Faculdade de Engenharia – NuGeo/Núcleo de Geotecnia
Mecânica dos Solos II
Prof. M. Marangon
COMPRESSIBILIDADE E ADENSAMENTO DOS SOLOS
Unidade 3 - COMPRESSIBILIDADE E ADENSAMENTO DOS SOLOS
3.1 - Introdução
As cargas de uma determinada estrutura são transmitidas ao solo gerando uma
redistribuição dos estados de tensão em cada ponto do maciço (acréscimos de tensão), a
qual irá provocar deformações em maior ou menor intensidade, em toda área nas
proximidades do carregamento, que por sua vez, resultarão em recalques superficiais.
Definem-se então alguns conceitos importantes:
Compressão (ou expansão): É o processo pelo qual uma massa de solo, sob a ação
de cargas, varia de volume mantendo sua forma.
Os processos de compressão podem ocorrer por compactação (redução de volume
devido ao ar contido nos vazios do solo) e pelo adensamento (redução do volume de água
contido nos vazios do solo).
Compressibilidade:
Adensamento:
Relação independente do tempo entre variação de volume e
tensão efetiva. É a propriedade que os solos têm de serem
suscetíveis à compressão.
Processo dependente do tempo de variação de volume do
solo devido à drenagem da água dos poros.
3.2 – Compressibilidade dos solos
O solo é um sistema particulado composto de partículas sólidas e espaços vazios, os
quais podem estar parcialmente ou totalmente preenchidos com água. Os decréscimos de
volume (as deformações) dos solos podem ser atribuídos, de maneira genérica, a três
causas principais:
• Compressão das partículas sólidas;
• Compressão dos espaços vazios do solo, com a conseqüente expulsão da água (no
caso de solo saturado);
• Compressão da água (ou do fluido) existente nos vazios do solo.
Para os níveis de tensões usuais aplicados na engenharia de solos, as deformações
que ocorrem na água e grãos sólidos são desprezadas (pois, são incompressíveis).
Calculam-se, portanto, as deformações volumétricas do solo a partir da variação do índice
de vazios (função da variação das tensões efetivas).
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Em solos saturados, a variação de volume é devida à drenagem da água. Esta
situação é verificada para o caso de ocorrência de argilas sedimentares em que se tem S ≅
100%. Estes solos se formam pelo transporte da água – se formam em regiões baixas –
topografia “plana”, em que o NA é elevado.
No caso de solos de formação não sedimentar – formados no local da rocha de
origem, correspondente a situações de cotas mais elevadas que o primeiro, não tem-se o
NA elevado, conseqüentemente se encontram não saturados.
O fluxo (drenagem) da água no solo é governado pela lei de Darcy → v = k.i ∴ a
variação de volume não é imediata, sendo função da velocidade com que ocorre o fluxo.
A compressibilidade de um solo irá depender do arranjo estrutural das partículas
que o compõe e do grau em que estas são mantidas uma em contato com a outra.
Variação de volume → devido à variação das tensões efetivas
(princípio das tensões efetivas)
No caso do carregamento confinado a deformação volumétrica corresponde a
deformação específica vertical  εV = ∆h  .
h0 

