UFRN 2013
Matemática Álgebra 3º ano Prof. Afonso
1. (Ufrn 2013) Considere a função polinomial f ( x ) = x3 − 3x 2 − x + 3.
a) Calcule os valores de f ( –1) , f (1) e f ( 3 ) .
b) Fatore a função dada.
c) Determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de f com o eixo OX.
2. (Ufrn 2013) O jogo da velha tradicional consiste em um tabuleiro quadrado dividido em 9
partes, no qual dois jogadores, alternadamente, vão colocando peças (uma a cada jogada).
Ganha o jogo aquele que alinhar, na horizontal, na vertical ou na diagonal, três de suas peças.
Uma versão chamada JOGO DA VELHA DE DESCARTES, em homenagem ao criador da
geometria analítica, René Descartes, consiste na construção de um subconjunto do plano
cartesiano, no qual cada jogador, alternadamente, anota as coordenadas de um ponto do
plano. Ganha o jogo aquele que primeiro alinhar três de seus pontos. A sequência abaixo é o
registro da sequência das jogadas de uma partida entre dois jogadores iniciantes, em que um
anotava suas jogadas com a cor preta e o outro, com a cor cinza. Eles desistiram da partida
sem perceber que um deles havia ganhado.
Com base nessas informações, é correto afirmar que o jogador que ganhou a partida foi o que
anotava sua jogada com a cor
a) cinza, em sua terceira jogada.
b) preta, em sua terceira jogada.
c) cinza, em sua quarta jogada.
d) preta, em sua quarta jogada.
3. (Ufrn 2013) Uma empresa de tecnologia desenvolveu um produto do qual, hoje, 60% das
peças são fabricadas no Brasil, e o restante é importado de outros países. Para aumentar a
participação brasileira, essa empresa investiu em pesquisa, e sua meta é, daqui a 10 anos,
produzir, no Brasil, 85% das peças empregadas na confecção do produto.
Com base nesses dados e admitindo-se que essa porcentagem varie linearmente com o tempo
contado em anos, o percentual de peças brasileiras na fabricação desse produto será superior
a 95% a partir de
a) 2027.
b) 2026.
c) 2028.
d) 2025.
4. (Ufrn 2013) A pedido do seu orientador, um bolsista de um laboratório de biologia construiu
o gráfico a seguir a partir dos dados obtidos no monitoramento do crescimento de uma cultura
de micro-organismos.
Analisando o gráfico, o bolsista informou ao orientador que a cultura crescia segundo o modelo
matemático, N = k ⋅ 2at , com t em horas e N em milhares de micro-organismos.
Para constatar que o modelo matemático apresentado pelo bolsista estava correto, o orientador
coletou novos dados com t = 4 horas e t = 8 horas.
Para que o modelo construído pelo bolsista esteja correto, nesse período, o orientador deve ter
obtido um aumento na quantidade de micro-organismos de
a) 80.000.
b) 160.000.
c) 40.000.
d) 120.000.
5. (Ufrn 2013) Ao pesquisar preços para a compra de uniformes, duas empresas, E1 e E2,
encontraram, como melhor proposta, uma que estabelecia o preço de venda de cada unidade
n
por 120 −
, onde n é o número de uniformes comprados, com o valor por uniforme se
20
tornando constante a partir de 500 unidades.
Se a empresa E1 comprou 400 uniformes e a E2, 600, na planilha de gastos, deverá constar
que cada uma pagou pelos uniformes, respectivamente,
a) R$ 38.000,00 e R$ 57.000,00.
b) R$ 40.000,00 e R$ 54.000,00.
c) R$ 40.000,00 e R$ 57.000,00.
d) R$ 38.000,00 e R$ 54.000,00.
