Uma reflexão sobre estruturas experimentais simples com
tratamentos adicionais
Eric Batista Ferreira 1
Pórtya Piscitelli Cavalcanti 2
1 Introdução
A Estatı́stica Experimental é a área da Estatı́stica Aplicada que se preocupa com o planejamento e análise de experimentos. Um experimento é um método de pesquisa explicativa em
que é imposta ou controlada a manifestação de uma ou mais caracterı́sticas explanatórias das
unidades da amostra, através da imposição de nı́veis. Dentre estes estão os tratamentos que se
deseja estudar [4].
O tratamento adicional é um tratamento extra, estabelecido a partir de uma linha de raciocı́nio diferente dos outros tratamentos [5]. Muitas vezes são chamados erroneamente de
controle, contudo existe uma distinção entre estes tratamentos. Um controle é um padrão de
comparação, também chamado de “padrão-ouro” ou “gold standart” na área de saúde, que pode
representar o “não-tratamento” (controle negativo) ou o “tratamento puro” (controle positivo).
Por esta linha de pensamento, todo tratamento controle é um adicional, mas nem todo adicional
é um controle.
Em algumas situações reais, os tratamentos adicionais podem ser muitos e se apresentar
das mais diferentes formas. Suponha, por exemplo, que um pesquisador da área de Ciência
dos Alimentos esteja interessado em estudar a vida de prateleira de pimentão. Suponha ainda
que o procedimento que ele pretende seguir seja emergir o pimentão primeiramente em uma
solução ácida e depois em uma solução que cria uma pelı́cula protetora (estudada em diferentes
concentrações). A segunda solução pode conter ou não um certo fungicida. Note que existem
vários tratamentos controle que podem ser de interesse do pesquisador, neste caso:
1. Pimentão imerso apenas no ácido;
2. Pimentão imerso no ácido e no fungicida, mas sem pelı́cula protetora;
3. Pimentão imerso apenas no fungicida;
4. Pimentão imerso apenas em água (nem ácido, nem fungicida, nem pelı́cula).
1 ICEx
- Unifal-MG. E-mail: [email protected].
em Ecologia e Tecnologia Ambiental. E-mail: [email protected]. Agradecimentos especiais à
FAPEMIG e ao CNPq pelo apoio financeiro.
2 Mestre
1
Para o mesmo exemplo, os tratamentos em teste seriam as concentrações da pelı́cula combinadas com a presença ou ausência de fungicida.
Portanto, é importante saber diferenciar tratamento adicional de tratamento controle para
planejar e analisar um experimento corretamente.
Considerando um experimento simples (sem estrutura fatorial nos tratamentos), não há necessidade de nenhuma análise diferenciada (independente do delineamento adotado), pois o
tratamento controle ou adicional é apenas mais um a ser comparado, mas todos estão em um
mesmo nı́vel hierárquico.
Uma opção clássica para esse caso seria o teste de Dunnett, que permite contrastar cada
tratamento em teste com o adicional. No entanto, vale ressaltar que é muito raro que o pesquisador esteja interessado em contrastar os tratamentos em teste com os adicionais, mas não
deseje comparar os tratamentos em teste entre si.
Como outra alternativa, poderia-se pensar em um contraste entre “a média do adicional”
vs “a média dos demais”. Isso não é feito no protocolo normal, mas pode ser de interesse do
pesquisador. Teoricamente é possı́vel ainda contrastar “a média de k adicionais” vs “a média
dos demais” (sendo k o número de adicionais), contudo não é muito comum na prática.
Supondo que são mais de um tratamentos adicionais, o mais interessante seria fazer vários
contrastes entre os “tratamentos em teste” vs “cada adicional”. Por exemplo, “tratamentos em
teste” vs “controle positivo”, depois “tratamentos em teste” vs “controle negativo”.
Já no planejamento de experimentos fatoriais e em parcelas subdivididas a inclusão de tratamentos adicionais é muito mais natural e comumente encontrada na literatura [5]. Nesses casos,
são chamados de tratamentos adicionais todos aqueles tratamentos que fogem ao esquema fatorial de combinação dos nı́veis dos fatores.
