FUVEST 2004 2 a FASE MATEMÁTICA MATEMÁTICA 3. Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a $ e CN é a altura relativa ao bissetriz relativa ao ângulo ACB lado AB. 1. O número de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol foi 5, 3, 1, 4, 0 e 2. Determinar o comprimento de MN. Na segunda rodada, serão realizados mais 5 jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados nessa rodada para que a média de gols, nas duas rodadas, seja 20% superior à média obtida na primeira rodada? Resolução Resolução A média de gols por jogo na 1a rodada é: 5 + 3 + 1 + 4 + 0 + 2 15 = = 2,5 6 6 Se x representa o total de gols marcados na 2a rodada, então a média de gols por jogo nas duas rodadas é $ : CM é bissetriz de ACB 15 + x = 2,5 . (1,20) 11 2 4 = AM 5 − AM Daí, segue que x = 18 (gols) AM = 2. Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada 5 3 D ABC: reta; B situa-se entre A e C e a distância de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro. 42 = 22 + 52 2 . 2 . 5 . cos a cos a = 13 20 D ANC: AN 13 = 2 20 cos a = Resolução AN = NM = AM − AN = 10 = 13 10 5 13 − 3 10 4. Considere a equação z2 = az + (a 1) z , onde a é um número real e z indica o conjugado do número complexo z. a) Determinar os valores de a para os quais a equação tem quatro raízes distintas. l + x = 210 2l !x + x − 20 = 3 b) Representar, no plano complexo, as raízes dessa equação quando a = 0. A solução do sistema é Resolução l = 150 e x = 60 a) Seja z = x + yi; x, y Î R. Assim, a distância entre os pontos P e B é igual a Temos: 60 km (x + yi)2 = a(x + yi) + (a 1) (x yi) (x2 y2) + 2xyi = x(2a1) + yi 1 FUVEST 2004 2 a FASE MATEMÁTICA Daí, segue que 2xy = y (2) 14444244443 (1) 123 x2 y2 = x(2a 1) b) Para a = 0, no plano complexo, as raízes têm para imagens, respectivamente, os pontos de coordenadas: (0; 0) (1; 0) 1; 2 1; 2 De (2) vem 1442443 y=0 ou x= 1 2 3 2 − 5. O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = 2x3 mx2 + y = 0 em (1): + 4x + 3 é igual a 1. Determinar x2 = x(2a 1) 123 a) o valor de m. x=0 ou x = 2a 1 b) as raízes de p. Resolução Então, as soluções: a) Sejam a, b, g as raízes do polinômio p(x). (0; 0) (2a 1; 0) x= 3 2 Temos: %Kα . β = −1 &Kα . β . γ = − 3 2 ' em (1): 14243 1 1 1 y2 = 2 . a . 4 2 2 y2 = (1) Daí, uma das raízes do polinômio é 3 a 4 γ= Para que a equação admita quatro soluções distintas, devemos ter: 3 2 Substituindo vem 3 = 2 . 2 p 3 a>0 4 e 27 9 3 −m . +4 . +3 = 0 8 4 2 Daí, 1 a¹ 2 m=7 b) Segue que isto é, a+b+g= 3 1 a< ea¹ 4 2 a+b+ As soluções são: 14444244443 (2a 1; 0) 3 −α 4 − 3 7 = 2 2 a+b=2 (0; 0) 1; 2 1; 2 m 2 (2) De (1) e (2), a e b são as raízes da equação 3 −α 4 x2 2x 1 = 0, que são 1 + 2 e 1 − 2 . As raízes de p(x) são: 2 − . FUVEST 2004 2 a FASE MATEMÁTICA Sabendo-se que A = (0,0), B pertence à reta x 2y = 0 e P = (3,4) é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC, determinar as coordenadas 6. A figura abaixo representa duas polias circulares C1 e C2 de raios R1 = 4 cm e R2 = 1 cm, apoiadas em uma superfície plana em P1 e P2, respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P1 e P2 é 3 3 cm, determinar o comprimento da correia. a) do vértice B. b) do vértice C. Resolução Resolução 3−2 . 4 a) r = d(P, )= 1 6 2 1 + −2 A equação da reta 3 3 = 3 3 a = 60o y = 2x + k 2x + y k = 0 d(P, Assim, m = 360o 2a = 240o 22 + 12 4 = 5 k = 5 ou k = 15 π . 