MA 109 Matemática Básica
Primeiro Semestre de 2009
Petronio Pulino
DMA/IMECC/UNICAMP
e-mail: [email protected]
www.ime.unicamp.br/∼pulino/MA109/
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Lista de Exercı́cios – Funções Monótonas
Exercı́cio 4.1 Sejam f : IR −→ IR uma função crescente e λ ∈ IR. A função h
definida por h(x) = λ f (x) é uma função crescente ?
Exercı́cio 4.2 Sejam f : IR −→ IR uma função decrescente e λ ∈ IR. A função
h definida por h(x) = λ f (x) é uma função decrescente ?
Exercı́cio 4.3 Sejam f , g : IR −→ IR duas funções crescentes. A função h
definida por h(x) = f (x) + g(x) é uma função crescente ?
Exercı́cio 4.4 Sejam f , g : IR −→ IR duas funções pares. Mostre que a função h
definida por h(x) = f (x) + g(x) é uma função par.
Exercı́cio 4.5 Sejam f : IR −→ IR uma função par e λ ∈ IR. Mostre que a
função h definida por h(x) = λ f (x) é uma função par.
Exercı́cio 4.6 Sejam f , g : IR −→ IR duas funções pares. Mostre que a função h
definida por h(x) = (f g)(x) = f (x)g(x) é uma função par.
Exercı́cio 4.7 Sejam f , g : IR −→ IR duas funções ı́mpares. Mostre que a função
h definida por h(x) = f (x) + g(x) é uma função ı́mpar.
Exercı́cio 4.8 Sejam f , g : IR −→ IR duas funções ı́mpares. Mostre que a função
h definida por h(x) = (f g)(x) = f (x)g(x) é uma função par.
Exercı́cio 4.9 Sejam f : IR −→ IR uma função par e g : IR −→ IR uma função
ı́mpar. Mostre que a função h definida por h(x) = (f g)(x) = f (x)g(x) é uma
função ı́mpar.
Exercı́cio 4.10 Seja f : IR −→ IR uma função. Então, a função g definida por:
g(x) =
f (x) + f (−x)
2
para todo
x ∈ IR ,
é uma função par.
Exercı́cio 4.11 Seja f : IR −→ IR uma função. Então, a função h definida por:
h(x) =
f (x) − f (−x)
2
para todo
x ∈ IR ,
é uma função ı́mpar.
Exercı́cio 4.12 Mostre que a única função f : IR −→ IR que é par e ı́mpar ao
mesmo tempo, é a função f definida por f (x) = 0 para todo x ∈ IR, que é
denominada função identicamente nula.
Exercı́cio 4.13 Considere a função f : IR −→ IR definida por: f (x) = αx com
α ∈ IR. Pede–se:
(a) Mostre que f (kx) = kf (x) para todo k ∈ IR.
(b) Mostre que f (a + b) = f (a) + f (b) para quaisquer a, b ∈ IR.
Exercı́cio 4.14 Considere a função f : IR −→ IR definida por:
f (x) =
x3
.
x4 + 1
A função f é par ou é ı́mpar ?
Exercı́cio 4.15 Considere a função f : IR − {0} −→ IR definida por:
f (x) =
1
.
x
Determine na forma mais simples a seguinte razão
f (x + h) − f (x)
h
para todo
denominada razão incremental da função f .
h 6= 0 ,