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Escola Secundária de Francisco Franco
Matemática para o ensino profissional e Matemática B – 11.º ano
MOVIMENTOS NÃO LINEARES
TAXA DE VARIAÇÃO E FUNÇÕES RACIONAIS.
Exercícios saídos em exames e testes intermédios
1. Considere a função f, de domínio R\{1}, definida por
f (x )  2  11x
a) Sem recorrer à calculadora, determine o conjunto dos
números reais x tais que f(x)1. Apresente a resposta
final na forma de intervalo (ou união de intervalos).
b) O gráfico da função f tem duas assimptotas. Escreva
as suas equações.
(Teste intermédio Mat. A 2006)
2. A Anabela espremeu várias laranjas e obteve três litros
de sumo de laranja, para um lanche que vai oferecer aos
amigos. Para que a quantidade de bebida seja suficiente, a
Anabela vai juntar água aos três litros de sumo de laranja
obtidos. Admita que o sumo de laranja puro, ou seja,
acabado de espremer, já contém 92% de água.
a) Designando por x a quantidade (em litros) de água
que vai ser acrescentada aos três litros de sumo de laranja
puro, justifique que a percentagem de água existente na
bebida que a Anabela vai oferecer aos amigos é dada por
- o raio do círculo sombreado,
- a área do círculo sombreado,
- a área da região sombreada,
- a área da região branca;
• recorrendo à sua calculadora, determine o valor
pedido.
(Teste intermédio 2006)
4. Para um certo valor de a e para um certo valor de b, a
expressão f (x )  a  1
x b
define a função f cujo gráfico
está parcialmente representado na figura.
100x  276
x 3
b) Qual é a quantidade máxima de água que a Anabela
pode acrescentar aos três litros de sumo de laranja puro,
de tal modo que a sua bebida não tenha mais de 97% de
água? Apresente o resultado em litros.
(Teste intermédio 2006)
3. Na figura está o primeiro esboço de um logotipo que o
João está a construir para o Clube de Matemática da sua
escola. Dentro do quadrado [ABCD] estão representados,
a sombreado, um círculo e um quadrado [DEFG], nos
quais vão ser colocados desenhos alusivos a jogos
matemáticos. Na região branca, ou seja, não sombreada,
vão ser colocados símbolos matemáticos e texto.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(Teste intermédio Mat. A 2007)
5. Indique o conjunto dos números reais que são soluções
2
da inequação x 1  0
2 x
(A) ]1,2[ (B) ]1,2[
(C) ],2[ (D) ]2,+[
(Teste intermédio Mat. A 2007)
6. A Maria vai sempre de carro, com o pai, para a escola,
saindo de casa entre as sete e meia e as oito horas da
manhã. Admita que, quando a Maria sai de casa t minutos
depois das sete e meia, a duração da viagem, em minutos,
é dada por d (t )  45  5600
2
t  300
Sabe-se que:• AB  1 ;• o círculo está inscrito no
quadrado [FHBI]. Designando por x o lado do quadrado
[DEFG], determine o valor de x para o qual a área da
região branca é máxima. Apresente o valor pedido,
arredondado às centésimas.
Percorra sucessivamente as seguintes etapas:
• exprima, em função de x,
- a área do quadrado sombreado,
( t  [0, 30] )
As aulas da Maria começam sempre às oito e meia.
a) Mostre que, se a Maria sair de casa às 7 h 40 m,
chega à escola às 8 h 11 m, mas, se sair de casa às 7 h 55
m, já chega atrasada às aulas.
b) Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora,
resolva o seguinte problema: Até que horas pode a Maria
sair de casa, de modo a não chegar atrasada às aulas?
