nos níveis etários a que estes professores leccionaram o período de
sobrevivência não de refere tanto à disciplina da aula, antes ao terem de enfrentar
situações inesperadas em termos de competência didáctico pedagógica ou, mas não
tanto, de competência matemática. Ser um professor inexperiente acarreta,
naturalmente, estas fragilidades profissionais.
163
Normalmente os exemplos de situações de aplicação interna e externa constante
nas fichas de trabalho foram deixados para trabalho de casa, não sendo tratados em
contexto de aula o que esvaziou estes exemplos da sua principal função.
Este estado de coisas foi provocado pela conjunção de dois factores. Por um lado
e por uma questão de defesa, como já vimos atrás, é mais fácil controlar uma aula de
exercícios rotineiros do que utilizar problemas de aplicação à vida real. Por outro, como
também já foi referido, a utilização em demasia do tempo para os exercícios e exemplos
enquadrados na 2ª categoria não permitem que esse mesmo tempo fosse utilizado para o
outro tipo de actividades que foram relegados para trabalho de casa.
Em situação de dúvida por parte de algum aluno os quatro professores
estagiários utilizaram maioritariamente as próprias situações de dúvida para as
esclarecerem e não criaram novos exemplos. Isto é, não se aperceberam que a situação
em causa foi a que originou a dúvida e, dificilmente, poderá esclarecê-la sendo
necessário criar uma via alternativa para o poderem fazer. As inúmeras situações de
dificuldade com que se depara qualquer professor faz parte do quotidiano e os
professores estagiários não foram excepção. Contudo, a criação de situações
alternativas, com outros exemplos para superação das dificuldades dadas a observar não
foram a regra mas antes a excepção.
Mais uma vez se constata que a inexperiência se reflecte, também, na capacidade
de diversificar na exemplificação e de diversificar na aplicação dos exemplos. A riqueza
ou pobreza na disponibilidade imediata de exemplos é facilmente constatável em
situação esclarecimento de dúvida por parte do aluno.
Em alguma altura todos os professores concluíram acerca da importância que os
exemplos têm em todo o processo de construção de esquemas mentais.
Salvo J, todos os professores estagiários definem primeiro e exemplificam
depois, utilizam uma metodologia baseada num processo cuja orientação é partir do
geral para o particular na situação em que se pretende a introdução de novos conceitos
dando aos exemplos um papel essencialmente ilustrativo e quase nunca indutivo. Este
164
traço de tendência didáctica tradicional dos professores inexperientes, tal como está
amplamente documentado, também se evidenciou neste trabalho. O caso de P é
paradoxal. P preconiza de uma forma nas entrevistas mas, na prática, faz como S e M,
sendo o único caso contraditório.
Foram encontradas semelhanças na exemplificação de S e J (professores de
pares pedagógicos diferentes). Já nas análises dos quadros de cada um destes
professores estagiários podemos encontrar uma tendência para o fraccionamento dos
conceitos. Foi notório nestes dois professores a forma como a sua exemplificação
atomiza o esquema conceptual que estava a ser trabalhado. Tanto S como J promoviam
uma separação em partes, exemplificando em cada uma dessas partes que normalmente
eram as representações, para depois com uma exemplificação adequada voltar a unir, a
sistematizar num todo.
M e P não fogem a esta forma de exemplificar, somente não é tão evidente e tão
explícito como em P e em J. O elevado número de exemplos utilizados que se
enquadram na 2ª categoria é indicadora disso mesmo. O motivo pelo qual os professores
estagiários dividem um processo complexo em múltiplos passos simples é julgarem que
a compreensão de situações simples é mais fácil de alcançar. Este facto não é
contestável, o que se contesta é o facto de os professores considerarem simples a junção
de todos os passos. Persistir em situações simples, habituar os alunos à simplicidade das
situações é, consequentemente, perpetuar aquilo que não foi o objectivo escolhido.
Os conteúdos, salvo uma ou duas excepções, foram tratados sempre nas facetas
analítica e gráfica, aquela que melhor se ajustasse aos conteúdos programados, mas
quando surgia a necessidade de esclarecer dúvidas a faceta mais utilizada foi a gráfica
dando a impressão que esta forma de representar uma função é a mais indicada para
resolver e esclarecer dúvidas, podendo dar a entender que é o papel exclusivo desta
representação.
165
1.3
Relativas à existência de padrões ao nível do Conhecimento Didáctico do
Conteúdo.