3.3 – Ensaio de compressão confinada (oedométrico)
Dentre os parâmetros de compressibilidade que o engenheiro geotécnico necessita
para a execução de projetos e o estudo do comportamento dos solos, destacam-se a pressão
de pré-adensamento, σ’vm, o índice de compressão, Cc, e o coeficiente de adensamento, cv.
A obtenção desses parâmetros se dá a partir de resultados de ensaios de compressibilidade
do solo.
O estudo de compressibilidade dos solos é normalmente efetuado utilizando-se o
oedômetro, que foi desenvolvido por Terzaghi para o estudo das características de
compressibilidade e da taxa de compressão do solo com o tempo. A Figura 3.1 apresenta o
aspecto do recipiente do aparelho em que é colocada a amostra, utilizado nos ensaio de
compressão confinada.
Figura 3.1 – Oedômetro utilizado nos ensaios de compressão confinada
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As fotos abaixo mostram a imagem de 5 tubos de shelby (com amostra de argila
mole) na câmara úmida e do equipamento de adensamento.
O ensaio de compressão oedométrica (também conhecido como ensaio de
compressão confinada ou ensaio de adensamento) é o mais antigo e mais conhecido para a
determinação de parâmetros de compressibilidade do solo. O ensaio consiste na
compressão de uma amostra de solo, compactada ou indeformada, pela aplicação valores
crescentes de tensão vertical, sob a condição de deformação radial nula. As condições de
contorno estão apresentadas na Figura 3.2.
Figura 3.2 – Condições de contorno do ensaio de compressão confinada
O ensaio é realizado mantendo a amostra saturada e utilizando duas pedras porosas
(uma no topo e uma na base) de modo a acelerar a velocidade dos recalques na amostra e,
conseqüentemente, diminuir o tempo de ensaio. Durante cada carregamento, são efetuadas
leituras dos deslocamentos verticais do topo da amostra e do tempo decorrido.
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• Procedimento de ensaio (resumido)
− Saturação da amostra
− Aplicação do carregamento
− Leituras, geralmente efetuadas em uma progressão geométrica do tempo
(15s, 30s, 1min, 2min, 4min, 8min, ... 24hs), dos deslocamentos verticais do
topo da amostra através de um extensômetro
− Plotar gráficos com as leituras efetuadas da variação da altura ou recalque
versus tensões aplicadas
− A partir da interpretação dos gráficos, decidir se um novo carregamento
deve ser aplicado. Repetem-se os processos anteriores.
− Última fase: descarregamento da amostra.
• Seqüências usuais de cargas
(em kgf/cm2) :
0,20; 0,40; 0,80; 1,60; 3,20; 6,40; 12,80; 25,60
(em kPa) :
3, 6, 12, 25, 50, 100, 200, 400, 800, 1600
∴ em geral são aplicados de 8 a 10 carregamentos → podendo chegar a 2
semanas de ensaio
obs.:
1 kN = 0,1 t
1 kgf = 9,81 N
1 t/m2 = 10 kPa
1 kgf/cm2 = 10 t/m2
1 kgf/cm2 = 100 kPa
3.4 – Interpretação dos resultados de um ensaio de compressão confinada
Existem diversos modos de se representar os resultados do ensaio de adensamento.
A taxa de deformação do solo no início do ensaio é bem veloz, mas, como o decorrer do
ensaio ela decresce. Depois de transcorrido o tempo necessário para que as leituras se
tornem constantes, os resultados de cada estágio são colocados em um gráfico em função
do logaritmo do tempo.
A curva de compressão do solo é normalmente representada em função do índice de
vazios versus o logaritmo da tensão vertical. O valor do índice de vazios ao final de cada
estágio de carregamento pode ser obtido considerando-se a hipótese de carregamento
confinado, a partir da relação da deformação volumétrica com o índice de vazios:
− ∆e
: εV =
(como pode ser demonstrado)
1+ e
Logo: e f = e0 −
∆h
.(1 + e0 )
h0
Onde:
ef – índice de vazios ao final do estágio de carregamento atual
∆h – variação da altura do corpo de prova (acumulada) ao final do estágio
h0 – altura inicial do corpo de prova (antes do início do ensaio)
e0 – índice de vazios inicial do corpo de prova (antes do início do ensaio)
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O índice de vazios inicial do corpo de prova (“e0”) pode ser obtido a partir da
relação:
e0 = δ - 1
δ = peso específico das partículas sólidas
γs o
γs o = peso específico seco na condição inicial
Para a condição inicial da amostra, pode-se calcular o grau de saturação (“So”) a
partir da relação:
S0 = δ hi
hi = teor de umidade na condição inicial
ei
Resultados do Ensaio
Os gráficos da Figura 3.3 mostram a representação dos resultados do ensaio de
compressão confinada.
Figura 3.3 – Representação dos resultados em termos de
índice de vazios versus tensão vertical
O valor da tensão a qual separa os trechos de recompressão e compressão virgem
do solo na curva de compressão do solo é normalmente denominado de tensão de préadensamento, e representa, conceitualmente, o maior valor de tensão já sofrido pelo solo
em campo (no resultado mostrado na curva acima, se aproxima de 100 kPa). Corresponde
ao início do trecho virgem de compressão (em que se tem o comportamento linear do
índice de vazios com o log da tensão vertical aplicada).
Interpretação dos Resultados
Para o melhor entendimento de alguns conceitos do ensaio de compressão
confinada, analisaremos os gráficos da Figura 3.4 (resultados de ensaio oedométrico
realizado em uma argila normalmente adensada, com um descarregamento no meio do
ensaio), plotados o gráfico em escala semi-log (nota-se que os resultados podem ser
aproximados por dois trechos lineares) e o gráfico das tensões em escala não logarítmica.
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Figura 3.4 – Resultado do ensaio de adensamento em argilas normalmente adensadas
Nota-se que a amostra foi comprimida, em primeiro carregamento, do ponto A até o
ponto B. Em seguida, sofreu um processo de descarregamento até o ponto D, para
finalmente ser recarregada até aproximadamente o ponto B, e novamente aplicado o
carregamento levou a amostra a atingir o ponto C. A curva apresenta histerese, ou seja,
deformações plásticas irreversíveis. Isto pode ser observado claramente tomando-se o
valor de σv’ = 175 kPa, em que cada um dos trechos de carga/descarga/recarga corta a
linha correspondente a esta tensão com valores diferentes de índice de vazios.
A expressão primeiro carregamento significa que os carregamentos que ora se
impõem ao solo superam o maior valor por ele já sofrido em sua história de carregamento
prévia. É um conceito de grande importância, pois o solo (e todo material de
comportamento elastoplástico) guarda em sua estrutura indícios de carregamentos
anteriores. Assim, da curva apresentada acima, temos:
• Trecho A-B: trecho de carregamento virgem, no sentido que a amostra ensaiada
nunca experimentara valores de tensão vertical daquela magnitude. Quando isto
ocorre, dizemos que a amostra está em níveis de tensões correspondente à condição
de “normalmente adensada”.
• Trecho B-D-B (descarga/recarregamento): não é normalmente adensada, pois a
tensão a qual lhe é imposta é inferior à tensão máxima por ela experimentada
(ponto B), sendo classificado como solo “pré-adensado”. Neste trecho, o solo
apresenta comportamento elástico, pois ocorrem deformações são pequenas e quase
totalmente recuperáveis.
• Trecho B-C: apresenta um estado de tensão superior ao maior estado de tensão já
experimentado, sendo classificado como normalmente adensado.
A Tabela 3.1 apresenta um resumo do exposto anteriormente.
Um outro exemplo que pode ser analisado refere-se a uma argila hipotética, cuja
relação índice de vazios em função da pressão de adensamento seja indicada na figura 3. 5.
