ELETROMAGNETISMO I
6
44
CORRENTE ELÉTRICA
Nos capítulos anteriores estudamos os campos elétricos quando gerados a partir de distribuições de
cargas elétricas estáticas. Neste capítulo faremos o estudo da corrente elétrica, que nada mais é do
que o movimento, dentro de uma certa ordem, de cargas elétricas. Estudaremos os fenômenos
devido à circulação de corrente elétrica estacionária, ou seja, aquela que não varia com o tempo. É
fácil ver que campos elétricos gerados por correntes estacionárias serão também estáticos.
6.1 - CORRENTE ELÉTRICA E DENSIDADE DE CORRENTE
Referindo-se à figura 6.1, suponha que uma carga de teste q esteja imersa em um campo elétrico
r
r
uniforme E . Assim, a carga de prova deve sofrer a ação de uma força F que é dada por:
r r
F = qE ( N )
(6.1)
Se a carga é livre para se mover, ela sofrerá uma aceleração que, de acordo com a segunda lei de
Newton, é dada por:
r
r F
a = (m / s 2 )
m
(6.2)
onde m é a massa da partícula eletricamente carregada (expressa em quilogramas).
E
F
q
Figura 6.1 Força sobre uma partícula em um campo elétrico.
Na ausência de restrições, a velocidade da partícula aumentará indefinidamente com o tempo, uma
r
vez que o campo elétrico E é admitido constante. Entretanto, em meios gasosos, líquidos ou
sólidos, a partícula irá colidir repetidamente com outras partículas, transferindo parte de sua energia
r
e sofrendo desvios aleatórios na direção de seu movimento. Para o campo E constante, e o meio
homogêneo, o resultado macroscópico dessas colisões será simplesmente o de restringir o
movimento da carga a uma velocidade média constante, denominada de velocidade de arraste
r
(drift), deriva ou deslocamento designada pelo vetor v d . Essa velocidade média de deslocamento
possui a mesma direção do campo elétrico e se relaciona com ele através de uma constante µ de
mobilidade, de modo que:
r
r
v d =µE ( m / s)
(6.3)
Suponha agora um meio com seção reta uniforme S, conforme mostra a figura 6.2. Esse meio possui
inúmeras cargas livres, distribuídas segundo uma densidade volumétrica ρ. Considerando que esta
carga volumétrica ρ S ∆L atravesse a secção transversal S em um intervalo de tempo ∆t, podemos
então escrever que a corrente elétrica será definida de modo clássico como:
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I=
45
∆q
∆L
= ρS
∆t
∆t
Em outras palavras, fixando-se uma referência em um ponto qualquer do meio em questão, o
número de cargas que atravessa a seção uniforme S em um segundo constituirá uma corrente
elétrica de intensidade I em ampères. Considerando a relação ∆L / ∆t como a velocidade média de
deriva vd, teremos então que:
I = v d ρS (A)
(6.4)
onde:
I
r
vd
ρ
S
(A)
(m/s)
(C/m3)
(m2)
Corrente elétrica
Velocidade de deriva ou deslocamento
Densidade volumétrica de cargas
Área da secção reta atravessada
S
Figura 6.2 Cargas cruzando uma seção reta em um condutor.
Dividindo-se a equação (6.4), que define uma corrente constante I, pela área da seção reta S,
admitida regular, obtemos uma densidade de corrente J, expressa no Sistema Internacional de
Unidades em ampères por metro quadrado. Logo:
I
J = (A / m 2 )
S
(6.5)
Quando a corrente não apresenta um comportamento uniforme, recorremos a uma definição
r
incremental em que consideramos então um vetor J normal a cada secção elementar ∆S. O módulo
deste vetor é definido como sendo o quociente da parcela de corrente ∆I pela área incremental ∆S .
Assim, em cada ponto da secção que é atravessado por uma linha de corrente, fazemos a secção
∆S tender a zero e podemos escrever que:
r
lim ∆I )
r
a n = v d ρ (A / m 2 )
J=
∆S→0 ∆S
(6.6)
r
A densidade de corrente J é um vetor que possui magnitude igual ao produto da densidade de
cargas pela velocidade de deriva no ponto em que se deseja conhecê-la, com a direção da corrente
neste ponto.
