MESA REDONDA
anais
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XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
SUMÁRIO
FORMAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO ESPAÇO DA UAB .....................................1
GRUPOS DE ESTUDOS E PESQUISAS NA FORMAÇÃO INICIAL E
CONTINUADA DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: O CASO DO IFESVITÓRIA ..........................................................................................................................................13
UM ESTUDO DAS OPERAÇÕES ELEMENTARES COM PROFESSORAS DOS
ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL .........................................................................27
HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO DE PROFESSORES:
O CURRÍCULO COMO CONSTRUÇÃO SOCIAL .......................................................................41
TENDÊNCIAS DA PESQUISA EM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO BRASIL:
UMA CARACTERIZAÇÃO DAS DISSERTAÇÕES E TESES ENTRE 1990 E 2010 .................52
HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO DE PROFESSORES:
QUESTÕES EPISTEMOLÓGICAS.................................................................................................61
A METODOLOGIA DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA ATRAVÉS
DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: PERSPECTIVAS À FORMAÇÃO DOCENTE
NO CONTEXTO DA SALA DE AULA ..........................................................................................69
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E PRÁTICAS INVESTIGATIVAS ..........................................80
DISCUTINDO A RELAÇÃO ENTRE RIGOR E INTUIÇÃO NO ENSINO DE
CÁLCULO E DE ANÁLISE: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA O DEBATE EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO ENSINO SUPERIOR ..............................................................86
PAPEL DA ABSTRAÇÃO NO PENSAMENTO MATEMÁTICO AVANÇADO ........................93
A REPRESENTAÇÃO COMO PROCESSO DO PENSAMENTO MATEMÁTICO
AVANÇADO ....................................................................................................................................97
PENSAMENTO AVANÇADO MATEMÁTICO: EM DEBATE .................................................106
ETNOMATEMÁTICA E CURRÍCULO: TENSÕES E DESAFIOS NO CONTEXTO
ESCOLAR.......................................................................................................................................115
ETNOMATEMÁTICA E A LEI 10639/03: POR UMA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
ANTIRRACISTA ...........................................................................................................................125
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ETNOMATEMÁTICA: OPORTUNIDADES E DESAFIOS PARA A AÇÃO
PEDAGÓGICA ...............................................................................................................................132
ETNOMATEMÁTICA: ESTRATÉGIAS PARA SOBREVIVER E TRANSCENDER ...............134
ETNOMATEMÁTICA E A (TRANS)FORMAÇÃO DE IDENTIDADES DOCENTES .............141
PANEL: LA SOCIOEPISTEMOLOGÍA: SUS BASES, ALCANCES Y
PERSPECTIVAS ............................................................................................................................148
LA PERSPECTIVA SOCIOEPISTEMOLÓGICA Y LAS COMPRENSIONES DE LA
CONSTRUCCIÓN Y RECONSTRUCCIÓN DE SABERES MATEMÁTICOS ..........................150
PESQUISAS EM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: DESAFIOS NA PRODUÇÃO ...................153
A PESQUISA NO CAMPO DAS RELAÇÕES ENTRE HISTÓRIA E EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA: TRÊS EXEMPLOS ............................................................................................154
POLÍTICAS PÚBLICAS, EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA E FORMAÇÃO DE
PROFESSORES DE MATEMÁTICA ...........................................................................................163
PESQUISAS EM EAD ONLINE X POLÍTICAS PÚBLICAS EM EAD NO BRASIL ................173
A GESTÃO EM EAD: SISTEMA E COMPLEXIDADE ..............................................................176
TECNOLÓGIA EM EAD: USO DE VIDEOCONFERENCIA E WEBCONFERENCIA
PARA MEDIAÇÃO ........................................................................................................................188
EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICA EN INGENIERÍA: UNA VISIÓN CON EL USO
DE LA TECNOLOGÍA. .................................................................................................................199
MODELACIÓN MATEMÁTICA ESCOLAR. ALGUNAS REFLEXIONES FRENTE A
SU RELACIÓN CON LA CULTURA ...........................................................................................210
APRENDIZAGEM E MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA .................................220
PROFESSORES E FUTUROS PROFESSORES DE MATEMÁTICA EM CENÁRIOS
DE MODELAGEM MATEMÁTICA: TENSÕES E DESAFIOS .................................................221
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FORMAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO ESPAÇO DA UAB
Cristiano A Muniz e Silvana Lunes – UAB/UnB
RESUMO
A produção de conhecimento na formação inicial e continuada tem valor dentro da
comunidade escolar que merece nossa atenção e reflexão. É notório constatar que no
âmbito da Educação Matemática, os conteúdos e processos tratados na formação estão
presentes nas discussões nas coordenações da escola. São estes levados para escola pelos
cursistas que já atuam como professores ou por intermédio das práticas escolares e estágios.
Materiais fornecidos revelam-se de alto interesse aos professores que demandam por
materiais didático-pedagógico na busca de aprendizagens matemáticas significativas.
TRABALHO
Investir no desenvolvimento curricular, conceber, produzir e difundir materiais de ensinoaprendizagem, realização de avaliações em larga escala, promover políticas para a melhoria
da qualidade dos livros didáticos a serem adotados pelas escolas, investir na inserção de
novas tecnologias, estruturar a escola, com recursos físicos e humanos para a real
efetivação da inclusão, programas de formação de professores, dentre outras possibilidades,
articuladas entre si, são alguns dos muitos caminhos para a melhoria da aprendizagem de
nossos alunos.
Portanto, revelamos neste texto como a formação busca, no campo da Educação
Matemática, tratar de temas, conceitos, procedimentos, que hoje são verdadeiros tabus e
muitas vezes obstaculizam a aprendizagem dos alunos. Ainda assim, fortalecer a ideia pilar
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Conscientes desta realidade, os autores das disciplinas de Educação Matemática buscaram
favorecer uma formação alicerçada na Educação Matemática de forma que, os egressos do
curso de Pedagogia da UAB/UnB possam ser agentes de transformação das suas futuras
comunidades educacionais, levando novos paradigmas e proposições críticas, criativas e
éticas, voltados à maior garantia de aprendizagem matemática significativa e humana.
1
Dentre todas estas, optamos pela formação como caminho de fazer chegar à escola
conhecimentos e processos que visam a efetiva aprendizagem de nossos alunos. Em
especial, aqui trataremos da Educação Matemática na formação inicial de professores a
distância. Tal opção é também pelo fato de reconhecermos na formação um instrumento de
fazer chegar não apenas na práxis, mas também na comunidade educacional,
conhecimentos e discussões essenciais ao desenvolvimento da educação escolar.
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de que os alunos sobre nossa responsabilidade são seres matemáticos, cujos futuros acerca
de suas relações com os objetos matemáticos, dependem certamente da natureza do
trabalho realizado nos anos iniciais do ensino fundamental.
A construção da estrutura do número natural, decimal e fracionário: estruturas por
vezes negligenciadas pelo currículo e livros didáticos.
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Mais de trinta anos de investigação no campo da Educação Matemática, com possibilidade
de analisar inclusive produções matemáticas de crianças escolarizadas fora do Brasil, são
suficientes para nos revelar nitidamente que muitas das dificuldades matemáticas, dos
alunos e por vezes dos professores, apoiam-se na incompreensão da estrutura do número:
posicionamento, noção de agrupamento, ideia de valor (dentre outras) que causam
dificuldades na leitura e interpretação de quantidades numéricas, sejam elas discretas ou
contínuas, na escrita ao buscar registrar resultados de medições ou contagens. Em especial,
tais incompreensões ocasionam dificuldades na construção e entendimento de
procedimentos operatórios. Muitas das dificuldades na realização das operações aritméticas
por nós realizadas são decorrentes, dentre outros problemas (como do conceito das
operações, que trataremos adiante neste capítulo) de uma não construção conceitual da
estrutura do número pelo aluno. Um exemplo de produção em sala de aula de anos iniciais
do EF do centro-oeste brasileiro:
Observemos que o aluno tem absoluta certeza quanto à validação de sua produção, que não
pode ser negligenciada pela escola. Se não há uma correção matematicamente falando na
produção deste aluno (que sem dúvida, está produzindo) esta não chega a ser considerada
como obstáculo na perspectiva da criança, que ao fazer a prova real, reforça a veracidade de
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sua produção. Ao multiplicar 25 por 12, realiza a multiplicação 25 por 2 e depois por 1,
demonstrando, no contexto da multiplicação, a não compreensão que o 12 é composto por
10 e 2, problema que se origina nos processos da alfabetização matemática que deve ser
enfrentado tanto na formação inicial quanto na continuada. Este é um desafio que os
autores do componente de Educação Matemática na UAB/UnB se colocam como
enfretamento necessário.
Três principais são as causas possíveis de tal fato: 1) Na formação inicial dos professores
não são trabalhados de forma consistente os conceitos dos números, muitas das vezes
tratados de forma reducionista; 2) Nos currículos dos anos iniciais, não há revelação de
uma construção da gênese do número, de forma a permitir que o aluno seja o primeiro
protagonista da construção conceitual a partir de situações de contagem e medida, com
registro, comparações e reflexões empíricas e abstrativas; e, 3) Os livros didáticos
propostos nos anos de alfabetização negligenciam o trabalho da construção de estruturas
pilares do conceito do número, tanto no que diz respeito à contagem (correspondências,
recitação e registro, zoneamento, dentre outros) quanto à noção do número no sistema de
numeração decimal, ou seja, as estruturas de agrupamento e posicionamento. Estes se
propõem a serem instrumentos no processo de alfabetização, mesmo os aprovados pelo
PNLD - Plano Nacional do Livro Didático apresentam a escrita e a leitura dos números
naturais de forma mágica, sem tratar de favorecer a construção gradativa e significativa
pelo aluno do agrupamento e posicionamento.
Este processo presente no material de formação acaba por “empoderar” matematicamente o
aluno que, ao compreender a estrutura do número no sistema decimal e o conceito das
operações, é capaz de desenvolver e revelar procedimentos operatórios que muitas das
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Associados aos jogos matemáticos (MUNIZ, 2010) que recheiam a proposta didáticopedagógica da formação, os materiais que são base das contagens, representações
simbólicas das quantidades, também evoluem passando essencialmente por: dedos das
mãos, palitos, material dourado, dinheirinho, dinheiro chinês (quando o valor depende da
cor, forma ou outro atributo), ábaco aberto, ábaco fechado, dentre outros até chegarmos na
construção e no uso de calculadoras eletrônicas.
3
Na formação de Educação Matemática da UAB/UnB, procura-se, apoiado inicialmente em
Bertoni (2007), oferecer uma proposição epistemológica e metodológica na qual o aluno,
enquanto ser matemático, possa gradativamente conceber e estruturar as ideias estruturantes
do número no sistema decimal. O agrupamento, base para quantificação de quantidades não
perceptivas (as que requerem contagem) é tomado como proposta central na construção do
número na forma de atividade lúdica, na qual o agrupar quantidades é regra de jogo
matemático a ser ensinado e aprendido. Isto faz com que a estrutura matemática de
agrupamento, base essencial do conceito do número no sistema decimal, seja assumida pelo
alfabetizando como um processo em construção pleno de significação nas quantificações
concretas e simbólicas. Por outro lado, a estrutura de posicionamento decimal, é
igualmente inserida nos jogos matemáticos de forma que o jovem aluno conceba em
processo de aprendizagem e ensino, onde ele próprio é proponente das estruturas
matemáticas que vão tornado-se cada vez mais significativas quanto complexas para dar
conta da necessidade de quantificações cada vez mais amplas.
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vezes não encontramos na literatura matemática, assim como no repertório cognitivo do
professor e nem no currículo da escola. Muitos são os exemplos que poderemos tomar para
demonstrar a capacidade de produção inusitada dos alunos quando são efetivamente
alfabetizados no contexto da Educação Matemática, o que é para os alunos em formação da
UAB/UnB, casos que surpreendem em comparação com suas próprias trajetórias educativas
que se pautaram pela imposição de lógicas formais e raciocínios matemáticos engessados
em determinados esquemas mentais estritos e pobres, cognitivamente falando. Vejamos a
produção a seguir de uma criança em alfabetização, quando se sente livre e valorizada a
produção criativa, enquanto pensamento e registros, e calcada em sua compreensão do
número:
Vemos que esta menina de 7 anos de idade não se intimida diante da necessidade de retirar
12 de 30, uma vez que compreende o 30 enquanto 3 grupos de dez. Inicialmente retira uma
dezena (o 10 dos 12 a serem retirados) e troca uma dezena por 5 notas de 2, o que lhe
permite a retirada dos 2 que ainda faltavam retirar. Em que isto é importante? Na proposta
de formação em Educação Matemática da UAB/UnB, tais perspectivas da aprendizagem
matemática pela criança colocam em cheque a própria noção e significado de ensinar:
diante destas possibilidades de produções das crianças, sem estarem a reproduzir algoritmos
presentes na cabeça do professor ou no livro didático: O que é ensinar? Qual é o papel do
professor? Frente a tais questões, capitais na formação assim como na atuação pedagógica,
somos lançados à estudos de fundamentação psicológicas sobre as noções de mediação e
intervenção pedagógica. A instrumentalização profissional e humana do professor para dar
conta destes desafios nos remetem necessariamente a estudos da psicologia da
aprendizagem e do desenvolvimento tais como Vigotski (2000), Bruner (1987), e mais
recentemente, de Vergnaud (1990 e 1994) e sua teoria dos Campos Conceituais, na busca
da compreensão dos complexos processos cognitivos de produção de esquemas mentais,
funções superiores, apoiadas no desenvolvimento da conceitualização e linguagem de
nossos alunos. Isto acaba por garantir que a formação em Educação Matemática tenha uma
forte conotação interdisciplinar. A interdisplinaridade do produzir e aprender matemática
na escola, e por consequência na formação dos educadores (D`AMBRÓSIO, 2009 e
SKOVSMOSE, 2009) está presente também na necessária e desejável ampliação da noção
do número natural para contextos significativos mais amplos. É assim que na formação a
proposta epistemológica e metodológica motiva buscar nos contextos socioculturais
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situações com valores monetários e medidas que vão requerer a ampliação da noção e do
registro do número quando as quantidades envolvidas não são mais estritamente inteiras.
Como lidar e registrar partes do inteiro? Na proposta, o que mais uma vez aparece como
inovador para nossos cursistas da UAB/UnB é a articulação de materiais, contextos e
processos dos números naturais com os decimais, sempre valorizando as ideias das próprias
crianças, muitas vezes trazidas de seus contextos socioculturais, e outros produzidos e
apresentados em situações de desafio propostas no grupo dentro da sala de aula pelo
professor.
É assim que vemos nos professores a capacidade de identificar nas crianças a construção de
significados de valores simbólicos atribuídos aos números, os quais geram registros
poderosos do fazer matemática de nossas crianças, que são fundamentais a serem inseridos
nos tempos presentes e futuros nos processos de formação de nossos educadores. Por
exemplo, uma criança indica uma soma de valores de produtos de uma situação de compra
de lanche na cantina por: 2 + 50 + 50 + 2 e coloca o resultado 5. Mas como pode
2+50+2+50=5 estar certo? Este é justamente nosso desafio no contexto da Educação
Matemática, e, em especial, na busca de uma formação dos professores, trazendo a
possibilidade do reconhecimento dos significados atribuídos pelos alunos à sua construção
de saber (em especial, saber matemático). Afinal, no contexto, para o aluno os 50 referemse à centavos, e que 100 centavos formam um real. Muitas das vezes a distância entre
significação, registro e interpretação gera um contexto de dificuldade, que pode levar a
produção de fracasso de aprendizagem, que em nada contribui com o processo educativo.
Aprender a reconhecer e valorizar a produção da criança e construir com ela um processo
em direção às notações sociais é a função da professora que também vai se constituindo
educadora quanto percebe e valida estas produções de seus alunos. Com isto descobrimos
que estar professor (Freire, 2005) implica num permanente processo de constituir-se a partir
da relação com o outro.
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O investimento num trabalho pedagógico voltado para a construção do número pleno de
significados permite que o futuro professor favoreça a construção de atividades mais
significativas na escola. Isto implica na produção de uma matemática, que além de
contextualizada, que valorize a diversidade de processos de aprendizagem na educação
básica. A seguir tratamos do segundo ponto, igualmente importante, que é a construção de
procedimentos em situações de resolução de problemas.
5
Outro conteúdo bastante polêmico é o das frações, que normalmente é trabalhado de forma
restrita e limitante, e na nossa formação UAB/UNB este conceito é abordado de maneira
ampla e revestido de múltiplos significados com a valorização da exploração das frações
maiores que a unidade, a fração de quantidade e a fração como operador. Investir na
formação inicial com novas concepções e possibilidades curriculares é, para nós, uma
forma de influir no sistema educacional, revelando o quanto podemos ter o espaço de
formação na UAB, que abrange diferentes regiões e realidades, como difusão para o
sistema de ensino de novas possibilidades curriculares visando aprendizagens mais
significativas e consolidadas.
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Contextualização, diversidade conceitual e procedimental: bases para a produção
diversa e criativa do produzir e validar matemática na escola.
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Para que existe a Matemática e para que sua presença na escola? A grosso modo, podemos
afirmar, que é para resolver problemas, problemas impostos na relação do ser humano com
a natureza, com seu mundo sociocultural, tecnológico, ético, estético e, em especial, para
sua transcendência. A resolução de problemas, enquanto possibilidade de construção de
caminhos, concebe a ideia de uma produção matemática na escola que pauta-se pela rica e
incontestável diversidade de saberes, de valorização e socialização de múltiplas formas de
pensar, registrar e validar o conhecimento. Assim, ensinar e aprender matemática na escola
básica não pode ser mais concebido como imposição de processos únicos de pensamento:
mesmo na matemática não há uma verdade única, as respostas são construídas por sujeitos
que pensam em situações-problemas desafiantes, mobilizando conceitos, resignificando-os
(VERGNAUD, 1900, 1994), ampliando-os, desestruturando-se e gerando novos
procedimentos.
Assim, a organização do trabalho pedagógico (RESENDE, 2006) assume uma nova
conotação na sala de aula matemática, apoiada na investigação, na comunidade
investigativa, onde há a busca e valorização dos processos diversos de resolução, onde cada
estratégia reflete formas distintas de interpretar, proceder e validar o conhecimento em ação
(VERGNAUD, 1900, 1994). A alma da aula de matemática, e isto é parte essencial da
formação na UAB/UnB, é o espaço pedagógico de socialização que o professor instaura em
sala de aula entre os alunos das múltiplas formas de produção do saber. Isto implica em
mobilizar competências que estavam esquecidas no currículo de matemática brasileiro, que
é o poder de externalização de seus pensamentos matemáticos, seja na forma de registro
material, gráfico, ou oralidade, num contexto de argumentação, justificação e prova de suas
atividades matemáticas. Nesta dinâmica o professor entra como animador, instigador,
provocador, e, em dado momento, como o agente da institucionalização do saber
mobilizado em situação pelos alunos e socialmente validado. É o momento em que o
professor volta-se para o aluno ou o grupo e diz: “Você pode fazer assim, sim”; “Que legal!
Nunca tinha visto isto antes, mas dá certo, podemos fazer assim também”; “Isto que você
está fazendo aparece no livro didático de outra forma, mas parecido, vamos ver lá”;
“Vamos fazer um cartaz e fixar no mural para que todos também aprendam desta forma”,
ou “Vamos fazer um box no caderno e escrever e explicar nosso jeito de fazer”. É quando o
pensamento e esquemas mentais do professor não é o conhecimento mais importante, nem
o único válido e nem sempre o ponto de partida ou chegada. O professor precisa, na fala
Freiriana (FREIRE, 2005), estar pronto a aprender com seus alunos, sobretudona produção
da matemática mergulhada em situações e contextos significativos. Se na formação em
Educação Matemática na UAB/UnB aprendermos isto, ganhamos a vida e seremos
melhores educadores que a maior parte dos professores que tivemos, e poderemos
participar da construção de uma escola melhor para nossas crianças e jovens.
Não apenas na resolução de problemas, mas isto deve valer também na construção dos
procedimentos das operações aritméticas. Se o ensino de matemática pauta-se na imposição
de algoritmos ortodoxos, muitas vezes incompreensíveis, pois são desprovidos de
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significados, a proposição nesta formação é também a valorização da construção pelo aluno
de esquemas próprios que potencializem a capacidade de produção criativa e crítica.
O trabalho pedagógico com as operações enfatiza três momentos centrais: 1) A construção
de conceitos - que deve ser a base da aprendizagem das operações aritméticas. Neste
momento o trabalho com os alunos deve ser intenso de atividades que os propiciem de
gradativamente, construírem cada conceito; 2) O desenvolvimento de procedimentos caracterizado pela diversidade e criatividade na produção matemática dos alunos. Cada
criança vai desenvolver e expressar seu pensamento e a compreensão dos conceitos através
de estratégias próprias de registros que serão validadas e socializadas pela professora; e, 3)
A hermetização dos procedimentos - a desejável evolução dos procedimentos para
algoritmos. Neste momento chega a hora da evolução para processos mais estáveis,
socialmente validados, implica num processo de “hermetização” (fechamento, conclusão,
isolamento) dos procedimentos iniciais da criança.
O tratamento didático às operações no Brasil restringe-se ao terceiro momento, indo
diretamente para o ensino de processos historicamente construídos, de forma que os alunos
têm que reproduzi-los. Tal ensino inclusive é desprovido da dimensão histórica destes
processos, uma vez que a escola não trata do longo trajeto percorrido pela história para a
consolidação de tais algoritmos. São algoritmos que mesmo os professores não
compreendem seus significados.
Na formação, na práxis pedagógica, no currículo, nas políticas públicas, tornar aquilo que
oprime, que reprova, que discrimina e exclui em elementos de valorização, de inclusão de
ânimo e motivação lúdica pelo fazer matemática dentro e fora da escola, eis mais um dos
desafios que abraçamos nesta formação de educadores matemáticos no contexto da
UAB/UnB Além dos desafios no campo dos números e operações, esta formação busca
avançar em muitos pontos no que refere ao trabalho com grandezas e medidas, o que
trataremos a seguir.
Sujeitos ativos, medindo, comparando, registrando, discutindo: a ação como base
essencial para a produção de saber e de aprendizagens na escola, dentro e fora da sala
de aula.
Numa visão geral da formação no que refere às grandezas e medidas, busca-se levar a ideia
que tal aprendizagem será significativa a partir do momento que comecemos a abrir as
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Buscamos na proposição da UAB/UnB construir uma visão didático-pedagógica do ensino
e da aprendizagem das medidas apoiada na ação efetiva de medir e registrar. Resgatar junto
aos nossos cursistas o conceito fundamental da medida enquanto comparação. Para tanto, a
proposta coloca como gênese da aprendizagem das medidas o necessário trabalho que
permita aos alunos dos anos iniciais o desenvolvimento da percepção das grandezas, o que
é fundamental no processo de conceito e procedimentos da medição.
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Um desafio que nos impomos na formação em educação matemática da UAB/UnB é
ultrapassar a visão restrita do ensino de medidas no currículo dos anos iniciais que
normalmente se resume a, de forma teórica, sem vivências, apresentar as unidades legais de
medidas e ensinar as transformações via tabela de todos os múltiplos e submúltiplos.
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portas e janelas da escola para sociocultura. É fundamental que os formandos da UAB/UnB
possam aprender a planejar e ofertar contextos que requeiram a medição, comparações,
registros, construção e uso de instrumentos de medidas. Valorização de jogos de simulação
de compras, vendas, concepção de produtos, estudo de materiais impressos distribuídos no
comércio, assim como excursões in lócus no mundo do comércio, agropecuária, indústria,
artesanato, esportes, descobrindo o quanto a matemática está presente no mundo por
intermédio das medidas. Pressupomos que ao realizarem tais propostas, nossos alunos
possam contaminar toda a escola promovendo uma mudança curricular no que diz respeito
às medidas e sua aprendizagem.
Outra centralidade é construir propostas pedagógicas para a sala de aula onde o corpo é
assumido como primeiro instrumento de medida, fornecendo unidades de medidas, mesmo
que não padronizadas. Esta é mais uma vez a oportunidade de trazer para a escola a
dimensão histórica do conhecimento matemático. Isto possibilitará ver a matemática no
contexto sociocultural por meio do mundo das medidas. Conhecer de fato as reais
dimensões das unidades de medidas, os principais múltiplos e submúltiplos, articulando
sempre a medida, seus registros e comparações com os números decimais e fracionários e
construir necessárias articulações com as demais áreas de conhecimentos.
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Tudo isso faz conceber uma sala de aula repleta de instrumentos de medidas de uso
cotidiano dos alunos tais como fita métrica, relógios, calendários, balanças e termômetros,
etc. Constituir um ambiente pedagógico onde MEDIR é parte essencial do cotidiano
escolar. Sempre propondo situações problemas e desafios envolvendo medidas, em especial
mobilizando contextos de motivação dos alunos. Estarmos atentos as capacidades dos
alunos a criarem, proporem, discutirem, decidirem sobre procedimentos mais adequados,
justos e socialmente validados para realização de medidas cada vez mais justas e precisas,
tomando consciência de que o desenvolvimento científico e tecnológico está bastante
associado ao desenvolvimento das formas e procedimentos da civilização humana medir.
Compreender este processo histórico é assimilar a dimensão humana, histórico-cultural,
nem sempre precisa e justa, da produção matemática que varia, em especial quando se trata
de medidas, de cultura para cultura, de país para país, em cada tempo histórico.
Compreender que fazer matemática é a busca desta pretensa precisão, que muitas vezes não
podemos obter nos trabalhos práticos da sala de aula, que podem ocorrer no nível do
imaginário, das hipóteses, da teorização, da idealização de um mundo mais justo e preciso,
no campo das idéias e dos conceitos matemáticos.
Desenhar e saber nome das figuras: uma pequena parte do grande mundo das
geometrias, com necessária ampliação dos conceitos e ideias o espaço vivido,
concebido e representado.
Identificar e dizer o nome das figuras planas e tridimensionais, segundo número de lados e
vértices é muito pouco diante da riqueza de possibilidades do estudo da geometria na escola
básica. Um desafio que nos impomos, tutores de Educação Matemática da Pedagogia da
UAB/UnB é ter a formação como uma oportunidade impar de ampliar as concepções
epistemológicas e metodológicas do estudo da geometria na escola, tendo os egressos da
UAB/UnB como importantes agentes de transformação da aprendizagem da geometria
escolar.
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O ensino da geometria é associado ao estudo dos espaços e formas, e somente numa revisão
conceitual do que compreendemos por espaço, enquanto espaço vivido, percebido e mental
e afetivamente representado, assim como de formas não presas e fixas nas folhas do livro
ou do caderno, mas com movimento, de ir e vir, de rotacionar, de desmontar e remontar,
são alguns caminhos propostos para na formação que concebermos como possibilidades de
uma geometria mais viva.
Acontece que no currículo escolar observa-se uma forte priorização da geometria formal
com significativo abandono da geometria como ferramenta de resolução de problemas da
vida concreta. Na escola, com excessiva valorização dos aspectos formais da geometria,
constata-se um distanciamento do seu ensino das situações de vida que dão origem e
sentido aos conceitos e procedimentos geométricos. Portanto, nesta formação é necessário
resgatar uma geometria mais significativa impregnada de motivação sociocultural. Isso
implica a descoberta de outros aspectos epistemológicos acerca desta área de
conhecimento, para o desenvolvimento de uma postura diferente em relação à mesma.
Assim, será possível que estes profissionais, a partir de um novo paradigma, concebam
novas e diferentes formas de mediação pedagógica da geometria na sala de aula nos anos
iniciais do Ensino Fundamental.
Na verdade há uma grande diferença entre aprender álgebra ou análise e aprender
geometria. Teóricos da epistemologia das ciências matemáticas, tal como Poincaré (1968),
francês do início do século XX, apoiados em Kant (apud PIAGET, 1947) já diziam que
enquanto a aprendizagem da álgebra se sustenta num “olhar para dentro”, a aprendizagem
de conceitos geométricos apoia-se num “olhar para fora”. É importante que reflitamos
sobre tal afirmação e suas implicações de ordem tanto psicológica quanto didática, as quais
são de fundamental importância na formação e na atuação dos professores.
Enquanto a fonte da produção dos conhecimentos algébricos sustenta-se na lógica, na
reflexão, na abstração de conceitos formais, ao contrário, a fonte primária e primeira da
construção do conhecimento geométrico pelo homem, é a observação do seu meio ambiente
e a ação efetiva na conservação e na transformação da natureza na busca da própria
preservação, proliferação, sobrevivência, desenvolvimento e transcendência da vida
humana.
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Na formação busca-se discutir como trazer para a práxis pedagógica essa perspectiva que
concebe que o aluno deva agir sobre seu mundo para aprender geometria. Como conceber
uma proposta pedagógica da ação, da representação, da reflexão, permitindo que os
conceitos geométricos sejam produtos mentais produzidos pelos próprios alunos, em sua
efetiva ação sobre seu mundo? O debate acerca da aprendizagem da geometria ainda
9
Observar a natureza, os produtos culturais, agir sobre eles, produzi-los, reproduzi-los,
transformá-los e representá-los mentalmente, criar projetos mentais e buscar concretizá-los,
deve, nesta perspectiva teórica, ser a fonte geradora de saber geométrico, que insere grande
importância para a didática de sala de aula: aprende-se geometria na observação e na
ação efetiva sobre o mundo real. Ninguém pode construir conceitos geométricos pela
simples contemplação inerte do mundo. É sendo agente ativo sobre o mundo que podemos
construir, nos anos iniciais, os conceitos fundamentais da geometria.
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
apresenta um grande desafio tanto para os professores quanto para os pesquisadores. O
conceito geométrico aparece num primeiro estágio atrelado às experiências físicas e
sensoriais (tatos, movimentos e olhares) realizadas no mundo físico que nos cerca. Este
primeiro estágio é concebido como o nível perceptivo, quando os conceitos geométricos
surgem e são dependentes dos sistemas sensoriais. Desde bem cedo, a criança, agindo sobre
contextos reais e próximos a ela, realiza experiências, levanta hipóteses, planeja ações,
avalia resultados e revê posições consideradas importantes na construção dos primeiros
conceitos geométricos.
Associadas as experiências temos as representações mentais: o que o sujeito constrói
mentalmente a partir das ações bem ou mal sucedidas. Tais representações têm a ver como
o sujeito concebe mentalmente suas experiências; como se dá a interiorização do espaço
nas estruturas mentais. Isso nos leva aos objetos geométricos construídos mentalmente que
servem como instrumento para as representações mentais do espaço circundante. As formas
geométricas são exemplos disso, que aparecem como forma de representação do mundo e
dos objetos dele pertencentes. Uma vez concebidos no sistema nervoso central, são por ele
utilizados para assimilar e representar o espaço. Círculo, quadrado, retângulo, esferas e
pirâmides passam a servir para um novo olhar sobre a natureza. Utilizamo-nos das formas
geométricas para representar o mundo à nossa volta e, através de sua representação,
expressar nossos pensamentos e sentimentos. A escola deve levar em conta o
desenvolvimento infantil, uma vez que sendo a representação via desenho uma das
dimensões da geometria, a competência da criança em mobilizar tal representação depende,
dentre outros fatores, do desenvolvimento de sua representação por meio de desenhos.
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Terminada a experiência, o que fica de mais significativo em termos de aprendizagem são
os conceitos construídos na experiência – o aquilo que a experiência permite ao aluno
conceber em termos geométricos. A ação internalizada passa a fazer parte da estrutura
conceitual, constituindo nas ferramentas utilizadas pelo sujeito para resolver problemas. O
que o sujeito concebe das experiências é parte essencial da aprendizagem. Portanto, a
aprendizagem geométrica é alicerçada por essa tríade construída a partir da ação do sujeito
no seu mundo: o que percebe, o que representa e o que concebe da experiência. A
pedagogia deve levar em conta essa tríade na ação educativa.
A nossa discussão acaba por canalizar toda a argumentação acerca da aprendizagem e do
ensino da geometria para a importância da ação efetiva do sujeito para que haja construção
de conceitos: é na ação efetiva, refletindo e representando-a que construímos nossos
conceitos geométricos. Isso trás duas consequências importantes: uma de ordem
psicológica e outra de ordem pedagógica, ambas vitais para a formação do professor.
A dimensão pedagógica desta discussão nos leva à necessária constituição de um currículo
sustentado na ação, reflexão e representação multimediatizada. Não é, portanto, fazendo
com que o aluno fique sentado na carteira, permanecendo entre quatro paredes, lendo o
livro didático, que o educador participará eficazmente do processo de conceitualização
geométrica. Ao contrário, um contexto que favoreça tal processo deve privilegiar, dentre
outros, aspectos como extrapolar o espaço da sala de aula; resgatar o corpo como elemento
vital na orientação e deslocamento espacial; delimitar, demarcar, comparar, medir e
representar, via desenho, diversos espaços de significado sociocultural para o aluno
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(moradia, esporte, escola, etc.); desmontar, projetar, construir embalagens; trabalhar com
jogos tipo quebra-cabeças, explorando a noção de superfície e sua conservação; explorar as
noções de espaço presentes nos esportes; desenvolver jogos por meio dos quais as noções
de espaço sejam centrais, tais como a finca, bolinha de gude, queimada, pipa (sua
confecção e soltar a pipa); trabalhar com croquis, plantas, mapas; valorizar o papel do
desenho no processo de representação de espaços.
Essas são apenas algumas ideias de consequências pedagógicas da valorização da ação
efetiva do aluno sobre seu espaço na construção de conceitos geométricos. Mais que
“reproduzir” tais proposições, cabe ao futuro professor observar os interesses e as situações
que envolvem o espaço e sua representação para, então, propor atividades mais
significativas para o aluno.
Ter a ação sobre os objetos geométricos como base da construção dos conceitos, deve
implicar a introdução de novos materiais no processo pedagógico, novas configurações da
relação professor-aluno, novas concepções acerca do processo de formalização e
institucionalização do saber. Trocar um ensino baseado nas atividades estáticas do livro
didático pela efetiva ação dos alunos sobre os objetos requer um repensar mais amplo da
práxis pedagógica, e, em especial, reenvestir na formação inicial e continuada dos
professores.
Neste sentido tratar da Educação Matemática no contexto da UAB foi, é e ainda será um
grande desafio para os educadores envolvidos no processo formativo, o que, por vezes,
implica numa própria desconstrução e reconstrução diante do desafio em formar
professores na perspectiva da Educação Matemática via educação a distância, atingindo
pólos de variadas regiões com realidades bem diversas.
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PEDEaD. Brasília: UnB, 2007.
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GRUPOS DE ESTUDOS E PESQUISAS NA FORMAÇÃO INICIAL E
CONTINUADA DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: O CASO DO
IFES-VITÓRIA
Maria Auxiliadora Vilela Paiva1
[email protected]
Sandra Aparecida Fraga da Silva2
[email protected]
INTRODUÇÃO
A formação inicial e continuada de professores que ensinam Matemática tem sido
amplamente discutida atualmente. São diversas atuações realizadas a partir de demandas
existentes nos diferentes âmbitos da educação. Em se tratando de ações para Formação
Continuada de Professores no Brasil intensificaram-se a partir da década de 80 (SEF,
1999). Mas somente na década de 90 a formação passou a ser considerada como uma das
estratégias fundamentais para o processo de construção de um novo perfil profissional do
professor. Dessa forma, vários são os espaços e tempos que a formação de professores vem
ocorrendo. Em nosso caso, muitas foram as experiências com a formação de professores ao
longo desses 30 anos. Neste artigo destacamos experiências vivenciadas em grupos de
estudos e pesquisas no Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes - de 2007 a 2012
envolvendo alunos e professores.
Professora doutora em Matemática pela PUC-Rio, área de concentração Educação Matemática.
Aposentada da Ufes e professora da Licenciatura em Matemática e do Mestrado Profissional em Ciências e
Matemática do Ifes-Vitória.
2
Professora doutora em Educação pela Ufes, atua na licenciatura em Matemática e no mestrado
profissional em Ensino de Ciências e Matemática no Ifes/Vitória, é coordenadora de área do Pibid e do
Laboratório de Matemática, e participa dos grupos de estudos e pesquisas Geem-Ifes, Gepem-ES e Gepep.
3
Em dezembro de 2009 o Cefestes passou a constituir o Instituto Federal do Espírito Santo - Ifes.
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Ressaltamos que desde que o Ifes, antigo Cefetes3 tomou como uma de suas metas a
formação de jovens e adultos trabalhadores, por meio do EMJAT (2001), posteriormente o
Proeja (2006), e a formação de professores por meio das Licenciaturas, em particular a de
Matemática (2007, essa política de formação de professores foi impulsionada e, durante
esse processo, grupos de estudos e pesquisas foram se organizando nesse sentido. Foram
introduzidos o Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica – PIBIC, o
Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência - PIBID e a criação do Mestrado
Profissional do Ensino de Ciências e Matemática - Educimat, este último em 2011.
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Dentre os vários espaços de formação do Ifes vamos nos ater em ações do Grupo de estudos
e pesquisas em Educação Matemática do Espírito Santo – Gepem-ES, composto por alunos
da Licenciatura em Matemática do programa PIBIC, professores/pesquisadores do Ifes que
atuam na Matemática e no Mestrado e alunos do Mestrado; e do Grupo de estudos em
educação Matemática do Ifes – Geem/Ifes, vivenciada por alunos da que atuam no projeto
Mais Educação em escolas públicas municipais da Grande Vitória e por professoras da
licenciatura em Matemática.
O GEPEM-ES
Com a criação do EMJAT em 2001, e o Ifes aderindo ao Programa de Integração da
Educação Profissional ao Ensino Médio na modalidade de Jovens e Adultos – Proeja, em
2006, teve início um projeto de formação dos professores que atuam nessa modalidade de
ensino. Em 2008, professores da coordenadoria de Matemática criaram um grupo de
estudos denominado: Grupo de Educação Matemática do Proeja - Gemp. As discussões do
grupo concentravam-se na elaboração de materiais didáticos de Matemática para o Proeja,
na discussão sobre práticas de sala de aula, a metodologia de resolução de problemas, na
valorização de experiências e de culturas de alunos jovens e adultos e no currículo. Esse
grupo contava com o apoio do grupo de pesquisa CAPES/Proeja/SETEC, convênio da
UFES com o Ifes, por meio de suas pesquisas e espaços de discussão. Vale salientar que,
além desse grupo, todos os professores do Proeja participavam, às segundas feiras, de um
grupo no qual se discutiam os sujeitos da EJA, ações de sala de aula do Proeja e currículo
integrado. Com apoio do grupo de pesquisa CAPES/Proeja foram elaborados novos
currículos e discutidos materiais didáticos para áreas afins direcionados ao público jovem e
adulto trabalhador.
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O Gemp surgiu basicamente da necessidade de formação e busca de uma identidade de
professores do Proeja. Mas o foco foi crescendo junto aos anseios e as necessidades, o que
levou, em 2011, a ampliá-lo para um grupo de estudos e pesquisa em Educação Matemática
do Espírito Santo – Gepem-ES4. Abrimos a outros professores e alunos de Matemática do
Ifes que não atuam somente no Proeja, mas também nos cursos técnicos integrados, nas
Licenciaturas e no Mestrado.
O nosso objetivo neste trabalho é trazer para a discussão a forma com que diferentes grupos
de estudos e pesquisas do Ifes, constituindo-se como grupo colaborativo, tem contribuído
na construção de aprendizagens e saberes de professores e de alunos que deles participam.
Ressaltamos também a relação desses envolvidos com os saberes e as mudanças para o
desenvolvimento profissional docente e para a criação de uma identidade profissional
desses atores.
Os grupos colaborativos são nossos objetos de investigação, tanto no que tange ao seu
papel e à sua importância nos estudos sobre a gestão de sala de aula de Matemática, e
consequentemente, na aquisição de saberes docentes e sobre a relação desses professores
com esses saberes. Analisamos situações vivenciadas nos encontros e nas trocas nos
grupos, destacamos que consideramos que todos são epistemologicamente iguais e que as
4
Pontuamos que a partir dessa explicação vamos utilizar ora Gepem-ES e em algumas situações vamos
utilizar Gepem, quando estivermos nos referindo ao grupo antes de 2011.
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diferenças emergem por meio das experiências vivenciadas por cada um dos componentes
dos grupos.
Nesse processo de troca de experiências, de construção de saberes e de mudanças de
postura, o diálogo é fundamental, já que o verdadeiro diálogo mantém vivo a dialética entre
ação e reflexão e contribui para a emergência da aprendizagem e da mudança de postura do
professor nas relações com os saberes (CHARLOT, 2005). O diálogo é essencial para que
possamos “construir uma cultura que implique uma atitude de vida, avançando na
construção de saberes próprios da profissão e projetando o que está por realizar-se”
(PAIVA, 2011, p. 164).
O Grupo que se constituiu como colaborativo partia do princípio de que “a resposta aos
desafios da realidade problematizadora é já a ação dos sujeitos dialógicos sobre ela, para
transformá-la” (FREIRE, 2005, p. 193). E como diz Skovsmose (2007) a aprendizagem é
pessoal, mas tem lugar nos contextos sociais e nas relações interpessoais, emergindo da
comunicação entre participantes. O que move os grupos é a certeza de que todos constroem
conhecimentos na interação com o outro, mesmo que o façam de pontos de vista e
experiências diferentes, sendo a investigação no grupo um espaço do diálogo comum em
busca de formas coletivas de transformar práticas docente e superar barreiras. Fiorentini
(2004) destaca algumas características que se apresentam nesse tipo de trabalho, como
voluntariedade,
identidade
e
espontaneidade;
liderança
compartilhada
ou
corresponsabilidade; apoio e respeito mútuo. O respeito mútuo e o apoio, seja ele
intelectual, técnico ou afetivo, são características no grupo colaborativo, prevalecendo a
confiança e a cumplicidade.
Voltamos a discutir o conceito de colaboração como apresentado por Boavida e Ponte
(2002), sendo um processo mais abrangente, onde colaborar pressupõe o compartilhamento
de processos, incluindo o planejamento, a execução (operar) e a avaliação. Acrescentamos
ainda o sentido de trabalho colaborativo como um grupo que se reúne para compartilhar
ideias e sentimentos, práticas docentes, anseios e medos, expectativas, saberes e vontades.
Partimos do princípio de que, além dos saberes pessoais e da formação escolar, professores
reconstroem saberes provenientes da formação profissional e da socialização nas
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Estudamos sobre Resolução de Problemas numa perspectiva metodológica, pois embasam o
material didático e também o papel das crenças num trabalho de resolução de problemas
por ser parte da pesquisa de três membros do grupo. As discussões realizadas contribuem
para a construção de novos saberes sobre a prática e na prática de sala de aula dos
componentes do grupo e, ainda, para a construção de uma identidade profissional ligada ao
que seja atuar como professor no Proeja.
15
Nos últimos anos, o grupo tem centrado suas pesquisas no Proeja, tanto pela forma que foi
constituído, como pela demanda desses cursos e pelo interesse de seus membros. Para dar
suporte às ações do grupo que se refere à produção do material e criar um conhecimento
maior do que seja trabalhar no Proeja, foram incorporadas às discussões e reflexões do
grupo teorias que embasassem o trabalho e relatos de experiências de sala de aula. A
princípio as reuniões eram semanais, mas a partir do segundo semestre de 2009 elas
passaram a ser quinzenais, devido ao acúmulo de trabalho dos professores.
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instituições de formação, em contato com os currículos e materiais didáticos que utilizam
em sua prática. Todos esses saberes são realmente utilizados pelos professores no contexto
da profissão e em sala de aula.
De 2008 a 2010, foram produzidos pelo grupo um total 10 módulos5 e já testados durante 2
anos no Proeja. No momento, o grupo está revendo e adequando esses materiais
construídos e escrevendo os manuais do professor para cada módulo. Para esta tarefa
contamos com alunos do PIBIC que tem como projeto de iniciação científica esse olhar
epistemológico ou conceitual para os materiais e uma aluna do Mestrado Profissional que
se debruça em analisar como o professor interliga o ensino-aprendizagem da Matemática do
Proeja e o Projeto Integrador. Novos materiais estão sendo discutidos e elaborados e, novas
problemáticas surgem nessas discussões.
A formação dos alunos da Licenciatura em Matemática que estão no PIBIC possui
interseções com o grupo colaborativo GEPEM-ES já que esses alunos participam
ativamente. Dentre os trabalhos desenvolvidos até o momento temos:
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Projeto de iniciação científica
Período de
realização do
projeto
As crenças que os alunos do PROEJA/ IFES sustentam sobre sua
aprendizagem num trabalho via resolução de problemas
2009-2010
A construção colaborativa do material didático de Matemática do
Proeja e sua contribuição na integração curricular
2009-2010
As crenças que os alunos do PROEJA/ IFES sustentam sobre sua
aprendizagem num trabalho via resolução de problemas
2010-2011
As crenças sobre resolução de problemas dos professores do
Proeja/ Ifes a partir de suas histórias de vida
2010-2011
A produção de materiais didáticos como um caminho para
formação de professores de Matemática do Proeja
2010-2011
Experiências de alunos do Proeja: uma possibilidade de inclusão
2010-2011
O conceito de função como elemento de integração curricular e sua
abordagem em um material didático para o Proeja
2011-atual
O conceito de proporcionalidade como elemento de integração
curricular e sua abordagem em um material didático para o Proeja
2011-atual
Conceitos geométricos em bordados manuais de artesanato:
organizando atividades e analisando construções do conhecimento
matemático em turmas de Proeja
2011-atual
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Maiores informações sobre a elaboração e concepção do material ver Freitas (2010)
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Quadro 1 – Projetos de PIBIC realizados por alunos da licenciatura em Matemática
A formação inicial dos alunos da licenciatura em Matemática com atuação no PIBIC e
o Gepem-ES
Muitos são os depoimentos desses alunos sobre a importância das participações no grupo
em sua formação como professor de Matemática. Os conteúdos discutidos na elaboração do
material, a teoria de resolução de problemas, os relatos de experiência dos professores que
atuam no ensino Médio do Ifes, em particular no Proeja , e os relatos das pesquisas do
PIBIC são uma fonte para produção de saberes e de reflexões. A aluna Gisely6 ao falar da
pesquisa sobre crenças de alunos do Proeja sobre a resolução de problemas coloca como foi
importante para sua formação e como conseguiu perceber a relação dessa aprendizagem
com outros projetos que participa,
Aprendi o que era fazer uma pesquisa, o papel da teoria na análise dos dados
e, sobretudo, a ter um novo olhar para o Proeja. Eu gostava muito da pesquisa
que desenvolvia, mas ao ingressar no Mais Educação, nas ações do ensino
fundamental - enquanto monitora de Matemática, não achava que fosse ter o
mesmo olhar que tinha no PROEJA - enquanto pesquisadora. E, no entanto,
tive (Gisely– questionário do grupo GEEM/Ifes dez/2011).
A vivência no grupo e a pesquisa desenvolvida lhe ajudaram a desenvolver o espírito crítico
e sobre tudo a dialogar e a lidar com a diferença. O Olhar sobre as crenças, o que aprendeu
na pesquisa desenvolvida no Gepem, também fez diferença nesse trabalho e lhe ajudou a
ver o outro e a aprender na interação. Assim ela diz:
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Utilizamos nomes fictícios tanto para licenciandos como para os professores dos grupos citados.
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Não somente ela, mas a aluna Edna ao se referir ao papel do Gepem em sua formação
afirma que nele aprendeu a pesquisar e a se relacionar e a trabalhar em grupo. Diz ela que
aprendeu muito na interação com o outro e ao ouvir e refletir com as experiências relatadas
pelos professores, pois ao ver as relações que eles estabeleciam ao refletirem e discutirem
as questões ligadas ao material elaborado, ou à gestão de sala de aula, ou às crenças de
alunos e professores, muitos foram os saberes estabelecidos. Essas alunas continuam no
grupo, mas agora já no desenvolvimento do TCC. É nítido que a postura dessas alunas
mudou ao longo desses dois anos. São mais conscientes de suas responsabilidades em
relação ao seu próprio desenvolvimento profissional e à formação de sua identidade
docente.
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Ao lidar com uma turma heterogênea no ensino fundamental (composta por
alunos de 2º, 3º, 4º e 5º anos), com diferentes idades e experiências com a
Matemática, identifiquei neles alguns tipos de crenças e tentei desenvolver um
trabalho – o que incluiu mudança de minha própria postura enquanto docente
– no sentido de modificar crenças e, por conseguinte, atitudes. O mais
interessante é que só me dei conta de tudo isso com o tempo. Enfim, eu também
modifiquei minhas crenças com relação à atividade docente e por que não
dizer, com a Matemática (Gisely – questionário do grupo GEEM/Ifes
dez/2011).
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A formação continuada dos professores participantes do Gepem-ES
Mudanças de atitudes e concepções ocorrem nessa interação, e nesse momento nos
reportamos aos professores que constituem o grupo colaborativo em seus processos de
reflexão ao relatar suas experiências. Iniciamos com a fala do professor Bernardo, ao se
referir ao grupo e à sua prática:
Antes de relatar o que aconteceu na sala de aula e como eram feitas as
abordagens, gostaria de informar que primeiramente deve ser feito um
trabalho com o professor, nós professores de uma forma geral temos as
mesmas dificuldades de inovar, assim como as demais profissões. [...] tais
mudanças de comportamento não podem ser impostas e sim debatidas, acredito
que no grupo de discussão de professores de Matemática das turmas Proeja“GEMP”,[...], foi um fator preponderante para eu confiar na mudança. Na
verdade os alunos sentem menos impactos que o professor, pois o mesmo agora
se encontra frente de um novo desafio, que nem ele mesmo sabe se terá sucesso.
Lecionar sem responder perguntas de imediato, propor trabalhos em grupos,
fazer diversas perguntas para os alunos sobre um mesmo assunto ou cálculo,
auxiliar no desenvolvimento do raciocínio lógico nos alunos, é algo
extremamente desgastante, mas o retorno profissional em termos de satisfação
de um trabalho bem feito é muito gratificante (Bernardo, 2008).
A afirmação do professor sobre o papel do grupo nas mudanças de suas atitudes em aula, ao
dizer: “foi um fator preponderante para eu confiar na mudança”, mostra como o grupo
propicia ao professor espaço de relação com novos saberes, gerando um sentimento de
confiança para inovar, aceitar o desafio de trabalhar numa outra perspectiva, sem medo,
pois tem o grupo para compartilhar dúvidas e avanços.
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O mesmo ocorreu com a professora Claudia, que relata numa entrevista como o grupo tem
sido importante na construção de seus saberes acerca do Proeja, da resolução de problemas,
da gestão de sua sala de aula e na interação com os alunos. Percebemos em sua fala a
confiança em seu crescimento profissional, como professora do Proeja.
Durante os trabalhos do Gemp eu desenvolvi muito profissionalmente. Todas
as discussões e reflexões me ajudaram a entender o aluno PROEJA, eu passei a
conhecer melhor a realidade dos alunos e aprendi a ouvi-los mais, a dar mais
valor a cada sucesso alcançado pelo meu aluno. Outro ponto que considero
fundamental foi aprender a trabalhar com Resolução de Problemas. Sempre
tive muitas dúvidas e medos quanto à forma de trabalhar a resolução de
problemas. Não sabia se estava no caminho certo, se os alunos estavam
entendendo e, principalmente, como sistematizar o conteúdo. As discussões do
Gemp sempre me apoiaram muito. Foi no grupo que eu aprendi a ensinar a
Matemática de uma forma mais prazerosa (Professora Claudia, 2010).
No caso em questão, verificam-se como os conhecimentos relacionados à forma de ensinar
Matemática no Proeja, à Resolução de Problemas e à importância do diálogo na
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aprendizagem foram construídos na interação com o grupo. São esses conhecimentos parte
do saber pedagógico-disciplinar (SHULMAN, 1986) que integram um conjunto de saberes
próprios dos professores, conhecimentos sobre a Matemática; sobre como ensinar e que
conteúdos ensinar. A professora Claudia e o professor Bernardo atribuem ao grupo a
confiança adquirida para trabalhar com Resolução de Problemas. Encontraram no grupo
respaldo para inovar e refletir sobre os novos conhecimentos, transformando-os em saber
da e na prática.
O professor Alexandre também nos mostra na entrevista a importância da troca de
experiências nas reuniões, que, conforme diz, ajuda na relação com os alunos e nas ações
de sala de aula:
Penso que nossas reuniões são de extrema importância. Nelas podemos trocar
experiências e tratar de nossas ações com os alunos [...]. Acho que uma
questão importante construída nessa troca é a atenção ao diálogo, seja com os
alunos seja com os colegas professores.
Coloca ênfase no diálogo como um saber construído a partir das interações do grupo e da
reflexão sobre as experiências relatadas. Constatamos mais uma vez que o grupo
colaborativo contribui eficazmente para a formação do professor já que proporciona a ele
uma relação com seus pensamentos, com uma forma de agir baseada no princípio de que
“toda relação com o saber é também relação com o outro” (CHARLOT, 2005, p.27).
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Gostaria de relatar o que está acontecendo comigo. Um aluno me procurou e
falou: ‘professor, eu quero te contar uma coisa que não vai ser muito legal’. Eu
falei: ‘o que foi?’ As suas aulas você está debatendo, você leva a conversa para
o lado do social, usamos muito a máquina, mas está faltando um pouco pegar
no quadro, [...] Eles falam que eu devia ir ao quadro, fazer para eles e entregar
as resposta e não deixá-los pensar. A parte chata nisso é que ao usar a
proposta de trabalho que nós estamos discutindo aqui têm uns três caras,
meninas falando que eu não estou dando aula de Matemática. Que a minha
aula parece mais um debate social, porque eu levo a Matemática para outras
áreas e que eu dou poucas respostas no quadro, resumindo, eu ensino pouco,
eu os deixoeles pensarem mais, e que o caderno de Matemática sempre tinha
dez páginas de exercícios por semana, agora só tem três páginas de exercícios.
Eu ouvi e nem falei que eu estava certo ou que estava errado, falei que ia ver.
Eu falei assim, eu nunca recebi uma crítica dessas, que não estou dando aula,
que isso não é aula de Matemática. Esse tipo de trabalho gerou problemas
para com a minha pessoa de que não estou dando aula. (Prof. Bernardo, 2008)
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Outra contribuição importante do trabalho via colaboração, presente nesses relatos, é
constituir-se uma estratégia fundamental para lidar com problemas e questões com que não
nos sentimos confortáveis, por falta de conhecimento e prática, pois o grupo nos põe diante
de parceiros que nos ajudam a refletir e tomar decisões. As angústias relatadas pelo
professor Bernardo reforçam o papel do grupo na construção de saberes e na mudança de
atitudes dos professores.
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Essa reunião ficou marcada com nitidez, bem como o desabafo e a expressão angustiada do
professor. Colocamos nossas experiências no que tange à mudança de paradigma. Outros
colocaram a importância do grupo nessa hora e a necessidade de se estudar a teoria que
embasa uma prática via resolução de problemas. Freitas (2010), ao relatar em sua tese a
elaboração do material didático do Proeja e discussões e reflexões no grupo colaborativo, se
reporta à fala desse professor e reforça a importância do espaço de trocas que o Gemp
proporciona.
Era interessante termos espaço para esse tipo de trocas de
experiências, ao mesmo tempo em que compartilhávamos nossas
angústias e dávamos força um para o outro na mudança de
paradigma, o que era bastante doloroso para alguns de nós. Imagina
um professor, considerado bom profissional ouvir críticas de uma
hora para outra em relação à sua forma de ação (FREITAS, p.198).
O que foi interessante nesse processo foi o outro relato do professor Bernardo após alguns
minutos que estávamos discutindo a questão de iniciar um processo novo que ainda não nos
sentimos confortáveis.
Eu acho que estou no caminho certo, estou gostando de dar uma aula onde eu
não dou a resposta pronta e eles têm que pensar. Só que eu não quero também
que a cultura de achar que eu não estou dando aula se espalhe na sala. Eu
tenho certeza que estou fazendo o trabalho certo, [...] Mas é uma crítica que eu
não podia deixar passar em branco, eu tenho que tentar sanar (Professor
Bernardo, 2008).
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O grupo todo se mobilizou para tentar entender o que se passava com o professor Bernardo
e esse relato permitiu que novos saberes sobre a sala de aula fossem construídos, bem como
o conhecimento de que mudanças de atitudes e de metodologias precisam ser revistas e
revisitadas a todo o momento, pois geram insegurança. E, como nos fala Freire (2005), o
aluno da EJA, excluído do sistema escolar, quer para sua formação uma sala de aula com a
mesma metodologia que o tirou desse sistema, pois é essa a escola que conhece. Seria esse
o motivo dos questionamentos dos alunos ao professor Bernardo?
Várias são as falas que remetem á concepção do material e à importância de discutirmos no
grupo os conteúdos e a proposta metodológica nele contido. Uma das questões postas pelo
grupo é a que professores que não participaram dessa elaboração, precisam ter um espaço
para falar e refletir sobre a concepção que o embasa. Dessa forma, as discussões sobre o
material didático têm ocupado uma grande parte das reuniões. A Professora Julia em 2011,
também, antes de fazer a narrativa de suas aulas no Proeja, fez uma ressalva: “Depende se
eu vou usar o material [referindo-se ao material didático do PROEJA] ou não”. Nas
discussões chegamos à conclusão que sem o material sua aula ficaria bastante tradicional.
No entanto, com o material, mesmo sem muito conhecimento sobre o trabalho com a
Resolução de Problemas, a aula se torna um pouco mais centrada nos alunos.
Essas falas nos mostram como as reuniões e discussões do grupo podem modificar ou levar
a mudanças de posturas do professor. Discutir sobre as atividades a serem trabalhadas com
a turma do Proeja, verificando objetivos e, permitindo que outros olhares sobre a atividade
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surjam nas interações do grupo, tem sido uma constante em nossas reuniões. Isso contribuiu
para o crescimento do professor e construção de novos saberes sobre a prática. Mais uma
vez os saberes pedagógico-disciplinares se fazem presentes no grupo colaborativo e o
professor, a partir das reflexões com o grupo, os incorpora à sua prática.
Outro grupo o Geem-Ifes, no qual alguns dos componentes, sejam alunos ou professores
participam também do Gepem-ES, vivenciam diferentes discussões nas quais as
experiências vividas e as reflexões se entrelaçam muitas vezes.
O GEEM-IFES
Esse grupo de estudos propõe discussões e análises de experiências vivenciadas por alunos
da licenciatura em Matemática do Ifes/Vitória que atuam no projeto Mais Educação em
escolas públicas municipais da Grande Vitória. As reuniões iniciaram em março de 2011 e
acontecem quinzenalmente, contam com a participação de duas professoras da licenciatura
em Matemática que possuem importante experiência em sala de aula do ensino
fundamental.
A dinâmica organizada para esse grupo é análise e reflexão sobre os espaços tempos que
atuam, sobre o processo de ensino e aprendizagem de Matemática, sobre questões éticas e
pedagógicas e sobre a Matemática necessária para o ensino fundamental. Discutimos as
atividades que os licenciandos preparam para desenvolverem nas oficinas com os alunos e
sugerimos modificações, ampliações e/ou reduções das sequências didáticas elaboradas.
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Defendemos a necessidade de constituir espaços de formação tanto inicial como continuada
com grupos de estudos e pesquisas. Quando realizamos essas experiências com
licenciandos estamos oportunizando diferentes aprendizagens, desde realizar uma análise
sobre sua prática nas oficinas como perceber sutilezas que a pouca experiência ou a não
compreensão total do processo de ensino e aprendizagem podem proporcionar. Esses
grupos se tornam espaços-tempos de aprender a “ser e tornar-se” professor. A prática de
sala de aula do professor passa de campo de aplicação de conhecimento a campo de
21
Utilizamos como proposta metodológica a reflexão crítica sobre as práticas vivenciadas por
acreditarmos, assim como Llinares e Krainer (2006), que professores e futuros professores
precisam ser vistos como construtores ativos dos seus próprios conhecimentos. Por esse
motivo, precisam ser encorajados a refletir sobre suas próprias práticas e modificá-las
quando for apropriado. Esse processo de trabalhar oficinas de Matemática gera momentos
em que os alunos vivenciam práticas que precisam ser refletidas criticamente e analisadas
para que possam se tornar fonte de conhecimento e saberes. Nossa intenção em realizar tais
práticas é por defendermos que é a partir da reflexão sobre as experiências vividas e, não
apenas, pelo fato de vivermos experiências que produzimos significados e aprendizagens.
Percebemos que ao ouvirmos outras experiências também aprendemos, seja para repetir
alguma prática que deu certo ou para servir de impulso para a produção de outras práticas.
Relembrar os acontecimentos e relatá-los de relatar de “forma clara para os outros membros
do grupo, pois precisamos reviver, analisar e reconstruir as experiências vividas, ou seja,
refletir criticamente sobre nossas práticas” (SILVA, 2011, p. 3).
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produção de conhecimento, dentro de uma perspectiva de reflexão sobre essa prática
conferindo voz ao aluno/professor. Retomamos “à dimensão humana da prática educativa e
a uma relação que permita ouvir e dar voz ao professor, conferindo status de grande
importância aos seus relatos, quando fala de seu trabalho” (PAIVA, 2006, p. 95)
percebendo que essas histórias de vida promovem construção de saberes.
Iniciamos as atividades desse grupo de estudos com relatos dos alunos sobre a participação
dos mesmos no projeto Mais Educação. Eles comentaram sobre os anseios e as dificuldades
que vivenciaram em 2010, quando ainda não participavam do grupo. As ações eram
pensadas por eles e executadas sem reflexões aprofundadas. Os licenciandos apontaram
como positiva a possibilidade de partilhar as experiências vivenciadas e ter um grupo no
qual poderiam discutir questões relacionadas as oficinas que preparavam e executavam em
três escolas diferentes. Uma questão que nos chamou a atenção foi o fato dos licenciandos
atenderem alunos de diferentes séries/anos numa mesma oficina. O aluno Altair7 atuava em
2011 com crianças que cursavam do 5º ao 8º anos, ele pontuou que era complicado atender
as diferentes demandas dos participantes da oficina, pois alguns já sabiam conteúdos de
Matemática que outros ainda não tinham aprendido. Gisely partilhou que atuava com
alunos de 4º e 5º anos e que a maior preocupação era em atender as dificuldades desses
alunos de maneira adequada. O licenciando Lucas comentou que estava atuando com
alunos de 9º ano e que tinham alunos que estava participando do programa pelo segundo
ano, o que facilitava o desenvolvimento dos trabalhos. Já Talita e a Carla comentaram que
atuavam em dois grupos de alunos, um do 5º ano e outro do 7º ano e que tinham alunos que
já haviam participado do projeto.
Notamos que com o início das atividades do Geem-Ifes os licenciandos ficaram menos
ansiosos e mais seguros, pois tinham com quem partilhar suas experiências, dúvidas e
vitórias. Nesse grupo lançávamos alguns questionamentos e deixávamos os integrantes à
vontade para partilhar suas próprias ações. Essa atitude de escuta influenciou positivamente
o desenvolvimento das atividades.
Percebemos que a atuação desses licenciandos no projeto Mais Educação é algo que está
colaborando com o crescimento desses alunos na sua formação docente. Em um
questionário realizado no grupo ao final de 2011, Gisely destacou a abertura de visão dela
em relação ao atuar na escola.
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22
O Projeto Mais Educação surgiu como a primeira oportunidade que tive de
atuar em sala de aula. A partir de então, as discussões realizadas na
graduação começaram a ter significado para mim. O modo como teoria e
prática se completava em minha atuação no projeto foi algo que me
surpreendeu.
Em um dos encontros Lucas nos relatou que estava preocupado com uma aluna que
participava das oficinas disse que essa aluna era quieta, mas que realizava as atividades
propostas, porém, nos últimos encontros ela não estava progredindo nas aprendizagens.
Iniciamos um debate sobre questões pertinentes ao olhar atento do professor aos alunos
com necessidades especiais. Pontuamos histórias de sucessos e insucessos, o que nos
7
Nomes fictícios para preservar a identidade dos licenciandos.
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permitiu refletir sobre a necessidade de valorizar os alunos e estar atentos a mudanças de
posturas. Sugerimos que ao invés de brigar com a aluna que valorizasse algo que ela
realizasse bem. No encontro seguinte, o licenciando comentava satisfeito o resultado,
afirmando que ao elogiar a aluna numa atitude dela a mesma se transformou e voltou a
realizar as atividades da oficina. Um destaque pontuado por Lucas em uma das reuniões foi
a importância de ouvir o relato de outras licenciandas, o que num momento de adequação
as demandas vividas lembrou-se do relato e aproveitou a situação para desenvolver algo
semelhante. Essa atuação do grupo marcou o Lucas, como podemos verificar nas próprias
palavras dele sobre a aprendizagem no grupo:
Ainda que tivesse liberdade para escolher conteúdos e metodologias, no
primeiro ano faltou um apoio efetivo em relação à área específica. As
discussões feitas nas reuniões grupo de estudo promoveram reflexões sobre
atividades realizadas e mudanças em minhas práticas docentes. O maior
exemplo dessas mudanças que guardo é do episódio com uma aluna, que
chamarei de Maria (nome fictício). Ela sempre foi uma aluna introvertida, que
sentava no fundo da sala, que realizava todas as atividades, mas não se
manifestava durante as aulas. Certo dia, notei que Maria havia mudado seu
comportamento. Ela de repente passou a não realizar as atividades propostas.
Sem saber o que fazer, compartilhei essa situação em uma das reuniões do
grupo. As professoras orientadoras do grupo sugeriram tratar Maria de uma
forma diferente, elogiando-a e valorizando-a. Na aula seguinte, fiz o que me foi
sugerido. Foi impressionante a mudança de comportamento de Maria. Neste
dia, fiquei muito feliz e vi na prática a importância de discutir minhas práticas
num grupo de estudo.
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Outra oportunidade proporcionada nesses encontros foi em relação ao conhecimento sobre
os alunos. Os participantes começaram a prestar mais atenção as reações dos alunos e a
tentarem realizar diferentes tarefas e de diversos modos para tentar atingir a todos. O
interessante é que a partir da reflexão sobre a prática foi possível que os próprios
licenciandos buscassem compreender as relações estabelecidas entre professores e alunos e
entre os próprios alunos.
23
Como uma das atividades a ser relatada ao grupo, os licenciandos precisavam apresentar os
locais da escola nos quais realizavam as oficinas de Matemática. Refletir sobre esses locais
foi interessante, pois nos fez refletir sobre as condições de ensino e aprendizagem dos
alunos da educação básica. Com base em fotos e filmagens cada licenciando apresentou seu
ambiente de atuação nas oficinas fazendo considerações sobre o próprio trabalho pontuando
o que o ambiente lhe fornecia de positivo e de negativo e refletindo sobre a dinâmica
necessária para a continuidade das oficinas de Matemática. Essas falas contribuíram para o
processo de formação desses licenciandos, pois percebemos como o ambiente e seus
agentes contribuem ou atrapalham o processo educacional. Inclusive, após a fala de Gisely,
na qual mostrou uma situação quase caótica de atuação, os demais membros do grupo
reformularam suas falas, em especial, suas reclamações. Eles perceberam que as condições
nas quais atuavam estavam melhores do que outras e que precisavam repensar suas
afirmações.
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Uma aprendizagem adquirida nos encontros do grupo Geem-Ifes é a necessidade de realizar
registros das atividades desenvolvidas durante as oficinas para ajudar nas reflexões sobre o
processo que foi realizado e para planejar os próximos passos. Notamos que o Altair faz as
oficinas intuitivamente, participa pouco do grupo e não possui o hábito de preparar, com
isso possuía dificuldades de relatar o que tinha desenvolvido até por não possuir registros
escritos sobre o processo. Percebemos a pouca maturidade desse graduando e como a não
reflexão crítica do processo não lhe ajudava a compreender o processo de ensino e
aprendizagem da Matemática. Lucas pontuou como era importante para ele o registro e
como essa prática o ajudava a compreender o processo já ocorrido e a planejar novos
passos. Em diferentes momentos pedimos para que os licenciandos redigissem relatos
dessas práticas para que pudessem ser debatidos nos encontros.
O grupo como espaço que proporciona reflexões e como ambiente em que se partilha
experiências positivas e negativas foi pontuado por Gisely ao afirmar que:
O grupo de estudos foi o espaço em que pude contar minhas experiências (e,
muitas vezes, desabafar!), ouvir sobre as atividades desenvolvidas pelos demais
monitores, receber sugestões, etc.. A partir das reuniões, comecei a me
pressionar menos no sentido de alcançar resultados quantitativos no que se
refere ao desempenho dos alunos. Também entendi que os desafios que
enfrentamos na atividade docente, na verdade, ocultam possibilidades que
somente são vistas quando se tem sensibilidade. Percebi que atividades simples
podem fazer toda a diferença na aprendizagem dos alunos quando os objetivos
estão bem definidos. Enfim, o grupo propiciou a mim reflexões que talvez não
tivessem ocorrido sem a participação no mesmo.
Os participantes desse grupo de estudos e pesquisas comentam sobre a importância desse
espaço de troca para proporcionar uma visão mais ampla de trabalhos e atitudes em
atividades desenvolvidas nas aulas e/ou oficinas de Matemática. Acreditamos na influência
desse tipo de ações para o processo de formação “para que os professores compartilhem
suas experiências, reflitam sobre seus fazeres e possam ouvir e serem ouvidas, para
relatarem suas vitórias, seus anseios e buscarem juntos caminhos possíveis para
desenvolverem em sala de aula” (SILVA, 2011, p. 9).
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24
CONCLUSÕES
As interações e discussões no coletivo nos mostraram os entraves e possibilidades desse
processo, corroborando com a conclusão de que a aprendizagem depende das relações
interpessoais e, consequentemente, da qualidade do contexto. Nessa partilha de
experiências com alunos e professores, nesses dois grupos, percebemos que a colaboração
com o grupo é no sentido de que novos saberes sobre a prática são construídos e saberes já
fortalecidos são reavaliados, como é o caso da aluna que relatou sua pesquisa sobre crenças,
por exemplo.
O importante caminho trilhado pelos alunos da Licenciatura e pelos professores de
Matemática do Ifes e as relações vividas no processo de formação, tanto inicial como
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continuada, justificam a permanência e a necessidade desses grupos para o
desenvolvimento profissional de todos os envolvidos. Ressaltamos a importância de que as
relações entre professores/pesquisadores e licenciandos, compartilhando saberes e
experiências docentes, com um objetivo comum conduzem à formação profissional com
vistas à construção de uma identidade docente. Os alunos e professores do Gepem e do
Geem trazem consigo o desejo de aprender e de mudar o que contribui para dar movimento
aos grupos, que a cada dia constituem-se colaborativos. Ao aliar esse desejo aos saberes,
experiências, espírito investigador e reflexões conjuntas, uma nova cultura de formação que
dê voz ao professor vai se constituindo, diálogos vão se estabelecendo e mudanças se
tornam possíveis.
Entendemos que o processo de construção de saberes e a forma como o professor se
relaciona com esses saberes são o caminho para o desenvolvimento profissional e para
mudanças. Autores como Schulman, Charlot, Paiva, Freitas, Freire, Silva nos ajudaram a
olhar para os diversos saberes construídos pelos professores e alunos no que se refere ao
trabalho colaborativo, ao ensino-aprendizagem da Matemática no ensino fundamental, ao
Proeja, à Matemática a ser ensinada no Proeja, valendo-se para isto da elaboração do
material didático, discussões do currículo e de experiências de sala de aula e de oficinas de
matemática elaboradas por professores e alunos da licenciatura.
Paiva (2011a, p. 12) nos diz que “constatamos que o caminho percorrido pelo trabalho
colaborativo é, quase sempre, imprevisível, mas determinado por todos os integrantes do
grupo, além de ser um espaço privilegiado para a tomada coletiva de decisões”. Por esse
motivo, acreditamos nos grupos de estudos e pesquisas como espaços de formação docente.
E é esta certeza que nos move.
REFERÊNCIAS
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In: GTI(Ed). Reflectir e investigar sobre a prática profissional. Lisboa: APM, 2002.
pp.43-55.
CHARLOT, Bernard. Relação com o saber, Formação dos Professores e Globalização:
questões para a educação hoje. Porto Alegre: Artmed Editora, 2005.
FREITAS, Rony Claudio de Oliveira. Produções colaborativas de professores de
Matemática para um currículo integrado do Proeja-Ifes. Dissertação de Doutorado em
Educação - Programa de Pós-Graduação em Educação, Universidade Federal do Espírito
Santo, Vitória, 2010.
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FREIRE, Paulo. Pedagogia do Oprimido. 46ª Ed. São Paulo: Paz e Terra, 2005.
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FIORENTINI, Dario. Pesquisar práticas Colaborativas ou pesquisar colaborativamente? In:
BORBA, M. C.; ARAUJO, J. L. Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. Belo
Horizonte: Autêntica, 2004.
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
LLINARES; S.; KRAINER, K. Mathematics (student) teachers and teacher educators as
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mathematics education: past, present and future. Rotterdam, The Netherlands: Sense
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PAIVA, M. A. V. O Grupo Colaborativo do GEMP como contexto de construção de
saberes e de relação com os saberes. Caderno de Pesquisa em Educação. UFES –
CE/PPGE, v.17, n.35. Vitória: PPGE, 2011, p.161-193.
PAIVA, M. A. V. O professor de Matemática e sua formação: a busca da identidade
profissional. In: PAIVA, M. A. V. & NACARATO, A. M.(ORG). A Formação do
professor que ensina Matemática: perspectivas e pesquisas. Belo Horizonte: Autêntica,
2006, pp.89-112.
PAIVA, M. A. V. Professores, construção de saberes e a relação com esses saberes num
grupo colaborativo. IN: ANAIS da XIII Conferência Interamericana de Educação
Matemática – CIAEM. Recife, 2011a.
SHULMAN, L. S. Those who understand: knowledge growth in teaching. EUA:
Educational Researcher, v.15, n.2, pp. 4-14, 1986.
SILVA, S. A. F. Da. Grupos de estudos sobre Matemática e sua influência em
aprendizagens de professoras. IN: ANAIS da XIII Conferência Interamericana de Educação
Matemática – CIAEM. Recife, 2011.
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SKOVSMOSE, Ole. Tradução de Orlando de Andrade de Figueiredo. Diálogo e
Aprendizagem em Educação Matemática: Incerteza, Matemática, Responsabilidade. São
Paulo: Cortez, 2007.
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UM ESTUDO DAS OPERAÇÕES ELEMENTARES COM
PROFESSORAS DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL
Marilena Bittar, Rosane Corsini Silva Nogueira.
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, Rede Municipal de Ensino de Campo
Grande.
[email protected], [email protected]
RESUMO
O presente texto relata e traz impressões, observações e intervenções relativas a um projeto
desenvolvido no ano de 2010 com professoras das séries iniciais do Ensino Fundamental de
duas escolas Municipais de Campo Grande. O objetivo desse projeto foi suscitar discussões
acerca do trabalho sobre operações aritméticas básicas com e sem a utilização de materiais
diversos. É possível observar que um trabalho de formação continuada em serviço e em
ambiente de colaboração favoreceu o surgimento de questões tanto relativas a conceitos
matemáticos quanto ao o uso de materiais didáticos.
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No 1º semestre de 2010 propusemos um projeto de extensão para discutir as quatro
operações com professoras dos anos iniciais do ensino fundamental de duas escolas de
Campo Grande. A origem dessa proposta foi uma oficina realizada no segundo semestre de
2009, por uma professora da escola, dos anos finais do ensino fundamental que utilizava o
quadro valor de lugar materializado (que chamaremos nesse texto de sapateira). Durante a
oficina, ao perceber as dúvidas das professoras em relação ao trabalho com a operação de
adição utilizando a sapateira, a professora ministrante sentiu a necessidade de prosseguir
com o trabalho, conversou com as equipes técnicas de duas escolas municipais, que
concordaram em dar continuidade ao trabalho com as professoras regentes dos anos
iniciais. Essa professora nos procurou propondo um projeto que viabilizasse o estudo das
quatro operações com as professoras supracitadas. O projeto foi feito e demos início às
reuniões que duravam cerca de uma hora e meia e eram realizadas aos sábados com
alternância de 08 semanas. No intervalo entre uma reunião e outra as professoras
participantes do grupo podiam trocar ideias com uma das coordenadoras do projeto que
também é professora das duas escolas envolvidas com o projeto. No primeiro encontro
esclarecemos que não se tratava de oferecimento de um curso, com aulas nas quais a
posição dos participantes é passiva, mas sim de debates em torno do tema As operações
aritméticas. Nossa proposta era desenvolver uma parceria entre professores da universidade
e da escola. No quadro a seguir fornecemos um resumo do tema tratado em cada reunião,
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O CONTEXTO
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para dar ao leitor uma ideia de todo o projeto realizado, e em seguida passaremos à
apresentação das principais questões discutidas.
A adição e o sistema de numeração decimal (SND)
Para dar início ao debate e levantar questões sobre o sistema de numeração decimal,
apresentamos slides contendo extratos de avaliações aplicadas no 6º ano, contendo
exercícios desenvolvidos incorretamente pelos alunos. O primeiro slide tinha três extratos e
foi solicitado que o grupo buscasse compreender as razões dos erros.
Figura 1: Erros em avaliação do 6º ano
Após um tempo de discussão uma das professoras fez a seguinte observação:
Para mim ficou claro que a dúvida desse aluno está relacionada ao
não conhecimento das unidades, dezenas e centenas. Ele não colocou
unidades embaixo das unidades e dezenas embaixo de dezenas.
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Outra participante disse que na segunda resolução (376-98) o aluno parece ter tido dúvidas
quanto ao posicionamento do 98. Nesse momento houve uma breve discussão sobre o
significado de valor posicional no sistema de numeração decimal. Decidimos então propor
a realização do jogo Nunca 4, com o auxílio da sapateira.
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Reunião
Assunto tratado
1ª
Apresentação do grupo. Análise de resolução de alunos sobre adição e
subtração. Jogo “Nunca 10”. Sistemas de numeração decimal
2ª
Apresentação do Jogo do Pirata.
3ª
Adição, com e sem o auxílio de materiais diversos.
4ª
Continuação da discussão sobre o SND e Valor Posicional com e sem o
auxílio de materiais diversos. Introdução à subtração: conceitos, ideias
relacionadas.
5ª
Continuação da subtração. Início da Multiplicação: ideias e construção do
algoritmo.
6ª
Conclusão da multiplicação.
7ª
Divisão: do conceito à construção do algoritmo.
Durante a discussão todos do grupo participavam com ideias, ajudando a formar números e
representar nos sistemas vistos. Um ponto forte desse debate deu-se quando o grupo foi
convidado a responder se o sistema de numeração Romano tem ou não valor posicional e
para auxiliar foi fornecida a escrita do 9 e do 11, IX e XI, respectivamente. A maioria das
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Após essa explicação foram realizadas algumas adições com o referido material. Nesse
momento as participantes afirmaram terem compreendido melhor a ideia de agrupamento.
Visando melhor discutir valor posicional e a importância do zero apresentamos outros
sistemas de numeração, iniciando com o Babilônio, em seguida o Egípcio, o Romano e o
Maia. Nas explicações ressaltávamos características de cada um, tais como suas bases e
propriedades (aditivo e/ou subtrativo, existência do elemento neutro,...). Salientamos, por
exemplo, que o sistema de numeração egípcio não tem valor posicional, e que o símbolo
, usado no sistema de numeração babilônio, pode representar o 1 ou o 60 e assim, para
sabermos a que o símbolo está fazendo referência é necessário conhecer o contexto do
problema: se lemos, por exemplo, que uma pessoa tem “ ” anos de idade, não temos
condições de saber se é 1 ou 60 anos, mas se dissermos que é o filho de uma amiga, ou a
mãe de alguém, conseguimos definir a idade a qual nos referimos. Discutimos também o
surgimento, com o sistema de numeração maia, de um símbolo para o zero.
29
Como funciona: Vamos agrupar os canudos na sapateira (quadro valor de lugar
materializado), colocando-os no primeiro bolso à direita formando grupos de no máximo 3
canudos. Quando chegarmos ao quarto canudo amarramos os canudos e colocamos este
amarradinho no primeiro bolso à esquerda; quando tivermos quatro amarradinhos neste
bolso amarramos novamente obtendo outro amarrado e colocamos no outro bolso, e assim
sucessivamente.
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participantes respondeu que sim, porém, quando questionadas pareciam ficar em dúvida,
discutindo entre si, até que uma delas disse que antes das discussões pensava que tinha
valor posicional, mas depois percebeu que embora os símbolos IX e XI representem 9 e 11,
o X e o I não mudam seus valores como ocorre com o SND. Nesse momento, como houve
concordância do restante do grupo, fomos ao quadro de giz e estabelecemos alguns
paralelos entre o Sistema de Numeração Decimal e o Romano discutindo sua contribuição
para a apreensão do SND. Por fim, salientamos que não se deve exigir que os alunos
decorem os símbolos; ao contrário, estes devem ser disponibilizados para consultas no
momento de realizar as atividades. A história da matemática deve ser utilizada para ajudar a
apreensão da matemática.
Na segunda reunião, foi proposta, e aceita, pelas participantes, a discussão do Jogo do
pirata, utilizado por uma das professoras. Essa solicitou que o grupo se dividisse em
duplas, e em seguida distribuiu os jogos contendo cartinhas que representavam
respectivamente, 10 moedas, 10 saquinhos e 1 baú. Além das cartinhas, entregou a cada
dupla um dado. Relatou que inicia o trabalho com o jogo contando uma estória sobre um
pirata, chamado barba azul, que encontrou um tesouro; ao contar as moedas não conseguia
segurar mais de 10 moedas, então as colocava em um saquinho e o amarrava na ponta cada
vez que inteirava 10 moedas, quando inteirava 10 saquinhos, os colocava dentro de um baú.
Figura 2: Jogo do pirata
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30
A professora explicou que conversa com os alunos para certificar-se que compreenderam as
regras e então dá início ao jogo. O aluno deve jogar o dado e iniciar sua coleção de moedas
de acordo com o número sorteado na jogada; ao completar dez moedas, deve trocar por um
saquinho e ao inteirar dez saquinhos troca pelo baú. Ganha o jogo quem ganhar o baú
primeiro. Essa professora relatou que não gosta do trabalho com o material dourado, pois
não vê sentido em juntar cubos, por esse motivo optou pelo trabalho com o jogo do pirata,
por achar que é “significativo” para os alunos.
Essa discussão teve continuidade em uma reunião realizada no período noturno. Nesse dia
aproveitamos para questionar se achavam que o jogo do pirata ajuda (e como ajuda) a
compreender o sistema de valor posicional. Inicialmente o grupo achava que sim, porém,
após debate chegou à conclusão de que o jogo trabalha apenas a ideia de troca. Acreditamos
que reflexões sobre os aspectos do conhecimento que cada material permite abordar, é
essencial em um curso de formação de professores, ajudando a própria apreensão do
conceito. Para finalizar essa discussão, realizamos o cálculo 17 + 7, com a sapateira e,
paralelamente, fizemos a transposição do que era feito nesse material para o registro no
Quadro Valor de Lugar.
Na reunião seguinte, uma professora da educação infantil contou que em um trabalho com
dados, jogou o dado, deu 5, jogou novamente, deu 3, depois contou o total com os alunos
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para ver quanto deu. Após algum tempo uma aluna veio até ela com o caderno para mostrar
o registro que havia feito com pauzinhos, mas não reconhecia o numeral. Isso levou a
professora a se questionar e pensar que poderia ter deixado que eles pensassem antes, para
depois formalizar. A importância de se ter um grupo com o qual seja possível trocar
experiências foi ficando cada vez mais evidenciada para todos do grupo, como observou
uma das professoras afirmando que “participar desse grupo permite a cada participante um
novo olhar sobre o próprio fazer pedagógico, verificar as possíveis falhas e retomar de
modo diferenciado e talvez mais eficaz.” O clima de cooperação criado no grupo permitia
que todos se sentissem a vontade para colocar suas dúvidas e experiências. Outra professora
relatou que no início do ano pensou que seus alunos dominavam as quatro operações, mas
com os resultados das provas percebeu que eles não sabiam nem montar os algoritmos
corretamente. Hoje se sente mal por ter, de certo modo, atropelado os trabalhos e está
dando aulas de reforço para os que apresentam mais dificuldades e está pensando em
montar outro grupo de reforço utilizando material concreto. Ela disse que iniciou certo
trabalho envolvendo adição com o dominó em uma aula e na aula seguinte propôs
exercícios. Aqui fica evidenciada a separação entre atividades com material e sem material
sem um trabalho que permita uma passagem mais natural do concreto para o abstrato. No
trabalho com a sapateira, cremos ser importante deixá-la disponível na sala para que o
aluno a manipule, resolvendo exercícios de acordo com sua vontade e necessidade.
A subtração
Pegamos uma barrinha e cinco cubinhos, do material dourado, e dissemos: “Tenho 15
figurinhas, devo dar 7 para meu colega. Como os alunos podem tentar resolver essa
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Uma professora no 4º ano relatou que orientava aos alunos para que observassem a
pergunta: quando informava que sobrou, era de menos, quando dizia que tem a mais, era de
mais. Aproveitamos essa fala para discutir brevemente o campo aditivo (VERGNAUD,
1990). A pergunta“quanto tem a mais” é uma marca de linguagem que indica ao aluno que
a situação deve ser resolvida com uma adição (conta de mais). A técnica da secretaria disse
que quando o professor coloca entonação maior em uma palavra como ganhou, perdeu, é na
intenção de ajudar, o que é um fato, mas deve ser evitado, pois implica em automatismos.
31
Iniciamos o estudo da subtração questionando: “Quando se fala em subtração, qual a
primeira ideia que vem à mente?” Uma participante respondeu: “Tirar”. Essa é de fato
sempre a primeira ideia que temos, pois fomos ensinados dessa forma. Propusemos então a
seguinte situação para o grupo discutir possíveis estratégias dos alunos: “João tinha 9 balas,
deu 3 para seu irmão. Com quantas balas ficou?” Uma participante propôs usar a ideia de
comparar e questionamos como isso poderia ser feito. Uma professora (técnica da secretaria
presente à reunião nesse dia) disse que poderia desenhar pauzinhos e depois riscá-los.
Salientamos que essa forma de resolução é muito importante. Outra participante disse que
no início do ano seus alunos faziam nos dedos e ela ensinou que eles poderiam partir do
que deveriam tirar e contar até chegar no 9, assim encontrariam a resposta desejada. De
fato, essa é a ideia de completar e é importante apresentar todas essas ideias às crianças por
meio de situações. Por exemplo, pode-se propor um problema, depois inverter a situação:
“João tinha um tanto de figurinhas, resolveu dar 3 para seu irmão, ficou com 6, quantas ele
tinha inicialmente?”
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situação?” Salientamos que se fôssemos usar a sapateira, seria melhor iniciar com um valor
com duas dezenas, como no cálculo 27 – 9, para que sobrasse uma dezena. Uma professora
questionou se na sapateira o aluno poderia retirar 9 do amarradinho e respondemos com
outra questão: “Se tirar 9 do amarradinho, o que acontece?” É importante lembrar à criança
que sempre que se desamarram os canudos, eles devem ser colocados na casa posterior.
Uma participante contou que antes de trabalhar cálculos, fez o jogo do “nunca dez”
mostrando a colocação dos canudos, amarradinhos e amarradões e disse: “por isso se
trabalha que na casa das dezenas não se pode colocar grupos com menos de 10 canudos
amarrados”. Na ocasião observou que é preciso explorar bem o material e a atividade para
então usar em sala de aula. Contou que, nesse período, em uma situação utilizando a
sapateira para trabalhar adição, ficou eufórica com o aparente entendimento por parte dos
alunos e decidiu aproveitar o material para trabalhar a subtração na mesma aula. Entretanto,
como representou tanto o minuendo quanto o subtraendo no material, ficou em dúvida
sobre como realizar a subtração e, depois de algumas tentativas frustradas desistiu. Em casa
procurou no livro que estávamos usando como suporte para os trabalhos a forma sugerida
para o trabalho com a subtração e percebeu que não deveria ter colocado o subtraendo, mas
ressaltou que pretender retomar o trabalho com seus alunos.
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Observamos que deve começar com adições que não precisa “emprestar”, como 27 – 6, e
depois abordar cálculos como 27 – 9. Ressaltamos que no caso do algoritmo da subtração
deve-se simbolizar o minuendo, retirar o subtraendo e então obter o valor da diferença,
resolvendo os dois exemplos na sapateira. Salientamos ainda que somente ficará claro para
a criança se no início for bem trabalhada a questão das trocas. Nesse momento dissemos
que temos o hábito de colocar no quadro mais de um exemplo de resolução incorreta,
coletadas entre os próprios alunos da turma, para que os colegas possam identificar e ajudar
os alunos com dúvidas a compreender os procedimentos corretos. A acadêmica comenta,
então, que dessa forma eles se tornam os protagonistas. De fato, quando o aluno resolve
uma questão e percebe, pela correção do professor no quadro de giz, que errou, ele
imediatamente apaga tudo o que fez, sem parar para refletir sobre o que errou. Ressaltamos
a importância de se buscar outras formas de resolução em diversas situações. Muitas vezes,
na Matemática, não temos o hábito de fazer com que o aluno valide os resultados obtidos.
Como fazer para ver se está certo? O problema não acaba com o resultado, visto que às
vezes chega-se a uma resposta absurda e o aluno não percebe. É importante levá-lo a
refletir sobre o resultado encontrado: “esse resultado parece estar correto? Se tomarmos o
caminho inverso encontraremos o valor inicial?”
Uma participante lembra que seus professores não trabalhavam com o lúdico e acredita que
por esse motivo sente dificuldades em ver a eficácia da utilização dos materiais diversos, o
que remete também à formação inicial que não deu conta de ajudar na superação dessa
dificuldade. Nesse momento outra professora quis dar um depoimento dizendo que sempre
foi muito esforçada e que está aprendendo muito com as discussões. Nem sempre coloca
em prática, mas ela está conseguindo dirimir suas dúvidas. Acredita que quando trabalha
com materiais diversos está oferecendo àqueles que têm dificuldades a possibilidade de
compreender realmente como fazer. Esse depoimento ilustra a importância da formação
continuada em serviço que discuta conhecimento do conteúdo e também conhecimento
pedagógico do conteúdo (SHULMAN, 2001)
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A multiplicação
Iniciamos essa reunião com o seguinte problema: “Quatro amigas se encontram. Se todas
forem apertar a mão uma da outra, sem repetir o aperto, quantos apertos de mão terão sido
dados ao final?”
Uma professora disse que eram 6 apertos de mão, mas que inicialmente imaginou serem 12.
Outra colega fez o registro utilizando diagramas, fez a contagem e verificou serem 6.
Perguntamos: e se fossem 6 amigas? O grupo refletiu e respondeu que seriam 15 apertos de
mão, mas afirmou não compreender como associar essa situação à multiplicação. Uma
professora disse que pensou “são 4 amigas e 3 apertos de mão, então 4 x 3 = 12 e como não
vou contar o aperto de mão de 2 pessoas duplamente, dividi o resultado por 2”. Uma
professora disse não ter compreendido ainda e uma colega foi ao quadro para lhe explicar,
produzindo o seguinte registro:
Figura 3: ilustração sobre a atividade "apertos de mão".
Nesse tipo de situação é indicado trabalhar com dramatização e assim sugerimos que 4
professoras encenassem a situação. Após essa atividade, traduzimos para o quadro de giz a
situação encenada.
Cláudia
Maria
Joana
Fernanda
Maria
Claudia
Joana
33
Fernanda
Cláudia
Maria
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Joana
Fernanda
Utilizando esse mesmo processo para seis pessoas, realizamos a contagem considerando as
flechas em tons de cinza, uma vez que se trata de apertos de mão já realizados obteremos o
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resultado de 15 apertos de mão: 6 x 5 = 30 é o total de apertos de mão e para desprezar os
repetidos dividimos esse total por 2, obtendo 15 como resposta. Uma participante disse ter
gostado da atividade, pois não pensou em explorar todo o processo; normalmente teria
pulado registros (os repetidos). Afirmou ter percebido que mais importante que o resultado
é o processo de construção dele. Nesse momento discutimos sobre a importância de nos
colocarmos no papel da criança e deixar que ela tire suas conclusões sobre a situação. Por
exemplo, para que as crianças percebam que é para dividir por 2, deve-se subtrair a metade,
até que elas mesmas cheguem a essa conclusão. Nesse momento uma professora lembrou
que foi ensinada “entendendo” o que era feito, mas não compreendendo o processo.
Nesse momento achamos oportuno iniciar uma discussão sobre o modo de olhar os erros
dos alunos. Na maioria das vezes não os exploramos muito. Na ânsia de obter bons
resultados, quando um aluno em um grupo de 40 acerta a resposta, ela é aceita como se
fosse produção de toda a turma, como se todos tivessem compreendido.
Uma professora disse que é igual o “bendito sinal de +” na multiplicação: Quando
multiplicamos, por exemplo, 12 por 10, fazemos zero vezes o 12 e no momento de passar
para o 1 x 12 “pulamos uma casa e colocamos o sinal +”. A pedido do grupo efetuamos
uma multiplicação no quadro de giz para discutir essa dúvida.
C
D
U
É importante o trabalho com o significado do
1
2
algoritmo. Assim, ao multiplicar o zero pelo dois
1
0
deve ficar claro que se trata de zero vezes duas
0
0
unidades e zero vezes uma dezena. Em seguida,
2
0
ao passar para o um isso significa que estamos
1
0
0
fazendo uma dezena, que são dez unidades,
1
2
0
multiplicada por duas unidades, por isso o
X
resultado é 20 unidades. E ao efetuar uma centena
por uma dezena, Isso equivale a cem vezes uma
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dezena obtendo, como resultado, 100 unidades.
Em seguida discutimos sobre a importância de trabalhar todos os significados da
multiplicação e perguntamos qual achavam que era trabalhado na escola. “A soma, não é?”,