A sua resolução deve incluir:
• uma explicação de que, para que a Maria não chegue
atrasada às aulas, é necessário que t  d (t )  60
Exercícios saídos em exames e t. intermédios (Funções racionais – 11.º ano - B) - pág. 1
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• o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora
• a resposta ao problema em horas e minutos (minutos
arredondados às unidades)
(2.º Teste intermédio Mat. A 2008)
7. Considere a função f, de domínio R\{2}, definida por
f (x )  4  4
x 2
a) Determine o conjunto dos números reais que são
soluções da inequação f(x) ≥3. Apresente a sua resposta
utilizando a notação de intervalos
de números reais.
b)
Na
figura
3
estão
representados, em referencial o.n.
xOy:
• parte do gráfico da função f
• as rectas r e s, assimptotas do
gráfico de f
• o quadrilátero [ABCD]
A e B são os pontos de intersecção
do gráfico da função f com os
eixos coordenados. C é o ponto de intersecção das rectas
r e s. D é o ponto de intersecção da recta r com o
eixo Oy. Determine a área do quadrilátero [ABCD]
(2.º Teste intermédio (adaptado) Mat. A 2009)
8. Na empresa onde o Manuel trabalha, o cumprimento do
horário é controlado por relógio electrónico. De acordo
com o contrato de trabalho, qualquer trabalhador deve
entrar às oito horas e sair ao meio-dia. Porém, se o
trabalhador chegar atrasado, terá de continuar a trabalhar
depois do meio-dia. Sempre que um trabalhador chega t
minutos atrasado, o número de minutos, depois do meiodia, que ele tem de permanecer na empresa é dado por
2
c(t )  t  25t
2
t 1
(t  0)
a) Na segunda-feira, o Manuel entrou na empresa às
nove horas e um quarto. A que horas deveria ter saído, de
modo a cumprir o estipulado no contrato? Apresente a
sua resposta em horas e minutos (minutos arredondados
às unidades).
b) Ontem, o Manuel saiu da empresa às 12 horas e 25
minutos. Com quantos minutos de atraso é que ele chegou
à empresa?
c) Ao sair ontem da empresa, o Manuel pensou: «Então
eu atrasei-me tão pouco e tive de ficar a trabalhar quase
meia hora depois do meio-dia?! Não é justo.» Depois de
ter conversado com os seus colegas de trabalho, o Manuel
decidiu propor à administração da empresa que o tempo
de permanência de um trabalhador na empresa, após o
meio-dia, passasse a ser igual ao tempo de atraso,
acrescido de 40% desse tempo (por exemplo, um atraso
de 10 minutos deve ser compensado com 14 minutos de
trabalho depois do meio-dia). Numa pequena
composição, compare a proposta do Manuel com o
contrato em vigor, contemplando os seguintes tópicos:
• justifique que, de acordo com a proposta do Manuel, o
número de minutos depois do meio-dia que um
trabalhador terá de permanecer na empresa, quando se
atrasa t minutos, é dado por p(t )  1, 4t ;
• refira se a proposta do Manuel é, ou não, sempre mais
favorável ao trabalhador do que o contrato em vigor;
• considerando que, para um certo atraso, a proposta do
Manuel e o contrato em vigor determinam o mesmo
tempo de permanência na empresa, após o meio-dia,
refira:
– o atraso;
– o tempo de permanência, depois do meio-dia, que esse
atraso determina.
Utilize a calculadora para comparar os gráficos das duas
funções (c e p); transcreva para a sua folha de prova esses
gráficos e assinale o ponto relevante que lhe permite
responder a algumas das questões colocadas, bem como
as suas coordenadas, arredondadas às unidades.
(2.º Teste intermédio Mat. A 2009)
9. Num certo ecossistema habitam as espécies animais A
e B. Admita que, t anos após o início do ano 2009, o
número de animais, em milhares, da espécie A é dado
aproximadamente por a (t )  11t  6 (t  0)
t 1
e que o número de animais, em milhares, da espécie B é
dado aproximadamente por b(t )  t  9 (t  0)
t 3
a) Desde o início do ano 2009 até ao início do ano 2010,
morreram 500 animais da espécie A. Determine quantos
animais dessa espécie nasceram nesse intervalo de tempo.
b) Na figura 5, estão
representadas graficamente as
funções a e b. Tal como estes
gráficos sugerem, a diferença
entre o número de animais da
espécie A e o número de animais
da espécie B vai aumentando,
com o decorrer do tempo, e tende
para um certo valor. Determine
esse valor, recorrendo às assimptotas horizontais dos
gráficos das funções a e b cujas equações deve
apresentar.