6.2 - CORRENTE DE CONVECÇÃO E CORRENTE DE CONDUÇÃO
A expressão na equação (6.6) representa uma densidade de corrente de convecção, que de modo
geral mostra a translação de elétrons livres ou íons, tomando como exemplo o ocorrido no interior
de um tubo de raios catódicos ou de uma lâmpada fluorescente. A corrente de convecção que se
estabelece depende da quantidade de cargas e da velocidade delas no meio em que se propaga.
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A corrente elétrica pode ser definida em função da mobilidade dos portadores na presença de um
r
campo elétrico (gradiente de potenciais). Pela definição da velocidade de deriva v d em (6.3)
aplicada em (6.6) teremos o vetor da densidade de corrente expresso de outra forma:
r
r
J = ρµE (A / m 2 )
(6.7)
O produto ρµ é definido como sendo a condutividade σ do material em que o fluxo da corrente é
estabelecido. Assim, a expressão acima se torna:
r
r
J = σE ( A / m 2 )
(6.8)
A equação (6.8) representa então uma densidade de corrente de condução, definida como o
movimento de cargas que se alinham mediante a atuação de um campo elétrico externo. Assim, a
densidade de corrente de condução num dado meio à temperatura constante é linearmente
r
proporcional a E . A relação acima é valida para os meios eletricamente lineares, ou ditos ôhmicos.
São meios eletricamente lineares, por exemplo, todos os metais.
É fácil ver que a equação (6.8) mostra a própria lei de Ohm em termos pontuais.
Passando a equação (6.6.) ao limite obtemos para a magnitude da intensidade da densidade de
corrente
J=
dI
dS
(6.9)
r
r
Considerando agora o vetor J já definido e uma superfície elementar representada por um vetor dS
normal a ela, temos um fluxo de linhas de corrente onde
r r
I = ∫ J ⋅ dS
(6.10)
S
A corrente elétrica fica então perfeitamente determinada pela integração de cada elemento de
corrente que atravessa a superfície de uma secção S qualquer.
Estabelecendo uma analogia hidráulica, a corrente elétrica é um fluxo de cargas em que o
escoamento se dá pelas linhas de corrente através de uma secção reta.
Exemplo 6.1
Calcular a intensidade da velocidade média dos elétrons na secção circular de um condutor circular
de cobre de 1,5 mm2, percorrido por uma corrente contínua de intensidade 15 A, numa temperatura
ambiente de 20 ºC.
Dados: σcobre = 5,8x107 S/m, µp,cobre = 0.0032 m2/Vs.
Solução:
Da definição de velocidade de deriva:
r
r
v d = µE
A corrente elétrica que flui no metal é de
condução. Portanto:
r
r
J c = σE
Sendo a secção do condutor constante e a
corrente contínua, podemos admitir que a
densidade de corrente possui módulo
15
I
Jc =
=
= 107 A / m2
S 1,5x10− 6
Por outro lado, o campo elétrico pode ser
determinado por:
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r
r
10 7
J c = σE ⇒ E =
= 0.1724 V / m
5,8x10 7
47
r
r
v d = µE ⇒ v d = 0.0032 x 0.1724 = 0.00055 m / s
Onde
Exemplo 6.2
Determine a corrente total que atravessa uma superfície cilíndrica lateral com 1 cm de altura e 2 mm
de raio, se as expressões válidas para pontos próximos desse raio forem definidas em função de:
1
r
⎛ φ⎞
⎝ 2⎠