Esta argila terá sido adensada, no passado, segundo a curva tracejada na figura,
até uma tensão efetiva igual a aproximadamente o valor “3” – entre 2 e 4 (as tensões estão
indicadas por valores absolutos, independentes do sistema de unidades; 3 poderia ser 300
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kPa, por exemplo). Veja que esta argila apresenta, atualmente (executado o ensaio de
laboratório), a curva de índice de vazios em função da tensão confinante indicada pela
linha contínua.
Considerando o nível de tensões de
4 a 8, estas tensões correspondem a
valores atuantes no solo argiloso na
condição de argila normalmente adensada
(ou seja, esta argila ainda não tinha
experimentado este nível de tensão,
portanto não se pode atribuir a condição de
pré-adensada).
Considerando o nível de tensões de
0,5 a 2, estas tensões correspondem a
valores menores que a máxima tensão
experimentada pelo solo (em sua história
de vida – geralmente atribuída a uma
condição geológica do passado). Assim
estes valores se referem a uma condição de
argila pré-adensada (ou seja, esta argila já
foi submetida a valor de tensão superior a
l
)
Figura 3.5 – Relação índice de vazios em função
da pressão de adensamento para uma argila.
Tabela 3.1 – Comparação entre pressões atual σ’v e máxima passada σ’vm
PRESSÃO
COMPORTAMENTO DA ARGILA
Solo pré adensado (PA)
σ’v < σ’vm
Deformações pequenas e reversíveis
Comportamento elástico
Solo normalmente adensado (NA)
σ’v ≥ σ’vm
Deformações grandes e irreversíveis
Comportamento plástico
3.5 – Tensão de pré-adensamento
O valor da tensão a qual separa os trechos de recompressão e compressão virgem
do solo na curva de compressão do solo é normalmente denominado de tensão de préadensamento, e representa, conceitualmente, o maior valor de tensão já sofrido pelo solo
em campo. A determinação da tensão de pré-adensamento é feita por processos gráficos,
dentro os quais podemos citar, método de Casagrande e método de Pacheco e Silva.
A) Método de Casagrande
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Primeiramente, determina-se o ponto de maior curvatura da curva de compressão
confinada do solo. Por este ponto, traça-se uma tangente à curva e uma reta horizontal. A
tensão de pré-adensamento do solo será determinada pela interseção do prolongamento da
bissetriz ao ângulo formado por estas duas retas com o prolongamento da reta de
compressão virgem do solo, como mostra a Figura 3.6.
Figura 3.6 – Determinação da tensão de pré-adensamento por Casagrande
B) Método de Pacheco e Silva
Prolonga-se o trecho da inclinação da reta virgem até que este toque uma reta
horizontal, fixada em um valor correspondente ao índice de vazios inicial do solo, ou seja,
antes do ensaio de adensamento. Por este ponto de interseção, passa-se uma reta vertical
até se atingir a curva de compressão do solo. Por este ponto, traça-se novamente uma
horizontal até atingir o prolongamento do trecho de compressão virgem, realizado
anteriormente; sendo este o ponto cujo valor é a tensão de pré-adensamento do solo, como
mostra a Figura 3.7.
Figura 3.7 – Determinação da tensão de pré-adensamento por Pacheco e Silva
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Efeito de amolgamento da amostra
A qualidade da amostra a ser submetida ao ensaio de adensamento, no que se refere
ao seu possível amolgamento (perturbação) durante a sua coleta, transporte ao laboratório
ou ainda na sua preparação antes de ser submetida à prensa do oedômetro, influencia
diretamente na qualidade dos resultados a serem obtidos.
A figura 3. 8 mostra resultados de ensaios para um mesmo material com diferentes
condições de amolgamento do corpo de prova. Observa-se o traçado diferenciado para a
mesma curva.
Figura 3.8 – Efeito do amolgamento sobre a curva “e” versus log (σC)
3.6 – Determinação da condição de adensamento (em que se encontra o solo)
história de tensões que “viveu” o solo
Em algumas situações de análise do comportamento dos solos em Engenharia
Geotécnica faz-se necessário determinar as condições de adensamento em que se encontra
o solo, ou seja a história de tensões do solo.
A razão de pré-adensamento de um solo é a relação entre a máxima tensão vertical
já experimentada pelo solo e a tensão vertical efetiva atual de campo, ou seja, é a razão
entre a tensão de pré-adensamento do solo (obtida em laboratório) e a sua tensão vertical
que atua hoje no solo, conforme ilustrado na figura 3. 9. É dada por:
O.C.R. =
σ Vp
σ V max
=
, onde σvp representa a tensão de pré-adensamento do solo.
σ Vcampo σ Vcampo
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Ou ainda:
OCR =
σ 'vm
σ 'v 0
⇒ razão de pré-adensamento (“overconsolidation ratio”)
1. Se OCR > 1 → solo pré-adensado (ou sobre adensado) condição usual
2. Se OCR = 1 → solo normalmente adensado pouco usual
3. Se OCR < 1 → solo sub-adensado muito pouco usual (solo em processo de
adensamento).
Figura 3.9 – Valor da tensão vertical in situ
As argilas sedimentares se formam sempre com elevados índices de vazios (são
solos muito compressíveis). Quando elas se apresentam com índices de vazios baixos,
estes são conseqüentes de um pré-adensamento. Em virtude disso, uma argila, com
diferentes índices de vazios iniciais apresentarão curvas tensão-deformação que após
atingir a pressão de pré-adensamento correspondente, fundem-se numa única reta virgem.
Conseqüentemente a isto se tem o comportamento de uma argila altamente
dependente do índice de vazios em que ela se encontra, que é fruto das tensões atuais
e passadas, e da estrutura da argila. Assim o comportamento destes solos é determinado
pelas tensões efetivas a que estiverem submetidos em relação ao nível de tensão que se
apresenta hoje no material.
O valor da razão de pré-adensamento pode influenciar na determinação de
diversos parâmetros que expressam o comportamento dos solos, como, por exemplo
(entre tantos outros), no cálculo do coeficiente de empuxo no repouso K0 (relação entre as
tensões horizontal e vertical, a ser estudada na Unidade 6 neste curso), representado pela
equação:
σ 'h
K0 = '
σv
• Para argila normalmente adensada (OCR = 1)
K 0 ≈ 0,95 − senφ' ⇒ equação empírica
• Para argila pré-adensada (OCR > 1)
K 0 = (0,95 − senφ').OCR senφ' ⇒ equação empírica
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A expressão é função do parâmetro φ’ - ângulo de atrito do solo – parâmetro
relacionado à resistência ao cisalhamento do solo, conforme será também visto
posteriormente neste curso (Unidades 4 e 5).
3.7 – Parâmetros de compressibilidade e recalque por compressão primária
Em resumo, tem-se a partir da curva representada em função do índice de vazios
(“e”) versus a tensão vertical (σ’v) e da curva representada em função do índice de vazios
versus o logaritmo da tensão vertical, os coeficientes (compressibilidade e
compressibilidade volumétrica) e índices (compressão e expanssão):
Coeficiente de Compressibilidade av
Coeficiente de Compressibilidade Volumétrica mv Módulo Oedométrico E oed
A inclinação dos trechos de descarregamento/recarregamento e carregamento
virgem da curva de compressão em escala semi-log são dadas pelos índices de expensão ou
recompressão (Ce) e de compressão (Cc), respectivamente. São determinados pelas
expressões a seguir apresentadas:
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Índice de Compressão
CC = −
ef − ei
σ
log vf
 σ vi
Índice de Expansão ou
Recompressão
Ce = −
Cc =
ef − ei
σ
log vf
 σ vi