1 . 120 π . 4 . 240 +3 3 + 180 180 O valor conveniente é k = 15 l = 6 3 + 6π l= )=r 2 . 3 + 4−k O comprimento da correia é l=3 3+ = 5 pode ser tg a = = 2a = 120o e m 2 9 : 2x + y 15 = 0 + π FP 7. Na figura abaixo, os pontos A, B e C são vértices de um O ponto B é a intersecção das retas $ o ângulo reto. triângulo retângulo, sendo B x − 2y = 0 !2x + y − 15 = 0 Logo, B = (6, 3) b) A equação da reta pode ser y = mx mx y = 0 d(P, )=r m . 3−4 = 5 2 m2 + −1 11 1 ou m = m= 2 2 1 6 3 e : FUVEST 2004 2 a FASE MATEMÁTICA O valor conveniente é m = b) A área da região sombreada é 11 2 : y= S = (2r )2 − 11 x 2 O ponto C é a intersecção das retas e 4 ! Como r2 = 2 1 + 2 : 9"$# 2 πr 2 . 4 − π . 22 4 4 9 4 9 = 4 . 1+ 2 2 + 2 = 4 3 + 2 2 = = 12 + 8 2 y = 11 x 2 2 x + ! y − 15 = 0 Assim: 6 = 4 − π − π 9 Logo, C = 2, 11 9. Seja m ³ 0 um número real e sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x2 2|x| + 1 e g(x) = mx + 2m. 8. Na figura abaixo, cada uma das quatro circunferências exter- nas tem mesmo raio r e cada uma delas é tangente a outras duas e à circunferência interna C. a) Esboçar, no plano cartesiano representado a seguir, os 1 gráficos de f e de g quando m = e m = 1. 4 1 b) Determinar as raízes de f(x) = g(x) quando m = . 2 c) Determinar, em uma função de m, o número de raízes da equação f(x) = g(x). Se o raio de C é igual a 2, determinar a) o valor de r. b) a área da região hachurada. Resolução Resolução a) f(x) = x2 2 . |x| + 1 %& x ³ 0: f(x) = x ' x £ 0: f(x) = x 2 2x + 1 2 · a) r + 2 = r 2 r = 2 + 4 f(x) = %& (x 1) , se x ³ 0 ' (x + 1) , se x £ 0 2 2 · · g(x) = m(x + 2) %Km = 1 : g (x) = 1 ( x + 2) 4 &K 4 ' m = 1: g ( x) = x + 2 9 1 4 1 4 + 2x + 1 FUVEST 2004 2 a FASE MATEMÁTICA Determinar, em função de l, o volume de S. Resolução Considere as pirâmides ADFG e BCEH, que complementariam o sólido S dado para o prisma ADGBCH, que denominaremos T. b) Para P = , temos: x2 2|x| + 1 = 1 x+1 2 x ³ 0: x2 2x + 1 = 2x2 5x = 0 1 x+1 2 x=0 x= 5 2 x £ 0: x2 + 2x + 1 = 2x2 + 3x = 0 %& ' Então, S = − Aplicando o teorema de Pitágoras no D AGF, temos: 1 x+1 2 A’ G2 + x=0 x=− 3 2 () * A’ G = = l2 , 3 l. 2 Analogamente, no D AGI, temos: AI2 + IG2 = AG2 m = 0: 2 raízes Daí : 4 raízes IG = m = : 3 raízes m> 2 que nos dá c) Analisando o gráfico, obtemos: 0<m< l 2 2 l 2 Segue da simetria da construção que o volume de S é igual ao volume de T subtraído dos volumes das duas pirâmides idênticas ADFG e BCEH: : 2 raízes 10. No sólido S representado na figura abaixo, a base ABCD é 2 3 2 3 l −2 . l = l 2 24 um retângulo de lados AB = 2l e AD = l; as faces ABEF e DCEF são trapézios; as faces ADF e BCE são triângulos equiláteros e o segmento EF tem comprimento l. 5 FUVEST 2004 2 a FASE MATEMÁTICA COMENTÁRIO Nas questões de Matemática da prova de 2a Fase da FUVEST/2004 foram privilegiados alguns assuntos, em detrimento da grande parte do programa. Das 10 questões, 5 são de Geometria (Plana, Espacial ou Analítica) e as demais envolvem especialmente equações algébricas, números complexos e funções. Os enunciados são elaborados de forma irrepreensível e o nível de dificuldade é adequado à finalidade dessa prova, que pretende examinar o conhecimento dos candidatos em profundidade. 6