a) - J r = cos⎜ ⎟ A / m 2 , − π< φ< π
b) - ρ =
10 −7
C / m 3 , v d ( r ) = 3x1010 r 2 m / s
r
Solução:
Por outro lado, pela condição b)
Pela condição a)
Empregando a definição genérica de corrente
elétrica com a informação fornecida temos
r r 10 −7
3x1010 r 2 (A / m 2 )
J = ρv d =
r
r r
I = ∫ J ⋅ dS
r
J = 10 −7 x3x1010 x0,002 = 6
S
I=
0, 01 π
∫ ∫
0
1
⎛φ⎞
cos⎜ ⎟rdφdz (A )
r
⎝ 2⎠
⎛ φ⎞
cos⎜ ⎟ dφ = 0,01x2
⎝ 2⎠
−π
∫
I = 0,01
−π
π
Da definição de corrente
⎛ φ⎞ 1
cos⎜ ⎟ dφ (A )
⎝ 2⎠ 2
−π
∫
(A / m 2 )
r r 0, 01 π
I = ∫ J ⋅ dS= ∫ ∫ 6rdφdz (A)
s
π
−π
0
π
I = 6x 2x10 −3 x 0,01∫ dφ =1,2x10 −4 x 2π (A)
−π
⎛φ⎞
I = 0,01x 2 xsen ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
π
= 0,01x 2 x (1−(−1)) = 0.040 (A)
I = 0,754 ( mA )
−π
6.3 - EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
O princípio da conservação de cargas estabelece que cargas elétricas não podem ser criadas ou
destruídas. No entanto um processo de separação ou reunião de cargas numa dada região faz com
que um valor final no balanço destas cargas resulte nulo ou em favor predominante (sinal) da
natureza da carga em excesso. A equação da continuidade decorre deste princípio, quando
consideramos uma região confinada por uma superfície fechada.
r
Imagine uma superfície fechada S, atravessada por uma densidade de corrente J . A corrente
elétrica total que atravessará essa superfície será então:
r
r
I= ∫ J ⋅ dS (A )
S
(6.11)
Trata-se de um fluxo de cargas positivas orientado para fora. Isso é uma mera arbitrariedade, visto
que na verdade as cargas que se movimentam são os elétrons, portadores de carga elétrica
negativa, balanceado por um decréscimo de cargas positivas (ou acréscimo de cargas negativas) no
interior da superfície fechada S.
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Dentro da superfície fechada, a carga positiva Q decresce então, numa razão – dQ/dt e o princípio
da conservação das cargas estabelece que:
r r
dQ
I = ∫ J ⋅ dS = −
S
dt
(6.12)
Em outras palavras, a equação (6.12) demonstra o escape de cargas positivas ou o afluxo de cargas
através de uma superfície fechada S. Aplicando o teorema da divergência à integral acima e
representando a carga envolvida pela integral de volume da densidade de carga, vem que:
∫vol (∇ ⋅ J )dv = − dt ∫vol ρdv
r
d
(6.13)
Se a superfície for mantida constante, a derivada total equivale à própria derivada parcial dentro do
mesmo domínio de integração, podendo ser colocada no integrando do lado direito. Desta forma:
r
∂ρ
(
∇
⋅
∫vol J ).dv = − ∫vol ∂t dv
(6.14)
Uma vez que a expressão acima é válida para qualquer volume, ela é verdadeira para um volume
incremental ∆v. Portanto:
(∇ ⋅ rJ )∆v = − ∂ρ
∆v
∂t
(615)
de onde a forma pontual da equação da continuidade pode ser escrita como:
r
∂ρ
∇ ⋅ J =−
∂t
(6.16)
Exemplo 6.3
A densidade volumétrica de cargas numa certa região do espaço está decrescendo a uma taxa de
2x108 C/m3.s. Nestas condições pede-se:
a) Qual é a corrente total que atravessa uma superfície esférica incremental de raio 10-5 m?
b) Qual é o valor médio da componente da densidade de corrente dirigida para fora, atravessando
a superfície esférica?