(2.º Teste intermédio Mat. A 2010)
10. Um laboratório está a ensaiar duas formulações, a
formulação A e a formulação B, de um mesmo
medicamento, o ZITEX. Admita que:
• na formulação A, a concentração de ZITEX, em
miligramas por litro de sangue, t horas após ter sido
administrado a um paciente, é dada por a (t )  12t 1  1
(t 1)2
com t  [0, 10]
• na formulação B, para a mesma quantidade de
medicamento, a concentração de ZITEX, em miligramas
por litro de sangue, t horas após ter sido administrado a
um paciente, é dada por b(t ) 
36t 1,5
(2t 1)2
 1, 5 com
t  [0, 10]
• em ambas as formulações, a concentração mínima
necessária, para que o ZITEX produza efeito, é 1,5
miligramas por litro (mg/l) de sangue.
Exercícios saídos em exames e t. intermédios (Funções racionais – 11.º ano - B) - pág. 2
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a) É aconselhável que um medicamento com as
características do ZITEX comece a produzir efeito, no
máximo, 15 minutos após ter sido administrado a um
paciente e que esse efeito se mantenha durante, pelo
menos, 2 horas. Averigúe se cada uma das formulações,
A e B, do ZITEX satisfaz as condições referidas.
Fundamente a sua resposta, com base nas representações
gráficas das funções a e b. Apresente o tempo de duração
do efeito do ZITEX, em horas, arredondado às décimas,
em cada uma das formulações. Utilize valores
arredondados às décimas para as abcissas dos pontos que
considerar relevantes.
b) O ZITEX, na formulação A, foi administrado a um
paciente às 8 horas da manhã de um certo dia.
b1) Determine a que horas desse dia, já depois de o
medicamento ter deixado de produzir efeito, é que o valor
da concentração de ZITEX, em miligramas por litro de
sangue, foi igual a 50% do valor da concentração
máxima. Apresente a sua resposta em horas e minutos,
com os minutos arredondados às unidades. Em cálculos
intermédios, utilize sempre valores arredondados com
quatro casas decimais.
b2) Verifica-se que o valor da taxa de variação da
função a , no instante t = 1,25 , é aproximadamente igual
a – 0,44 mg/l/h. Interprete, na situação descrita, a
afirmação anterior, explicitando:
• o instante do dia, em horas e minutos, a que corresponde
o valor t = 1,25 ;
• o significado do sinal do valor da taxa de variação;
• as unidades de medida da taxa de variação.
(Teste intermédio 2010)
11. Numa unidade de turismo de
habitação, existem três reservatórios de
água: um em forma de cilindro e dois
em forma de cone, todos com a mesma
altura e com bases iguais. Houve
necessidade de despejar o reservatório
cilíndrico, para se proceder a uma
reparação. A Figura 2 representa o
reservatório cilíndrico, cheio de água.
Parte dessa água foi despejada nos dois
reservatórios em forma de cone, que ficaram cheios. Na
Figura 3, estão representados esses reservatórios, cheios
de água, e o reservatório cilíndrico, com a água restante.
Considere que:
• a é a altura, em metros, de cada um dos reservatórios;
• r é o raio, em metros, da(s) base(s) de cada um dos
reservatórios;
• x é a altura, em metros, da água que ficou no
reservatório cilíndrico;
• a espessura do material de que são feitos os
reservatórios é desprezável.
a) Mostre que a relação entre a altura da água que ficou
no reservatório cilíndrico (x) e a altura de cada um dos
reservatórios (a) é dada por x  a
3
b) Posteriormente, a água que restava no reservatório
cilíndrico, depois de se terem enchido os dois
reservatórios cónicos, foi sendo retirada, até aquele ficar
vazio. Admita que a altura h, em metros, da água que
restava no reservatório cilíndrico, t horas após ter sido
começada a retirar até o reservatório ficar completamente
vazio, é dada por: h (t )  5t 16
t 10
b1) Calcule a altura, em metros, do reservatório
cilíndrico. Na sua resolução, percorra, sucessivamente, as
seguintes etapas:
• calcular h(0)
• relacionar h(0) com x
• utilizar a igualdade x  a
3
• calcular a altura pedida.
b2) Quanto tempo demorou o reservatório cilíndrico a
esvaziar, a partir do momento em que se começou a
retirar a água que ficara nesse reservatório, depois de se
terem enchido os dois reservatórios cónicos? Apresente o
resultado em horas e minutos.
b3) Relativamente à situação descrita, fez-se a seguinte
afirmação: «Durante o período de esvaziamento do
reservatório cilíndrico, existe um certo intervalo de
tempo, no qual a taxa de variação média da função h tem
um valor positivo.» Esta afirmação é verdadeira?