6. (Ufrn 2013) Maria pretende comprar um computador cujo preço é R$ 900,00. O vendedor da
loja ofereceu dois planos de pagamento: parcelar o valor em quatro parcelas iguais de R$
225,00, sem entrada, ou pagar à vista, com 5% de desconto. Sabendo que o preço do
computador será o mesmo no decorrer dos próximos quatro meses, e que dispõe de R$
855,00, ela analisou as seguintes possibilidades de compra:
Opção 1
Opção 2
Opção 3
Opção 4
Comprar à vista, com desconto.
Colocar o dinheiro em uma aplicação que rende 1% de juros compostos ao mês e
comprar, no final dos quatro meses, por R$ 900,00.
Colocar o dinheiro em uma aplicação que rende 1% de juros compostos ao mês e
comprar a prazo, retirando, todo mês, o valor da prestação.
Colocar o dinheiro em uma aplicação que rende 2,0% de juros compostos ao mês
e comprar, três meses depois, pelos R$ 900,00.
Entre as opções analisadas por Maria, a que oferece maior vantagem financeira no momento é
a
a) opção 2.
b) opção 1.
c) opção 4.
d) opção 3.
7. (Ufrn 2013) Considere, a seguir, uma tabela com as notas de quatro alunos em três
avaliações e a matriz M formada pelos dados dessa tabela.
Avaliação 1
8
6
9
7
Thiago
Maria
Sônia
André
M=
8
6
9
8
6
7
9
7
6
8
6
9
Avaliação 2
9
8
6
8
Avaliação 3
6
7
6
9
1
1
O produto M 1 corresponde à média
3
1
a) de todos os alunos na Avaliação 3.
b) de cada avaliação.
c) de cada aluno nas três avaliações.
d) de todos os alunos na Avaliação 2.
8. (Ufrn 2013) O quadro de avisos de uma escola de ensino médio foi dividido em quatro
partes, como mostra a figura a seguir.
No retângulo à esquerda, são colocados os avisos da diretoria, e, nos outros três retângulos,
serão colocados, respectivamente, de cima para baixo, os avisos dos 1º, 2º e 3º anos do
ensino médio.
A escola resolveu que retângulos adjacentes (vizinhos) fossem pintados, no quadro, com cores
diferentes. Para isso, disponibilizou cinco cores e solicitou aos servidores e alunos sugestões
para a disposição das cores no quadro.
Determine o número máximo de sugestões diferentes que podem ser apresentadas pelos
servidores e alunos.
9. (Ufrn 2013) Uma escola do ensino médio possui 7 servidores administrativos e 15
professores. Destes, 6 são da área de ciências naturais, 2 são de matemática, 2 são de língua
portuguesa e 3 são da área de ciências humanas. Para organizar a Feira do Conhecimento
dessa escola, formou-se uma comissão com 4 professores e 1 servidor administrativo.
Admitindo-se que a escolha dos membros da comissão foi aleatória, a probabilidade de que
nela haja exatamente um professor de matemática é de, aproximadamente,
a) 26,7%.
b) 53,3%.
c) 38,7%.
d) 41,9%.
10. (Ufrn 2013) Por motivo de segurança, construiu-se um superaquário de vidro, em formato
esférico, dentro de um cilindro também de vidro, conforme esquematizado na figura a seguir. A
esfera está completamente cheia de água e, caso quebre, toda a água passará para o cilindro.
Desconsidere a pequena diferença entre os raios da esfera e do cilindro e o volume de água
deslocado pelos pedaços de vidro da esfera quando quebrada. Supondo que R é igual a 2 m,
determine:
a) O volume de água da esfera.
b) A capacidade volumétrica do cilindro.
c) A altura do nível da água no cilindro, caso a esfera quebre.
11. (Ufrn 2013) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de
gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, conforme
ilustra a figura abaixo.
O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse
as posições dos focos.
Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a
distância entre cada foco e a parede mais próxima é de
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 6 m.