disse uma participante. Para ilustrar o significado de combinatória, propusemos um
problema bastante comum em livros dos anos iniciais, o de combinar saias e blusas. Nesse
momento uma colega contou que fez essa atividade com as crianças, mas não as deixou
realizarem seus próprios registros.
Tecemos um breve comentário a respeito, em seguida voltamos à discussãop sobre marcas
de linguagem: “jogou e perdeu então é menos”. Devemos mudar os problemas para que a
criança identifique a operação que deverá ser realizada. Vergnaud diz que a criança
apreendeu quando consegue resolver problemas sem marcas.
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A quinta reunião foi realizada no período noturno. Uma participante contou que propôs aos
alunos do 2º ano a situação dos apertos de mão. Realizou com eles a dramatização,
colocando 5 alunos enfileirados. Ela apertou a mão dos 5 e ficou parada ao lado, o 2º
apertou a mão dos demais e ficou ao lado, assim sucessivamente. Dois alunos entenderam
que não precisavam apertar a mão daqueles que já haviam apertado anteriormente. Depois
discutiu com os alunos o que aconteceu para posteriormente registrar com eles o
desenvolvimento da situação citada. Relatou ainda que antes de começar a participar do
grupo, propunha exercícios de múltipla escolha, aceitando a resposta assinalada
corretamente, não se preocupava em questionar acerca da maneira que o aluno pensou ou o
que ele fez para chegar ao resultado. Além disso, passou a questioná-los para ver se
compreenderam determinados conteúdos, por exemplo, perguntando quantas dezenas tem o
número 150. Ela conta que aprendeu com a acadêmica, participante do grupo, uma técnica
bastante interessante relativa à orientação sobre a realização da atividade. Diz a eles antes
de iniciar as questões: “Fechem os olhos e pensem; ninguém fala antes que eu fale já.
Levantem a mão e só fala quem eu chamar”. Antes de conhecer essa técnica, quando
trabalhava coletivamente, os alunos ficavam chutando até acertar, o que não era muito
produtivo para o desenvolvimento cognitivo de cada aluno. Além disso, verificou que
quando faz o aluno pensar, as respostas ficam mais próximas da correta. Eles começam a
organizar seus pensamentos.
Essa mesma professora relatou uma situação em que ao perceber o erro de um aluno e
questioná-lo acerca do que havia pensado para obter a resposta registrada, surpreendeu-se,
pois embora errado o raciocínio tinha “lógica”. Isso facilitou perceber o que o aluno estava
confundindo e intervir positivamente em seu processo de compreensão. A situação está
ilustrada a seguir:
A divisão
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Em seguida, contou que passou a questionar os alunos. Perguntou a eles o que era
necessário para resolver um problema. Eles responderam que era fazer conta. Ela disse que
não, ressaltou que o mais importante era interpretar o problema, depois fazer contas.
Contou que ao mostrar a algumas colegas os exercícios que propõe a seus alunos recebeu
críticas, pois acharam que os alunos não conseguiriam entender tais atividades. “Mas eles
conseguiram”, ela conta.
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Figura 4: exemplo de erro apresentado por uma professora
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Demos início às discussões dizendo que há uns dez anos as operações fundamentais eram
apresentadas separadamente. Hoje já se defende a importância de se apresentar desde o
início todas as operações, mesmo antes de se apresentar os algoritmos. É importante partir
do conhecimento prévio dos alunos para ajudá-los a construir o algoritmo da divisão
Citamos um exemplo de divisão não exata de bonecas no qual não faz sentido dividir a
boneca restante em partes entre as crianças. Dividir em partes iguais nem sempre é
possível.
Foi então proposto o seguinte problema extraído de (BITTAR e FREITAS, 2005, p. 45):
Distribuindo 45 lápis entre 5 crianças de modo que cada criança receba a mesma
quantidade de lápis e que não sobre nenhum lápis, quantos lápis cada criança receberá?
Questionamos o grupo acerca de possíveis formas de trabalhar essa atividade.
Uma participante disse que pegaria 5 crianças com um montante de lápis, distribuiria um
para cada um, em seguida distribuiria novamente dessa vez de dois em dois, até chegar de
cinco em cinco. Perguntamos: “Como você acha que sem sua ajuda eles pensariam?” e a
professora respondeu: “de um em um”. Outra participante ressaltou que dependendo do
nível, acha que tem que utilizar o algoritmo. Continuou dizendo que não sabe se nós
professores passamos essa ideia aos alunos, mas eles acham que sempre tem que ter conta.
Dissemos que nesse exemplo estamos supondo que eles não conhecem o algoritmo.
Estamos caminhando para construí-lo. Se distribuímos os lápis de 5 em 5, cada vez tira-se 5
para dar um para cada um. Daí, podemos tirar duas ideias, a de dividir em partes iguais e a
de medir, sendo que nessa última o raciocínio é “quantas vezes 5 quantidades cabem no
valor total”. É é claro que não devemos pedir que os alunos gravem essas ideias, mas
trabalhar diversos problemas envolvendo-as para que eles cheguem a essa conclusão.
Depois que a criança trabalha manipulando é importante fazer o registro, “o que
aconteceu”?
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Nesse momento uma professora observou que no 2º ano os números devem ser bem
menores, e todos concordaram e a situação foi então ilustrada com a divisão de 6 por 2.
Propusemos, então, o problema 2: “Vou distribuir 45 lápis entre as crianças da minha sala
de modo a não sobrar lápis e que cada uma das crianças receba 5 lápis. Quantas crianças
receberão lápis?” (BITTAR e FREITAS, 2005, p. 45)
Uma professora desenhou 45 lápis e agrupou de 5 em 5. Outra colega desenhou as crianças
(9). Dissemos que é possível também desenhar várias crianças, distribuir lápis de 5 em 5 até
acabar os lápis. Uma professora disse que vai com o montante de lápis, distribui até acabar
e conta quantas crianças vão ganhar lápis. Dissemos não há uma única estratégia, mas
várias. Vergnaud considera que problemas como esses parecem ser o mesmo, mas não é.
No primeiro são fornecidos o estado inicial e o intermediário e queremos saber o final:
:
45
Estado inicial
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5
Estado
intermediário
?
Estado final
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Para um adulto os problemas parecem idênticos (45:5=9), mas para as crianças são
diferentes.
:
45
?
Estado inicial
Estado
intermediário
9
Estado final
Propusemos a seguinte situação: “Uma professora deu a cada um de seus alunos 6 lápis. Se
quisesse dar 8 lápis precisaria de mais 26 lápis. Quantos alunos ela tem?” (BITTAR e
FREITAS, 2005, p. 49). Pedimos que as professoras pensassem uma possível forma de
resolução utilizada por seus alunos. Uma participante fez 8-6=2 depois foi ao quadro e fez a
divisão com o algoritmo euclidiano de 6 por 2.
Prova
13
Ela foi ao quadro e fez
algo dessa forma.
X6
78
+26
104
8
-8
13
24
-24
00
Uma professora visitante diz que foi pelo complemento, completou... “6 para 8 são 2” e
depois pensou “ dois vezes quanto é igual a 26” encontrando 13 como resposta.
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Uma participante desse serem diferentes, pois utilizaram caminhos inversos: a
primeira subtraiu e a segunda somou. Uma colega complementa dizendo que a primeira
subtraiu e dividiu e a segunda somou e multiplicou. Nesse momento ressaltamos que são
procedimentos e raciocínios diferentes; por mais que a criança não saiba fazer conta, ela
tem os mecanismos dela para descobrir a resposta. Pode ser por tentativas, por exemplo.
Muitos professores ao se depararem com problemas como esses acham que faltam dados.
Uma professora diz que nesse caso é questão de interpretação. Concordamos e
complementamos que interpretação também é questão de matemática.
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Perguntamos ao grupo se são resoluções parecidas ou diferentes.
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Uma participante diz que estamos acostumadas a pedir a resposta; quando modificamos a
configuração do problema eles não conseguem fazer. Dissemos que é preciso propor outros
tipos de problemas aos alunos, pois eles ficam, de certo modo, condicionados a resolverem
situações semelhantes, sempre com as mesmas marcas, o que deve ser evitado. Para evitar
essa situação é precisa mudar os enunciados.
Ressaltamos que nesse problema o importante é descobrir que se deve dar dois a mais para
cada aluno e depois dessa descoberta o restante fica mais fácil.
Lançamos a questão: “Como chegar ao algoritmo? Queremos saber como dividir 128 por
3”. Uma das participantes diz que dá para fazer quantas vezes o 3 cabe no 128, é necessário
ter bem claro as Unidades, Dezenas e Centenas, e de trocas. Os alunos ainda não têm ideia
das trocas, o que dificulta o entendimento. Temos que ter uma forma de realizar os cálculos
sem utilizar o concreto, uma vez que andar com um saco de coisas para ficar repartindo,
como fazer com 1000, 2000, ...? Daí a necessidade de um algoritmo. Comentamos como
transpor a divisão de 8 por 4, do material concreto para a escrita: devemos iniciar
registrando exatamente o que foi feito, como a seguir:
8
4
-4
1+1
4
-4
0
Orientamos que se devem aumentar os valores gradativamente, resolver várias atividades
com os alunos, respeitando suas ideias para que cheguem à conclusão de tentar encontrar a
quantidade máxima que pode distribuída, construindo, paulatinamente, a ideia até chegar à
seguinte resolução:
62
6
-60
10
02
38
D
U
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Fomos ao quadro e comentamos como proceder no cálculo de 62 : 6 sem utilizar as
expressões “abaixa, vai, empresta”.
6
2
-6
0
6
10
2
Considerando dezenas como barrinhas, distribuiu uma para cada um e não sobrou nenhuma,
sobraram 2 cubinhos/ unidades, desses não conseguimos dar um para cada um, ou seja, o
máximo que consigo dar a cada um é 0, que foi para o lado do 1 abaixo da chave.
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Uma professora conclui que esse zero é porque “eu tenho 2 cubinhos e dão dá para dividir,
então ele não vai ganhar nada de cubinhos (unidades)”! Alertamos que é preciso que a
criança passe por todos os processos para apreender o conceito. Outra professora diz que
com tudo que está vendo de divisão, estamos mudando sua visão da matemática, “para nós
é mais difícil, como nós aprendemos a matemática, pelo algoritmo. Estou achando que
estou fazendo muita coisa com o baú do pirata, mas vou direto ao algoritmo. Pulei tudo o
que veio antes”. O algoritmo deve ser construído. Não devemos usar a sapateira somente na
adição e na subtração, na divisão também pode ser usado. A vantagem disso é a
visualização das trocas. No caso de 2 dezenas para dividir por 3, pergunta-se como fazer? E
então realizamos a divisão de 128 dividido por 3, retirando o elástico do amarradão
(centena) e registrando simultaneamente no quadro.
C
D
U
1
2
8
-1
2
0
0
3
42
8
1 centena não dá um para cada um, então
desamarrei, ficamos com 10 dezenas mais as
duas que já tínhamos ficamos com 12
dezenas. Sobraram 8 unidades, que dá 2 para
cada um e sobram 2.
-6
Uma participante conta que trabalhou adição e
2
subtração na sapateira, mas a divisão não. Dissemos que
gostamos da sapateira porque ela guarda a ordem, respeita o valor posicional. A
participante em questão complementa que a sapateira possibilita o entendimento da
quantidade, visualiza que quando muda a ordem do algarismo, muda-se a quantidade.
Questionamos se trabalhando com o jogo, os alunos sabem o que é uma dezena. Uma
professora afirma que sim. Dissemos que o problema está no entendimento da sintaxe de
valor posicional presente nos livros. Em 128 quantas dezenas têm? Geralmente a resposta é
2, mas na verdade são 12. Na verdade posso agrupar da forma que quiser, de 2 em 2, de 4
em 4, 12 em 12...é a famosa questão das bases diferentes. Antes de construir a base 10,
devem-se mostrar outras bases.
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Ao final das atividades do projeto de extensão, realizamos uma discussão com o grupo todo
para a avaliação do que foi desenvolvido. Todos foram unânimes em afirmar que o trabalho
coletivo, a troca no grupo, a oportunidade de discutir com todos, experimentar em sala de
aula e voltar à discutir foi muito apreciado. Sentiram-se tendo apoio, diferentemente de
outras experiências de formação continuada. Isso reforça nossa hipótese de que para que
haja mudanças no processo de ensino e aprendizagem é preciso que as ações de formação
continuada sejam efetuadas sempre em serviço e de forma a considerar a ação dos
professores. E isso deve ser feito com idas e vindas entre as propostas elaboradas e
discutidas conjuntamente e sua realização em sala de aula. Após essa realização a volta ao
grupo para discussão permite refletir sobre os resultados alcançados e buscar novas
mudanças, se necessário.
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Algumas considerações finais
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Por fim, cabe ressaltar que o modo como o projeto foi realizado permitiu que as professoras
atribuíssem novos significados a conceitos e procedimentos matemáticos e a forma de
trabalhar esses conceitos.
Por esses motivos, cremos que ações que busquem esse tipo de parceria são fundamentais
para todas as partes envolvidas no processo.
REFERÊNCIAS
BITTAR, M., FREITAS, J. L. M. de. Fundamentos e metodologia de Matemática para os
ciclos iniciais do ensino fundamental. Campo Grande: Ed. UFMS, 2005.
SHULMAN, L. Knowledge and teaching: Foundations of the new reform. Harvard
Educational Review. Tradução: Alberto Ide. nº 1, vol. 57, p. 163-196, 2001.
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40
VERGNAUD, G. La théorie des champs conceptuels, Recherches en Didactique des
Mathématiques, vol. 10, n°2.3, pp. 133-170. La Pensée Sauvage, 1990.
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HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO DE
PROFESSORES: O CURRÍCULO COMO CONSTRUÇÃO SOCIAL
Elisabete Zardo Búrigo
Universidade Federal do Rio Grande do Sul – Brasil
[email protected]
RESUMO
O texto discute as contribuições da pesquisa e da discussão sobre a História da Educação
Matemática para os processos de formação de professores, enfatizando aspectos
relacionados à compreensão dos currículos como historica e socialmente construídos e à
construção das identidades profissionais docentes. Tais dimensões da formação são
consideradas relevantes para subsidiar a interveniência reflexiva e crítica dos professores
nos processos de reconfiguração dos currículos escolares e de suas próprias práticas. A
discussão é referenciada na experiência da autora como docente de curso de Licenciatura e
de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática.
Ainda é incipiente, contudo, a valorização desses estudos nos cursos de licenciatura ou de
pós-graduação em ensino de matemática ou em educação matemática. Neste texto,
argumentamos em favor de que a abordagem histórica do ensino seja assumida como uma
dimensão relevante nos processos de formação de professores de matemática, articulada à
construção de perspectivas críticas sobre o currículo escolar.
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A História da Educação Matemática vem se afirmando como campo de investigação e de
debate, no Brasil, nos últimos dez anos, mobilizando docentes e pós-graduandos de
diversas instituições e abrangendo um amplo leque de temas. Esse crescimento das
pesquisas pode ser atribuído, entre outros motivos, a um interesse renovado pelo estudo das
culturas escolares e dos currículos, considerados como aquilo que se ensina e se aprende na
escola. A compreensão de que os currículos praticados não são a mera tradução, no âmbito
de cada estabelecimento, das normatizações legais, mas expressão de tradições, de
condições locais e constrangimentos materiais, da interveniência de diferentes atores, de
modos de pensar e interesses contraditórios e conflituosos, tem motivado o estudo dos
movimentos de modernização do ensino de matemática e das práticas escolares, e a
valorização de fontes até então consideradas secundárias, como depoimentos orais,
cadernos, fotografias e registros esparsos.
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TRABALHO
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Um olhar em perspectiva
O lugar de destaque que a matemática ocupa nos currículos escolares, a presença de traços
de heranças tão antigas como a geometria euclidiana e a visão difundida da Matemática
como ciência imutável e infalível contribuem para a crença de que o ensino de matemática
seria também impermeável às mudanças da sociedade e da própria escola. Nessa ótica, os
professores de matemática teriam o encargo de transmitir uma herança milenar e de tornar
acessível um conhecimento de relevância inquestionável, tanto pelo seu caráter
instrumental, de ferramenta para as demais ciências, como pelo seu papel na construção do
raciocínio lógico-dedutivo.
Essa grande responsabilidade de que os professores se vêem investidos se defronta,
cotidianamente, com a apatia de boa parcela dos estudantes e com as condições materiais e
institucionais precárias e, até mesmo, frequentemente penosas de exercício da docência. A
missão é difícil de ser cumprida, senão impossível.
O olhar dirigido ao passado permite que as contradições enfrentadas no cotidiano do ensino
sejam percebidas em perspectiva, como expressões de tensões relativas ao lugar e ao papel
da escola. E que o professor se perceba como um dos muitos atores que participam do
processo através do qual a escola é permanentemente reconfigurada, atuando em um campo
dinâmico de constrangimentos e possibilidades.
PÁGINA
42
Da margem ao topo – o lugar da matemática na escolarização
As investigações sobre o passado mostram que o ensino de matemática não ocupou sempre
o lugar de destaque que hoje ocupa no currículo escolar. Até o século XVIII, segundo
Cardoso (2004), os jesuítas praticamente monopolizaram a educação escolar no Brasil.
Valente (2007) explica que a formação oferecida pelos colégios jesuítas era sobretudo uma
formação literária, dominada pelo latim. Embora houvesse, na Companhia de Jesus,
estudiosos das matemáticas, o lugar ocupado pela matemática no ensino era marginal. Nos
cursos mais avançados, o estudo da lógica e da metafísica organizava a introdução às
ciências: “Alijada de suas aplicações, a matemática, principalmente em Portugal, disputava
lugar
com
a
especulação
filosófica”
(Ibid.,
p. 33). Mesmo na França, onde teria havido, entre os jesuítas, alguma influência dos
estudos de Descartes, o estudo da matemática ficava relegado à última classe dos colégios,
frequentada por uma pequena fração dos alunos (DAINVILLE apud SCHUBRING, 2005,
p. 15).
Algumas décadas após a expulsão dos jesuítas de Portugal, já no final do século XVIII,
organizaram-se as chamadas “aulas régias” no Brasil, esparsas e em geral dedicadas ao
estudo da gramática do latim (CARDOSO, 2004). Segundo Valente (2007), a matemática
seria incorporada à cultura escolar geral, já em meados do século XIX, como componente
de um ensino secundário voltado à preparação dos candidatos aos exames de ingresso no
ensino superior. É importante observar que a importância atribuída à matemática, nessa
formação, estava relacionada sobretudo ao exercício da lógica e do pensamento rigoroso
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(Ibid., p. 114-119). O caráter aplicado da matemática ficava circunscrito à formação militar,
desde a preparação de artilheiros, no século XVIII, até os primeiros cursos de engenharia,
criados no século XIX.
No ensino secundário institucionalizado pela Reforma Francisco Campos, em 1931, a
matemática foi constituída como disciplina escolar, ocupando três horas semanais do estudo
em cada série do Curso Fundamental - uma das maiores cargas horárias, secundando apenas
a disciplina de Português. As orientações oficiais para execução dos programas, redigidas
por Euclides Roxo, diretor do modelar Colégio Pedro II, repercutiam os movimentos
internacionais de modernização do ensino da disciplina, enfatizando os vínculos com as
demais disciplinas e as aplicações do cálculo diferencial ou da geometria. Estudos sobre a
implementação da reforma indicam, contudo, que as aplicações da matemática às demais
áreas do conhecimento não foram incorporadas nas práticas docentes dos professores do
ensino secundário (ALVAREZ, 2004; ESPERANÇA, 2012).
Sem assumir o caráter instrumental proposto pela reforma, a matemática cumpria um papel
destacado na seleção dos alunos, decidindo não apenas sobre o ingresso, nos exames de
admissão ao curso fundamental e, depois, ao ginásio, mas sobre a continuidade de estudos,
ao final de cada série. Os altos índices de reprovações, abandonos e o reduzido número de
concluintes não eram objeto de preocupações governamentais num período em que a
finalidade principal atribuída ao ensino secundário era a da formação das elites do país
(RIBEIRO, 2010).
O papel da matemática escolar na determinação dos percursos escolares
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É interessante confrontar esse processo com o de valorização da matemática escolar na
França. Nos anos 1930, os professores de matemática franceses, ocupados em elevar o
estatuto da disciplina, identificavam-na com o latim: ambos cumpririam um papel relevante
na “formação e na cultura do espírito” (D’ENFERT, 2010, p. 15). Nos anos 1950,
associavam-se aos professores de física para rejeitar o ensino das línguas antigas,
afirmando a importância da matemática e das ciências como disciplinas do presente e do
futuro, enfatizando o papel desses conhecimentos na produção de tecnologia, na esfera
industrial e econômica e na vida dos cidadãos (Ibidem, p. 16). Nos anos 1960, afinal, a
matemática teve seu estatuto reforçado, de fato, pelas políticas governamentais e pelas
43
O efeito excludente da matemática persistiria ao longo das décadas, despontando como uma
das preocupações principais dos professores reunidos no I Congresso Nacional de Ensino
de Matemática no Secundário, realizado em 1955, e como alvo do movimento da
matemática moderna, nos anos 1960. Esse caráter seletivo evidente se esvairia mais tarde,
com a eliminação do exame de admissão pela Lei 5.692/1971 e com a ampliação
progressiva do acesso e da permanência no ensino pós-primário. O desempenho na
matemática escolar continuaria – e continua – partipando dos processos seletivos de acesso
ao ensino superior, atingindo não apenas os candidatos às carreiras técnicas, mas todos os
aspirantes aos cursos de acesso mais disputado. O papel da matemática nesses processos
fica, de todo modo, menos explícito porque diluído no quadro de uma dualidade instaurada
entre ensino público e privado.
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demandas sociais de acesso ao ensino superior: não apenas os horários dedicados à
disciplina foram ampliados, mas seu papel na determinação dos percursos escolares passou
a sobrepor-se ao das demais disciplinas (PROST, 2004). Após a unificação dos diversos
ramos anteriormente existentes de ensino pós-primário, o sucesso em matemática passou a
ser decisivo nas avaliações sobre o desempenho escolar que orientam as decisões sobre o
encaminhamento dos alunos para as carreiras profissionais ou propedêuticas, no liceu, e
sobre o prosseguimento na carreira scientifique, mais valorizada entre as propedêuticas.
Os tempos e as motivações são diversos, mas na França, como no Brasil, a valorização da
matemática escolar – e, pode-se dizer, também a aversão ou rejeição à disciplina - aparece,
então, associada não apenas às mudanças de finalidade da escola, mas também aos
processos de seleção e classificação que se realizam no âmbito do sistema educativo. No
caso brasileiro, não são as aplicações da matemática que explicam a importância a ela
atribuída na escolarização – o lugar de destaque atribuído à matemática na escola precede
as preocupações com o seu caráter instrumental (preocupações, aliás, cujos efeitos parecem
ser muito tênues, mesmo hoje). Do mesmo modo que, na França, não é a utilidade do latim
que explica sua proeminência até o período do pós-guerra.
Mas a importância atribuída à matemática, ora por se tratar de conhecimento milenar, tido
como irrefutável, ora por se tratar de conhecimento atual, implicado nas técnicas mais
modernas, permite que ela cumpra essa função seletiva sem enfrentar maiores
questionamentos. As crenças na universalidade e na neutralidade da matemática e na
existência de um “talento” ou “dom” para a disciplina colaboram para essa aceitação: é
como se todos tivessem tido, de fato, oportunidade de realizar as mesmas aprendizagens,
que apenas alguns valorizam ou estão em condições de aproveitar. As classificações
realizadas através de provas de matemática não colocam em questão o mito da
potencialidade democrática da educação escolar, uma vez que cada estudante é considerado
responsável pelo seu sucesso ou fracasso.
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O disciplinamento do espírito pela matemática
A constituição da matemática como disciplina escolar, contudo, não pode ser explicada a
partir do seu papel seletivo ou discriminatório. Até mesmo para que pudesse cumprir esse
papel, teria sido necessário que a ela fossem atribuídas finalidades educativas relevantes.
Assumindo, como propõe Chervel (1990), que as disciplinas escolares são, sobretudo, um
modo de “disciplinar o espírito” (Ibid., p. 180), de que tipo de disciplinamento a
matemática foi incumbida?
Uma das tarefas atribuídas à matemática foi, já no século dezenove, a do exercício da
lógica e do rigor, como comentado anteriormente. O estudo da geometria euclidiana teria
sido um terreno particularmente favorável para o desenvolvimento do pensamento
dedutivo. Entretanto, encontramos vários registros de demonstrações expostas pelo
professor e decoradas pelos alunos, indicando que a escola não disciplinava para o
pensamento dedutivo, mas para a memorização de argumentações cuja ordem deveria ser
fielmente reproduzida. Segundo Elza Babá:
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Antigamente, os alunos simplesmente decoravam teoremas. O
professor colocava o teorema, e o aluno decorava, não entendia.
(BECHARA SANCHEZ; BABÁ, 2007).
O estudo de Esperança (2012) sobre as provas aplicadas aos alunos do Curso
Complementar do Instituto Júlio de Castilhos, em 1936 e em 1937, nos dá outras pistas.
Eram comuns, nessas provas, as questões em que era explicitado o método a ser adotado na
resolução, como, por exemplo: “Resolver aplicando a teoria das raízes iguais a equação x4 –
6x3 + 13x2 – 12x + 4 = 0 ”. Não se pretendia verificar se o aluno conseguiria encontrar uma
maneira de resolver a questão, mas se conseguiria aplicar o método dado (Ibidem, p. 137).
A presença de conteúdos que hoje nos pareceriam irrelevantes e artificiais, como a equação
das diferenças entre as raízes de uma cúbica dada, também indica que um critério adotado
na seleção de tópicos de estudo era o do seu potencial no desenvolvimento da destreza na
manipulação de expressões algébricas. A análise das atas de prova mostra que a maioria
dos alunos fracassava na resolução das questões, ao menos segundo os critérios adotados
pelos professores.
Assim, ainda que essa finalidade não estivesse expressa nos documentos oficiais, pode-se
concluir desse e de outros estudos, como o de Alvarez (2004), que um efeito importante da
matemática escolar era a representação da matemática como um repertório de teoremas, de
fórmulas e de métodos a serem aplicados no tratamento de expressões numéricas e
algébricas. O tratamento da matemática como ferramenta para a resolução de problemas
ficava reservado aos cursos superiores.
O movimento da matemática moderna, nos anos 1960, anunciou um ensino mais eficaz,
com a substituição da memorização de algoritmos e demonstrações pela compreensão de
conceitos e propriedades. O movimento inspirou muitas experiências didáticas e provocou
algumas reconfigurações no currículo escolar, como a introdução do conceito de função,
desde o ensino fundamental, ou a reorganização do estudo dos conjuntos numéricos.
Algoritmos e técnicas complicadas foram deixados de lado, mas a reprodução de métodos
segundo modelos continuou sendo incentivada pelos livros didáticos, que influenciam
largamente a ação dos professores.
A compreensão do currículo como construção social
As disciplinas não são, com efeito, entidades abstratas com uma
essência universal e estática. Nascem e se desenvolvem, evoluem,
se transformam, engolem umas às outras, se atraem e se repelem, se
desgarram e se unem, competem entre si, se relacionam e
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Em primeiro lugar, a história nos mostra que o lugar ocupado pelas disciplinas, no processo
de escolarização, é transitório. Como explica Viñao Frago (2008):
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Qual a relevância dessas considerações para a formação de professores? Nosso principal
argumento é que o estudo do passado permite percebermos a escola e os currículos como
historica e socialmente construídos.
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intercambiam informações (ou as tomam emprestadas de outras)
etc. (Ibidem, p. 204)
O lugar marginal que a matemática ocupou no ensino, até o século dezenove, e a inversão
de papeis entre a matemática e o latim, no século vinte, são evidências dessa
transitoriedade.
A compreensão do caráter dinâmico dos currículos nos permite compreender os
questionamentos dos alunos, relativos à relevância ou à utilidade da matemática, como
expressão de uma interrogação legítima, no âmbito da sociedade, acerca das tarefas da
escola e dos processos através dos quais se decide o que deve ser ensinado ou estudado.
A história coloca em questão os discursos que tratam a matemática escolar como herdeira
direta da matemática grega, e como disciplina cuja importância se justifica por si só; sua
presença no currículo, com problemas, conceitos e métodos que a distinguem das demais,
depende do reconhecimento, pela sociedade, do seu caráter educativo.
A discussão acerca desse caráter educativo da matemática é, também, iluminada pelo olhar
em direção ao passado. Não é o caso de se de considerar a contribuição para o
“desenvolvimento do raciocínio” ou a aplicação a outras áreas do conhecimento como
inerentes à matemática escolar. Os estudos históricos mostram que as práticas dos
professores e, principalmente, os efeitos do ensino em geral não corresponderam aos
objetivos proclamados. É preciso então interrogar-mo-nos não apenas sobre as finalidades
atribuídas ao ensino de matemática, mas também sobre aquilo que Chervel designa como os
“ensinos reais” (1990, p. 191) e como se constituíram.
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A interrogação estende-se aos conteúdos ensinados e aos critérios que orientaram sua
incorporação nos currículos. Se o papel da matemática escolar não é o de transmitir todo o
conhecimento acumulado desde Euclides, cabe nos questionarmos sobre os processos
através dos quais determinados conteúdos são privilegiados, em detrimento de outros, e a
quais finalidades eles correspondem.
O estudo histórico nos mostra, em terceiro lugar, que as reformas e as normatizações do
ensino, na sua implementação, defrontam-se com as condições e a cultura escolar
peculiares a cada instituição. Não são recentes as distâncias e dissonâncias entre aquilo que
é anunciado nos documentos oficiais e aquilo que se ensina e aprende nas escolas. Mesmo
nos anos 1950, em que vigoravam a uniformidade nacional e a centralização, encontramos
registro de descumprimentos das normas ou, melhor dizendo, de interpretações, por parte
dos professores, dos conteúdos que deveriam ser priorizados, face à impossibilidade de
cumprimento dos programas elaborados pela Congregação do Colégio Pedro II (BÚRIGO,
2010). A compreensão de que o currículo escolar praticado é, de fato, construído no âmbito
dos estabelecimentos de ensino nos leva a considerar com reserva as políticas
governamentais que anunciam grandes mudanças a partir de decisões centralizadas.
Essas reflexões nos remetem às considerações sobre o campo de possibilidades em que se
inscrevem as ações dos professores. Não se trata de conferir aos professores a
responsabilidade pelo sucesso do ensino, que resulta de múltiplas interveniências, mas, sim,
um papel mais ativo no planejamento curricular. O trabalho e a formação docente devem
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ser organizados de modo a possibilitar que cumpram esse papel, interrogando-se, propondo,
experimentando e avaliando alternativas de ensino.
Aliás, também nesse aspecto a história é elucidativa. O movimento da matemática moderna
exemplifica as possibilidades de mobilização dos professores em torno da inovação
curricular, quando engajados nas mudanças. No Brasil, as experimentações de
modernização dos anos 1960 e 1970 foram implementadas por grupos de professores, em
um número pequeno de turmas e de estabelecimentos, e os resultados alcançaram uma
divulgação modesta. Na França, os professores, através de sua Associação, propuseram e
participaram de uma ampla experimentação conduzida pelo Ministério, analisaram e
debateram seus resultados, influenciando a versão final dos novos programas (BÚRIGO,
2011). Experiências como essa mostram as possibilidades de um planejamento curricular
em que os professores não são meros executores, que considera os saberes docentes e a
experiência viva das salas de aula.
O estudo histórico propicia, ainda, a desconstituição das idealizações sobre a escola do
passado, como aponta Chervel (1990):
O estudo da aculturação real dos alunos dos séculos passados
permitirá, em primeiro lugar, terminar de uma vez por todas com
um certo número de mitos sobre o nível de conhecimentos e de
cultura que se supõe que eles tenham alcançado. [...] Ora, de fato
parece que sobre esse ponto tenha operado, de um modo constante,
uma forte tendência a supervalorizar o passado: não há
provavelmente época onde essa tendência não seja atestada.
(Ibidem, p. 210-211).
Como observa ainda Prost (2004), em relação aos lamentos sobre a deterioração do nível de
ensino na França:
Tampouco é o caso de se desprezar o passado como imobilista ou arcaico, como nos lembra
Matos (2007):
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Depoimentos e estatísticas relativos ao ensino dos anos 1930 a 1950, no Brasil, mostram
que os extensos programas não correspondiam às aprendizagens dos alunos. E se a escola
secundária tinha a aparência de um espaço tranquilo e ordeiro, é porque só acolhia jovens
que tinham sido já submetidos a um longo e seletivo processo de disciplinamento. Ainda
assim, há registros de indisciplina, já nos anos 1930, em instituições tão respeitáveis como
o Instituto Júlio de Castilhos ou o modelar Colégio Pedro II. Quanto à escola primária,
Schneider (1993) e Vidal (1998) mencionam, em diferentes períodos e espaços, episódios
não raros de violência por parte de professores contra alunos e por parte de alunos contra
professoras.
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Frente às queixas relativas ao declínio do nível de ensino, o
historiador é tanto mais cético quanto mais ele as reencontra ao
longo de todo o século dezenove e todo o século vinte: segundo esse
cálculo, e considerando todo esse tempo passado, deveríamos ser
todos analfabetos! (Ibidem, p. 409, tradução nossa).
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Em suma, quem se debruça sobre documentos educativos históricos
encontra uma diversidade de posturas pedagógicas, tal como, aliás, o
que podemos encontrar nos dias de hoje, e, nem os bons velhos
tempos eram tão bons como por vezes ouvimos afirmar, nem a
escola tradicional utilizaria exclusivamente métodos desadequados.
Estudando o passado não encontramos o estereótipo do ensino
tradicional, mas antes múltiplas metodologias e conteúdos, posturas,
filosofias, problemáticas, debates que se interligam naturalmente
com os consensos e os conflitos de cada época. Em última análise, as
idealizações ou as diabolizações do ensino do passado mascaram
uma profunda ignorância, e apenas são feitas para consolidar crenças
sobre o ensino do presente. (Ibidem, p. 10).
A escola em meio aos conflitos sociais
O estudo histórico nos mostra, também, como as mudanças da escola se inscrevem nos
processos mais amplos de mudança da sociedade.
As demandas de qualificação de trabalhadores, em uma economia ainda
predominantemente agrícola e de industrialização incipiente, dedicada à produção de bens
de consumo, não se chocavam com o perfil excludente do ensino secundário do Brasil dos
anos 1930. Mas as aspirações de escolarização dos setores médios urbanos impuseram uma
progressiva abertura dos ginásios e colégios a novos contingentes de alunos, acarretando
também o recrutamento de um amplo contingente de professores, com formações diversas e
incidindo sobre a reconfiguração da cultura escolar.
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48
As camadas populares, contudo, não conseguiram conquistar um investimento por parte do
Estado na educação que propiciasse uma expansão com qualidade. Daí as condições
precárias das redes públicas de ensino com as quais nos defrontamos ainda hoje. Aos
professores, foram impostos vencimentos modestos e extensas jornadas, que obstaculizam a
reflexão, a pesquisa e a formação continuada.
Com a Lei 5692/1971, a escolarização obrigatória foi estendida aos oito anos. Na passagem
para o século vinte e um, o acesso ao ensino fundamental estava praticamente
universalizado, e a frequência ao ensino médio tinha também se expandido aceleradamente.
A educação escolar se democratizou. Entretanto, os diplomas escolares vinham
concomitantemente perdendo seu valor, em alguma medida pelo esvaziadamento do seu
caráter distintivo, mas sobretudo devido à elevação dos requerimentos de escolaridade
exigidos para o ingresso e permanência no mercado de trabalho. Desde o início dos anos
1990, quando o colapso de empresas e ramos industriais e a reestruturação produtiva
acarretaram expressiva redução do emprego formal no Brasil, a certificação de conclusão
do ensino médio passou a ser exigida nas contratações para os postos de trabalho menos
qualificados, sem que houvesse qualquer correspondência entre os conhecimentos
aprendidos na escola e os conteúdos das tarefas a serem desempenhadas (DEDECCA,
1998).
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Considerando as mudanças no mundo do trabalho, compreendemos melhor as demandas
que incidem sobre a escola hoje. O aumento da frequência à escola não expressa
exatamente um interesse ampliado pelo ensino e pela aprendizagem. O desemprego juvenil
e a exigência do diploma para ingresso no mercado do trabalho constrangem os
adolescentes a permanecerem na escola, até mesmo para que possam ocupar uma vaga de
estágio, forma de trabalho precarizada comum entre os jovens. Ao mesmo tempo em que a
escolarização deixa de ser um direito para converter-se em imposição, a almejada inserção
no mercado de trabalho é incerta, mesmo para os que concluem o ensino médio.
É nesse contexto que deve ser entendido o deslocamento das aspirações de escolarização,
por uma expressiva parcela dos setores populares, em direção ao ensino superior, percebido
como único canal de acesso a um trabalho mais valorizado, menos rotineiro e
embrutecedor.
As políticas governamentais têm respondido a essas demandas com a ampliação de vagas,
criação de cursos e de novos mecanismos de acesso às universidades, como o Programa
Universidade para Todos (PROUNI) e as cotas para afrodescendentes e estudantes oriundos
de escolas públicas. Com medidas, enfim, que não incidiam diretamente sobre o ensino
médio.
Outro exemplo de política que tenta mudar a escola a partir de cima é a reforma do ensino
médio em curso na rede estadual do Rio Grande do Sul. Uma das principais consequências
da reforma é a redução em cinquenta por cento da carga horária das disciplinas, que devem
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A obrigatoriedade de frequência a um curso regular como condição de acesso ao ensino
superior é, conforme comentado anteriormente, bastante recente no Brasil. O Estado hoje
retira da escola as atribuições que a ela conferiu, nos anos 1930: dotada de relativa
autonomia, a escola não pode determinar, a partir do seu interior, a extensão dos seus
poderes. A certificação pelo ENEM tem a aparência, então, de um retorno ao passado, em
que a frequência ao ensino secundário podia ser substituída pela aprovação nos exames
parcelados. Mas os efeitos são diferentes: se no passado as elites podiam dispensar a escola
porque seu interesse estava concentrado na obtenção do título de doutor, outorgado pelos
cursos superiores, hoje a escolarização básica é a norma e são os conteúdos heterogêneos
dessa escolarização que determinam maior ou menor chance de acesso às instituições de
maior prestígio.
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Entretanto, algumas iniciativas governamentais recentes revelam uma intenção de mudar a
escola, para que deixe de ser o que é, sem apontar claramente o que seria. Por exemplo, a
certificação de conclusão do ensino médio através do Exame Nacional do Ensino Médio
(ENEM), estabelecida através da Portaria Ministerial n° 807, de 18 de junho de 2010, pode
ser entendida como concretização do reconhecimento, inscrito na Lei de Diretrizes e Bases
(Lei nº 9394/1996), do conhecimento adquirido em espaços educativos informais. Mas é
também uma medida que esvazia as funções da escola, retirando-lhe o monopólio da
certificação e da avaliação dos conhecimentos dos estudantes, e o poder de decidir sobre a
continuidade de estudos. O certificado deixa de se referir a um percurso escolar de duração
e formato estabelecidos pelo sistema educativo; passa a ser um atestado de conhecimentos e
habilidades que autoriza, do ponto de vista formal, o prosseguimento de estudos.
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dar lugar a projetos e atividades de interesses dos estudantes. A mudança é justificada a
partir da avaliação de que a principal causa dos elevados índices de evasão e de repetência
seria o desinteresse dos adolescentes por aquilo que a escola ensina ou tenta ensinar.
Mas esse desinteresse não pode ser simplesmente atribuído aos conhecimentos escolares,
percebidos como pouco atrativos, artificiais, descontextualizados ou dispensáveis no
exercício das ocupações que os jovens consideram acessíveis, num futuro próximo. Nos
períodos de maior prestígio da escola moderna, o currículo nunca se organizou, afora
algumas experiências pontuais e localizadas, segundo os interesses imediatos dos
estudantes.
A constestação desorganizada dos jovens ao ensino escolar repercute um processo mais
amplo de depreciação da escola pela sociedade. Os adolescentes devem frequentar por mais
tempo uma escola que seus pais abandonaram cedo, para obter ocupações de menor
reconhecimento social.
É nesse quadro conflituoso que se inscreve a ação docente. A missão de que os professores
se vêem encarregados pode ser redimensionada se compreendemos que não é incumbência
exclusiva da escola afirmar a sua relevância. Que matemática ensinar e para quê, em uma
sociedade de futuro tão incerto? Os professores, pela sua formação e experiência docente,
têm interesses a defender e estão em condições de cumprir um papel relevante nessa
discussão e na reconfiguração dos currículos. Mas para isso é preciso reconhecer que não
há nada de eterno ou imutável no ensino e que, para que a matemática ocupa um lugar
importante na escolarização, para além da sua função seletiva, é preciso que a sociedade
esteja convencida de sua relevância.
REFERÊNCIAS
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TENDÊNCIAS DA PESQUISA EM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO
BRASIL: UMA CARACTERIZAÇÃO DAS DISSERTAÇÕES E TESES
ENTRE 1990 E 2010
Iran Abreu Mendes
Universidade federal do rio Grande do Norte – Brasil
E-mail: [email protected]
RESUMO
Neste artigo apresento os primeiros resultados de uma pesquisa em desenvolvimento sobre
as pesquisas em história da Matemática no Brasil. Meu objetivo principal foi identificar e
caracterizar as bases da fundamentação e sustentação epistemológica e metodológica dos
estudos relacionados à História da Matemática em diversos programas de pós-graduação do
Brasil, nos quais se originaram cerca de onze tendências que configuram um panorama
histórico da pesquisa brasileira em história da Matemática e da Educação Matemática.
Algumas tendências já consolidadas ou em consolidação, sinalizam modalidades mistas de
investigação que contribuíram para ampliar a produção historiográfica da matemática
brasileira.
Palavras chave: história da Educação Matemática, Sociologia da Educação Matemática, Historia da
Matemática, Pesquisa em História da Matemática.
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52
Nota introdutória
Os estudos em história da Matemática, história no ensino da Matemática e em história da
Educação Matemática, têm gerado valiosos resultados e apontado novos caminhos e focos
de abordagem para a melhoria do processo de formação docente e de aprendizagem na
Educação Matemática. Isso possivelmente ocorre porque as reflexões sobre tais estudos
evidenciam a importância do processo formativo na superação de obstáculos encontrados
na trajetória dos sujeitos da docência em matemática.
Desde 2010 iniciei uma pesquisa, intitulada “Cartografias da produção em História da
Matemática no Brasil: um estudo centrado nas dissertações e teses defendidas entre 199020108”, com a finalidade principal de catalogar a produção cientifica na área de História da
Matemática nos programas de pós-graduação stritu sensu do país, das áreas de Educação,
8
Pesquisa financiada pelo CNPq,por meio do programa de Bolsa Produtividade em Pesquisa do CNPq.
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Educação Matemática, Ensino de Ciências Naturais e Matemática e áreas afins. A meta é
traçar uma cartografia dos estudos em História da Matemática oriundos das pesquisas
realizadas pelos estudantes de pós-graduação dos diversos programas existentes no Brasil
entre 1990 e 2010, com vistas a agrupar as dissertações e teses em cinco tendências: 1)
Estudos e pesquisas em História e Epistemologia da Matemática; 2) Estudos e pesquisas em
História da Educação Matemática; 3) Estudos e pesquisas em História e Pedagogia da
Matemática; 4) Estudos e pesquisas em Formação de Professores de Matemática e 5)
Estudos e pesquisas em elaboração e testagem de métodos para o ensino de Matemática.
Além disso, me propus também a identificar e analisar os fundamentos teóricos e
metodológicos que norteiam tais pesquisas de modo a obter subsídios conceituais e
didáticos que possam contribuir para a formação inicial e continuada de professores de
matemática no país. A pesquisa em desenvolvimento baseia-se, principalmente, em uma
investigação documental nos arquivos da CAPES e dos programas de Pós-graduação,
existentes no país, que focam seus estudos no tema objeto desta pesquisa.
O meu objeto de pesquisa, portanto, é a produção gerada na área de História da Matemática
no Brasil, nos Programas de Pós-Graduação em Educação, Educação Matemática, Ensino
de Ciências e Matemática e áreas afins, correspondente ao período de 1990 a 2010.
Em estudos anteriormente realizados por Sad (2005) e Mendes (2008, 2011), fiz uma
análise preliminar dos estudos apresentados e publicados nos Anais dos Seminários
Nacionais de História da Matemática - SNHM ao longo de 13 anos, apontando como as
abordagens das pesquisas em ciências humanas e sociais se incorporaram aos estudos
relacionados à História da Matemática, originando onze tendências. Para tanto, tomamos
como referência os trabalhos relacionados à história da Educação Matemática presentes
nesses Anais dos Seminários Nacionais de História da Matemática, realizados em Recife
(1995), Águas de São Pedro (1997), Vitória (1999), Natal (2001), Rio Claro (2003),
Brasília (2005), Guarapuava (2007) e Belém.
Dos 350 trabalhos publicados ao longo dos 8 eventos, 230 referiram-se às investigações em
História da Matemática com a maioria dos temas ligados à: evolução de algum conceito ou
teoria, temas específicos de Matemática, relações entre matemática e outras áreas,
aplicações da História da Matemática, História da Matemática: Livros didáticos,
desenvolvimento de produções sobre História da Matemática. Os outros 120 trabalhos
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Para melhor encaminhamento dessa discussão temática, tomei como elementos de apoio
para nossas interlocuções os seguintes aspectos: a diversidade de fontes na pesquisa
historiográfica e as tendências da pesquisa em História e Antropologia, suas relações e
implicações nas pesquisas em história da Matemática, visando assim, apontar contribuições
dessas abordagens para a Educação Matemática e a formação de professores.
53
Notei que há uma consolidação de algumas dessas tendências, evidenciando o crescimento
das pesquisas na área. Percebi, ainda, que ao longo dos seminários houve um aumento na
variedade de abordagens, bem como o surgimento de modalidades mistas de investigação e
análise das informações históricas visando descrever com o maior detalhe possível, os
caminhos pelos quais a pesquisa em história da Matemática e seus desdobramentos na
Educação Matemática veio seguindo ao longo dessas duas décadas.
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publicados centraram-se às abordagens voltadas para relacionados com a história da
Educação Matemática, com temas diretamente relacionados com biografias de matemáticos
e educadores matemáticos, história e memória sobre instituições e disciplinas relacionadas
à matemática escolar ou alguma abordagem similar, sempre envolvendo as atividades de
algum matemático ou professor de Matemática em contexto histórico de determinada
época.
Em cada uma das três categorias estabelecidas, os trabalhos foram reorganizados em onze
categorias:
1. Investigação sobre a vida de matemáticos ou educadores;
2. Investigação sobre a evolução de algum conceito ou teoria;
3. Investigação sobre uma área de conhecimento;
4. Investigação sobre instituições;
5. Investigação sobre o contexto cultural de uma criação;
6. Investigação sobre uma época determinada;
7. Investigação sobre um grupo específico;
8. Investigação sobre as relações da Matemática com outras áreas do conhecimento;
9. Investigação sobre as aplicações da História da Matemática;
10. Investigação sobre livros didáticos;
11. Investigação sobre o desenvolvimento de produções sobre História da
Matemática.
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54
Para a realização de minha análise sobre tis categorias, retomei os anais dos Seminários
Nacionais de História da Matemática já realizados e agrupei os trabalhos de acordo com as
temáticas dos mesmos, organizando-os em dois eixos: os trabalhos voltados para a pesquisa
em História da Matemática e aqueles voltados para a História da Educação Matemática.
Com base nessa investigação e nos encontros luso-brasileiros de história da Matemática foi
possível estabelecer alguns pontos conclusivos sobre o itinerário da pesquisa em história da
Matemática e os modos de abordagem construídos ou reestruturados entre 1995 e 2009.
Os resultados analisados apontam que houve um crescimento significativo na qualidade dos
trabalhos, bem como um acréscimo valioso na variedade de abordagens e na conjunção de
tendências de modo a gerar formas mistas de investigação e análise das informações
históricas que possam contribuir para se tecer um painel mais detalhado dos caminhos pelos
quais a história da Matemática, história no Ensino da Matemática e da Educação
Matemática seguiram ao longo dos últimos 20 anos.
Sobre os fundamentos teóricos das pesquisas
Outro indicativo verificado no estudo é que as pesquisas realizadas por estudiosos da área
de Ciências Humanas e Sociais têm contribuído fortemente para que outras áreas que se
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desenvolvem com base na pesquisa histórica ou no exercício da historiografia. A história da
Matemática e a história da Educação Matemática, por exemplo, puderam ampliar as
possibilidades de construção dos seus objetos de estudos, bem como dar uma conotação
científica às verdades estabelecidas no processo historiográfico a partir do uso dessas
modalidades metodológicas adotados pelas Ciências Humanas e Sociais, quando
incorporadas em suas pesquisas.
Para Michel de Certeau (1991, p. 28), por exemplo, “a Antropologia insinua na História
uma outra relação com o tempo: já não se trata de um tempo que se repete, que evolui em
espiral, que tem nós e volta atrás, um tempo manhoso, enganador e cheio de sinuosidade”.
Essa perspectiva implica que ao emergirmos num processo de observação, descrição e
interpretação da realidade pesquisada, é necessário estabelecermos alguns patamares de
comparação nos quais deve ficar evidente que a diferença entre a história do presente e a do
passado não deve fazer esquecer um terceiro elemento que já não diz respeito ao objeto
estudado, mas à perspectiva em que se faz o estudo, ou seja, uma historicização da própria
história. O que está, então, em jogo é a capacidade da história se explicar como efeito de
técnicas contemporâneas, de um meio social de posições econômicas e políticas.
(CERTEAU, 1991, p. 29).
O autor afirma, ainda, que o trabalho histórico inscreve-se no interior das lutas sócioeconômicas e ideológicas presentes nas narrativas da escrita de si e na história de vida
reconstruída. A partir de reflexões como a apresentada por Certeau, fica evidente que cada
uma dos envolvidos no processo de descrição histórica, deixa transparecer a sua forma de
ver e analisar o mundo com todos os seus aspectos em cada época e local, dando a
historiografia construída uma evidência do seu foco de olhar sobre o objeto descrito.
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Todavia, os historiadores da ciência atual têm enfrentado uma série de obstáculos que
interferem na legitimação das informações obtidas por meio de determinadas fontes
utilizadas. Dentre elas está o problema de acesso aos documentos originais e a utilização de
comentadores desses materiais. Outro fato refere-se ao enquadramento quantitativo das
informações obtidas desses documentos e da sintetização crítica de tais materiais históricos.
A opção adotada pelos pesquisadores é a utilização de métodos apoiados pela pesquisa
antropológica em todas as suas dimensões visando assim, diminuir o caráter de exatidão
exigido nas informações, mas garantindo, de antemão, a abordagem científica necessária
para validação do estudo histórico.
55
A respeito dos estudos referentes à historiografia da ciência e tecnologia contemporâneas,
Söderqvist (1997) nos apresenta um balanço temporal acerca dessa história mostrando que
a atual orientação a respeito dos estudos da área tem se manifestado na direção de uma
sociologia da ciência, dos estudos sociais, do conhecimento científico, dos estudos sobre a
construção social do conhecimento científico, dos estudos bibliográficos críticos, dos
estudos sobre controvérsias científicas e da retórica da ciência. Esses e outros temas que
evidenciam os estudos de casos na história da ciência recente apontam uma variedade de
tendências teórico-metodológicas das pesquisas na nova história da ciência mostrando as
contribuições que essas tendências têm dado para a emergência de novos estudos históricos
com significado para a ciência recente.
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Um das modalidades que melhor vem se estruturando nesse movimento de reconstrução da
recente história da ciência refere-se à localização e exploração das informações mantidas
por interlocutores que estiveram incluídos direta ou indiretamente nos fatos históricos
pesquisados. O modo de se praticar esse exercício de pesquisa se manifesta fortemente nos
estudos sobre memória e história, via uma abordagem apoiada na história oral ou na
abordagem biográfica e história de vida.
As tendências atuais das pesquisas em história da Matemática, incluindo a história da
Educação Matemática, têm mostrado algumas modalidades que se caracterizam pela
migração conceitual e pela hibridação conceitual, ou seja, as informações são rearranjadas
de modo a dar significados aos estudos realizados. Isso significa que há uma reorganização
de técnicas e formas de conceber e construir a verdade na história do conhecimento tendo
em vista tecer um novo panorama da história em diversos contextos, áreas e épocas. É
dessa reorganização metodológica de pesquisa caracterizada por uma bricolagem de
técnicas que o historiador traça seus planos de estudos e pesquisas de modo a aproximar-se,
o máximo possível, da verdade que pretende instituir no seu percurso historiográfico. Desse
movimento surgiu, então, uma série de relações que implicaram nas novas tendências nas
pesquisas em história da Matemática.
Relações e implicações nas pesquisas em História da Matemática
A respeito das relações e implicações das tendências em história da Matemática,
consideramos oportuno iniciar nossos comentários sobre esse aspecto, com um
questionamento atribuído a Certeau (1991) quando indaga por que é que a Matemática
ocupou um lugar da história, ou seja, daquilo que foi, durante muito tempo, o fundamento
de identificação e justificação de um poder social. Certeau (1991) afirma que esse fato
ocorreu porque os critérios de seleção social mudaram. Uma sociedade privilegia, nos seus
modos de iniciação, o que é privilegiado no seu funcionamento.
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Com base nesse questionamento Certeau afirma que a Matemática desempenha atualmente,
o papel ocupado anteriormente, pela retórica, o latim e a história. Isso se deve a mudança
nos programas escolares. É necessário, entretanto, nos interrogarmos a respeito dos fatores
que ocasionaram tais mudanças atribuindo à matemática a função de uma taxonomia
socialmente eficaz e à história a figura de narrativas para o serão e para os tempos livres da
televisão, narrativas tanto mais manipuláveis quanto dizem respeito a fatos que já deixaram
de existir. (CERTEAU, 1991, p. 12-13).
É nessa perspectiva que a pesquisa voltada para a construção de uma historiografia para
Matemática e para a Educação Matemática que encontramos uma ampliação do campo
referente aos métodos e abordagens de pesquisa nessa área, nos Seminários Nacionais de
História da Matemática, nos Seminários Luso-brasileiros de História da Matemática, bem
como nos estudos e pesquisas realizados por meio das teses e dissertações realizadas em
programas de pós-graduação que envolvem essa área de estudos. Nesse sentido,
apresentamos a seguir o quadro referente ao número de trabalhos publicados nos Anais
desses eventos e seu enquadramento em algumas dessas tendências da pesquisa na área.
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O referencial teórico está apoiado em documentos e estudos que abordam essa questão da
pesquisa, da pós-graduação em Educação Matemática. Além disso, utilizamos os
referenciais teóricos sob as tendências da pesquisa em Educação Matemática para organizar
uma chave de classificação dos trabalhos nas seguintes categorias:
A - Estudos e pesquisas em História e Epistemologia da Matemática;
B - Estudos e pesquisas em História da Educação Matemática;
C - Estudos e pesquisas em História e Pedagogia da Matemática;
D - Estudos e pesquisas em Formação de Professores de Matemática;
E - Estudos e pesquisas em elaboração e testagem de métodos para o ensino de
Matemática;
F - Estudos e pesquisas em Etnomatemática e Educação Matemática;
G - Outras tendências.
Primeira caracterização da pesquisa em história da matemática no Brasil
Após o levantamento, organização e uma primeira análise do material de pesquisa é
possível assegurar que produção gerada na pesquisa se constitui em contribuições
importantes para que os pesquisadores em história da Matemática e história da educação
matemática possam compreender o processo de construção metodológica dessa área de
estudos e pesquisas bem como a produção originada nas pesquisas em História da
Matemática no Brasil e suas contribuições para a organização do patrimônio da matemática
e da Educação matemática brasileira.
A investigação efetivada nas dissertações e teses com enfoques em história da matemática e
história da Educação Matemática, realizadas até o presente momento, apontam algumas
considerações conclusivas sobre a complementaridade estabelecida entre os métodos de
pesquisa nessas duas áreas e os modos de abordagem construídos ou reestruturados nos
últimos 20 anos.
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Há uma tendência para a hibridação do modelo de pesquisa com vistas ao estabelecimento
da complementaridade dos fatores que sustentam a busca de verdades históricas por meio
das pesquisas. A inclusão da literatura como uma fonte suplementar de contextualização do
momento histórico já se mostra como uma forte aliada das pesquisas com vistas a dar
melhor composição explicativa da verdade histórica a ser estabelecida.
57
Essas conclusões parciais mostram que houve um crescimento significativo na qualidade e
quantidade dos trabalhos elaborados, significando um exercício de criatividade na pesquisa
histórica em Educação Matemática, ocasionado também por um acréscimo valioso na
variedade de abordagens e na conjunção de tendências, de modo a gerar formas mistas de
investigação e analise das informações históricas que tecem um painel dos caminhos da
história da Matemática e da Educação Matemática no mesmo pesquisado.
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A retomada dos princípios da arqueologia como forma de construção dos discursos e
proposições da verdade histórica em construção se mostra como outro fator importante para
se estabelecer processos de conexões entre aspectos de constituição da realidade histórica
nas quais poder-se-á mostrar uma convergência dos divergentes e a (re)união dos
convergentes, ou seja, uma história da Matemática na qual as histórias hegemônicas,
consideradas convergentes, se conectam às histórias das culturas matemáticas, não
hegemônicas, mas que também são convergentes, podendo assim complementar-se.
Por outro lado, entretanto, as “etnohistórias” das culturas matemáticas, consideradas não
hegemônicas, admitidas como divergentes em outros tempos, quando aliadas às histórias
das praticas culturais e de seus agentes de construção, também consideradas não
hegemônicas, poderão tornar-se convergentes, de modo a poder complementar também o
processo de construção das verdades históricas.
Nesse contexto de finalização, é importante mencionar que a partir desses primeiros
apontamentos, a busca de uma cartografia das pesquisas em história da matemática e
história da Educação Matemática no Brasil apontam claramente que não nos é possível
tomar a unicidade do método histórico como caminho para a construção dessa
historiografia, uma vez que a pesquisa histórica é um processo cognitivo, no qual as
informações das fontes são buscadas, apreendidas e elaboradas para concretizar ou
modificar empiricamente as perspectivas (teóricas) referentes às experiências humanas
vividas, memorizadas e narradas por outros.
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58
É, portanto, o critério de adoção de alguns métodos de pesquisa sobre história das práticas
matemáticas em suas três dimensões que terminam por tecer em todos os momentos da
pesquisa, uma aproximação entre as abordagens sobre história da obra e da vida de
matemáticos e professores de Matemática ou trabalhadores de outras áreas profissionais,
história das instituições, história da arte, história das disciplinas escolares, dentre outras
atividades sociais e culturais. Dessa tentativa de aproximação se constituem as bases das
interlocuções nas quais a diversidade de fontes na pesquisa historiográfica com origens na
pesquisa em história, antropologia e sociologia podem viabilizar o estabelecimento de
relações e implicações para uma compreensão possível acerca de uma história social da
Educação Matemática e das práticas matemáticas no contexto da sociedade e da cultura.
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TEIXEIRA, Marcos V.; NOBRE, Sergio R. Anais. V Seminário Nacional de História da
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HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO DE
PROFESSORES: QUESTÕES EPISTEMOLÓGICAS
Wagner Rodrigues Valente
GHEMAT - UNIFESP
www.unifesp.br/centros/ghemat
RESUMO
A comunicação guia-se pela resposta à questão: que papel a História da educação
matemática poderá ter na formação de professores de matemática, do ponto de vista dos
conteúdos matemáticos necessários à sua formação? Para respondê-la lança-se mão de
referencial teórico-metodológico vindo da História Cultural, em particular, da História das
Disciplinas Escolares. Discute-se o tema da Matemática na formação do professor,
abordam-se as tendências na Educação Matemática em termos de metodologias e concluise pela necessidade do uso da História da educação matemática como uma tendência da
Educação Matemática para a formação de professores, na abordagem dos conteúdos
envolvidos na prática cotidiana do profissional da escola básica.
TRABALHO
O papel da História da educação matemática na formação de professores tem sido tema de
nossas investigações há algum tempo. Neste texto, voltamos a ele, abordando-o numa
perspectiva até agora pouco tratada: que papel a História da educação matemática poderá
ter na formação de professores de matemática, do ponto de vista dos conteúdos
matemáticos necessários à sua formação?
Anteriormente a essas considerações, procurando dar uma contribuição ao debate sobre a
presença da disciplina História da Matemática nos cursos de licenciatura, advogamos a
necessidade de que a formação de professores deveria incluir “(...) não estritamente a
história da matemática dos matemáticos, mas o que foi se constituindo num saber escolar”
(VALENTE, 2002, p. 94).
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(...) a dimensão formativa da História da educação matemática parece ser de
outra natureza àquela da História da Matemática. Ela aponta para a formação
profissional do professor, para a sua necessidade de compreender que heranças
reelaboradas o seu ofício traz de outros tempos e que estão presentes na sua
prática pedagógica cotidiana (VALENTE, 2010, p. 133).
61
Em sentido lato já discutimos a importância da História da educação matemática na
formação do professor de matemática anteriormente:
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Poderá a História da educação matemática abordar os conteúdos matemáticos
necessários à formação do professor?
Que Matemática na formação do professor de matemática?
Muitos estudos têm sido desenvolvidos para responder a essa indagação. Para referenciar o
assunto, iremos considerar o trabalho dos pesquisadores Manuela David e Plínio Moreira.
Em colaboração, esses investigadores elaboraram o estudo intitulado “O conhecimento
matemático do professor: formação e prática docente na escola básica”. Nas conclusões do
trabalho, tem-se:
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62
O estudo que apresentamos procurou mostrar que a abordagem lógico-dedutiva
– nos termos em que se organiza a matemática científica – não somente é
insuficiente para a sistematização da matemática escolar como é também muitas
vezes inadequada. Essa inadequação provém de várias características apontadas
no estudo, mas uma das principais está associada ao fato de que a abordagem
lógico-dedutiva é profundamente “econômica” na busca da “essência abstrata”
dos conceitos e de características gerais das estruturas matemáticas particulares.
Isso muitas vezes resulta numa identificação de certas interpretações e
construtos associados aos conceitos ou às estruturas que, do ponto de vista da
matemática escolar, é fundamentalmente inconveniente identificar. Em suma, o
que o estudo nos sugere é que, tendo em vista as inadequações e insuficiências
apontadas, a articulação do processo de formação na licenciatura com as
questões postas pela prática docente escolar, mais do que tentar integrar à
prática escolar uma formação específica orientada pela matemática científica –
o fracasso histórico das disciplinas integradoras reforça a hipótese de que tal
formação possa não ser “integrável” – demandaria uma concepção de formação
“de conteúdo” que leve em conta a especificidade do destino profissional do
licenciado e tome como referência central a matemática escolar. Isso pressupõe
evidentemente o desenvolvimento, por meio de outros estudos e pesquisas, de
uma compreensão aprofundada das relações entre matemática científica e
matemática escolar e do papel de cada uma delas na prática docente escolar
(2005, p. 59).
A longa citação coloca em debate questões epistemológicas relativas à matemática e à
matemática escolar. A análise das relações entre essas duas matemáticas é tema de estudos,
com diferentes posicionamentos teórico-metodológicos, já de algum tempo. Um deles, nos
parece, refere-se aos estudos estreitamente ligados ao campo didático. E, neste caso, a
“transposição didática” é elemento emblemático9. Outro aporte teórico-metodológico ligase à compreensão das relações entre “matemática científica e matemática escolar”, ao longo
do tempo, em termos da produção dos saberes elementares. Neste segundo caso, os estudos
9
A referência a estudos que tomam essa perspectiva remete ao pesquisador francês Yves Chevallard e sua
obra basilar “La transposition didactique – du savoir savant au savoir enseigné” (VALENTE, 2005, p. 29).
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têm caráter histórico. Em nossas pesquisas, optamos por essa perspectiva, com o intuito de
trazer uma contribuição ao debate, sobre o papel da História da educação matemática na
formação do professor de matemática. Explicitando um pouco a nossa perspectiva, para o
trato histórico do tema, cabe discorrer, mesmo que de modo bastante sintético, sobre
história cultural e história das disciplinas escolares, que configuram o enquadramento
teórico desta comunicação.
História Cultural, História das Disciplinas Escolares e questões epistemológicas.
Dada a sua complexidade e extensão, não é tarefa simples caracterizar em poucas linhas,
como se dá a pesquisa que tem por referência a História Cultural. No entanto, algumas
balizas parecem indicar o caminho a seguir nesses estudos. Uma delas refere-se ao
tratamento dado ao termo cultura. O historiador francês Roger Chartier menciona haver
duas famílias de significados para ele: uma delas é a que designa por cultura as obras e os
gestos que, em uma dada sociedade se subtraem das urgências do cotidiano para
submeterem-se a um juízo estético ou intelectual; a outra família se refere às práticas
ordinárias através das quais uma sociedade ou um indivíduo vivem e refletem sobre sua
relação com o mundo, com os outros ou consigo mesmo (CHARTIER, 2007, p. 50). Assim,
será considerando esta segunda acepção, que toma a noção de cultura agarrada a um grupo
e à sua vida comum de existência, que nos localizamos no âmbito de uma História Cultural;
em específico, à vida cotidiana das escolas, aos significados construídos no meio escolar
que dão vida e funcionamento ao dia-a-dia pedagógico. Ou seja, ao que se pode chamar de
cultura escolar. E, nesse contexto, interessam as transformações ao longo do tempo que
ocorrem com a matemática nela presente: a matemática escolar.
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Na opinião comum, a escola ensina as ciências, as quais fizeram suas
comprovações em outro local. Ela ensina à gramática porque a gramática,
criação secular dos linguistas, expressa a verdade da língua; ela ensina as
ciências exatas, como a matemática, e, quando ela se envolve com a matemática
moderna é, pensa-se, porque acaba de ocorrer uma revolução na ciência
matemática; ela ensina a história dos historiadores, a civilização e a cultura
latina da Roma antiga, a filosofia dos grandes filósofos, o inglês que se fala na
Inglaterra ou nos Estados Unidos, e o francês de todo o mundo (CHERVEL,
1990, p. 180).
63
Faz já mais de uma vintena de anos que um texto de André Chervel vem constituindo
referência fundamental para o estudo das disciplinas escolares . Esse pesquisador traz
contribuição fundamental, a partir de suas pesquisas sobre a gramática escolar francesa, à
análise dos conteúdos escolares. Chervel, de modo original, analisa historicamente as
relações entre ciência, pedagogia e as disciplinas escolares. Para Chervel, a forma
consagrada de tratamento dos ensinos escolares pode ser sintetizada, considerando-se que:
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Contrapondo-se a essa concepção comum, os estudos de Chervel apontam a originalidade
das produções escolares, em termos de elaboração das disciplinas. Elas são o resultado
histórico do que a escola produz ao longo dos séculos de sua existência. E, mais: ajunte-se a
isso, uma verdadeira revolução epistemológica na forma de analisar os conteúdos escolares.
O tema surge quando o autor aborda as relações entre ciência, pedagogia e disciplinas
escolares. A concepção comum existente sobre os ensinos escolares, mencionada
anteriormente, ancora-se, igualmente, num modo clássico de perceber a pedagogia: um
lubrificante que age sobre os conteúdos produzidos pela comunidade científica, de modo a
vulgarizar a ciência para crianças e adolescentes. Tratar-se-ia de uma metodologia, de
modos de trabalhar os conteúdos de maneira a que pudessem ser ensinados. Segundo essa
visão, de um lado estão os conteúdos científicos e, de outro, os métodos. Em suma:
Ciências apartadas da Pedagogia.
No entanto, o trabalho de André Chervel rompe com essa perspectiva à medida que alerta
para o fato de que:
Excluir a pedagogia do estudo dos conteúdos é condenar-se a nada
compreender do funcionamento real dos ensinos. A pedagogia, longe de ser um
lubrificante espalhado sobre o mecanismo, não é senão um elemento desse
mecanismo; aquele que transforma os ensinos em aprendizagens (CHERVEL,
1990, p. 182).
Este texto adota essa postura teórico-metodológica. Desse modo, não separa método e
conteúdo, pedagogia e ciência na escola, matemática e pedagogia. Estuda a matemática
escolar: elemento produzido historicamente no embate da cultura escolar com outras
culturas, esta constituída do imbricamento inseparável de métodos e conteúdos definidores
da matéria a ensinar.
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64
Como modo ampliado de designação, este estudo adota os termos “História da educação
matemática” como a representação construída sobre os processos e dinâmicas elaborados
ao longo do tempo na produção da matemática escolar em termos de seu ensino e
aprendizagem10. Assim, recoloca-se, a questão: que papel tem a História da educação
matemática na formação do professor de matemática relativamente aos conteúdos
matemáticos?
História da educação matemática na formação de professores: recurso ou
metodologia?
Uma discussão que parece muito importante, em termos das práticas pedagógicas do
professor de matemática, diz respeito aos elementos envolvidos em sua ação didática com
10
Cabe aqui ressaltar uma distinção importante: “História da Educação Matemática” refere-se à história da
constituição do campo de pesquisa recente denominado Educação Matemática, diferentemente de “História da
educação matemática”, rubrica tratada neste texto.
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vistas à aprendizagem da Matemática por seus alunos. Dentre esses elementos, o professor
lança mão de metodologias e de recursos. O exemplo da resolução de problemas é
emblemático para esta discussão. E, neste caso, a afirmação de uma prática pedagógica que
incorpore as tendências da Educação Matemática11, leva em conta a resolução de problemas
como uma metodologia e não como um mero recurso de ensino. Uma das referências mais
importantes sobre esse tema - a professora e pesquisadora Lourdes Onuchic - destaca o
movimento em torno da resolução de problemas em sua passagem de recurso para
metodologia. No seu entender, a partir do final da década de 1980, os pesquisadores
começam a discutir novas perspectivas didático-pedagógicas dessa alternativa de ensino.
Assim, a resolução de problemas “(...) passa a ser pensada, então, como uma metodologia
de ensino, como um ponto de partida e um meio de se ensinar matemática. Essa forma de
ensinar matemática passa a ser vista como um modelo ‘pós-Polya’” (ONUCHIC, 2008, p.
7).
Problemas nas aulas de matemática tem referência longínqua. Ao correr do tempo, o
significado de seu uso parece estar ligado, sobretudo, como um recurso de fixação do
conteúdo matemático. Algo muito diferente refere-se à sua utilização como uma
metodologia. E, neste caso, leva-se em conta que a formulação de problemas matemáticos é
um meio de possibilitar que os estudantes estejam em situação de construção do
conhecimento matemático, em sua aprendizagem. Dessa forma, o estudante, diante de
situações que precisam ser resolvidas por meio da Matemática, lança mão de
conhecimentos que já possui. No entanto, esses conhecimentos revelam-se insuficientes.
Impulsionado a resolver a situação problemática, o estudante constrói novos aportes
provisórios de fundo matemático que, no processo de trabalho coletivo com a classe e com
a mediação do professor, resultará na sistematização e aquisição de novos conceitos. Dessa
forma, a resolução de problemas implica na aquisição de novos conteúdos matemáticos,
diferentemente de seu uso como recurso para fixação de conteúdos já ensinados. Resolver
problemas passa, dessa maneira, a representar um modo de aquisição de conteúdos
matemáticos e não, simplesmente, um ingrediente de verificação do quanto um estudante
fixou ou não os ensinos do professor.
11
Tendências da Educação Matemática é título que vem sendo utilizado para designar novas possibilidades
trazidas pelo desenvolvimento do campo da Educação Matemática. Referências curriculares, livros,
disciplinas dos cursos de formação de professores e outras apropriações do título acabam relacionando o uso
da tecnologia, da resolução de problemas, da História da Matemática, da modelagem matemática, da
Etnomatemática dentre outros elementos, como novas possibilidades para as práticas pedagógicas do
professor de matemática.
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Se há muitas dificuldades no cotidiano escolar em considerar a presença da resolução de
problemas enquanto uma metodologia (MEDEIROS, 2012; TRINDADE, 2012), levar em
conta outro eixo metodológico inscrito nas tendências da Educação Matemática, como o do
uso da História da Matemática, parece ser algo mais difícil ainda. Pesquisas recentes
mostram a fragilidade da disciplina História da Matemática no currículo de formação de
professores (FRAGOSO, 2011); além disso, indicam que o dia-a-dia escolar pouco ou nada
tem levado em conta essa perspectiva em termos de uma metodologia de ensino. Em boa
medida, considerar a História da Matemática é algo visto como perda de tempo, pois
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roubaria espaço do ensino-aprendizagem dos conteúdos matemáticos necessários a cada
grau de ensino (SANTOS, 2012).
Não é difícil concluir, assim, que um duplo e difícil problema a enfrentar está posto para a
História da educação matemática na formação de professores. Um primeiro aspecto referese ao status acadêmico ainda não obtido por esses estudos a ponto de serem valorizados nas
referências curriculares nacionais. Se nelas está presente, como tendência da Educação
Matemática, o uso da História da Matemática, não se tem, ainda, praticamente, qualquer
menção à História da educação matemática. Isso é compreensível, pois o acúmulo de
conhecimentos nessa área é muito recente. De todo modo, na medida em que cresce a
produção ligada à História da educação matemática12 vai sendo possível a construção de
um movimento mais e mais incisivo para incorporar esses saberes na formação do professor
de matemática.
O segundo aspecto onde é possível vislumbrar grande dificuldade diz respeito a tratar a
História da educação matemática como uma metodologia. Como se disse anteriormente
parece que ainda não há exemplos, e conhecimento acumulado sobre experiências tratadas
no cotidiano escolar em termos do uso da História da Matemática. Dificuldades de natureza
semelhante, ao que tudo indica, devem ser vencidas em termos de se ter presente a História
da educação matemática como uma metodologia. Mas, qual seria o significado de pensá-la
como uma metodologia?
História da educação matemática: uma metodologia na formação de professores
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66
Retome-se a discussão método versus recurso de ensino. A discussão metodológica remete
à possibilidade de construção do conhecimento pelo estudante, pelo professor em sua
formação inicial. E, neste caso, poderá haver um primeiro estranhamento: necessita o
professor construir conhecimentos básicos de matemática? À parte as discussões da
formação precária obtida na escola básica, não se pretende advogar que os cursos de
licenciatura em matemática realizem revisões da matemática elementar e muito menos que
isso seja tarefa da História da educação matemática. Assim, em que sentido a História da
educação matemática liga-se aos conteúdos matemáticos?
A resposta à questão remete à formação profissional do professor de matemática. Seu ofício
implica na condução da disciplina escolar Matemática, forma organizadora da matemática
escolar historicamente constituída. Acrescente-se, também, que em níveis iniciais, a
condução da Matemática se dá em termos de matérias escolares, também historicamente
constituídas. Mas seja em termos de disciplinares ou de matéria de ensino, tem-se os
conteúdos matemáticos a serem trabalhados na escola.
O entendimento da construção histórica da matemática escolar não ocorre, por certo, como
vulgarização da Matemática, em termos de “transposições didáticas”, como sustenta o
12
A publicação de dois exemplares temáticos, em 2010, para abrigar a enorme quantidade de estudos sobre
História da educação matemática pela revista Bolema – principal referência da Educação Matemática – é,
neste caso, emblemática.
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ferramental teórico-metodológico vindo dos estudos da Didática da Matemática. Assim, há
necessidade de aprendizagem da construção histórica de produção dos saberes elementares
matemáticos. Ela leva ao processo de dar sentido aos conteúdos que são ensinados na
escola elementar. Por que a escola básica ensina o que ensina em matemática? Essa parece
ser a questão central. Colocar o professorando em situações de desequilíbrio, onde o seu
saber matemático não dá conta de explicar as razões da existência ou ausência de temas
matemáticos no rol das atividades matemáticas presentes na prática do professor, poderá
levá-lo à reconstrução dos saberes elementares em termos historicamente sustentáveis.
Como explicar, por exemplo, que a década de 1940, no Brasil, alijou dos programas de
matemática ginasiais o conteúdo “função”, tendo ele sido referência para o ensino na
década de 1930? Questões como essa remetem ao tratamento da História da educação
matemática como uma metodologia de ensino na formação do professor de matemática. Na
resposta a ela, o futuro mestre irá deparar-se com a necessidade de reconstruir os conteúdos
da matemática escolar presentes no ofício cotidiano de ser professor.
A compreensão da presença de função como saber matemático da escola básica remete às
discussões internacionais do início do século XX, ao entendimento de trabalhos de Félix
Klein, ao papel do Colégio Pedro II na organização da matemática escolar brasileira, às
ações do professor Euclides Roxo; de outra parte, o entendimento da exclusão desse
conteúdo em nível ginasial nos anos 1940 necessita da compreensão de um novo momento
do governo Vargas, da presença no debate educacional de professores das escolas militares
e seus programas de formação, das escolas confessionais e a produção de livros didáticos
para o ensino de matemática dentre muitas outras coisas.
Em síntese: se, de fato, é importante, para a formação do professor de matemática ter
conhecimento das contribuições, ao longo do tempo, de como cientistas, estudiosos e
matemáticos desenvolveram e sistematizaram função como conteúdo matemático,
fundamental para o professor em formação, também, é a ciência de como, a matemática que
ele irá ensinar em sua profissão organizou-se/reorganizou-se levando em conta a forma
escolar mutante desse conceito em diferentes épocas escolares.
Finalmente, a possibilidade da História da educação matemática ser pensada como uma
metodologia remete à sua inclusão como uma tendência da educação matemática. Não
basta, ao que tudo indica, pensá-la como um apêndice da História da Matemática. Seus
conteúdos, processos e finalidade formativa são diferentes.
CHARTIER, R. La historia o la lectura del tempo. Barcelona: Editorial Gedisa, 2007.
CHERVEL, A.. História das disciplinas escolares: reflexões sobre um campo de pesquisa.
Teoria & Educação, 2, 1990. p. 177-229.
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DAVID, M. M. S.; MOREIRA, P. C. O conhecimento matemático do professor: formação
e prática docente na escola básica. Revista Brasileira de Educação. Rio de Janeiro. Jan
/Fev /Mar /Abr , 2005 No. 28. p.50-61.
67
REFERÊNCIAS
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
FRAGOSO, W. C. História da Matemática: uma disciplina do curso de Licenciatura em
Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora. Dissertação (Mestrado Profissional
em Educação Matemática) – Universidade Federal de Juiz de Fora, MG. 2011.
MEDEIROS, J. S. Resolução de problemas matemáticos - estudo de caso com professoras
dos anos iniciais em escola alagoana. Dissertação (Mestrado em Programa de PósGraduação em Educação) - Universidade Federal de Alagoas. 2012.
ONUCHIC, L. de La R. Uma história da Resolução de Problemas no Brasil e no Mundo.
IN: I Seminário em Resolução de Problemas – Palestra de Encerramento. São Paulo.
2008. Disponível em (acesso no dia 28 de abril de 2012):
http://www.rc.unesp.br/serp/trabalhos_completos/completo3.pdf
TRINDADE, D. A. Entendimentos sobre o uso da resolução de problemas matemáticos - o
caso de professores de Matemática do 6o. ao 9o. ano da rede municipal de Aracaju/SE.
Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) - Universidade Federal de
Sergipe. 2012.
SANTOS, R. P. O. Uma investigação sobre as tendências metodológicas da educação
matemática a partir das formações continuadas - Sergipe, 1988-2006. Dissertação
(Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) - Universidade Federal de Sergipe. 2012.
VALENTE, W. R. História da Matemática na Licenciatura. Educação Matemática em
Revista. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Ano 9, No. 11A.
Edição Especial, 2002.
______________ A matemática escolar: epistemologia e história. Revista Educação em
Questão, v. 23, n. 9, p. 16-30, maio/ago. 2005.
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68
______________ História da educação matemática: considerações sobre suas
potencialidades na formação do professor de matemática. Bolema, Rio Claro (SP), v. 23, nº
35A, p. 123 a 136, abril 2010.
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A METODOLOGIA DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE
MATEMÁTICA ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
PERSPECTIVAS À FORMAÇÃO DOCENTE NO CONTEXTO DA
SALA DE AULA
Profa. Dra. Célia Barros Nunes
Universidade do Estado da Bahia – UNEB/Campus X, Brasil
[email protected]
RESUMO
A aprendizagem matemática não ocorre simplesmente pela transmissão de saberes do
professor para o aluno. É possível aprender matemática com tarefas que incentivem a
construção do conhecimento que poderá favorecer o prazer pela descoberta, promover a
autonomia e incentivar a comunicação. Além disso, o processo de construção do
conhecimento leva o aluno a pensar mais, raciocinar mais, potencializando, dessa forma,
um nível de conhecimento bem alicerçado. Nesse sentido, a resolução de problemas se
apresenta como uma perspectiva metodológica que tem sido reconhecida mundialmente
como uma meta fundamental no ensino-aprendizagem da Matemática. Assim, o presente
texto pretende apresentar a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de
Matemática através da Resolução de Problemas como uma proposta didática para se
trabalhar em sala de aula.
Palavras-chave: Resolução de Problemas, Ensino-aprendizagem-avaliação da matemática,
Formação de professores.
Resolver problemas é o processo de reorganizar conceitos e habilidades, aplicando-os numa
nova situação, atendendo a um objetivo. Um dos objetivos principais do ensino e da
aprendizagem matemática é fazer o aluno pensar produtivamente e, para isso nada melhor
que lhe apresentar situações problemas que o envolva, o desafie e o motive a querer
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O tema Resolução de Problemas tem sido discutido e analisado nas últimas duas décadas,
tanto entre professores e educadores quanto entre pesquisadores e elaboradores de
currículos. Todavia, tradicionalmente, os problemas não têm desempenhado seu verdadeiro
papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como forma de
aplicação de conhecimento adquirido anteriormente pelos alunos.
69
INTRODUÇÃO
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resolvê-las. Essa é uma das razões pela qual a resolução de problema tem sido reconhecida
no mundo todo como uma meta fundamental do ensino e da aprendizagem matemática.
Entretanto, enfrentar e resolver um problema matemático não significa apenas a
compreensão do que é exigido, a aplicação das técnicas ou fórmulas adequadas e a
obtenção da resposta correta, mas, além disso, uma atitude de investigação científica em
relação àquilo que está pronto.
Vários são os pesquisadores que defendem um trabalho de ensino-aprendizagem de
matemática através da resolução de problemas (ONUCHIC, 1999; VAN DE WALLE,
2009; ONUCHIC e ALLEVATO, 2004; NUNES, 2010; NUNES, 2011). Segundo eles,
conceitos e procedimentos matemáticos importantes podem ser melhor ensinados através da
resolução de problemas. Ou seja, tarefas ou problemas podem e devem ser colocados de
forma a engajar os estudantes em pensar e desenvolver a matemática importante que
precisam aprender.
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
PSICOLÓGICAS DE APRENDIZAGEM
NO
CONTEXTO
DAS
TEORIAS
A história da pesquisa em Resolução de Problemas é muito recente e tem sido objeto de
interesse mundial. Seu estudo vem sendo focado em duas vertentes: uma relacionada a seu
estudo em sala de aula e a outra enquanto objeto de pesquisa. Recorrendo à história, o
limiar do século XX, ao longo das reformas sociais, mostrou-se um provocador de muitos
movimentos de mudanças na Educação Matemática de todo o mundo, buscando sempre
aprimorar as formas de ensinar, de aprender e de avaliar o progresso dos alunos e o trabalho
dos professores.
Mais recentemente, 2007, o mesmo tema foi abordado por Lambdin e Walcott, descrevendo
outras três fases, ampliando as citadas por D’Ambrosio (1983) que se seguiram no período
da Matemática Moderna, a saber: De volta ao Básico, Resolução de Problemas e Padrões e
PÁGINA
70
Beatriz D’Ambrósio13, em seu trabalho de 1983, fez uma análise das fases – Exercício e
Treino, Aprendizagem Significativa e Matemática Moderna – pelas quais passou o ensino
da Matemática desde o início do século XX até décadas de 60 e 70, enfatizando a influência
que essas fases tiveram na Teoria Psicológica da Aprendizagem em conexão com a
evolução do currículo matemático. Segundo a autora, os fatores que deram início a cada
fase curricular foram complexos, uma mistura de fatores sociológicos, políticos,
tecnológicos e psicológicos. Dentre esses fatores, o objetivo principal desse trabalho foi
examinar a influência do fator psicológico com suas teorias de aprendizagem.
13
D’AMBROSIO, B. Influência de Teorias de Aprendizagem na Evolução do Currículo Matemático. Série
de Palestras e Debates: Solução de Problemas, Computadores e aspectos culturais no ensino de
Matemática. Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Educação – DEME, 1983.
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Avaliação e Responsabilidade. Segue abaixo, um quadro resumo, elaborado pelas autoras,
de cada fase.
Fases
Exercício
prática
Principais Teorias
Foco
e Teóricos
e Coneccionismo e Facilidade
Associacionismo
cálculo.
(aprox. 1920 – (Thorndike)
1930)
Como atingir
com  Rotina,
memorização
de
fatos e algoritmos.
 Quebrar todo o
trabalho em séries
de pequenos passos.
Aritmética
Teoria da Gestalt
significativa
(Brownell,
(aprox. 1930 – Wertheimer, Van
1950s)
Engen, Fehr)
Compreensão
de  Ênfase nas relações
ideias e habilidades
matemáticas.
aritméticas.
Aplicações
da  Aprendizagem
incidental.
matemática
em
problemas do mundo  Abordagem
de
real.
atividade orientada.
Matemática
Psicologia
do Compreensão
Moderna (aprox. desenvolvimento,
estrutura
1960 – 1970s)
teoria sociocultural disciplina.
(ex:
Brunner,
Piaget, Dienes)
da  Estudo
da
estruturas
matemáticas.
das
 Currículo
espiral.
em
 Aprendizagem
descoberta.
por
Volta às bases (Retorno
ao) (Retorno
à)  (Retorno
à)
(aprox. 1970s)
coneccionismo.
preocupação com o
aprendizagem
de
desenvolvimento do
fatos por exercício
conhecimento e das
e prática.
habilidades.
Padrões,
avaliação,
15
Psicologia
cognitiva,
Guerras
teoria matemáticas:
de  Retorno
e
aprendizagem
de
descoberta.
à
por
 Aprendizagem
através da resolução
de problemas.
 NSF15
–
desenvolvimento de
NSF – National Science Foundation – Fundação Nacional de Ciência
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Resolução
problemas
processos
pensamento
matemático.
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Resolução
de Construtivismo,
problemas
psicologia
(aprox. 1980s)
cognitiva e teoria
sociocultural
(Vygotsky)
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responsabilidade
sociocultural
vs preocupação com a
(aprox. 1990 até renovada ênfase na alfabetização
psicologia
matemática
dos
o presente)
experimental.
indivíduos
vs
(NCBL14)
preocupação com a
gestão dos sistemas
educacionais.
currículos baseados
em
padrões
e
orientados
ao
estudante vs foco
na preparação para
os
testes
com
expectativas
específicas.
Tabela 1: Relações entre as Fases da Educação Matemática e as Teorias
Psicológicas de Aprendizagem
Segundo Lambdin e Walcott (2007), essas fases merecem atenção, pois cada uma delas
corresponde a um período em que a Educação, em geral, estava caminhando através de
mudanças radicais e fundamentais e cada uma introduzia práticas novas e inovadoras para a
Educação Matemática. A essas razões, acrescenta-se o fato de que algumas das fases
apontadas também foram vivenciadas em outros lugares do mundo e exerceram forte
influência nos rumos que o trabalho com a matemática escolar tomou a partir de então.
Considere-se aqui a fase da Resolução de Problemas e a influência que a Teoria Psicológica
de Aprendizagem trouxe a essa fase, cujas ideias apoiavam-se, especialmente, nos
fundamentos do Construtivismo e na Teoria Sociocultural de Vygotsky. O foco nessa fase
foi colocado sobre os processos de pensamento matemático e de aprendizagem por
descoberta no contexto da Resolução de Problemas. Segundo González (2010), tal interesse
pelos processos de pensamento de estudante se conecta com a ideia de que a Educação não
pode consistir apenas em acumulação de conhecimentos, ao contrário, eles devem ser
reflexivos; que possuam um extenso repertório de ferramentas de pensamento formal e
informal e que saibam como e quando usá-las; que tenham uma boa quantidade de
conhecimentos acerca da cognição humana e como manejar efetivamente suas próprias
ações cognitivas (metacognição).
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72
As investigações sistemáticas sobre resolução de problemas e suas implicações curriculares
tiveram início na década de 70, do século XX, e, ganharam espaço no mundo inteiro já no
final da referida década. Começando, então, o movimento a favor de um ensino baseado em
resolução de problemas.
Nos Estados Unidos, em 1980, o NCTM – National Council of Teachers of Mathematics
(Conselho Nacional de Professores de Matemática) já manifestava sua preocupação com
essas questões e, então, publicou o documento An Agenda for Action: Recomendations for
School Mathematics of the 1980’s (Uma Agenda para Ação: Recomendações para a
matemática escolar nos anos 80), que chamava todos os interessados, pessoas e grupos,
para juntos, num esforço cooperativo massivo, buscarem uma melhor compreensão
matemática para todos. A primeira dessas recomendações dizia: resolver problemas deve
ser o foco da matemática escolar para os anos 80. Os educadores matemáticos daquela
14
NCLB – No Child Left Behind Act – Nenhuma Criança Ficará para Trás
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época tinham um grande interesse em fazer da resolução de problemas um foco do
currículo de Matemática.
AS DIFERENTES ABORDAGENS DADAS À RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA
DÉCADA DE 80
Devido a uma falta de consenso entre pesquisadores, educadores matemáticos sobre a
recomendação deixada pelo documento Uma Agenda para a Ação ocorrida, possivelmente,
pelas diferenças existentes entre as concepções que pessoas e grupos, envolvidos com a
Educação Matemática, tinham sobre o significado de Resolução de Problemas ser o foco da
matemática escolar, o trabalho da década de 80 não chegou a um bom termo. Para ajudar a
refletir sobre essas diferenças, Schroeder e Lester (1989) citaram duas maneiras distintas de
abordar resolução de problemas: (1) ensinar sobre Resolução de Problemas; (2) ensinar
para resolver problemas, que foram as adotadas nessa década. Livros escritos sobre esses
dois caminhos, isto é, livros da década de 80, sempre se referiam ou aos quatro passos de
Polya16 ou a variação deles, ou ao uso de estratégias indicadas para a resolução de
problemas17.
Entendia-se ensinar sobre resolução de problemas com o significado de trabalhar esse
assunto como um novo conteúdo, adicionando a esse trabalho um número de heurísticas ou
estratégias. O professor que ensina sobre resolução de problemas realça o modelo de
Resolução de Problemas de Polya ou alguma variação dele. Esse modelo descreve um
conjunto de quatro fases interdependentes no processo de resolução de problemas
matemáticos: compreender o problema; devisar um plano; levar o plano adiante; e olhar de
volta ao problema original, no intuito de analisar a validade da solução encontrada. Aos
estudantes, dentro dessa ideia, são ensinadas claramente as fases que, de acordo com Polya,
um esperto resolvedor de problemas as utiliza quando está resolvendo problemas
matemáticos, e ele é encorajado a tomar conhecimento de seu próprio progresso, através
dessas fases, enquanto resolve o problema.
16
o
Ver Math – monograph n 7, proof of Alberta – Problem Solving in the Mathematical Classroom (MCATA),
1982.
17
Ver Strategies for Problem Solving – Lesson plans for developing mathematical thinking – Kaye Stacey and
Susie Groves, 1985.
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Acabando a década de 80, em 1989, Schroeder e Lester alertaram sobre a falta de consenso
na interpretação da primeira recomendação deixada pelo documento Uma Agenda para
Ação, que pedia que a resolução de problemas fosse o foco da matemática escolar nos anos
80. Com isso, pesquisadores passaram a questionar o ensino e o efeito de estratégias e
modelos e começaram a discutir as perspectivas didático-pedagógicas da resolução de
73
Ensinar para resolver problemas tinha o significado de concentrar-se na maneira como a
matemática é ensinada e o que dela pode ser aplicado na resolução de problemas rotineiros
e não rotineiros. Além disso, o professor que ensina para resolver problemas está muito
preocupado sobre a habilidade dos estudantes em transferir aquilo que eles já aprenderam
no contexto de um problema para outros. Uma forte justificativa dessa abordagem é a de
que a única razão para aprender Matemática é a de ser capaz de usar o conhecimento
adquirido em sala de aula para resolver problemas.
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problemas, da qual passou a ser pensada como uma metodologia de ensino, como um ponto
de partida e um meio de se ensinar matemática.
Nesse ano de 1989 estudiosos passam a trabalhar o ensino de Matemática “via” resolução
de problemas, entendendo via como um meio de se aprender Matemática. Como afirmam
Schroeder e Lester (1989, p. 33)
No ensino via resolução de problemas, os problemas são
trabalhados não apenas com o propósito de se aprender
Matemática, mas também como o principal meio de se fazer isso.
Nessa abordagem, o ensino de um tópico de Matemática começa
com uma situação problema que incorpora aspectos chave do
tópico, e técnicas matemáticas são desenvolvidas como respostas
razoáveis a problemas razoáveis. Um objetivo de se aprender
Matemática é o de transformar certos problemas não rotineiros em
rotineiros. A aprendizagem matemática, nessa forma, pode ser vista
como um movimento do concreto (um problema do mundo real
que serve como um exemplo de conceito matemático ou de técnica
matemática) para o abstrato (uma representação simbólica de uma
classe de problemas e técnicas para operar com estes símbolos).
Observa os autores que essa é uma abordagem para se ensinar matemática e que merece ser
considerada, desenvolvida, experimentada e avaliada. De fato, ensinar matemática via
resolução de problemas é a abordagem mais consistente com as recomendações da
Comissão de Padrões do NCTM, que dizem:

habilidades e conceitos matemáticos devem ser aprendidos no contexto da
resolução de problemas;

o desenvolvimento de processos de pensamento de nível superior deve ser
estimulado através de experiências em resolução de problemas;

o ensino de Matemática deve acontecer numa atmosfera de resolução de
problemas, orientada para a pesquisa.
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74
a resolução de problemas desenvolve nos estudantes a crença de que eles são

capazes de fazer matemática e de que ela faz sentido;

a resolução de problemas proporciona uma avaliação contínua de dados que
podem ser usados para tomar decisões instrucionais, ajudar os estudantes a terem
sucesso na aprendizagem e dar informação aos pais;

trabalhar com resolução de problemas é prazeroso. Os professores que
experimentam trabalhar nessa maneira nunca voltam ao modo do ensinar-falando.
Foi, a partir de 1990, que a abordagem ensinar via resolução de problemas (Teaching via
Problem Solving) passou a ser ensinar através de resolução de problemas (Teaching
through Problem Solving). Nela o que se pretende é ensinar, aprender e avaliar a
matemática construída pelos alunos com a guia e direção do professor através da resolução
de problemas.
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Segundo Nunes (2010, p. 84) o que diferencia essa abordagem da anterior é que a
expressão através de significa do começo ao fim, inteiramente, ao longo da resolução do
problema e não simplesmente um recurso para se resolver o problema dado. É uma forma
de ensinar e, consequentemente, aprender e, durante o processo, fazer matemática, pois o
aluno diante do problema deve se mostrar como um co-construtor do seu próprio
conhecimento. Nessa abordagem o objetivo primeiro é apresentar para os alunos problemas
que gerarão novos conceitos ou conteúdos. Professores e alunos, juntos, desenvolvem esse
trabalho e a aprendizagem realiza-se de modo cooperativo e colaborativo em sala de aula.
Hoje, Devido a sua natureza hoje essa abordagem é considerada uma forte tendência na
Educação Matemática e vem ganhando força e consistência no currículo de Matemática.
A
METODOLOGIA
DE
ENSINO-APRENDIZAGEM-AVALIAÇÃO
MATEMÁTICA ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
DE
No nome dessa metodologia há de se observar que a palavra composta ensinoaprendizagem-avaliação, segundo Onuchic (1999) foi criada para expressar a ideia de que
ensino e aprendizagem devem acontecer simultaneamente durante a construção do
conhecimento, tendo o professor como guia e os alunos como co-construtores desse
conhecimento. Além disso, essa metodologia integra uma concepção mais atual sobre
avaliação. Ela é construída durante a resolução de problemas, integrando-se ao ensino com
vistas a acompanhar o crescimento dos alunos, aumentando a aprendizagem e reorientando
as práticas de sala de aula, quando necessário (ONUCHIC e ALLEVATO, 2009). Com
isso, entende-se que o papel da avaliação muda. Ela deve ser expandida para além do
conceito tradicional da realização de provas. Trabalhar a avaliação continuamente poderá
ajudar a tornar o pensamento dos estudantes visíveis para eles mesmos, para seus colegas e
para os professores.
A Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução
de Problemas se apresenta como uma proposta didática para se trabalhar em sala de aula.
Defende-se nela que o aluno aprende matemática a partir de um problema, tendo como
objetivo um foco particular de Matemática e, usando estratégias convenientes, busca-se a
solução do problema, com a participação efetiva dos alunos, seja individual, aos pares ou
em pequenos grupos. Nela, os alunos têm a possibilidade de ver os conhecimentos e
procedimentos matemáticos surgirem com significado e compreensão.
E, para isso, Onuchic, em 1998, elaborou algumas questões que poderão ajudar o professor
a refletir sobre elas e a bem escolher os problemas com os quais irá trabalhar: Isso é um
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Em sala de aula, além de gerir o trabalho dos alunos, o professor precisa interpretar e
compreender como eles resolvem o problema e de explorar as suas respostas de modo a
aproximar e articular as suas ideias com aquilo que é esperado que aprendam. Os alunos,
por sua vez, devem entender e assumir essa responsabilidade.
75
É crucial o papel e a ação do professor que começa com a escolha e preparação do
problema apropriado ao conteúdo ou ao conceito que pretende construir com vistas ao
cumprimento do seu propósito matemático, orientado pelos programas curriculares
estipulados pela escola; precisa deixar de ser o centro das atividades, passando para os
alunos a maior responsabilidade pela aprendizagem que pretendem atingir.
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problema? Por quê?; Que tópicos de Matemática podem ser iniciados com esse problema?;
Haverá necessidade de se considerar problemas menores (secundários) associados a ele?;
Para que séries acredita ser este problema adequado?; Que caminhos poderiam ser
percorridos para se chegar à sua solução?; Como observar a razoabilidade das respostas
obtidas?; Como professor, você teria dificuldade em trabalhar esse problema?; Que grau de
dificuldade acredita que seu aluno possa ter diante desse problema?; Como relacionar o
problema dado com aspectos sociais e culturais?
Todo esse conjunto de ações nos mostra o quanto o professor refletiu sobre a prática que
pretendia desenvolver nessa aula. Nunes (2010), ao defender a Resolução de Problemas
como uma metodologia de ensino-aprendizagem da Matemática ressalta
[...] Um professor pesquisador se configura para nós como um
professor que pesquisa quando busca problemas que podem ser
utilizados, em sala de aula, para trabalhar determinados tópicos
matemáticos pertinentes ao programa planejado; pesquisa quando
identifica os focos matemáticos importantes e as grandes ideias
subjacentes; pesquisa quando estabelece as melhores estratégias
disponíveis para resolver os problemas; pesquisa quando prepara as
questões com as quais conduzirá os alunos, durante a plenária,
ouvindo-os em suas respostas; pesquisa quando planeja a
formulação rigorosa da nova matemática construída durante essa
aula, tendo os alunos como co-construtores desses novos conceitos
e conteúdos (NUNES, 2010, p. 95).
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76
Como a preocupação de Onuchic e dos integrantes do Grupo de Trabalho e Estudos
em Resolução de Problemas, GTERP18 sempre foi desenvolver pesquisas que atinjam
efetivamente a sala de aula, bem como das experiências com formação de professores, um
roteiro foi elaborado em 1998, por Onuchic e professores, para ajudar os professores a
empregar essa metodologia em suas aulas e que já se encontra em sua segunda versão.
A princípio, o professor deverá preparar o problema visando à construção de um
novo conceito, princípio ou procedimento, que chamaremos de problema gerador. Escolher
as estratégias que poderão ser adotadas para resolver o problema dado; resolver
completamente o problema usando as estratégias adotadas; preparar as questões que
poderão ser feitas na plenária e levar a formalização do material matemático novo
construído a partir do problema. Vale salientar que o professor deverá escolher um
problema que seja acessível aos alunos a fim de proporcionar-lhes uma aprendizagem
matemática sofisticada que vá além da aplicação de conceitos e treinos de procedimentos.
Já em sala de aula, depois de entregar o problema a cada aluno, dá-se um tempo para
que faça uma leitura individual e logo após, formar grupos e solicitar nova leitura do
problema em conjunto. De posse do problema, os alunos, em seus grupos, num trabalho
cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. É importante que o professor saiba gerir o
18
GTERP – Grupo de Trabalho e Estudos em Resolução de Problemas, coordenado pela professora Dra.
Lourdes de La Rosa Onuchic, desde 1988.
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tempo de modo que o problema seja trabalhado e explorado completamente, evitando o
máximo adiar para a aula seguinte a discussão e ou síntese dos conhecimentos produzidos
durante a aula, o que acarretaria na perda do envolvimento dos alunos e o seu
distanciamento das produções matemáticas realizadas, que dificilmente poderiam ser
recuperadas após algum tempo.
O professor, numa atitude de observador e incentivador, observa, analisa o
comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, como mediador leva
os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de ideias entre eles. Incentivaos, também, a utilizarem seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias já conhecidas
necessárias à resolução do problema proposto. Estimula-os a escolher diferentes caminhos
(métodos) a partir dos próprios recursos de que dispõem.
Entretanto, é necessário que o professor atenda os alunos em suas dificuldades,
colocando-se como interventor e questionador. Acompanha suas explorações e ajuda-os,
quando necessário, a resolver problemas secundários que podem surgir no decurso da
resolução: notação; passagem da linguagem vernácula para a linguagem matemática e,
conceitos relacionados e técnicas operatórias, a fim de possibilitar a continuação do
trabalho.
Dando continuidade ao trabalho, representantes dos grupos são convidados a
registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes
processos matemáticos, sobretudo os mais produtivos, devem ser apresentadas para que
todos os alunos as analisem e discutam. Há de se observar que a exploração matemática de
um erro é muito vezes esclarecedora e enriquecedora, tanto para os alunos que erraram
quanto para os que o resolveram bem e também para o professor.
Agora, num trabalho em conjunto, discutem-se as diferentes resoluções registradas
na lousa, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. Nesta fase, o
professor deverá também se colocar como guia e mediador das discussões, incentivando a
participação ativa e efetiva de todos os alunos. Considera-se que este momento,
denominado plenária, é bastante rico para a aprendizagem, uma vez que este momento
pode-se discutir a produção de conjecturas, bem como a confirmação das mesmas , a sua
justificativa matemática e uma eventual demonstração.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
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Por fim, o professor registra na lousa uma apresentação formal – organizada e
estruturada em linguagem matemática – padronizando os conceitos, os princípios e os
procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes
técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto. Esse
momento é denominado de formalização. Destaque-se aqui a participação ativa dos alunos.
77
Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o
problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado
correto.
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O ensino-aprendizagem da matemática através da resolução de problemas não é tarefa
simples. Ela requer tempo, continuidade e maturidade por parte do professor a fim de que o
mesmo possa melhorar e aperfeiçoar a sua prática, o mesmo tempo para que os alunos
correspondam às expectativas do professor e venham a compreender que o ensinoaprendizagem através da resolução de problemas lhes proporcionará não somente a
aprendizagem de conteúdos matemáticos, mas também modos de construção/produção de
conhecimento matemático no contexto de uma comunidade da qual são parte integrante.
No processo de ensino e de aprendizagem através da exploração de um problema, entender
as hipóteses do problema, tomar decisões para resolvê-lo, estabelecer relações entre suas
variáveis, saber comunicar resultados e ser capaz de avaliar criticamente técnicas e
concepções utilizadas na resolução dos mesmos são aspectos que devem estar presentes ou
serem estimulados (ALLEVATO; ONUCHIC, 2008, p. 2).
Vale ressaltar que nesse trabalho cabe ao professor promover, em sala de aula, um ambiente
de aprendizagem estimulante de modo que os alunos sejam encorajados a participar
ativamente, a desenvolver seu próprio trabalho de forma cooperativa e colaborativa,
comunicando suas ideias e ouvindo a dos outros de forma construtiva. Que o professor não
seja aquele que ensina Matemática, mas sim, o agente que cultiva a inteligência dos alunos
de modo a conduzi-los, sempre que possível, à redescoberta.
A matemática como disciplina tem suas características próprias, que para aprendê-la, quer
para ensiná-la. Ao professor não basta ter o conhecimento teórico e prático da disciplina, é
necessário conceber uma metodologia própria, uma participação ativa por parte do aluno.
Sob essa perspectiva, trabalhar no contexto da sala de aula através resolução de problemas
possibilita aos alunos um envolvimento maior nos modos de pensar e de desenvolver a
Matemática que eles precisam aprender.
REFERÊNCIAS
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78
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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E PRÁTICAS INVESTIGATIVAS
Professora Doutora Eliane Scheid Gazire
PUC MINAS-Belo Horizonte
[email protected]
Resolução de Problemas: Um breve cenário histórico
A matemática, como outras áreas do conhecimento, desenvolveu-se por meio de uma
combinação entre problemas e teorias. Os conceitos matemáticos têm sido elaborados ao
longo da história como fruto de uma atividade que surgiu da necessidade de resolver
problemas. Os problemas geraram a formulação de conceitos, teorias e técnicas para
resolvê-los. Teorias, por sua vez, sugeriram novos problemas e ampliaram as áreas de
aplicação.
Desde os primórdios de sua história, o ser humano tem se deparado com problemas e os
tem resolvido. Porém, a reflexão sistemática sobre problemas e resolução de problemas não
tem uma história tão antiga assim... pelo menos em documentos gravados.
Pappus, matemático grego, que viveu provavelmente por volta do ano 300 da nossa era, no
livro VII das suas “Collectiones”, descreve um ramo de estudo que ele chamou de
analyomenos. Este pode ser traduzido como: “ Tesouro da Análise” ou “Arte de Resolver
Problemas”, ou mesmo, “Heurística”.
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80
Percebe-se em Pappus alguns indícios de sistematização da Heurística. Mas, as mais
famosas tentativas de sistematização da Heurística devem-se a Descartes e Leibnitz, ambos
matemáticos, e ao filósofo Bernardo Bolzano.
No século XVII, René Descartes (1596-1650), filósofo, matemático, astrônomo, fisiologista
e literato tentou estabelecer uma estrutura capaz de envolver, de maneira coerente e
completa, a ciência de seu tempo. Apesar de não ser bem sucedido em todo o seu projeto,
conseguiu dar importantes contribuições com seus trabalhos na tentativa da criação de um
método universal para a resolução de problemas.
Leibnitz (1646-1716), matemático e filósofo, também se preocupou com a sistematização
da Heurística. Chegou a pensar em escrever uma “Arte da Invenção”, mas nunca realizou
fragmentos dispersos que revelam um grande interesse pelo assunto.
Aléxis-Claude Clairaut (1713-1765), matemático e astrônomo francês, nasceu e morreu em
Paris. De todos os livros que escreveu, os “Elementos de Geometria” (1741) e os
“Elementos de Álgebra” (1746) são particularmente significativos na história da didática da
Matemática e na visão do ensino através da Resolução de Problemas.
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Clairaut nunca ensinou em uma sala de aula e seus livros portanto não visavam a atender a
jovens colegiais. É bom salientar que até o século IX jamais se ensinava o conteúdo contido
nos livros acima citados a alunos menores de vinte anos. Os dois livros podem ser
qualificados como manuais matemáticos, mas certamente não de manuais didáticos. Foram
escritos para servir à instrução da marquesa de Chatelel (1706-1749). Portanto os dois
manuais eram destinados a um público composto de adultos desocupados e esclarecidos.
Sendo assim, seus livros apresentavam uma doutrina pedagógica claramente formulada,
baseada nos seguintes princípios:
a) Não enfadar o aluno sob nenhum pretexto mesmo que para isso seja preciso
sacrificar aspectos essenciais do assunto tratado;
b) Minimizar o rigor lógico para não cansar o auditório com uma axiomática rígida
demais;
c) Fazer todas as exposições através de exemplos concretos;
d) Tornar heurístico o ensino;
e) Renunciar à exposição dogmática e seguir o verdadeiro desenrolar da descoberta.
Uma vez que o histórico da descoberta nem sempre era conhecido, Clairaut
imaginava o caminho que os sábios poderiam seguir para solucionar determinado
problema.
Bernardo Bolzano (1781-1844), lógico e matemático, dedicou grande parte de sua obra
lógica, Wissenschaftsle, à questão da heurística.
Por volta de 1900, o interesse pela questão da invenção matemática aumentava e já
começava a ser discutida publicamente como evidencia a publicação, em 1902, de um
questionário na revista “L´Enseignement Mathématique”.
Pouco depois, Poincaré (1854-1912), pronunciou em 23 de março de 1908 no Instituto
Geral de Psicologia, em Paris, a célebre conferência “L´Invention Mathématique”, onde
analisou as condições do descobrimento cinetífico. Essa conferência foi publicada
posteriormente em seu livro “Science et Méthode”.
Polya (1888-1993), em seu livro “A Arte de Resolver Problemas” (1977), mostra que o
trabalho com a resolução de problemas em Matemática contribui para o desenvolvimento
da inteligência humana. Esse autor considerava que:
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Nessa obra Hadamard faz um estudo dos aspectos que envolvem a invenção matemática.
Alerta que esse assunto não é simples de ser estudado, pois a dificuldade está no fato de
envolver duas áreas de conhecimento, ou seja, a Matemática e a Psicologia. Para que fosse
realizado um estudo perfeito, seria necessário um trabalho de pesquisa conjunta entre
matemáticos e psicólogos. Esclarece que até então esse tipo de estudo tinha sido realizado
por matemáticos, por psicólogos e mesmo por neurologistas, porém, cada um trabalhando
por si.
81
Jaques Hadamard (1865-1963) foi um matemático que também se interessou pela
Resolução de Problemas. Inspirado na conferência “L´Invention Mathématique” de
Poincaré, escreveu “Psicologia da Invenção no Campo Matemático”.
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Se a educação não contribui para o desenvolvimento da inteligência,
ela está obviamente incompleta. Entretanto, a inteligência é
essencialmente a habilidade para resolver problemas: problemas
científicos, quebra-cabeças, toda sorte de problemas. O aluno
desenvolve sua inteligência usando-a; ele aprende a resolver
problemas resolvendo-os. (POLYA, 1966, p.137).
Por isso, Polya (1966) priorizava um ensino ativo para a Matemática, acreditando que, para
um aprendizado eficiente, o estudando deve descobrir por si mesmo a maior parte do
material dependendo das circunstâncias dadas. Nesse sentido, diz o autor que:
A Matemática não é um esporte para espectadores; não se pode
desfrutar dela nem aprendê-la sem a participação ativa; por isso, o
princípio da aprendizagem ativa é particularmente importante para
nós, professores de Matemática, especialmente se considerarmos
como nosso principal objetivo, o primeiro de nossos objetivos, o de
ensinar o estudante a pensar. (POLYA, 1966, p.138).
Mas, para fazer com que os estudantes pensem matematicamente, Polya (1966) acreditava
que as atividades desenvolvidas com os alunos devem seguir uma determinada ordem. Isso
porque, para os estudantes, algumas atividades se apresentam mais naturais que outras;
pode-se prever mais facilmente que criar estruturas conceituais. Em geral, o concreto se
apresenta antes do abstrato; ação e percepção antes das palavras e conceitos, conceitos
antes de símbolos e assim sucessivamente.
Com isso, o estudante não deve aprender passivamente, mas sim pelo seu próprio esforço,
ou seja, “familiarizar-se com o concreto antes do abstrato, com a variedade de experiência
antes do que com o conceito unificador e assim sucessivamente.” (POLYA, 1966, p.137).
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82
Ainda segundo Polya (1966), isso nos leva à solução de problemas matemáticos, que é, em
sua concepção, a atividade mais próxima do nosso pensar cotidiano. Por isso, ele afirmava
que os problemas da vida cotidiana conduzem a simples problemas matemáticos e o passo
da abstração do cotidiano ao problema matemático pode fazer-se fácil e natural para o
aluno. Enfatiza-se que com um pouco de habilidade do professor, e sendo os problemas o
centro do pensar diário, pode-se esperar que os problemas matemáticos sejam o centro do
ensino de Matemática.
Partindo, então, do estudo de como os matemáticos procediam na resolução de seus
problemas, Polya (1977) procurou sistematizar este trabalho intelectual. Isso porque ele
acreditava que a experiência na resolução de problemas e na observação dessa atividade,
por parte de outros, deve construir a base em que se assenta a Heurítistica. Segundo o autor,
neste estudo não se deve desprezar nenhum tipo de problema, e sim procurar aspectos
comuns na maneira de tratar problemas de toda sorte: deve-se considerar os aspectos gerais,
independente do assunto específico do problema. Polya (1977) ainda alertava que:
O estudo da Heurística tendo como objetivos práticos, melhor
conhecimento das típicas operações mentais que se aplicam à
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resolução de problemas; pode exercer também uma certa influência
benéfica sobre o ensino particularmente o da Matemática. (POLYA,
1977, p.87).
Heurística, portanto, é o caminho, as categorias que as pessoas usam para resolver
problemas.
Por isso, elaborou uma série de questões agrupando-as no que ele chamou de fases de
trabalho. Segundo Polya, quando se tenta resolver um problema,o ponto de vista, a maneira
de encarar o problema pode ser modificada muitas vezes.Geralmente quando se inicia o
trabalho com um problema, a concepção que se tem dele é muito incompleta.À medida que
se vai progredindo, a nossa perspectiva vai sendo modificada.Por isso, no seu ponto de
vista pode-se agrupar em quatro as fases de trabalho com o problema.São elas:
compreensão do problema; estabelecimento de um plano; execução do plano e retrospecto.
A Resolução de Problemas na Sala de Aula
A resolução de problemas é um dos aspectos mais importantes da Matemática com o qual
os professores devem estar preocupados. Se observarmos, cuidadosamente, poucos adultos
precisam usar uma fórmula matemática ou lembrar como provar um teorema. O que eles
podem e devem ter, como conseqüência de sua Educação Matemática, é a habilidade de
raciocinar cuidadosamente e fazer uso inteligente e eficiente dos recursos à sua disposição.
A atividade matemática é parte essencial de quase toda profissão: comércio, administração,
previsão do tempo, arquitetura, engenharia, medicina e economia são apenas algumas. De
fato, a necessidade de o homem comum ser matematicamente alfabetizado é maior hoje do
que em qualquer outra época.
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A partir dos anos 1980, inicia-se um movimento em prol da resolução de problemas,
quando o NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) declarou a resolução de
problemas como foco da escola de Matemática, influenciado pelas pesquisas realizadas por
Polya. Porém, ainda naquele momento, a resolução de problemas era superficial e consistia,
apenas, em ensinar estratégias ou métodos rotineiros de resolução aos estudantes. Algum
tempo mais tarde, Schoenfeld (1985) afirma, apresentando um “aprimoramento” científico
das idéias iniciais de Polya, que a resolução de problemas é muito mais do que solucionar
83
É comum ouvir que o ensino da Matemática pode contribuir para o desenvolvimento da
habilidade de resolução de problemas, na medida em que auxilia o indivíduo a utilizar o seu
raciocínio analítico e a sua capacidade de abstração. Mas, na escola, a concepção restrita ao
que seja Resolução de problemas geralmente limita o assunto apenas à solução de
problemas verbais, na qual o processo de solução envolve apenas a escolha de uma
operação e, conseqüentemente, a utilização de algoritmos e fórmulas. Isso proporciona um
aprendizado limitado apenas por memorização ao invés de um aprendizado amplo e
significativo. Polya acreditava, que se os professores observassem essas fases ao
trabalharem com a resolução de problemas favoreceriam o desenvolvimento de uma atitude
mental mais clara e produtiva em seus aluno.
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
problemas fornecidos pelo professor, e sim que o aluno identifique e se aproprie do sentido
que cada procedimento matemático tem e requer, com o currículo da disciplina voltado em
instrumentos de comunicação, ou seja, escrever e falar Matemática como parte do
movimento de ensinar para pensar e sendo a resolução de problemas ponto de partida para
as discussões em sala de aula. Diante do exposto, podemos delimitar a resolução de
problemas na prática educativa, segundo Gazire (1988), em três perspectivas, como
veremos a seguir.
Perspectivas para a resolução de problemas

Resolução de problemas como um novo conteúdo: Essa abordagem surge
da crença de que levar o aluno ao conhecimento de várias técnicas e
estratégias de resolução de problemas contribui para desenvolver nele a sua
habilidade em resolver problemas. Esse é o estudo do problema pelo
problema, independentemente do conteúdo.

Resolução de problemas como forma e aplicar um determinado
conteúdo: Essa abordagem vem da crença de que se aprende melhor um
conteúdo quando ele é aplicado na resolução de problemas. É o estudo do
conteúdo por meio de aplicações em problemas, ou seja, o exercício do
conteúdo.

Resolução de problemas como um meio de ensinar Matemática: Essa
abordagem surge por se crer que se todo o conteúdo a ser aprendido for
iniciado por um problema desafio, ocorrerá uma construção interiorizada do
conhecimento a ser adquirido.
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84
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Como podemos verificar, as perspectivas da resolução de problemas com a Educação
Matemática são as mais promissoras possíveis; nunca, no passado, tantas possibilidades
existiram juntas e não é de se estranhar que ainda hoje os professores sofram ao serem
questionados sobre a importância ou o papel da resolução de problemas no ensino da
Matemática e a sua relação com o desenvolvimento do pensar matemático.
Apesar de todas as dificuldades, a resolução de problemas deve ter um papel de destaque no
ensino, uma vez que pode embasar os caminhos a serem seguidos no desenvolvimento do
pensamento matemático nos alunos. Portanto, se em vez de encorajarmos os alunos a
apenas dominar as técnicas e exercícios típicos, escolhermos bons problemas e lhes
oferecermos oportunidades de se comunicarem, falarem, escreverem em Matemática, com
boas formas de fazê-lo, a resolução de problemas poderá ser, com certeza, potencialmente
valiosa para o ensino e a aprendizagem matemática.
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p.213-231.
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
DISCUTINDO A RELAÇÃO ENTRE RIGOR E INTUIÇÃO NO
ENSINO DE CÁLCULO E DE ANÁLISE: UMA CONTRIBUIÇÃO
PARA O DEBATE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO ENSINO
SUPERIOR
Frederico da Silva Reis
Universidade Federal de Ouro Preto
[email protected]
RESUMO
O presente trabalho intenta discutir alguns aspectos relacionados ao ensino de Cálculo
Diferencial e Integral e de Análise Real, especialmente em cursos de Licenciatura em
Matemática. De uma forma especial, investigamos a relação entre rigor e intuição como
elementos fundamentais dos processos de ensino e aprendizagem dessas disciplinas. Com
isso, pretende-se levantar algumas questões que contribuam para o debate corrente em
Educação Matemática no Ensino Superior e também para as discussões relacionadas à
Formação do Professor de Matemática.
Palavras-chave: Ensino de Cálculo e Análise; Rigor e Intuição; Educação Matemática no
Ensino Superior.
TRABALHO
1. Discutindo o Ensino de Cálculo
PÁGINA
86
O ensino de Cálculo nas universidades brasileiras tem sido objeto
de questionamento em diversos fóruns em função das dificuldades
apresentadas pelos alunos na sua aprendizagem, bem como pela alta
evasão dos estudantes dos primeiros períodos, matriculados nesta
disciplina (SBM, 1995, p. 4).
Com esta abordagem inicial, a Sociedade Brasileira de Matemática – SBM, destaca a
necessidade de se aprofundar a discussão sobre o ensino de Cálculo, em um de seus
boletins informativos do ano de 1995.
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É óbvio que o questionamento dos problemas no ensino de Cálculo, ali levantados, é feito,
basicamente, à luz da perspectiva de se resolver o problema do alto índice de reprovação e
a consequente evasão dos alunos. Se considerarmos índices na faixa de 30 % a 50 % de
reprovação, verificados numa grande parte das universidades públicas brasileiras, que em
algumas o índice chega a 60 % e que em poucas o índice se aproxima de 20 %, o ensino de
Cálculo realmente deve se transformar num sério objeto de investigação por parte dos
pesquisadores em Educação Matemática, que terão pela frente um enorme desafio no
âmbito do ensino superior.
Comparando, ainda que de forma simplista, a situação com uma encenação teatral vemos,
de um lado, os atores (professores) atuando em uma peça mal ensaiada e mal dirigida,
fazendo com que o público (alunos), de outro lado, não capte sua mensagem e se retire
antes do último ato. De quem é a culpa no palco da sala de aula? Dos atores e sua má
performance ou do público e sua insensibilidade? Ou seria do diretor?
Uma das coordenadoras de um projeto especial de apoio ao ensino de Cálculo da
Universidade Federal do Rio de Janeiro, chamado "Atendimento Especial em Cálculo I",
realizado no Instituto de Matemática da UFRJ, Barreto (1995), ao ser questionada a
respeito dos altos índices de reprovação nas disciplinas iniciais de Cálculo e dos motivos
que levam os alunos a não apresentarem um bom desempenho nas mesmas, não vacila em
afirmar que o aluno e a escola são os principais responsáveis:
As causas são muitas e já bem conhecidas, principalmente a má
formação adquirida durante o 1º e 2º graus, de onde recebemos um
grande contingente de alunos passivos, dependentes, sem domínio
de conceitos básicos, com pouca capacidade crítica, sem hábitos de
estudar e consequentemente, bastante inseguros (BARRETO, 1995,
p. 4).
Está aí retratada uma visão muito comum entre os professores de Cálculo, de que a
formação inadequada dos alunos é a principal causa dos problemas no processo ensinoaprendizagem de Cálculo.
Por outro lado, na visão discente, as deficiências maiores se encontram no ensino,
sobretudo na forma como o professor conduz sua prática pedagógica.
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a) Uma pedagogia centrada no professor, que tende a valorizar relações hierárquicas que,
em nome da transmissão do conhecimento, acabam por produzir ditadores por um lado
e indivíduos subservientes, anulados em sua capacidade criativa, por outro. A
epistemologia empirista fundamenta e legitima essa forma pedagógica;
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O professor, segundo Becker (1995), tende a encaminhar o processo de ensino e
aprendizagem sob uma das formas pedagógicas seguintes:
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b) Uma pedagogia centrada no aluno, que pretende enfrentar os desmandos autoritários do
modelo anterior, atribuindo ao aluno qualidades que ele não tem, como: domínio do
conhecimento sistematizado em determinada área, capacidade de abstração suficiente,
especialmente na área de atuação específica do professor e volume de informações
devidamente organizadas. A epistemologia apriorista fundamenta e legitima essa forma
pedagógica;
c) Uma pedagogia centrada na relação, que tende a desabsolutizar os pólos da relação
pedagógica, dialetizando-os, sem que nenhum disponha de hegemonia prévia. Professor
e aluno trazem suas próprias bagagens que, diferenciadas, entram em relação e, na
medida dessa relação, professor e aluno constróem conhecimento.
A epistemologia
construtivista fundamenta e legitima essa forma pedagógica.
Em síntese, Becker (1995, p.27) acredita que “o compromisso, mesmo inconsciente, com
determinada epistemologia, redunda em determinação – não a única ! – da prática
pedagógica”.
Ao se analisar a prática pedagógica de uma grande parte dos professores de Cálculo,
acreditamos que a pedagogia centrada na relação é a forma menos adotada no
encaminhamento do processo ensino-aprendizagem de Cálculo e possivelmente, de várias
disciplinas de conteúdo matemático.
Analisando os pontos de vista descritos anteriormente, parece que chegamos a um processo
cíclico, já que os argumentos docentes tropeçam na seguinte barreira: os próprios
professores universitários são os responsáveis pela formação dos professores dos ensinos
fundamental e médio que, por sua vez, são os responsáveis pela formação dos alunos que
(mal preparados!) ingressam na universidade.
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88
Refletir especificamente sobre este entrave não é objetivo deste trabalho. Entretanto, na
tentativa de atender aos argumentos discentes não podemos desprezar a ação de diversos
grupos formados por professores de Cálculo de universidades brasileiras que, através de
inovações pedagógicas, vêm buscando elementos que possam contribuir efetivamente para
tal discussão .
No Instituto de Matemática, Estatística e Ciência da Computação da Universidade Estadual
de Campinas – IMECC / UNICAMP, um grupo de professores buscou desenvolver projetos
voltados para o ensino de Cálculo com aplicações. Sob uma ótica exploratória e construtiva
do conhecimento, Figueiredo & Costa & Grou (1995, p.1) acreditam no ensino de Cálculo
com auxílio do computador: “Nós temos proposto aos estudantes, projetos de pesquisa onde
computadores são usados como um Laboratório Experimental de simulação de trajetórias,
estabelecendo conjecturas e visualizando conceitos”.
É óbvio que softwares computacionais podem ser utilizados como ferramentas valiosas na
aprendizagem de conceitos analíticos, especialmente aqueles com grande apelo geométrico.
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Também é reconhecida a importância do trabalho de projeto enquanto método educativo,
conforme ressalta Abrantes (1995), lembrando ainda que:
No entanto, o valor educativo do trabalho de projeto como
componente do currículo está ligado a fatores de natureza
pedagógica que incluem a escolha dos problemas a abordar, o
ambiente de aprendizagem e a própria gestão do projeto
(ABRANTES, 1995,
p. 22).
Entretanto, uma questão que precede à elaboração de currículos e ementas, à escolha de
bibliografias e livros didáticos e à opção por uma determinada metodologia ou recursos
metodológicos, é que a prática pedagógica do professor de Cálculo deve se pautar,
primeiramente, na reflexão e compreensão do papel fundamental do Cálculo Diferencial e
Integral na formação matemática de seus alunos. Somente estabelecendo elementos que
esclareçam a real função do Cálculo na formação matemática do aluno, o professor terá
condições de refletir sobre que objetivos traçar, que conteúdos e metodologias estabelecer,
enfim, que prática pedagógica desenvolver!
Observemos que as noções do Cálculo formam um conteúdo integrante de diversas
disciplinas para cursos universitários que formam profissionais com os diferentes perfis,
como por exemplo: Engenharia, Física, Economia e Farmácia, além, obviamente, de
Matemática. Uma prática muito comum, entre os professores de Cálculo, é ministrar esta
disciplina sempre da mesma forma (mesmos conteúdos, mesma metodologia, mesmos
exemplos, mesmas aplicações), sem levar em consideração a natureza do curso. Não
concordando com essa prática, entendemos que cada um desses cursos profissionalizantes
exige do professor uma transposição didática própria, de modo que a produção de
significados das idéias do Cálculo esteja em estreita relação com o contexto profissional do
curso.
Pois bem, mas como pretendemos contribuir para uma reflexão do professor de Cálculo
sobre sua prática pedagógica? Pretendemos criar ou propor uma nova metodologia mágica,
capaz de magicamente zerar os índices de reprovação e tornar a aprendizagem totalmente
eficaz? Não, definitivamente não é este o nosso objetivo com o presente trabalho.
-
Pretendemos, também, abordar o ensino de Análise Real, o qual ocorre, no ensino de
graduação, apenas nos cursos de Matemática;
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Inicialmente, achamos por bem colocar que, apesar de, vez ou outra, reportarmo-nos ao
Cálculo enquanto disciplina integrante do currículo de cursos da área de exatas, humanas
ou biológicas, neste trabalho nosso foco é o ensino de Cálculo para estudantes de
Licenciatura em Matemática por dois motivos principais:
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-
Pretendemos, ainda, discutir uma relação que julgamos crucial no ensino destas duas
disciplinas: a relação entre rigor e intuição.
2. Discutindo o Ensino de Análise
Ao se discutir o ensino de Cálculo para o Licenciando em Matemática, somos levados,
inevitavelmente, a refletir também sobre o ensino de Análise, enquanto disciplina
formadora do Professor de Matemática.
Isto porque os tópicos fundamentais de um curso de Análise são os mesmos de um curso de
Cálculo. Entretanto, se no Cálculo os temas são abordados sob uma perspectiva aplicativa,
com a interpretação intuitiva das noções, na Análise eles são abordados, geralmente, sob
uma perspectiva lógico-formal, com a definição rigorosa dos objetos estudados.
O Prof. Geraldo Ávila, no prefácio de seu livro Introdução à Análise Matemática, diz
acreditar que uma análise histórica permite mostrar que desde o surgimento do Cálculo,
com Newton e Leibnitz no século XVII, vários matemáticos célebres como os irmãos
Bernoulli, Euler, D’Alembert e Lagrange tentaram, sem sucesso, dar ao Cálculo uma
formulação rigorosa, só obtida no início do século XIX, com Dedekind e Peano, após as
contribuições fundamentais de Cauchy e Weierstrass.
Em seu livro Abrégé D’Histoire des Mathématiques, Dieudonné (apud ÁVILA, 1993, pref.)
conclui que: “A falta de rigor imputada aos matemáticos do século XVIII provém
sobretudo, das dificuldades por eles enfrentadas em definir de maneira precisa as noções
básicas do Cálculo, das quais, todavia, tinham muitas vezes uma boa concepção intuitiva”.
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90
Entretanto, o Prof. Ávila acredita ter sido esta concepção intuitiva que os levou ao
estabelecimento de importantes resultados o que justifica, segundo o professor, a
necessidade de um “equilíbrio” entre o rigor necessário à Análise e a intuição tão
fundamental no desenvolvimento das idéias matemáticas.
Seria este “ponto de equilíbrio”, talvez, o divisor de águas entre o ensino de Cálculo e o
ensino de Análise na formação matemática do aluno, colocando de um lado, o pensamento
diferencial intuitivamente construído e do outro lado, o pensamento analítico formalmente
construído? E mais, que tipo de “equilíbrio” deve existir?
É realmente possível, na
prática pedagógica, se atingir um “equilíbrio”? De fato, isto é importante para a formação
do Professor de Matemática? Mesmo que ele só atue nos Ensinos Fundamental e Médio?
A Análise Real está presente na maioria das grades curriculares dos cursos de Matemática
das universidades brasileiras. Presença obrigatória no currículo dos bacharelados, é de se
estranhar que algumas licenciaturas não possuam a disciplina “Análise I” no grupo das
disciplinas obrigatórias, remetendo-a para o grupo das disciplinas eletivas. Afinal, ao
professor que irá atuar nos Ensinos Fundamental e Médio, é dispensável o conhecimento
analítico do Cálculo ou, então, dos campos numéricos?
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3. Discutindo a relação entre Rigor e Intuição
Analisando os cursos de Análise ministrados na graduação, parece-nos que numa boa parte
deles há um excesso de formalismo e rigor na exposição dos temas, o que precisamos
compreender. Diante desta prática, resta aos alunos a memorização dos principais
resultados e de suas demonstrações que, espera-se, tenham sido entendidos intuitivamente
no Cálculo.
Novamente então, deparamo-nos com a necessidade de compreender melhor a forma como
o rigor e a intuição são explorados / entendidos, o que certamente nos remeterá ao estudo
da história do desenvolvimento destas áreas e, especialmente, de que forma a busca pelo
rigor foi um determinante histórico (BARON e BOS, 1985; EVES, 1995). Por outro lado, a
intuição é um elemento fundamental em qualquer situação de ensino, especialmente no
ensino dessas disciplinas, tão passível de questionamentos.
Em nossa Tese de Doutorado (REIS, 2001), discutimos de maneira mais aprofundada a
relação dicotômica que existe entre rigor e intuição no ensino de Cálculo e de Análise. O
nosso estudo, em síntese, parece mostrar que intuição e rigor são dimensões
interdependentes, uma não podendo existir sem a outra, embora possamos,
equivocadamente, privilegiar uma delas em detrimento da outra. Ambas estão presentes no
ensino de Cálculo e de Análise, onde cumprem papéis importantes e complementares na
formação do pensamento e do conhecimento diferencial, integral e analítico, tanto do
Professor de Matemática quanto do Matemático.
4. Considerações Finais
Por fim, destacamos a importância do Professor de Matemática do Ensino Superior
investigar e situar sua prática pedagógica à luz das relações entre rigor e intuição nos
processos de ensino e aprendizagem.
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Também acreditamos que há que se desenvolver um curso de Análise de acordo com as
condições intelectuais dos alunos e seus conhecimentos prévios. Se o pensamento analítico
implica numa mudança no modo de conceber e encarar o conhecimento matemático, essa
ruptura não pode acontecer sem a busca de uma continuidade com a forma como o aluno
pensa e trata o conhecimento matemático, ou seja, com o pensamento diferencial e integral
previamente construído.
91
Dentro da perspectiva acima descrita, existe ainda um grande caminho a ser construído
pelos docentes formadores de professores. Em primeiro lugar, deve-se pensar num curso de
Cálculo que prime pelas idéias e aplicação de conceitos e que não tenha foco na
manipulação de fórmulas e regras. Daí, a importância das novas tendências da Educação
Matemática no Ensino Superior, como a utilização de Tecnologias Informacionais e
Comunicacionais e a realização de projetos de Modelagem Matemática.
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À guisa de conclusão, ressaltamos que as discussões aqui iniciadas são abordadas de forma
mais aprofundada em vários capítulos do livro Educação Matemática no Ensino Superior,
da Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBEM, trazendo diversas pesquisas
produzidas em instituições de ensino superior brasileiras, por professores-pesquisadores da
área de Ensino Superior, obtidas a partir de projetos de pesquisas acadêmico-científicas.
Recomenda-se a leitura e discussão deste livro a todos os professores de cursos de
Licenciatura em Matemática preocupados com a formação de Professores de Matemática
críticos e diferenciados.
REFERÊNCIAS
ABRANTES, P. Projetos, Matemática e Aprendizagem. Anais do II Congresso Brasileiro
de Ação Pedagógica. Belo Horizonte, p. 21-24, 1995.
ÁVILA, G.S.S. Introdução à Análise Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1993.
BARON, M. E.; BOS, H. J. M. Curso de História da Matemática: Origens e
Desenvolvimento do Cálculo. Brasília: Universidade de Brasília, 1985.
BARRETO, A. O Ensino de Cálculo I nas universidades. Informativo da Sociedade
Brasileira de Matemática – SBM, n. 6, p. 4-5, 1995.
BECKER, F. A Epistemologia do Professor. Anais do II Congresso Brasileiro de Ação
Pedagógica. Belo Horizonte, p. 27-28, 1995.
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: Universidade Estadual de
Campinas, 1995.
FIGUEIREDO, V. L. X.; COSTA, S.; GROU, M. A. Mechanical Curves – A kinematic
greek look trough computer. Campinas: IMECC / UNICAMP, p. 1-10, 1995.
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REIS, F.S. A Tensão entre Rigor e Intuição no Ensino de Cálculo e Análise: A visão de
professores-pesquisadores e autores de livros didáticos. Tese de Doutorado. Faculdade
de Educação – UNICAMP – Campinas, 2001.
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PAPEL DA ABSTRAÇÃO NO PENSAMENTO MATEMÁTICO
AVANÇADO
Lilian Nasser
IM- UFRJ e CEIQT/SENAI
[email protected]
RESUMO
A evolução do pensamento matemático elementar para o avançado envolve a transição da
descrição para a definição, do convencimento para a demonstração. Essa transição requer
uma reconstrução cognitiva, levando à abstração. Três processos contribuem para a
abstração: representação, generalização e síntese. Neste trabalho, a diferença entre
generalização e abstração é esclarecida, por meio de exemplos. Também serão abordados
os três tipos de abstração destacados por Piaget: as abstrações empírica, pseudo-empírica e
reflexiva.
Os alunos devem perceber que não basta verificar uma afirmativa para alguns exemplos,
mas é preciso justificá-la de modo genérico, chegando à abstração para casos mais gerais.
Palavras-chave: pensamento matemático avançado, abstração, aprendizagem
TRABALHO
Em geral, na Escola Básica, o aluno toma conhecimento dos resultados principais da
Matemática já prontos, sem ter a oportunidade de acompanhar sua evolução histórica.
Segundo Tall (1991),
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Muitas vezes os professores do Ensino Superior não atentam para o fato de que os alunos
necessitam fazer uma transposição cognitiva para construir uma aprendizagem
significativa.
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São muitas as dificuldades enfrentadas por alunos ingressantes no Ensino Superior nas
disciplinas da área de Matemática, notadamente em Cálculo e Álgebra Linear. Essas
dificuldades se devem, principalmente, a lacunas na aprendizagem da Matemática básica e
ao caráter abstrato dos conceitos abordados nessas disciplinas. O ensino, na grande maioria
das disciplinas do Ensino Superior, segue o esquema ‘teorema – demonstração – exemplo
– aplicação’. Esse modelo tem diversas vantagens e até funciona bem para alunos de
graduação em Matemática, mas não atende à grande maioria dos alunos da licenciatura ou
dos demais cursos que têm o Cálculo como disciplina de serviço. Dreyfus (1991) relata
várias pesquisas que mostram os problemas de aprendizagem gerados por esse modelo de
ensino.
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a mudança do pensamento matemático elementar para o
avançado envolve uma transição significativa: da descrição
para a definição, do convencimento para a demonstração de
uma maneira lógica, baseada naquelas definições. (p. 20)
Essa transição requer uma reconstrução cognitiva, cuja ausência contribui para as
dificuldades enfrentadas pelos alunos calouros, ao lidar com as abstrações. Enquanto na
Matemática elementar os conteúdos seguem uma coerência, na Matemática avançada, os
alunos devem construir entidades abstratas, por meio de deduções a partir de definições
formais.
Desenvolvendo a habilidade de abstração
A habilidade de abstração deve ser desenvolvida desde os primeiros anos de escolaridade.
Os conceitos de número, reta e quadrado são exemplos de objetos matemáticos que
dependem de uma abstração.
Três processos contribuem para a abstração: representação, generalização e síntese. No
caso dos números, por exemplo, é imprescindível que os alunos entendam a diferença de
representação de um número natural e de um número racional: enquanto o número natural
tem uma representação numérica única, um número racional representa uma classe de
equivalência, com infinitos elementos, que são representações distintas para o mesmo
número. Se esse conceito não for bem construído, os alunos não dominam o conceito de
frações equivalentes, e essa dificuldade cria obstáculos para a aprendizagem de diversos
conceitos, como porcentagem e escalas de ampliação ou redução.
A generalização implica na identificação de elementos comuns ou de um padrão,
permitindo a expansão de domínios de validade. Uma prática para desenvolver a habilidade
de generalização é explorar o reconhecimento de padrões desde os anos iniciais, que mais
tarde podem facilitar a introdução à álgebra e na representação em linguagem algébrica de
uma lei de formação. Por exemplo, o seguinte problema foi exposto para alunos
ingressantes num curso técnico pós- médio:
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Num campeonato, cada time deve enfrentar todos os seus concorrentes apenas uma vez.
Determine o número de partidas desse campeonato, quando há: a) 5 times; b) 8 times; c) n
times.
Por meio de esquemas, tabelas ou representação gráfica, os alunos foram capazes de
perceber que no caso de 5 times, há 10 partidas, e que quando há 8 times disputando o
campeonato, são necessárias 28 partidas para definir o campeão. No entanto, a grande
maioria dos alunos não foi capaz de fazer a generalização para n times. A instrução de que
n representava um número qualquer levou muitos alunos a escolherem um determinado
valor para o n e calcular o número de partidas num campeonato com esse número de times.
O raciocínio e a representação usados para definir o número de partidas com os números
definidos de times podem ajudar na generalização. Neste caso, a confecção de uma tabela
para o campeonato facilita a visualização de que cada um dos n times joga com todos os
outros (n – 1) times. Portanto, são n x (n-1) partidas. Como os times se enfrentam uma
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única vez, é preciso dividir por 2, para eliminar a duplicidade de jogos, chegando ao
número de partidas para o campeonato com n times:
.
A tabela a seguir mostra a representação do número de partidas num campeonato com 5
times. A configuração triangular facilita a obtenção da lei de formação para o caso de n
times (generalização).
Times T 1
T2
T3
T4
T5
T1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
T2
T3
T4
X
T5
Quando esses alunos tiveram que encontrar o número de partidas de um outro campeonato,
seguindo outra modalidade, muitos ignoraram as novas regras e responderam como se
fosse o mesmo esquema já visto anteriormente. Ou seja, mesmo alguns alunos que
conseguiram generalizar o problema do 1o tipo de campeonato, não conseguiram pensar
num esquema “mata-mata”, ou seja num campeonato que, em cada partida, um competidor
é eliminado. Nesse caso, os alunos não chegaram à abstração.
Mas é preciso distinguir entre generalização e abstração. O conceito de espaço
vetorial é um bom exemplo para ilustrar essa distinção. Trabalhando inicialmente com os
espaços IR2 e IR3, a generalização para o espaço de n variáveis, o IRn, é praticamente
automática, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. No entanto, a
transposição para a noção de um espaço vetorial V constitui uma abstração, em que é
preciso identificar as operações inerentes a esse espaço vetorial, e suas propriedades.
Tipos de abstração
pseudo-
A abstração empírica depende da observação externa de cada indivíduo a respeito de
propriedades do objeto em questão. As propriedades estão no objeto, mas são percebidas
externamente do ponto de vista de cada indivíduo.
De acordo com Piaget, esse tipo de abstração leva à extração
de propriedades comuns de objetos e a generalizações
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abstração
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Piaget distinguiu três tipos de abstração: a abstração empírica, a
empírica e a abstração reflexiva.
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extensivas, isto é, a passagem de “alguns” para “todos”, do
específico para o geral. (Dubinsky, 1991, p. 97)
No caso da abstração pseudo-empírica, entram em jogo também ações introduzidas nos
objetos pelo sujeito. Considere, por exemplo, uma abstração alcançada a partir de um
esquema ou representação do objeto criada pelo sujeito. Nesse caso, a abstração é empírica
porque depende das propriedades do objeto, mas também depende da configuração criada
pelo sujeito. É, portanto, um exemplo de abstração pseudo-empírica.
A abstração reflexiva se origina no indivíduo e depende de suas ações. Esse tipo de
abstração está associado não apenas às ações propriamente ditas, mas também às
interrelações entre essas ações. O mais importante neste tipo de abstração é a construção de
novas combinações a partir da conjunção de abstrações. Esse aspecto construtivo da
abstração reflexiva exerce um papel fundamental no pensamento matemático avançado.
Dubinsky (1999, p. 98) cita vários conceitos matemáticos considerados por Piaget como
resultados de abstrações reflexivas, como o conceito de grupos, a teoria geral de categorias,
a impossibilidade de construir o conjunto de todos os conjuntos e o conceito matemático de
função.
Portanto, a abstração reflexiva pode ser uma ferramenta poderosa no ensino e
aprendizagem de conteúdos da educação superior que envolvem o pensamento matemático
avançado. Por meio da sua compreensão, é possível criar caminhos e desenvolver
sequências didáticas que ajudem nossos alunos a desenvolver habilidades para construir
significativamente conceitos básicos.
REFERÊNCIAS
DREYFUS, T. Advanced Mathematical Thinking Processes. In Tall, D. (Ed.): Advanced
Mathematical Thinking, p.25-41. Kluwer Academic Publishers, 1991.
DUBINSKY, E. Reflective abstraction in Advanced Mathematical Thinking. In Tall, D.
(Ed.): Advanced Mathematical Thinking, p.95-123. Kluwer Academic Publishers, 1991.
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TALL, D. The Psychology of Advanced Mathematical Thinking. In Tall, D. (Ed.):
Advanced Mathematical Thinking, p.3-21. Kluwer Academic Publishers, 1991.
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A REPRESENTAÇÃO COMO PROCESSO DO PENSAMENTO
MATEMÁTICO AVANÇADO
Maria Clara Rezende Frota
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais – Brasil
Nível: Superior
Categoria: Pensamento matemático avançado
RESUMO
Representações mentais e simbólicas são apresentadas enquanto constitutivas do
pensamento matemático avançado. Estratégias de ensino e aprendizagem são propostas a
partir de experiências e pesquisas, objetivando incentivar a leitura e escrita compreensiva
em Matemática e favorecer os processos de representação e comunicação em Cálculo.
Aponta-se a necessidade de pesquisas sobre estratégias de ensino e aprendizagem que
incentivem o desenvolvimento da linguagem matemática formal e do pensamento
matemático avançado.
Palavras-chave: representação em matemática, pensamento matemático avançado,
estratégias de ensino e aprendizagem
TRABALHO
Dreyfus (1991) enfatiza que: “É possível pensar em tópicos matemáticos avançados numa
forma elementar e pode ter-se pensamento avançado sobre tópicos elementares” (p. 26).
Zazkis e Applebaum (2007) referem-se a um debate nos últimos 15 anos, ou seja, desde o
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Esses processos matemáticos desenvolvem-se ao longo da trajetória escolar de cada pessoa,
não apenas no Ensino Superior, ao se abordarem conteúdos da Matemática Avançada. Na
realidade são as formas de pensamento que são avançadas, mesmo ao se abordar conteúdos
da Matemática Elementar. Segundo Zazkis e Applebaum (2007), Harel and Sowder
articulam essa tensão através do uso de expressões em que o hífen aparece de duas
maneiras: “advanced-mathematical thinking” dizendo respeito a pensar em Matemática
Avançada, enquanto “advanced mathematical-thinking” significaria pensar Matemática de
uma forma avançada.
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O pensamento matemático avançado (PMA) é caracterizado pela integração dos vários
processos matemáticos entre eles: investigar, ter intuições, levantar conjecturas, abstrair,
formalizar, generalizar, representar, argumentar, deduzir, provar.
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início dos anos 90 sobre o que seja o pensamento matemático avançado, caracterização para
a qual não parece haver um consenso.
Para Harel, Selden e Selden (2006) o pensamento matemático consiste em “todo o
pensamento matemático desde os anos da escola secundária, até a Matemática axiomática
formal baseada na definição e prova” (p.147). Tall (1991) destaca que ao resolver um
problema de Matemática Elementar muitas das ações desencadeadas são também
executadas ao se trabalhar com a Matemática no Ensino Superior, que se caracterizaria pelo
nível de formalização das definições e demonstrações.
A partir das colocações acima é possível dizer que o que distingue os dois tipos de
pensamento é o nível de complexidade exigido para cada um dos processos matemáticos.
Segundo Tall (1991) “a mudança do pensamento matemático elementar para o avançado
envolve uma transição significativa: do descrever para definir, do convencer para provar,
numa maneira lógica baseada nessas definições” (p. 20).
Nesse trabalho o foco são as representações, enquanto processos do pensamento
matemático avançado, que se interligam aos processos de intuição, rigor, abstração,
generalização e formalização.
Representação em Matemática
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Dreyfus (1991), ao discutir os processos do pensamento matemático avançado, destaca o
processo de representação em matemática. Representações matemáticas podem ser mentais,
nesse caso implícitas, ou simbólicas, na forma oral ou escrita, objetivando a comunicação
de uma ideia ou um conceito matemático. Segundo esse autor o sucesso em matemática
depende de se ter representações mentais ricas, ou seja, representações que conectam vários
aspectos de um mesmo conceito.
Representações mentais construídas são explicitadas na forma de registros, que podem ser
orais ou escritos. O acesso a um objeto matemático mental depende de um sistema de
representação para designá-lo. A necessidade de um sistema de representação e a grande
variedade de representações semióticas usadas em matemática caracterizam a atividade
matemática do ponto de vista cognitivo, segundo Duval (2003). Para esse autor a
mobilização simultânea de ao menos dois tipos de representação semiótica, ou a troca que
ocorre a todo tempo de um tipo de registro para outro, definem a originalidade da atividade
matemática. Assim, além de representações mentais ricas às quais se refere Dreyfus (1991),
teríamos representações simbólicas ricas, na medida em que mais de um tipo de registros de
representação são conectados, no sentido de comunicar uma idéia matemática.
As colocações anteriores nos levam a questionar acerca do que importa para a formação
Matemática de nossos alunos. Cuoco, Goldenberg e Mark (1996) destacam que mais
importante que resultados matemáticos específicos, são os hábitos de pensamento
matemático das pessoas que criam esses resultados. Nessa linha, os autores propõem a
organização de um currículo de modo que o foco não seja aprender conteúdos, mas
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aprender e adotar algumas das formas que os matemáticos usam para pensar e resolver
problemas.
Cuoco, Goldenberg e Mark (1996) partem de formas de pensamento mais gerais, para
caracterizar as formas de pensamento da matemática e, dentro da matemática, os hábitos de
pensamento dos geômetras e dos algebristas. Ao desenvolver os vários hábitos de
pensamentos o aluno deve ser incentivado a descrever, formal e informalmente, relações e
processos. Descrever consiste em: dizer o que significa; inventar notações; discutir com os
colegas, na tentativa de convencer que determinado resultado é possível ou verdadeiro;
descrever evidências; exibir as passagens e cálculos matemáticos da prova; escrever
conjecturas, argumentos, resultados, perguntas e opiniões sobre a questão matemática que
está sendo abordada.
Segundo Tall (1995) é importante considerar a diferença entre a matemática elementar em
que objetos são descritos, da matemática avançada em que os objetos atemáticos são
definidos. Segundo esse autor a linguagem é instrumento para descrever um objeto
matemático, apresentando suas propriedades, variando o fato que na matemática elementar
as descrições se fundamentam nas experiências com os objetos e posteriormente a
construção das propriedades decorre da definição e dedução.
Atribuir significado aos termos matemáticos e expressar-se de forma oral e escrita são parte
do que podemos chamar de leitura e escrita compreensiva em Matemática (FROTA,
2011b).
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Resultados de pesquisa apontam dificuldades por parte de estudantes de ensino médio e
superior no registro por escrito de idéias matemáticas. Lage (2008), em pesquisa
desenvolvida com três grupos de estudantes de ensino médio, alunos de licenciatura e
estudantes de um curso de especialização, constatou uma maior facilidade dos alunos em se
expressarem oralmente, na sala de aula, nos momentos de socialização das atividades
desenvolvidas, resultado que confirma evidências da pesquisa de Freitas e Fiorentini
(1998). A maior dificuldade constatada por Lage (2008), entre os três grupos de estudantes
pesquisados, foi a de efetuar registros escritos das conjecturas levantadas e argumentar,
utilizando a linguagem matemática formal.
99
Experiências que envolvem descrições orais e escritas sobre um assunto devem ser
incorporadas à sala de aula, como uma forma de desenvolvimento da capacidade de
comunicação em Matemática. Uma maior compreensão em Matemática pode decorrer da
realização de atividades em que é preciso comunicar suas idéias para os outros, aprendendo
a expressar-se de modo claro e, da mesma forma, aprendendo a ouvir os colegas. Os
Parâmetros Curriculares Nacionais de Ensino Médio destacam entre as finalidades do
ensino de Matemática, a de levar o aluno a “expressar-se oral, escrita e graficamente em
situações matemáticas e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em
Matemática” (BRASIL, 1999, p.254). Se, por um lado, o mercado de trabalho demanda um
bom desempenho de oralidade (PAIS 2006), não se pode descuidar da passagem de
descrever oralmente de modo formal ou informal, para aprender a registrar por escrito as
relações quantitativas, espaciais, hierárquicas ou de inclusão observadas, os processos e
conexões lógicas entre idéias matemáticas.
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Na Matemática costumamos usar exemplos para tornar mais claros conceitos matemáticos
ou procedimentos. O exemplo apresentado a seguir, escolhido de uma situação de teste
proposta para alunos de um curso de engenharia, envolvidos no estudo de integrais duplas,
procura ilustrar com um exemplo, em que consiste a leitura e escrita compreensiva em
Matemática, mais especificamente a leitura e escrita compreensiva em Cálculo (FROTA,
2011a).
A tarefa proposta objetivou que os alunos tivessem uma experiência matemática de
descrever e representar um objeto matemático, relacionando-o com outros conceitos e
processos. Resolver a tarefa demandou utilizar diferentes formas de pensamento que os
matemáticos empregam, criando representações mentais ricas e coordenando diferentes
registros de representação, para comunicar idéias matemáticas.
Foi proposta aos alunos a seguinte atividade:
2
a) Expressar usando coordenadas polares e calcular I  
2
4 y2

( x 2  y 2 ) dxdy
0
b) Descrever e representar graficamente o sólido cujo volume pode ser expresso pela
integral dada na letra (a);
c) Fornecer duas outras interpretações para a integral dada em (a);
d) Expressar por meio de uma integral tripla o volume do sólido descrito em (b).
Figura 1. Trabalho Prático da Turma A - Questão 3
Fonte: FROTA, 2011a.
Quais os processos matemáticos de representação envolvidos na condução da tarefa?
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Três aspectos precisam ser levados em conta no processo da leitura e escrita
compreensiva que a tarefa demanda: ler a informação, ler dentro da informação e ler além
da informação (FROTA, 2011b).
Primeiramente é necessário ler a informação, ou seja, ler a integral: identificar o
integrando; identificar a ordem de integração, identificar a variação de x e y. Para resolver
a tarefa proposta é necessário ler dentro da informação, para identificar os limites de
acordo com a ordem de integração e identificar a região de integração, esboçando o seu
gráfico. Expressar em coordenadas polares a região de integração para, então expressar em
coordenadas polares a integral são duas tarefas que demandam ler além da informação,
buscando no contexto da própria matemática a equivalência da representação cartesiana da


região do plano como D  ( x, y); 0  x  4  x 2 ,  2  y  2 e da representação polar
dessa região como
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
D  (r , ); 0  r  2 ,  
2
 
.
2
Expressar a integral em
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coordenadas polares exige integrar dois sistemas de representação de uma forma rica,
lançando mão de uma série de conhecimentos prévios. O integrando expresso inicialmente
como ( x2  y 2 ) no novo sistema de representação assume a forma
r 2 e ao elemento
diferencial de área, dA  dxdy é associado o elemento diferencial de área em coordenadas
polares dA  rdrd . A compreensão dessa última passagem pressupõe que o aluno seja
capaz de colocar em paralelo e relacionar duas representações de um mesmo conceito, no
caso o elemento diferencial de área. Finalmente, calcular o valor da nova integral obtida

I
2 2
  (r


2
2
) rdrd demanda ler dentro da informação, operando com as informações
0
disponíveis, acionando conhecimentos prévios para resolver a integral.
Para resolver a letra (b) é preciso ler além da informação dada, acionando conhecimentos
prévios no contexto da própria matemática, ao realizar as tarefas de interpretar a integral
como o volume do sólido de altura z  ( x2  y 2 ) , cuja projeção no plano xy é a região


D  ( x, y); 0  x  4  x 2 ,  2  y  2 . Exige-se, ainda, estabelecer relações entre dois
tipos de representação para associar a representação algébrica do sólido com a sua
representação gráfica.
Na resolução da letra (c) o aluno precisa ler além da informação, no contexto não mais da
Matemática, mas, por exemplo, da Física, para interpretar a integral como sendo a massa da
placa delgada na forma de D, com densidade  ( x, y)  ( x2  y 2 ) , ou, ainda, o momento
polar de inércia da placa delgada na forma de D com densidade constante, igual a 1.
Se uma nova tarefa é proposta buscando interligar estudos de integral dupla e tripla, novos
processos de representação são demandados para que o aluno integre as duas
2
representações do volume do sólido, usando uma integral dupla V 
 