Justifique a sua resposta.
(Exame nacional 1.ª fase - 2010)
12. Considere uma função, f , definida em [1, +∞[.
Admita que f(1) = 10 e que a taxa de variação média de f,
em qualquer intervalo do seu domínio, é sempre igual a
– 0,3. Mostre que f é dada por f(x) = 10,3 – 0,3 x
Sugestão: Na sua resposta, comece por:
• substituir x por 1 na expressão 10,3 – 0,3x e verificar
que o valor resultante é igual a f(1)
• escrever uma expressão para a taxa de variação média
de f no intervalo [1, x ], com x >1, sem utilizar a
igualdade f(x) = 10,3 – 0,3x
(Exame nacional fase especial - 2010)
13. O pára-quedismo é um dos desportos de aventura
praticados no nosso país. Considere que, num
determinado salto, o Tomás, que é pára-quedista, se
lançou de um avião e desceu em queda livre durante cerca
de 20 segundos. Em seguida, abriu o pára-quedas e
continuou a descer, até atingir o solo. Admita que a
distância d, em metros, do Tomás ao solo, t segundos
após o início do salto, no intervalo de tempo em que o
Tomás desceu em queda livre, é modelada,
aproximadamente, por:
3
2
d (t )  0, 0847t  3, 5679t  8, 3295t  3000 para
t<20. Admita, ainda, que a distância d, em metros, do
Tomás ao solo, t segundos após o início do salto, no
intervalo de tempo que decorreu desde o instante da
abertura do pára-quedas até ao instante em que o Tomás
atingiu o solo, é modelada, aproximadamente, por:
Exercícios saídos em exames e t. intermédios (Funções racionais – 11.º ano - B) - pág. 3
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2
d (t )  0, 0055t  7, 3333t  2228, 3160 para t20
a) Calcule a distância, em metros, a que o Tomás se
encontrava do solo, no instante em que abriu o páraquedas. Apresente o resultado arredondado às unidades.
b) Determine o tempo decorrido, em minutos, desde o
instante em que o Tomás se lançou do avião até ao
instante em que atingiu o solo. Apresente o resultado
arredondado às unidades. Em cálculos intermédios,
conserve, pelo menos, quatro casas decimais.
c) A taxa de variação instantânea de d , em t = 10, é,
aproximadamente, 54 m/s. Interprete esta afirmação, no
contexto descrito.
(Exame nacional fase especial - 2010)
14. Uma floresta foi atingida por uma praga. Admita que
a área, em milhares de hectares, da região afectada por
essa praga é dada por A(t )  2t (t  0) (Considere
2
t 3
que t é medido em anos e que o instante t = 0 corresponde
ao início da praga.)
a) Houve um certo intervalo de tempo durante o qual a
área da região afectada pela praga foi, pelo menos, de 500
hectares. Nesse intervalo de tempo, a floresta esteve
seriamente ameaçada. Durante quanto tempo esteve a
floresta seriamente ameaçada? Na sua resposta deve:
• escrever uma inequação que lhe permita resolver o
problema;
• apresentar o valor pedido.
b) Utilize as capacidades gráficas da calculadora para
resolver o seguinte problema: Ao fim de quanto tempo,
contado a partir do início da praga, foi máximo o valor
da área atingida por essa praga?
Na sua resposta deve:
• reproduzir o gráfico visualizado na calculadora;
• assinalar, no gráfico, o ponto relevante para a resolução
do problema e indicar as coordenadas desse ponto,
arredondadas às milésimas;
• apresentar a solução do problema em dias, arredondada
às unidades (considere 1 ano = 365 dias).