Pelos nove pontos considerados podemos então fazer alguma consideração sobre
os quatro professores estagiários relativamente ao conhecimento didáctico do conteúdo
e, neste nível, a padrões comuns aos quatro professores estagiários:
a)
Referente à aprendizagem:
-Não esperam e não antevêem as dúvidas e dificuldades dos alunos nos diversos
conteúdos relativos às funções, o que indica que o seu conhecimento didáctico de
conteúdo se encontra num patamar de desenvolvimento muito incipiente.
-Consideram que os alunos aprofundam os diferentes conceitos sobre funções
com base em muitos exemplos simples que envolvem uma representação de cada vez, o
que poderia ser justificado como característica da tendência tradicional em que
consideram que a aprendizagem assenta num seguimento rígido de um guião pré
determinado que conduz, forçosamente, ao objectivo para que foi criado.
-Não se apercebem dos erros e dificuldades futuras que podem induzir nos seus
alunos.
b)
Referente ao ensino:
-Não concebem o conceito de função como um todo integrado, vêem-no mais
como a soma de várias partes, esperando que o aluno sobreponha a informação e que a
apreenda apenas pelo facto de que o professor lhe transmitiu essa informação. O que
revela segundo Contreras (1998) uma forte tendência tradicional.
-Numa situação de dúvida mantêm o exemplo que a provoca, não diversificam o
esclarecimento com outros exemplos, o que é sintomático em quem não possui uma
base de exemplos suficientemente rica onde escolher os exemplos mais apropriados a
determinada situação.
166
1.4
Sugestões para a Formação Inicial.
O estudo destes quatro casos não permite obviamente generalizações. Não era,
de qualquer forma, seu objectivo fazê-lo mas, por apontarem aspectos observados nos
quatro casos, fornecem fortes indícios a ter em consideração por quem se dedique à
orientação de estágios pedagógicos.
Assim, as sugestões que deixamos à formação inicial de professores
contemplam:
Ter em atenção e contrariar a propensão que os professores estagiários possam
ter na utilização excessiva de exemplos e exercícios estritamente dirigidos a trabalharem
as representações de uma função por separado. Sugere-se a quem tem responsabilidades
de formação que alerte os professores em formação para, caso essa excessiva utilização
se verifique, tratarem os diversos conceitos com base em tarefas que envolvam de forma
completa e integrada os conceitos a adquirir pelos alunos. A resolução de problemas
pode ser uma forma, mas não a única, a resolução de situações motivantes e variadas
que promovam descobertas significativas pode ter efeitos semelhantes na aprendizagem.
Contrariar de forma enérgica a inércia que os professores estagiários possam
adquirir persistindo numa exemplificação que não trabalha as relações internas dos
temas matemáticos e a sua aplicação à vida real. Estes exemplos de aplicação interna e
externa de esquemas conceptuais derivados do conceito de função devem ser tratados
em aula e não ser deixados ao livre arbítrio do interesse do aluno.
Chamar a atenção dos professores estagiários para o facto de que os alunos dos
10º, 11º e 12º anos trabalham há vários anos com o conjunto dos números reais e que a
exemplificação utilizada deve incluir os elementos desse conjunto.
Não deixar que os professores estagiários utilizem de forma exagerada uma
determinada representação de função e incentivá-los a utilizarem (e relacionarem) todas
as facetas relativas a este conceito.
167
Por fim:
De todas as conclusões e implicações anteriores consideramos que a
exemplificação apresentada pelo professor é um instrumento que pode ser usado para
observar e estudar o conhecimento do professor de forma alternativa ou, então,
complementar aos instrumentos que estão hoje disponíveis.
168
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UNIVERSIDAD de EXTREMADURA
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INVESTIGACIÓN DEL PROGRAMA DE DOCTORADO
“ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES
Y DE LAS MATEMÁTICAS”
ANEXOS
Autor:
Carlos Alberto Barros Pacheco Abrantes de Figueiredo
Directores:
Profesor Dr.
D. Lorenzo Blanco Nieto
Universidad de Extremadura
Profesor Dr.
D. Luis Carlos Contreras González
Universidad de Huelva
Badajoz, Septiembre
2005
175
ÍNDICE DO ANEXO
Planos de Aula
1
1
2
7
3
9
4
13
5
17
6
23
7
29
8
33
9
37
10
41
11
47
12
53
13
–
14
69
15
81
16
87
17
93
18
97
19
103
20
109
21
121
22
125
176
Fichas de trabalho
1
131
2
133
3
135
4
141
5
145
6
149
7
159
8
169
9
173
10
177
11
183
12
185
13
187
14
191
15
195
16
197
17
201
18
203
19
205
20
207
21
209
Entrevistas
1
211
2
235
3
257
4
278
177