∆e .
∆log σ‘v
– trecho de compressão virgem do solo
Cs =
∆e .
∆log σ‘v
– trecho de descompressão e recompressão do solo
Recalque Total por Compressão Primária
O cálculo dos recalques total no solo pode ser expressa em função da variação do
índice de vazios, como pode-se demonstrar, e considera as características iniciais do solo.
Deformação volumétrica: corresponde a deformação vertical  εV = ∆h 
h0 

Deformação volumétrica em função do índice de vazios pode ser expressa:
− ∆e
: εV =
1+ e
Logo:
 ∆e
∆H = ρ = 
1 + e0
Sendo:
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
.H 0

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ρ – valor do recalque do solo em superfície
∆e – variação do índice de vazios correspondente à nova tensão aplicada
H0 – altura inicial da camada de solo compressível (ou da camada de solo para a
qual se quer calcular o recalque)
Para o uso desta expressão é necessário determinar o valor de “∆e” utilizando-se as
expressões que fornecem os valores dos índices de recompressão (Ce) e de compressão
(Cc), como apresentado (a partir do gráfico obtido em laboratório).
Podemos obter também o valor do recalque de compressão primária em função dos
 e do coeficiente de
valores do coeficiente de compressibilidade  a V = − ∆e
∆σ' V 

