FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS
CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS
Centro de Ciências e Tecnologia
Curso de Engenharia Ambiental e Sanitária
Curso de Engenharia de Produção
Pré-Cálculo e Geometria Analítica
Lista 07 – Composição de Funções e Translações de Gráficos
1. Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2} e B = {¼, 0, 1, 2, 3, 4}, determine a imagem de cada
função dada.
(a) F(x) = x + 2.
(b) G(x) = x2.
(c) H(x) = 2x.
3x − 2
. Suponha que a
x +1
imagem de F é o conjunto F(A) = {-2, 0, 2, 4, 8}. Encontre o conjunto A.
2. Seja A um subconjunto de ℝ e F: A → ℝ definida por F ( x ) =
3. Considere a função F cujo gráfico completo é dado a seguir.
y
4
3
2
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
(a) Encontre
(b) Encontre
(c) Encontre
(d) Encontre
o
o
o
o
domínio e a imagem de F.
conjunto de valores de x para os quais F(x) > 0.
conjunto de valores de x para os quais F(x) = 0.
conjunto de valores de x para os quais F(x) < 0.
4. Seja y = f ( x ) = 5x + 1 .
(a) Encontre o domínio natural da função f (x).
(b) Qual é o valor de f (0)?
(c) Encontre o valor de y quando x = 3.
(d) Encontre o valor de x quando y = 2.
(e) Faça uma tabela com alguns valores de x e os valores correspondentes de y.
(f) Esboce o gráfico de f marcando os pontos encontrados em (e).
 − x + 3, se x > 3,
5. Seja f a função definida por f ( x ) = 
.
se x ≤ 3.
 2x ,
(a) Encontre o valor de f nos pontos x = -1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
(b) Usando os valores encontrados no item (a), esboce o gráfico de f.
(c) É claro que o esboço no item (b) não é o gráfico completo da função f. Mas,
baseado nele, qual você acha que deve ser a imagem de f ?
(d) Mostre, algebricamente, que a imagem encontrada em (c) é, de fato, a imagem da
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função f.
6. Para cada par de funções F e G dadas a seguir, encontre seus domínios e calcule F +
G, F – G e FG. Calcule o domínio de F/G e encontre uma fórmula para esta função.
x
1
(a) F(x) = 2x, G(x) = x2 + 1.
(d) F(x) =
, G(x) = .
2
1+x
x
(b) F(x) = 2 x − 1 , G(x) = x − 1 .
(c) F(x) = 3x – 2, G(x) = |x|.
7. Seja F(x) = x2 + 1. Calcule:
(a) F(a).
(b) F(a2).
(c) F(a + 2).
(d) F(1/a).
(e) F(x + a).
(f) F(a + h).
(g) F(−x).
(h) F( x ).
(i) F(3x).
8. Considere cada função a seguir com seu domínio natural e contradomínio ℝ. Encontre
G◦F e F◦G, modificando os domínios de F e de G se necessário. Determine o domínio
das composições e o domínio natural de cada fórmula encontrada.
3x − 1
1+x
(a) F(x) = x2, G(x) = x .
(e) F(x) =
, G(x) =
.
2
3x + 1
3 (1 − x )
(b) F(x) = 2x + 1, G(x) = x – x.
(c) F(x) = 2 - x2, G(x) = x3.
1+x
x
(d) F(x) =
, G(x) =
.
1−x
1−x
(f) F(x) =
2x − 5 , G(x) = ½(x2 + 5).
9. Em algumas situações é interessante “decompor” uma função. Para cada função F a
seguir, encontre funções G e H tais que F = H◦G.
(a) F(x) = |x2 – 3x + 1|.
1
(c) F(x) =
.
x −3
(b) F(x) = x 2 + 1 .
10. Para cada uma das funções a seguir, encontre seu domínio natural. Depois diga se ela
é injetora, sobrejetora ou bijetora, considerando sempre o contradomínio como
sendo o conjunto de todos os números reais. Qual é a imagem da função?
(a) F(x) = 3x + 1.
1
(e) J(r) = 2
.
2
(b) G(x) = x – 2x – 3.
r −1
(c) H(t) = t3.
1
(f) K(x) =
.
4
(d) I(x) = x .
x
11. Para cada função injetora no exercício anterior, considere a função de seu domínio
natural em sua imagem para obter uma bijeção e depois encontre sua inversa.
12. Determine a função inversa de cada uma das funções bijetoras a seguir.
(a) F: ℝ → ℝ definida por F(x) = 6x + 4.
(b) G: [0, ∞) → [2, ∞) definida por G(x) = x2 + 2.
(c) H:[−¹⁄₅, ∞) → [0, ∞) definida por H(x) =
5x + 1 .
1
(d) P: ℝ − {3} → ℝ − {0} definida por P(x) =
.
x −3
x +3
(e) Q: ℝ − {2} → ℝ − {1} definida por Q(x) =
.
x −2
5x − 2
.
(f) R: ℝ − {−8} → ℝ − {5} definida por R(x) =
x +8
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13. Encontre o domínio natural de cada uma das funções a seguir.
(a) f ( x ) = x 2 − 1 .
(b) g ( x ) = − x 2 + x + 12 .
(c) h (t ) =
t −3
.
t +3
(d) u (t ) =
(e) v (t ) =
t 2 − 5t + 6
.
t −1
t 2 − 5t + 6
t 3 + 3t 2 − 3t − 9
.
14. Indique a relação entre o gráfico de y = x2 e o gráfico de cada função a seguir.
(c) y = x2 – 4x.
(a) y = 1 + (x – 2)2.
(b) y = (x – 3)2 – 1.
(d) y = 1 + 2x – x2.
15. A parábola a seguir é o gráfico da função F(x) = x2 – 2x – 3. Desenhe o gráfico das
funções a seguir.
(a) y = F(x – 2).
(c) y = 3 − F(x + 2).
(b) y = − F(x).
(d) y = |F(x)|.
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