(2.º Teste intermédio (adaptado) Mat. A 2011)
15. Considere:
• a função
3
f,
de
domínio
,
definida
16. Numa determinada região, existe um lago natural
onde foram efectuadas descargas de resíduos poluentes.
Uma associação ambientalista detectou que a
concentração, na água desse lago, de uma determinada
substância poluente era muito elevada, o que punha em
risco a sobrevivência de algumas espécies aí existentes,
entre as quais a truta.
a) No início do ano de 1995, começaram a ser
implementadas diversas medidas para diminuir a
concentração da substância poluente e, assim, melhorar a
qualidade da água desse lago. Admita que a concentração
da substância poluente, C, em miligramas por metro
cúbico de água, t anos após o início do ano de 1995, é
dada por C (t ) 
600
0,16t 2  0,8t  6
a1) Determine o ano em que a concentração da
substância poluente existente na água do lago ficou
reduzida a metade do seu valor inicial.
a2) Existe um único instante em que a taxa de variação
instantânea da função C muda de sinal, passando de
positiva a negativa. Interprete, no contexto do problema,
o significado desse instante.
b) O número de trutas existentes no lago diminuiu
acentuadamente em consequência das descargas de
resíduos poluentes. Alguns anos depois de as descargas
terem ocorrido, procedeu-se ao repovoamento do lago
com exemplares desta espécie. Admita que o número de
trutas existentes no lago, N, em milhares, x semanas após
o início do repovoamento, é dado, aproximadamente, por
N (x )  20x  2 para x  0
x 2
b1) Mostre que, de acordo com o modelo apresentado,
entre a segunda e a oitava semanas, se registou um
aumento médio de 950 trutas, por semana.
b2) O número de trutas existentes no lago,
imediatamente antes de ocorrerem as descargas de
resíduos poluentes, foi estimado em 22 000. Averigúe se,
de acordo com o modelo apresentado, o número de trutas
no lago poderá vir a atingir o valor que foi estimado para
a população de trutas existentes no lago imediatamente
antes de ocorrerem as referidas descargas. Justifique a sua
resposta, usando propriedades da função N.
(Exame nacional 2.ª fase - 2011)
por
2
f (x )  x  3x  9x  11
• a função g, de domínio \{1}, definida por
g (x )  x 1
x 1
a) Estude a função f quanto à monotonia e quanto aos
extremos relativos. Na sua resposta deve apresentar:
• o(s) intervalo(s) em que a função é crescente;
• o(s) intervalo(s) em que a função é decrescente;
• os extremos relativos, caso existam.
b) Seja P o ponto de intersecção das assimptotas do
gráfico da função g. Para um certo número real k, o ponto
P pertence ao gráfico da função h, de domínio , definida
para t  0
17. Na Figura 1, está
representada,
num
referencial o.n. xOy, parte
da hipérbole que é o
gráfico de uma função f.
As retas de equações x =2
e y =1 são as assíntotas do
gráfico da função f. Para
um certo número real k, a
função g, definida por g(x)
= f(x)+ k, não tem zeros.
Qual é o valor de k ?
(A) –1 (B) 1 (C) –2 (D) 2
(Teste intermédio Mat. A 2012)
por h(x)= f(x)+k. Determine o valor de k
(2.º Teste intermédio (adaptado) Mat. A 2011)
Exercícios saídos em exames e t. intermédios (Funções racionais – 11.º ano - B) - pág. 4
http://www.prof2000.pt/users/roliveira0/Ano11.htm
18. Na Figura 3, está
representada,
num
referencial o.n. xOy,
parte da hipérbole que
é o gráfico de uma
função f. O gráfico da
função f intersecta o
eixo Ox no ponto de
abcissa –1. As retas de
equações x =1 e y =-2
são as assíntotas do
gráfico da função f
a) Responda aos dois itens seguintes sem efetuar
cálculos, ou seja, recorrendo apenas à leitura do gráfico.