compressibilidade volumétrica, dado pela expressão:
∆ε v
av
1
mv =
=
=
∆σ v ' E oed 1 + e 0
Substituindo os valores do coeficientes na expressão de ∆H (anterior), conclui-se:
∆H = H 0 .m v .∆σ v ' Recalque total por compressão primária
3.8 – Adensamento dos solos
Adensamento: Processo gradual dependente do tempo de variação de volume do
solo devido à drenagem da água dos poros, compressão e aumento de tensões efetivas com
a conseqüente diminuição de pressão neutra.
Quando: ∆u = 0 → o adensamento primário cessa e toda a tensão é suportada
pelo esqueleto sólido;
∆u → excesso de pressão neutra
3.8.1 – Analogia mecânica do processo de adensamento de Terzaghi
Conforme já descrito anteriormente, sendo o solo saturado e as partículas de água e
sólidos incompressíveis, toda variação de volume deverá ocorrer em função da variação do
índice de vazios. Esta variação somente ocorrerá por expulsão de água dos vazios
(processo de compressão) ou absorção de água para dentro dos vazios (processo de
expansão). Logo, para que o solo se deforme é necessário que haja um processo de fluxo
de água em seu interior.
Processo de Adensamento e Teoria de Terzaghi:
hipótese simplificadora →
relação entre “e” e σv é assumida com linear.
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Válvula: Permeabilidade do solo
Mola: Rigidez do esqueleto sólido
h0 =
u0
∆u
e ∆h =
γa
γa
ρ = deslocamento do pistão devido à aplicação da carga
Figura 3.10 – Analogia de Terzaghi
Pressões: σ = σ’ + u, mas u= uo + ∆u
uo = pressão hidrostática
∆u = excesso de poro pressão
Uma mola de altura inicial H é imersa em água em um cilindro ajustado em um
pistão de área transversal A, através do qual uma carga axial pode ser transmitida ao
sistema, que representa o solo saturado, como representado na Figura 3.9. A mola tem
função análoga à estrutura de solo e a água do cilindro, à pressão neutra. O pistão possui
uma válvula que controla a facilidade com que a água sai do sistema cuja função é a
representação do coeficiente de permeabilidade do solo. Aplica-se uma carga P ao pistão.
Têm-se as seguintes situações:
P
1. Válvula fechada: a pressão ( ) decorrente da aplicação da carga P será suportada
A
pela água, sendo a força suportada pela mola ainda nula.
2. Válvula aberta: expulsão da água a uma velocidade que é função da diferença entre
a pressão da água e a pressão atmosférica. Com isso, o pistão se movimenta e a
mola passa a ser solicitada em função do deslocamento. À medida que a água é
expulsa, a poropressão diminui e aumenta a tensão na mola. Em qualquer instante,
as forças exercidas pela mola e pela água no pistão devem ser iguais a P. O
processo continua até P ser suportado pela mola, sendo a pressão da água devida
somente ao peso próprio. Neste ponto não há mais fluxo de água para fora do
sistema. O aumento da pressão sobre o esqueleto sólido corresponde ao aumento de
pressão efetiva.
Cada fase do processo descrito anteriormente pode ser observada nos gráficos
apresentados na Figura 3.11.
Após constatar que uma amostra de argila saturada sujeita a um aumento de carga
∆P apresentava deformações retardadas devido à sua baixa permeabilidade, Terzaghi
(1925) desenvolveu uma formulação matemática para esse fenômeno. No
desenvolvimento dessa formulação, foi necessário a Terzaghi que elaborasse uma série de
hipóteses simplificadoras, dentre as quais, algumas são de conseqüências muito
importantes sobre a possibilidade de se aplicar esta teoria ao estudo de um caso real. A
seguir, o princípio básico do fenômeno de adensamento é apresentado e então, as
diferentes hipóteses de Terzaghi serão examinadas e suas conseqüências estabelecidas.
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Figura 3.11– Fases de carregamento e variações nas tensões no processo de adensamento
3.8.2 – Teoria do adensamento 1-D de Terzaghi
O desenvolvimento da Teoria do Adensamento de baseia nas seguintes hipóteses:
1.
2.
3.
4.
5.
O solo é totalmente saturado (Sr = 100%);
A compressão é unidimensional;
O fluxo de água é unidimensional e governado pela Lei de Darcy;
O solo é homogêneo;
As partículas sólidas e a água são praticamente incompressíveis perante a
incompressibilidade do solo;
6. O solo pode ser estudado como elementos infinitesimais;
7. As propriedades do solo não variam no processo de adensamento e não há
diferença de comportamento entre massas de solos de pequenas e grandes
dimensões;
8. O índice de vazios varia linearmente com o aumento da tensão efetiva durante o
processo de adensamento.
Dedução da teoria:
Objetivo: Determinar para qualquer instante (tempo – “t”) e em qualquer posição
(profundidade - “z”) o grau de adensamento de uma camada, ou seja, as deformações, os
índices de vazios, as tensões efetivas e as pressões neutras correspondentes.
Consideremos um elemento de solo submetido ao processo de adensamento
conforme figura 3. 12:
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Figura 3.12 – Elemento de solo submetido ao processo de adensamento
Sendo a equação de fluxo num solo saturado, indicando a variação de volume pelo
tempo, dada abaixo:
ϑV 
ϑ2 h
ϑ2 h
ϑ2 h 
= k x .
+ k y . 2 + k z . 2 .dx.dy.dz = 0
ϑt  ϑx 2
ϑy
ϑz 
–
Equação de Laplace para fluxo
tridimensional.
No estudo do adensamento, o fluxo ocorre somente na direção vertical e a variação
de volume não é nula. A quantidade de água que sai do elemento é menor do que a que
entra. A equação de fluxo, neste caso, se reduz a:
ϑV
ϑ2 h
= k. 2 .dx.dy.dz → Equação 1
ϑt
ϑz
Mas o que é variação de volume do solo senão a variação de seus índices de vazios,
já que consideramos a água e os grãos sólidos praticamente incompressíveis em relação à
estrutura sólida do solo. Logo, a variação de volume com o tempo é dada pela expressão:
ϑV ϑ  e

