UMA NOVA ABORDAGEM VECTOR FITTING PARA IDENTIFICAÇÃO DE
SISTEMAS COM DADOS NO DOMÍNIO DO TEMPO
Ricardo Schumacher∗, Gustavo H. C. Oliveira∗
∗
Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Paraná (UFPR)
Centro Politécnico, Jardim das Américas, 81531-980
Curitiba, Paraná, Brasil
Emails: [email protected], [email protected]
Abstract— System identification is present in several control system designs where a highly accurate model
for the process is required. In this context, a new Vector Fitting (VF) approach for linear system identification
using discrete-time rational functions-based models and time-domain (DT) data, called zVF-DT, is proposed
in this paper. This novel iterative technique, where the model is represented by a state-space realization, does
not need numerical integration methods required in the VF-DT approaches previously proposed, which use
continuous-time rational functions. Such realizations also enable the zVF-DT technique to be easily extended to
a new Orthonormal Vector Fitting (OVF) approach, called zOVF-DT, by replacing thus the pole-residue type
functions in the zVF-DT model by orthonormal basis functions. According to the paper results, the zVF-DT
and zOVF-DT techniques present an improvement (of up to 16 times) in the model’s approximation in terms of
the mean square error (EQM), when compared to the VF-DT techniques previously reported in the literature.
The convergence of the estimation procedure of the model is also accelerated, thereby reducing the number of
iterations needed and, consequently, the overall computational complexity.
Keywords—
process control, system identification, orthonormal vector fitting, time-domain vector fitting.
Resumo— A identificação de sistemas está presente em diversos projetos de sistemas de controle onde um
modelo altamente preciso para o processo é exigido. Nesse contexto, uma nova abordagem Vector Fitting (VF)
para identificação de sistemas lineares usando modelos baseados em funções racionais em tempo discreto e dados
no domı́nio do tempo (DT), denominada zVF-DT, é proposta neste trabalho. Essa nova técnica iterativa, onde
o modelo é representado a partir de uma realização em espaço de estados, dispensa a utilização de métodos de
integração numérica necessários nas abordagens VF-DT propostas anteriormente, que utilizam funções racionais
em tempo contı́nuo. Tais realizações também permitem que a técnica zVF-DT seja facilmente estendida para
uma nova abordagem Orthonormal Vector Fitting (OVF), denominada zOVF-DT, substituindo-se assim as funções do tipo polo-resı́duo do modelo zVF-DT por bases de funções ortonormais. De acordo com os resultados
apresentados, as técnicas zVF-DT e zOVF-DT apresentam uma melhora (em até 16 vezes) na aproximação do
modelo em termos do erro quadrático médio (EQM), comparativamente com as técnicas VF-DT anteriormente
propostas na literatura. A convergência no processo de estimação do modelo é também acelerada, reduzindo
assim o número de iterações necessário e, consequentemente, a complexidade (custo) computacional total.
Palavras-chave— controle de processos, identificação de sistemas, orthonormal vector fitting, vector fitting
no domı́nio do tempo.
1
Introdução
O projeto de sistemas de controle em geral depende da obtenção de um modelo matemático que
represente fielmente o processo a ser controlado
(Åström, 1996). Modelos matemáticos são geralmente obtidos a partir do conhecimento sobre os
fenômenos envolvidos no processo. Entretanto,
existem diversos casos onde se tem pouco conhecimento sobre tais fenômenos, porém, dados de
entrada e saı́da do processo estão disponı́veis para
medição, nesses casos, recorre-se à identificação de
sistemas (Ljung, 1999; Aguirre, 2007).
Na identificação de sistemas dinâmicos lineares, diversas técnicas baseiam-se em estruturas de modelos formadas por funções racionais
(Gustavsen and Semlyen, 1999; Grivet-Talocia,
2003; Deschrijver et al., 2007; Schumacher et al.,
2015). Dentre essas diversas técnicas, a abordagem Vector Fitting (VF) proposta por Gustavsen
and Semlyen (1999) tem despertado grande interesse na comunidade cientı́fica.
Proposta inicialmente no domı́nio s (ou seja,
com funções racionais em tempo contı́nuo) para
identificação de sistemas no domı́nio da frequência, a abordagem VF baseia-se num processo iterativo para realocação dos polos das funções presentes no modelo, a fim de aproximar respostas
em frequência de sistemas usando funções racionais do tipo polo-resı́duo. Com o propósito de
acelerar o processo de convergência e aumentar a
estabilidade numérica da técnica VF no processo
de estimação, Deschrijver et al. (2007) propuseram
a técnica Orthonormal Vector Fitting (OVF), que
utiliza bases de funções ortonormais racionais ao
invés de funções do tipo polo-resı́duo.