Solução:
a) - Da equação da continuidade
r
r
∂ρ
∇.J = − ⇒∇.J = 2 x108
∂t
r r
I = ∫ J ⋅ dS= ∫
S
vol
( )
r
∇ ⋅ J dv = ∫ 2x10 8 dv (A)
vol
4
I = 2 x10 ∫ dv = 2 x10 x πr 3 (A )
vol
3
8
I=
8
8π
x10 8 x (10 −5 ) 3 ⇒ I = 0,838 (µA)
3
b) - Da definição de corrente elétrica
r r
I = ∫ J ⋅ dS (A)
S
r r
0,838x10 −6 = ∫ J ⋅ dS
S
0,838x10 −6 = Jx 4πr 2 ⇒ J =
0,838x10 −6
(A / m 2 )
−5 2
4π(10 )
2
J = 666,9 x10 3 ⇒ J = (kA / m 2 )
3
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6.4 - TEMPO DE RELAXAÇÃO
Suponhamos que uma região condutora se encontre inicialmente isolada e em equilíbrio e que uma
carga inicial de densidade ρ0 seja ali injetada. Sofrendo repulsão, ela deverá "escoar" pelo meio
condutor até que a região retorne à situação de equilíbrio. Podemos chegar a essa conclusão a partir
da última equação da seção anterior onde.
r
∂ρ
∇.J = −
∂t
(6.17)
r r
J = σE ( A / m 2 )
(6.18)
Por (6.8) vimos que:
e que,
r
r D
E = (V / m)
ε
(6.19)
r σ r
J = D (A / m 2 )
ε
(6.20)
Portanto:
Assim tomando o divergente dos dois lados:
∂ρ
σ r
∇. D +
=0
ε
∂t
(6.21)
A equação acima é uma equação diferencial cuja solução é:
ρ =ρ0
σ
− t
e ε
(6.22)
A razão ε/σ é chamada de constante de tempo de relaxação. É o tempo que a carga injetada leva
para ser reduzida praticamente à terça parte do valor inicial, ou seja, quando ρ = 0,37 ρ0.
Exemplo 6.4
Uma carga com densidade inicial ρ0 C/m3 é colocada em um material condutor (cobre) isolado e em
equilíbrio. Determine o tempo necessário para que a densidade de carga caia a 1/3 de seu valor
inicial, sabendo que σCu = 5,8x107 S/m.
Solução:
ρ=
1
ρ0
3
−
σ
− t
1
ρ0 = ρ 0 e ε0
3
5,8x10 7
σ
t = − 11
, ⇒−
t = − 11
, (s)
ε0
8,85x10 −12
t = 1,57 x10 −19 ( s)
σ
⎛ 1⎞
ln⎜ ⎟ = −
t ln(e)
⎝ 3⎠
ε0
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50
Pelo exemplo que acabamos de resolver, podemos perceber que, exceto por um período transitório
extremamente curto, ρ = 0 no interior de regiões condutoras. Portanto:
r
∇. J = 0
(6.23)
Esta expressão demonstra que as cargas elétricas não ficam acumuladas no interior de materiais
condutores. Ela justifica também em termos pontuais a 1ª. Lei de Kirchhoff, mais conhecida por lei
dos nós em um circuito elétrico.
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EXERCÍCIOS
1) Um fio condutor de cobre AWG #12 (AWG = American Wire Gauge) com um diâmetro de
80,5 mil (1 mil = 1/1000 de polegada) e 100 pés de comprimento conduz uma intensidade de
corrente de 20 A. Calcule a intensidade do campo elétrico E, a velocidade de deslocamento
(deriva ou arraste) vd, a queda de tensão V e a resistência elétrica R ao longo do condutor.
Utilize como dados para o cobre: condutividade σ = 5,8 x 107 S/m, mobilidade dos elétrons
livres µ = 0,0032 m2/(Vs).
2)
Determine o número de elétrons de condução em um centímetro cúbico de tungstênio,
admitindo que haja dois elétrons de condução por átomo de tungstênio. Dados N (Número de
Avogadro) = 6,02 x 1026 átomos/kmol, densidade 18,8 x 103 kg/m3 e peso atômico 184,0
3) Qual é a densidade de elétrons livres em um metal para uma mobilidade de 0,0046 m2/(Vs) e
uma condutividade de 29,1 MS/m? Carga de um elétron e = 1,6 x 10-19 C.
4) Qual é a densidade de corrente e a intensidade de campo elétrico que correspondem a uma
velocidade de araste de 5,3 x 10-4 m/s no alumínio, com condutividade 3,82 x 107 S/m e
mobilidade 0,0014 m2/(Vs)?
