X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
APLICAÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL ÀS CIÊNCIAS NATURAIS E
HUMANAS: EXERCÍCIOS DE REFLEXÃO E CURIOSIDADES
Pedro Carlos Elias Ribeiro Junior
Faculdades de Ciências Integradas do Pontal - UFU
[email protected]
Tânia Maria Machado de Carvalho
Faculdades de Ciências Integradas do Pontal - UFU
[email protected]
Daniel Cariello
Faculdades de Ciências Integradas do Pontal - UFU
[email protected]
Resumo: Existe um consenso de que se o assunto é matemática, constata-se que há um
grande fracasso no desempenho dos alunos, tanto do ensino fundamental quanto do ensino
médio. Este fracasso pode estar intimamente ligado à maneira como os conceitos
matemáticos são desenvolvidos em sala de aula. Desta forma, os alunos chegam às
universidades com enormes deficiências nos conhecimentos prévios em raciocínio lógico,
no traçado e análise de gráficos e nos conteúdos algébricos em geral. Estas deficiências
têm grande reflexo no ensino de Cálculo Diferencial, disciplina que dá sustentação à
maioria dos cursos da área de Ciências Exatas. Na tentativa de oferecer ao aluno
ingressante na universidade um melhor entendimento desta disciplina, preparou-se um
projeto com o intuito de elaborar listas diferenciadas, que contenham exercícios que
despertem o interesse, e tragam problemas que propiciem, não apenas o entendimento e a
fixação dos conceitos de limite, continuidade e derivada, mas também, estimulem o
desenvolvimento do raciocínio e criem condições ao discente de interpretar
geometricamente os resultados obtidos e de relacionar conceitos interdisciplinares,
envolvendo questões originadas nos cursos de Administração, Biologia, Ciências
Contábeis, Física, Matemática e Química.
Palavras-chave: Ensino da matemática; Cálculo Diferencial; Aprimoramento do ensino de
Cálculo.
INTRODUÇÃO
A sociedade atual, que prima pela tecnologia, por um ambiente de grande
produtividade e pela qualidade na execução de tarefas, exige do profissional uma formação
e um perfil que inclui flexibilidade funcional, criatividade, capacidade de trabalhar em
equipe, autonomia intelectual, habilidade de articular conceitos teóricos e práticos, etc.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
1
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Desse modo, é necessário que a formação inicial do profissional esteja de acordo com o
cenário contemporâneo e seja a mola propulsora para uma crescente e ininterrupta busca
por novos conhecimentos.
Neste âmbito, está inserida a universidade como instituição que garante a formação
inicial e da qual se espera que, respaldada por uma tecnologia à luz da ciência, forme
profissionais aptos a atender as necessidades do mercado de trabalho. Então, em todos os
aspectos, a universidade precisa estar preparada para proporcionar formação técnica de
qualidade.
Cabe, neste momento, fazer uma breve análise acerca dos atributos acadêmicos dos
alunos que ingressam na universidade, antes do que é interessante fazer algumas
observações em relação ao ensino da matemática nos ciclos fundamental e médio.
Tem-se observado um número crescente de alunos que demonstram total falta de
interesse pelas aulas e pelos assuntos desenvolvidos em sala. Tal apatia mediante o estudo
das ciências e dos conteúdos abordados na escola evidencia um comportamento que gera
incômodo na comunidade de educadores e ao qual se deve dar especial atenção, pois as
razões que conduzem ao fracasso no desempenho das atividades escolares são muitas e
oriundas dos mais diversos setores da vida do aluno. Uma das causas desse desinteresse
está ligada à falta de perspectiva profissional e também à maneira como os conceitos
acadêmicos estão sendo desenvolvidos na sala de aula: geralmente de forma totalmente
dissociada da prática cotidiana do aluno, e também não estabelece uma conexão entre o
que é ensinado e a realidade das profissões. Em um de seus trabalhos, a pesquisadora Gatti
conduziu entrevistas com professores, questionando-os acerca dos altos índices de
reprovação. Gatti (1996) descreve:
Solicitou-se, então, às professoras que assinalassem três razões que
julgassem mais importantes para explicar esta repetência. As mais
assinaladas foram a falta de interesse dos alunos (61%)...(Gatti,1996, p.
