Instituto Politécnico de Viseu
Escola Superior de Tecnologia
Álgebra Linear e Geometria Analı́tica
Departamento: Matemática
Ano: 1o
Curso: Engenharia Electrotécnica
Semestre: 1o
Ano Lectivo: 2007/2008
Ficha Prática no 11 - Valores e Vectores Próprios
1. Determine os valores próprios e os vectores próprios das seguintes matrizes:
4 −5
2 1
0 1
1 1
(a)
; (b)
; (c)
; (d)
.
2 −3
−1 0
1 0
0 1
2. Para cada uma das seguintes matrizes, calcule os valores próprios e os respectivos espaços próprios
(indicando uma base para os espaços próprios):








1 −1
0
3 2 4
−3 1 −1
2 1 1
2 −1  ; (b)  2 0 2  ; (c)  −7 5 −1  ; (d)  2 3 2  .
(a)  −1
0 −1
1
4 2 3
−6 6 −2
3 3 4
3. Mostre que uma matriz é singular se e só se 0 for valor próprio dela.
4. (a) Prove que matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios.
2 0
2 1
(b) Verifique que as matrizes
e
têm os mesmos valores próprios mas não são
0 2
0 2
semelhantes.


3
0 0
5. (a) Determine os valores e os vectores próprios da matriz  0 −1 0  .
0
0 2
(b) Generalize para uma matriz diagonal qualquer.
6. Quais são os valores próprios de uma matriz triangular?
7. Determine

4 1

(a) 0 3
0 0
os vectores próprios


0
α 1


1 ; (c)
0 α
2
0 0
das seguintes matrizes:

0
1  (estude os casos α = β e α 6= β).
β
8. Dê exemplos que mostrem que os valores próprios de uma matriz podem mudar
(a) quando se subtrai de uma linha um múltiplo de outra linha;
(b) quando se trocam duas linhas.
Observação: Note-se que deste exercı́cio concluı́mos que para calcular os valores próprios de uma
matriz não se pode aplicar o método de eliminação à matriz.
9. Comparando os respectivos polinómios caracterı́sticos, prove que A e At têm os mesmos valores
próprios.
10. Suponhamos que A tem os valores próprios µ1 , . . . , µn . Prove que, então, µ21 , . . . , µ2n são valores
próprios de A2 e que qualquer vector próprio de A é também vector próprio de A2 . Generalize para
qualquer potência de A.
11. Para cada uma das matrizes dos exs. 1 e 2 diga se é ou não diagonalizável, e em caso afirmativo
determine uma matriz diagonalizante.
12. Uma matriz real 2x2 A tem
próprios 3 e 5, e a eles estão associados, respectivamente, os
valores
1
2
vectores próprios
e
. Prove que A é simétrica.
2
−1


1 1 1
13. Considere a matriz  1 1 1  .
1 1 1
(a) Determine os valores próprios de A.
(b) Determine um vector próprio de A, associado ao valor próprio 0, que tenha norma 1.
(c) Diga se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, indique duas matrizes diagonalizantes diferentes.
9
3 4
.
14. Calcule
5 2
7 −4
15. Considere a matriz A =
.
9 −5
(a) Calcule os valores próprios de A.
(b) Sem calcular os vectores próprios de A, mostre que A não é diagonalizável.
Instituto Politécnico de Viseu
Álgebra Linear e Geometria Analı́tica
Departamento: Matemática
Curso: Engenharia Electrotécnica
Escola Superior de Tecnologia
Ano: 1o
Semestre: 1o
Ano Lectivo: 2007/2008
Soluções da Ficha Prática no 11 - Valores e Vectores Próprios
1.a)
λ = 2 e E(2) = (x1 , x2 ) ∈ IR2 : (x1 , x2 ) = ( 52 , 1)x2 , x2 IR ;
λ = −1 e E(−1) = {(x1 , x2 ) ∈ IR2 : (x1 , x2 ) = (1, 1)x2 , x2 IR} .
1.b) λ = 1 com ma (1) = 2 e E(1) = {(x1 , x2 ) ∈ IR2 : (x1 , x2 ) = (−1, 1)x2 , x2 IR} .
1.c)
λ = 1 e E(1) = {(x1 , x2 ) ∈ IR2 : (x1 , x2 ) = (1, 1)x2 , x2 IR} ;
λ = −1 e E(−1) = {(x1 , x2 ) ∈ IR2 : (x1 , x2 ) = (−1, 1)x2 , x2 IR} .
1.d) λ = 1 com ma (1) = 2 e E(1) = {(x1 , x2 ) ∈ IR2 : (x1 , x2 ) = (1, 0)x2 , x2 IR}.
2.a)
λ = 0 e E(0) = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : (x1 , x2 , x3 ) = (1, 1, 1)x2 , x2 IR} ;
λ = 1 e E(1) = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : (x1 , x2 , x3 ) = (−1, 0, 1)x3 , x3 IR} ;
λ = 3 e E(3) = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : (x1 , x2 , x3 ) = (1, −2, 1)x1 , x1 IR} .
2.b)
λ = −1 com
ma (−1) = 2 e3
E(−1) = (x1 , x2 , x3 ) ∈ IR : (x1 , x2 , x3 ) = (− 21 , 1, 0)x2 + (− 21 , 0, 1)x3 , x2 , x3 IR ;
λ = 8 e E(8) = (x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : (x1 , x2 , x3 ) = (1, 21 , 1)x3 , x3 IR .
2.c)
3
λ = −2 com ma (−2)
: (x1 , x2 , x3 ) =(1, 1, 0)x2 , x2 IR} ;
= 2 e E(−2) 3= {(x1 , x2 , x3 ) ∈ IR
1
λ = 4 e E(4) = (x1 , x2 , x3 ) ∈ IR : (x1 , x2 , x3 ) = ( 7 , 1, 0)x2 , x2 IR .
2.d)
λ = 1 com ma (1) = 2 e
E(1) = {(x1 , x2 , x3) ∈ IR3 : (x1 , x2 , x3 ) = (−1, 1, 0)x2 + (−1, 0, 1)x3 , x2 ,x3 IR} ;
λ = 7 e E(7) = (x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : (x1 , x2 , x3 ) = ( 31 , 23 , 1)x3 , x3 IR .
4.b) λ = 2 de multiplicidade algébrica 2.
5.a)
λ = 3 e E(3) = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : (x1 , x2 , x3 ) = (1, 0, 0)x1 , x1 IR} ;
λ = −1 e E(−1) = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : (x1 , x2 , x3 ) = (0, 1, 0)x2 , x2 IR} ;
λ = 2 e E(2) = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : (x1 , x2 , x3 ) = (0, 0, 1)x3 , x3 IR} .