.dx.dy.dz
= 
ϑt ϑt 1 + e

ou
ϑV ϑe dx.dy.dz
.
=
ϑt
ϑt 1 + e
→ Equação 2
dx.dy.dz
é o volume dos sólidos, e portanto, invariável com o tempo,
1+ e
temos igualando as equações 1 e 2, que:
Uma vez que
k.
ϑe dx.dy.dz
ϑ2 h
ϑ 2 h ϑe 1
.
.
dx
.
dy
.
dz
=
k
.
.
=
⇒
ϑt 1 + e
ϑz 2 ϑt 1 + e
ϑz 2
→ Equação 3
Só a carga em excesso à hidrostática provoca fluxo. Portanto, a carga h pode ser
u
substituída pela pressão na água, ou seja,
. Mas, sabemos que, de = a V .du .
γa
Substituindo estes valores na equação 3, obtemos:
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k.(1 + e ) ϑ 2 u ϑu
.
=
a v .γ a ϑz 2
ϑt
→ Equação de adensamento 1-D
Esta equação expressa a variação da pressão neutra em relação ao tempo função da
variação de u com a profundidade, multiplicada por conjunto de parâmetros. Na equação:
K = coeficiente de permeabilidade
e = índice de vazios
av = coeficiente de compressibilidade
γa = peso específico da água
u = excesso de pressão neutra (∆u)
z = variável espacial (profundidade)
t = tempo
Para a solução da equação acima, foram consideradas as condições de contorno
desta equação, conforme apresentadas no quadro abaixo (*), e interpretadas na figura 3.13.
Tempo
para
t=0
para
0≤t≤∞
para
0≤t≤∞
Profundidade
Pressão (excesso)
0≤z≤H
u (z,0) = u0
z=0
u (0,t) = 0
z=H
ϑu
=0
ϑz
e
e
e
(*) Há quem acrescente a condição “para t = ∞ e 0 ≤ z ≥ H, u = 0”. Isto, porém, é uma redundância da
solução da equação 2, como pode ser facilmente demonstrado.
Figura 3.13 – Exemplo de adensamento com a interpretação das condições de contorno
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O coeficiente do primeiro membro da equação de adensamento reflete as
características do solo (permeabilidade, porosidade e compressibilidade) e é denominado
Coeficiente de Adensamento – cv. Seu valor é admitido como constante para cada
acréscimo de tensões. Tem-se, portanto:
cv =
k.(1 + e )
a v .γ a
ϑ 2 u ϑu
Logo, a equação diferencial do adensamento assume a expressão: c v . 2 =
.
ϑt
ϑz
O Coeficiente de Compressibilidade Volumétrica, dado por m v =
av
, é obtido
1+ e
pela inclinação da curva de compressão do diagrama εv x σ’v. Logo, podemos escrever o
coeficiente de adensamento como:
cv =
k.(1 + e)
k
=
.
a v .γ a
m v .γ a
Na integração da equação de adensamento, a variável tempo T aparece sempre
associada ao coeficiente de adensamento e à maior distância de percolação, e é dada pela
expressão:
T=
c v .t
H d2
O fator tempo T correlaciona os tempos de recalque às características do solo,
através do cv, e às condições de drenagem do solo, através do Hd.
O termo Hd refere-se, portanto, à distância de drenagem da camada de solo e é igual
a maior distância que a água tem que percorrer para alcançar uma camada drenante. O seu
valor dependerá das condições de drenagem, como se vê:
Condições de drenagem
O coeficiente de adensamento (cv) pode ser obtido a partir da realização de ensaio
de adensamento, em laboratório, aplicando-se os métodos usuais de Taylor ou Casagrande.
Consiste em aplicar a expressão para a variável tempo T, associada a uma determinada
percentagem de adensamento decorrida. O método de Taylor relaciona o tempo (“t”)
necessário para completar 90% do adensamento primário e o método de Casagrande
relaciona o tempo (“t”) necessário para completar 50% do adensamento primário.
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Observa-se ser um cálculo simples, com a maior dificuldade recaindo sobre a
determinação destes tempo “t”. Para tanto são utilizados métodos próprios (segundo seus
autores), que consistem basicamente em traçar gráficos com resultados de ensaio e assim
obter o valor de “t” buscado. As figuras a seguir apresentadas ilustram os métodos, que
serão melhor apresentados na parte prática deste curso.
Método de Taylor
Cv = 0,848 . H2
t90
Método de Casagrande
Cv = 0,197 . H2
t50
A equação de adensamento 1–D, consideradas as suas condições de contorno
fornece a seguinte solução para o excesso de pressão neutra u, à uma profundidade z
decorrido o tempo t:
m =∞
 (2m + 1).π z  − (2 m +14) .π
4
1
u (z, t ) = .u 0 . ∑
.sen 
.
.e
2
Hd 
π
m = 0 2m + 1