87)
Os órgãos governamentais, tendo como instrumento deliberativo o Ministério da
Educação e Cultura, acenam na direção de que o aluno do ensino fundamental e médio
adquira habilidade de desenvolver, de maneira lógica, um raciocínio científico, utilizando
argumentos, recursos e conceitos apreendidos ao longo de sua formação acadêmica. Com
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
2
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
este mesmo direcionamento, os Parâmetros Curriculares Nacionais são periodicamente,
submetidos a reformas visando atender as exigências contemporâneas na formação dos
estudantes. As questões do Exame Nacional do Ensino Médio destacam uma linha de
pensamento, na qual, para a obtenção da resposta já não considera mais somente a
aplicação de fórmulas, regras, leis e normas como um procedimento eficaz para a obtenção
da resposta.
JUSTIFICATIVA
As deficiências dos alunos que atingem o estágio universitário, provenientes da má
qualidade do ensino fundamental e médio, são percebidas pela falta de conhecimentos
prévios em raciocínio lógico, no traçado e análise de gráficos e no conteúdo algébrico que
eles trazem consigo. Estes estudantes acostumaram-se a um cotidiano escolar em que as
tarefas eram executadas utilizando estratégias equivocadas de estudo, o que promoveu um
déficit significativo na relação entre o ensino e a aprendizagem. De fato, no ensino médio,
estes alunos, em geral, foram condicionados a resolver mecanicamente os exercícios, sem
refletir sobre o significado de cada tópico apresentado. Além disso, em diversos casos, os
conteúdos são apresentados sem as devidas demonstrações, muitas vezes porque o próprio
professor não a entendeu. De acordo com Veloso (1998):
A prática freqüente pelos alunos da argumentação, da justificação das
próprias afirmações e da procura de uma explicação em defesa das
conjecturas que formulam, no decorrer das atividades de investigação,
constitui modos válidos para melhorar o seu discurso matemático e as
formas de exprimir os seus raciocínios. (Veloso,1998, p. 360)
Os conteúdos de Cálculo contêm a maior parte dos conceitos matemáticos que
devem ser assimilados no ciclo inicial dos cursos na área de Ciências Exatas, como, por
exemplo, os conceitos relacionados a limite, continuidade e derivada de uma função de
uma variável real que introduzem o aluno no universo do formalismo e do rigor
matemático. É na disciplina de Cálculo Diferencial que o estudante tem os primeiros
contatos com a linguagem da matemática de nível superior, a generalização de idéias, a
abstração, a utilização de noções de lógica no desenvolvimento dos raciocínios e o
conhecimento dos processos de argumentação e justificação. Portanto, esta disciplina
assume a função de propiciar uma “alfabetização matemática de nível superior”. Logo,
parece ser importante a atenção ao desempenho dos estudantes nesta disciplina.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
3
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Na maioria das instituições brasileiras de ensino superior, os índices de reprovação
nas disciplinas de Cálculo são muito altos, prejudicando o rendimento dos estudantes e
causando atraso no curso universitário. Há uma preocupação mundial com o fracasso em
Cálculo tanto que, na década de 80, iniciou-se um movimento conhecido como “Calculus
Reform”. Segundo Rezende (2003):
Outro exemplo internacional desta inquietação foi o movimento em prol
da reforma do ensino de Cálculo, iniciado na década de 80, e que ficou
conhecido por “Calculus Reform” (ou Cálculo Reformado) [...]. [...]
Segundo seus precursores, o “Calculus Reform” tem como características
básicas: o uso de tecnologia, isto é, software computacional e
calculadoras gráficas, tanto para o aprendizado de conceitos e teoremas
como para a resolução de problemas. (Rezende, 2003, p. 4)
Como também aponta Igliori (2002), os “obstáculos de origem didática” influem na
qualidade da aprendizagem dos conteúdos de Cálculo:
- as concepções que ocasionam obstáculos no ensino da matemática são
raramente espontâneas, mas advindas do ensino e das aprendizagens
anteriores;
- o obstáculo está relacionado a um nó de resistência mais ou menos forte
segundo os alunos, de acordo com o ensino recebido, pois o obstáculo
epistemológico se desmembra freqüentemente em obstáculos de outras
origens, notadamente o didático. (Igliori, 2002, p. 110)
Os livros didáticos editados mais recentemente determinam uma direção
diferenciada no estudo de Cálculo Diferencial e Integral. Como indica Barufi (1999), ao
analisar os livros didáticos de Cálculo Diferencial e Integral, podem ser encontrados livros
de matemática, nos quais os conceitos estão munidos de significado e contextualizados.