5.b) 



α1
0
···
0
···
0
0
0
α2 0
··· ···
0
0
··· ···
0
0
··· 0
··· 0
··· ···
· · · αi
··· ···
··· 0

··· 0
··· 0 

··· ··· 
, α1, α2 , · · · , αn são os valores próprios e
··· 0 

··· ··· 
· · · αn
E(αi ) = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ IRn : (x1 , x2 , . . . , xn ) = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)xi , xi IR}
↑
posição i
6. Os elementos da diagonal principal.
7.a)
λ=4
λ=3
λ=2
e E(4) = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : (x1 , x2 , x3 ) = (1, 0, 0)x1 , x1 IR} ;
3
e E(3) = {(x
1, 0)x2 , x2 IR};
1 , x2 , x3 ) ∈ IR 3 : (x1 , x2 , x3 ) = (−1,
e E(2) = (x1 , x2 , x3 ) ∈ IR : (x1 , x2 , x3 ) = ( 21 , −1, 1)x3 , x3 IR .
7.b)
α 6= β =
6 0
λ = α com ma (α) = 2 e E(α) = n
{(x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : (x1 , x2 , x3 ) = (1, 0, 0)x1 , x1 IR} ;
3
λ = β com ma (β) = 1 e E(β) = (x1 , x2 , x3 ) ∈ IR : (x1 , x2 , x3 ) =
1
1
( (α−β)
2 , − α−β , 1)x3 ,
α=β
λ = α com ma (α) = 3 e E(α) = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : (x1 , x2 , x3 ) = (1, 0, 0)x1 , x1 IR}
11.
1.a) Diagonalizável.
2 0
D=
0 −1
e S=
5
2
1
1 1
1.b) Não é diagonalizável.
1.c) Diagonalizável.
1 0
1 −1
D=
e S=
0 −1
1 1
1.d) Não é diagonalizável.
2.a) Diagonalizável.


0 0 0
D= 0 1 0 
0 0 3
2.b) Diagonalizável.


1 −1 1
e S =  1 0 −2 
1 1
1
o
x3 IR ;


−1 0 0
D =  0 −1 0 
0
0 8

− 12 − 12 1
0 12 
e S= 1
0
1 1

2.c) Não é diagonalizável.
2.d) Diagonalizável.


1 0 0
D= 0 1 0 
0 0 7

−1 −1 12
0 23 
e S= 1
0
1 1

13.a) λ = 0 de multiplicidade algébrica 2;
λ = 3 de multiplicidade algébrica 1.
13.b) v = (−1, 1, 0) √ √
v
= (− 22 , 22 , 0)
u = kvk
13.c) A é diagonalizável



0 0 0
−1 −1
−1



1
0
A = SDS com D = 0 0 0 e S =
0 0 2
0
1
4
−2 0
−5 1
9
9 −1
14. A = SD S
com D =
e S=
0 7
1 1
15. λ = 1 de multiplicidade algébrica 2.



1
−1 −1 1
1  ou S =  0
1 1 
1
1
0 1