2
2
.T
→ Equação 4
onde: “e” é a base do logaritmo natural e “T” o fator adimensional de tempo.
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3.8.3 – Grau ou percentagem de adensamento
Define-se como grau ou porcentagem de adensamento a relação entre a deformação
(ε) ocorrida num elemento numa certa posição, caracterizada pela sua profundidade z, num
determinado tempo e a deformação deste elemento quando todo o processo de
ε
adensamento tiver ocorrido (εf):
Uz =
εf
Podemos exprimir o grau ou porcentagem de adensamento em função dos seguintes
índices, como mostra as expressões abaixo:
Uz =
e1 − e
σ'−σ1 '
u
=
=1−
u1
e1 − e 2 σ 2 '−σ1 '
Em termos de percentagem de adensamento na profundidade z, a equação 4 se
escreve:
 (2m + 1).π z  − (2 m +14) .π
4 m =∞ 1
U z = 1 − .∑
.sen 
.
.e
2
Hd 
π m = 0 2m + 1

2
Ou, de forma simplificada, sendo o valor de M =
UZ = 1−
2 
z
∑ M . senM. H
m=0
d

m =∞
2
.T
→ Equação 5
(2m + 1).π :
2
 − M 2 .T
.e
→ Equação 6

Os valores da porcentagem de adensamento (de pressão neutra dissipada) Uz
podem ser obtidos atribuindo-se valores a z/H e T, com os quais se constroem as curvas da
Figura 3.14.
Nota-se que:
t = 0 → Uz = 0 %
t = ∞ → Uz = 100 %
O adensamento ocorre mais rapidamente nas proximidades
das faces drenantes (Uz maior) e mais lentamente (Uz menor)
no centro da camada ou na extremidade não drenante.
Observe-se ainda que as curvas indicam, para a profundidade de menor condição
de drenagem (maior distância à face drenante), uma maior percentagem de adensamento
Uz. Na profundidade zero (superfície da camada drenante) ou próxima a ela, Uz é próximo
de zero, ou seja, a pressão neutra já dissipou totalmente, sendo transferida para a parcela
de tensão efetiva.
3.8.4 – Grau de adensamento médio
Na prática, interessa-nos a determinação da porcentagem média de adensamento
(ou recalque) de toda a camada compressível. Logo, o valor de U pode ser colocado ainda
da seguinte forma:
71
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U=
ρ
∆H
Sendo:
ρ = recalque parcial, após tempo t;
∆H = recalque total da camada no tempo infinito.
Figura 3.14 – Grau de adensamento em função da profundidade e do fator tempo
A equação teórica U = f(T) pode ser expressa (Figura 3. 15) pelas seguintes
relações empíricas:
2
π U 
T = .
 → para U < 60%
4  100 
T = 1,781 − 0,933. log(100 − U ) → para U > 60%
O recalque que se observa na superfície do terreno é resultante da somatória das
deformações dos diversos elementos ao longo da profundidade. A média dos graus de
adensamento, ao longo da profundidade, dá origem ao grau de adensamento médio,
também denominado Porcentagem de Recalque, pois indica a relação entre o recalque
sofrido até o instante considerado e o recalque total correspondente ao carregamento. É
expresso pela seguinte equação a seguir, sendo representada graficamente de acordo com a
Figura 3.15.
72
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U = 1−
m=∞
2 − M 2 .T
∑ .e
m =0 M
Figura 3.15 – Valores de porcentagem de recalque em função do fator tempo T
3.8.5 – Cálculo de recalque por adensamento
O recalque em qualquer ponto t poderá ser calculado multiplicando o grau de
adensamento médio (o quanto já adensou toda a camada) pelo recalque total previsto.
∆h ( t ) = U Z .∆h p , sendo ∆hp = recalque total por compressão primária
Uma seqüência prática para o cálculo assim se descreve:
• Calcular ∆hp
• Com o tempo “t”, calcular o fator tempo pela equação T =
• Com o valor de “T”, calcula-se
UZ
• Calcular ∆h ( t ) = U Z .∆h p
• Repetir para vários tempos “t” e
traçar a curva recalque versus
tempo.
3.8.6 – Compressão secundária
73
c V .t
H d2
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Depois de cessado o processo de adensamento, o solo continua a se deformar com o
tempo, de modo que a curva recalque da amostra versus log (t) passa a representar um
trecho aproximadamente constante. Este trecho é denominado compressão secundária do
solo ou trecho de fluência, como mostra a Figura 3.16, sendo que no processo de
compressão secundária o solo apresenta um comportamento mais viscoso.
Em resumo: compressão secundária é o decréscimo de volume do solo
(deformação) sob σ’v = constante. Em aplicações práticas admite-se que a compressão
secundária manifesta-se apenas após a dissipação total de poropressões (t100). É
representada pela seguinte equação:
∆ε V
∆ log(t )
O valor do recalque por compressão secundária é dado pela equação abaixo:
Cα =
 t
∆h C = C α .H p . log
 t0

 , onde Hp = altura da camada após compressão primária.