12. (Ufrn 2013) Uma indústria compra placas de alumínio em formato retangular e as corta em
quatro partes, das quais duas têm a forma de triângulos retângulos isósceles (Fig. 1). Depois,
reordena as quatro partes para construir novas placas no formato apresentado na Fig. 2.
Se a medida do lado menor da placa retangular é 30 cm, a medida do lado maior é
a) 70 cm.
b) 40 cm.
c) 50 cm.
d) 60 cm.
13. (Ufrn 2013) A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro lance e seis, no segundo
lance de escada.
Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm de comprimento (profundidade), a
ˆ mede:
tangente do ângulo CAD
9
a)
10
14
b)
15
29
c)
30
d) 1
14. (Ufrn 2013) O gráfico abaixo, publicado na revista Veja de 13/06/2012, a partir dos dados
da Unep, revela uma desaceleração no ritmo de desmatamento das florestas.
Com base nesse gráfico, é correto afirmar:
a) No Brasil, de 2000 a 2010, o ritmo do desmatamento caiu na ordem de 5,2 milhões de
hectares por ano.
b) No Brasil, de 2000 a 2010, o ritmo do desmatamento caiu na ordem de 2,6 milhões de
hectares por ano.
c) Durante o período apresentado no gráfico, a desaceleração do ritmo do desmatamento no
mundo foi três vezes maior que a desaceleração no Brasil.
d) Na década de noventa, a desaceleração do ritmo do desmatamento das florestas no mundo
foi aproximadamente quatro vezes maior que a desaceleração no Brasil.
15. (Ufrn 2013) Em uma viagem para participar de um torneio de atletismo, uma escola
distribuiu seus alunos em quatro ônibus, sendo um deles com os estudantes que participarão
do torneio e os outros três com os estudantes que irão fazer parte da torcida. No ônibus I, vão
37 estudantes, no ônibus II, 40 estudantes, no III, vão 44 e, no IV, 46 estudantes. No total de
passageiros dos três ônibus que transportam a torcida, a quantidade de meninas é o dobro da
de meninos.
Como os atletas estão todos uniformizados, a direção solicitou que o primeiro ônibus a chegar
para representar a escola seja o dos atletas.
Para que o pedido seja atendido, o primeiro ônibus a chegar ao local do torneio deve ser o de
número
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
16. (Ufrn 2013) Uma instituição pública recebeu n computadores do Governo Federal. A
direção pensou em distribuir esses computadores em sete salas colocando a mesma
quantidade em cada sala, mas percebeu que não era possível, pois sobrariam três
computadores. Tentou, então, distribuir em cinco salas, cada sala com a mesma quantidade de
computadores, mas também não foi possível, pois sobrariam quatro computadores.
Sabendo que, na segunda distribuição, cada sala ficou com três computadores a mais que
cada sala da primeira distribuição, responda:
a) Quantos computadores a instituição recebeu?
b) É possível distribuir esses computadores em quantidades iguais? Justifique.
Gabarito:
Resposta da questão 1:
b) Fatorando, obtemos
f(x) = x3 − 3x2 − x + 3
= x2 (x − 3) − (x − 3)
= (x − 3)(x 2 − 1)
= (x − 3)(x − 1)(x + 1).
a) De (b), vem f( −1) = f(1) = f(3) = 0.
c) De (a), temos (−1, 0), (1, 0) e (3, 0).
Resposta da questão 2:
[A]
Considere a figura.
De acordo com a sequência de jogadas apresentada, podemos concluir que o jogador que
ganhou a partida foi o que anotava sua jogada com a cor cinza, em sua terceira jogada, ou
seja, na jogada (1, 3).
Resposta da questão 3:
[A]
Sendo hoje um dia do mês de novembro de 2012 (t = 0), e sabendo que a variação do
percentual com o tempo é linear, considere a função p : → , definida por p(t) = at + b, com
p(t) sendo o percentual de peças fabricadas no Brasil daqui a t anos.