2
0
4 y 2 x2  y 2
  
0
dzdxdy .
0
A discussão detalhada do exemplo, aqui conduzida, objetivou ressaltar os inúmeros
processos demandados na leitura e escrita compreensiva do texto matemático, consistindo
em ler a informação, ler dentro da informação e ler além da informação e interligando os
processos de abstração, intuição, generalização, formalização, entre outros.
A resolução da tarefa permitiu revelar aspectos do processo de leitura e escrita em
matemática dos alunos, relativos à: utilização da linguagem matemática natural e a
simbólica para descrever objetos matemáticos (descrição); representação gráfica de idéias
(esboço); atribuição de sentido às integrais representadas algebricamente (interpretação).
Dados de pesquisa (FROTA, 2011a, b) evidenciaram uma falta de prontidão dos estudantes
para ler e escrever em matemática de forma compreensiva.
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2
( x 2  y 2 ) dxdy ,
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2
ou uma integral tripla V 
4 y 2
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A complexidade exigida na consecução da tarefa é caracterizadora do pensamento
matemático avançado. Uma ênfase na leitura e escrita para aprender Cálculo, exigindo ler a
informação, ler dentro da informação e ler além da informação demanda conectar conceitos
e suas diferentes representações para, não apenas resolver uma integral, mas expressar por
meio de integrais a massa de um corpo ou o momento de inércia, ou para atribuir
significado a uma integral dada.
Nesse processo de ler e escrever com compreensão a utilização de recursos computacionais
pode permitir ao aluno realizar vários cálculos matemáticos com mais eficiência e rapidez,
sendo o tempo maior dedicado a testar conjecturas levantadas, desenvolvendo argumentos
para apresentá-las oralmente ou por escrito (PAIS, 2006).
As estratégias para aprender a ler e escrever de forma compreensiva, sistematizadas na
seção seguinte, foram desenvolvidas com alunos do ensino superior, cursando a engenharia
ou a licenciatura e os resultados das pesquisas foram analisados e divulgados (FROTA,
2007, 2011a, b).
Estratégias para incentivar a representação de idéias matemáticas
De modo geral considera-se que o aluno do Ensino Superior é portador de uma série de
competências para lidar com as diversas formas de representação em matemática.
Entretanto, resultados de pesquisa ilustram que a prontidão para a leitura e a escrita não
necessariamente se fazem presentes na sala de aula de matemática da Educação Superior.
As evidências apontam para a importância de propor estratégias para incentivar as diversas
formas de representar as idéias matemáticas.
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102
Experiências e pesquisas conduzidas levam a destacar como relevantes, entre outras, as
seguintes estratégias de ensino, por parte de professores de Matemática:

ler com os alunos trechos do texto didático;

elaborar textos para a revisão de tópicos importantes estudados anteriormente;

desenhar atividades que remetem o aluno à leitura e discussão do texto
matemático, acerca de um tópico ainda não introduzido na sala de aula;