Figura 3.16 – Representação gráfica da compressão secundária
3.8.7 – Problema Resolvido
As sondagens procedidas num certo local indicaram o perfil de subsolo mostrado
na Figura 3.17.
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Figura 3.17 – Esquema do perfil de subsolo
Duas torres, iguais e distantes 80 metros, foram construídas. Os recalques de cada
torre foram registrados e constam da tabela abaixo, em cm.
Tabela 3.3 – Valores dos recalques das torres A e B
Tempo
0
3 meses
6 meses
1 ano
2 anos
3 anos
5 anos
Torre A
0
6,02
10,12
14,50
20,60
25,40
32,00
Torre B
0
0,93
1,54
2,20
3,15
7,65
9,35
A disparidade dos recalques observados levou os engenheiros a uma análise mais
detalhada das condições do subsolo nas regiões das torres A e B. Constatou-se que:
1. O índice de vazios médio da camada de argila na região da torre B era 1,90 e na
região da torre A era 2,03;
2. A camada de argila nas duas regiões é a mesma formação e tem os mesmos índices
de compressão e coeficiente de adensamento;
3. Foram encontrados na região da torre B antigos blocos de pedra que teriam sido as
fundações de um antigo monumento indígena.
Pede-se:
75
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a) Explicar as diferenças dos recalques entre A e B;
b) Calcular o recalque total provável da torre A;
c) Estimar a altura provável do monumento indígena, supondo que o acréscimo de
pressão no centro da camada argilosa é igual a 0,4p (sendo “p” a pressão aplicada
ao solo pelo monumento) e que o monumento foi construído com a mesma pedra da
fundação cuja densidade natural era 16,2 kN/m3;
d) Calcular o recalque total provável da torre B.
Resolução:
a) A diferença dos recalques entre as torres A e B deve-se possivelmente ao fato da
camada de argila da região da torre B ser pré-adensada, isto é, o antigo monumento
indígena provocou um recalque da argila na região de B (remoção de sobrecarga em época
anterior, como construção antiga, aterro,...).
b) Cálculo do recalque total da torre A.
O recalque da torre A pode ser calculado a partir de qualquer data indicadas na
Tabela 3.3.
Sabe-se que: T =
•
c v .t
H d2
Para t = 1 ano, temos: T =
4,5x1
= 0,045
10 2
A porcentagem média de adensamento para t = 1 ano é:
2
π U 
T = .
 supondo U < 60%
4  100 
U=
4 x10000 xT
4 x10000x 0,045
⇒ U = 24% → A hipótese está correta!
=
π
π
Sabe-se também que: ∆h ( t ) = U Z .∆h p . Logo, ∆h p =
Como ∆hp para t = 1 ano é de 14,50 cm, temos:
∆h p =
14,5
⇒ ∆hp = 60,4 cm
0,24
76
∆h ( t )
Uz
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É interessante verificar se esta solução é acertada, ou seja, se a argila segue a teoria
unidimensional do adensamento. Para tanto, calcularemos o recalque total a partir da
leitura dos 3 anos.
•
Para t = 3 anos, temos: T =
4,5x 3
= 0,135
10 2
A porcentagem média de adensamento para t = 3 anos é:
2
π U 
T = .
 supondo U < 60%
4  100 
4 x10000 xT
4 x10000 x 0,135
⇒ U = 42% → A hipótese está correta!
=
π
π
∆h ( t )
Sabe-se também que: ∆h ( t ) = U Z .∆h p . Logo, ∆h p =
Uz
U=
Como ∆hp para t = 3 anos é de 25,40 cm, temos:
∆h p =
25,4
⇒ ∆hp = 60,5 cm
0,42
Concluímos, portanto, que o resultado está correto.
c) Cálculo da altura do monumento indígena.
A altura do monumento pode ser estimada em função do recalque provocado pelo
mesmo ou a partir da diferença entre os índices de vazios na condição carregada ou não.
P
∆e = C c . log 2
 P1

 sendo, ∆e = 2,03 – 1,90 = 0,13

P2 = pressão final
P1 = pressão da terra inicial: P1 = Σ γ.z
P1 = γareia.z + γsub.argila.z
P1 = 18,0 x 4 + (15 – 10) x 5 ⇒ P1 = 97,0 kN/m2 e Cc = 0,77 (dado)
P
log 2
 P1
 ∆e
 P  0,13
P
 =
→ log 2  =
→ 2 = 1,475
P1
 Cc
 P1  0,77
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1,475 (relação entre pressões – depois/antes da construção – condição de préadensamento)
P2 = 1,475 x P1 = 1,475 x 97,0 ⇒ P2 = 143,1 kN/m2
∆p = P2 – P1 = 143,1 – 97,0 = 46,1 kN/m2
O acréscimo de pressão no centro da camada de argila é igual a 0,4p (dado). Logo:
0,4p = ∆p ⇒ p =
46,1
⇒ p = 115,25 kN/m2
0,4
A pressão do monumento indígena será: p = γmon. H. Logo:
H=
p
γ mon
=
115,25
⇒ H = 7,1 m
16,2
d) Cálculo do recalque total da torre B.
O recalque em B pode ser estimado supondo que no final do processo de
adensamento o índice de vazios final em A será igual ao índice de vazios final em B.
Como o recalque é proporcional à diferença entre os índices de vazios inicial e
final, vem:
∆e A
∆H A
 60,4 
=
⇒ ∆e A = 
.(1 + 2,03) ⇒ ∆eA = 0,183
1 + eA
H
 1000 
∆eB será: ∆eB = ∆eA – ∆e(A-B)
∆eB = 0,183 – (2,03 – 1,90)
∆eB = 0,053
∆e B
∆H B
0,053x1000
=
⇒ ∆H B =
⇒ ∆HB = 18,3 m
1 + 1,90
1 + eB
H
78