Area sob uma Curva
Integral Definido
Aplicações do Integral Definido
Capítulo 9 - Integral Definido
Carlos Balsa
[email protected]
Departamento de Matemática
Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança
Matemática I - 1o Semestre 2010/2011
Matemática I
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Integral Definido
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Sumário
Area sob uma Curva
Integral Definido
Aplicações do Integral Definido
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Area sob uma Curva
Integral Definido
Aplicações do Integral Definido
Como Calcular a Área sob uma Função?
y = f (x)
a
b
I
Como calcular a área a sombreado?
I
Situada entre a função y = f (x) e o eixo dos x
I
Limitada à esquerda por x = a e à direita por x = b
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Integral Definido
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Decomposição da Area em Múltiplos Rectângulos
a = x0
Matemática I
c1
x1
c2
x2
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c3
x3
c4
x4
c5
x5
c6
b = x6
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Area sob uma Curva
Integral Definido
Aplicações do Integral Definido
Decomposição da Area em Múltiplos Rectângulos, continuação
I
Decompondo o intervalo [a; b] em vários sub-intervalos
I
[x0 , x1 ],
I
Com a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b
I
Em cada intervalo escolhemos um ponto ck para k = 1, 2, . . . , n
I
Área aproximada por
[x1 , x2 ],
...,
[xn−1 , xn ]
R = f (c1 )∆x1 + f (c2 )∆x2 + · · · + f (cn )∆xn
(soma de Riemann)
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Exemplo: área sob uma função constante f (x) = k
Calcular a área sob a função f (x) = k no intervalo [0; x]
1. Decompor o intervalo [0; x] em sub-intervalos de amplitude ∆x
2. Somar as áreas correspondentes a cada sub-intervalo:
Área = f (x1 )∆x + f (x2 )∆x + . . . + f (xn )∆x
= k ∆x + k ∆x + . . . + k ∆x
= k (∆x + ∆x + . . . + ∆x)
= kx
I
Área dada pela função kx, por exemplo, se x = 2 a área = 2k
I
Se k for negativo área = |kx|
I
Como (kx)0 = k = f (x), a função área é primitiva de f (x), i.é,
área = |F (x)|
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Aplicações do Integral Definido
Decomposição da Area em Múltiplos Rectângulos, continuação
a
b
I
Quando função não é constante a decomposição em
sub-intervalos não aproxima tão bem a área total
I
Quanto maior for o número de sub-intervalos melhor será a
aproximação
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Integral Definido
I
Soma de Riemann: Sn =
Pn
i=1
f (xi )∆xi para i = 1, 2, . . . , n
Área entre a e b é aproximada pela soma de Riemann
(área |≈ Sn |)
Pn
I Área = |limn→∞ Sn | = limn→∞
i=1 f (xi )∆xi
I
I
Se todos os intervalos tiverem a mesma amplitude ∆x
lim
n
X
n→∞
n
X
f (xi )∆x = lim
∆x→0
i=1
f (xi )∆x
i=1
por sua vez
lim
∆x→0
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n
X
i=1
Z
f (xi )∆x =
b
f (x)dx
a
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Teorema Fundamenta do Cálculo
Rb
Se f for uma função cujo integral a f (x)dx existe, e se F é uma
primitiva de f no interval [a, b], verifica-se que
Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
Abreviadamente, podemos escrever:
b
b
def F (b) − F (a) = F (x) x=a = F (x) a
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Exemplo: Teorema
Fundamenta do Cálculo
R1
Calcular −2 (2 − x − x 2 )dx
Começamos por calcular a primitiva de f (x) = 2 − x − x 2
Z
x2
x3
(2 − x − x 2 )dx = 2x −
−
+c
2
3
Pelo teorema fundamental do cálculo
1
Z 1
x3
x2
2
−
+c
(2 − x − x )dx = 2x −
2
3
−2
−2
2
3
(1)
(1)
(−2)2
(−2)3
= 2(1) −
−
+ c − 2(−2) −
−
+c
2
3
2
3
1 1
8
= (2 − − ) − (−4 − 2 + )
2 3
3
9
=
2
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Aplicações do Integral Definido
Entre outras aplicações, o integral definido pode ser utilizado para
calcular áreas e volumes definidos analiticamente por funções
I
Áreas sob funções
I
Áreas entre funções funções
I
Volumes definidos pela revolução de funções em torno de um
eixo
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Exemplo: calcular área sob uma função
Determinar a área entre o eixo x e y = x 3 de x = −1 até x = 1
Resolvendo de forma imediata obtemos
4 1
Z 1
x
1 1
3
x dx =
= − =0
4
4
4
−1
−1
Processo correcto consiste em calcular a área entre y = x 3 e y = 0
Z 0
Z 1
Área =
(0 − x 3 )dx +
(x 3 − 0)dx
−1
Z
0
0
=−
−1
x 3 dx +
Z
1
x 3 dx
0
0
4 1
x
x4
+
=−
4 −1
4 0
1
1
1
=− −
+ =
4
4
2
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Exemplo: área entre funções
Determinar a área entre as funções y = x e y = x 3 de x = −1 até
x =1
Z
0
(x 3 − x)dx +
Área =
Z
−1
=
x2
x4
−
4
2
1
(x − x 3 )dx
0
0
+
−1
x4
x2
−
2
4
1
0
1 1
= +
4 4
1
=
2
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Integral Definido
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Exemplo: volume de revolução
Determinar o volume do sólido que resulta da rotação en torno do
eixo x da função y = x de x = 0 até x = 2
Sólido resulta da soma de todas as circunferências de espessura dx
e raio x desde 0 até 2
Z 2
V=
πf (x)2 dx
0
2
Z
πx 2 dx
=
0
Z
=π
2
x 2 dx
0
2
x3
=π
3 0
8 0
8π
=π
−
=
3 3
3
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Exemplo: volume de revolução
Determinar o volume do sólido que resulta da rotação en torno do
eixo y da função y = x 2 de y = 0 até y = 4
Quando a rotação é em torno do eixo y , devemos ter uma função
x = f (y ), neste caso
√
x = y (para 0 ≤ y ≤ 4)
4
Z
πf (y )2 dy
V=
0
4
Z
=π
√ 2
( y ) dy
0
4
Z
ydy
=π
0
=π
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y2
2
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4
= π [8 − 0] = 8π
0
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Bibliografia
I
Eduardo J.C. Martinho, J. da Costa Oliveira e M. Amaral Fortes,
"Matemática para o Estudo da Física". Fundação Calouste
Gulbenkian, 1985.
I
Dale Ewen e Michael A. Topper, “Cálculo Técnico”, Hemus, 1981
I
Earl W. Swokowski, "Cálculo Com Geometria Analítica, Volume
1". McGraw-Hill, 1983.
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