discutir e modelar com os alunos problemas incentivando a leitura além da
infomação, estabelecendo conexões entre conceitos dentro da própria
Matemática ou em contextos de outras ciências aplicadas.
O texto matemático apresenta caracteríscas que podem torná-lo complexo. Entender uma
notação, por exemplo  f ( x, y )dA , demanda a assimilação de um conjunto significativo de
D
símbolos, atribuindo sentido a cada um deles. A compreensão do modelo matemático
envolve, conforme exemplificado, ler a integral, ler dentro da integral e além da integral,
para resignificar o modelo no contexto da própria matemática e de outras ciências. O
exercício de descrever e refletir sobre o processo de leitura compreensiva do modelo pode
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conduzir o professor a um maior conhecimento pedagógico do conteúdo, identificando as
dificuldades do aluno.
Os alunos, por sua vez precisam ser incentivados a desenvolver estratégias de aprender a ler
e escrever em matemática, entre as quais:
•
fazer uma primeira leitura de uma seção do livro didático;
•
ler o texto marcando os resultados principais;
•
ler o texto assinalando as dúvidas;
•
fazer anotações no caderno;
•
elaborar textos-resumo.
À medida que exercita a leitura compreensiva o aluno aprende a escrever, criando suas
anotações e elaborando resumos.
Frota (2007) divulgou resultados de uma pesquisa que teve como instrumento um
resumo personalizado, elaborado por estudantes de engenharia e utilizado como
instrumento de consulta para realizar avaliações escritas e individuais. A elaboração do
resumo mostrou-se importante para o aluno de engenharia tornando-se um instrumento que
pode ajudar o aluno a resignificar as fórmulas matemáticas que utiliza, bem como atribuir
significado a conceitos relevantes do Cálculo, instruindo, por vezes a escolha da melhor
estratégia para resolver um problema. O resumo personalizado possibilitou a avaliação da
aprendizagem pelo professor e a auto-avaliação pelo aluno, sendo ao mesmo tempo útil
para a organização de idéias, fixação dos principais resultados de um assunto e instrumento
para aprender a escrever em matemática.
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O desenvolvimento de cada uma das estratégias apontadas como importantes para o
desenvolvimento do processo de representar em Matemática demanda por parte de
professores e alunos o envolvimento na construção de habilidades que colocadas em ação
constituem o que considero competências de leitura e escrita em matemática. Competência
é aqui entendida como competência em ação, uma das acepções teóricas propostas por
Wienert (1999), incluindo todos os pré-requisitos cognitivos motivacionais e sociais
necessários e/ou disponíveis para aprendizagem. O conceito de competência como ação
combina, dessa forma, aspectos cognitivos, motivacionais e sociais relativos a metas e
demandas e a situações matemáticas em um contexto particular de ação, entendida aqui
como a ação de ler e escrever em Cálculo, com compreensão.
103
A elaboração de resumos é um processo que requer envolvimento e aprendizagem. Trechos
da entrevista conduzida com Márcia (FROTA, 2007, p.8) explicitam seu envolvimento:
“está difícil colocar todas as idéias apenas em uma página no tamanho A4... Já estou no
terceiro resumo... Acho que ainda vou ter de excluir algumas coisas ou vou ter de diminuir
mais a letra!” (M) No processo de fazer e refazer resumos a aluna memorizou os principais
resultados do assunto, conforme ela mesma comentou: “na realidade eu acabei não
necessitando de consultar o resumo... era apenas uma segurança na hora da prova” (M).
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Considerações Finais
Articular as idéias a partir da forma oral de expressão é relevante, enquanto uma
experiência de leitura coletiva e compartilhada. Entretanto, é necessário ir além do texto
oral e apropriar-se da escrita enquanto instrumento de reflexão e de aprendizagem.
Torna-se importante aprender a ler e escrever para incorporar a leitura e escrita
compreensiva em matemática. O pensamento matemático avançado concretiza-se na
medida em que diferentes registros de representação são interligados para fazer uma
matemática com significado na sala de aula do Ensino Superior. A tarefa não é isolada ou
individual. Os processos de representação em matemática ocorrem de forma processual,
lenta e gradativa, em momentos, alguns de trabalho individual, outros de trabalho coletivo.
A metodologia de escrever para aprender cálculo possibilita conhecer os alunos do
ponto de vista cognitivo (o que sabem do conteúdo abordado, suas dificuldades e
facilidades) e metacognitivo (como regulam sua própria aprendizagem), motivando ações
no sentido de proporcionar uma formação matemática pautada em uma reflexão
compartilhada, entendida como uma reflexão que envolve professor e aluno no processo de
pensar sobre a matemática e através da matemática, efetuando registros orais e escritos.
Espera-se que essa reflexão a partir da leitura e da escrita seja incorporada às
estratégias de estudo de Matemática de estudantes de Ensino Superior. Novas investigações
precisam ser conduzidas, para analisar os fatores que têm se constituído como obstáculos ao
desenvolvimento da leitura e escrita compreensiva em Matemática e, portanto, ao
desenvolvimento do pensamento matemático avançado.
REFERÊNCIAS
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104
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Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília: Ministério da Educação, 1999.
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PENSAMENTO AVANÇADO MATEMÁTICO: EM DEBATE
Sonia Barbosa Camargo Igliori
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
[email protected]
RESUMO
A pesquisa em Educação Matemática no Ensino Superior, crescente nas últimas décadas, é
de certa forma dependente da noção de PMA. A diversidade de concepções atribuídas a ela
pode interferir na aplicação dos resultados das pesquisas. Isso porque, uma gama de
possibilidades para a investigação de fenômenos similares pode abrir caminhos, até
divergentes, para as aplicações. O nosso objetivo, para esta mesa, é o de iniciar a busca de
definições mais consensuais para conceitos teóricos como, por exemplo, o PMA com vistas
a contribuir com a elaboração de teorias pedagógicas potentes e mais coerentes para o
ensino da Matemática no nível Superior.
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106
TRABALHO
O questionamento sobre o significado atribuído ao PMA é indicado em Downs e Downs
(2008). Para esses autores, se por um lado é crescente o interesse, nos últimos anos, dos
pesquisadores em Educação Matemática pelo ensino e aprendizagem da Matemática no
Ensino Superior, por outro é preocupante, o que trazemos para a discussão nesta mesa, a
existência de diversidade significativa para a abordagem do tema. Como forma de
enfrentamento eles recomendam a revisão da literatura das referências utilizadas nas
pesquisas com vistas a se constituir uma sinopse do que tem sido compreendido sobre as
diversas noções que referenciam a pesquisa. A recomendação se sustenta na ideia de que a
unificação das questões de investigação contribuiria com a constituição de instrumentos
teóricos mais potentes, porque menos dispersivos. E que assim sendo tais instrumentos
favoreceriam a análise dos fenômenos complexos relacionados ao ensino e aprendizagem
da Matemática Superior e a construção de uma prática pedagógica coerente.
A diversidade de abordagens nas pesquisas não é privilégio das direcionadas ao Ensino
Superior, mas da Educação Matemática, e porque não dizer das Ciências Humanas de um
modo geral. Essa diversidade é resultante dos diferentes modos de abordar um determinado
fenômeno, o que é desejável, e, de certo modo impossível de se evitar. Mas, a busca de
consensos dos resultados de pesquisas também é desejável com vistas ao fortalecimento da
aplicabilidade dos mesmos.
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Neste texto pretendemos levantar algumas reflexões sobre a dificuldade de se conceituar
PMA, considerando mesmo a dificuldade de se conceituar pensamento matemático e sua
evolução. Muitos avanços têm sido feitos e esta mesa contribui para isso. É apenas um
começo e há um longo caminho a ser percorrido, mas vale a pena, pois o sucesso da
aplicação dos resultados das pesquisas, que almejamos, é a retribuição de nossa dedicação
árdua à investigação dos fenômenos tão complexos e tão multifacetados do processo do
ensino e aprendizagem da Matemática em qualquer nível de ensino.
O PMA em debate
Conforme Down e Down (2008, p.154) “as contribuições de pesquisas recentes sobre PMA
apenas acrescentaram mais percepções sobre temas previamente indicados”. Isso reforça a
importância dos trabalhos organizados por Tall () quando várias direções foram expostas
sobre a compreensão do que vinha a ser PMA.
Tall desenvolve sistematização da evolução do PMA numa perspectiva cognitivista. Ele
separa três componentes da atividade humana: a percepção como entrada, o processo
interno e a ação como saída.
Em Tall e Peg (2010), essa sistematização é retomada. E de forma sintética ousamos dizer
que nela os autores propõem que a formação de conceitos em Matemática ocorre em ciclos
que perpassam o desenvolvimento do pensamento matemático e evolui da compressão
ação-esquema a uma forma mais avançada de pensamento, qual seja aquela em que há
aumento de compreensão de conhecimento expresso na interpretação do significado dos
símbolos.
A formação de conceito, sustentada na noção de Piaget de abstração reflexiva, pode ser
considerada como um mecanismo pelo qual ações são transformadas em objetos mentais.
Vários teóricos da Educação Matemática a consideram assim.
Dubisnky (1991) descreve a transformação de ação em objetos mentais como parte dos
elementos de sua teoria APOS (ação- processo-objeto- esquema). Sfard (1991) a propõe
como um crescimento “operacional” por meio do ciclo interiorização – condensação reificação. Essas teorias têm diferenças e semelhanças. Entre as semelhanças podemos
elencar a ideia de que “o ciclo de formação de um pensamento se inicia com ações sobre
objetos conhecidos (que podem ser físicos ou mentais) e elas são praticadas para se
tornarem procedimentos rotineiros na forma “passo a passo” (2008, p. 180).
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Consideremos a expressão x2 – 3x. Ela pode-desencadear a seguinte sequência de ações:
substituir x por um número dado, elevar esse número ao quadrado, depois se multiplica esse
número por 3, subtraí-lo de x2 para se obter o valor de x2 – 3x; ou então outra que é:
substituir x por um número dado, subtrair esse número de 3, e depois multiplicar o
resultado por x. Nesse caso há dois diferentes procedimentos “passo a passo” que resultam
no mesmo output para certo input. Eles são diferentes como processos, mas de um modo
global os dois são o mesmo, pois resultam um mesmo output para certo input. Gray e Tall
(1994) apontam essa semelhança que eles denominam de processo e é no aumento de
107
Para indicar o que pode se assemelhar nas teorias e como o pensamento matemático evolui
para um estágio considerado avançado, Tall e Peg (2010) apresentam o exemplo a seguir.
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compreensão de conhecimento que eles reconhecem a evolução para o pensamento dito
avançado em Matemática.
No caso da expressão x2 – 3x o processo pode se sofisticar como um estudo de equivalência
). O aumento da sofisticação está o papel
entre as funções ( )= ou ( ) = (
desempenhado pelo símbolo. No exemplo, 3+4, o símbolo + indica para um estudante
jovem uma instrução para a operação de adição; e para um estudante mais experiente indica
o conceito de soma que resulta em 7.
Gray e Tall consideravam que esse aumento de compreensão de conhecimento significa a
passagem de um procedimento que ocorre ao longo do tempo, a um processo que finaliza e
que fornece resultado. Para eles os ciclos de construção de conceitos matemáticos
acontecem uma vez, acontecem de novo, e de novo em diversos momentos do
desenvolvimento do pensamento matemático. Isso ocorre “da compressão ação-esquema de
contar ao conceito de número, da aritmética da adição de números inteiros, multiplicação,
potências, frações, inteiros, decimais a manipulações de símbolos em aritmética, álgebra,
trigonometria, cálculo e até ao mais avançado pensamento em matemática” (p.181).
O aumento de compreensão, em Tall (1991), significava a passagem da descrição para a
definição, ou ainda a transição da coerência da matemática elementar para a consequência
da matemática avançada. Indicava também que o último nível da matemática elementar
fosse um estádio preliminar do PMA. Nesse último nível, numa hierarquia de conteúdos
matemáticos, estavam Demonstração Euclidiana; a Análise e Álgebra Avançada.
Dreyfus (1991, pp.26) já considerava possível pensar em tópicos da matemática avançada
de uma forma elementar. E para ele é a complexidade e a forma de se lidar com ela que
distingue os dois tipos de pensamento. Dessa forma ele indicava em 1991, e essa concepção
tem adeptos atualmente, que não há uma distinção profunda entre os dois pensamentos, mas
o que há são processos poderosos, de representação e de abstração, que possibilitam evoluir
de um ao outro e dar conta da referida complexidade.
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Essas considerações sobre recortes dos pensamentos de Tall e Dreyfus objetivam indicar
que há dificuldades em se identificar o PMA, se se pretende distinguir o que é elementar e o
que é avançado no pensamento matemático, na perspectiva cognitivista.
Down & Down (apud Mason 1995b) indicam que para vários autores a noção PMA é vaga.
Isso porque há ao menos três interpretações para ela: em uma primeira na qual o
pensamento matemático é que seria avançado; na segunda seria pensamento sobre
matemática avançada e por fim poderia se atribuir o qualificativo avançado para a
matemática, ou seja, seria pensamento sobre matemática avançada. Ou seja, seria uma
noção vaga por falta de clareza a qual dos dois conceitos o qualificativo “avançado” se
refere ao Pensamento ou à Matemática. Para esse autor pensamento relativo à matemática
avançada formaria uma parte distinguida da Educação Matemática que trata de fenômenos
para os quais não há paralelo com os conteúdos matemáticos mais elementares ou
intuitivos. A complexa natureza da interrelação entre definições, teoremas e provas deve
parecer ser um exemplo.
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As considerações de Down e Down sobre a falta de clareza dada ao PMA podem se
respaldar nas temáticas escolhidas para as pesquisas destinadas a investigar os processos de
ensino e aprendizagem da matemática no nível superior. Elas, em geral, se dividem em ora
em estudos de fenômenos relacionados à formação do pensamento e ora às dificuldades de
aprendizagem de conceitos de disciplinas desse nível do ensino, principalmente aqueles que
não têm, aparentemente, paralelos com conceitos apresentados no ensino elementar, como é
o caso dos limites.
Mas, se pode indicar sem receios que o qualificativo “avançado” tem se adaptado melhor
ao “Pensamento”, numa aceitação às considerações de Skemp quando ele defende que para
o ensino da Matemática “o processo do pensamento matemático é mais importante do que o
produto matemático do que é pensado” (Skemp, apud Down e Down, p.155). Mas há
também pesquisadores que consideram que o “avançado” está no tratamento a ser dado aos
conteúdos da Matemática ensinados no nível superior. E aí voltamos a Dreyfus para o qual
há uma fronteira tênue entre o que é elementar e o que é superior em Matemática.
Para alguns a abstração e o rigor são elementos fortes da caracterização do PMA, mas para
outros eles são mais sintomas do que pontos cruciais, considerando que o nó dessa
caracterização está mesmo nas questões do significado e da existência de um objeto
matemático (Thom (1973), apud Otte, 2003, p. 203).
Otte (2003), aliás, trata da questão de dar significado aos objetos matemáticos a partir da
noção de complementaridade. Para ele a existência dos objetos matemáticos é complexa
porque eles não podem ser apontados com o dedo e nem são colhidos no jardim. Ele indica
que na realidade, a existência de um conceito matemático, tal como o conceito de número
ou de função, depende da totalidade de suas representações possíveis, mas com as quais
eles não podem e não devem ser confundidos.
A conceituação do PMA como processo joga um papel na elaboração de cursos de
Matemática para o Ensino Superior se maior ênfase for dada ao processo do pensamento
matemático mais do que no desenvolvimento de conteúdos teóricos. Em geral nesse caso
são escolhidas abordagens de resolução de problemas, como uma preparação introdutória
de apoio.
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Nesse debate da dualidade do pensamento matemático Otte destaca a obra de Cassirer
(1977), neo-kantiano, que dá forte ênfase aos aspectos operativos e instrumentais do
conceito.. E também o trabalho de Richard Skemp (1971) que trata do aprender e do
compreender, denominadas por Skemp de compreensão instrumental e relacional. Down e
Down vão propor uma definição ao PMA buscando equilíbrio entre os papeis
desempenhados pelos objetos e as relações. Eles propõem uma abordagem por meio das
estruturas matemáticas.
109
Otte (2003) toma a complementaridade como um apoio teórico para tratar da transformação
de conceitos matemáticos em objetos e entidades, desembaraçando-os de suas existências
físicas originais. Nessa perspectiva, mais madura, de se conceber os conceitos matemáticos
Otte (ibdem) faz objetos matemáticos se tornarem relacionais e instrumentais, dando muita
importância ao papel das relações. Para Otte há essa dualidade é inerente ao pensamento
matemático.
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Com essa perspectiva, de preparação dos estudantes para o ensino de conceitos da
matemática avançada, são relatadas experiências de cursos de transição entre Ensino Médio
e a Universidade, em que se buscava a formação de competências na resolução de
problemas e efetivação de demonstrações e provas. Os cursos tinham por alvo a formação
de concepções básicas sobre conjuntos, variável e função. Os resultados não são muito
encorajadores. (Down e Down, p.157)
Em nossas experiências, no ensino de Cálculo, vivenciamos situações similares ao
trabalhamos em cursos introdutórios com ênfase na formação do pensamento. As
abordagens de resolução de problemas, com essa finalidade, acabavam se tornando
rotineiras, e nos momentos destinados à introdução dos conteúdos mais complexos do
Cálculo como infinito, limites e derivadas, a impressão que ficava é que a fase anterior não
havia existido, e todos os investimentos para auxiliar a aprendizagem, deveriam ser nesse
momento buscados. Ficava sempre a pergunta: o que é difícil para aprendizagem desses
conceitos? Nesta mesa essa pergunta pode se transformar em: qual ou quais as
característica do PMA que se deve levar em conta para favorecer a aprendizagem dos
conceitos matemáticos tratados no Ensino Superior?
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110
Em continuidade à nossa reflexão sobre as características do PMA vale destacar o estudo de
Vinner (1991) sobre o papel das definições no ensino e aprendizagem da Matemática e no
estudo do PMA reforçada pela proposta de Tall de que a passagem do pensamento
elementar para o avançado é expressa por: da descrição para a definição. Vinner (1991,
p.65) destaca entre outros aspectos que: “Conceitos são em geral adquiridos por suas
definições. Estudantes usam definições para resolver problemas e provar teoremas”
Para tratar das definições como meio de aquisição de conceitos matemáticos Vinner
introduz os dois conceitos o conceito imagem e o conceito definição. A imagem se refere à
forma individual do aprendiz conceber mentalmente um conceito apresentado por meio de
uma definição matemática. Essa noção permite interpretar a acomodação de um conceito
ou percepção das falhas e compreensões inadequadas que um aprendiz retém em sua mente.
O conceito definição é o modo que o aprendiz expressa, por meio de palavras, a imagem do
conceito que tem em sua mente. A proposta é que haja alinhamento entre a imagem e a
definição do indivíduo e a definição matemática. Se isso ocorre há uma ampliação do grau
de articulação passando para uma argumentação. Mas o que se tem observado é que,
usualmente, o estudante mesmo o mais preparado não consegue formar ideias ou dar
explicações a a um conjunto de tarefas proposto a ele. Sobre esse assunto Down e Down
(2006, p.157, apud Moore 1994) observa que a diferença entre definições equivalentes de
um conceito pode ser incomensurável em termos cognitivos.
Na discussão sobre a aquisição de um conceito devem ser também abordada a superação
de obstáculos, epistemológicos ou não, esses entendidos como uma má adaptação do
aprendiz frente a novos problemas, descontinuidades entre conhecimentos comuns e
científicos ou ainda inconsistências entre a intuição e a interpretação induzida por uma
definição matemática. As conceituações de obstáculos pela comunidade de pesquisadores
não se acomodam em uma definição. Por essa razão Down et all (2008) apontam a
necessidade de se revisar também o papel dos obstáculos epistemológicos na formação do
PMA. Logo que Brousseau inseriu em 1976, a noção e a classificação dos obstáculos à
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aprendizagem da Matemática em sua Teoria das Situações Didáticas houve interesse pelo
tema entre os pesquisadores da Educação Matemática, com destaque especial ao papel dos
obstáculos epistemológicos (Bachelard, 1938) na formação do pensamento matemático.
Nos anos que se seguiram muitos questionamentos apareceram até mesmo sobre a
contestação do fato de um determinado obstáculo ser considerado na literatura como
epistemológico. (IGLIORI, 2010, p. 134, apud RADFORD, 1997).
Problemas teóricos apresentados em (Safuanov, 2000) sobre o desenvolvimento do
pensamento matemático são pertinentes aos dois níveis, elementar ou avançado. Esses
problemas são atuais e devem ser relembrados. A discussão, feita em 2000, era num amplo
contexto, o do desenvolvimento de uma personalidade, destacando então o
desenvolvimento mental. E aí o desenvolvimento do pensamento “porque é o pensamento
que determina todas as outras funções intelectuais: imaginação, flexibilidade da mente,
liberdade e profundidade do pensamento, etc” (p.17). O que diz Rubistein (apud.
Safuanov) é indicativo da complexidade do tema que estamos discutindo, complexidade
aumentada se desejamos atribuir qualificativo de elementar ou avançado. Diz ele:
“A correta compreensão da interpretação do
pensamento como processo assume, que
pensamento é compreendido como atividade do
sujeito interagindo com o mundo exterior. O
pensamento é um processo exatamente porque
é interação contínua do homem com o
objeto...” , (p.17)
E nessa interação, no caso da pesquisa sobre o processo de formação do pensamento
matemático, podemos colocar outros ingredientes, caso o pêndulo esteja de um lado ou do
outro. Se do lado do sujeito há que se considerar as teorias sobre a formação do pensamento
referenciadas no transito desse sujeito com os registros de representação semióticas dos
conceitos (linguagem natural, simbólico e figural), como é o caso da teoria de Duval (apud
Machado, 2010). Se a perspectiva de análise está do lado do objeto, elementar ou avançado,
há que se considerar a dialética ferramenta ou objeto de Douady (apud Maranhão, 2010)
que os conceitos matemáticos assumem.
Essa mudança de ênfase é para argumentar que o
crescimento do pensamento matemático dos estudantes
é um processo em desenvolvimento e que a natureza
do pensamento matemático poderia ser estudada então
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Harel e Soweder (2005) fizeram brincadeiras com um ifen variando as posições entre os
termos Advanced, Mathematical ou Thinking. Eles justificavam: se entre advanced e
mathematical queria dizer pensamento em matemática avançada; se entre mathematical e
thinking queria dizer pensamento matemático de natureza avançada. E ainda diziam :
111
O papel da motivação na aquisição de um conhecimento é destacado por esses autores. A
atualidade desse papel é indiscutível. Como exemplo eles indicam aqueles casos de pessoas
que resolvem, com sucesso, problemas lógicos e matemáticos no contexto de atividades
profissionais (ou em outra forma habitual).
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de modo a levar instrução coerente voltada na direção
do pensamento matemático de natureza avançada
(p.27)
Para finalizar ressaltamos a importância do tema que trazemos para a discussão desta mesa,
pois, ela busca chamar a atenção para o fato de que há pesquisadores da área que sua
consolidação como um alvo a ser perseguido. E para isso propõem um direcionamento: a
constituição de uma definição mais consensual sobre o PMA com vistas a organização de
teorias pedagógicas mais potentes, pois mais coerentes.
Essa é a posição de Harel (2010) quando aponta algumas fragilidades da pesquisa em
Educação Matemática como, por exemplo, a compreensão inadequada do que significa,
para pesquisadores, adotar uma instância teórica ou conceitual, em sua própria
investigação; e a condição periférica dada aos conteúdos matemáticos em muitos estudos
atuais.
Harel ressalta que não se pode negar a contribuição significativa que a área apresentou, nas
três últimas décadas para chegar a uma compreensão da natureza da aprendizagem e do
ensino das ideias e conceitos matemáticos. Essa contribuição muniu a Educação
Matemática de uma identidade que a diferenciou de outros domínios como a Psicologia,
Sociologia, Etnografia entre outros. Mas, no entanto, Harel destaca também a preocupação
com o que vem ocorrendo atualmente quando diversos estudos rigorosos e importantes têm
relegado a inserção de conteúdos para segundo plano. De tal modo que resultados desses
estudos em nada se alteram se se trocar conteúdos matemáticos por outros de História,
Biologia ou Física, trazendo com isso risco da área ir perdendo sua identidade. E nesse
contexto que Harel, com base em Schoenfeld (2000) reforça a proposta de se buscar a
compreensão da natureza do pensamento matemático.
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112
Para os autores que motivaram este nosso artigo, Down e Down (2008) a proposta é utilizar
da noção de estrutura, relevante para todo pensamento matemático, mas admitem que em
geral, sua a palavra estrutura evoca com maior frequência o termo PMA. E que eles então
dizem “ter crença que estrutura é uma expressão apropriada para meditar sobre o que o
PMA constitui.
REFERÊNCIAS
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Cassirer, E. (1977) Substance et Function: éléments pour une théorie Du concept. Traduit
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ETNOMATEMÁTICA E CURRÍCULO: TENSÕES E DESAFIOS NO
CONTEXTO ESCOLAR
Alexandrina Monteiro
Universidade São Francisco- SP-Br
[email protected]
RESUMO
O campo das teorias curriculares, em especial a partir dos trabalhos de Michael Young,
passa a problematizar alguns dos elementos que o constituem tais como: objetivos,
conteúdos, metodologia e avaliação gerando novos questionamento. Assim, os estudos
curriculares passam a questionar não apenas o “como” ou “o quê” ensinar, mas, também
sobre “o por quê” ensinar um conteúdo e não outro, neste caso, ressalta-se a ética que
respalda as escolhas. É a partir dessa última questão que pretendo pensar o currículo escolar
e não uma disciplina específica, na perspectiva do Programa Etnomatemática.
Palavras_Chaves: Currículo, Etnomatemática, Educação
1. Notas para um inicio de conversa
Se considerado como uma prática discursiva, o currículo é uma prática de poder, ou ainda,
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O desafio de pensar na organização curricular numa perspectiva Etnomatemática me leva a
propor como questão: O que é um currículo? O que há em comum ou se distingue entre
currículo e documentos curriculares? Segundo Lopes e Macedo (2011), o objeto currículo é
constituído por discursos homogeneizantes de distintas tradições teóricas. Assim, para cada
tradição (tradicional, crítica, …) o currículo possui um sentido próprio e, acrescento que
nesse sentido esses discursos atravessam, muitas vezes ao mesmo tempo, um mesmo
documento curricular.
115
–Esta explicação eu encontrei na rua; ouvi alguém do povo dizer:
“Ele me reconheceu”–: então me perguntei: o que entende mesmo o
povo por “conhecimento”? O que quer ele, quando quer
“conhecimento”? Não mais do que isto: algo estranho deve ser
remetido a algo conhecido. (...) nossa necessidade de conhecimento
não é justamente essa necessidade do conhecido, a vontade de, em
meio a tudo que é estranho, inabitual, duvidoso, descobrir algo que
não mais nos inquiete? (NIETZSCHE, 2005, p. 251).
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como defende Silva (2001) um documento de identidade, de significação de governamento
e disciplinamento. É um discurso que só é possível de se constituir pelo atravessamento de
outros discursos advindos de campos sociais e culturais que, juntos, constituem diferentes
sentidos e projetam identidades.
Nesse sentido, pretendo organizar esse texto em três momentos. Num primeiro, destacar
alguns enunciados constitutivos da sociedade de consumo em que nos encontramos
inseridos, depois, apresentarei uma breve discussão sobre as teorias curriculares advindas
das perspectivas críticas e pós-criticas e por fim, teço algumas considerações sobre a
Etnomatemática, buscando compreender a potencialidade da trama discursiva que se
pretende estabelecer entre etnomatemática e teorias curriculares pós-críticas. Entendemos
que a possibilidade em se potencializar um discurso curricular resulta da capacidade deste
em tornar-se não homogeinizador ou propositivo de metas fixas pré-elaboradas, ou seja, tal
potencialidade se mostra nas possibilidades inventivas, provocadas por discursos voltados
para a experiência e para o devir. Assim vamos iniciar o percurso!
A globalização do mundo contemporâneo vem se constituindo por novas racionalidades
vinculadas as diferentes tecnologias e atividades de consumo. Bauman (2008) destaca que
as atividades de consumo, aparentemente banais: por participarem de todas as formas de
vida conhecida –; na contemporaneidade se apresenta numa forma modificada e mais
profunda denominada de consumismo. Segundo esse autor, a atividade consumista e de
consumo se diferem pelo fato desta última estar relacionada as necessidades de
sobrevivência enquanto que a primeira se sustenta pela nossa capacidade de 'querer',
'desejar', 'ansiar por' e particularmente de experimentar tais emoções repetidas vezes de
fato passou a sustentar a economia do convívio humano. Ou seja:
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116
(…) o consumismo é um tipo de arranjo social resultante da
reciclagem de vontades, desejos e anseios humanos rotineiros,
permanentes e, por assim dizer, (…) uma força que coordena a
reprodução sistêmica, a integração e a estratificação sociais, além
da formação de indivíduos humanos, desempenhando ao mesmo
tempo um papel importante nos processos de auto-identificação e de
grupo, assim como na seleção e execução de políticas de vidas
individuais. Bauman (2008, p.41)
Em outros termos, o consumo refere-se a uma característica humana de ocupação de cada
pessoa no mundo, ou seja é um atributo dos seres humanos enquanto indivíduos, enquanto
consumismo é um atributo da sociedade que se caracteriza por promover, encorajar e
reforçar seus membros a uma escolha de estilo de vista consumista, ao mesmo tempo que
rejeita opções culturais alternativas. Nesse sentido, a sociedade de consumidores amplia o
controle sobre o corpo - próprio da sociedade disciplinar de produtores19 - abarcando
também, a administração do espírito. Assim acredita-se que:
(…) obedecer aos preceitos [da sociedade de consumidores]
dependa apenas da disposição e do desempenho individuais em
19
Bauman (2005) distingue os sujeitos da sociedade de produtores (os quais fazem uso do consumo) dos
sujeitos (consumistas) da sociedade de consumo.
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função desse pressuposto, toda 'invalidez social' seguida de
exclusão só pode resultar de faltas individuais. (…) Consumir,
portanto, significa investir afiliação social de si próprio, o que,
numa sociedade de consumidores, traduz-se em vendabilidade:
obter qualidades para as quais já existe uma demanda de mercado,
ou reciclar as que já se possui, transformando-as em mercadorias
para as quais a demanda pode continuar sendo criada. (p.75)
Para Bauman (2008) a condição consumista ao nos atravessar, nos torna mercadorias, isto
é, somos consumistas e objetos de consumo aos quais, atrelamos valores de mercado em
função dos objetos que consumimos. Diante disso, cabe-nos perguntar, quais seriam os
objetivos da escolarização na e para essa racionalidade da sociedade de consumidores?
Somos levados a crer que nesse modelo o que se busca é criar/moldar o sujeito-cliente que
sustenta a sociedade de consumo. Moldar o sujeito cliente, por sua vez, não exclui as
tecnologias de subjetivação disciplinar, tais tecnologias sofrem mudanças a fim de atender
aos novos objetivos de governamentalidade, como indica Veiga-Neto (1999):
(…) se não há (necessariamente) o apagamento da função
disciplinadora da escola, é preciso saber o quanto e em que
circunstância essa função continua sendo ainda importante. Nesse
ponto, valho-me de Bauman (1992); ao comentar Foucault, ele nos
diz que o poder disciplinar está agora destinado a controlar aqueles
que não estão ao alcance das tecnologias de sedução ao mercado.
Isso significa que o mercado —já central, essencializado e
retificado no neoliberalismo— poderá funcionar também como um
quase-substituto do panoptismo e das outras práticas de
disciplinamento e normalização —como o confinamento, o
quadriculamento do espaço, o fracionamento do tempo, os
currículos segmentados em disciplinas estanques, os exames
rotineiros, etc. (p.33)
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Essa pergunta não anseia por examinar transformações históricas, avaliar as mudanças, ou
propor novos encaminhamentos metodológicas. Seu foco centra-se nas possibilidades que
as análises daí decorrente têm em problematizar, e inventar problemas que nos permitam
pensar em fissuras, ou rotas de fuga do (e no) interior do emaranhado social consumista que
pretende nos aprisionar. No contexto escolar, entendo que se trata de problematizar, por
exemplo, as inovações administrativas e pedagógicas centradas em discursos empresariais
os quais têm de forma invasiva assumindo cada vez mais o campo educacional, inclusive,
transformando e denominado os alunos por clientes. A essas mudanças se agregam os
circuitos fechados de vídeos em corredores e salas de aula, os atrativos tecnológicos como
“brindes” para tornar-se alunos de uma determinada instituição, a corrida pelos ranques de
117
Assim, me parece relevante que o campo educacional reflita seu lugar frente as essas
mudanças e deslocamentos sociais. Ou seja, é necessário perguntar: que efeitos essa novas
configurações culturais e sociais: na qual se destacam os sujeitos consumidores que vivem
um encurtamento da relação tempo espaço, jamais experienciado antes -; têm provocado
aos sujeitos envolvidos nas atividades escolares e também nos discursos curriculares?
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
avaliações externas – buscando no mercado os alunos com mais potencia e oferencendo
bolsas, entre outros. Tais mudanças se aproxima daquilo que Deleuze disse — e lamentou
— sobre as sociedades de controle:
Estamos entrando nas sociedades de controle, que funcionam não
mais por confinamento, mas por controle contínuo e comunicação
instantânea. [...] Pode-se prever que a educação será cada vez
menos um meio fechado, distinto do meio profissional —um outro
meio fechado—, mas que os dois desaparecerão em favor de uma
terrível formação permanente, de um controle contínuo se
exercendo sobre o operário-aluno ou o executivo-universitário.
Tentam nos fazer acreditar numa reforma da escola, quando se trata
de uma liquidação. Deleuze (1992, p.216. apud Veiga-Neto 1999. p.
35).
Diante das novas perspectivas emergentes da sociedade de consumo, os discursos e
pesquisas no campo educacional voltam-se para a busca constante por novos produtos,
novos saberes, pelo conhecimento, que em geral refletem em novas propostas de
documentos curriculares que são impostos às escolas. Em geral tais propostas tendem a
mover-se por trilhas conhecidas, por caminhos que nos parece familiar, mas, num ritmo
frenético que nos impossibilita de exercitar a prática da ruminação. Somos chamados a
fazer um novo que tem sabor de repetição de já conhecido, de (re) conhecido.
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118
Essa familiaridade, com o que se apresenta como novo, tanto nos angustia pela aparente
repetição como nos desafia. Quando somos movidos pela angustia, tendemos a optar pelos
caminhos conhecidos ou traçados pelas das massas, em que somo convocados a apenas
seguir a multidão. Porém ao nos sentirmos desafiados, esse velho/novo é questionado, é
problematizado e, nosso desafio, o qual tem sido proposto por muitos autores advindos das
teorias curriculares críticas e especialmente das pós-criticas, é a de buscar na fissura da
solidez da estrutura escolar e da rigidez de muitas propostas curriculares, novas trilhas, a
novos caminhos ainda não experimentados. E, nesse sentido volto-me para os discursos do
Programa Etnomatemática por acreditar ser ele um elemento potencializador para essas
rupturas. Sua potencialidade encontra-se no seu caráter não prescritivo de pensar o saber, a
educação. Por ser uma proposta comprometida mais com o devir do que com o futuro, ou
seja, que se coloca aberta para caminhar e inventar caminhos se descompromissados com o
olhar futurístico de cumprimento de metas.
2. Sobre o saber escolar: desafios curriculares.
Segundo Foucault (1999), a escola é uma das instituições mais eficientes no processo de
vigilância e controle de corpos e almas e, tal controle se faz por meio da vigilância, da
punição e, especialmente pelo controle e aprisionamento do tempo. Para tanto o autor
recorre a técnicas elaboradas por ordens religiosas, e depois modificadas para atender as
demandas e as novas instituições como exército, escolas:
Durante séculos, as ordens religiosas foram mestras de
disciplinas: eram os especialistas do tempo, grandes técnicos
do ritmo e das atividades regulares. Mas esses processos de
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regularização temporal que elas herdam as disciplinas os
modificam. Afinando-os primeiro. Começa-se a contar por quartos
de hora, minutos e segundos (...). Nas escolas elementares, a
divisão do tempo torna-se cada vez mais esmiuçante; as
atividades são cercadas o mais possível por ordens a que se tem que
responder imediatamente. (FOUCAULT, 1999. P.176).
A instituição escolar se constitui, assim, na fragmentação do tempo/espaço e do saber. O
conhecimento dividido em disciplinas escolares impõe a disciplinarização escolar por meio
de regimes de verdade que consideram esses saberes como única fonte de verdade. Assim a
instituição escolar se organiza de forma fechada e convergente ou seja:
(...) só há uma maneira legítima de pensar, só há uma verdade a ser
apregoada, só há um caminho a ser observado para se atingir a
verdade, o verdadeiro conhecimento. (Clareto, 2011. P. 6).
Essa disciplinarização, como já discutimos, ainda se faz fortemente presente no processo de
governamentalidade que atravessa a instituição escolar, ou seja, ela faz parte da maquinaria
que leva o estudante a tornar-se aluno e o aluno em cliente e futuro consumidor. As
tecnologias disciplinadoras, quando aplicadas ao saber tendem a consolidar o saber escolar
como "a" verdade, entretanto, a diversidade de saberes e informações produzidos pelas
novas tecnologias, têm criado disputas e até mesmo desconfianças quanto a sua validade.
Arrisco afirmar que tais desconfianças tendem a desestabilizar os sujeitos - alunos,
professores, gestores - responsáveis por fazer a instituição escolar funcionar. Entretanto
essa desestabilização pouco têm gerado de problematização ou de questionamento à
racionalidade que institui a verdade e a ordem disciplinar.
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Machado (1999) ao abordar a questão a verdade em Nietizche destaca que esse pensador
afirmava que mais importante que a verdade das coisas é garantir que elas se pareçam
verdadeiras. Nesse sentido importa muito mais o valor das coisas (saber) do que sua
suposta verdade. Na atual contemporaneidade esse valor das coisas-saberes está associado a
potencialidade que tais coisas possuem em se tornarem produtos consumíveis, vendáveis,
com ampla visibilidade na sociedade mídiatica.
119
Diante disso, buscar por um novo, como nos alertou Nietzsche (2005) no início desse texto,
está associado a tarefa de trilhar pelo já conhecido, pelo familiar. Nesse sentido, a
desestabilização da legitimidade das instituições escolares e universitárias, geram
deslocamentos geográficos mas não estruturais, ou seja, as agencias legitimadoras mudam
de lugar mas não de princípio. Assim, temos assistido as mudanças de agências
legitimadoras antes, escolas e Universidades, agora centros de pesquisas privatizados,
indústrias, ou laboratórios universitários financiados pelas indústrias que por seus interesses
impedem, muitas vezes, a participação dos pesquisadores em eventos científicos em função
do segredo de mercado. Essas novas agencias legitimadoras vinculam a legitimação à
lógica da ciência instituída mas agregam fortemente o potencial dos saberes em se tornarem
engrenagens do processo de consumo ou seja, seu potencial de vendabilidade.
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Preocupados com essa nova configuração do saber, novos caminhos têm sido apontados
pelas teorias curriculares, em especial a partir das propostas pós-estruturalista. Segundo
Lopes e Macedo (2011), no Brasil, tais propostas passam a ser mencionadas em meados de
1990. Os trabalhos do estudioso Tomaz Tadeu da Silva e muitas de suas traduções foram os
principais responsáveis pela divulgação dessas perspectivas teóricas no campo educacional
brasileiro.
Silva (2001) apresenta, neste texto, de forma muito didática uma síntese de três
perspectivas teóricas do campo curricular a saber: as tradicionais, as criticas e as póscriticas sendo que, cada uma delas são permeadas por inúmeras variações. Dentre as
diversas características aproximações e distanciamentos entre essas tendências, esse autor
destaca algumas questões que mais as caracterizam cada uma delas. No caso das teorias
tradicionais – o foco volta-se para “o como” ensinar, já as teorias críticas secundarizam “o
como” e passam a problematizar o "o quê" ensinar e, por fim, as teorias pós-críticas
submetem esse “o quê” a um constante questionamento.
Para as teorias pós-criticas, a questão central foca, então, o "por que" de se ensinar
determinado conhecimento e não outro. Ou seja, quais interesses fazem com que
determinado conhecimento e não outro esteja no currículo? Por que privilegiar um
determinado tipo de identidade e subjetividade e não outro? As teorias pós-criticas e
também as críticas, preocupam-se, com as conexões entre saber, identidade e poder.
Entretanto, enquanto as teorias críticas centram-se nas relações de poder de classes, as póscriticas ampliam esse dimensão incluindo questões de raça, etnia, gênero e sexualidade.
Nessa perspectiva:
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O currículo é lugar, espaço, território. O currículo é relação de
poder. O currículo é trajetória, viagem, percurso. O currículo é
autobiografia, nossa vida, currículum vitae: no currículo se forja
identidade. O currículo é texto, discurso, documento. O currículo é
documento de identidade. (Silva, 2001. p.150)
Lopes e Macedo (2011), ampliam as discussões apresentadas por Silva e destacam que as
teorias curriculares advindas das perspectivas pós-críticas ou pós-estruturalistas
compreendem o currículo como um jogo de forças entre saberes. Para elas, tais teorias
consideram, também, a necessidade de se buscar caminhos potencializadores dessas forças.
As propostas pós-críticas exaltam, assim, a necessidade de problematizar as discussões do
campo educacional e, nesse sentido - sem desqualificar ou negar os trabalhos pedagógicos
propositivos: relacionados a novas metodologias, ou encaminhamentos de políticas públicas
- apostam na problematização como um processo de se inventar novos caminhos que
devem ser traçados no contexto de subversão das ordem, de estranhamentos. É uma
aventura ao Devir.
Nesse sentido, Kastrup (2005) afirma que o processo problematizador mostra-se fértil ao
campo educacional e adentrando no campo da aprendizagem, essa autora discute o sentido
de criar e inventar afirmando que problematizar é um ato inventivo e não criativo, pois:
(...) invenção não se confunde com criatividade. (...) criatividade é
uma capacidade de produzir soluções originais para os problemas.
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Mas a invenção de que eu falo, e para isso me baseio na filosofia de
G. Deleuze (1988), não é uma capacidade de solução de problemas,
mas, sobretudo, de invenção de problemas. Além disso, a invenção
é sempre invenção do novo, sendo dotada de uma imprevisibilidade
que impede sua investigação e o tratamento no interior de um
quadro de leis e princípios invariantes da cognição. A própria idéia
de uma teoria da invenção, nos moldes da ciência moderna, é uma
contradição de termos (...). Pois se houvesse uma teoria da
invenção, ou mesmo leis da invenção, seus resultados seriam
passíveis de previsão, o que trairia o caráter de novidade e
imprevisibilidade que toda invenção comporta. Kastrup (2005,
p.1274)
Diante disso, pensar um currículo que subverta a ordem disciplinar estabelecida pelos
discursos curriculares estabelecidos requer a invenção, ou seja, requer um exercício de
problematização, de invenção de problemas que nos instigue a novas rotas, a arriscar na
imprevisibilidade. E, é neste momento, que considero significativo introduzir a discussão
sobre a Etnomatemática por considerar que tal proposta tem esse potencial inventivo, ao se
arriscar por caminhos imprevisíveis.
Sobre a Etnomatemática
A Etnomatemática tem se constituído num campo de pesquisa híbrido e fértil. Criada nos
anos oitenta20, essa proposta se contrapõe aos discursos hegemônicos e totalizantes da
ciência moderna ocidental e, tendo sido gerida no campo da matemática foi fortemente
criticada e algumas vezes desqualificada - como algo menor, carente de fundamentos.
Entretanto, foi seu caráter não pragmático, não prescritivo bem como a participação de
teóricos de outras área nas diversas pesquisas realizadas que a tornou um espaço aberto e
inquietante. A Etnomatemática pode ser entendida, assim, como um espaço de
interrogação. Ou seja, pensar a educação numa perspectiva Etnomatemática é colocar a
educação em questão.
(…) O Programa Etnomatemática não se esgota no entender o
conhecimento [saber fazer] matemático das culturas periféricas.
Procura entender o ciclo da geração, organização intelectual,
20
Meados da década de 1980.
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Ao problematizar a ordem do saber disciplinar, (des)construindo os alicerces da ciência
moderna ocidental, a Etnomatemática abre brechas e constitui-se como um campo de
pesquisa abrangente e rizomático, potencializador de novas configurações (invenções) entre
saberes e poderes, pois:
121
Desse modo a imprevisibilidade de seu alcance, ao mesmo tempo que impede uma
definição, potencializa seu caráter inventivo possibilitando que estudos realizados a partir
de seus princípios atravessem diferentes campos do saber como: educacional, histórico,
antropológico, filosófico.
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organização social e difusão desse conhecimento; (...) tem como
referências categorias próprias de cada cultura, reconhecendo que é
próprio da espécie humana a satisfação de pulsões de sobrevivência
e transcendência, absolutamente integrados, como numa relação
simbiótica, (...) [o que] leva a desenvolver modos, maneiras, estilos
de explicar, de entender e aprender, e de lidar com a realidade
perceptível. D’Ambrosio (1999, p. 32)
A citação acima, considerando-se inclusive sua data, nos mostra como o educador Ubiratan
D'Ambrosio, de forma “inventiva” não desqualifica os saberes produzidos pela ciência
moderna - fugindo de dicotomizações, e, também não apresenta um discurso prescritivo
sobre o que é ou deve ser considerado verdade. Ao se propor a problematizar os caminhos
que levaram a matemática tornar-se no discurso hegemônico da ciência moderna, ou seja,
ao desconfiar dos processos que naturalizam essa suposta hegemonia, propôs novos
traçados, novos caminhos em que os saberes passam a se constituírem na e pela experiência
- que é aqui entendida como racional e emocional - vão proporcionando visibilidade a
outros sujeitos - sujeitos esses constituídos e constituintes de outros saberes, que muitas
vezes se mostram indisciplinados, ou seja, subvertem a ordem disciplinar da ciência e por
essa razão são excluídos ou omitidos.
Desse modo, pensar o currículo a partir do programa Etnomatemática, não significa
apresentar uma proposta curricular solucionadora de problemas de aprendizagem ou
reformuladora de objetivos e métodos, mas, numa outra direção, visa apresentar
problematizações que possibilitem aos sujeitos envolvidos no processo de aprendizagem, se
tornarem inventares de outros caminhos. O desafio é, assim, o de se arriscar pelo porvir.
Tal proposta não é, por sua vez, algo irresponsável ou resultado de um relativismo extremo
em que tudo é possível, ao contrário, ela é limitada e se limita no processo de subjetivação
que exala o sujeito da experiência, ou seja:
Não há uma decisão autônoma e voluntária quanto à atuação
segundo essas ou aquelas práticas cognitivas, mas há o cultivo de
práticas que podem potencializar modos de existir que fecundem
essas ou aquelas práticas cognitivas. A noção da experiência
centraliza esse cultivo assim como centraliza a questão da
problematização e da construção efetiva de uma política de
invenção: é na experiência que se dá a aprendizagem e a cognição, a
invenção de si e do mundo. (Clareto 2011, p.12).
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O desconforto em subverter à ordem provocado pela Etnomatemática, associado ao seu
caráter não prescritivo ora geram pesquisas de cunho disciplinares, que usam alguns de
princípios mas, remetem-se aos caminhos (re)conhecidos. Mas, tais desconfortos podem
também nos permite pensar o conhecimento emergindo das pulsões humanas, do saber da
experiência e adentrando ao desconhecido – substituindo as metas do futuro pela
inquietante instabilidade provocado pelo devir.
Ao considerarmos essas perspectivas no campo da educação escolar as discussões passam a
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se situar para além das questões didático-metodológica ou político-administrativa. Elas
buscam espaços de inventividade. Um processo em que o Outro possa se fazer presente, ou
seja, um processo em que indivíduos tornem-se sujeitos por meio de atos de criação e
invenção. Em outros termos trata-se de:
(…) um currículo instituinte em contraposição à ideia de currículo
como expressão do instituído, o que aproxima o currículo da
cultura, definindo-o como enunciação. A tarefa de tornar o currículo
instituinte envolve desconstruir os discursos que visam a controlar a
proliferação de sentido, dentre os quais podemos destacar as
identidades estereotipadas (…) Trata-se de um movimento no
sentida da desconstrução de hegemonias, não com a esperança de
substituí-las por contra-hegemonias, mas com o objetivo de impedir
que se fortaleçam de tal maneira que se torne impossível questionála. (Lopes e Macedo, 2011. P. 232)
Nessa perspectiva, a instituição escolar atravessada pela sociedade de consumo, passa a ser
um locos de problematização, e (des)construção dos discursos neoliberais, totalizadores e
redutores dos sujeitos em mercadorias. Atualmente isso significaria problematizar a própria
instituição escolar como as próprias políticas públicas de investimento e avaliação. E esse é
um caminho do não conhecido, pois, não é possível se (re)conhecer o que ainda não existe.
Desse modo, tal currículo almeja por um sujeito sem identidades fixas, que se aventurem
mais, por caminhos (des)conhecido, do que pelos (re)conhecidos. Ou seja, um sujeito que
permita alterar a citação de Nietzsche com a qual abrimos esse texto como segue:
– O que entende mesmo o povo por “conhecimento"? O que quer
ele, quando quer “conhecimento”? Não mais do que isto: algo
estranho que não necessite ser remetido a algo conhecido. (...)
Nossa necessidade de conhecimento é justamente a de descobrir
algo que nos inquiete?
REFERÊNCIAS
CLARETO, Sônia Maria. Matemática e Inventividade: Diálogos com o Pensamento
Etnomatemático. In Anais XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011.
________. Tecnologías del yo. In: ________. Tecnologías del yo y otros textos afines.
Barcelona: Paidós América, 1991. p.45-94.
123
KASTRUP, Virgínia. (2001). Aprendizagem, arte e invenção. In LINS, Daniel (org.).
Nietzsche e Deleuze: pensamento nômade. Rio de Janeiro: Relume Dumará, p. 207-223.
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FOUCAULT, Michel. Vigiar e punir: nascimento da prisão; tradução de Raquel
Ramalhete. Petrópolis, Vozes, 1999. 20a. Ed. 288p
__________, Políticas cognitivas na formação do professor e o problema do devir-mestre
Educ. Soc., Campinas, vol. 26, n. 93, p. 1273-1288, Set./Dez. 2005 Disponível em
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<http://www.cedes.unicamp.br>
LARROSA, Jorge. (2002). Notas sobre a experiência e o saber da experiência. Tradução
de João Wanderley Geraldi. In Revista Brasileira de Educação, n. 19, p. 20-28.
LOPES, Alice C.; MACEDO, Elizabeth. Teorias de Currículo. São Paulo. Cortez. 2011.
MACHADO, Roberto. (1999). Nietzsche e a Verdade. Rio de Janeiro: Edições Graal
SILVA, Tomaz Tadeu. Identidade: uma introdução às teorias do currículo. 2001. Belo
Horizonte, Autêntica.
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VEIGA-NETO, Alfredo. Educação e governamentalidade neoliberal: novos dispositivos,
novas subjetividades. Anais do Colóquio Foucault, realizado na Universidade do Estado do
Rio
de
Janeiro
(UERJ),
em
novembro
de
1999,
acessado
em
http://www.lite.fae.unicamp.br/cursos/nt/ta5.13.htm. 24/04/2012.às 12h20min.
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ETNOMATEMÁTICA E A LEI 10639/03: POR UMA EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA ANTIRRACISTA
Cristiane Coppe de Oliveira
Universidade Federal de Uberlândia/UFU – Brasil
[email protected]
Pesquisa
RESUMO
O Programa Etnomatemática pode ser visto como potencializador e dinamizador na
implementação da Lei 10639/03, que torna obrigatório o ensino da história e cultura
africana e afro-brasileira no currículo escolar. Para o contexto da prática docente em
Matemática, acredita-se em ações afirmativas e didático-pedagógicas que ressaltam os
valores civilizatórios afro-brasileiros, presentes nos saberes e fazeres de matriz africana.
Essa proposta ganha força no estabelecimento de novos diálogos teóricos, a fim de
promover uma Educação Matemática antirracista, ressaltando a reconstrução do discurso
pedagógico, o respeito e o estudo da recriação nas diferentes raízes da cultura brasileira.
Palavras-chaves: Etnomatemática, Educação Matemática, Lei 10639/03
A Declaração Universal sobre a Diversidade Cultural da UNESCO em 2002, aponta que
a cultura deve ser considerada como o conjunto dos traços distintivos espirituais e
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A temática diversidade, associada à pluralidade cultural, nunca foi tão discutida e utilizada
em discursos políticos e pedagógicos como no presente contexto. Desde a declaração de
Nova Delhi de 16 de dezembro de 1993, considerou-se que a educação é o instrumento
preeminente da promoção dos valores humanos universais, da qualidade dos recursos
humanos e do respeito pela diversidade cultural e que os conteúdos e métodos de educação
precisam ser desenvolvidos para servir às necessidades básicas de aprendizagem dos
indivíduos e das sociedades, proporcionando-lhes o poder de enfrentar seus problemas
mais urgentes – combate à pobreza, aumento da produtividade, melhora das condições de
vida e proteção ao meio ambiente – e permitindo que assumam seu papel por direito na
construção de sociedades democráticas e no enriquecimento de sua herança cultural.
Outros documentos como a Constituição Federal, o Estatuto da Criança e do Adolescente –
ECA e o Plano Nacional de Direitos Humanos legitimam e reconhecem os direitos que
toda e todo cidadão brasileiro, independentemente, de suas crenças, etnia, gênero e opção
sexual possuem para o exercício da cidadania.
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INTRODUÇÃO
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materiais, intelectuais e afetivos que caracterizam uma sociedade ou um grupo social e que
abrange, além das artes e das letras, os modos de vida, as maneiras de viver juntos, os
sistemas de valores, as tradições e as crenças. A cultura se encontra no centro dos debates
contemporâneos sobre a identidade, a coesão social e o desenvolvimento de uma economia
fundada no saber. A declaração ainda afirma que o respeito à diversidade das culturas, à
tolerância, ao diálogo e à cooperação, em um clima de confiança e de entendimento
mútuos, estão entre as melhores garantias da paz e da segurança internacionais.
A diversidade cultural ganhou caminhos pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN)
que apontam para o compromisso com a construção da cidadania pede necessariamente
uma prática educacional voltada para a compreensão da realidade social e dos direitos e
responsabilidades em relação à vida pessoal, coletiva e ambiental. Nessa perspectiva, a
Pluralidade Cultural foi incorporada como Tema Transversal em 1997. Os PCN
consideram que o grande desafio da escola é investir na superação da discriminação e dar a
conhecer a riqueza representada pela diversidade etnocultural que compõe o patrimônio
sociocultural brasileiro, valorizando a trajetória particular dos grupos na sociedade. Nesse
sentido, a escola deve ser local de diálogo, de aprender a conviver, vivenciando a própria
cultura e respeitando as diferentes formas de expressão cultural.
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Diante das realidades e contextos observados, na grande maioria dos espaços escolares,
percebe-se a necessidade de se pensar em vertentes afirmativas e pedagógicas que se abram
como possibilidades para a discussão da construção do conhecimento matemático em
África. Essa proposta apóia-se, por um lado, na Lei Federal 10639 de 03 de janeiro de
2003, altera a Lei 9394 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes e bases da
educação nacional, para incluir no currículo oficial da Rede de Ensino a obrigatoriedade da
temática que envolve a história e cultura africana e afro-brasileira. No parágrafo segundo da
Lei 10639/03, encontramos a informação de que os conteúdos referentes a Historia e
cultura Afro-brasileira serão ministrados no âmbito escolar, em especial nas áreas de
Educação Artística e de Literatura e História Brasileiras. Este fragmento da lei nos dá
margem para interpretações reducionistas, principalmente, no que tange à inserção da
temática nas ciências exatas. Por outro lado, podemos considerar as tendências presentes
nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental e Médio, paralelamente, às
Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação das Relações Etnicorraciais para a
discussão dessa temática.
A temática etnicorracial nas universidades brasileiras
Pode-se afirmar que o racismo e a exclusão social dos negros foram instrumentos
historicamente construídos por meio de práticas racistas e excludentes. E, somente poderá
ser superado na nossa sociedade por meio de práticas sociais reparatórias às injustiças
cometidas contra as populações afro-brasileiras. Sendo assim a implementação de políticas
de ações afirmativas para negros e afrodescententes nos espaços de onde foram
historicamente excluídos ou onde se promoveu este processo de exclusão social representa
ações humanitárias nesta perspectiva.
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Considera-se que a criação dos Núcleos de Estudos Afro-Brasileiros no âmbito das
universidades brasileiras foi uma ação importante em nível nacional para a
discussão/reflexão da temática etnicorracial. Pautando-se nessa ideia aponta-se o Núcleo de
Estudos Afro-brasileiros da Universidade Federal de Uberlândia ( NEAB/UFU) que vem
formando, continuamente, agentes da Educação Básica desde sua criação em 2006. O
projeto UNIAFRO no ano de 2006, contou com 124 participantes diretos e
aproximadamente 400 participantes indiretos (participaram do II Seminário Racismo e
Educação: Desafios para a formação docente & I Seminário de Gênero, Raça e Etnia). Em
2007 o núcleo conseguiu a participação de 60 cursistas, sendo que as turmas foram
divididas em níveis I (iniciação) e II (avançado) em que os módulos foram totalmente
ministrados no Centro Municipal de Estudos e Projetos Educacionais (CEMEPE) na cidade
de Uberlândia/MG.
No ano de 2008 contou com os mesmos níveis de formação I e II, dentro do Programa de
Formação Continuada de Docentes da Educação Básica da Pró-Reitoria de Extensão da
Universidade Federal de Uberlândia (UFU).
O NEAB/UFU promoveu o Curso de Formação Inicial em História e Cultura africana e
afro-brasileira para todos os cursos de graduação da UFU no período 2010-2012,
finalizando com a publicação de um livro apresentando todos os Trabalhos de Conclusão de
Curso (TCC) em formato de artigo. Nesse mesmo período, promoveu ainda o Curso de
Especialização em História e Cultura Africana e Afro-brasileira, publicando em 2012
recortes das monografias envolvendo temáticas interdisciplinares.
O NEAB/UFU compôs – por meio de edital - no ano de 2010/2011 um polo de formação
do projeto A Cor da Cultura. O projeto A Cor da Cultura tem um caráter educativo de
valorização da cultura afro-brasileira, fruto de uma parceria entre o Canal Futura, a
Petrobrás, o Cidan – Centro de Informação e Documentação do Artista Negro, a TV Globo
e a Seppir – Secretaria especial de políticas de promoção da igualdade racial. O projeto teve
seu início em 2004 e, desde então, tem realizado produtos audiovisuais e escritos, ações
culturais e coletivas que visam práticas positivas, valorizando a história deste segmento sob
um ponto de vista afirmativo. Compõem-se de dois grandes componentes: a produção
áudio-visual e a formação de professores.
No que se refere à implementação da lei 10639/03 no ensino superior, constatou-se que não
há muitas ações envolvendo a temática etnicorracial. Em geral, as universidades possuem
propostas com programas de Ações Afirmativas e sistema de cotas sociais e/ou raciais.
Recentemente, com a aprovação - por unanimidade - do Supremo Tribunal Federal do
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A formação de educadores inclui a produção de um kit educativo e ações de capacitação
para quatro mil professores para sua utilização em sala de aula. Neste planejamento prevêse a distribuição de dois mil kits do projeto “A cor da Cultura” para escolas públicas de
ensino fundamental em diversos estados brasileiros.
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A produção áudio-visual inclui cinco grades de programação. Os programas são o “Ação”,
exibido na TV Globo e no Canal Futura, “Livros Animados” e “Nota 10”, do Canal Futura,
além dos inéditos “Heróis de todo mundo” e “Mojubá”, que serão exibidos também na
Canal Futura e na TVE.
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Brasil (STF) das cotas raciais para as universidades sabe-se que haverão mobilizações
internas para a adoção de novas políticas nas instituições superiores de todo o país. A
aprovação das cotas raciais nas universidades brasileiras implica em ações que demandam
legalmente a dedicação de uma porcentagem específica de suas vagas para estudantes de
origem negra e/ou indígena.
Em um âmbito mais geral e político, a Universidade Federal de Uberlândia (UFU) instituiu
uma comissão, nomeada pelo reitor em que os pesquisadores do NEAB/UFU e outros
docentes de diversos cursos de graduação, tecem discussões políticas para a sustentação e
argumentação da importância do cumprimento da lei 10639/03 nos cursos de Graduação da
UFU. Atualmente, há uma proposta elaborada por essa comissão em que pesquisadores do
NEAB/UFU e docentes de vários cursos de graduação e pós-graduação, apontam temáticas
que devem ser incorporadas em todos os projetos pedagógicos.
Em uma perspectiva mais específica, lidando com as questões da Etnomatemática, a
Universidade Federal do Mato Grosso (UFMT) possui o grupo de Estudos e Pesquisas em
Etnomatemáticas Negras e Indígenas (GEPENI) que tem como interesse estudar os
processos de geração, institucionalização, transmissão e difusão de conhecimentos
relacionados às diferentes formas de contar, classificar, ordenar, localizar-se, explicar e
inferir produzidos pelas comunidades indígenas e pelos povos africanos e afro-brasileiros.
A partir daí, estuda também formas de se implementar ações de divulgação desses
conhecimentos nos processos de formação de professores.
O grupo procura desenvolver perspectivas teóricas e metodológicas que embasam suas
pesquisas e atividades de extensão. O alcance e repercussão dos trabalhos do grupo
manifestam-se por meio das ações a serem realizadas na formação inicial e continuada de
professores de Matemática, assim como na prática dos pesquisadores - cujas investigações
já concluídas ou em desenvolvimento têm produzido conhecimentos e inovações teóricometodológicas na Etnomatemática, e cuja ação acadêmica vem contribuindo para o avanço
dos debates relativos às relações etnicorraciais e para a valorização das diferentes
etnomatemáticas.
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A Etnomatemática no contexto etnicorracial
Sabe-se que a Lei 10639/03 é uma conquista não apenas do Movimento Negro - que resiste
e luta para legitimar sua cultura e direitos na sociedade que, historicamente, o excluiu e
que, infelizmente, ainda o exclui – mas uma luta de todos nós. Em 2011, comemorou-se o
ano internacional dos afrodescendentes. Podemos nos perguntar: - “Quantos professores de
matemática mencionaram este fato em suas aulas?” E mais: - “Quantos pesquisadores
conheciam a existência dessa comemoração?” Ao refletir-se um pouco sobre o porquê
destas Ações, que consideramos Afirmativas, percebe-se que elas foram criadas e são
necessárias, por que ainda temos a discriminação etnicorracial em todos os espaços de
nossa sociedade, ou seja, não há como negar que o nosso país é racista. E essa problemática
deve passar pelos fóruns estabelecidos pela Educação Matemática.
O Programa Etnomatemática, segundo D´Ambrosio (2001) é um programa de pesquisa com
óbvias implicações pedagógicas. Outros pesquisadores na área como Frankenstein e Powell
(1997) e Knijnik (1996), interpretam o termo, apontando-o como um programa de pesquisa
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que se desenvolve junto com a prática escolar, reconhecendo que todas as culturas
produziram e produzem conhecimentos matemáticos. O Programa Etnomatemática
considera relevante a inserção desses conhecimentos no currículo escolar para que possam
ser contemplados e compreendidos em sua diversidade, considerando a visão da
Pluralidade Cultural, apontada pelos PCN, à medida em que a temática da Pluralidade
Cultural diz respeito ao conhecimento e à valorização das características étnicas e culturais
dos diferentes grupos sociais que convivem no território nacional, as desigualdades e à
crítica às relações sociais discriminatórias e excludentes que permeiam a sociedade
brasileira, oferecendo ao aluno a possibilidade de conhecer o Brasil como um país
complexo, multifacetado e algumas vezes paradoxal. (Parâmetros Curriculares Nacionais,
1997, p.19).
Nesse sentido, podemos ver o Programa Etnomatemática como potencializador e
dinamizador na implementação da Lei 10639/03. A lei não deve ser vista como uma nova
disciplina ou metodologia a ser empregada, mas como a possibilidade de novos diálogos e
novas posturas, a fim de proporcionar o surgimento de uma educação transformadora, em
relação à discriminação etnicorracial, em todas as disciplinas do currículo escolar.
Considera-se relevante a prioridade de aprofundamento dessa discussão, no que se refere à
formação continuada do professor de Matemática, pois conforme apontam Costa e Oliveira
(2010), são recorrentes os discursos de que o ensino da matemática deve estar voltado para
uma melhor compreensão da realidade, dos fenômenos sociais, do desenvolvimento da
cidadania, contribuindo para com as transformações socio-históricas. Entretanto,
cotidianamente, muitos professores de matemática consideram que, no ensino da disciplina,
não lhes cabe explorar questões de importância fundamental tais como os preconceitos
raciais e/ou culturais. Outros, alegam que sua formação (tradicional) não contribui para que
eles façam as necessárias associações entre conteúdos matemáticos e tais problemas. De
fato, não são raros aqueles que manifestam o desejo, mas também as dificuldades de
redimensionar suas ações, de modo a abrigar reflexões referentes à diversidade cultural e
racial.
Essa ação ganha força na afirmação de Santomé (1995) em que devemos buscar afastar as
armadilhas ideológicas do preconceito, da discriminação de gênero, das etnias oprimidas,
do recalque, da exclusão social, desvendando algumas situações que são silenciadas e que
normalmente se colocam como problemáticas da sociedade que se encontra na escola.
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Como educadores e educadoras, reconhecendo-se ou não o racismo, reconhecendo-se ou
não as africanidades presentes em nossa cultura, não se pode deixar, em hipótese alguma,
que esta tendência à discriminação ocupe os espaços escolares.
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Percebe-se, por um lado, o fato de que a área de Matemática apresenta dificuldades em
contribuir significativamente com a divulgação e valorização social da história e cultura
africana e afro-brasileira. Por outro lado, vê-se a implementação da lei 10639/03 como uma
medida importante que pode, além de modificar uma situação de racismo institucional,
levar os educandos a perceberem as dimensões culturais, sociais e políticas da matemática.
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Considerações Finais
Precisamos lutar por uma Pedagogia Anti-racista! (Gonçalves e Silva, 2003).
Acredita-se que as ações apontadas anteriormente, fazem parte de uma gama de
contribuições que se somam a outras ações já desenvolvidas por algumas universidades e
núcleos de pesquisa, na perspectiva da construção de relações sociais que sejam capazes de
superar a herança racista da escola, da educação e da sociedade brasileira. Além disso, a
consolidação dos NEAB é um fato relevante para o Movimento Negro, pois permite o
estabelecimento de diálogos com os movimentos sociais e instituições não governamentais
que se tornam parceiras em diversas ações e projetos.
Acredita-se que valorizar os saberes matemáticos intuitivos e culturais, poderá, por um
lado, aproximar o saber escolar do universo cultural de matriz africana e afro-brasileira, em
que o aluno está inserido, o que é considerado de fundamental importância para o processo
de ensino e aprendizagem sem qualquer discriminação etnicorracial. Por outro lado, ao darse importância a esses saberes, a escola contribuirá ainda, para a superação do preconceito
de que a matemática é um conhecimento produzido, exclusivamente, pelo pensamento
eurocêntrico.
Nessa perspectiva, é possível parafrasear (Gonçalves e Silva, 2003) e afirmar que: Precisamos lutar por uma Educação Matemática Antirracista! Em que novas vivências de
pesquisa e a mudança de olhar para a prática pedagógica em Matemática em todos os níveis
de ensino, passem por lentes que rompam com a ideia da não valorização dos
etnoconhecimentos de matrizes africana e afro-brasileira.
REFERÊNCIAS
BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:
Introdução. Brasília: MEC/SEF, 1997.
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130
COSTA, W.N.; OLIVEIRA, C.C. Educação Matemática e preconceitos raciais: as culturas
africana e afro-brasileira na sala de aula. In: Anais do X Encontro Nacional de Educação
Matemática. Salvador: SBEM, 2010.
D’AMBROSIO. U. Etnomatemática: Elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte:
Autêntica, 2001.
FRANKENSTEIN, M; POWELL, A. Ethnomatematics: challenging eurocentrism in
Mathematics education. Albany: State University of New Yorl Press, 1997.
GONÇALVES E SILVA, P.B. Africanidade: esclarecendo significados e definições. In: Revista
do Professor, nº 19: Porto Alegre, 2003.
KNIJNIK, G. Exclusão e resistência: educação matemática e legitimidade cultural. Porto
Alegre: Artes Médicas, 1996.
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Belo Horizonte
Minas Gerais | Brasil
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
PÁGINA
131
SANTOMÉ, J. T.; DA SILVA, T.T. (org.) Alienígenas a na sala de aula: Uma introdução
aos Estudos Culturais em Educação.Vozes: Petrópolis.
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XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
ETNOMATEMÁTICA: OPORTUNIDADES E DESAFIOS PARA A
AÇÃO PEDAGÓGICA
Coordenador: Milton Rosa
Etnomatemática e a (trans)formação de Identidade Docentes
Wanderleya Nara Gonçalves Costa
Universidade Federal de Mato Grosso – Brasil
[email protected]
Formação de Professores
Embora o conceito de identidade muitas vezes remeta às ideias de permanência, unidade e
similitude, ele também pode ser compreendido como uma possibilidade de transformação
de si mesmo, como problematização e ação sobre âmbitos da sociedade onde o exercício do
poder parece-nos intolerável. Então, impõe-se o desafio pedagógico de problematizar quem
somos e conformar o que podemos ser. Trata-se da tarefa de (re)construir a identidade
como inquietação, mutabilidade, que nos leve a constituir, nas aulas de matemática e nos
cursos de formação de professores, espaços de crítica e de possível modificação da nossa
relação com os clamores indígenas e afro-brasileiros.
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Etnomatemática E Currículo: tensões e desafios no contexto escolar
Alexandrina Monteiro
O campo das teorias curriculares, em especial a partir dos trabalhos de Michael Young,
passa a problematizar alguns dos elementos que o constituem tais como: objetivos,
conteúdos, metodologia e avaliação gerando novos questionamento. Assim, os estudos
curriculares passam a questionar não apenas o “como” ou “o quê” ensinar, mas, também
sobre “o por quê” ensinar um conteúdo e não outro, neste caso, ressalta-se a ética que
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respalda as escolhas. É a partir dessa última questão que pretendo pensar o currículo escolar
e não uma disciplina específica, na perspectiva do Programa Etnomatemática.
Etnomatemática e a Lei 10.639/03: por uma Educação Matemática Antirracista
Cristiane Coppe de Oliveira
UFU, Brasil
[email protected]
Pesquisa
O Programa Etnomatemática pode ser visto como potencializador e dinamizador na
implementação da Lei 10.639/03, que torna obrigatório o ensino da história e cultura
africana e afro-brasileira no currículo escolar. Para o contexto da prática docente em
Matemática, acreditamos em ações didático-pedagógicas que ressaltam os valores
civilizatórios afro-brasileiros, presentes nos saberes e fazeres de matriz africana. Essa
proposta ganha força no estabelecimento de novos diálogos teóricos, a fim de promover
uma Educação Matemática antirracista, ressaltando a reconstrução do discurso pedagógico,
o respeito e o estudo da recriação nas diferentes raízes da cultura brasileira.
Etnomatemática: estratégias para sobreviver e transcender
Ubiratan D’Ambrosio
UNIBAN, Brasil
[email protected]
Pesquisa
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133
Etnomatemática como um programa de pesquisa, deve ser entendida como
Etno+matema+tica e não como etno+matemática. O Programa Etnomatemática tem como
objetivo entender como a espécie humana, desde os hominídeos, desenvolveu, acumulou e
transmitiu, de geração a geração, estratégias de sobrevivência e de transcendência nos
distintos ambientes naturais em que se encontra. Dentre essas estratégias são essenciais a
capacidade de abstração, de inferência e de pensamento simbólico. O Programa
Etnomatemática procura identificar diferentes modos e maneiras de observar, de classificar,
de ordenar, de comparar, de medição e de numerorisar que levam a essas capacidades.
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ETNOMATEMÁTICA: ESTRATÉGIAS PARA SOBREVIVER E
TRANSCENDER
Ubiratan D’Ambrosio
UNIBAN
[email protected]
RESUMO
A Etnomatemática como um programa de pesquisa deve ser entendida como
Etno+matema+tica e não como etno+matemática. O Programa Etnomatemática tem como
objetivo entender como a espécie humana, desde os hominídeos, desenvolveu, acumulou e
transmitiu, de geração a geração, estratégias de sobrevivência e de transcendência nos
distintos ambientes naturais em que se encontra. Dentre essas estratégias são essenciais a
capacidade de abstração, de inferência e de pensamento simbólico. O Programa
Etnomatemática procura identificar diferentes modos e maneiras de observar, de classificar,
de ordenar, de comparar, de medição e de numerorisar que levam a essas capacidades.
Palavras-chave: Etnomatemática, Matemática, Educação, História, Civilizações.
CONSIDERAÇÕES GERAIS
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A Etnomatemática como um programa de pesquisa deve ser entendida como
Etno+matema+tica e não como etno+matemática. O Programa Etnomatemática tem como