Ainda mais, este tipo de literatura utiliza como recurso didático a articulação entre
problemas motivadores e os conceitos teóricos, dados históricos que fundamentaram o
desenvolvimento do conhecimento matemático, figuras e gráficos, para os quais são
solicitados o uso de softwares gráficos.
Falando sobre tecnologia, D’Ambrósio (1999) comenta que “A geração do
conhecimento matemático não pode, portanto ser dissociada da tecnologia disponível”, e
completa afirmando que “Ao longo da evolução da humanidade, matemática e tecnologia
se desenvolveram em íntima associação, numa relação que poderíamos dizer simbiótica.”
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
4
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Dentro da nova cultura informatizada, a tecnologia pode ser um recurso didático
bastante eficaz no processo de aprendizagem, proporcionando um melhor preparo para o
estudante. Os recursos tecnológicos, constantes nas atividades diárias cotidianas dos
alunos, podem cumprir plenamente a missão de transcender o conhecimento matemático
elementar e atender as necessidades dos acadêmicos de uma formação segura, de qualidade
e integrada ao contexto social. Desse modo, a utilização de softwares pode se tornar
ferramenta importante em todas as etapas do processo de aprendizagem, proporcionando
uma análise dos aspectos geométricos envolvidos nos conceitos relacionados ao estudo de
Cálculo.
Nas disciplinas do ciclo inicial do curso superior, ao se lecionar conteúdos de
Cálculo, é comum deparar-se com estudantes que questionam sobre a necessidade de
aprender os conceitos explorados em sala de aula e a aplicação dos mesmos nos estudos
futuros.
Para que o processo de aprendizagem matemática ocorra de maneira eficaz, o
professor deve atingir os níveis de conhecimento do aluno e, partindo daí, edificar um novo
conceito. Dessa forma, a função do professor, que deve ser um mediador neste processo
transitório, é proporcionar meios e condições para que o aluno transponha o conhecimento
matemático anterior, já considerado primário, e atinja um estágio mais amadurecido.
Segundo a pesquisadora Teixeira (2004):
...o professor precisa ter uma metodologia que possibilite mediações
progressivas entre os significados matemáticos e aqueles que o aluno
domina. Em síntese podemos dizer que ensinar é negociar significados.
(Teixeira, 2004, p. 12)
Exercitar, além de ser uma prática necessária, é um dos recursos que o professor
pode utilizar para fixar os conceitos e também propiciar aos alunos caminhos que os
conduzam a uma análise mais profunda do conteúdo. Esta análise requer que o estudante
examine as várias facetas de um conceito e como utilizá-lo para estabelecer uma estratégia
de dedução lógico-formal ao solucionar um dado problema. Desta forma, os exercícios
propostos aos alunos devem, em primeira instância, estar adequados ao grau de
entendimento dos estudantes. Posteriormente, devem ser introduzidas, de maneira
progressiva, tarefas que exijam um grau superior de compreensão.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
5
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Conclui-se então que a construção do conhecimento matemático dentro da sala de
aula não deve permanecer simplesmente como uma construção abstrata e formal, mas sim
buscando sempre articular a teoria e a prática.
Para haver interação entre os conhecimentos científicos e profissionalizantes, o
ensino deve ser direcionado a situações reais, por meio de formulações e discussões de
problemas originados na interação entre os dois saberes. Portanto, é necessária a
valorização de uma postura reflexiva e criativa, tanto do aluno quanto do professor. Essa
postura pode ser estimulada apresentando ao estudante um conjunto de problemas
interessantes inseridos na realidade de seu futuro trabalho ou problemas que tragam
alguma espécie de desafio intelectual.
OBJETIVOS E DESENVOLVIMENTO DO PROJETO
Diante do exposto, tomou-se a iniciativa de desenvolver um projeto de ensino, de
caráter institucional, com o intuito de elaborar listas de exercícios de Cálculo Diferencial
que propiciem não apenas o entendimento e fixação dos conceitos de limite, continuidade e
derivada, mas também, estimulem o desenvolvimento do raciocínio, dando condições ao
discente de interpretar geometricamente os resultados obtidos e relacionar conceitos
interdisciplinares.
Um dos objetivos da elaboração das listas foi aprofundar o entendimento dos
conceitos estudados em Cálculo Diferencial, referentes à prática de regras e técnicas, tais
como: métodos para o cálculo de limite, técnicas de derivação, dentre outras.
