ESTUDO NUMÉRICO DA SOLIDIFICAÇÃO AXIAL DO SISTEMA Al-Si
EM LINGOTEIRA COM GEOMETRIA CILINDRICA
F. S. RODRIGUES; C. SIQUEIRA; A.L.M., COSTA e J.R. P. VAZ
Universidade Federal do Pará – Faculdade de Engenharia de Materiais
Folha 17, Qd 04, Lote Especial, Nova Marabá, Marabá, PA, Brasil – 68505-080
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Resumo: No presente trabalho, a modelagem numérica foi desenvolvida
considerando o estudo em 2D. O modelo cilíndrico será seccionado
longitudinalmente, reduzindo a dimensão da geometria. O método numérico
utilizado neste trabalho corresponde ao de diferenças finitas em 2D, cuja
discretização foi desenvolvida utilizando-se as seguintes hipóteses: condução
de calor na região interna do lingote; convecção de ar na borda superior do
lingote; convecção de água na borda inferior do lingote. Quanto às paredes do
molde o código numérico está generalizado podendo ser considerado tanto
parede isolada, quanto parede com convecção natural de ar. Foram
considerados e implementados alguns aspectos termo-físico do sistema Al-Si,
para obtermos perfis de temperatura aceitáveis no que diz respeito à
aproximação numérica. Foram feitos testes e comparações com dados
experimentais para estudo da influencia da extração de calor nas propriedades
finais do material.
Palavras-chave:
Modelagem
matemática,
transferência
de
calor
na
solidificação, diferenças finitas.
INTRODUÇÃO
Muitos problemas práticos envolvem geometrias e condições de contorno
ou propriedades de variáveis complexas, e não podem ser resolvidos
analiticamente. Em geral, esses problemas mais complexos podem ser
resolvidos por métodos de análise numérica. Além disso, a análise numérica é,
com freqüência, mais eficiente em termos do tempo total requerido para
encontrar a solução. Outra vantagem é que ela facilita que se efetuem
mudanças nos parâmetros do problema, permitindo que o engenheiro
determine o comportamento de um sistema térmico ou aperfeiçoe mais
facilmente esse tipo de sistema.
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Os métodos analíticos de soluções resolvem as equações diferenciais que
regem a situação e podem fornecer uma solução em cada ponto no espaço e
no tempo dentro dos limites de contorno do problema. Em contraste, os
métodos numéricos fornecem a solução somente em pontos discretos dentro
dos limites de contorno do problema e oferecem apenas uma aproximação
para a solução exata. Entretanto, ao tratar a solução em somente um número
finito de pontos discretos, simplificamos o método para resolução de um
sistema de equações algébricas simultâneas, em oposição à resolução da
equação diferencial. A solução de um sistema de equações simultâneas é
tarefa ideal para os computadores.
Existe uma série de vantagens econômicas e físicas associadas à
aplicação de técnicas computacionais na indústria de fundição. A análise
analítico-numérica de solidificação de metais e ligas pode ter, atualmente, um
papel relevante, principalmente quando se trata de controlar ou melhorar a
produção em termos de qualidade e redução de custo. Portanto, o presente
trabalho, justifica-se pela importância que parâmetros térmicos de solidificação
possam ser controlados e, consequentemente, quantificado para um melhor
conhecimento do processo de fundição das peças.
O objetivo principal deste trabalho é tentar solucionar numericamente a
Equação Geral da Condução do Calor, utilizando um esquema de diferenças
finitas para a determinação do coeficiente de transferência de calor na interface
metal/molde em função do tempo para situações que envolvam a solidificação
do Sistema Al-Si, em diferentes condições.
MATERIAIS E MÉTODOS:
A EQUAÇÃO DA CONDUÇÃO DO CALOR
Para o estudo da solidificação de materiais metálicos é necessário
conhecer a equação da condução de calor na sua forma geral.
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T q&G 1 ∂T
+
+
+
=
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 k α ∂t
(1)
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Onde α =
k
é a difusividade térmica do material e depende da condutibilidade
ρc
térmica k , da massa específica ρ e do calor específico c .
No presente trabalho, a modelagem numérica será desenvolvida
considerando o caso em 2D. Desta forma, a equação (2) se reduz a:
∂ 2T ∂ 2T q&G 1 ∂T
+
+
=
∂x 2 ∂y 2 k α ∂t
(2)
A GEOMETRIA CILÍNDRICA
O modelo cilíndrico será seccionado longitudinalmente, reduzindo a
dimensão da geometria para 2D.
(A)
(B)
Figura 1 – (A) Lingoteira com geometria em 3D. (B) Modelo em 2D.
A forma discreta do modelo da Figura 1B por diferenças finitas é mostrada na
Figura 2.
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Figura 2 – Forma discreta do lingote utilizado no presente trabalho.