Neste trabalho, serão apresentados direcionamentos teóricos e práticos para análises de experimentos que possuem tratamentos adicionais.
2 Material e métodos
Devido a limitação de espaço serão apresentados os direcionamentos para a análise de um
experimento em esquema fatorial duplo, delineamento em blocos casualizados completos e um
tratamentos adicional.
Para essa situação particular, será apresentado o roteiro de análise e um exemplo com dados
reais, analisado com o auxilio do software R [6].
3 Resultados e discussão
Para o experimento descrito na seção anterior, pode-se considerar o seguinte modelo estatı́stico:
2
{
Y=
µ + λk + αi + β j + (αβ)i j + ei jk , se Y =Yi jkl ∈ f atorial
µ + λ k + τ + ek ,
se Y =Yk ∈
/ f atorial
em que i = 1, 2, . . . , a; j = 1, 2, . . . , b; k = 1, 2, . . . , J; Yi jk é a variável-resposta medida na parcela
que recebeu o nı́vel i do fator α, o nı́vel j do fator β, no bloco k; µ é a constante comum a todas
as observações; λk é o efeito do bloco k; αi é o efeito do i-ésimo nı́vel do fator α; β j é o efeito
do j-ésimo nı́vel do fator β; (αβ)i j é o efeito da interação entre o i-ésimo nı́vel do fator α e
o j-ésimo nı́vel do fator β; ei jk é o efeito dos fatores não controlados na parcela Yi jk e τ é o
contraste entre o fatorial duplo e o tratamento adicional.
Para analisar experimentos que apresentem este esquema de análise com um tratamento
adicional, normalmente, são necessárias duas análises:
1. Análise de variância do fatorial duplo; e
2. Análise de variância de um DBC simples incluindo todos os tratamentos juntamente com
o adicional.
A primeira análise é representada pela tabela da ANAVA do fatorial duplo (Tabela 1).
Tabela 1: Tabela da ANAVA para um experimento em fatorial duplo em DBC.
FV
Bloco
α
GL
J −1
a−1
SQ
SQB
SQα
β
b−1
SQβ
α∗β
(a − 1)(b − 1)
SQαβ
Resı́duo (ab − 1)(J − 1) SQR
Total
abJ − 1
SQT
QM
Fc
SQB
glB
SQα
glα
SQβ
glβ
SQαβ
glαβ
SQR
glR
SQT
glT
QMB
QMR
QMα
QMR
QMβ
QMR
QMαβ
QMR
Na Tabela 2 a seguir, tem-se a análise de variância do DBC simples, onde a fonte de variação
Trat corresponde aos tratamentos vindos de um fatorial duplo.
Tabela 2: Tabela da ANAVA para um experimento em DBC simples incluindo todos os tratamentos juntamente com o adicional.
FV
Bloco
Trat
Adicional vs demais
Resı́duo
Total
GL
J −1
ab − 1
1
ab(J − 1)
(ab + 1)J − 1
3
SQ
SQB
SQTr
SQAd
SQR
SQT
QM
Fc
SQB
glB
SQTr
glTr
SQAd
1
SQR
glR
SQT
glT
QMB
QMR
QMTr
QMR
QMAd
QMR
A partir das Tabelas 1 e 2, a análise de variância do experimento em questão - fatorial duplo
com um tratamento adicional em DBC - pode ser observada abaixo (Tabela 3).
Tabela 3: Tabela da ANAVA para um experimento em fatorial duplo com um tratamento adicional, em DBC.