a1) Indique o contradomínio da função f
a2) Apresente, usando a notação de intervalos de
números reais, o conjunto solução da condição f(x)  0
b) Defina, por uma expressão analítica, a função f
(Teste intermédio Mat. A 2012)
19. Um doente esteve internado numa certa unidade
hospitalar. Durante o tempo de internamento, foi
necessário fazer alguns registos da temperatura corporal
do doente. Num determinado dia, o primeiro registo foi
feito às 0 horas e o último registo foi feito às 24 horas,
não se tendo verificado nenhuma ocorrência de
temperaturas iguais em registos consecutivos. A
temperatura corporal, T , em graus Celsius, do doente, às
x horas desse dia, pode ser modelada por uma função
polinomial do terceiro grau, de variável independente x,
com x [0,24]
a) De acordo com os registos desse dia, verificou-se que
a taxa de variação média da temperatura corporal do
doente, das 0 horas às 12 horas, foi positiva. Porém, essa
informação não é suficiente para se concluir que a
temperatura corporal do doente, durante essas doze horas,
esteve sempre a aumentar. Apresente um motivo que
justifique que a informação disponível não é suficiente
para se chegar à conclusão acima referida.
b) Do relatório que descrevia a situação do doente nesse
dia constava a informação seguinte: «(…) A temperatura
corporal do doente variou ao longo do dia, admitindo-se
que o valor mínimo ocorreu pelas 4 horas e 30 minutos e
que o valor máximo ocorreu pelas 17 horas e 30 minutos.
Às 23 horas, a temperatura estava a descer cerca de meio
grau Celsius por hora. (…)» De acordo com a descrição
apresentada no relatório, apenas uma das expressões
seguintes pode definir a função que dá, em graus Celsius
por hora, a taxa de variação instantânea da função T no
instante x
A) −0,0099 x2 + 0,2182 x − 0,7815
B) −0,0037 x2 + 0,0772 x − 0,3309
C) +0,0051 x2 − 0,1123 x + 0,4021
D) −0,0051 x2 + 0,1124 x − 0,4026
Numa pequena composição, apresente, para cada uma das
três expressões que não podem definir essa função, uma
razão que justifique essa impossibilidade. Nos cálculos
que efetuar, utilize valores arredondados às décimas.
(Exame nacional 2.ª fase - 2012)
20. Um grupo de alunos de um programa de
doutoramento em História da Matemática organizou uma
visita de estudo a Itália. O objetivo desta visita foi dar a
conhecer aos alunos participantes duas cidades do antigo
império grego: Siracusa, cidade natal de Arquimedes, e
Crotona, sede da Escola Pitagórica. A Maria, uma das
alunas do programa de doutoramento, coordenou a
organização da visita de estudo. A deslocação a Itália fezse de autocarro. Uma das transportadoras contactadas
pela Maria apresentou uma proposta em que o preço por
pessoa, P, em euros, dependia do número total, k, de
pessoas a transportar, de acordo com a expressão
P (k )  350  42, 5 com k > 0
k
Esta proposta foi analisada pela organização tendo em
conta os seguintes requisitos:
III) se a um grupo de 56 pessoas se acrescentar uma
pessoa, deve haver uma redução de, pelo menos, 0,20
euros por pessoa;
III) para um grupo de 70 pessoas, o preço a pagar por
pessoa não deve ser superior a 50 euros;
III) se o grupo passar de 50 para 100 pessoas, deve haver
uma diminuição de 4 euros por pessoa.
Elabore uma pequena composição, na qual justifique que
a proposta apresentada pela transportadora não cumpre os
requisitos I) e III), mas cumpre o requisito II).
(Exame nacional fase especial - 2012)
1. ]1,4/3]; y=2 e x=1
2. 5
3. /(+4)
4. B
5. D
6. 7h52min
Soluções:
7. ],2[]2,+[; 5
8. 13h39’; 5
9. 3000; 10000
10. A; 11h28’; 9h15’
11. 4,8; 3h12’
13. 2084; 8
14. 2; 632
15. Máx=16 e mín=-16; 1
16. 2004; não
17. A
18. R\{2}; ],1]]1,+[;
f(x)=-2-4/(x-1)
19. D
20. II
O professor: RobertOliveira
Internet: http://roliveira.pt.to
Exercícios saídos em exames e t. intermédios (Funções racionais – 11.º ano - B) - pág. 5