Além de soluções puramente algébricas, é importante analisar os aspectos
geométricos envolvidos em cada situação, para isso, estabeleceu-se como um dos objetivos
a interpretação geométrica, não só dos conceitos de limite, continuidade e derivada, mas
também de todas as noções e resultados correlatos.
Tendo em vista que o desenvolvimento da matemática também deve oferecer
metodologias para solução de problemas oriundos de outras ciências, o projeto também
teve como meta estimular nos alunos a aplicação dos conceitos de limite, continuidade e
derivada na solução de questões originadas nos cursos de Administração, Biologia,
Ciências Contábeis, Física, Matemática e Química.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
6
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
A modelagem de um problema envolvendo a variação de uma certa quantidade, na
maioria dos casos resulta em uma função. Relacionar a taxa de variação dessa quantidade
com a derivada da função é um exemplo clássico de contextualização dos conteúdos de
cálculo. Portanto, ressaltar a relação entre a taxa de variação de uma função e a derivada
foi outra característica almejada pelo projeto.
Levando-se em conta que a curiosidade é uma característica do ser humano,
buscou-se apresentar na elaboração das listas, curiosidades e fatos históricos, com a
intenção de instigar nos estudantes a percepção de que certas idéias do Cálculo já foram
exploradas na antiguidade, de forma a salientar que tais idéias podem ser utilizadas para
solucionar problemas contemporâneos.
Com a finalidade de incentivar a reflexão e o trabalho em grupo, foram propostos
mini-projetos e atividades denominadas “discussão em grupo”, em forma de exercícios que
envolvessem Modelagem Matemática e que fossem aplicados aos conteúdos desenvolvidos
em diversos cursos. Para tanto, além dos professores responsáveis, o projeto foi realizado
com o auxílio de dois discentes, um do curso de Química e o outro de Física. Um dos
objetivos ao se introduzir discentes no projeto foi o de verificar quais processos e métodos
lógico-dedutivos seriam adotados pelos estudantes na solução dos problemas propostos e
comparar o ponto de vista do docente em relação ao grau de complexidade e generalidade
de cada exercício com a visão do discente sobre o mesmo.
Para cada um dos tópicos (limite, continuidade e derivada), as tarefas executadas
pelos docentes responsáveis iniciaram-se com a investigação de livros de Cálculo a fim de
selecionar possíveis exercícios, mini-projetos e curiosidades, analisando sua pertinência
aos objetivos do projeto. Durante esta pesquisa, observou-se que alguns textos didáticos
apresentavam exercícios que empregavam elementos do dia-a-dia, proporcionando certa
leveza aos conceitos e à tarefa. Assim, optou-se por incluir este tipo de exercício nas listas
e denominá-los de “diversão”.
Os conceitos de limite, continuidade e derivada exigem a prática de algumas
metodologias técnicas. Este foi um dos pontos de referência empregado na escolha dos
exercícios. Alem disso, priorizou-se tarefas que evocassem a investigação das
características geométricas associadas ao problema, ou relacionassem algum dos conceitos
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
7
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
(limite, continuidade, derivada) às questões originadas nos estudos desenvolvidos em
outros cursos. Em linhas gerais os critérios utilizados para selecionar os exercícios
fundamentaram-se basicamente na verificação da relevância das atividades mediante os
objetivos traçados.
Finalizada a seleção, os docentes reuniram-se para a confecção das listas e, em
seguida, disponibilizaram uma cópia deste arquivo para os discentes envolvidos no projeto
que tiveram um prazo de até quinze dias para solucionar os exercícios.
Durante o processo de resolução dos exercícios, os discentes puderam solicitar a
assistência de um dos docentes, visando sanar suas dificuldades e também apresentar o
trabalho desenvolvido até o momento. Este acompanhamento foi efetivado por meio de
reuniões entre ambas as partes, nas quais coube aos docentes não só a missão de auxiliar os
discentes em relação à suas deficiências, mas também de proceder à correção dos
exercícios já solucionados. Concluída essa etapa, as respostas obtidas foram agregadas ao
corpo do documento contendo os enunciados dos exercícios.
Como atividade final, foi realizada uma reunião entre os docentes envolvidos a fim
de fazer uma retrospectiva, e analisar todas as ações desenvolvidas, observando as
atividades que geraram benefícios e crescimento acadêmico e re-examinando aquelas cujo
resultado não foi o esperado.