objetivo entender como a espécie humana, desde os hominídeos, desenvolveu, acumulou e
transmitiu, de geração a geração, estratégias de sobrevivência e de transcendência nos
distintos ambientes naturais em que se encontra. Dentre essas estratégias são essenciais a
capacidade de abstração, de inferência e de pensamento simbólico.
O Programa Etnomatemática procura identificar diferentes modos e maneiras de observar,
de comparar e classificar, de ordenar, de medição e de quantificação, e de inferência, que
levam a essas capacidades.
Como disse Paulo Freire na entrevista de 2004, “há uma forma matemática de estar no
mundo”, que é inerente ao seres humanos. Neste trabalho dou minha versão de como o ser
humano foi desenvolvendo, na sua evolução, os conhecimentos e comportamentos que hoje
são identificados com a matemática que todo indivíduo pratica no seu dia-a-dia. Essa
matemática tem pouco a ver com o que é hoje identificado como matemática acadêmica ou
matemática escolar, que tem um simbolismo próprio, com códigos, regras e formalismo
próprios, é de certo modo contraditório falar em matemática do dia-a-dia. Prefiro recuperar
a raiz grega matemá, que inclui, a grosso modo, o conceito de aplicar a razão para lidar com
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situações concretas que se apresentam no dia. O lidador no dia-a-dia utiliza modos,
maneiras, artes, técnicas, que eu chamo ticas, que são executadas num determinado espaço
e tempo, portanto situados num contexto, que podemos chamar um etno. Assim, seria mais
apropriado dizer que “há uma forma etno-matema-tica de estar no mundo”. De fato, no
texto completo da entrevista entende-se que é isso que Paulo Freire queria dizer.
Muitas idéias deste trabalho já foram apresentadas e discutidas em outras publicações
minhas, o que é inevitável.
A espécie humana
O que sabemos da espécie humana? Nossa espécie é, de acordo com fontes científicas
conceituadas, uma evolução de mamíferos primatas, e nossos primeiros ancestrais, os
australopitecos, cujos fósseis foram encontrados na África Central, desenvolveram
bipedismo, um cérebro evoluído, um sistema sofisticado de comunicação, que é a
linguagem, e a capacidade de fabricação e utilização de instrumentos, como o fogo,
utensílios de pedra lascada e a lança.
21
Uma síntese interessante, com muita discussão, está no artigo de Christopher S.
Henshilwood e Curtis W. Marean: The Origin of Modern Human Behavior. Origins of the
Models and Their Test Implications, Current Anthropology, vol.44, nº 5, Dec. 2003,
pp.627-651.
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A busca de sobrevivência, que consiste essencialmente na utilização de recursos naturais
para satisfazer necessidades fisiológicas e na aquisição de modos de lidar com o ambiente,
é comum a todas as espécies. Mas a espécie humana vai além da busca de sobrevivência.
Procura explicações, que vão além do aqui e agora, tentando entender o como e o porquê de
fatos e fenômenos. Organiza essas explicações em sistemas. Transcende as necessidades
fisiológicas imediatas. A nossa espécie obedece aos pulsões de sobrevivência, como todas
as demais espécies vivas, e de transcendência, como nenhuma outra espécie. As respostas a
esses pulsões dependem de condições naturais e ambientais. Certos povos, ao longo de
135
No curso dessa evolução, após cerca de 6 milhões de anos, chega-se a duas espécies
diferenciadas, o homo sapiens e o homo neanderthalensis, que conviveram há cerca de
100.000 anos. Uma história fascinante, da qual resultou a extinção do homo
neanderthalensis e o surgimento de uma outra espécie, o homo sapiens sapiens, que somos
nós. Essa espécie vai acumulando experiência, conhecimentos e modos de comportamento
modernos21. A invenção da agricultura, há cerca de 20.000 anos, é a grande transição para a
fase moderna da espécie. Onde se deram todas essas etapas? Em todo o planeta, com
diferença de alguns milhares de anos, e com modalidades diferentes, em resposta às
enormes diferenças de clima, de solo, de recursos, que se notam em nosso planeta.
Contextos naturais distintos provocam respostas distintas. É desnecessário perguntar por
que a agricultura não se inventou no círculo polar Ártico. Nem por que os indígenas da
Amazônia não inventaram a sofisticada habitação, chamada iglu, feita de blocos de gelo.
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muitas gerações, compartilham elementos comuns das respostas aos pulsões de
sobrevivência e transcendência. Isso caracteriza as civilizações22.
O que chamamos Matemática é uma resposta à busca de sobrevivência e de transcendência,
acumulada e transmitida ao longo de gerações, desde a pré-história23. O mesmo se dá com
as religiões, com as técnicas, com as artes e com as ciências, em geral. Em suma, todos os
fazeres e saberes são respostas do homem a informações recebidas da realidade, que é o
complexo de tudo que é material, ampliado por experiências vividas e acumuladas, na
forma de memórias24. Essas respostas, em permanente transformação, são as estratégias
desenvolvidas pela espécie para responder aos pulsões de sobrevivência e de
transcendência.
Essas estratégias, que são geradas pelo indivíduo, são por ele organizadas intelectualmente
e, através de comunicação no seu sentido geral, são compartilhadas com o próximo e são
organizadas socialmente.
Na busca da sobrevivência, se desenvolvem os meios de lidar com o ambiente mais
imediato, que fornece o ar, a água, os alimentos, o outro, e tudo o que é necessário para a
sobrevivência do indivíduo e da espécie. São as técnicas e os estilos de comportamento
individual e coletivo.
Na busca da transcendência, se desenvolvem meios para explicar fatos e fenômenos, a
percepção e o encadeamento de passado, presente e futuro. Os meios, a percepção e o
encadeamento, estão na origem da memória, individual e coletiva, dos mitos e das artes. A
memória, os mitos e as artes, organizam-se como história e tradições, que incluem as
religiões e os sistemas de valores. Ao procurar, no passado, explicações e causas para o
presente, busca-se antecipar o futuro. Apoiadas principalmente nas religiões, estão às
chamadas artes divinatórias, que consistem de sistemas que procuram antecipar o que pode
acontecer. Dentre esses sistemas distinguem-se a astrologia, os oráculos, o I Ching, a
numerologia, a lógica e, em geral, as ciências. Não nos esqueçamos que, por meio de
princípios e leis, as ciências nos dizem o que pode acontecer em determinadas condições.
As ciências permitem uma incursão no futuro.
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22
O historiador Arnold J. Toynbee, na sua monumental obra A Study of History, vols. I-XII,
Oxford University Press, Londres, 1934-61, reconhece 14 civilizações independentes, 17
satélites e 6 abortivas. Muitas de suas idéias influenciaram a importante obra de Helio
Jaguaribe: Um Estudo Crítico da História, 2 vols, Editora Paz e Terra, São Paulo, 2001.
Essa é uma leitura recomendável, eu diria mesmo necessária.
23
Para uma história da matemática pré-histórica, ver Manoel de Campos Almeida: Origens
da Matemática, Editora Champagnat, Curitiba, 1998.
24
As informações são captadas pelos sentidos e processadas. A memória é encarada,
também, como uma realidade expandida pela acumulação de experiências, que igualmente
informa o indivíduo. Como se dá esse processamento é o principal objetivo das chamadas
“ciências da mente”, com a contribuição essencial do que se chama “Inteligência
Artificial”.
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Uma primeira manifestação de transcendência está na criação de mitos que, organizados
socialmente, constituem as religiões. Um sentimento forte, misto de reverência e temor, de
que existe algo, não visível nem conhecido, inexplicável, responsável por tudo, dominou a
espécie homo sapiens sapiens desde os primeiros tempos de sua evolução. Compartilhados,
esses sentimentos se organizam como religiões e, para se manifestar, desenvolvem uma
série de comportamentos sagrados, tais como rituais, alimentos, música, danças, mitos,
símbolos, metáforas, topologias e cronologias, edificações, sistemas de valores e sistemas
de explicações. Uma das questões mais fascinantes do que chamamos as ciências da mente
refere-se à inerência desse sentimento à mente humana25.
As grandes civilizações
Todas as estratégias de sobrevivência e de transcendência são organizadas
intelectualmente e compartilhadas socialmente, graças a um sofisticado sistema de
comunicação característico da espécie humana. Constituem os sistemas de
conhecimento. Esses consistem de explicações e de estratégias de lidar com fatos e
fenômenos, que possibilitam sobreviver e transcender nas situações típicas do ambiente
natural e social específico, compartilhados por famílias, comunidades, uma população.
Os sistemas de conhecimento são, eventualmente, expropriados por indivíduos e grupos,
organizados no que se identifica como poder. A estrutura de poder fica, então, detentora
dos sistemas de conhecimento e, portanto, das estratégias de sobrevivência e
transcendência, e as institucionaliza. Uma vez institucionalizados, os sistemas de
conhecimento e as estratégias de sobrevivência e transcendência são devolvidos à
população. Essa mesma população que, em primeira instância, foi responsável pela
geração desse conhecimento e das estratégias. Mas a devolução, na forma de transmissão
e difusão, é submetida a filtros, com o objetivo que seja transmitido e difundido apenas o
que interessa à estrutura de poder. Grupos de indivíduos e sociedades subordinados a
uma estrutura de poder que se assemelham, constituem as civilizações.
Adoto a conceituação proposta por Hélio Jaguaribe26, que vê civilização como um conjunto
de sociedades com
1 - uma ocupação ordenada de espaço;
2 - uma percepção de tempo (passado, presente, futuro encadeados);
Dá-se maior atenção a algumas grandes civilizações na Europa e na Ásia. No 3º milênio
a.C. à Egito (Rio Nilo), Babilônia (Mesopotâmia: entre os Rios Tigre e Eufrates) e Índia
(Rio Indo); no 2º milênio a.C. à Etruscos, Mar Egeu, particularmente Tróia (no final do 2°
25
Veja a excelente obra de John Bowker: God. A brief history, Doring Kinderley, Londres,
2001, que examina a espiritualidade em todas as regiões do mundo.
26
Helio Jaguaribe, op.cit. em Nota 2.
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4 - um sistema político estruturado.
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3 - uma cultura dominante, incluindo língua, religião, uma
cosmovisão e um repertório de costumes, técnicas e valores;
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Milênio a.C.), Lung-shan (Rios Huang e Yang-Tse) ,Israel (Moisés, Êxodo ca 1.250 a.C.);
no 1º milênio a.C. à Grécia, Índia, Pérsia, China, Roma. Deve-se lembrar também as
grandes civilizações africanas e pré-colombianas, particularmente as Andinas (Aztecas,
Maias e Incas), as das planícies norte-americanas e as da Amazônia.
Sobre conhecimento e Matemática
Não se pode entender conhecimento sem se atentar para o ciclo completo do conhecimento,
desde sua geração, organização intelectual e social, transmissão, expropriação,
institucionalização e difusão. Obviamente, isso se dá com características, maneiras e
estilos diferentes em cada ambiente natural e cultural. O ser humano desenvolve suas
estratégias para sobreviver e transcender criando um conjunto de artes ou técnicas, que são
acumuladas, ao longo da história, para explicar, conhecer e lidar com o seu determinado
ambiente natural e cultural. Para exprimir artes ou técnicas uso a raiz grega techné≈tica ;
para explicar, lidar com e conhecer, empresto a raiz grega máthéma≈matemá ; e o ambiente
natural e cultural é referido como etno. Assim, falo em uma tica de matemá num
determinado etno. Esse é o conceito de Etnomatemática (=etno+matemá+tica). Nosso foco
é apenas a etnomatemática que provém da Bacia do Mediterrâneo, isto é, a Matemática
Acadêmica, ou simplesmente Matemática.27
Uma questão, múltipla, que se coloca é por quê?, onde?, quando? e como? nasce a
Matemática. Mas há uma outra pergunta, preliminar a essa: O que é matemática?
Já se disse que “matemática é aquilo que os matemáticos fazem, e matemáticos são aqueles
que fazem matemática”. A História da Matemática tem se apoiado nessa pseudo-definição
redundante. Embora seja comum aceitar que esse apoio é muito cômodo, é importante,
talvez mesmo necessário, tecer algumas considerações sobre o fazer matemático.
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Gosto de fazer análises etimológicas. Claro, sempre que se recorre à etimologia, as
interpretações variam e há muito espaço para fantasias e críticas. Mas é difícil fazer história
sem fantasia!
No grego arcaico, a raiz máthema significa algo como apreender, estudar, explicar,
conhecer. A palavra matemática, obviamente ligada a essa raiz, é usada na antiguidade e na
Idade Média, em sentidos muito variados. Como a entendemos hoje, ela aparece na Europa
pelo século XIV, e sua adoção é ampla a partir do século XVI. É comum dizer, e o
conceituado Dicionário Houaiss adota essa generalidade vaga, que matemática é a “ciência
que estuda objetos abstratos (números, figuras, funções) e as relações existentes entre eles,
27
Uma introdução à etnomatemática está nos meus livros Etnomatemática. Arte ou Técnica
de Explicar e Conhecer, Editora Ática, São Paulo, SP, 1990, e Etnomatemática. Elo entre
as tradições e a modernidade, Editora Autêntica, Belo Horizonte, 2001, escritos com uma
diferença de cerca de 10 anos, e que se complementam. Também em meu livros mais
recentes, Uma História Concisa da Matemática no Brasil, Petrópolis: Editora Vozes, 2009
e Uma Síntese Sociocultural da História da Matemática, São Paulo: PROEM Editora,
2011, há referências à evolução da etnomatemática.
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procedendo por método dedutivo”. Certo. Mas isso não é tudo. Prefiro examinar o fazer
matemático como uma atividade humana mais geral.
No mundo acadêmico, principalmente a partir do século XVII, há uma forma de
"profissionalização" de Matemáticos. A produção desses matemáticos profissionais deve
ser reconhecida por obedecer a critérios de rigor, de formalismo, e mesmo de métodos.
Assim, fica muito bem estabelecido quem são os matemáticos, e qual a produção desses
profissionais. Aos poucos, os critérios de reconhecimento foram se definindo melhor e
foram sendo criadas revistas e academias especializadas. Assim, hoje é fácil identificar
indivíduos reconhecidos como matemáticos. De modo geral, podemos considerar aqueles
identificados na União Matemática Internacional, segundo um critério para elaborar o
Diretório Internacional de Matemáticos. O critério é ter artigos indexados na Mathematical
Reviews/Zentralblatt fûr Mathematik, que são as referências internacionais na área.
Esse é o critério formal. Mas há muita matemática que foi feita por indivíduos considerados
"não-matemáticos". E isso continua. As idéias matemáticas são muito importantes e
centrais no conhecimento humano para serem restritas a um grupo de profissionais
reconhecidos como "matemáticos".
O reconhecimento de que muita coisa relevante no saber e no fazer matemático seja
resultado de situações e indivíduos que não são identificados como matemáticos, deu
origem ao Programa Etnomatemática.
Como todas as civilizações, as da antiguidade na bacia do Mar Mediterrâneo, elaboraram
suas etnomatemáticas. Costumo dizer que essa Matemática é a espinha dorsal da
Civilização Moderna. É o sustentáculo de nossa ciência, tecnologia, urbanização e
arquitetura, sociedade e política, sistemas de produção e economia. Como diz a destacada
historiadora Mary Lefkowitz,
(...) a evolução de teorias matemáticas gerais a partir de seus
fundamentos [matemática dos egípcios, sumérios e outros] é a
verdadeira base do pensamento ocidental.
É importante lembrar que no Mediterrâneo estão algumas das primeiras civilizações de que
temos registro. As pesquisas para entender a evolução da espécie humana e as origens do
homem moderno ou homo sapiens sapiens têm privilegiado certas regiões da Eurásia,
chamada Velho Continente. Há um forte apoio à teoria que nossa espécie teve sua origem
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Mas o pensamento abstrato não é privilégio exclusivo da Grécia Antiga. Encontra-se nas
civilizações da Mesopotâmia, do Egito, do Egeu, de Israel, da Pérsia, de Roma, de
Bizâncio, do Islã e em outras regiões do planeta, da China, da Índia, da África, do Pacífico,
das regiões polares e das Américas. Todas essas civilizações contribuíram para o que hoje
identificamos como Civilização Moderna, que começa a se moldar a partir do século XV,
na chamada Era das Navegações.
139
A Matemática, que se origina da Antiguidade Grega a partir de tradições dos egípcios,
sumérios, judeus, possivelmente também dos indianos, é abstrata e é identificada com um
padrão de racionalidade. Essa Matemática, assim como a Filosofia da Antiguidade Grega,
serviu de base para o surgimento da Ciência Moderna.
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na África, onde hoje são Quênia e Tanzânia e, a partir daí, migrou pelo Velho Continente e
posteriormente atingiu o que hoje chamamos a Oceania e as Américas. Nessa migração foi
adquirindo os conhecimentos e comportamentos essenciais para a sobrevivência, como
indivíduos e como espécie, e para a transcendência. Vejo o Programa Etnomatemática
como o estudo e a análise de como foram desenvolvidas e como são praticadas, pelos
diferentes grupos de seres humanos, a busca da sobrevivência e da transcendência.
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ETNOMATEMÁTICA E A (TRANS)FORMAÇÃO DE IDENTIDADES
DOCENTES
Wanderleya Nara Gonçalves Costa
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RESUMO
Embora o conceito de identidade muitas vezes remeta às ideias de permanência, unidade e
similitude, ele também pode ser compreendido como uma possibilidade de transformação
de si mesmo, como problematização e ação sobre âmbitos da sociedade onde o exercício do
poder parece-nos intolerável. Então, impõe-se o desafio pedagógico de problematizar quem
somos e formar o que podemos ser. Trata-se da tarefa de (re)construir a identidade como
inquietação, mutabilidade, que nos leve a constituir, nas aulas de matemática e nos cursos
de formação de professores, espaços de crítica e de possível modificação da nossa relação
com as culturas indígenas e afro-brasileiras.
Palavras-chave: Formação de professores. Cultura Afro-brasileira. Culturas Indígenas.
TRABALHO
Muitos dos trabalhos realizados por educadores matemáticos brasileiros ao longo desses
mais de vinte anos se referem a ações pedagógicas que pesquisadores e formadores de
professores fundamentados na Etnomatemática têm realizado em áreas indígenas ou em
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Inicialmente, cabe pontuar que, ainda hoje é recorrente a afirmação de que a explicitação e
a exploração de implicações pedagógicas da Etnomatemática são recentes e pouco
exploradas. Entretanto, podemos detectar a presença de tal preocupação desde a primeira
dissertação brasileira defendida na área (BORBA, 1987), assim como a constância desta
temática ao longo dos anos (D’AMBROSIO, 1993, 1998, 2001; KNIJNIK, 1996;
MONTEIRO, 1998, ROSA e OREY, 2004, dentre vários outros).
141
Este artigo tem como objetivo discutir sobre a ação pedagógica pautada pela
Etnomatemática que ocorre na Licenciatura em Matemática, argumentando que ela pode
contribuir para problematizar e modificar determinados valores e discursos que geralmente
estão presentes na constituição da identidade dos professores da Educação Básica. Destaca
ainda que tal ação pode levar este professor a ampliar e inovar o espaço de sala de aula,
notadamente no sentido de incluir, em seu fazer pedagógico, discussões sobre as histórias e
culturas afro-brasileiras e indígenas.
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
áreas de quilombos remanescentes, mas vários outros contextos também têm sido foco de
atenção.
Embora cada um dos trabalhos realizados sirva a funções diferentes, evidenciando
opostas diferentes, podemos estabelecer relações entre eles,
o que nos permite, a partir de tais relações, esboçar outras propostas de ações pedagógicas.
Mesmo assim, permanecem atuais os questionamentos acerca das possibilidades
pedagógicas da Etnomatemática e a busca por diferentes formas de explorá-las e efetiválas, notadamente porque as relações entre as diferentes propostas já esboçadas, obviamente,
não vêm prontas, mas precisam ser estabelecidas por aqueles que, de fato, irão executar as
ações em sala de aula: os professores. Então, pode-se dizer que ainda são muitos os
desafios para que ocorram, corriqueiramente, ações pedagógicas pautadas pela
Etnomatemática. Mas quero aqui me referir à oportunidade advinda da obrigatoriedade
ditada pela Lei 11.645/08, que alterou a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional de
1996 (LDB), incluindo no currículo oficial dos estabelecimentos de ensino básico das redes
pública e privada a obrigatoriedade do estudo das histórias e das culturas indígena e afrobrasileira.
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Segundo a Lei, não se trata de mais uma disciplina no currículo escolar, mas de uma
orientação para que todas as disciplinas que constituem o currículo escolar básico inclusive a matemática - incorporem a discussão sobre a contribuição dos negros e dos
índios à cultura brasileira. Assim, a legislação que trata da introdução da temática cultural
afro-brasileira, africana e indígena na educação básica e na formação de professores orienta
que a questão deve ser trabalhada na matriz curricular da educação básica e dos cursos
superiores a partir da interlocução com outras práticas. Contudo, até mesmo uma análise
superficial sobre o cotidiano das escolas de diferentes níveis de ensino, assim como de seus
documentos (regimentos, projetos pedagógicos e projetos escolares), nos leva a perceber
que, na maioria das instituições, não há práticas sistemáticas de abordagem das culturas e
histórias afro-brasileira e indígena (COELHO, 2009).
De fato, são bem poucos os professores de matemática que agregam tais discussões às suas
aulas. Mas, de modo geral, professores de todas as áreas apontam o fato de que os cursos de
formação de professores, em especial as licenciaturas, não têm atentado, como deveriam,
para a importância da questão etnicorracial. Não se discute, com os futuros professores,
por exemplo, como tal questão se reflete na construção da auto-estima do estudante, algo
que trará implicações para o desempenho escolar do aluno. E o professor, ao sentir-se
incapaz e também desobrigado de aplicar a Lei 11.645/08, deixa de ficar atento para o fato
de que a ausência de um discurso sobre questões etnicorraciais não implica a ausência de
práticas discriminatórias que ocorrem a partir da multiplicidade de sujeitos e culturas
presentes na sala de aula. Na sua aparente ausência nas salas de aulas, alguns sentidos
atribuídos à questão etnicorracial são reiterados, o não dito torna-se o já dito, e professores
e estudantes acabam por reproduzir o mesmo, movimentando-se no sentido historicamente
construído e que a Lei pretende mudar.
Percebe-se, pois, que é fundamental o papel do professor na constituição e na efetivação de
propostas que venham satisfazer as exigências da Lei 11.645/08. É a partir do
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reconhecimento deste fato que convido a uma reflexão acerca da identidade docente, ou
melhor, acerca da formação ou da transformação desta identidade.
Segundo Enriquez (1993, p. 56), o conceito de identidade remete a três ideias essenciais: a)
a ideia de permanência no tempo, isto é, a constância; b) a ideia de um objeto separado que
tem uma unidade e; c) a ideia de similitude, por meio do qual é possível alguém reconhecer
o seu semelhante. Contudo, as teorias pós-estruturalistas trazem outra noção de identidade,
visto que ela passa a ter caráter diferenciado em relação à identidade iluminista, já que
desarticula estabilidades e discorre sobre identidades abertas, contraditórias, plurais e
fragmentadas (sujeito pós-moderno).
O sociólogo Bauman (2005) afirma que a identidade não é algo a ser “descoberto”, mas sim
algo a ser inventado como objeto de um esforço, de um objetivo, e salienta que a condição
precária e inconclusa da identidade tende a ser laboriosamente suprimida e ocultada. Por
sua vez, Stuart Hall (2003) afirma que as identidades, que parecem invocar uma ideia de
origem, têm, na realidade, a ver com a utilização de recursos da história, da linguagem e da
cultura para produzir o que nos tornamos e não o que somos. Ele destaca que as identidades
são construídas no interior das práticas discursivas específicas, como sendo produzidas em
locais históricos e institucionais específicos, e por estratégias e iniciativas específicas. Em
vista disto, a formação das identidades pode ser considerada um jogo de poder onde uma
determinada coletividade tem a possibilidade de auxiliar ou entravar a assunção de
verdades, valores e posturas. Tal modo de conceber a constituição de identidades é válido
para as identidades pessoais, as identidades sociais, as identidades coletivas e também para
as identidades profissionais.
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Penso que contribui para a manutenção desta ideia acerca do papel do professor de
matemática o ato de que, nos momentos/espaços institucionais dedicados à constituição da
identidade deste professor, sobretudo na Licenciatura em Matemática, estão pouco
presentes práticas discursivas que se refiram ao papel do professor de matemática frente aos
clamores dos povos indígenas e afro-brasileiros e que isto se reflete posteriormente na não
percepção de que a Lei 11.645/08 também diz respeito a ele. Mas a partir de uma postura
marcada por uma conotação política na formação de professores, a Etnomatemática nos
convida a pensar na instauração de práticas pedagógicas capazes de mudar o que temos
sido. Penso que esta é tanto uma oportunidade quanto um desafio para os professores que
atuam na Licenciatura em Matemática.
143
Restrinjamos nossas reflexões colocando em foco as identidades profissionais e, mais
especificamente, a constituição da identidade dos professores de matemática. Rocha e
Fiorentini (2006, p. 147) salientam que a constituição desta identidade tem a ver com a
questão da internalização e assunção de papéis, de valores e de normas do grupo
profissional, fazendo com que o professor de matemática – ou o futuro professor de
matemática – interligue objetivos pessoais e profissionais e desenvolva uma imagem de si
como professor, produzindo um sentido tanto sobre o que tem sido quanto sobre como será.
Analisando segundo esta perspectiva, logo notamos que, historicamente, o professor de
matemática tem internalizado o papel de que é responsável por abordar uma disciplina
neutra, que nada tem a ver com questões tais como as discriminações raciais.
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De diferentes formas, alguns colegas e eu temos argumentado com os licenciandos que um
mesmo conceito matemático pode ser abordado de variadas maneiras e algumas delas são
capazes de provocar questionamentos e interpretações socialmente relevantes, como nos
tem mostrado Skovsmose (2001), dentre outros. Para contribuir neste sentido, criamos, na
Universidade Federal de Mato Grosso, o Grupo de Pesquisas em Etnomatemáticas Negras e
Indígenas, que inclui entre seus objetivos: a) Gerar conhecimentos que possam ser
utilizados para um ensino de Matemática que ressalte as culturas negra e indígena, de modo
a apoiar as práticas dos professores desta área na implementação da Lei 11.645/08; b)
Indicar à Universidade ações a serem tomadas na formação inicial e continuada de
professores de Matemática, de modo a redimensionar as propostas de ação para uma
formação multicultural.
Em nossas pesquisas, percebemos que muitos trabalhos que procuraram explorar as
questões pedagógicas relacionadas à Etnomatemática apresentam aproximações
metodológicas – por exemplo, grande parte deles sugere que a modelagem ou a modelação
matemática seja o caminho mais promissor ou adequado para que a Etnomatemática se faça
presente na sala de aula. Trilhando outro caminho, nossas propostas têm-se pautado pelo
diálogo intercultural. Este caminho não é inédito, visto que, por exemplo, Ferreira (1994)
sugeria que o professor de matemática poderia abordar a concepção de frações para os
Krahó, a importância das diagonais nos retângulos para os Tapirapés e a simetria de rotação
na pintura corporal dos Kadawel, dentre outros. O que talvez seja inédito para a área da
etnomatemática é o uso dos diálogos interculturais para abordar, concomitantemente, a
história e a cultura dos negros e dos índios brasileiros.
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144
O interesse pela abordagem conjunta das etnomatemáticas, das histórias e das culturas
negras e das indígenas não se deve somente às dificuldades enfrentadas pelos professores
com relação a um tempo já escasso para o ensino de conteúdos matemáticos. Essa forma
de abordagem se deve também à adoção da ideia de que as identidades são relacionais; e
por esta razão, um grupo humano é melhor compreendido tendo como “pano de fundo” um
outro grupo (HALL, 2003). Mas deve-se, sobretudo, à ideia de que a abordagem conjunta
das histórias e das culturas indígenas e das negras nas escolas incita ao debate sobre a
constituição das diferentes formas de dominação entre os grupos que deram origem ao povo
e à cultura brasileira — e o faz de modo que, ao fugir da armadilha dos discursos que fazem
a apologia de uma democracia racial, não “derrape” para os discursos identitários
ortodoxos.
De qualquer modo, a adoção do diálogo intercultural como orientador das nossas ações
pedagógicas não significa que, ao discutirmos, na formação de professores, a Lei
11.645/08, deixemos de mencionar autores que optam pela modelagem matemática. Por
exemplo, os trabalhos do Prof. Paulus Gerdes quase sempre encontram espaço quando
discutimos a relação entre ensino de matemática e culturas negras. Por vezes, também se
torna necessário remetermos a uma abordagem que prima, sobretudo, pela análise de
contexto. Por exemplo, algumas abordagens históricas sobre o tráfico negreiro estão
repletas de informações matemáticas e estatísticas, como é o caso do trabalho de Florentino
et all (2004). Nas ocasiões nas quais optamos por tal abordagem, pontuamos também que a
história é vivenciada a cada dia e não se refere apenas a um passado remoto. Em vista disto,
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estudos realizados pelo IPEA, IBGE e outros órgãos brasileiros podem ser utilizados nas
aulas de matemática para abordar conceitos dessa disciplina e analisar, concomitantemente,
as atuais condições de vida de negros e de índios brasileiros.
Mas a abordagem das etnomatemáticas, das culturas e das histórias dos povos negros e as
indígenas sob o ponto de vista do diálogo intercultural ocorre segundo outro ponto de vista
histórico, a partir da chamada História Cultural. Este é um ramo da História que tem
empreendido um diálogo profícuo com a Antropologia e, em vista disto, considera que os
símbolos, as imagens, as pinturas, os mitos, os ritos, as mentalidades e as práticas culturais
são acontecimentos que podem ser estudados para responder questões do tipo: como se
constituíram os mecanismos de dominação e de exploração entre os grupos humanos?
Como esses mecanismos, no que se refere à constituição cultural de um povo, se difundem,
se confrontam e se perpetuam?
Foi a partir desta aproximação com a História Cultural que passamos a destacar e explorar
aspectos educativos presentes em festas populares, visto que elas propiciam a constituição
de identidades por meio da transmissão de saberes, de valores, de modos e ser e de saber
considerados válidos e relevantes para a uma determinada comunidade. Por exemplo, os
maracatus foram objeto de minhas análises (COSTA, 2009), pois eles, além de envolverem
vários conceitos matemáticos da geometria plana e espacial e da teoria de contagem, dentre
outros, se constituem como uma rede de mito e história do qual emergem as formas pelas
quais os colonizadores europeus, os africanos escravizados e os índios autóctones se
relacionavam com o sagrado. Ao olhar para outra festa popular, a congada, a Profa.
Cristiane Coppe de Oliveira e eu (COSTA e OLIVEIRA, 2010) propomos e analisamos,
junto com diferentes grupos de professores, abordagens para o ensino de frações.
Detectamos semelhanças e diferenças entre as festas realizadas no Mato Grosso e em Minas
Gerais, destacando não só a origem da festa a partir das culturas africanas, mas também as
diferenças ditadas pela interferência da cultura indígena e as formas de vivenciar a
religiosidade cristã, ao mesmo tempo em que abordamos o conceito de frações, suas
representações e até mesmo operações.
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Sob o meu ponto de vista, o que realmente importa é que possamos intervir para a
constituição individual e coletiva de práticas pedagógicas inéditas ao professor de
matemática, práticas estas pautadas pelo ‘rompimento’ e ‘descontinuidade’, para a
constituição da identidade docente como um processo de desestabilização, de conflito, de
crítica e de possível modificação na relação que temos estabelecido não só com as culturas
indígenas e afro-brasileiras, mas também com outras práticas. Pois bem, isto tem a ver não
só com a necessidade de re(pensar) o papel da Matemática e do professor de Matemática,
mas também com a necessidade de abrir fissuras nas práticas de formação dos professores
145
Contudo, quero aqui destacar que, para a (trans)formação de identidades docentes voltadas
para a ação sobre âmbitos da sociedade onde o exercício do poder parece-nos intolerável,
como é o caso do preconceito etnicorracial, não me parece ser especialmente importante se
a ação pedagógica se pauta pelo uso da contextualização, da modelagem matemática ou do
diálogo intercultural inspirados pela Etnomatemática. Também não penso que, como
pesquisadores em Etnomatemática e formadores de professores, nosso principal fazer seja o
de formalizar propostas pedagógicas voltadas para determinada cultura ou grupo humano.
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de matemática investindo em processos que envolvam a pesquisa em articulação com a
docência, de modo que todos compreendamos que as propostas de ações pedagógicas não
cabem apenas àqueles que se voltam para as pesquisas acadêmicas. Importa, sobretudo,
que principalmente os professores em formação inicial se tornem capazes de perceber que a
Etnomatemática contribui para que o ensino de matemática possa ser reinventado a todo
momento, inclusive por eles próprios.
REFERÊNCIAS
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BORBA, Marcelo de Carvalho. Um Estudo de Etnomatemática: Sua Incorporação na
Elaboração de uma Proposta Pedagógica para o “Núcleo-Escola” da Favela da Vila
Nogueira - São Quirino, Dissertação de Mestrado, IGCE/UNESP, Rio Claro, 1987.
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1996, modificada pela Lei no 10.639, de 9 de janeiro de 2003, que estabelece as diretrizes e
bases da educação nacional, para incluir no currículo oficial da rede de ensino a
obrigatoriedade da temática “História e Cultura Afro-Brasileira e Indígena”. Publicado no
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COELHO, Fares Frade. A Abordagem da História e Cultura Afro-brasileira na Matemática
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e preconceitos raciais: as culturas africana e afrobrasileira na sala de aula. In: X ENEM Encontro Nacional de Educação Matemática, 2010, Salvador. Educação Matemática,
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ENRIQUEZ, Eugene. El sujeto humano: de la clausura identitaria a la apertura al mundo.
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SKOVSMOSE, O. Educação matemática crítica: a questão da democracia. Campinas, SP:
Papirus, 2001. – Coleção Perspectivas em Educação Matemática.
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PANEL: LA SOCIOEPISTEMOLOGÍA: SUS BASES, ALCANCES Y
PERSPECTIVAS
Dra. Rosa María Farfán (Cinvestav - IPN, México)
Participantes: Dra. Cecilia Crespo (Argentina), Dra. Leonora Díaz (Chile) y Dr. Ricardo
Cantoral (Cinvestav-IPN, México)
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La socioepistemología surge con el reconocimiento de que el discurso matemático escolar
es fuente de dificultades en el aprendizaje de los estudiantes. A partir de ello se buscó dotar
de significación a los conceptos matemáticos y en el transcurso hemos detectado diversas
prácticas de referencia de las que se desprenden prácticas sociales. Una necesidad básica
requería dotar a la investigación de una aproximación sistémica y situada, que permita
incorporar las cuatro componentes fundamentales en la construcción del conocimiento; su
naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, los planos de lo cognitivo y los
modos de transmisión vía la enseñanza. Por ejemplo, el pensamiento y el
lenguaje variacional es entendido como una línea de investigación que, ubicada al seno de
la socioepistemología, permite tratar con la articulación entre la investigación y las
prácticas sociales que dan vida a la matemática de la variación y el cambio en los sistemas
didácticos.
Actualmente se desarrollan estudios sobre currículo, en los que se busca determinar cuáles
deben ser los contenidos por enseñar, considerando la evolución de la matemática y las
necesidades sociales que el sistema educativo espera cubrir con la escuela; otra mas sobre
la instrucción, es decir de las actividades que acompañan al aprendizaje, se busca la mejora
de los métodos de enseñanza, los problemas que se enmarcan en torno a la transmisión oral
del conocimiento, los procesos cognitivos, la motivación y creación de actitudes positivas.
Se pone cierta atención sobre recursos, específicamente sobre aquellos que refuerzan el
proceso de enseñanza, los materiales educativos, las calculadoras y computadoras, y la
manera en que los medios audiovisuales se habrían de introducir en las aulas. Así mismo se
realizan investigaciones que tratan de la vida del conocimiento en la escuela. Se busca
determinar la influencia que el sistema escolar ejerce en los aprendizajes; se determinan las
matemáticas que se aprenden en y fuera de la escuela y se trata del papel de los medios de
comunicación, los entornos familiares o gregarios con los grupos de estudiantes. Se quiere
también investigar sobre el sistema escolar para saber el rumbo y sentido de las decisiones
políticas o sociales que modifican el funcionamiento del sistema educativo.
En síntesis, nuestros esfuerzos consideran como objeto de estudio a la socioepistemología
de los saberes matemáticos e incluye las intuiciones primarias del alumno con el fin de
rediseñar el discurso matemático escolar. En el panel los participantes abordarán sus
investigaciones especificas y consideraciones generales sobre la teoría socioepistemológica.
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LA PERSPECTIVA SOCIOEPISTEMOLÓGICA Y LAS
COMPRENSIONES DE LA CONSTRUCCIÓN Y RECONSTRUCCIÓN
DE SABERES MATEMÁTICOS
Leonora Díaz Moreno
Postgrado en Educación Matemática, U. de Los Lagos, Chile
[email protected]
Todos los niveles, Socioepistemología
RESUMEN
Los estudios socioepistemológicos, para ser propositivos y útiles a la comunidad, deben
enfocarse en determinados aspectos, por lo que los matices que toman las unidades básicas
de análisis de prácticas sociales, prácticas de referencia, actividades, resignificaciones y
prácticas socioescolares difieren entre ellos. Se propone una matriz analítico-interpretativa
para caracterizarlos, tomando en cuenta como una unidad dialéctica a las cuatro
dimensiones polares de sus ejes de sujetos y construcciones consideradas en ella. Se sitúan
estudios con referencia a esta matriz ilustrando cómo la perspectiva socioepistemológica
toma presencia entre las comprensiones acerca de la construcción y reconstrucción de
saberes matemáticos.
Palabras clave: Socioepistemología, Estudios en Matemática Educativa.
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150
TRABAJO
Acerca de la socioepistemología. El acercamiento socioepistemológico considera
necesario dotar a la investigación - sobre la enseñanza y los aprendizajes matemáticos - de
una aproximación sistémica y situada, o sea que atiende a las circunstancias y escenarios
socioculturales particulares, que permita incorporar las cuatro componentes fundamentales
en la construcción del conocimiento: su naturaleza epistemológica, su dimensión
sociocultural, los planos de lo cognitivo y los modos de enseñanza, ópticas que a su vez
permiten comprender al conocimiento matemático como una construcción sociocultural.
En términos de Lezama (2005, pp.341, citado por Crespo, 2007): “La socioepistemología se
plantea el examen del conocimiento situado, aquel que atiende a las circunstancias y
escenarios socioculturales particulares. El conocimiento, en este caso, se asume como el
fruto de la interacción entre la epistemología y los diversos factores sociales”. Por medio
del reconocimiento de la naturaleza y construcción social del conocimiento matemático, se
prioriza la actividad humana contrastando con los enfoques teóricos que giran alrededor del
objeto matemático. Esta aproximación permite por ejemplo a Martínez (2005) arribar a que
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la noción de convención matemática, usualmente considerada como preestablecida e
inmóvil, se revele como un proceso de construcción del conocimiento, a saber, como una
conveniencia para la matemática con el objeto de evitar contradicción o darle unidad,
cuestionando entonces la idea de validez universal del conocimiento matemático. Así, las
comunidades de matemáticos, en escenarios adecuados, construyen conocimiento a partir
de las prácticas sociales de ese escenario y de las instituciones de ese escenario, mismas
que corporalizan, validando, objetos matemáticos.
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La noción de prácticas socioescolares. Se propone esta noción para dar cuenta de
desarrollos socioepistemológicos latinoamericanos que apuntan a visibilizar las complejas
imbricaciones de la actividad de las personas en escenarios escolares, con las prácticas
sociales. El estudio socioepistemológico germinal se enfocó en una escala mayor o macro
social, condicionando los otros niveles. Buscó paradigmas de base epocales de la actividad
matemática con base en la cosmología sistémica newtoniana, levantando argumentos a ese
nivel: “una gran traslación del problema, el pasaje de dependencias funcionales al análisis
del principio fenomenológico. Sobre la naturaleza de las leyes que regulan el
comportamiento de los sistemas” (Cantoral, 2001, p5). Es natural en ese contexto hablar de
lo normativo como central a una práctica social, asociado a una visión sistémica, alejándose
de la acción y de la actividad directamente expresadas. En esa escala argumentativa
acciones y actividades involucrados en los aprendizajes quedan subordinadas, a una mirada
sistémica, en que ese orden se torna el centro de las significaciones. Por su parte, lo
pedagógico y lo didáctico que se responsabilizan de los aprendizajes suele focalizarse en
una escala menor, en un espacio ecológico y temporal, es decir un micro espacio de
construcción de significados. Se propone entonces a las prácticas socioescolares como otra
noción central a los estudios socioepistemológicos, para estudiar la actividad de las
personas en la microecologia escolar y la cultura asociada a ello. Este foco de mirada
socioepistemológica desde las tramas de las relaciones en el cual el evento educativo se
encuentra inserto, hace emerger como objetos válidos de investigar, entre otros, las
epistemologías de los sujetos y sus prácticas educativas, últimas que también enactúan en el
triángulo didáctico en el escenario del aula. Ello es coherente con una concepción de
151
Desde la perspectiva socioepistemológica se han establecido unidades centrales de análisis
a tener en cuenta en una investigación (Martínez, 2005; citado por Crespo, 2007): (1) La
noción de actividad humana, que permite explicar el conocimiento en términos de
herramientas usadas por las personas para hacer matemáticas; (2) La noción de
resignificación que se orienta a presentar el conocimiento con significados propios,
contextos, historia e intención, contraponiéndolo a la idea platónica de preexistencia de los
objetos y procesos matemáticos; (3) La noción de práctica social, medular en la
socioepistemología, que se refiere a las acciones intencionales de los grupos humanos para
transformar la realidad social y material. Otra unidad central de análisis: (4) las prácticas de
referencia, observables tanto en los individuos como en los grupos humanos, como un
conjunto articulado de actividades, por lo que permiten dar visibilidad a elementos de las
prácticas sociales (Montiel, 2005). Las prácticas de referencia permiten la articulación de
la actividad de las personas con las prácticas sociales. A su vez, esas fungen como
reguladoras de las prácticas de referencia y de las actividades de las personas relacionadas a
estas prácticas de referencia.
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realidad social donde los sujetos, por el hecho de formar parte de esa trama compleja de
interacciones, se encuentran involucrados en una estructura dinámica de significados
sociales y culturales. Para explicar una realización estudiantil específica de aula o unas
prácticas docentes cotidianas, se estudian prácticas socioescolares, epistemes
socioculturales y construcciones socio-históricas de saberes desde marcos
socioepistemológicos. Toman relevancia la disposición e interrelación de los diversos
ámbitos componentes, que se juegan en distintos planos y tiempos, configurando una
peculiar forma y propiedades agregadas para esa realización o esa práctica.
Cierra esta presentación proponiendo una matriz analítico–interpretativa para caracterizar
aproximaciones de estudio a los procesos de construcción y reconstrucción de saberes
matemáticos. Este contempla dos ejes categoriales, uno constituido por los sujetos
personales - institucionales y el otro por las construcciones sociales-locales.
REFERENCIAS
Crespo, C. (2007) Las Argumentaciones Matemáticas desde la visión de la
Socioepistemología. Tesis Doctoral en Ciencias en Matemática Educativa. Cicata – IPN.
Ciudad de México.
Cantoral, R. (2001) Matemática Educativa. Un estudio de la formación social de la
analiticidad. Grupo Editorial Iberoamérica. Ciudad de México.
Díaz, L. (2010) Construcción y reconstrucción de saberes matemáticos escolares. Proyecto
Diumce 2008-2009. Informe Final en repositorio institucional. Chile.
Martínez, G. (2005). Los procesos de convención matemática como generadores de
conocimiento. RELIME, 8(2), 195-218.
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Montiel, G. (2005) Estudio socioepistemológico de la función trigonométrica. Tesis
Doctoral, CICATA – IPN, México.
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PESQUISAS EM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: DESAFIOS NA
PRODUÇÃO
Ligia Arantes Sad
UFES – Brasil
[email protected]
Pós-Graduação/ História da Matemática
RESUMO
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153
Um dos maiores desafios da atualidade do pesquisador em História da Matemática no
Brasil é conseguir a harmonia coletiva entre as fontes, a escrita e o lugar de produção
argumentativa das análises. Com esta preocupação central, apresento reflexões sobre esses
enfrentamentos a partir das pesquisas de um grupo capixaba. Os interesses destes
pesquisadores em história da matemática têm se direcionado a temáticas variadas. Contudo,
embora seja um quadro de pesquisas de pouco mais de duas décadas, pode-se notar um
movimento das tendências interpretativas da história e das considerações aos documentos e
fontes. Observa-se inicialmente passagens por uma história mais centrada nos
relacionamentos factuais dos documentos, até as raízes atuais da micro-história, com
interface mais social e cultural.
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A PESQUISA NO CAMPO DAS RELAÇÕES ENTRE HISTÓRIA E
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: TRÊS EXEMPLOS
Maria Laura Magalhães Gomes
Departamento de Matemática
Programa de Pós-graduação em Educação –FAE-Universidade Federal de Minas Gerais
(UFMG).
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154
Em um texto publicado em 2001, Antonio Miguel e Maria Ângela Miorim apresentaram os
resultados de um estudo minucioso que buscou levantar e analisar as circunstâncias
históricas que teriam levado à autonomização de três campos de investigação
originariamente indissociados no interior do campo da matemática: a história da
matemática, a educação matemática e as relações entre a história e a educação matemática.
Nesse texto (MIGUEL; MIORIM, 2001), os autores, a partir do pressuposto de que a
configuração da autonomia entre campos de investigação estaria estabelecida quando se
pudessem identificar, em seu desenvolvimento, os três indicadores que serão descritos logo
adiante, analisam como esses indicadores teriam se manifestado, no decorrer do tempo,
para os campos da história da matemática, da educação matemática e das relações entre
história e educação matemática.
Os três indicadores fixados por Miguel e Miorim (2001) são: o surgimento dos primeiros
textos específicos sobre questões relativas ao campo considerado; a existência de
discussões coletivas a respeito de questões referentes ao novo campo de conhecimento e
investigação refletidas ou não em publicações, mas caracterizando uma passagem de uma
etapa de preocupações individuais e isoladas para um estágio de difusão, penetração e
preocupação coletiva em relação às mesmas questões; o aparecimento de instituições
interessadas no desenvolvimento de investigações e na delimitação do novo campo do
conhecimento. Miguel e Miorim realizaram um levantamento referente a esses indicadores
para os três campos e apresentam, em seu texto, muitos exemplos desses mesmos
indicadores especificamente para a história da matemática, a educação matemática e as
relações entre história e educação matemática.
Embora esse levantamento aponte para uma conclusão quanto à existência de uma
autonomia efetiva da história da matemática, da educação matemática e das relações entre
história e educação matemática como áreas de investigação, os autores, ao finalizar seu
trabalho, sinalizam também para o fato de que não há, a rigor, um rompimento completo
entre campos originalmente vinculados como os referidos.
Para concluir, é importante observar que o processo de constituição da autonomia de um
campo de investigação é bastante complexo, sobretudo pelo fato de ser um movimento
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politicamente condicionado por solicitações contextuais de naturezas diversas. A
configuração epistemológica do novo campo em constituição se altera ao longo do tempo,
uma vez que os campos do saber com os quais mantém diálogo são ampliados, modificados
ou concebidos de novas maneiras, além de modificar-se também a própria forma como esse
diálogo é estabelecido. Deste modo, ao mesmo tempo em que existe um movimento de
afastamento do novo campo em relação àquele ao qual estava originalmente vinculado,
nunca há, a rigor, uma ruptura total com este.
No caso dos três campos a que nos referimos neste artigo, isto pode ser confirmado de
várias formas e em vários momentos. É claro que em todos eles, a matemática constituiu e
ainda constitui um campo natural de diálogo (MIGUEL; MIORIM, 2001, p. 59).
Em um trabalho recente, Miguel e Miorim, agora com a contribuição adicional de Arlete
Brito, tornam mais precisa a diferenciação entre história na educação matemática e história
da educação matemática quanto a temáticas e métodos. É importante que se ressalte a
caracterização de ambas, pelos autores, como campos complexos e diversificados. Para a
história da educação matemática, Miguel, Miorim e Brito (2012) assinalam,
indispensavelmente, a presença de métodos históricos em investigações que se voltam, em
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Antes, porém, de apresentar e comentar essas pesquisas, penso que é oportuno destacar as
duas principais formas de relações entre história e educação matemática, uma vez mais me
valendo do estudo de Antonio Miguel e Maria Ângela Miorim. Em seu artigo, os autores
identificam essas duas formas como se explica a seguir. O tipo de relações no qual os
interesses se concentram, preponderantemente, na participação da história em diversas
áreas da educação matemática é a forma denominada história na educação matemática. O
segundo tipo de relações entre história e educação matemática é aquele em que os
interesses principais residem na constituição de histórias de vários aspectos ou áreas da
educação matemática. Essa segunda forma é chamada de história da educação matemática.
155
Nesta mesa dedicada à pesquisa em história da matemática no Brasil durante um evento
nitidamente localizado no campo da educação matemática, torna-se importante lembrar
outra conclusão específica de Miguel e Miorim: referindo-se aos campos específicos da
história da matemática e das relações entre história e educação matemática, eles salientam
que, conquanto seja claro o processo de constituição de autonomia entre ambos, “por outro
lado é inegável que esses campos ainda possuem uma estreita relação de dependência”
(MIGUEL; MIORIM, 2001, p. 259). Lembram os autores que, desde que a história da
matemática passa a ser vista como um campo fértil de interlocução com a educação
matemática, o sentido de fazer história da matemática se amplia e passa também a
significar realizar diferentes tipos de investigações, entre elas as que concernem mais
propriamente às relações entre história da matemática e educação matemática. É com essa
ideia que justifico a escolha do tema a ser focalizado em minha participação nesta mesa.
Minha intenção é, assim, abordar algumas possibilidades de pesquisa no campo das
relações entre história e educação matemática. Para isso, recorrerei a três exemplos
distintos de trabalhos desenvolvidos por mim e meus orientandos no Programa de Pósgraduação em Educação da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG).
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quaisquer épocas e contextos, na direção de aspectos quaisquer de diferentes campos da
atividade humana nos quais práticas mobilizadoras de cultura matemática são realizadas
com propósitos intencionalmente educativos. Em relação à história na educação
matemática, os três autores indicam o envolvimento de métodos variados constituídos no
âmbito das ciências sociais e humanas para pesquisas relacionadas a diferentes usos da
história (particularmente da matemática e da educação matemática), bem como a
potencialidades, implicações e problematizações desses usos em diferentes campos da
atividade humana nos quais práticas mobilizadoras de cultura matemática se realizam com
propósitos intencionalmente educativos e/ou investigativos28.
Os três trabalhos que pretendo apresentar brevemente para ilustrar as possibilidades de
pesquisa no campo das relações entre história e educação matemática se distribuem entre as
duas formas anteriormente mencionadas – história na educação matemática e história da
educação matemática. Desse modo, a pesquisa de mestrado, já concluída, de Roque (2012),
promoveu uma investigação sobre a participação da história da matemática em salas de aula
do 7º ano do Ensino Fundamental, caracterizando-se como um trabalho de história na
educação matemática. Por sua vez, os trabalhos de doutorado em andamento de Diogo
Alves de Faria Reis e Shirley Patrícia Nogueira de Castro e Almeida, que investigam,
respectivamente, práticas e propostas de formação de professores para os anos iniciais da
educação escolar no que se refere à matemática, em Minas Gerais, no período de 1927 a
1946, e a história da formação de professores de matemática no norte do estado de Minas
Gerais, no curso de licenciatura da atual Universidade Estadual de Montes Claros –
UNIMONTES, são investigações de história da educação matemática.
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Uma pesquisa sobre a participação da história na educação matemática
O trabalho de Ana Catarina Cantoni Roque buscou investigar as potencialidades
pedagógicas da história da matemática, particularmente em relação ao conteúdo “números
inteiros” no trabalho pedagógico em salas de aula do 7º ano do Ensino Fundamental. A
investigação foi conduzida à luz de uma perspectiva de aprendizagem situada, com base
nos estudos de Lave (1988), Lave e Wenger (1991) e Wenger (1998), e teve três objetivos:
1) identificar potencialidades pedagógicas da história da matemática mais evidentes em sala
de aula; 2) identificar as formas de participação dos alunos durante a realização de
atividades com a presença de aspectos históricos, na perspectiva de aprendizagem situada
adotada; 3) investigar mudanças de participação e consequente aprendizagem desses
estudantes, buscando compreender como a presença da história contribui para essas
mudanças.
28
Ainda que Miguel, Miorim e Brito sublinhem o fato de não pretenderem que as linhas demarcatórias
entre esses campos e o da história da matemática sejam vistas como rígidas ou consensuais, eles também
enfatizam que a tipificação dos três campos coloca em evidência diferenças político-metodológicas e
metodológicas que, no Brasil, se manifestam nas práticas de pesquisa de uma comunidade acadêmica
heterogênea de pesquisadores.
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Partindo do pressuposto de que a história, se constituída para fins pedagógicos e em
articulação com outras variáveis que intervêm no processo de ensino-aprendizagem, pode
trazer contribuições importantes para a educação matemática escolar, foi elaborado, em
cooperação com uma professora (Josi) de uma escola da Rede Municipal de Educação de
Belo Horizonte, um conjunto de atividades relacionadas à História da Matemática
referentes ao tema “números inteiros”, que foram utilizadas nas práticas pedagógicas
desenvolvidas em turmas de 7º ano do Ensino Fundamental.
A coleta de material empírico foi realizada durante aproximadamente três meses de
observação participante em aulas dessa professora, especialmente naquelas em que essas
atividades foram desenvolvidas. Como instrumentos de coleta de material empírico, foram
utilizados diário de campo, gravações em áudio e vídeo, aplicação de dois questionários aos
alunos e entrevistas com a professora e com alguns alunos.
Deve ser observado que a investigação, de acordo com o que assinalam Miguel, Miorim e
Brito em relação a pesquisas de história na educação matemática, não fez uso de métodos
históricos, baseando-se na observação participante em sala de aula e na cooperação com a
professora das turmas envolvidas, ao mesmo tempo que a análise do material empírico
valeu-se de diálogos com pesquisadores do campo da antropologia e da educação
matemática.
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No que se refere aos demais objetivos do estudo, a perspectiva teórica que orientou a
pesquisa concebe a aprendizagem como parte integral da prática social, de tal forma que
não existe aprendizagem desvinculada de uma prática. Nessa perspectiva, o interesse se
desloca do indivíduo para as atividades e práticas de aprendizagem nas quais ele está
inserido, sendo a aprendizagem vista como algo que ocorre socialmente, coletivamente, nas
atividades desenvolvidas pelos alunos dentro de práticas efetivas e situadas. A
aprendizagem é vista, então, como mudança de participação do indivíduo numa prática.
Buscamos, então, observar e identificar as formas de participar das aulas da professora Josi,
atentando para o reconhecimento dessas práticas, pela professora e pelos alunos, como
formas de participação. Considerando-se essas formas, percebemos que os alunos tinham
níveis diferentes de participação, que iam desde a participação marginal até a participação
plena, e observamos que a participação, de modo geral, foi mais intensa quando eram
desenvolvidas atividades relacionadas à história. Assim, os alunos que participavam de
157
No que diz respeito à identificação das potencialidades pedagógicas da história da
matemática mais evidenciadas, as conclusões da pesquisa, a partir do trabalho de Miguel
(1997), Miguel e Miorim (2004) e Tzanakis et al (2000) concernem à percepção da história
como fonte de motivação para o ensino-aprendizagem, como fonte de métodos
pedagogicamente adequados e interessantes para a abordagem dos números negativos,
como um instrumento capaz de promover uma aprendizagem significativa e compreensiva
do mesmo conteúdo. Além disso, há evidências de que os estudantes passaram a
compreender melhor que a matemática é uma criação humana desenvolvida ao longo do
tempo, bem como perceberam que dúvidas, erros e incertezas fazem parte de seu
desenvolvimento. A investigação também mostrou a contribuição das atividades
trabalhadas para o enriquecimento do repertório didático da professora que cooperou com a
investigação.
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maneira plena nas aulas de Matemática da professora Josi continuaram a ser participantes
plenos nas aulas em que as atividades propostas por nós foram desenvolvidas, ou seja,
nenhum aluno deixou de ser participante pleno para ser participante periférico legítimo ou
participante marginal nas aulas em que a História esteve presente. Com relação aos
estudantes que eram participantes marginais ou participantes periféricos legítimos, vários
deles mudaram sua forma de participação, movendo-se rumo a uma participação mais
intensa.
Duas investigações em história da educação matemática
As duas pesquisas a que me referirei agora aqui têm como propósito investigar a história da
formação de professores para ensinar matemática no Brasil. Envolvendo práticas
mobilizadoras de cultura matemática com intenções educativas e conduzidos por métodos
históricos, esses trabalhos em andamento configuram-se claramente como investigações do
campo da história da educação matemática segundo Miguel, Miorim e Brito (2012). Além
disso, inserem-se, inequivocamente, em um dos cinco eixos temáticos29 identificados por
esses autores a partir de um levantamento realizado em dissertações de mestrado e teses de
doutorado defendidas no Brasil no período 1984-2010 – o das histórias de formação de
professores.
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No entanto, como veremos, essas duas investigações são trabalhos completamente distintos
no que diz respeito à época, ao tipo de formação e de professor visado por essa formação e,
ainda, em relação às fontes mobilizadas.
O projeto de Reis (2011) investiga práticas e propostas de formação de professores para os
anos iniciais da educação escolar no que se refere à Matemática, em Minas Gerais, no
período de 1927 a 1946, no contexto da Escola de Aperfeiçoamento, instituição situada na
capital do estado, Belo Horizonte, e criada como um dos componentes das reformas
educacionais realizadas pelo governo do presidente estadual Antônio Carlos Ribeiro de
Andrada. A Escola de Aperfeiçoamento visava oferecer às docentes mineiras em exercício
no ensino primário um curso sintonizado com os princípios dessas reformas, associadas ao
movimento da Escola Nova, para preparar adequadamente profissionais que seguissem as
novas diretrizes pedagógicas. Foi, assim, uma importante instância de formação continuada
de professores para a escola primária mineira, que permaneceu em funcionamento de 1929
a 1946. A investigação de Diogo Reis se realiza a partir do estudo do arquivo pessoal da
professora mineira Alda Lodi (1898-2002), responsável pela disciplina Metodologia da
Aritmética na Escola de Aperfeiçoamento. Alda Lodi fez parte de um grupo de cinco
professoras enviadas pelo governo de Minas Gerais para aperfeiçoar-se (visando a atuação
na Escola de Aperfeiçoamento) nos Estados Unidos, no Teacher’s College da Universidade
29
A partir de seu estudo, Miguel, Miorim e Brito apontam os seguintes cinco eixos temáticos nas
investigações em história da educação matemática no Brasil no período 1984-2010: histórias de formação
de professores de matemática; histórias do ensino de matemática, em qualquer nível; histórias de artefatos
didáticos relacionados e/ou voltados à educação matemática; histórias de grupos culturais ou comunidades
de prática envolvidos com educação matemática; histórias da produção científico-acadêmica em educação
matemática (MIGUEL; MIORIM; BRITO, 2012).
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de Columbia, em Nova York, e esteve nessa instituição por dois anos, entre 1927 e 1929
(FONSECA, 2010).
O arquivo de Alda Lodi consta de uma coleção de quase dois mil livros; documentos
institucionais; correspondências privadas e institucionais; agendas de uso pessoal e
profissional; cadernetas de anotações de gastos pessoais e das instituições onde trabalhou;
boletos bancários e contracheques; planos de aulas, cadernos, exercícios e provas de exalunas; manuscritos; recortes e exemplares de jornais e revistas nacionais e estrangeiras;
fotografias avulsas e álbuns fotográficos; trabalhos escolares e desenhos de crianças da
família; diplomas; itens ligados à sua fé católica; pequenos objetos e uma grande coleção de
receitas culinárias.
A pesquisa de Diogo Reis explora, assim, um acervo bastante significativo, que pertenceu a
uma professora cuja atuação na formação docente para a escola primária teve destaque no
estado de Minas Gerais. O trabalho focaliza um momento cujas características, no que se
refere ao ensino da Matemática para a escola primária, até agora foram pouco investigadas
– trata-se do período em que tem força, no Brasil, o complexo ideário escolanovista. É
fundamental lembrar a importância do modelo pedagógico específico da Escola Nova30 por
sua ampla e duradoura repercussão: segundo Souza (2008), foi um modelo cujos efeitos se
fizeram sentir até 1970 em nosso país.
A segunda pesquisa em história da educação matemática que focalizarei é, como já foi dito,
também referente à formação de professores para o ensino da matemática. O trabalho de
Almeida (2011) intenciona, como já foi dito, constituir uma história da formação de
docentes de Matemática para os anos posteriores à antiga escola primária, que atualmente
correspondem ao final do Ensino Fundamental e ao Ensino Médio, isto é, pretende
investigar um curso de licenciatura – o da atual Universidade Estadual de Montes Claros
(UNIMONTES). Essa instituição se localiza na cidade de Montes Claros, no norte de
Minas Gerais. O período abordado se estende desde a década de 1960, quando foi criada
uma instituição privada, a FUNM – Fundação Universidade Norte-Mineira – até o início
dos anos 1990 – marco de criação da UNIMONTES. A FUNM foi estabelecida pela Lei
Estadual nº 2.615, de 24 de maio de 1962, enquanto a UNIMONTES resultou da
transformação dessa fundação em universidade estadual por lei de 21 de setembro de 1989.
Peyronnie e Vergnioux (2011) afirmam que o escolanovismo poderia ser caracterizado por alguns traços:
conhecimento psicológico da criança, experiência e experimentação, métodos e instrumentos pedagógicos
específicos, ação sobre os contextos e pedagogia ativa.
31
O GHOEM é um grupo de pesquisa formalmente constituído desde 2002. Informações sobre as pesquisas
31
desenvolvidas e os participantes do grupo podem ser encontradas no site www.ghoem.com. O projeto de
mapeamento histórico da formação e atuação de professores de Matemática já realizou trabalhos sobre os
estados de São Paulo, Goiás, Maranhão, Tocantins, Santa Catarina, entre outros, focalizando diferentes
níveis e tipos de ensino (GARNICA; FERNANDES; SILVA, 2011).
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A investigação, que se encontra em fase inicial, integra o projeto de caráter amplo e sem
previsão de conclusão empreendido pelo Grupo de História Oral e Educação Matemática –
GHOEM31 cuja meta é “mapear” historicamente as práticas de formação e atuação de
professores de Matemática no Brasil. Utilizaremos a metodologia da História Oral, segundo
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os parâmetros do grupo (GARNICA; FERNANDES; SILVA, 2011). De acordo com esses
parâmetros, serão constituídas fontes a partir da oralidade por meio da realização de
entrevistas com sujeitos envolvidos na criação e na atuação do curso referido
anteriormente. Em síntese, a aplicação dos procedimentos regulares do GHOEM nessa
pesquisa particular envolve: 1) a seleção de um grupo inicial de colaboradores cuja
memória é considerada relevante para se compreender a história do curso de Licenciatura
em Matemática da UNIMONTES no período de referência, esperando-se que esses
colaboradores apontem outras pessoas que possam contribuir na pesquisa (de acordo com o
chamado “critério de rede”); 2) a elaboração de roteiros de entrevistas que serão colocados
à disposição dos colaboradores, se eles os solicitarem, anteriormente à realização das
entrevistas; 3) o direcionamento das entrevistas (quantas forem necessárias, dentro das
necessidades da pesquisa e da disponibilidade dos colaboradores) para os temas da criação,
estabelecimento e funcionamento do curso de Licenciatura em Matemática da
UNIMONTES até o momento da estadualização da universidade, levando-se em conta,
também, as experiências de vida dos colaboradores e sua interação com o tema da
investigação; 4) a gravação, transcrição e textualização das entrevistas32 e sua apresentação
a cada depoente com a solicitação de sua autorização para uso no trabalho.
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Diversas outras fontes se reunirão ao material das entrevistas (gravação, transcrição,
textualização) para a constituição de uma história do curso de Licenciatura em Matemática
da UNIMONTES no período de interesse: recorreremos a fontes escritas/documentais, tais
como o acervo bibliográfico da instituição; projetos político-pedagógicos, programas das
disciplinas e demais documentos do curso; periódicos científicos de Educação e Educação
Matemática; impressos produzidos nas instituições que antecederam a UNIMONTES;
jornais e legislação educacional; diários de classe, provas, anotações dos professores e
cadernos de alunos; fontes iconográficas representadas por filmes e fotografias.
A década de 1960 foi um período de expansão da oferta educacional em todos os níveis no
Brasil (CUNHA; GÓES, 1999) e particularmente dos cursos de Licenciatura em
Matemática (MARTINS-SALANDIM, 2012). Foi também o momento em que ocorreu a
reforma do Ensino Superior, regulamentada pela Lei nº 5.540, de 28 de novembro de 1968,
e um período no qual se acentuou, no estado de Minas Gerais, a busca da modernização
econômica, política e educacional. Montes Claros é uma cidade que polariza muitos outros
municípios do norte de Minas, e a UNIMONTES é uma instituição importante na formação
de professores de Matemática. A enorme diversidade do Brasil se reflete também nas
histórias de formação e atuação desses docentes, o que tem sido evidenciado pelas
pesquisas do GHOEM em várias regiões. O trabalho de Shirley Almeida inscreve-se, assim,
com pertinência, no projeto de amplo espectro em realização pelo grupo.
PARA FINALIZAR
Com os três exemplos de investigações de que venho participando como orientadora, tive a
intenção de mostrar que há diferentes possibilidades de trabalho para os interessados no
32
A textualização pode ser feita de diversas maneiras, mas é sempre uma edição da entrevista transcrita
que é realizada pelo pesquisador.
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campo das relações entre história e educação matemática. Entre as duas formas principais
dessas relações – história na educação matemática e história da educação matemática – a
segunda parece ter crescido mais em nosso país. É o que atesta o estudo recente de Miguel,
Miorim e Brito (2012), que localizou mais de 200 trabalhos entre dissertações de mestrado
e teses de doutorado defendidas no Brasil entre 1984 e 2010.
Devemos lembrar que, embora em menor número, as investigações em história na educação
matemática também têm se constituído em interesse dos pesquisadores brasileiros. Um
estudo que sistematizou e analisou as produções nesse campo apresentadas nos Seminários
Nacionais de História da Matemática e nos Encontros Luso-Brasileiros de História da
Matemática até 2007 foi realizado por Souto (2010). A autora afirmou, em sua conclusão,
que “a defesa das potencialidades didáticas da História da Matemática, há muito veiculada
pelos discursos de professores, de autores de livros didáticos e de gestores da educação
pública, ainda não se materializou em experiências ou investigações que promovam
efetivamente essa articulação” (SOUTO, 2010, p. 535). Como o estudo de Souto não
abrangeu o período posterior a 2007, é possível, porém, que já contemos, atualmente, com
mais pesquisas realizadas.
REFERÊNCIAS
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POLÍTICAS PÚBLICAS, EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA E FORMAÇÃO
DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Dra. Maria do Carmo Vila
Universidade Federal de Ouro Preto (Brasil)
[email protected]
RESUMO
Este artigo tem como finalidade descrever e analisar a oferta de cursos de Licenciatura de
Matemática, na modalidade a distância, por instituições públicas de ensino superior com o
apoio de políticas públicas de fomento à Educação a Distância. Apresenta um retrospecto
das políticas que apoiaram a formação de professores de Matemática na modalidade a
distância, descreve o cenário atual da oferta de licenciaturas de matemática no âmbito da
Universidade Aberta do Brasil (UAB) e discute alguns desafios que se impõem na
continuidade dessa oferta.
Palavras-chave: políticas públicas; educação a distância; Licenciatura de Matemática.
INTRODUÇÃO
Em 1923 surgiu o rádio educativo com a fundação da Rádio Sociedade do Rio de Janeiro e,
nos anos 60, começa a ser usada no Brasil a televisão educativa, Nas décadas de 60, 70 e
80, uma quantidade expressiva de cursos e programas educacionais passaram a ser
veiculados através do rádio, da televisão ou de ambos. Alguns deles usavam material
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A segunda geração de Educação a Distância foi caracterizada pela integração ao material
impresso dos meios de comunicação audiovisuais (rádio, televisão, fax, videocassete,
audiocassete, etc.), aumentando significativamente a oferta de programas e cursos na
modalidade a distância no país. Eles podem ser categorizados em três tipos: formação geral,
formação de professores e formação profissional.
163
Como na maioria dos países, a Educação a Distância (EAD) no Brasil passou por três
gerações. Na primeira delas, iniciada em 1904 e que vem sendo caracterizada pela
utilização do correio e de material didático impresso, fase conhecida como ensino por
correspondência, instituições privadas ofereciam cursos de iniciação profissional em áreas
técnicas ou em artes. Nessa primeira geração da EAD, os cursos ofertados não exigiam
nenhuma escolarização anterior e não tinham reconhecimento formal do sistema de ensino
brasileiro.
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
impresso como suporte e/ou recursos como o fax, o audiocassete e o videocassete. Dentre
os que tiveram maior impacto no país podem ser citados: o Projeto Minerva (1970), o
Projeto Logos (1973) e o Telecurso (1978).
Infelizmente, os projetos e experiências inovadoras em educação a distância até então
desenvolvidas no Brasil sofreram descontinuidade poucos anos depois. Alguns fatores têm
sido considerados para justificar essa situação e, também, a descontinuidade no
desenvolvimento da EAD no Brasil. O principal deles é que as ações governamentais não
eram fundamentadas em políticas de educação a distância ou na consolidação de um
sistema de EAD. Desse modo, as experiências implementadas constituíam-se em
experiências isoladas, sem perspectivas de continuidade.
Na década de 90, a Educação a Distância experimenta um desenvolvimento significativo.
Três fatores principais podem justificar o incremento dessa modalidade no país: a)
expansão da Internet; b) publicação de lei envolvendo a modalidade a distância; c) criação
de uma secretaria de educação a distância no seio do Ministério da Educação.
De fato, em 1994, tem início a informatização e a expansão da Internet nas instituições
brasileiras de ensino superior. Quatro anos depois, os primeiros ambientes virtuais de
aprendizagem desenvolvidos no país já davam suporte à veiculação de cursos usando as
novas tecnologias de informação e comunicação.
Por sua vez, em 1996, com a reforma educacional brasileira, foi promulgada a Lei de
Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB). Com o aumento das demandas
educacionais do país e a necessidade de democratização do conhecimento, foi incluído, na
LDB, o artigo 80 voltado para a educação a distância. Desse modo, a EAD torna-se
oficialmente reconhecida como modalidade válida e equivalente para todos os níveis de
ensino. É a primeira vez que o Brasil reconhece a EAD através de lei; isto depois de um
século de experiências na área.
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O terceiro fator de desenvolvimento da EAD, a criação da Secretaria de Educação a
Distância (SEED), órgão do Ministério da Educação, ocorreu em 1966. Ela tinha como
missão atuar como agente de inovação dos processos de ensino aprendizagem, fomentando
a incorporação das tecnologias de informação e comunicação (TICs) e da educação a
distância aos métodos pedagógicos das escolas públicas. A criação da SEED veio
demonstrar a disposição do Ministério da Educação de apoiar as iniciativas na modalidade
a distância.
A partir desses eventos, a Educação a Distância, até então rejeitada pela maioria das
instituições de ensino superior, começa a ser vista como uma alternativa possível e viável
para oferta de cursos de graduação e, em particular, de cursos de formação de professores
de Matemática. Contudo, seriam ainda necessários quase 12 anos, após o início da
informatização e expansão da Internet nas instituições públicas de ensino superior, para que