A taxa de variação da função p é dada por
a=
85 − 60 5
= .
10 − 0
2
Logo, p(t) =
5
t + 60.
2
Os valores de t, para os quais o percentual de peças brasileiras na fabricação do produto é
superior a 95%, são tais que
5
t + 60 > 95 ⇔ t > 14.
2
Portanto, o percentual de peças produzidas no Brasil superará 95% a partir do ano de
2012 + 15 = 2027.
Observação: A prova na qual consta esta questão foi realizada em novembro de 2012.
Resposta da questão 4:
[D]
Do gráfico, temos
(0, 10) ⇔ 10 = k ⋅ 2a⋅0 ⇔ k = 10
e
(2, 20) ⇔ 20 = 10 ⋅ 2a⋅2
⇔ 2 = 22a
⇔a=
1
.
2
t
2
= 10 ⋅ 2
e, portanto, se o modelo estiver correto, o aumento na quantidade de
Logo, N(t)
micro-organismos entre t = 4 e t = 8 horas deve ter sido de
N(8) − N(4) = 160 − 40 = 120.000.
Resposta da questão 5:
[C]
De acordo com as informações, obtemos a função p :
→ , definida por:
n
, se 0 < n < 500
p(n) =
,
20
95, se n ≥ 500
120 −
em que p(n) é o preço unitário de n uniformes.
Portanto, a empresa E1 pagou
400 ⋅ p(400) = 400 ⋅ 120 −
400
20
= R$ 40.000,00,
enquanto que a empresa E2 pagou
600 ⋅ p(600) = 600 ⋅ 95
= R$ 57.000,00.
Resposta da questão 6:
[C]
Escolhendo a opção 1, Maria paga 0,95 ⋅ 900 = R$ 855,00 à vista, gastando tudo o que possui.
Na opção 2, ela terá, após 4 meses, 855 ⋅ (1,01)4 = R$ 889,72, o que não é suficiente para pagar
o computador.
Se optar pelo 3º plano, ao fim do 1 mês, ela terá 855 ⋅ 1,01 = R$ 863,55, e pagará R$ 225,00,
ficando com R$ 638,55. Ao fim do 2º mês, ela terá 638,55 ⋅ 1,01 ≅ R$ 644,94, e pagará mais
R$ 225,00, ficando com R$ 419,94, e assim sucessivamente, até o fim do 4º mês, quando terá
R$ 201,13, que não serão suficientes para pagar a última parcela de R$ 225,00.
Na quarta opção, ela terá, após 3 meses, 855 ⋅ (1,02)3 ≅ R$ 907,33, o que será suficiente para
pagar o computador e ainda obter um ganho de R$ 7,33.
Portanto, a opção 4 é a melhor dentre as disponíveis.
Resposta da questão 7:
[C]
Efetuando o produto, obtemos
8
3
6
1
1
3
M 1 =
9
3
1
3
7
3
9
3
8
3
6
3
8
3
6
3
7
3
6
3
9
3
8+9+6
3
6+8+7
1
3
1 =
,
9+6+6
1
3
7+8+9
3
o que corresponde à média de cada aluno nas três avaliações.
Resposta da questão 8:
Temos 5 possibilidades para escolher a cor do retângulo vertical, 4 para escolher a cor do
primeiro retângulo horizontal, 3 para escolher a cor do segundo retângulo horizontal e 3 para
escolher a cor do terceiro retângulo horizontal.
Portanto, pelo PFC, existem, no máximo, 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 180 sugestões diferentes que podem ser
apresentadas pelos servidores e alunos.
Resposta da questão 9:
[D]
Podemos escolher um professor de matemática de 2 modos e 3 professores das outras
13
13!
disciplinas de
=
= 2 ⋅ 13 ⋅ 11 maneiras. Além disso, como podemos escolher 4
3
3! ⋅ 10!
professores quaisquer de
é dada por
15
15!