FV
Bloco
α
GL
J −1
a−1
SQ
SQB
SQα
β
b−1
SQβ
α∗β
(a − 1)(b − 1) SQαβ
Adicional vs Fatorial 1
Resı́duo
ab(J − 1)
Total
(ab + 1)J − 1
SQAd
SQR
SQT
QM
Fc
SQB
glB
SQα
glα
SQβ
glβ
SQαβ
glαβ
SQAd
1
SQR
glR
SQT
glT
QMB
QMR
QMα
QMR
QMβ
QMR
QMαβ
QMR
QMAd
QMR
A soma de quadrados do contraste do tratamento adicional com o fatorial (SQAd ) pode ser
calculada por diferença entre a soma de quadrados dos tratamentos (SQTr ) da Tabela 2 e as
somas de quadrados do bloco, dos fatores α e β e sua interação (SQB , SQα , SQβ e SQαβ ) da
Tabela 1 [3], ou seja:
SQAd = SQTr − (SQB + SQα + SQβ + SQαβ ).
(1)
O resı́duo utilizado foi o encontrado na Tabela 2 e, desta forma, os quantis da distribuição F
(Fc) foram recalculados.
Análises desse tipo exigem que o pesquisador execute várias rodadas (análises) e complementem essas análises por conta própria, tornando o procedimento mais difı́cil e duvidoso.
Sugere-se que tais análises sejam feitas em softwares amplamente difundidos e grátis como o R
[6]. Com o auxı́lio do pacote ExpDes [1] pode-se analisar experimentos em esquemas fatoriais
duplo ou triplo em DIC ou DBC, em apenas uma rodada.
A função fat2.ad.rbd() permite analisar experimentos em esquema fatorial duplo com
um tratamento adicional em DBC [2]. Ela realiza a análise de variância e testes de comparação
múltipla de médias (teste de Tukey, teste de Student-Newman-Keuls, teste de Scott-Knott, teste
de Duncan, teste t de Student, teste t com proteção de Bonferroni e teste bootstrap) ou ajuste de
modelos de regressão até o terceiro grau.
Na Figura 1 pode-se observar a saı́da da função fat2.ad.rbd() , exemplificada por um experimento que avaliou a altura das plantas de milho 21 dias após a emergência sob infestação
de percevejos (Dichelops) em diferentes momentos de convivência (period) e os nı́veis de
infestação (level) [7]. O tratamento adicional é o perı́odo zero e nı́vel zero.
4
Figura 1: Saı́da da função fat2.ad.rbd() .
4 Conclusões
O planejamento e a análise de experimentos que contém tratamentos adicionais são mais
comuns do que se pensa e, por isso, merecem mais atenção e formalização de conceitos e
métodos.
O roteiro de análise apresentado neste trabalho é apenas um exemplo de como este tema
pode ser desenvolvido em trabalhos futuros, tanto em artigos cientı́ficos quanto em livros didáticos.
Referências
[1] FERREIRA, E. B.; CAVALCANTI, P. P.; NOGUEIRA, D. A. Experimental designs: um
pacote R para análise de experimentos. Revista da Estatı́stica UFOP. v. 1, p. 1-9, 2011a.
[2] FERREIRA, E. B.; CAVALCANTI, P. P.; NOGUEIRA, D. A. ExpDes: Experimental Designs package. R package version 1.1.1, 2011b. URL http://CRAN.Rproject.org/package=ExpDes
[3] HEALY, M. J. R. The analysis of a factorial experiment with additional treatments. Journal of Agricultural Science. Cambridge. v. 47, p. 205-206, 1956.
[4] MACHADO, A. A.; DEMÉTRIO, C. G. B.; FERREIRA, D. F.; SILVA, J. G. C. da; Estatı́stica Experimental: uma abordagem fundamentada no planejamento e no uso de recursos computacionais. Editora da UEL: Londrina, 2005
[5] PIMENTEL-GOMES, F. Curso de estatı́stica experimental. 15. ed. Piracicaba: FEALQ,
2009. 451 p.
[6] R DEVELOPMENT CORE TEAM. R: A Language and Environment for Statistical
Computing. Vienna, Austria: R Foundation for Statistical Computing. 2013.
[7] RODRIGUES, R. B. Danos do percevejo-barriga-verde Dichelops melacanthus (Dallas, 1851) (Hemiptera: Pentatomidae) na cultura do milho. 2011. 105 p. Dissertacao
(Mestrado em Agronomia), Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, 2011.
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