a Internet e as novas tecnologias de informação e de comunicação (TICs) passassem a ser
usadas de forma significativa na oferta de cursos na modalidade a distância. É assim que,
por volta de 2006, inaugura-se a terceira geração da EAD no Brasil, no âmbito das
universidades públicas.
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Políticas Públicas de EAD
A primeira década do Século 21 foi vital para a implementação e consolidação da Educação
a Distância no país no que concerne à educação superior e, em decorrência, à formação de
professores. Pressionado, de um lado, por universidades públicas, reunidas em um
consórcio interuniversitário criado em dezembro de 1999 com o nome de Universidade
Virtual Pública do Brasil (mais tarde, Unirede), e, por outro lado, pela expansão da oferta
de cursos a distância por instituições privadas, alguns deles com qualidade duvidosa,
governos estaduais e o Governo Federal implementaram políticas públicas relativas à EAD.
Nesse sentido, um importante passo foi dado, em 2000, pelo Centro de Educação Superior a
Distância do Rio de Janeiro (Cederj), consórcio formado por seis universidades públicas
daquele estado em parceria com a Secretaria de Estado de Ciência e Tecnologia, por
intermédio da Fundação Cecierj, com o objetivo de oferecer cursos de graduação a
distância, na modalidade semipresencial para todo o Estado.
Em 2001, foi realizado o primeiro vestibular do Cederj. Dentre outros cursos, estava sendo
ofertado o Curso de Licenciatura em Matemática em quatro Polos de Apoio Presencial do
Estado do Rio de Janeiro, com a disponibilização de 40 vagas em cada Polo. De lá para cá,
o Consórcio vem ofertando anualmente o Curso de Licenciatura em Matemática com a
chancela das universidades Federal Fluminense e Federal do Rio de Janeiro. Possui
material didático impresso, ambiente virtual de aprendizagem, vídeos e CDs.
Políticas públicas de fomento à formação de professores através da modalidade a distância
também foram implementadas pelo Estado de Minas Gerais (Projeto Veredas) e por um
convênio entre a Universidade Federal de Mato Grosso e a Secretaria de Educação daquele
Estado. Os cursos tinham como objetivo formar professores para atuarem no primeiro
segmento do Ensino Fundamental. Portanto, tais políticas não contemplavam a formação de
professores de Matemática.
O público-alvo do Programa eram os alunos egressos do Ensino Médio, aprovados nos
processos seletivos realizados pelas IES participantes A demanda foi identificada pelas IES
públicas proponentes dos cursos e estimada com base nos dados estatísticos do INEP. O
programa tinha como meta a oferta de 18 mil vagas. Essa chamada pública foi denominada
Pró-Licenciatura Fase I.
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O Pró-Licenciatura foi instituído em 2004 pela Chamada Pública SEED/MEC nº 01/2004.
Este programa se inseria no esforço pela melhoria da qualidade do ensino na Educação
Básica realizado pelo Governo Federal por meio do Ministério da Educação (MEC), com a
coordenação das Secretarias de Educação Básica (SEB) e de Educação a Distância (SEED)
e com o apoio e participação das Secretarias de Educação Especial (SEESP) e Educação
Superior (SESu).
165
De iniciativa do Governo Federal, foram implementados dois importantes programas para a
oferta de cursos de graduação na modalidade a distância, dentre os quais se encontrava a
licenciatura de Matemática: Pró-Licenciatura e Universidade Aberta do Brasil (UAB)
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O Pró-licenciatura Fase II, foi instituído pela Resolução FNDE nº 34/2005. Dados do Censo
Escolar 2004 do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira –
INEP haviam apontado a existência de cerca de 180 (cento e oitenta) mil funções docentes,
nas redes públicas da Educação Básica, ocupadas por profissionais que estavam atuando
sem a formação legal exigida para a função.
Em 06 de abril de 2005, o Ministério da Educação divulgou o documento “Programa de
Formação Inicial para Professores em Exercício no Ensino Fundamental e no Ensino
Médio (Pró-Licenciatura) - propostas conceituais e metodológicas”. Ele vinha
acompanhado de uma consulta pública às instituições de ensino superior públicas,
comunitárias ou confessionais interessadas em oferecer cursos de licenciatura a distância
em parceria com o governo federal. Portanto, o programa visava atender aos professores
das redes pública, estadual e municipal, que não possuíam formação superior na área em
que exerciam a docência e estavam em exercício na rede pública de ensino, há pelo menos
um ano. Com a consulta, o MEC pretendia obter informações sobre os cursos que as
instituições tivessem interesse em oferecer.
O edital da Fase II exigia a formação de consórcios entre as instituições que possuíam os
cursos na modalidade presencial e que as instituições fossem credenciadas, ou estivessem
em processo de credenciamento junto ao Ministério da Educação, para atuarem na
modalidade a distância.
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166
Tanto na fase I como na Fase II, o Pró-Licenciatura apresentava em seu portfólio cursos de
Licenciatura de Matemática. Na fase II foram aprovados os projetos pedagógicos de oito
(08) cursos de Licenciatura de Matemática a distância, mas nem todos eles foram
financiados pelo Programa. O Pró-Licenciatura não teve uma vida muito longa, tendo sido
incorporado ao Sistema Universidade Aberta do Brasil. Assim, a oferta de cursos de
formação de professores de Matemática sofreu descontinuidade no âmbito desse Programa.
Um segundo programa denominado Sistema Universidade Aberta do Brasil (UAB) foi
lançado pelo Ministério da Educação no ano de 2005, em parceria com a Associação
Nacional de Dirigentes das Instituições Federais de Ensino Superior (ANDIFES) e
Empresas Estatais, no âmbito do Fórum das Estatais pela Educação com foco nas Políticas
e a Gestão da Educação Superior. Tratava-se de uma política pública de articulação entre a
Secretaria de Educação a Distância - SEED/MEC (extinta em 2011) e a Diretoria de
Educação a Distância - DED/CAPES com vistas à expansão da educação superior. A
proposta lançada concretizou-se em 2006 com a aprovação do Decreto No 5.800
(8/06/2006). Em seu artigo primeiro, constavam os objetivos do Sistema UAB:
I - oferecer, prioritariamente, cursos de licenciatura e de formação inicial e continuada
de professores da educação básica;
II - oferecer cursos superiores para capacitação de dirigentes, gestores e trabalhadores
em educação básica dos Estados, do Distrito Federal e dos Municípios;
III - oferecer cursos superiores nas diferentes áreas do conhecimento;
IV - ampliar o acesso à educação superior pública;
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V - reduzir as desigualdades de oferta de ensino superior entre as diferentes regiões do
País;
VI - estabelecer amplo sistema nacional de educação superior a distância; e
VII - fomentar o desenvolvimento institucional para a modalidade de educação a
distância, bem como a pesquisa em metodologias inovadoras de ensino superior
apoiadas em tecnologias de informação e comunicação.
De acordo com o Diretor da Educação a Distância da CAPES, em março de 2012, um total
de 91 instituições integravam o Sistema UAB, entre universidades federais, universidades
estaduais e Institutos Federais de Educação, Ciência e Tecnologia (IFETs). Atualmente, há
cerca de 210.000 alunos matriculados no Sistema em cursos de formação e formação
continuada de professores (especialização, aperfeiçoamento e extensão). Desse total, 60%
estão matriculados em cursos de graduação e 104.707 são alunos de licenciatura que
participam de um dos 237 cursos atualmente ofertados por 69 IES. Até o final de 2012, a
UAB/CAPES espera alcançar o índice de 300.000 alunos matriculados no Sistema e a meta
para 2014 é de 600.000 alunos matriculados.
A Universidade Aberta do Brasil tem se constituído em uma política pública de grande
envergadura para a implementação e desenvolvimento da educação superior a distância no
país e, em especial, para a formação e formação continuada de professores. Alguns fatores
contribuíram para o seu êxito.
A flexibilidade da gestão da UAB, tendo em vista os diferentes projetos pedagógicos dos
cursos e condições de funcionamento das IES, foi outro elemento que contribuiu para o
êxito da UAB. Isso se traduzia em interlocução entre os entes envolvidos (UAB/CAPES,
IES, Estados e Prefeituras) visando as melhores condições para a oferta e implementação
dos cursos com a metodologia a distância.
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Outro fator importante refere-se ao financiamento dos cursos. A UAB tem um aporte anual
de recursos que permite o repasse para as IES para o custeio dos cursos, quanto às
passagens e diárias para os encontros presenciais nos Polos de Apoio Presencial, à
contratação de serviços para a produção de material pedagógico impresso e digital e
distribuição de material didático aos Polos, à aquisição de material de expediente e
combustível, à contratação de equipe de apoio para auxiliar na oferta dos cursos. Além
disso, quando foi criada, a UAB se previu a concessão de bolsas de pesquisa sobre a EAD
para professores cadastrados nos cursos, de bolsas para tutores e de bolsas para os
coordenadores dos Polos de Apoio Presencial.
167
O primeiro deles refere-se à estrutura do Sistema UAB. De fato, ele foi concebido como
uma rede nacional formada por instituições públicas de ensino superior, Estados e
Municípios em articulação com os Polos de Apoio Presencial. Isto implica em um trabalho
coletivo, onde cada ente é responsável por ações específicas. As universidades propõem e
fazem a gestão de seus cursos; os Estados e/ou Municípios mantêm os polos de apoio
presenciais; o MEC se encarrega da avaliação e aprovação das propostas de cursos e de
Pólos. Portanto, vários entes trabalham em conjunto visando atingir um objetivo.
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Ao longo da implementação da UAB, os gestores perceberam que ações complementares
deveriam ser executadas para que o Sistema se consolidasse. Nesse sentido, como parte da
política de estruturação dos pólos UAB, foi financiada a aquisição de parte do acervo
bibliográfico dos cursos e, também, de equipamentos para os laboratórios de informática
dos Polos. Com relação às IFES partipantes da UAB, elas concorrerram a editais para a
aquisição de equipamentos e mobiliário para os centros de educação a distância e para os
Polos. Em outra oportunidade, a UAB destinou recursos para construção ou reforma de
espaços para abrigarem os centros de educação a distância das IFES. Tais decisões foram
muito importantes para a manutenção da oferta dos cursos.
Licenciaturas de Matemática no Sistema UAB
Desde a concretização da UAB em 2006, algumas IFES têm ofertado Cursos de
Licenciatura de Matemática. Assim como ocorreu no Pró-Licenciatura, os primeiros cursos
de licenciatura de Matemática da UAB eram ofertados sem fazer apelo às novas
Tecnologias da Informação e Comunicação (TICs). Naquele período, a maioria dos Polos
de Apoio Presencial não dispunha de uma conexão internet com a velocidade necessária
para acessar ambientes virtuais de aprendizagem (AVA). Eles, também, não possuíam
equipamentos adequados à recepção de videoconferências e webconferências. Por sua vez,
as IFES também não estavam preparadas para usar tais recursos, seja porque os
desconheciam, seja porque lhes faltavam condições técnicas e/ou financeiras para implantálos. Dadas as condições tecnológicas então vigentes, as IFES usavam um modelo de EAD
que consistia no uso de recursos didáticos como material impresso, CDs, telefone, fax, fitas
de vídeo.
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168
Tal situação foi rapidamente ultrapassada. Decorridos seis anos, a situação se inverteu.
Embora ainda haja Polos e IFES com dificuldades no uso das TICs, parte significativa
desse universo já faz uso desses recursos.
Entre as IFES, foi disseminado o uso de ambientes virtuais de aprendizagem. No momento
a mais usada é a Plataforma ou Ambiente Moodle. Sua escolha deve-se a três razões
principais: a) trata-se de um software livre e, portanto, sem ônus para os usuários; b) sua
arquitetura está assentada em uma concepção construcionista social do conhecimento; c)
apresenta um ambiente amigável e facilidade na navegação. Vídeos pedagógicos, acessados
pela Internet ou produzidos pelas IFES, web e videoconferências, bibliotecas virtuais,
laboratórios virtuais, objetos de aprendizagem, tablets, lousas virtuais, celulares, entre
outros, são recursos hoje usados na oferta de cursos de Licenciatura de Matemática na
modalidade a distância no âmbito da UAB.
Carvalho (2008, pg. 2), considera que o “desenvolvimento de cursos na modalidade a
distância, instituiu a utilização de tecnologias da informação como agregado indissociável
de sua proposta pedagógica.” Na opinião de Carvalho,
...a formação de professores nesta modalidade, alicerçada na mediação pedagógica
por novas tecnologias e as possibilidades de mudança paradigmática na atuação
docente, poderá abrir caminhos para a compreensão das estratégias governamentais
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para a educação brasileira e as necessidades reais de mudança paradigmáticas e
culturais nas escolas. (2008, pg. 2)
No site informacional SISUAB da UAB/CAPES, consta atualmente a oferta de 36 cursos
de Licenciatura de Matemática nas cinco regiões do país, conforme ilustrado no Gráfico 1.
Gráfico 1
Distribuição, por regiões, dos Cursos de Licenciatura
de Matemática do Sistema UAB
18
16
Número de Cursos
16
14
12
10
10
8
6
5
4
3
2
2
0
Norte
Nordeste
Centro-Oeste
Sudeste
Sul
Região
Como se pode observar, o maior número de cursos de Licenciatura de Matemática está
sendo ofertado na região Nordeste (16), seguida da região Sudeste (10). A menor oferta
encontra-se na região Centro-Oeste (2).
Cada um dos 36 cursos considerados no gráfico anterior está sendo ofertado em um
determinado número de Polos de Apoio Presencial, que varia entre 3 e 27 Polos. No
Gráfico 2, é mostrado o número de Polos por região que está sendo contemplado por cursos
de Licenciatura de Matemática a distância, no contexto da UAB.
Gráfico 2
Distribuição, por regiões, dos Polos onde estão sendo ofertados
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cursos de Licenciatura de Matemática do Sistema UAB
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200
172
180
Número de Polos
160
140
120
100
88
80
60
40
68
39
19
20
0
Norte
Nordeste
Centro-Oeste
Sudeste
Sul
Região
O gráfico mostra que a maior concentração de Polos, que estão recebendo cursos de
formação de professores de Matemática, encontra-se na Região Nordeste (172 Polos). Em
segundo lugar, aparece a região Sudeste, com 88 Polos. Na região Centro-Oeste, somente
19 Polos estão sendo contemplados com cursos de Licenciatura de Matemática a distância.
Os Desafios que se Impõem
Os dados revelam que a formação de professores de Matemática no contexto da UAB está
ocorrendo nas cinco regiões do Brasil e está sendo bem aceita pela população, haja vista
que o número total de Polos que solicitaram estes cursos se eleva a 386.
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170
Contudo há questões que devem ser analisadas para que a oferta desses cursos possa ser
incrementada e com qualidade. Uma delas consiste em vencer os preconceitos que a
modalidade a distância ainda desperta na comunidade universitária e em uma parte da
população. Essa desconfiança tem fundamento? De certa forma, sim. Em décadas passadas,
a EAD era utilizada na veiculação de cursos considerados “menos nobres” como o da
capacitação profissional (técnico em rádio, curso de violão, corte e costura, etc). Ainda,
hoje, essa lembrança permeia o imaginário de algumas pessoas. Por outro lado, cursos de
qualidade duvidosa foram ofertados nos últimos anos por algumas instituições privadas,
que viram na modalidade a distância uma oportunidade para obter lucro mais fácil do que
ofertando cursos presenciais. Sem dúvida, esse fato contribuiu para aumentar a
desconfiança de alguns sobre essa modalidade de educação.
Assim sendoo, faz-se mister que ações sejam efetivadas a fim de que os preconceitos sobre
a EAD, e em consequência sobre a formação de professores de Matemática a distância,
sejam minimizados.
Outro tema importante a ser considerado e discutido é aquele relacionado com os materiais
pedagógicos. É fato que eles devam ser atualizados após algum tempo, pois as ciências e a
sociedade evoluem. Para que eles não se tornem ultrapassados ou mesmo obsoletos, os
conhecimentos contidos nos materiais didáticos devem ser objeto de análise e
reformulação. Haverá recursos financeiros para essa finalidade? A UAB patrocinará esse
empreendimento?
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Os recursos tecnológicos utilizados nos Polos para a oferta dos cursos e, em particular, dos
cursos de Matemática seguem a mesma linha. A tecnologia evolui a uma velocidade
espantosa. Em consequência, os equipamentos estão tendo uma vida útil de,
aproximadamente, três a quatro anos. Eles se tornam obsoletos após esse tempo. Se não
forem substituídos por outros mais modernos e eficientes, até mesmo a migração dos
conhecimentos armazenados em uma base de dados torna-se difícil de ser processada. As
IES e os Polos terão condições de acompanhar essa evolução tecnológica, renovando seus
equipamentos e capacitando seus técnicos? De onde virão os recursos para essa finalidade?
Outro ponto a ser discutido refere-se à função exercida atualmente pelos tutores junto aos
cursos de formação de professores de matemática. Evidentemente, essa é uma questão que
atinge todas as demais licenciaturas e cursos no âmbito da UAB. Embora sejam
professores, os tutores são bolsistas, atuando em caráter temporário junto ao Sistema. Como
bolsista da UAB, o tutor recebe menos do que se exercesse sua profissão em um dos
sistemas regulares de ensino do país. Além disso, não havendo contrato de trabalho, o tutor
pode, a qualquer momento, deixar o Sistema ou ser dispensado de suas funções. Trata-se,
portanto, de uma situação instável que não é vantajosa, nem para o tutor, nem para a IES à
qual ele presta serviços. Como resolver esse problema, de modo que o Sistema continue
viável?
Para finalizar, mas não esgotando o tema dos desafios, uma questão se impõe à comunidade
que está atuando nos cursos de Licenciatura de Matemática e, evidentemente, nos demais
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Menos de sete anos se passaram no que concerne à oferta de cursos de formação de
professores de Matemática no contexto dos programas Pró-Licenciatura e Universidade
Aberta do Brasil. Mas esse tempo já foi suficiente para que emergissem indagações
diversas como: qualidade dos cursos, procedimentos de recuperação de alunos,
aprendizagem em ambiente virtual, eficácia das webconferências, videoconferências e
vídeos pedagógicos na aprendizagem de conteúdos matemáticos, a interatividade
proporcionada pelo AVA adotado, retenção e evasão de estudantes, etc. Poucas pesquisas
foram até aqui realizadas visando dar respostas às indagações e, assim, servirem de base
para a tomada de decisões por coordenadores, professores e pelas próprias IES. Portanto,
constitui-se ainda em um desafio a produção de pesquisa na área de formação de
professores de Matemática através da modalidade a distância.
171
A institucionalização dos cursos de Licenciatura de Matemática é outro tema que vem
sendo discutido entre professores e gestores da área. Aliás, esse é um assunto que tem sido
discutido por participantes dos demais cursos da UAB e pelas IES. Por institucionalização
entende-se que os cursos na modalidade a distância devam ser considerados como cursos
regulares das IES e não como ofertas especiais e temporárias. Diversas IES, que fazem
parte da UAB, já caminharam bastante nesse sentido. De fato, procedimentos como a
seleção de estudantes, a inserção dos cursos no sistema acadêmico, a oferta continuada de
vagas nos Polos, a possibilidade de os alunos concorrerem a bolsas de pesquisa e a outros
tipos de bolsas da instituição, a avaliação interna dos cursos, dentre outros, já fazem parte
da rotina dessas IES. É necessário, porém, que as demais instituições do Sistema UAB
busquem a institucionalização de seus cursos para que eles alcancem o mesmo status que os
cursos presenciais.
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cursos do Sistema UAB: - Até quando esse programa perdurará? O que se reserva aos
cursos de Licenciatura de Matemática, modalidade a distância, que estão sendo ofertados
no âmbito da UAB?
Evidentemente, a resposta virá com o tempo, mas é necessário, desde já, que o assunto seja
discutido e decisões sejam tomadas para garantir que os cursos de Licenciatura de
Matemática a distância continuem a ser ofertados pelas IES públicas, de modo a dar
continuidade a sua missão de formar professores em regiões longínquas, onde há
dificuldade de acesso a cursos presenciais.
REFERÊNCIAS
BRASIL (2007). Referenciais de qualidade para Educação Superior a Distância.
BRASIL (1996). Lei n. 9.394, de 20 de dezembro de 1996 – Lei de diretrizes e bases da
educação nacional.
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Distância. Rio de Janeiro, Editora PUC Rio, 2007.
CAPES (2012). Sistema da Universidade Aberta do Brasil – SISUAB. Disponível em
<http://www.uab.capes.gov.br/sisuab/Login_input.action>. Acesso em: 20/05/2012.
CARVALHO, A. B.. A educação a distância e as novas tecnologias na formação de
professores
na
perspectiva
dos
estudos
culturais.
Disponível
em:
<http://www.gente.eti.br/site/attachments/040_COBESCANABEATRIZGOMES.pdf>.Ace
sso em: 20/05/2012.
FRANCO, S.R.K. O programa Pró-Licenciatura: gênese, construção e perspectivas In.
Desafios da Educação a Distância na Formação de Professores. Brasília, 2006.
RUIZ, A. I.; RAMOS, M. N.; HINGEL, M. (2007). Escassez de professores no Ensino
Médio: Propostas estruturais e emergenciais - Relatório produzido pela Comissão Interna
do Conselho Nacional de Educação.
PÁGINA
172
GIOLO, J. A educação a distância e a formação de professores. In: Educação & Sociedade,
2008, v. 29, n°. 105, set./dez, (pp. 1211-1234).
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PESQUISAS EM EAD ONLINE X POLÍTICAS PÚBLICAS EM EAD
NO BRASIL
Marcelo de Carvalho Borba
GPIMEM, UNESP, Rio Claro, SP
[email protected]
GPIMEM no Facebook, Twitter: @GPIMEM
RESUMO
Nesta apresentação discutirei a pesquisa em educação matemática online no Brasil nos
últimos quinze anos. Ilustrarei como que os resultados de tais estudos nem sempre estão em
sintonia com as políticas públicas que lidam com o tema. Com o crescimento em número da
formação de professores de matemática em cursos a distância, a implementação de políticas
que se apoiem em pesquisas se torna ainda mais importante. Um análise inicial dos cursos
oferecidos por algumas das unidades da Universidade Aberta do Brasil (UAB) será
apresentada.
TRABALHO
33
Grupo de Pesquisa em Informática,
http://www.rc.unesp.br/gpimem.
outras Mídias e
Educação
Matemática.
Home-page:
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As pesquisas já realizadas por vários membros do GPIMEM33 (BORBA, 2004; SANTOS;
BORBA, 2008; ROSA, 2008; BORBA; MALHEIROS; AMARAL, 2011) se basearam em
pequenos grupos de alunos e enfatizaram a necessidade de interação entre professores e
estudantes. E, além disso, a noção de seres-humanos-com-mídias (BORBA;
VILLARREAL, 2005, BORBA, 2009), que fundamentou boa parte destas pesquisas, realça
a ideia de que são necessários problemas novos quando “novas” mídias se tornam atores em
ambientes didáticos. Assim sendo, tais estudos alertaram que não devemos “domesticar”
novas mídias reproduzindo nelas práticas feitas com uma mídia mais antiga. Explorar a
173
Nesta apresentação discutirei a pesquisa em Educação Matemática online no Brasil nos
últimos quinze anos. Ilustrarei como que os resultados de tais estudos nem sempre estão em
sintonia com as políticas públicas que lidam com o tema. Com o crescimento em número da
formação de professores de matemática em cursos a distância, a implementação de políticas
que se apoiem em pesquisas se torna ainda mais importantes. Uma análise inicial dos
cursos oferecidos por algumas das unidades da Universidade Aberta do Brasil (UAB) será
apresentada.
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visualização, a multimodalidade da Internet e materiais digitais são demandas que se
colocam para a Educação Matemática presencial e, certamente, para a Educação a Distância
(EaD).
A temática sobre o uso das potencialidades pedagógicas das tecnologias digitais parece ter
ganhado espaço nas políticas públicas nacionais, como analisa Gatti e Barreto (2009).
Todavia, a análise feita por membros do nosso grupo apontam que nem sempre os
resultados das pesquisas têm sido considerados nos documentos que regem a implantação
de projetos voltados para a formação inicial de professores a distância. Nossas
investigações revelam possibilidades, limites e sugerem encaminhamentos visando à
melhoria de cursos a distância, contudo não temos indicativos de que tais pesquisas têm
causado algum impacto na elaboração de propostas em EaD, em particular na formação de
professores. Rodrigues e Borba (2010) mostram que às vezes a interação via tecnologia
acontece de forma bem diminuta em uma licenciatura a distância implantada em
universidade pública no Brasil.
Esse descompasso, entre documentos e práticas, gera críticas contra a Educação a Distância
até mesmo dos que são amplamente favoráveis ao uso de tecnologia em educação (LAPA;
PRETTO, 2010).
A presença restrita de tecnologia digital em parte considerável de cursos à distância, ou o
uso domesticado da tecnologia, onde o que se faz é digitalizar o livro impresso, geram
problemas para a EaD como pesquisas desenvolvidas pelo GPIMEM sugerem fortemente
(MALTEMPI; MALHEIROS, 2010; VIEL, 2011). Aliados a esses problemas, as péssimas
condições salariais e de trabalho dos tutores, grandes responsáveis pelo funcionamento das
licenciaturas a distância no Brasil, geram reações.
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174
Vivemos, pois, um dilema. Gatti e Barreto (2009) reúnem dados que mostram o
crescimento exponencial das matrículas em licenciatura a distância. Assim, há
possibilidades novas de educação sendo oferecidas para um público normalmente não
atendido por cursos ofertados presencialmente. Em contrapartida, não está claro se há
incorporação das pesquisas feitas em Educação a Distância dentro do cotidiano da
Educação Matemática a distância.
Em suma, a EaD (online) no Brasil parece ter passado por um processo de massificação que
muitas vezes justifica o parêntesis acima, na medida em que poucas interações online
acontecem, ou mesmo poucas interações entre docentes universitários e discentes
acontecem. Entretanto, há inúmeros exemplos de que ela é possível de ser feita com
qualidade, tanto aqui quanto no exterior (e.g. Borba e Gadanidis, 2008). Fica, então, em
aberto a pergunta: será que novas pesquisas vão conseguir apontar caminhos para superar
as limitações da massificação da formação inicial de professores (de matemática)? Essa
será a tônica do debate desta apresentação.
REFERÊNCIAS
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BORBA, M. C. As Dimensões da Educação Matemática a Distância. In.: BICUDO, M. A.
V.; BORBA, M. C. (Org.). Educação Matemática: pesquisa em movimento. São Paulo:
Cortez, 2004.
BORBA, M. C.; GADANIDIS, G. Virtual communities and networks of practising
mathematics teachers: The role of technology in collaboration. In: KRAINER, K.; WOOD,
T (Org.). International handbook of mathematics teacher education: Vol. 3. Participants in
mathematics teacher education: individuals, teams, communities, and networks.. 1 ed.
Rotterdam: Sense Publishers, 2008, v. 3, p. 181-206.
BORBA, M.C. Potential scenarios for Internet use in the mathematics classroom. ZDM:
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BORBA, M. C.; VILLARREAL, M. E. Humans-With-Media and the Reorganization of
Mathematical Thinking: information and communication technologies, modeling,
experimentation and visualization. v. 39, New York: Springer, 2005.
GATTI, B. A.; BARRETO, E. S. S. Professores do Brasil: impasses e desafios. Brasília:
UNESCO, 2009.
LAPA, A.; PRETTO, N. D. L. Educação a distância e precarização do trabalho docente.
Em aberto, Brasília, v. 23, n. 84, p. 79-97, Nov. 2010.
MALTEMPI, M. V.; MALHEIROS, A. P. S. Online distance mathematics education in
Brazil: research, practice and policy. ZDM: Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 42(34), 291-303, 2010.
RODRIGUES, S. R. V.; BORBA, M. C. Um modelo de licenciatura a distância em
matemática em ação. In: X EPEM - Encontro Paulista de educação matemática, 2010, São
Carlos. X EPEM - Encontro Paulista de educação matemática, 2010. p. 1-8.
ROSA, M. A Construção de Identidades Online por meio do Role Playing Game: relações
com o ensino e aprendizagem matemática em um curso a distância. 2008. Tese (Doutorado
em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade
Estadual Paulista, Rio Claro, 2008.
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VIEL, S. R. Um Sobre a Formação de Professores de Matemática a Distância: o caso do
CEDERJ/UAB. 2011. Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Instituto de
Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2011.
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SANTOS, S. C.; BORBA, M. C. Internet e softwares de Geometria dinâmica como atores
na produção Matemática on-line. Zetetiké, v. 16, n. 29, 2008.
VOLTAR
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A GESTÃO EM EAD: SISTEMA E COMPLEXIDADE
Tania Rossi Garbin
UFOP
[email protected]
RESUMO
Na modalidade de educação à distância os processos de gestão devem oferecer a
possibilidade da relação entre os recursos tecnológicos e os recursos humanos para que o
processo ocorrer de forma facilitada. Nesta modalidade a dinâmica é complexa e envolve
diferentes atores, como professores, tutores, alunos, técnicos e coordenadores, que estão em
diferentes espaços e utilizam recursos e horários diferentes para o desenvolvimento das
atividades. A tecnologia deve oferecer suporte aos diferentes processos envolvido na
organização, planejamento e execução de todas as etapas, determinando a necessidade do
desenvolvimento de métodos e técnicas. Este trabalho teve como objetivo demonstrar e
discutir o complexo processo de gestão. Serão apresentados os processos administrativos e
pedagógicos incluindo o sistema acadêmico, o sistema do ambiente de aprendizagem e as
relações de interação e colaboração que determinaram a elaboração da proposta do modelo
de gestão.
Palavras chave: educação a distancia, gestão da ead, complexidade.
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1.INTRODUÇÃO
A educação a distancia (ead) é uma modalidade de ensino que utiliza recursos tecnológicos
para os processos de gestão acadêmica, administrativa e para o desenvolvimento de
atividades de ensino. Os processos de EAD exigem organização e o planejamento em todas
as fases, e todos os recursos, materiais e equipamentos, precisam estar em consonância com
a proposta acadêmica do curso.
Nos cursos a distancia uma nova rede de relações precisa ser construída para não ocorrer o
isolamento do aluno. As informações precisam ser processadas a partir da utilização de
recursos tecnológicos, e a mediação entre os diferentes atores deve ser desenvolvida com
base nas diretrizes acadêmicas. Os ambientes educativos devem proporcionar aos
indivíduos a possibilidade real de interação, colaboração e construção.
Conforme Decreto 5622 de 2005, “a Educação a Distância é a modalidade educacional na
qual a mediação didático-pedagógica nos processos de ensino e aprendizagem ocorre com a
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utilização de meios e tecnologias de informação e comunicação, envolvendo estudantes e
professores no desenvolvimento de atividades educativas em lugares ou tempos diversos”.
No Brasil, as bases legais para a modalidade de educação a distância foram estabelecidas
pela Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei n.º 9.394, de 20 de dezembro de
1996), que foi regulamentada pelo Decreto n.º 5.622, publicado no D.O.U. de 20/12/05
(que revogou o Decreto n.º 2.494, de 10 de fevereiro de 1998, e o Decreto n.º 2.561, de 27
de abril de 1998) com normatização definida na Portaria Ministerial n.º 4.361, de 2004 (que
revogou a Portaria Ministerial n.º 301, de 07 de abril de 1998 ).
A ead no Brasil vem crescendo de forma significativa, oferecendo a possibilidade do acesso
a educação superior a indivíduos que antes eram impossibilitados pela distancia ou pela
ausência de oferta ou mesmo pelo custo econômico dos cursos presenciais. A legislação
determina normas e diretrizes para a oferta, que estão relacionadas ao aluno, a instituição
ofertante e aos processos de ensino. Dentre estes está claramente indicado que o aluno
precisa estar vinculado a um Pólo de Apoio Presencial, que o Curso precisa ser reconhecido
pelo Ministério da Educação e siga as mesmas diretrizes curriculares dos cursos
presenciais. Outra determinação refere-se às avaliações, estas devem ser presenciais,
conforme decreto N.º 2.494, DE 10 DE FEVEREIRO DE 1998. A Portaria Normativa Nº 2
de 10 de janeiro de 2007, dispõe sobre os procedimentos de regulação e avaliação da
educação superior na modalidade à distância. Quantos aos atos de regulação dizem respeito
a: Credenciamento de instituições para oferta da modalidade de EAD; credenciamento de
pólos de apoio presencial; autorização de cursos; reconhecimento e renovação de
reconhecimento de cursos.
1.1. A Complexidade do Modelo de Gestão na EAD
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Os processos de gestão acadêmicos e administrativos devem estar em consonância com as
determinações e orientações nacionais e apoiadas ao projeto da instituição e do projeto
pedagógico do curso. Serão apresentados neste estudo os modelos de gestão utilizados para
oferecer o curso de graduação em Administração Pública, focalizando as etapas do
processo de tecnologia para atender a esfera acadêmica e administrativa considerando
principalmente a interatividade e interação no processo de ensino. A seguir será
apresentada uma breve contextualização teórica sobre a concepção de gestão que orienta a
análise.
177
A grande oferta de cursos determinou ampla discussão nacional e foi elaborado os
Referenciais de Qualidade para a EAD, conseqüentemente ocorreu à elaboração pela
CONAES e pelo CNE dos instrumentos que subsidiam as avaliações “in loco”. Para que
ocorra o processo de avaliação de instituições e pólos de apoio presencial, objetivando o
credenciamento, o INEP esta atuando em procedimentos para capacitação de avaliadores e
desenvolvimento de sistema para organização e sistematização dos dados da EAD, para
oferecer maior transparência. Atualmente algumas instituições que oferecem cursos na
modalidade a distancia estão passando pelo processo de supervisão, que tem como objetivo
fiscalizar, verificar e orientar sobre os processos para a oferta dos cursos de ead.
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Para Pimenta (2003), quando afirmamos que uma situação é “complexa” pretende-se
freqüentemente transmitir a idéia de que é “complicada”, que tem muitos aspectos, que tem
muitos elementos. Para o autor, essa “complicação” é simultaneamente a “atribuição
espontânea de uma certa característica à coisa-em-si” e o reconhecimento de que “não
possuímos uma explicação satisfatória” para o que observamos, não temos um modelo que
nos permita interligar todos os aspectos. Com relação ao tratamento científico da
complexidade (qualidade de ser complexo) ou do complexo, não pode satisfazer-se com
este entendimento do conhecimento corrente, mesmo que tal estivesse presente no início da
linguagem científica da complexidade.
Parece que a própria caracterização e estudo da complexidade é complexa, entrando-se num
emaranhado por vezes profundamente ilusório, ao ponto de admitir-se, que a origem de
uma situação complexa é necessariamente “complexa”, “complicada” quando hoje é
sobejamente conhecido que sistemas simples podem dar lugar a situações complexas e que
sistemas complexos podem dar lugar a situações (soluções) simples.
O ambiente educativo deve oferecer a possibilidade do individuo desejar interagir e
construir interrelacionando suas memórias, seus desejos e suas experiências com novos
objetivos, desenhados a partir da relação com novas informações. Para isto, deve ocorrer
ampla interação entre aluno-tutor, aluno-professor, professor-tutor, instituição/sistemasujeitos, gerando situações comunicantes e produzindo novas informações para possibilitar
a construção de conhecimentos.
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Quebrar o isolamento do aluno da ead através de uma nova rede de relações com o mundo
exterior, onde o pensamento e o sentimento possam ser percebidos pelo outro é um desafio
que precisa ser alcançado pelo educador. O aluno, mesmo distante precisa atuar na situação
para produzir uma relação interativa, precisa produzir utilizando seu lado racional e
emocional utilizando o potencial criativo, os sentimentos as emoções devem ser percebidos
e possibilitar inter-relações. Os ambientes educativos devem proporcionar ao indivíduo a
possibilidade de desejar interar e construir (ASSMANN, 2002; ALMEIDA, 2003; CAPRA,
2003).
Um ambiente educativo deve ser atrativo e interessante, oferecendo através de situações
claras e diretas atividades que proporcionem o desenvolvimento cognitivo. A interface deve
ser planejada para promover a flexibilidade em relação à escolha sobre a direção para a
ação (CAPRA, 2003). Para que a aprendizagem ocorra, os sistemas não devem ser linearfechado, onde apenas um tipo de ação/resposta pode ser considerada correta frente a um
tipo de solicitação apresentada. A aceitação de uma interface depende de sua linguagem de
interação, e da
capacidade de comunicar suas funções com clareza. Para os
desenvolvedores de software educacional o maior desafio está em criar ambientes flexíveis
para permitir ao usuário fazer suas descobertas e representações, deixando espaço suficiente
para que ele sinta livre sem ficar perdido ou confuso a ponto de abandonar as explorações
(MASETTO, 2003a).
O ambiente de aprendizagem deve permitir que o indivíduo utilize a tecnologia e aproveite
os recursos de forma a garantir flexibilidade intelectual, capacidade de criar, inovar e,
principalmente, enfrentar o desconhecido para promover reflexão. Quando o ambiente é
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contextualizado e significativo proporciona o envolvimento. A tecnologia pode auxiliar os
indivíduos a reconhecer, interagir e compartilhar experiências (MASETTO, 2003b).
Selecionar ferramentas, utilizar recursos, organizar atividades são tarefas que podem ser
caracterizadas como simples e mecânicas, porem quando é atribuída ao professor ou tutor à
responsabilidade de escolher, definir e desenvolver, está ocorrendo à relação entre
ação↔reação↔ação que pode determinar a interação.
A fascinação e inventividade devem fazer parte do ambiente educacional, o ambiente não
deve inibir, deve “propiciar, aquela dose de alucinação consensual entusiástica requerida
para que o processo de aprender aconteça como mixagem de todos os sentidos com os quais
sensoriamos corporalmente o mundo” (MORAES, 2003, p.210).
O desenvolvimento de processos de gestão que tenham como objetivo facilitar os processos
de comunicação devem utilizar linguagens que alcançam os usuários. As relações interpessoais, as estratégias coletivas para transmissão de informação precisam considerar os
requisitos materiais e humanos. A partir da relação com o outro o conhecimento ocorre e a
dialética ação/conhecimento torna-se ação/conhecimento/comunicação. A seguir, a Figura
1 ilustra o processo.
AÇÃOCONHECIMENTO COMUNICAÇÃO SENSIBILIDADE/AFETIVIDADE
Figura 1. Modelo apresentado para representar a relação exterior/interior do aparelho
neurocerebral. (MORAES, 2003b)
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O processo de gestão no cenário da EAD deve ser focalizado nas redes de comunicações
que geram por um lado idéias e contextos de significados e por outro, regras de
comportamento ou estruturas sociais. Estas estruturas devem possibilitar a criação e
favorecer a comunicação. As redes de comunicações geram a si mesmas, e “cada
comunicação cria pensamentos e um significado que dão origem a outras comunicações, e
assim a rede inteira se regenera – é autopoeética. Como as comunicações se dão de modo
recorrente em múltiplos anéis de realimentação, produzem um sistema comum de crenças,
explicações e valores – um contexto comum de significado – que é continuamente
sustentado por novas comunicações. Através desse contexto comum de significado, cada
indivíduo adquire sua identidade como membro da rede social, e assim a rede gera o seu
próprio limite externo. Não se trata de um limite físico, mas de um limite feito de
179
Conforme a Figura 1, o desenvolvimento da ação exterior e da comunicação com o outro,
permite que a sensibilidade interior se manifeste. A sensibilidade transforma os
acontecimentos interiores, e a afetividade é projetada em manifestações e reações e a
relação ação/comunicação/conhecimento se transforma e interage com a
sensibilidade/afetividade.
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pressupostos, de intimidade e de lealdade – um limite continuamente conservado e
renegociado pela rede de comunicações (ASSMANN, 2002)
Os seres humanos são capazes de representar o mundo exterior simbolicamente, pensar,
comunicar símbolos, conceitos e idéias, utilizando a linguagem abstrata e também a nãoverbal, através da pintura, música e outras formas de arte. O cenário da EAD deve oferecer
a oportunidade da interação entre instituição e aluno através do ambiente de aprendizagem
que simboliza sua sala de aula, porém este espaço precisa permitir que ocorra a interação
entre diferentes dimensões sociais, econômicas, políticas presente em todas as relações
humanas. Os mundos interior e exterior estão sempre interligados no funcionamento de um
organismo humano; eles interagem e evoluem juntos (MORIN, 1996)
A gestão dos processos educativos podem determinar diferentes fatores que interferem de
forma direta e indireta no contexto da aprendizagem. Os processos de organização dos
fluxos de informações deve ser o foco do projeto administrativo. O trabalho de organização
do fluxo de informações do sistema deve orientar e alimenta o fluxo de informações do
sistema acadêmico e do sistema administrativo. A interação exige ação recíproca com
mutua influencia nos elementos inter-relacionados (MASETTO, 2003b).
Nas situações educacionais a linearidade pode ser quebrada com a utilização de processos
dinâmicos e abertos, porem estes devem ser previstos e não totalmente aleatório, pois os
agentes do processo são orientados por padrões estabelecidos por regras internas e externas
a instituição ofertante de um curso de EAD. Os mecanismos de registro podem ser úteis
para a análise de padrões de comportamento e orientar ações futuras, mas para que estes
processos possam ser desenhados é necessário amplo estudo sobre os usuários do sistema
(alunos, professores, tutores e técnicos).
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Quanto a dimensão da gestão pedagógica, o currículo deve orientar as ações educativas
permitindo que os fatores físicos, mentais, emocionais e sociais possam estar totalmente
relacionados a dimensão do conhecimento. O Currículo deve ser também um agente
comunicante oferecendo a possibilidade de constantes inovações partindo das reais
necessidades. Construir um currículo apoiado no paradigma da complexidade pressupõe
considerar o todo que interage e interfere nos processos educativos (CAPRA, 2003).
Conceber um currículo na dimensão do paradigma complexo é considerar um sistema que
envolve diferentes elementos pedagógicos, tecnológicos, ambientais, sociais e afetivos que
se integram e se relacionam a partir da dinâmica das relações dos envolvidos. Fatores
relacionados ao processo de gestão podem impedir o processo educativo principalmente
quando os indivíduos não apresentam recursos, materiais, suporte e informações básicas
para o estabelecimento de interações. Um ambiente de aprendizagem deve oferecer
significado e ser significante e pode ser construído com apoio de recursos tecnológicos. Os
recursos devem ser utilizados para atender as necessidades e oferecer melhores condições
para o processo de aprendizagem, assim não podem ser considerados como fonte única da
eficácia ou fracasso do processo educativo. Os ambientes de aprendizagem devem
fudamentar-se na complexidade da ciência (LEVY,1996). A educação deve se apropriar do
conhecimento e da tecnologia para oferecer ambientes de aprendizagem de colaboração,
cooperação e interatividade. A seguir será apresentado o modelo de gestão da EAD
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2. UM MODELO DE GESTÃO
Para Del Nero (1994), a Teoria de Sistemas Dinâmicos mostra que sistemas em que
grandezas variam temporalmente podem apresentar sensibilidade às condições iniciais e
chegar ao caos. Três corpos atraídos pela gravitação apresentam, em alguns intervalos ou
valores, imprevisibilidade quanto à trajetória ou quanto aos estados que assumem no espaço
de fase, ou seja, aquele que retrata a evolução temporal do sistema. Embora se mantenha a
equação que descreve a dinâmica do sistema, nos valores de bifurcação a previsão do
estado seguinte resulta difícil, senão impossível.
A Teoria dos Sistemas Dinâmicos, para Del Nero (1994), fornece metáfora que ensina
como a forma se ordena e desordena, mas, acima de tudo, como os estados de um sistema,
ao longo de sua história, podem ser interpretados como imprevisíveis e, se o sistema for
adaptado a uma Cultura, e não apenas às intempéries naturais, nomear alguns deles,
estados, livres e soberanos.
Rondão (1992), apresenta questionamentos relevantes:
-Será adequado manter uma lógica curricular baseada nos pressupostos da seqüência do
pensamento concreto/pensamento abstrato e no exclusivo desenvolvimento do raciocínio
lógico-matemático, quando se sabe cada vez mais da imbricação do lógico no emocional e
quando se reconhece a presença de competências de abstração de crianças pequenas?
-Partindo do pressuposto de que a informação e o saber, genericamente falando, estão hoje
facilmente acessíveis, mas que a informação só ganha sentido quando é enquadrada e
contextualizada, importa então discutir o papel da escola - que faz ou pode e deve fazer a
escola no quadro da sociedade da informação e da comunicação que é a de hoje?
(ROLDÃO, 1992, p.9)
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A concepção da escola nesta perspectiva pressupõe uma maior ênfase no ensino explícito
de estratégias cognitivas. O essencial da passagem da informação a conhecimento reside na
maior ou menor capacidade de organizar e estruturar a informação disponível, dando-lhe
sentido. Tomando currículo no sentido de “conjunto de aprendizagens socialmente
necessárias que à escola cabe garantir “(Roldão, 1998), estas aprendizagens incluem
certamente o domínio de competências de organização e formulação do conhecimento. Ou
seja, os processos também são conteúdos curriculares porque e enquanto objetivos de
aprendizagem.
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Modelo
Figura 2. Modelo organizacional
Conforme Figura 2, as relações são tratadas por decisões que afetam o conjunto como um
todo, são propostas duas frentes de trabalho: organização interna e organização externa. A
organização interna esta estruturada em três níveis, sendo:
1.Nível estratégico: corresponde ao planejamento e às tomadas de decisões a partir da
direção e de conselhos (departamental e cursos) e que influenciam a organização interna.
2. Nível organizacional: diz respeito à estruturação hierárquica de pessoal (chefia,
professores, alunos, secretaria, linhas de pesquisa, tecnologia) em núcleos e grupos e que
determinam as políticas de contratação e de relacionamentos;
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182
3. Nível de infra-estrutura: está relacionada aos projetos e aquisição de recursos em
hardware, software, mobiliários, rede, e demais recursos para as atividades administrativas
e acadêmicas a partir da avaliação das necessidades e de resultados obtidos.
Estas fases são dinâmicas e estão em constante desenvolvimento.
apresentado o Modelo de Gestão da Tecnologia.
A seguir será
2.3. Modelo de Gestão da Tecnologia
O modelo de gestão de tecnologia foi estruturado em 3 níveis, um de suporte,
desenvolvimento e comunicação definido com estrutura hierárquica de agentes e atividades
(Figura 3).
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Figura 3. Modelo de Gestão da Tecnologia
A Coordenação de Tecnologia tem como função à organização, planejamento e
desenvolvimento dos projetos de tecnologia a partir das necessidades apresentadas pelo
setor administrativo e pedagógico. É fundamental
o estabelecimento de diálogo
permanente entre os diferentes atores envolvidos diretamente nos cursos de EAD. Para que
as atividades possam ser realizadas, a Coordenação organiza as equipes de suporte,
desenvolvimento e comunicação.
Quadro1. Descrição das equipes de tecnologia.
1.Equipe de hardware: diz respeito ao pessoal de suporte, rede e manutenção de
servidores, com atividades de instalação e manutenção de hardware e software, montagem e
serviços de redes, quanto estruturação dos serviços dos servidores de Web, Ambiente
Virtual de Aprendizagem (AVA), Email, Webcasting, Vídeo/Áudio.
2.Equipe de desenvolvimento/Aplicativos: são serviços destinados a editoração de
conteúdos em áudio e vídeo, serviços de Web e estruturação das disciplinas no AVA (está
sendo utilizada a plataforma Moodle como sugestão do MEC (Ministério da Educação e
Cultura). Os serviços de editoração estão relacionados ao suporte ao professores para
elaboração de conteúdos multimídia. Os serviços de Web estão relacionados ao
desenvolvimento de páginas da Internet, manutenção e desenvolvimento de aplicativos e
novos ambientes de aprendizagem/ensino. Atuam 5 pessoas para estas atividades;
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Apesar do diálogo centralizado a partir do coordenador, que estabelece uma relação entre o
grupo as demais instâncias da Unidade, ela não é uma estrutura rígida. Ao estabelecer o
diálogo entre todas as partes, o sistema se mostra como dinâmico. As ações indicam
claramente que os processos de desenvolvimento e implementação são dinâmicos e
complexos, exigindo recursos, informações e constante capacitação, pois o todo não é a
soma das partes.
183
3.Equipe de Comunicação: são serviços relacionados à videoconferência e
webconferência com atividades de formação para atuar nas atividades acadêmicas que
envolvam estes recursos, suporte à professores, manutenção, suporte aos pólos,
desenvolvimento de calendário.
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2.4. Organização Pedagógica
Quebrar o isolamento físico através de uma nova rede de relações com o mundo exterior,
onde o pensamento, os sentimentos e as informações possam ser percebidos e processado, é
um desafio que precisa ser alcançado na EaD. Os ambientes educativos devem
proporcionar ao indivíduo a possibilidade interação e construção. O Pólo de Apoio
Presencial é um espaço que deve privilegiar as ações promovendo situações educacionais e
culturais, permitindo que o vínculo entre aluno/pólo/universidade seja estabelecido.
São propostas atividades colaborativos planejadas em ambientes multimídia centrado nas
necessidades do estudante, nas necessidade de organização social e identificação da
realidade. São oferecidos suporte para a integração entre recursos físicos do Pólo,
tecnológicos relacionado a metodologia pedagógica.
A metodologia utilizada em cada disciplina é definida pelo professor em diálogo com a
equipe pedagógica (Figura 4).
Em função das características inerentes da metodologia, a educação a distância exige novas
formas de apresentação de materiais, procedimentos e ambientes, de forma a facilitar o
papel dos professores e tutores. A utilização de mídias interativas passa a ser ferramenta
entre a tecnologia e a mediação pedagógica, possibilitando desenvolver ambientes que tem
por objetivo inovar e identificar alternativas para procedimentos participativos e
interativos.
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Figura 4. Modelo de curso
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Figura 5. Modelo de gestão de curso
A participação, colaboração e interação são fatores que determinam o processo de
aprendizagem. Conforme figura 5, o professor/tutor e aluno precisam estar “conectados”
por meio de objetivos comuns. Esta relação não envolve apenas estados de transmissão de
informação, e sim, de intervenções que devem ser observadas em função do nível de
dependência entre professor-alunos.
3. DISCUSSÃO SOBRE O MODELO DE GESTÃO
No processo de gestão da EAD, é necessário a definição de papeis de todos os atores
envolvidos, assim como a identificação de todas as atividades a serem realizadas por todos
os setores/unidades da universidade e do Pólo. O detalhamento das ações deve priorizar o
grau de importância, estratégias, rotinas e atividades acadêmicas e administrativas. O
projeto educacional deve ser baseado em uma concepção teórica que ofereça ao professor
subsídios para sua ação educativa. A capacitação deve ser considerada objetivo estratégico
e deve ter como principio a qualidade do ensino.
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Foi possível constar que no modelo estudado os professores e tutores mantem contato com
os alunos no decorrer das disciplinas para oferecer suporte as atividades. Assim a utilização
de uma Ambiente Virtual de Aprendizagem e suas ferramentas de comunicação, editoração,
interação e componentes multimídia podem auxiliar professores e tutores a desenvolver
com os alunos estratégias relevantes para a apropriação do conhecimento. Entretanto, o
planejamento do uso dessas ferramentas deve estar relacionado com objetivos de ensino, às
características individuais dos alunos e as necessidades coletivas [10]. Foi possível verificar
que o processo de gestão administrativa e tecnológica precisam auxiliar os processos
acadêmicos.
185
Para o estudante da modalidade à distância, novas situações de aprendizagem podem causar
certas expectativas. O professor deve estabelecer um relacionamento com os alunos e
firmar procedimentos que serão utilizados para alcançar os objetivos do curso. Envolver
interativamente e colaborativamente alunos, tutores e professores pode reduzir a apreensão
causada pela nova situação.
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Portanto, é no contexto de uma atividade centralizada na qualidade do processo de ensino que se
propõe este modelo de gestão em EAD, com objetivo de permitir o estabelecimento de relações
mais próxima dos agentes e comunidades como meio de ambientes que traduzam novas
experiências, competências, estilos de aprendizagem. Nessa perspectiva, todas as atividades
propostas são orientadas para a construção do conhecimento pela relação ação↔reflexão
através da comunicação e da interação entre estes agentes.
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TECNOLÓGIA EM EAD: USO DE VIDEOCONFERENCIA E
WEBCONFERENCIA PARA MEDIAÇÃO
Carlos Alberto Dainese
[email protected]
RESUMO
Utilização da videoconferência e webconferência como recurso tecnológico para realização
da mediação entre professores, alunos e tutores de curso na modalidade de Educação a
Distância (EaD). Inicialmente foi realizado o desenvolvimento de procedimento para
distribuição de videoconferência e webconferência, assim como a organização da
distribuição. Posteriormente foi realizado estudo para verificar a funcionalidade das
tecnologias para a mediação.
A utilização da tecnologia, assim como a definição de estratégias ou metodologias de
ensino, deve estar pautada no projeto de curso, nos objetivos educacionais e principalmente
no modelo teórico. O avanço das Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação, da
Web e da internet, propicia o aprendizado online através da utilização de um Ambiente
Virtual de Aprendizagem (AVA) contendo ferramentas para comunicação, editoração,
interação e procedimentos avaliativos, auxiliando professores e tutores a desenvolverem
estratégias com os alunos para a apropriação da informação e gestão do conhecimento.
Entretanto, o planejamento do uso dessas ferramentas deve estar relacionado com os
objetivos de aprendizagem e ensino, às características individuais dos alunos e as
necessidades coletivas (Okada 2006;Oliveira, 2004). Neste sentido, o projeto educacional
deve ser embasado em uma concepção teórica que ofereça ao professor subsídios para sua
ação educativa (Almeida, 2003). Na Figura 1 pode ser observada a relação entre concepção
teórica, o papel do professor e tutor, conteúdos e metodologia de ensino.
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1. INTRODUÇÃO
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Figura 1. Relação entre concepções teóricas e a metodologia em EAD (Garbin; Dainese,
2009).
O papel do professor deve ser sustentado, conforme indicado na Figura 1, na
concepção teórica que, por sua vez, está relacionada ao “fazer”, conforme indicada pela
metodologia escolhida e utilizada para alcançar os objetivos (Cortelazzo, 1996). A
sustentação epistêmica oferece a condução para o desenho do processo, podendo este ser
diferente a partir da base teórica que orienta a ação para a aprendizagem, e a partir de ações
envolvendo o professor, tutor e os alunos (Masetto, 2003a; Masetto, 2003b). Nessa
perspectiva, todas as atividades propostas são orientadas para a construção do
conhecimento pela relação ação↔reflexão através da comunicação, da interação e criação
entre estes agentes.
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São muitos os que ainda criticam os procedimentos educativos que utilizam a
tecnologia para auxiliar o processo de ensino – aprendizagem – construção – produção de
conhecimento. Esses críticos acreditam que a única função da tecnologia seria a de ajudar o
professor a ensinar os conteúdos tradicionais do currículo, mas deve ser usado como
ferramenta de aprendizagem, o que pode ser de estimável valia para ajudar no
desenvolvimento intelectual do aluno. Um exemplo do que estamos chamando aqui de
“ferramenta” seria a Multimídia, que é uma aplicação gerenciada pelo computador que
oferece a possibilidade do usuário (aluno, professor e tutor) interagir, fazendo uso
simultâneo de diversos meios: áudio, imagens estáticas e dinâmicas, incluindo textos e
objetos e outro fator relevante da tecnologia é a possibilidade de acompanhar o aluno
através dos comportamentos emitidos em todas as fases do processo de ensino, utilizando
189
Para o desenvolvimento de modelos que favorecem a criatividade e a descoberta
são necessárias mudanças na própria estrutura do ensino, menos preocupado com o
cumprimento de rígidos currículos uniformes e de processos avaliativos somativos (Silva,
2008). É necessário preparar o profissional formador para assumir uma nova
responsabilidade como mediador de um processo que oriente o aluno à aquisição,
exploração, criação e desenvolvimento de outros conhecimentos, quanto habilidades e
competências. Inseridas neste contexto, as Tecnologias Digitais de Informação e
Comunicação podem auxiliar novas experiências através da interação entre o formador e o
aluno.
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os recursos de banco de dados para verificar o desenvolvimento auxiliando na avaliação
real da aprendizagem. (Oliveira, 2004).
Na EaD a separação física e temporal entre formadores e alunos, e o aparecimento
de grupos sociais no processo de aprendizagem, exigem novas formas de apresentação de
materiais, procedimentos, ambientes e formas de avaliação. Assim, na EaD a utilização de
mídias interativas passa a ser ferramenta entre a tecnologia e a mediação pedagógica,
possibilitando desenvolver ambientes que tem por objetivo o processo de instrução ou
informação, ou pode utilizar a tecnologia para inovar e identificar alternativas para
procedimentos formativos, colaborativos e interativos.
Considerando a necessidade da oferta de cursos de graduação com a crescente
inserção dos alunos, a expansão dos ambientes para distribuições geográficas distintas e a
necessidade de atender as necessidades educativas, elencamos alguns requisitos :
a) É necessário planejar a inclusão de municípios localizados em regiões geográfica
de difícil acesso a informação, com dificuldade de conexão de internet;
b) Deve ser considerada a diversidade culturas e proporcionar a participação
colaborativa;
c) Devem ser consideradas as características dos alunos;
d) A Inclusão tecnológica precisa ser planejada considerando a realidade de infraestrutura e projeto pedagógico dos cursos;
e) Deve ser priorizado o processo de interação entre os pólos e instituições de
ensino;
f) É fundamental a capacitação de professores, tutores e alunos;
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g) Deve ser estabelecida a relação entre Instituição e os municípios de apoio.
Estas convergências de fatos e interesses geram uma nova configuração do ambiente
educativo e reforçam a necessidade de repensar novas estratégias formativas que auxiliem
responder algumas questões: “quais são as melhores práticas para a educação à distância?”,
“que estratégias podem ser utilizadas para estimular os processos de
aprendizagem/ensino?”, “como engajar ativamente os estudantes para o estudo?” “como a
tecnologia pode auxiliar os procedimentos educativos?”.
A partir dos problemas de interação, de número de usuários, da relação tempoXespaço, da
infra-estrutura, da velocidade da rede e a necessidade de ocorrer à interação-mediação
através da tecnologia, foi desenvolvida a proposta de arquitetura que será apresentada a
seguir.
2. METODOLOGIA
O estudo teve como objetivo desenvolver uma proposta para oferecer suporte tecnológico
como instrumento de mediação às atividades acadêmicas para os cursos para atender 5000
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alunos dos Cursos de graduação para 29 Pólos de Apoio Presencial. Para oferecer a
possibilidade da ocorrência de relações interativas foi desenvolvida a proposta de
arquitetura híbrida que possibilita streaming de áudio e vídeo a partir do sistema de
videoconferência, quanto seu uso para webconferência, considerando:
a) distribuição de videconferência e webconferência em tempo real para os pólos;
b) gravação e editoração das sessões de videoconferência e webconferência,
c) distribuição do sinal de videoconferência a partir da Web,
d) interação via chat e email durante a sessão de videoconferência;
e) apresentação de conteúdos.
O procedimento utilizado foi o desenvolvimento de um ambiente computacional utilizando
Flash CS3 e Flex, sendo composto de três janelas: a) para streaming de vídeo e áudio para
apresentação de conteúdos, b) uma janela para troca de mensagens (bate papo) e outro de
participantes e c) capacitação de técnicos, professores e tutores para utilização do sistema.
O estudo foi desenvolvido de agosto de 2009 a abril de 2010, no CEAD/UFOP, 29 Pólos de
apoio presencial totalizando 5000 usuários.
3. RESULTADOS
Neste estudo vamos apresentar os resultados obtidos durante o período de agosto de 2009 a
abril de 2010, considerando os dados coletados a partir do controle de utilização dos
sistemas desenvolvidos.
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Para a comunicação entre Universidade e Pólos de EAD foi desenvolvida uma arquitetura
de videoconferência e streaming com hardware e software distribuídos em três salas
(Figura 2): a) sala de videoconferência, contendo um aparelho de vídeo conferência
Polycom VSX 7000s, servidores com Flash Interactive Server e Flash Media Encoder,
interface de vídeo Pinacle, mesa de som de quatro canais, 2 caixas de som, projetor
multimídia e aparelho de televisão LCD de 37”; b) sala de edição, contendo uma ilha de
edição Duo Core, 2.4 Ghz, 2 MB de memória RAM, rodando os softwares de edição e
editoração de vídeo Adobe Premier Pro CS3 e de edição de som Sound Forge 9, e mesa de
som de quatro canais e c) sala de distribuição de streaming e gestão do sistema gerenciador
de aprendizagem Moodle.
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3.1. Arquitetura para distribuição de aulas online
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Figura. 2. Modelo de distribuição das videoconferencia
Foi a partir do sistema de videoconferência que se estabeleceu uma das formas de interação
entre professores, tutores, alunos e pólos. O processo se iniciou com a conexão dos pólos
no IP do sistema videoconferência da universidade, feito nas formas: P2P, em que a
conexão é feita entre a instituição de ensino com apenas um pólo, ou multicast em que a
conexão é feita entre a videoconferência local com outras videoconferências em demais
pólos. Neste caso, todos os pólos conectados trocaram informações simultâneas de áudio e
vídeo. Salienta-se, que foram distribuídos os sinais em forma de streaming aos pólos que
não continha videoconferência, cujas atividades são descritas a seguir.
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A Figura 3 apresenta os recursos da sala de videoconferência e o uso do sistema para a
formação de um espaço virtual de interação promovida entre o professor e mais três pólos.
Figura 3. Distribuição de aulas para Pólos.
Ao ministrar os conteúdos foram obtidas a imagem e o áudio do professor pelo sistema de
videoconferência (Figura 3). Estas foram enviadas para a sala de edição de áudio e vídeo
para editoração dos conteúdos, disponibilizando-os como material pedagógico, ou enviado
pela rede a partir de um link dedicado de 8 MB para que os pólos conectados pudessem
interagir nas atividades. Com isto, a restrição imposta pela distância geográfica não
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impediu a troca de informações e relacionamentos entre o professor e o aluno, ao contrário,
a diversidade cultural dos participantes motivou-os para novas informações, atitudes e
colaboração.
3.2. Interação e engajamento do aluno na EAD
Para o estudante da modalidade a distância novas situações de aprendizagem podem causar
certas expectativas. Neste caso, o professor pode estabelecer um relacionamento com os
alunos e firmar procedimentos que serão utilizados para alcançar os objetivos da disciplina.
A Figura 4 mostra o agendamento dos encontros para as sessões de videoconferência ou da
webconferência envolvendo atividades para soluções de problemas, aulas, seminários e
atendimento às dúvidas.
Figura 4. Videoconferência, agenda, e opções de mídias.
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Envolver interativamente e colaborativamente alunos, tutores e professores pode reduzir a
apreensão causada pela nova situação que é determinada pela distância física. Na Figura 4,
pode ser identificado o professor em situação de videoconferência, a agenda e os itens que
o aluno pode escolher com relação as mídias. Os professores precisam utilizar métodos para
diversificar as apresentações, selecionando atividades e interações entre alunos e
professores, escolhendo situações e práticas relevantes que contribuam para sua atividade
do cotidiano, pois sua organização de material para o ensino a distância tem característica
diferenciada quando comparada com a presencial. A seguir apresentamos a representação
do modelo de interação e mediação desenvolvido.
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Figura 5. Representação do processo de mediação com tecnologia.
Conforme pode ser observado, os recursos se interam e tem como objetivo o processo de
aprendizagem. Segundo Cervi (2008), o planejamento e a avaliação nos sistema educativo
devem ser pautados em quatro conjuntos de variáveis como: variáveis de contexto,
variáveis de recursos, variáveis de processos e variáveis de resultados. A identificação e
avaliação do sistema educacional frente a estes conjuntos de variáveis permitem identificar
a eficácia do sistema, a relação entre processos, recursos, rendimento e a pertinência do
sistema educacional.
A mediação pode favorecer o aprendizado, pois possibilita o envolvimento e
acompanhamento do aluno. Para Valente (2003), “o estar junto virtual envolve múltiplas
interações no sentido de acompanhar e assessorar constantemente o aluno para pode
entender o que ele faz e, assim, propor desafios que auxiliem a atribuir significado ao que
está desenvolvendo” (p. 31). Os alunos devem estar engajados na resolução de atividades, e
estas devem ser pensadas a partir da realidade do aluno e do projeto do curso.
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É comum nos processos de mediação o uso de ferramentas de comunicação síncrona e
assíncrona como chat, fórum de discussão, wiki ou diário de bordo. Contudo, estas
ferramentas limitam-se às suas funcionalidades, não permitindo integrar outros
instrumentos que promovam outras formas de relacionamentos entre professores/tutores e
alunos. A videoconferência e webconferência podem ser soluções na medida em que é
possível anexar outros dispositivos ou reunir um conjunto de ferramentas em um mesmo
ambiente. Com isto, são possíveis novas experiências educativas e disponibilizar outras
formas de apresentação de conteúdos. Contudo, o uso de destes recursos só é viável dentro
do modelo educacional se há infra-estruturar adequada daqueles que oferecem e recebem os
serviços, além de um protocolo de ações que estabelece o que será desenvolvido. A Tabela
1 mostra as ações interativas que foram utilizadas nas atividades utilizando
videoconferência e webconferência.
ATIVIDADES PROPOSTAS
CONDIÇÕES
OFERECIDAS
RESULTADOS
ALCANÇADOS
Realização de testes para conexão online – Webconfêrencia
verificação de qualidade
Videoconferência
100%
Atividades em tempo real – aulas, sessões de Webconferência
duvidas, orientações e reuniões.
Videoconferência
90,8%
Controle dos participantes – Pólos/alunos Controle Webconferência
de alunos participantes no chat em tempo real
Videoconferência
100%
Gravação e disponibilização das sessões
100%
Webconferência
Videoconferência
Atendimento a Pólos com problemas de conexão Webconferência
em função da banda da rede ou ausência do recurso Videoconferência
de videoconferência
80%
Atendimento aos alunos fora do Pólo ou Sede.
Webconferência
30%
Controle de acesso off-line
Webconferência
20%
Vídeocoferência
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O conjunto de experiências resultantes apresentados na Tabela 1 corresponde as mediações
proporcionadas pelos recursos de videoconferência e webconferência para atendimento aos
29 pólos e aos 5000 alunos matriculados nos cursos de EaD da UFOP. Salienta-se que há
alunos de cursos que não se vinculam a pólos, como é o caso do Curso de Especialização
em Gestão Pública. Outro dado importante é a que o nem todos os pólos contém aparelho
de videoconferência, sendo necessário a acesso pela Web. A seguir são apresentadas análise
da Tabela 1.
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Tabela 1 – Mediação com uso de videoconferência e webconferência
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- Realização de testes para conexão online – verificação de qualidade: é uma ação
preventiva para garantir o funcionamento e uso da videoconferência e webconferência. Em
caso de problemas, outras estratégias são tomadas para não comprometer as atividades. Isto
foi feito para os 29 pólos de atendimento, correspondendo a 100% de interação;
- Atividades em tempo real – aulas, sessões de duvidas, orientações e reuniões:
correspondem às ações interativas entre professores-professores, professores-alunos,
professores-tutores, tutores-alunos e alunos-alunos para processo formativos, além de
reuniões com os pólos. Utilizou-se tanto a videoconferência quanto a webconferência,
atendendo os 29 pólos.
- Controle dos participantes – Pólos/alunos Controle de alunos participantes no chat
em tempo real: a webconferência permitiu o registro dos acessos pelos participantes ao
ambiente quanto interação por chat entre professor-aluno. No caso da videoconferência, é
apenas registrado o pólo conectado;
- Gravação e disponibilização das sessões: toda sessão de videoconferência e
webconferência são gravadas e disponibilizadas como material de consulta. Este acesso é
restrito aos professores, alunos e tutores matriculados nas disciplinas, e é feito a partir do
site www.cead.ufop.br;
- Atendimento a Pólos com problemas de conexão em função da banda da rede ou
ausência do recurso de videoconferência: alguns pólos carecem do recurso de
videoconferência, e foi necessário disponibilizar as sessões de videconferência pela web.
No caso do problema de rede, foi necessário configurar os sistemas de videoconferência
com a mesma banda, garantindo a conexão;
- Atendimento aos alunos fora do Pólo ou Sede: transmissão de webconferência fora do
pólo ou da Sede;
- Controle de acesso off line: outra opção de acesso às aulas gravadas a partir da disciplina
do professor contido no ambiente virtual de aprendizagem.
A seguir será apresentada uma breve discussão.
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4. DISCUSSÃO SOBRE MEDIAÇÃO COM USO DA TECNOLOGIA
A Educação a Distância é uma forma de ensino que possibilita a aprendizagem, com a
mediação de recursos didáticos sistematicamente organizados, apresentados em diferentes
suportes de informação, utilizados isoladamente ou combinados, e veiculados pelos
diversos meios de comunicação. Para Hoffmann (1993) o processo de avaliação pode
auxiliar o professor a identificar a realidade do aluno e facilitar a tomada de decisão sobre
os processos educativos.
Em função da distância física, devem ser propostas atividades colaborativas planejadas em
ambientes multimídia centrado nas necessidades do estudante, nas necessidades de
organização social e identificação da realidade. Deve ser oferecido o suporte para a
integração entre recursos físicos do Pólo e às tecnologias relacionadas à metodologia
pedagógica. Portanto, é no contexto de uma atividade centralizada no estudante que se
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propõe este modelo de gestão em EAD, com objetivo de permitir o estabelecimento de
relações mais próxima dos agentes e comunidades como meio de ambientes que traduzam
novas experiências, competências, estilos de aprendizagem e impactos nos objetivos de
aprendizagem. Promover a capacitação de todos os atores envolvidos no processo de ensino
é uma condição para a realização da gestão.
Identificamos através da literatura (Almeida, 2003; Valente, 2003) que um fator relevante é
o vinculo que o aluno estabelece com o Pólo e Curso, a distancia física entre Pólo e
Universidade não deve determinar a dificuldade do aluno em se manter no curso. Mas é
fundamental que o Pólo ofereça ao aluno condições para a interação, e para o
desenvolvimento das atividades previstas no curso. Os atores envolvidos no processo de
ensino precisam estar interagindo continuamente, assim a tecnologia deve auxiliar a
organização administrativa, e acadêmica.
No processo de gestão da EAD é necessária a definição de papeis de todos os atores
envolvidos, assim como a identificação de todas as atividades a serem realizadas por todos
os setores/unidades da universidade e do Pólo. O Planejamento das ações é o fator que pode
realmente contribuir com a eficácia dos processos educacionais. O detalhamento das ações
deve priorizar o grau de importância, estratégias, rotinas e atividades acadêmicas e
administrativas. O Planejamento deve ser considerado objetivo estratégico e deve ter como
principio a qualidade do ensino e principalmente os procedimentos de avaliação de todo
processo educativo. Considerando os dados obtidos podemos concluir que a tecnologia
especificamente a videoconferência e webconferência está auxiliando o processo de
mediação na EAD.
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EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICA EN INGENIERÍA: UNA VISIÓN
CON EL USO DE LA TECNOLOGÍA.
Dr. Eugenio Carlos Rodríguez
Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría. La Habana, Cuba
[email protected]
RESUMEN
Por lo general no existe coherencia entre el diseño de los currículos de Matemática en las
carreras de ingeniería y el uso que se hace de las tecnologías en el proceso de enseñanzaaprendizaje. La introducción de las tecnologías puede contribuir a que los conocimientos,
habilidades y modos de la actividad mental se desarrollen de manera que los alumnos se
habitúen a reflexionar, plantear hipótesis y conjeturas, validarlas y valorarlas. Un currículo
diseñado con el uso de las tecnologías, deberá contribuir al desarrollo tanto del alcance del
contenido matemático como del rango de situaciones problemáticas al que pueden
enfrentarse los estudiantes.
INTRODUCCIÓN
Los obstáculos.
Entre los obstáculos que impiden el logro de estos propósitos se pueden mencionar los
siguientes:
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Las tecnologías, ayudan en la recolección, grabación, organización y análisis de datos.
Aumentan además la capacidad de hacer cálculos y ofrecen herramientas convenientes,
precisas y dinámicas que dibujan, grafican y calculan. Con estas ayudas, los estudiantes
pueden extender el rango y la calidad de sus investigaciones matemáticas y enfrentarse a
ideas matemáticas en ambientes más realistas. Sin embargo, en las carreras de ingeniería,
estos resultados no siempre se alcanzan.
199
El desarrollo de las TIC ha traído aparejado importantes cambios sociales y culturales y
tiene particular relevancia en el ámbito educativo. En especial en las Matemáticas, la
introducción de las tecnologías hace que los conocimientos, habilidades, modos de la actividad
mental y actitudes que se desea formar en el proceso de enseñanza – aprendizaje, se
desarrollen de forma tal que los alumnos se habitúen a reflexionar, plantear hipótesis y
conjeturas, validarlas y valorarlas.
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
Los profesores no siempre tienen la preparación adecuada para enfrentar el reto que
significa aplicar las tecnologías en el proceso de enseñanza aprendizaje de las
matemáticas.