=
= 15 ⋅ 13 ⋅ 7 maneiras, segue que a probabilidade pedida
4
4! ⋅ 11!
2 ⋅ 2 ⋅ 13 ⋅ 11
⋅ 100% ≅ 41,9%.
15 ⋅ 13 ⋅ 7
Resposta da questão 10:
a) O volume de água na esfera é dado por
4
4
32
R3 =
⋅ 23 =
m3 .
3
3
3
b) Como o cilindro é equilátero, segue que sua capacidade volumétrica é dada por
2 R3 = 2 ⋅ 23 = 16 m3 .
c) A altura h do nível da água no cilindro, caso a esfera quebre é tal que
32
8
⋅ 22 ⋅ h =
⋅ ⇔ h = m.
3
3
Resposta da questão 11:
[C]
Adotando convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no ponto
médio do segmento F1F2 , considere a figura.
Temos A1 = ( −10, 0), A 2 = (10, 0), B1 = (0, 8), B2 = (0, − 8), F1 = ( −c, 0) e F2 = (0, c), com
c > 0. Logo, da relação fundamental da elipse, vem
2
2
2
B1F2 = OF2 + OB1 ⇔ 102 = c 2 + 82
c = 6.
Portanto, a distância pedida é dada por
OP2 − OF2 = 11 − 6 = 5 m.
Resposta da questão 12:
[D]
Considere as figuras, em que EF = BI = x e DE = BC = FG = HI = FG = y.
É fácil ver que BI = BC + HI ⇔ x = 2y. Além disso, como A é o ponto médio das diagonais BF
e EI, BF = EI e EI ⊥ BF, segue que BEFI é quadrado. Daí, temos x = 30 e, portanto,
DG = 2x = 2 ⋅ 30 = 60cm.
Resposta da questão 13:
[B]
Supondo que A, B e C pertencem a um mesmo plano horizontal, temos
AB = 8 ⋅ 30 = 240 cm,
BC = 6 ⋅ 30 = 180cm
e
CD = (8 + 6) ⋅ 20 = 280 cm.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, encontramos
2
2
2
2
AC = AB + BC ⇔ AC = 2402 + 1802
AC = 300cm.
Portanto, do triângulo retângulo ACD, vem
tgCAD =
CD
AC
=
280 14
=
.
300 15
Resposta da questão 14:
[B]
No Brasil, de 2000 a 2010, o ritmo do desmatamento caiu na ordem de
3 ⋅ 5 + 2,2 ⋅ 5
= 2,6
5+5
milhões de hectares por ano.
Resposta da questão 15:
[C]
Sejam m e h, respectivamente, o número de meninas e o número de meninos da torcida.
Como m = 2h, segue que m + h = 3h, ou seja, o número total de torcedores é um múltiplo de 3.
Por outro lado, temos:
37 + 40 + 44 = 121 = 3 ⋅ 40 + 1,
37 + 40 + 46 = 123 = 3 ⋅ 41,
37 + 44 + 46 = 127 = 3 ⋅ 42 + 1
e
40 + 44 + 46 = 130 = 3 ⋅ 43 + 1.
É fácil ver que a única combinação de ônibus cuja soma dos passageiros é um múltiplo de 3 é
a dos ônibus I, II e IV. Logo, estes ônibus transportam a torcida e o ônibus dos atletas é o de
número III.
Resposta da questão 16:
a) De acordo com as informações, obtemos o sistema
n = 7p + 3
n = 5q + 4,
q=p+3
em que p e q são inteiros positivos. Logo, 5 ⋅ (p + 3) + 4 = 7p + 3 ⇔ p = 8 e, portanto, q = 11.
Donde podemos concluir que a instituição recebeu 7 ⋅ 8 + 3 = 59 computadores.
b) Sim, observando que 59 é um número primo, podemos colocar todos os computadores em
um única sala ou, supondo que existem 59 salas, 1 computador por sala.