O desenvolvimento deste projeto resultou em três listas, cuja disponibilização
eletrônica está em andamento, as quais, além de uma seção dedicada a estudos menos
pretensiosos (diversão) e curiosidades, contêm exercícios de prática e fixação dos
conceitos, tarefas que exigem interpretação geométrica e o uso de softwares gráficos,
atividades que visam estabelecer uma relação entre o resultado obtido algebricamente e o
problema inicial.
A execução das atividades descritas seguiu um cronograma que reservou um mês
para a confecção da lista versando sobre limite, um mês para a lista sobre continuidade e
dois meses para elaboração da lista acerca da derivada.
CONCLUSÃO
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
8
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
De acordo com a proposta do projeto, a relevância deste trabalho decorre da
necessidade
de
haver
uma
interação
entre
os
conhecimentos
científicos
e
profissionalizantes e do entendimento de que o ensino deve ser direcionado a situações
reais. As formulações e discussões de problemas originados nesta interação dão significado
aos conceitos de limite, continuidade e derivada. Propondo exercícios oriundos de
problemas equacionados nos estudos desenvolvidos em Biologia, Administração, Física,
Química, Contabilidade, Economia, entre outros, promove-se uma relação entre o conceito
matemático e a realidade acadêmica do aluno.
Estabelecer um novo contato com os conteúdos da disciplina Cálculo Diferencial e
rever os conteúdos inseridos em diferentes contextos foram alguns dos benefícios obtidos
pelos alunos bolsistas, além da oportunidade de ampliar seus conhecimentos em
matemática. Observou-se, também, que os alunos apresentaram falhas em sua formação,
como a tendência em relegar ao segundo plano as definições e os conceitos, priorizando
procedimentos técnicos, denotando que não foi a postura reflexiva a linha mestra adotada
no desenvolvimento das soluções dos exercícios. Desta forma, mesmo no nível
universitário, a abordagem dos conteúdos pode não estar de acordo com um ambiente em
que se desenvolve ciência e cujo objetivo é proporcionar um crescimento cultural que
conduz à refletir com outra visão o que já foi analisado.
A contribuição dos bolsistas foi valiosa no sentido de servir como parâmetro na
avaliação do grau de dificuldade dos exercícios, auxiliando a detectar um descompasso
existente na relação entre o grau de dificuldade previsto pelos professores na elaboração
das listas de exercícios e o grau de dificuldade encontrado pelos alunos na resolução das
mesmas. Notou-se que o professor tem uma preferência por exercícios mais gerais, amplos
e profundos enquanto que os alunos encontram grandes dificuldades na resolução de
exercícios desta natureza, priorizando exercícios mais básicos. Assim, ficou evidenciada a
necessidade de se desenvolver exercícios que, embora mais complexos, sejam interessantes
a ponto de estimular o aluno a resolvê-los.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
9
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
REFERÊNCIAS
1. BARUFI, M. C. B. A construção/negociação de significados no curso universitário
inicial de cálculo diferencial e integral. 1999. 195 p. Tese (Doutorado) – Faculdade
de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 1999.
2. D’AMBRÓSIO, U. A Influência da Tecnologia no Fazer Matemático ao Longo da
História. VII Seminário Nacional da História da Ciência e da Tecnologia, São
Paulo, 1999. Disponível em:< http://vello.sites.uol.com.br/snhct.htm>. Acessado
em: 13 set. 2009.
3. GATTI, B. A. Os professores e suas identidades: o desvelamento da
heterogeneidade. Cadernos de Pesquisa, São Paulo, n. 98, p. 85-90, 1996.
4. IGLIORI, S. A noção de “obstáculo epistemológico” e a Educação Matemática. In:
Educação Matemática: uma introdução, p. 89-113, EDUC, São Paulo, 2002.
5. REZENDE, W. M. O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica.
2003. 450 p. Tese (Doutorado) – Faculdade de Educação, Universidade de São
Paulo, São Paulo, 2003. Disponível em: <
http://www.professores.uff.br/wmrezende >. Acessado em: 17 nov. 2009.
6. VELOSO, E. Formalização. In: Geometria – Temas Actuais. Instituto de Inovação
Educacional, Lisboa, Portugal, 1998.
7. TEIXEIRA, L. R. M. Dificuldades e erros na Aprendizagem da Matemática. In: VII
Encontro Paulista de Educação Matemática, São Paulo, 2004. Disponível em:<
http://www.sbempaulista.org.br/epem/anais/mesas_redondas/mr14-Leny.doc >.
Acessado em: 20 out. 2009.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
10