Los estudiantes no siempre tienen los conocimientos y habilidades necesarias en el
uso de las tecnologías para enfrentar el aprendizaje de las Matemáticas haciendo uso
de ellas.

El diseño de los currículos de Matemática no poseen la coherencia necesaria para
lograr desarrollar habilidades en el uso de las potencialidades que brindan las
tecnologías.
Como resultado, el estudiante transita por las asignaturas de Matemática y no logra desarrollar
las habilidades necesarias para aprovechar las potencialidades de las tecnologías. Para lograr
lo anterior se hace imprescindible realizar cambios en los currículos, así como en los métodos
y estilos de trabajo y en los enfoques de las tareas que se les presentarán a los alumnos.
Un primer acercamiento a la solución de esta problemática se encuentra en (Durán, 2001),
donde se plantea que, a pesar de que a primera vista se aprecian como componentes del
proceso docente educativo el aprendizaje, la enseñanza y la materia de estudio, el resultado
de un análisis más profundo de este proceso permite distinguir como componentes
fundamentales del proceso los siguientes: objetivos, conocimientos, habilidades, métodos,
formas de enseñanza, entre los más importantes.
Objetivos, conocimientos y habilidades (Durán, 2001).
El uso de distintas tecnologías, permite ahondar en la formación del pensamiento
matemático de los estudiantes y en consecuencia, plantearse objetivos de mayor alcance e
importancia imposibles en épocas pretéritas.
Esa influencia de las tecnologías sobre los objetivos se refleja de forma directa sobre los
contenidos, y no solamente sobre los contenidos específicos, por la relación que existe entre
ambas categorías. El uso de las tecnologías tiene una incidencia directa en el tratamiento de
los contenidos específicos pues permite abordar ejercicios de mayor complejidad y que
pueden producir un mayor acercamiento a los problemas reales de la ciencia y la técnica.
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200
Los métodos (Durán, 2001).
Otra de las categorías didácticas que reciben la influencia de los medios son los métodos,
considerados como una serie de pasos u operaciones estructuradas lógicamente, con las que
se ejecutan distintas acciones encaminadas a lograr un objetivo determinado. En el proceso
docente educativo el método es la principal vía que toman el profesor y el estudiante para
lograr los objetivos fijados en el plan de enseñanza, para impartir y asimilar el contenido de
ese plan.
Las formas de enseñanza (Durán, 2001).
Se considera que las formas de enseñanza varían considerablemente si se utilizan las
tecnologías, pues la forma de desarrollar la clase adquiere nuevos matices, así como la
consulta y la autopreparación del estudiante alcanzan otras dimensiones.
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La evaluación (Durán, 2001).
La utilización de la tecnología brinda la posibilidad de ampliar la concepción de la
evaluación del aprendizaje. La evaluación se modifica sustancialmente al utilizar estas
herramientas ya que la posibilidad de cumplimiento de las funciones de la evaluación
aumenta, en particular la función educativa, motivadora pues, favorece que el alumno
defienda y argumente sus explicaciones contribuyendo a la formación de convicciones,
formación de hábitos de estudio, el desarrollo del sentido de la responsabilidad y la
autoevaluación.
El currículo de Matemática.
Un programa de Matemáticas diseñado con el uso explícito de las tecnologías (Rico, 1998),
deberá contribuir al desarrollo tanto del alcance del contenido matemático como del rango
de situaciones problemáticas o tipos de problemas al que pueden enfrentarse los estudiantes
(Guerrero, Laffita y Chávez, 2002). El uso de herramientas de cálculo poderosas, así como
las construcciones y representaciones visuales ofrecen a los estudiantes acceso a contenidos
matemáticos y a contextos que de otro modo serían para ellos muy difíciles de explorar. El
uso de herramientas tecnológicas para trabajar en contextos de problemas interesantes
puede facilitar el logro de los estudiantes en una variedad de categorías de aprendizaje de
orden superior tales como reflexión, razonamiento, planteamiento de problemas, solución
de problemas y toma de decisiones.
La falta de coherencia entre el diseño de los currículos de Matemática en las carreras de
ingeniería y el uso que se hace de las tecnologías en el proceso de enseñanza-aprendizaje de
estas materias, limita el uso de las potencialidades que brindan las herramientas
tecnológicas de que se dispone.
La investigación.
1. Los sistemas de objetivos y habilidades de los Programas de Disciplinas y
asignaturas.
2. Los sistemas de evaluación de las asignaturas y el diseño de las evaluaciones.
3. Los tipos de clases que se utilizan para impartir las asignaturas.
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Se requiere entonces una investigación seria que, como resultado, muestre importantes
transformaciones en el diseño de los currículos de Matemática (Guerrero et al., 2002) en las
carreras de ingeniería, en los cuales, la contradicción que requiere ser transformada se
manifiesta en:
201
La investigación en Didáctica de la Matemática cubre desde los fundamentos teóricos del
desarrollo cognitivo y las diferencias individuales entre los estudiantes hasta los problemas
de toma de decisiones en el aula y la escuela y los programas de formación de maestros y
profesores (Begle y Gibb, 1980). Un análisis a los distintos paradigmas de investigación en
Didáctica de la Matemática, así como de sus principales problemas de investigación
(Godino, 2001) nos llevan a una gran variedad de temas, entre ellos (Kilpatrick, 1995): los
cambios curriculares, el proceso de aprendizaje, las prácticas de evaluación, el desarrollo
profesional, el contexto social y el empleo de la tecnología, entre los más importantes.
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4. El diseño de los ejercicios, problemas y tareas.
Una investigación de este tipo debe dar como resultado un Sistema Didáctico para la
Disciplina Matemática para carreras de ingeniería, que contribuya al desarrollo de
habilidades en el uso de herramientas tecnológicas específicas para aprovechar las
potencialidades de su utilización, a partir de un programa curricular diseñado con el uso
explícito de la tecnología.
Las bases teóricas de la investigación que aquí se presenta se sustentan fundamentalmente
en el aprendizaje desarrollador (Zilberstein, 2006a; Zilberstein, 2006b; Zilberstein y
Portela, 2002), y en el uso de estrategias metacognitivas (Labarrere, 1994) en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática sustentadas en el uso de tecnologías.
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202
Asumimos una concepción desarrolladora que se ha ido conformando y
sistematizando en los últimos años a la luz de diferentes investigaciones
pedagógicas realizadas, enriquecida con la práctica docente en Cuba […] La
Didáctica debe ser desarrolladora, es decir, conducir al desarrollo integral de la
personalidad del estudiante, siendo esto el resultado de un proceso activo de
apropiación de la experiencia histórica acumulada por la humanidad El proceso
de enseñanza- aprendizaje, no puede realizarse teniendo en cuenta solo lo
heredado por el alumno, debe considerar que es decisiva la interacción sociocultural, lo que existe en la sociedad, la actividad, la socialización, la
comunicación. (Zilberstein, 2006a, p. 33)
Para llevar a cabo la investigación será necesario identificar las habilidades que poseen los
alumnos de los primeros años de las carreras de ingeniería para resolver problemas que
requieren de la Matemática, utilizando herramientas tecnológicas, así como la preparación
que poseen los profesores de Matemática en carreras de ingeniería, para utilizar
herramientas tecnológicas específicas en el proceso de enseñanza aprendizaje. En este
último sentido se plantea fundamentar el diseño de un sistema de entrenamiento para
profesores de Matemática en carreras de ingeniería, para utilizar herramientas tecnológicas
específicas en el proceso de enseñanza-aprendizaje, de manera que propicien el desarrollo
de habilidades mediante el uso de la tecnología que aprovechen las potencialidades de
estas.
Para el diseño del currículo, con las exigencias que plantea la investigación es
imprescindible determinar los elementos que deben caracterizar el diseño de los Programas
de la Disciplina Matemática para carreras de ingeniería, y las asignaturas que la componen,
de manera que, mediante el uso de herramientas tecnológicas específicas, contribuyan al
desarrollo de habilidades que potencien el uso de la tecnología.
Un objetivo importante será identificar las situaciones prácticas y conceptuales pertinentes
para el diseño de materiales didácticos y bibliografía complementaria a los libros de texto,
que contengan un sistema de ejercicios y problemas que contribuyan al desarrollo de
habilidades mediante el uso de tecnologías, aprovechando sus potencialidades.
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La investigación que se expone está centrada en el segundo de los obstáculos mencionados,
específicamente en lo referente a las habilidades.
Un paso importante es el estudio de las habilidades matemáticas que poseen los estudiantes
de los primeros años de las carreras de ingeniería y las que se tienen que desarrollar, para
utilizar las tecnologías en la solución de problemas que requieren del uso de las
Matemáticas. El estudio realizado es la primera etapa del desarrollo del proyecto de
investigación “El currículo de Matemática con Tecnología”, que está dirigido a la
elaboración de un Sistema Didáctico para la Disciplina Matemática en carreras de
ingeniería, que aproveche las potencialidades de las herramientas tecnológicas para lograr
en los estudiantes modos de actividad mental y actitudes que les permita extender el rango y
la calidad de sus investigaciones matemáticas y enfrentarse a ideas matemáticas en
ambientes más realistas, alcanzando categorías de aprendizaje de orden superior, tales
como reflexión, razonamiento, planteamiento de problemas, solución de problemas y toma
de decisiones (Carlos y Ansola, 2010).
En esta etapa de la investigación se determinan las habilidades matemáticas que deben
poseer los estudiantes para poder hacer un uso adecuado de las tecnologías, el
agrupamiento de estas habilidades en dimensiones y los indicadores que permitirán elaborar
los instrumentos para el diagnóstico de la situación real en el desarrollo de estas
habilidades.
En la primera fase de la metodología aplicada en la investigación se emplean diferentes
métodos como son: histórico-lógico, que posibilita la aproximación a los referentes teóricos
del tema, profundizar en sus relaciones, analizar diferentes criterios relacionados con la
teoría curricular, la Didáctica de la Matemática y el uso de las herramientas tecnológicas en
el proceso de enseñanza y aprendizaje; el enfoque sistémico, que posibilita modelar el
objeto de la investigación mediante la determinación de sus elementos básicos; y el análisis
documental para el estudio y análisis de diferentes documentos normativos.
Las Habilidades Generales Matemáticas.
En concordancia con esta definición se puede señalar que la habilidad es el saber hacer, es
el dominio por parte del sujeto, de las operaciones que se manifiestan desde un saber hacer
elemental, que transita hacia un elevado nivel de calidad en la ejecución y un alto grado de
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Desde el punto de vista psicológico la habilidad constituye el dominio de operaciones
(psíquicas y prácticas) que permiten la regulación racional de la actividad. Es la
comprensión de la interrelación entre el fin de la actividad y las condiciones, los medios de
su puesta en práctica (Álvarez de Zayas, 1995), concepto que se asume en este trabajo.
203
Las habilidades constituyen una de las formas de la asimilación de la actividad del hombre.
Teniendo como fundamento la teoría psicológica de la actividad sustentada en el Enfoque
Histórico Cultural, “no se puede separar el saber, del saber hacer, porque siempre saber es
saber hacer algo, no puede haber un conocimiento sin una habilidad, sin un saber hacer”.
Talízina (1984).
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perfección y destreza en la realización de estas operaciones. Las habilidades siempre parten
del conocimiento y se apoyan en el conocimiento, es el conocimiento en acción.
Varios autores, tales como Hernández (1989) y Delgado (1995 y 1997), por citar algunos,
han desarrollado estudios sobre el sistema básico de habilidades matemáticas específicas y
generales, resultado de gran valor didáctico y metodológico, tanto para los docentes como
para la formulación de los programas de las diferentes asignaturas.
Identificar las habilidades específicas que son necesarias para usar la tecnología, resulta un
requisito indispensable para la utilización de las mismas en el proceso de enseñanza y
aprendizaje.
Los elementos anteriormente analizados fundamentan el hecho de que un programa de
Matemática diseñado con el uso explícito de las tecnologías, deberá contribuir tanto a la
asimilación del contenido matemático como a la solución de situaciones problemáticas o
tipos de problemas al que pueden enfrentarse los estudiantes. El uso de herramientas
informáticas de cálculo poderosas, así como las construcciones y representaciones visuales
ofrecen a los estudiantes acceso a contenidos matemáticos y a contextos que de otro modo
serían para ellos muy difíciles de explorar. Las herramientas tecnológicas utilizadas
durante el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas pueden facilitar el
desarrollo en los estudiantes de una variedad de categorías de aprendizaje de orden superior
tales como: reflexión, razonamiento, planteamiento de problemas, solución de problemas y
toma de decisiones (Carlos y Ansola, 2010).
Para operacionalizar las habilidades necesarias en el uso de las tecnologías para enfrentar el
aprendizaje de las Matemáticas se aplicará lo indicado por Hernández, R., Fernández, C. y
Baptista, P. (1991) en cuanto a identificar dimensiones e indicadores para dichas habilidades.
Partiendo del sistema de Habilidades Generales Matemáticas planteadas por Delgado (1995
y 1997), se determinó que ellas forman parte imprescindible de las que un estudiante debe
desarrollar, y son las siguientes: Interpretar, Identificar, Recodificar, Calcular,
Algoritmizar, Graficar, Definir, Demostrar, Modelar, Comparar, Resolver, Optimizar y
Controlar.
204
Dimensión correspondiente a las Habilidades Conceptuales: Son aquellas que operan
directamente con los conceptos.
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En este proceso se utilizaron las cuatro dimensiones que se definen teniendo en cuenta las
funciones que realizan las habilidades y que están en correspondencia con lo planteado por
varios autores, entre ellos Polya (1945), Scoenfeld (1992) y Delgado (1997), entre otros,
estas son:
Dimensión correspondiente a las Habilidades Traductoras: Aquellas que permiten pasar de
un dominio a otro del conocimiento
Dimensión correspondiente a las Habilidades Operativas: Son aquellas que funcionan
generalmente como auxiliares de otras más complejas y que están relacionadas con la
ejecución en el plano material o verbal.
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Dimensión correspondiente a las Habilidades Heurísticas o Metacognitivas: Son aquellas
que emplean recursos heurísticos y metacognitivos y están presentes en un pensamiento
reflexivo, estructurado y creativo.
El resultado obtenido fue la clasificación de las habilidades determinadas anteriormente
dentro de estas dimensiones, tal y como se muestra a continuación:
En la dimensión Conceptueles clasifican las habilidades Definir, Demostrar, Identificar y
Comparar.
En la dimensión Traductoras clasifican las habilidades Interpretar, Modelar y Recodificar.
En la dimensión Operativas clasifican las habilidades Algoritmizar, Graficar, Calcular,
Aproximar y Optimizar.
Y, por último, en la dimensión Heurísticas y Metacognitivas clasifican las habilidades
Conjeturar, Resolver, Representar y Controlar
La tarea siguiente fue determinar el conjunto de indicadores que servirán para diagnosticar
las habilidades matemáticas que deben poseer los estudiantes de los primeros años de las
carreras de ingeniería. Un ejemplo de los resultados es el obtenido para la dimensión
Conceptuales, como se muestra a continuación.
Dimensión
Habilidades
Indicadores
Reproducción verbal
Definir
Reproducción gráfica
Reproducción Numérica
Reproducción Simbólica
Por reducción al absurdo
Conceptuales
Demostrar
Por contraejemplo
Método constructivo
Determinar propiedades esenciales.
Identificar
Estructura lógica del concepto
Fundamento de la comparación.
Agrupar en clases
Los indicadores determinados para cada habilidad se corresponden con el punto de partida
para el diseño de los instrumentos que servirán para diagnosticar el estado de desarrollo
actual de estas habilidades. El paso siguiente en el diseño del instrumento para diagnosticar
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Comparar
205
Situación de pertenencia.
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será diseñar los ítems (Hernández, Fernández y Baptista, 1991), el esquema de un ejemplo
se muestra a continuación:
Dimensión
Conceptuales
Habilidad
Definir
Definición
Operacional
Es establecer
mediante una
proposición las
características
necesarias y
suficientes del
objeto de
estudio.
Indicadores
Ítems
Reproducción verbal
Reproducción gráfica
Reproducción
numérica
Reproducción
simbólica
Por reducción al
absurdo
Habilidades matemáticas agrupadas atendiendo a los efectos que producen las
tecnologías.
Otro aspecto de la investigación que está en desarrollo, con respecto a las habilidades
generales matemáticas, es el relacionado con la influencia de la tecnología para ampliar las
capacidades cognitivas en algún sentido fundamental (Salomon y Perkins, 2005).
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206
El diálogo inteligente con herramientas computacionales requiere que las funciones
cognitivas deban ser distribuidas en una manera óptima entre estudiante y herramienta. En
el paradigma viejo, la enseñanza de la Matemática estaba basada en una práctica repetitiva
hasta perfeccionar ciertos conocimientos. Con el uso de la tecnología esta práctica debe
cambiar en una manera inteligente, por lo tanto debemos tener una mejor comprensión de
los efectos que la tecnología causa a los procesos cognitivos.
Al respecto Salomon, G y Perkins, D. (2005) al analizar si la puesta en práctica de la
tecnología amplía las capacidades cognitivas introducen los conceptos de "Efectos con la
tecnología", cuando esta es usada para mejorar el desempeño intelectual mientras uno está
operando la herramienta; "Efectos de la tecnología", cuando el uso de la tecnología puede
dejar residuos cognitivos que aumentan el desempeño incluso después de que uno deja de
usarla; y "Efectos a través de la tecnología", cuando la tecnología no sólo aumenta el
desempeño, sino que, fundamentalmente, lo reorganiza.
Estos efectos tienen diferentes objetivos, frecuencia de ocurrencia y magnitud de impacto:
 Efectos con la tecnología.
Cuando una calculadora o una computadora es usada por el estudiante en la
solución de problemas matemáticos, por ejemplo durante un examen, se establece
una colaboración intelectual, con el propósito de que las funciones cognitivas sean
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distribuidas entre el estudiante y la herramienta. Los objetivos básicos son liberar al
estudiante de las distracciones de las funciones cognitivas de más bajo nivel, por
ejemplo cálculos voluminosos o repetitivos, largas manipulaciones algebraicas, etc.
y mostrar que la herramienta es usada de manera consciente que el beneficio de la
sociedad es, probablemente, mejorar el desempeño intelectual.
 Efectos de la tecnología.
Se refieren a aquellos efectos, positivos o negativos, que persisten sin la tecnología
en mano, después de un período de haberla usado. En el caso positivo hay
adquisición de nuevos conocimientos o habilidades y se logra una
conceptualización. En este caso se plantea que la herramienta posee no solamente
un valor práctico, sino, además, un valor epistémico. Los efectos negativos pueden
aparecer, por ejemplo, cuando se genera una dependencia excesiva con la
herramienta, perdiéndose habilidades que son consideradas indispensables. Otra
vez, no hay consenso sobre las habilidades que deben ser consideradas
indispensables y no pueden ser sustituidos por otras relacionadas con la tecnología.
 Efectos a través de la tecnología.
Los autores Salomón, G. y Perkins, D. emplean este concepto cuando su influencia
es radicalmente transformadora, o sea, cuando la tecnología, fundamentalmente,
reestructura y reorganiza su dominio de la acción. Las herramientas
computacionales, han modificado y continúan modificando radicalmente el trabajo
matemático. Las Matemáticas Experimentales en sí mismas, surgen de los "Efectos
a través de la tecnología".
Queda por estudiar cuáles de las habilidades generales matemáticas: Interpretar, Identificar,
Recodificar, Calcular, Algoritmizar, Graficar, Definir, Demostrar, Modelar, Comparar,
Resolver, Optimizar y Controlar, desarrolladas con el uso de tecnologías producen efectos
cognitivos como los definidos anteriormente.
Conclusiones.
Para ello es importante la identificación de las habilidades que deben poseer los alumnos de
los primeros años de las carreras de ingeniería para resolver problemas que requieren de la
Matemática, utilizando herramientas tecnológicas, la clasificación de estas habilidades en
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Se considera que investigaciones de este tipo serán beneficiosas tanto desde el punto de
vista de la Didáctica como por el hecho de que como resultado de la misma se obtendrá un
currículo de Matemática, diseñado con el uso explícito de herramientas tecnológicas
específicas, de manera que, en su tránsito por las asignaturas de Matemática, los estudiantes
desarrollen las habilidades necesarias para aprovechar las potencialidades de estas
herramientas.
207
Las TIC pueden llegar a transformar la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, pero
las computadoras por sí solas no transformarán este proceso. Los maestros y profesores
juegan el papel decisivo en esta transformación. La clave está en la investigación profunda
en estos temas: la Didáctica de la Matemática cuando se utilizan las nuevas tecnologías y el
diseño de currículos de Matemática con el uso explícito de las tecnologías.
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cuatro dimensiones: conceptuales, traductoras, operativas y heurísticas y metacognitivas, la
determinación de indicadores para el diseño de los instrumentos que medirán el desarrollo
de estas habilidades en los estudiantes. Y, por último, la determinación de cuáles de las
habilidades generales matemáticas, desarrolladas con el uso de tecnologías producen
efectos cognitivos radicalmente transformadores, que reestructuren y reorganicen el
dominio de la acción (efectos a través de la tecnología)
REFERENCIAS
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del ISPEJ Varona.
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conocimiento matemático. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 11, 108111. México: Grupo Editorial Iberoamericana.
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matemático de la enseñanza superior por el uso de las Tecnologías de la información y
las Comunicaciones. PRIMER CONGRESO VIRTUAL DE APRENDIZAJE CON
TECNOLOGÍA, Facultad Agroforestal del Centro Universitario de Guantánamo. Cuba.
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19. Zilberstein, J. (2006). Principios Didácticos en un Proceso de Enseñanza-Aprendizaje
que Instruya y Eduque. En Colectivo de Autores. Preparación Pedagógica Integral
para Profesores Integrales (pp. 19-31), La Habana: Editorial Felix Varela.
VOLTAR
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20. Zilberstein, J. y Portela, R. (2002). Una Concepción Desarrolladora de la Motivación y
el Aprendizaje de las Ciencias. Cuba: Editorial Pueblo y Educación.
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MODELACIÓN MATEMÁTICA ESCOLAR. ALGUNAS
REFLEXIONES FRENTE A SU RELACIÓN CON LA CULTURA
Jhony Alexánder Villa-Ochoa
Universidad de Antioquia, Red Colombiana de Modelación en Educación MatemáticaRECOMEM
[email protected]
Varios niveles. Modelación Matemática
RESUMEN
Una revisión a la literatura internacional da cuenta que en la implementación de
modelación matemática en el aula de clase pueden observarse diversas perspectivas y
tendencias. En cualquier caso, tal implementación implica intencionalidades de orden
didáctico, conceptual, formativo, entre otros. Así, la modelación más allá de considerarse
como una herramienta pedagógica, puede también atender a otras funciones propias de la
cultura y la sociedad. Este trabajo presento algunos aportes sobre modelación matemática
desarrollados por miembros de la RECOMEM, en algunos de ellos se observa cómo los
estudiantes al comprometerse con el estudio de los fenómenos, no solo interpretan y
(re)construyen modelos matemáticos, sino que también (re)constituyen sus consideraciones
frente al fenómeno mismo, convirtiéndose en un factor prominente hacia la transformación
de algunos aspectos de la “cultura”.
Palabras clave: Modelación matemática, tendencias y aproximaciones, cultura
PÁGINA
210
1. Algunas tendencias y aproximaciones a la modelación matemática en el aula de
clase
En los últimos años ha habido un creciente interés en los trabajos relacionados con
aplicaciones y modelación matemática en Educación Matemática; de esa forma ha llegado a
consolidarse como un productivo campo de investigación al interior de esta disciplina
científica. La diversidad de trabajos en este campo muestran que no existe una comprensión
homogénea sobre los modelos y la modelación matemática, asimismo como sus
implicaciones en el aula de clase (Kaiser y Sriramam, 2006). En su artículo, Kaiser y
Sriraman (2006) presentan una clasificación de los trabajos atendiendo a criterios de tipo
epistemológico y relativos a perspectivas al interior de la Educación Matemática.
Desde otras miradas, la modelación matemática puede concebirse de distintas maneras,
entre ellas: como una estrategia de los seres humanos para la explicación y producción del
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conocimiento, y también para el aprendizaje (D' Ambrosio, 2009); como una herramienta
didáctica (Biembengut y Hein, 2004), como una competencia y una herramienta para
desarrollar competencias matemáticas (Zöttl, Ufer, y Reiss, 2011), como un herramienta
para posicionarse de manera crítica frente a las demandas sociales y democráticas
(Skovsmose, 1999), entre otros. En varias de estas consideraciones la implementación de
procesos de modelación matemática en las aulas de clase puede defenderse por las diversas
implicaciones que tiene para el aprendizaje, la motivación y las actitudes hacia las
matemáticas. De manera particular, Blum y Borromeo-Ferri (2009) señalan que a través de
la modelación los estudiantes pueden comprender mejor los contextos en los cuales se
desenvuelven; se apoya el aprendizaje de las matemáticas (motivación, la compresión, entre
otros) y se promueve el desarrollo de algunas competencias, actitudes y visiones adecuadas
hacia las matemáticas.
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Sea cual sea la aproximación que se adopte de la modelación matemática, lo cierto es que
cada vez más se pone de relieve la necesidad de relacionar las matemáticas escolares con
otros contextos, fenómenos o situaciones de la cotidianidad, la sociedad o la cultura; en
parte, porque es por medio del estudio de estos contextos como se aportan elementos para
alcanzar los diferentes fines que se le han atribuido a la Educación Matemática, en
particular, aquellos que tienen que ver con la difusión de valores democráticos y de
integración social, la realización y ejercicio de la crítica y el esfuerzo por la acción
comunicativa son también elementos clave a tener en cuenta en la planificación y desarrollo
de las matemáticas escolares (Rico, 1997). Con base en estas ideas, existen diferentes
académicos interesados en aportar elementos frente a la relación de la modelación
matemática con la cultura; en el siguiente apartado menciono algunos aspectos observados
211
Con respecto al énfasis que se puede otorgar a la identificación y delimitación de los
contextos, tópicos, o fenómenos que se desean modelar, también se pueden reconocer, al
menos, dos tendencias, las cuales dependen del papel activo que ejerza el profesor o los
estudiantes en tal elección. El primero de ellos pone el papel protagónico en los estudiantes,
quienes de acuerdo con sus necesidades e intereses identifican los contextos, fenómenos o
situaciones sobre los cuales se realiza el proceso de modelación; una muestra de estos
trabajos puede encontrarse en Aravena, Caamaño, y Giménez (2008), Borba, Meneghetti, y
Hermini, (1997) o Borba y Villarreal (2005). En una segunda aproximación, el papel
protagónico está en el profesor, quien de acuerdo con su conocimientos, los contenidos
temáticos y su realidad institucional, elige tales contextos o fenómenos; sobre este énfasis
pueden encontrarse trabajos que se enfocan en el estudio de un fenómeno amplio y
complejo (Villa-Ochoa, 2007; Villa-Ochoa y Jaramillo, 2011; Biembengut y Hein, 2004).
En este mismo sentido, se reconoce en la literatura otras aproximaciones, entre ellas los
denominados problemas de relatos o problemas de palabras (word problems) algunos de los
trabajos que cuestionan, y proponen nuevos desarrollos en esta aproximación se encuentran
en Bonotto (2007, 2009); Verschaffel, Van Dooren, Greer, y Mukhopadhyay (2010),
Gerofsky (2010), Murata y Kattubadi (2012).
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en los trabajos de investigación de la Red Colombiana de Modelación en Educación
Matemática-RECOMEM.
2. La modelación matemática y la Cultura. Algunas discusiones desde la
RECOMEM
De manera general, puede considerarse que en cualquiera de las aproximaciones a la
modelación matemática escolar mencionadas en el apartado anterior, su incorporación
atiende a intencionalidades del orden didáctico, conceptual, formativo, entre otros. Ante la
diversidad aproximaciones y énfasis, existe al interior de la Red Colombiana de
Modelación en Educación Matemática, un equipo de trabajo interesado en indagar por este
proceso en relación con los contextos desde los cuales tiene su génesis y sus aportes a la
comprensión y transformación de los contextos de los cuales pueden emerger. En ese
sentido, en el seno de la RECOMEM hemos considerado al proceso de modelación
matemática escolar como:
[…] el estudio de fenómenos o situaciones que pueden surgir tanto desde los
contextos cotidianos, sociales y culturales de los estudiantes como de otras ciencias
o disciplinas académicas. Dicho proceso de estudio involucra el uso y/o la
construcción de modelos y de otras herramientas matemáticas con las cuales puede
ofrecerse una compresión del fenómeno y/o resolver el problema.
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212
Asumir la modelación como un proceso de estudio de un fenómeno o situación a través de
la matemática, no solo delimita el campo de acción y demarca algunas discusiones de tipo
filosófico (esencialmente aquellas relacionadas transición de mundo real, extramatemático, naturaleza de las prácticas de producción, etc.), sino que, principalmente,
asigna a tales fenómenos y situaciones un papel constitutivo en el actividad modeladora. Es
así como discutimos que la modelación, más allá de convertirse en un pre-texto para
enseñar y/o aprender matemáticas, puede atender principalmente a otras funciones que se
revierten en la cultura y no únicamente hacia en los desarrollos matemáticos; de esta
manera vemos la modelación matemática como una actividad desde y para la cultura34.
Algunos vínculos de la modelación matemática con la sociedad y la cultura han sido
reconocidos desde la literatura. De manera particular, Christiansen (1999) retomando los
trabajos de Niss (1990) resalta la importancia de que los individuos sean capaces de
reflexionar críticamente sobre modelos y sus aplicaciones, ya que las matemáticas juegan
34
Entiendo que existen diversas acepciones sobre el término cultura. Para efectos de este documento se
observará como un sistema “complejo” de conocimientos, experiencias, prácticas, creencias, mitos, etc., que
se han consolidado acuerdos, convenciones y/o costumbres en las comunidades. Para una mirada más
profunda sugiero dar una lectura a los trabajos de D’Ambrosio (2005, 2009).
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un papel importante en la formación de los límites a nuestras actividades; así mismo, resalta
el hecho que las matemáticas trabajan en el subsuelo de la cultura y la sociedad.
En coherencia con los elementos anteriormente presentados, se han desarrollado en el seno
de la RECOMEM algunas experiencias que se focalizan en el papel de los contextos
propios de la cultura y la sociedad en la modelación matemática. En este documento retomo
de manera sucinta tres de los últimos trabajos que aportan en este enfoque, a saber:
Londoño y Muñoz (2011), Berrío (2012) y Bustamante (2012). En estos tres trabajos se
desarrollan estudios de casos con el fin de indagar por la manera en que los estudiantes
(re)construyen modelos, amplían sus horizontes conceptuales frente algunos tópicos de las
matemáticas, pero más allá de ellos, profundizan en el (re)conocimiento de algunas
características los contextos involucrados y en algunos casos, logran transformarlos.
2.1 Modelación matemática y el sistema masivo de transporte Metro de Medellín.
Este trabajo se reporta en Londoño y Muñoz (2011) y corresponde a una indagación en la
cual las investigadoras actuaron como profesoras de un grupo de estudiantes de último
grado de Educación Media (15-17 años) quienes, de acuerdo a sus intereses, conformaron
un semillero de investigación e indagaron por algunos aspectos matemáticos que se
involucraban en el sistema de transporte masivo “Metro de Medellín”.
El grupo de estudiantes se comprometió en la determinación de los elementos que pudieran
ofrecer una aproximación a la pregunta ¿Por qué el sistema de Transporte Metro de
Medellín es conveniente o no para ti como un individuo que forma parte activa de la
ciudad de Medellín? A través de diferentes fuentes de información y la triangulación entre
ellas, las investigadoras consiguieron observar cómo un contexto realístico se convierte en
generador de dinámicas grupales de discusión y reflexión a la luz de los significados y
experiencias sociales propias de los participantes y el proceso de modelación.
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Por la edad de los estudiantes, el sistema de transporte masivo en mención había sido un
medio existente durante “toda su vida”; en ese sentido, parecía haberse convertido en un
elemento cotidiano que los estudiantes conocían de manera superficial. El proceso de
modelación como tal, les permitió conocer ciertos antecedentes en su construcción,
financiación, dificultades, tiempos, etc., con lo cual profundizaron en sus sistemas de
conocimientos sobre ese medio de transporte. Fue así como los estudiantes fueron
transformando las ideas que habían construido, desde su experiencia, sobre aquellos
aspectos que reconocen del contexto. Así mismo, en el proceso de apropiación del contexto
se crea en los estudiantes diferentes intereses y cuestionamientos generados por ellos
213
El contexto del Metro de Medellín se convirtió en escenario para que nociones asociadas a
la variación (i.e. variables, funciones y ecuaciones lineales) emergieran con nuevos
significados; pero quizás, uno de los elementos más importantes fue dicho proceso de
modelación enmarcado en un escenario social y cultural, el cual posibilitó que en los
estudiantes surgieran ciertas comprensiones de orden político y crítico sobre el fenómeno.
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mismos, que les exige buscar en el campo de las matemáticas aquello que les ayude a
legitimar sus ideas, soluciones o hipótesis.
En sus conclusiones, Londoño y Muñoz resaltan que el contexto del Metro funciona dentro
del proceso de modelación matemática como un argumento de motivación, de
empoderamiento y de significación para el grupo de estudiantes, pero más allá de ello,
también proporciona una riqueza en cuanto a su contenido cultural y social, generando
mayor interés al vincular sus experiencias de uso con diferentes interrogantes y necesidades
a resolver.
Los contextos de modelación permitieron conocer el contexto más a fondo y con mayor
complejidad. En coherencia con esta idea, el modo de relación de los sujetos con una
“realidad” no estática, tiene que ver con un proceso de construcción humana que se
materializa en actividades concretas de aula, en las cuales se reflexiona intencionalmente
sobre lo problemático de una realidad particular. Asimismo, se resalta que las situaciones
en “contexto real”, bajo una perspectiva de modelación matemática en el aula, requieren
que estén al alcance de la visión del mundo construida hasta ese momento de los
estudiantes. Es decir, que haga parte de su forma de vida, para que de este modo les permita
comprenderla, transformarla y ampliarla.
2.2 Hacia la construcción de modelos matemáticos pre-algebraicos
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214
Preguntarse por la manera en que los estudiantes de grado sexto (11-13 años) se aproximan
a la construcción de modelos algebraicos en los cuales intervienen relaciones aditivas y
multiplicativas, fue el motor para que Bustamante (2012) desarrollara su estudio; para ello,
este investigador reconoció en los fenómenos de variación un espacio propicio para que las
“letras” (símbolos algebraicos) emergieran como variables y las expresiones producidas
pudieran tener un significado funcional.
Para el autor, su estudio surge como una manera de atender a algunas de las dificultades
que se observan la producción significativa de los “símbolos algebraicos” inmersos en
algunas ecuaciones lineales; por tal razón, en un primer momento el investigador se
involucró en el reconocimiento de los contextos, en los cuales las operaciones entre
cantidades de magnitud podrían percibirse. En esta parte del estudio, los hallazgos
mostraron que los estudiantes hacen un excesivo uso de problemas de palabras
estereotipados (realidades inventadas, caducadas, falseadas, etc., Alsina, 2007) como una
manera de ejemplificar los usos cotidianos de las operaciones.
Con base en estos resultados el autor se compromete con sus estudiantes en la
identificación de cantidades de magnitud propias de la cultura del estudiante (problemas de
consumo, almacenes, transportes, etc.) y a través del estudio del comportamiento de tales
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cantidades, los estudiantes consiguieron identificar variables e invariantes con los cuales
hicieron “proposiciones generales” incursionando en un razonamiento algebraico (Blanton
y Kaput, 2011). Durante este proceso de razonamiento, Bustamante muestra que los
estudiantes fueron construyendo representaciones icónicas, verbales, diagramas, como una
manera de representar las relaciones entre cantidades. Además, con las discusiones entre los
estudiantes y de éstos con el profesor, nuevas representaciones matemáticas más refinadas
se fueron produciendo. Uno de los aportes más significativos del trabajo de este
investigador radica en la manera no lineal en que las expresiones algebraicas (lineales)
fueron surgiendo como una manera de representar algunos aspectos de sus contextos. Al
observar cada una de las producciones de los estudiantes y la manera en que las
representaciones se van refinando, el autor observa la modelación como un proceso de
transición, no rígida ni lineal, desde unos modelos matemáticos iniciales hacia modelos
matemáticos algebraicos los cuales son, convencionalmente, más aceptados. Para el autor,
tanto los modelos matemáticos iniciales como los algebraicos podrían dar cuenta de algunas
de las necesidades que prorrumpían de la situación; pero, que en la medida en que se
profundizaba en la comprensión del fenómeno de variación, los modelos algebraicos iban
adquiriendo mayor significado.
2.3 Modelos y modelación en el contexto del cultivo de café
El estudio de Berrío (2012) se desarrolló con un conjunto de estudiantes de una institución
educativa rural. Los estudiantes motivados encontrar las matemáticas más allá de sus aulas
de clase se comprometieron, con la ayuda del profesor, a observar algunas relaciones
matemáticas que intervienen en el cultivo de café.
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En un segundo momento en el estudio de este investigador, los estudiantes (re)construyeron
algunos de los modelos usados para las siembras de café en los terrenos montañosos. De
otro modo, usaron apoyo de un software dinámico para estudiar las características de los
métodos de siembra del café, y a través de áreas sombreadas de formas circulares,
establecieron algunas conjeturas y propuestas para optimizar la siembra.
215
En un primer momento, los estudiantes se involucraron en la discusión sobre la influencia
que podría tener la inclinación de un terreno (montañoso) en la cantidad de de árboles que
se pueden sembrar. Las discusiones de los estudiantes dieron cuenta de que existía en ellos
ciertas apreciaciones sobre las áreas en las cuales se consideraba que a “mayor área
corresponde mayor cantidad de árboles” (independiente de la inclinación). El trabajo de
experimentación, consulta bibliográfica, discusión con otros estudiantes y confrontación
con el profesor y personal técnico expertos en temas agrícolas, los estudiantes consiguieron
desarrollar otras ideas frente la cantidad de árboles en un terreno, en dependencia del su
área y su pendiente. Algunas ideas de la geometría euclidiana fueron “movilizadas” y otras
características de las proyecciones ortogonales emergieron en el estudio.
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En su estudio, Berrío (2012) observa cómo los estudiantes al comprometerse con el estudio
de los fenómenos, no solo interpretan y (re)construyen modelos matemáticos, sino que
también (re)constituyen sus consideraciones frente al fenómeno mismo, convirtiéndose en
un factor prominente hacia la “transformación” de algunos aspectos de la “micro-cultura”.
En palabras de D’Ambrosio (2005), la cultura está relación con los sistemas de
explicaciones, las filosofías, las teorías y las acciones cotidianas y de conducta que crea las
comunidades frente a las situaciones contextuales. De esta manera esas explicaciones que
las comunidades dan a su contexto, se transfiere a través del tiempo. En este caso, se
observó que la idea de que un terreno inclinado por tener mayor área tendría mayor
capacidad de árboles, había sido transferida a los estudiantes por efectos de las creencias de
los miembros de la comunidad.
Para Berrío, el lenguaje, las explicaciones y las creencias bajo las cuales se fundamenta la
cultura de determinados comunidades pueden variar; de esta manera, en la investigación el
autor evidenció dos situaciones. La primera se refiere a la “creencia inicial” sobre la
medición de la tierra bajo criterios de la aparente mayor cantidad de tierra y, la segunda, a
la divergencia que existe entre el lenguaje y sistemas de conocimiento que utiliza las
organizaciones especializadas técnicamente en campo (para el caso, la Federación
Colombiana de Caficultores) para referirse a la inclinación y el utilizado en la geometría
proyectiva.
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216
En su trabajo, Berrío retoma los planteamientos de Villa-Ochoa y Jaramillo (2011) para
observar la “realidad” (en su dimensión objetiva y subjetiva) como una componente
cercana a los contextos socioculturales de los estudiantes. Desde esta mirada, el estudio del
contexto del cultivo de café permitió que los estudiantes exploraran, percibieran y eligieran
la situación a modelar, de tal manera que sus experiencias, su “realidad”, se convirtiera en
objeto de estudio a través de las matemáticas. Aunque este investigador no discute la
noción de realidad desde sus fundamentos filosóficos ni epistemológicos, si usa esta noción
de manera general para asegurar que mediante la modelación matemática los estudiantes
ampliaron su sistema de conocimientos sobre el contexto, establecieron con mayor
profundidad algunas características de los aspectos que influenciaba en él, reformularon
algunas miradas sobre el fenómeno, en otras palabras transformaron su “realidad”
3. Consideraciones finales
En la primera parte de este documento describí, de manera suscita, algunas maneras sobre
cómo la modelación puede implementarse en el aula de clase, y que tales maneras traen
consigo una serie de propósitos para los cuales la literatura muestra la modelación
matemática como una vía para tender a tales “ideales”. Posteriormente señalé que uno de
los fines de la formación en matemáticas está en relación con las funciones sociales de las
matemáticas y, en ese sentido, señalé que algunos miembros de la Red Colombiana de
Modelación en Educación Matemática se han dado a la tarea de indagar por algunos de los
elementos que a través de la modelación matemática, se pueden aportar a tales fines
sociales.
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Asumir la cultura como un elemento vertebral en los trabajos de modelación matemática
escolar ha implicado por parte del equipo, discutir sobre los elementos que la caracterizan.
En ese sentido, hemos encontrado en los trabajos de D’Ambrosio (2005, 2009) algunos
elementos que permiten ampliar nuestra idea sobre la cultura.
En sus trabajos D’Ambrosio (2009) vincula la cultura con sus sistema de conocimientos.
Para este investigador, el conocimiento individual es discutido y analizado desde su
compatibilidad, hasta llegar a un conocimiento socialmente compartido. En ese sentido,
D’Ambrosio considera que la cultura de un grupo está definida por las interrelaciones entre
un conocimiento compartido, un comportamiento compatible, y el sistema acordado de
valores. El conocimiento compartido por el grupo se organiza socialmente, convirtiéndose
así en un cuerpo de conocimientos, que es una respuesta a las necesidades y la voluntad
de los individuos del mismo.
El camino investigativo de algunos de los miembros de la RECOMEM está orientado por
nuevos retos en la relación matemáticas y cultura a través de la modelación. Muchas nuevas
preguntas emergen en términos de las organizaciones curriculares, naturaleza de los objetos
y situaciones, características de los contextos, y propósitos de la modelación que deben
tenerse en cuenta para atender a estas necesidades.
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APRENDIZAGEM E MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Jussara de Loiola Araújo
Universidade Federal de Minas Gerais, Brasil
[email protected]; [email protected]
RESUMO
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Modelagem na educação matemática pode ser entendida como a proposição aos alunos da
resolução de problemas emergentes de situações reais, utilizando o conteúdo matemático
que eles já sabem ou que se deseja que venham a aprender. Muito se tem falado da
potencialidade da modelagem em proporcionar a “aprendizagem” dos alunos. Entretanto,
nem sempre está claro como tal “aprendizagem” é compreendida. Mais que uma escolha
aleatória de formas de compreender “aprendizagem” e “modelagem”, é necessário que as
escolhas sejam compatíveis do ponto de vista teórico-metodológico. Neste trabalho,
buscarei analisar a harmonia entre uma concepção de modelagem na educação matemática
e uma concepção de aprendizagem.
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PROFESSORES E FUTUROS PROFESSORES DE MATEMÁTICA EM
CENÁRIOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA: TENSÕES E
DESAFIOS
Mónica E. Villarreal
Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET)
Facultad de Matemática, Astronomía y Física - Universidad Nacional de Córdoba
Argentina
RESUMO
O desenvolvimento de atividades de modelagem matemática aparece mencionado como
recomendação em documentos curriculares nacionais, em particular da Argentina.
Entretanto, os modos de entender tais recomendações podem ser variados e na montagem
de cenários de modelagem ativa na escola surgem tensões e desafios para os professores.
Neste painel vou me referir a algumas dessas tensões e desafios a partir da pesquisa que
estamos desenvolvendo, que focaliza o desenvolvimento profissional de professores em
cenários de modelagem. Experiências desenvolvidas tanto com estudantes da graduação,
futuros professores de matemática, como com professores que implementaram projetos de
modelagem em suas aulas, serão apresentadas e analisadas.
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El desarrollo de actividades de modelización matemática aparece mencionado como
recomendación en documentos curriculares nacionales, en particular de Argentina.
Entretanto, los modos de entender tales recomendaciones pueden ser variados y en el
montaje de escenarios de modelización activa en la escuela surgen tensiones y desafíos para
los profesores. En este panel voy a referirme a algunas de esas tensiones y desafíos a partir
de la investigación que estamos desarrollando, que se focaliza en el desarrollo profesional
de profesores en escenarios de modelización. Experiencias desarrolladas tanto con
estudiantes de graduación, futuros profesores de matemática, como con profesores que
implementaron proyectos de modelización en sus aulas, serán presentadas y analizadas.
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RESUMEN