O MODELO NUMÉRICO
O método numérico utilizado neste trabalho corresponde ao método de
diferenças finitas em 2D, cuja discretização foi desenvolvida utilizando as
seguintes hipóteses:
™ Condução na região interna do lingote;
™ Convecção de ar na borda superior do lingote;
™ Convecção de água na borda inferior do lingote;
Quanto às paredes do molde o código numérico está generalizado
podendo ser considerado tanto parede isolada, quanto parede com convecção
natural de ar.
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Após a obtenção das equações do problema foi utilizado o Software
MATLAB, como linguagem de programação, uma vez que, o mesmo
corresponde a uma linguagem não-compilada de fácil utilização.
RESULTADOS E DISCUSSÕES
A Figura 3 apresenta curvas de valores transitórios do coeficiente de
transferência de calor metal/fluido (hi) para a liga Al-3%Si solidificadas em
molde de aço inoxidável SAE 310, polido, com espessura de 4mm e
superaquecimento de 2° C, utilizando-se os métodos de Scheil e a regra da
alavanca. Pode-se notar as curvas aparentemente não apresentam diferenças
significativas no que diz respeito a disparidade entre os dois métodos, apesar
que a partir de 20 segundos o método de Scheil nos mostra mais eficiência o
que compensa a melhor aproximação do método da regra da alavanca antes
de completar 20 s.
Nas Figuras 4 e 5 temos as curvas experimentais e simuladas para as
composições de Al-5%Si e Al-7%Si, onde a eficiência do método de Scheil é
evidente, o que ressalta um melhor desempenho desse equacionamento
matemático proposto por Scheil para ser adotada no processo de simulação
quando envolver ligas com concentrações maiores de soluto.
(A)
(B)
Figura 3 - Confronto de perfis térmicos teóricos e experimentais para liga
binária Al-3%Si. (A) Regra da Alavanca e (B) Modelo de Scheil.
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(A)
(B)
Figura 4 - Confronto de perfis térmicos teóricos e experimentais para liga
binária Al-5%Si. (A) Regra da Alavanca e (B) Modelo de Scheil.
(A)
(B)
Figura 5 - Confronto de perfis térmicos teóricos e experimentais para liga
binária Al-7%Si. (A) Regra da Alavanca e (B) Modelo de Scheil.
6. CONCLUSÕES:
O modelo numérico de solidificação utilizado na determinação de
variáveis térmicas de relevância do processo é validado no confronto
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teórico/experimental para todas as condições experimentais examinadas,
observando-se sempre uma boa concordância para o modelo de Scheil,
quando em composições próximas do eutético.
A medida que se elevam os valores da composição da liga do sistema
Al-Si os valores de (hi) tendem a diminuir.
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
(1) GARCIA, AMAURI (2001). ‘Solidificação: fundamentos e aplicações’,
Unicamp, Campinas.
(2) CRANK, J. (1975). ‘Finite difference methods’ in Moving Boundary Problems
in Heat Flow and Difusion (ed. J. E. Ockendon and W. R. Hodgkins),
Claredon Press, Oxford, 192-207
(3) CRANK, J. AND FURZELAND, R. M. (1977). ‘The numerical solution of
elliptic and parabolic partial differential equations with boundary
singularities’, Report No. TR/68 (Revised), Brunel Univertity.
(4) HANSELMAN, D. E LITTLEFIELD, B. (2003). ‘Matlab 6’ Curso Completo.
Pearson, São Paulo.
(5) MATSUMOTO, E. Y. (2001). ‘Matlab 6’ Fundamentos de Programação.
Érica, São Paulo.
(6) MANZANO, J. A. N. G. e OLIVEIRA, J. F. (200). ‘Algoritmos’ Lógica para
desenvolvimento de programação, Érica, São Paulo.
NUMERICAL ESTUDIES AXIAL OF SOLIDIFICACION AN Al-Si SISTEM
IN INGOTE WITH CYLINDRICAL GEOMETRY
ABSTRACT
In present work, numerical modeling was developed considering the estudy in
2D. The cylindrical model will be parted longitudinally, reducing the dimension
of geometry. The used numerical method in this work corresponds to the one of
finite differences in 2D, whose discretization was developed using the following
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hypotheses: conduction of heat in the internal region of the ingot; air convection
in the superior part of the ingot; water convection in the inferior part of the ingot.
How much to the walls of the mold the numerical code is generalized being able
to be considered as much isolated wall, how much wall with natural air
convection. They had been considered and implemented some aspects termphysicist of the Al-Itself system, to get acceptable profiles of temperature in
what it says respect to the numerical approach. Tests had been made and
comparisons with experimental data for study of influence of the extraction of
heat in the final properties of the material.
Key-words: Solidification, Numerical, Cylindrical.
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