5) Determine a condutividade do semicondutor intrínseco de germânio na temperatura ambiente
de 300 K, sabendo-se que existem 2,5 x 1019 pares elétron-lacuna por metro cúbico, que a
mobilidade dos elétrons µe = 0,38 m2/(Vs) e a mobilidade das lacunas µh = 0,18 m2/(Vs).
6) Calcule a condutividade do germânio extrínseco tipo n, na temperatura ambiente, supondo
um átomo doador a cada 108 átomos. A densidade do germânio é 5,32 x 103 kg/m3 e seu
peso atômico é 72,6. Compare o resultado com o problema anterior.
7) Em um condutor cilíndrico de 2 mm de raio, a densidade de corrente varia radialmente com a
distância ao eixo segundo J = 103 e-400r A/m2. Calcule a corrente total que passa pela secção
transversal do condutor.
8) Encontre a corrente que atravessa uma porção do plano x = 0 delimitada por –π/4 ≤ y ≤ π/4 m
r
e –0,01 ≤ z ≤ 0,01 m onde a densidade de corrente J = 100 cos 2 yâ x A/m2.
9) Próximo ao ponto P (5, 7, -5) m, a densidade de corrente pode ser representada pelo vetor
r
J = 2x 3 yâ x − 5x 2 z 2â y + 4x 2 yzâ z (A/m2). Qual é a corrente deixando um cubo de 1 m de lado,
centrado em P com as arestas paralelas aos eixos coordenados? Qual é a taxa de
crescimento da densidade volumétrica de carga no ponto P?
10) Um pedaço de material de condutividade 5 MS/m tem a forma de uma cunha truncada,
definida por 4 < r < 10 cm, 0 < φ < 0,2 π e 0 < z < 6 cm. No interior do material o campo
r
elétrico é dado por E = 2â φ / r mV/m. Qual a corrente total que atravessa o objeto? Qual a sua
resistência?
11) Um condutor de cobre tem seção reta circular de 5,00 mm de diâmetro, e suporta uma
corrente de 30 A. Qual é a porcentagem de elétrons de condução que deixa o condutor em
cada segundo (sendo substituídos por outros), em 200 mm de cabo? Dados: N (Número de
Avogadro) = 6,02 x 1026 átomos/kmol, densidade do cobre = 8,96 g/cm3 e peso atômico
63,54. Suponha um elétron de condução por átomo.
12) Que corrente elétrica irá resultar se todos os elétrons livres em um centímetro cúbico de
alumínio passar por uma dada secção reta em 3 s? Suponha um elétron de condução por
átomo cujo peso atômico é 27 e densidade 2,7 x 103 kg/m3.
13) Qual é a densidade de elétrons livres em um metal para uma mobilidade de 0,0046 m2/V.s e
uma condutividade de 30 MS/m?
14) Calcule a mobilidade dos elétrons de condução no alumínio, dada uma condutividade de 38,2
MS/m e densidade de elétrons de condução de 1,70 x 1029 m-3?
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ELETROMAGNETISMO I
52
15) Uma barra de cobre de seção reta retangular de 0,03 mm×0,12 mm e 3,0 m de comprimento
tem um queda de tensão de 100 mV. Calcule a resistência, corrente, densidade de corrente,
módulo do campo elétrico e velocidade de deslocamento dos elétrons de condução.
16) Encontre a corrente que atravessa um condutor esférico de raio 3 mm, se a densidade de
corrente varia com o raio, de acordo com J = 103/r (A/m2).
r
17) Em coordenadas cilíndricas, para a região 0.02 ≤ r ≤ 0.03 mm, 0 ≤ z ≤ 1 m, J = 10e −100 r a$ φ
(A/m2), Encontre a corrente total que atravessa a interseção desta região com o plano
constante.
φ =
18) Calcule a corrente total que sai de um cubo de 1 m3 com um vértice na origem, e lados
r
paralelos ao eixos coordenados, se J = 2 x 2 a$ x + 2 xy 3 a$ y + 2 xya$ z (A / m 2 ) .
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