Por outro lado, a primeira abordagem VF
aplicada à identificação de sistemas com dados no
domı́nio do tempo (DT), denominada VF-DT, foi
proposta por Grivet-Talocia (2003). Com modelos formados por funções racionais em tempo contı́nuo, a técnica VF-DT foi inicialmente aplicada
na modelagem de sistemas multi-portas a partir
de transitórios eletromagnéticos, todavia, pouco
tempo depois, a técnica VF-DT passou também
a ser empregada em outras diversas aplicações
(Ubolli and Gustavsen, 2011). Apesar do evidente
sucesso na aplicação da abordagem VF para dados no domı́nio do tempo, abordagens VF-DT (ou
OVF-DT) com modelos formados por funções racionais (ortonormais) em tempo discreto permanecem pouco exploradas.
Desta forma, neste trabalho, uma nova abordagem VF-DT com modelos formados por funções racionais em tempo discreto, denominada
zVF-DT, é proposta. Quando comparada com a
técnica VF-DT tradicional, um modelo zVF-DT
pode apresentar uma melhor aproximação quanto
ao erro quadrático médio (EQM) e uma convergência mais rápida na estimação. O modelo zVFDT é representado a partir de uma realização em
espaço de estados, dispensando assim a utilização de métodos de integração numérica necessários nas técnicas VF-DT propostas anteriormente.
A representação por espaço de estados também
possibilita a utilização de bases de funções ortonormais na estrutura do modelo e, portanto, permite que a técnica zVF-DT seja facilmente estendida para a técnica zOVF-DT, substituindo-se as
funções do tipo polo-resı́duo pelas chamadas funções ortonormais de Takenaka-Malmquist, o que
torna a abordagem proposta ainda mais robusta.
Este trabalho está organizado da seguinte maneira. Na Seção 2, a técnica zVF-DT é formulada. A extensão da abordagem zVF-DT para
a técnica zOVF-DT é apresentada na Seção 3.
Na Seção 4, dois estudos de caso são avaliados
comparando-se as técnicas zVF-DT, zOVF-DT e
VF-DT. Para a abordagem VF-DT, consideramse dois métodos diferentes de integração numérica:
convolução recursiva (CR) e integração trapezoidal (IT) (Grivet-Talocia, 2003; Ubolli and Gustavsen, 2011). Por fim, a Seção 5 apresenta as
conclusões deste trabalho.
2
Vector Fitting no Domı́nio do Tempo:
Abordagem Discreta (zVF-DT)
A relação entre a entrada U0 (z) e a saı́da Y0 (z) em
um sistema dinâmico linear invariante no tempo
pode ser representada pela função de transferência
racional H0 (z) tal que
Y0 (z) = H0 (z)U0 (z).
(1)
Assim como na abordagem VF tradicional
(Gustavsen and Semlyen, 1999), assume-se que o
produto das funções σ(z)H0 (z) possa ser aproximado por
σ(z)H0 (z) ≈ r0 +
N
X
rn
,
z − an
n=1
(2)
onde
σ(z) = 1 +
N
X
r̃n
.
z
−
an
n=1
(3)
Em (2) e (3), N representa a ordem de truncamento do modelo, {rn } e {r̃n } são conjuntos desconhecidos de resı́duos e {an } é um conjunto conhecido de polos iniciais pertencentes ao cı́rculo
unitário |z| < 1. Substituindo-se (1) e (3) em (2),
pode-se chegar em
Y0 (z) ≈ r0 U0 (z)+
N
X
rn Ũn (z)−
n=1
N
X
r̃n Ỹn (z), (4)
n=1
onde
Ũn (z)
=
Ỹn (z)
=
1
U0 (z),
z − an
1
Y0 (z).
z − an
(5)
Perceba que a expressão em (4) pode ser representada por uma estrutura de modelo em espaço de
estados descrita por
e
e
z U(z)
= A U(z)
+ B U0 (z),
e
e
z Y(z) = A Y(z)
+ B Y0 (z),
e
e
Y (z) = r0 U0 (z) + r U(z)
− r̃ Y(z),
(6)
onde Y (z) representa a saı́da do modelo, (·)T denota o transposto,
T
e
U(z)
=
,
Ũ1 (z) Ũ2 (z) · · · ŨN (z)
T
e
,
Y(z)
=
Ỹ1 (z) Ỹ2 (z) · · · ỸN (z)
r1 r2 · · · rN ,
r =
r̃1 r̃2 · · · r̃N .
r̃ =
Se todos os polos {an } são reais, então o par de
matrizes A e B das equações de estado é dado por



A=

a1
0
..
.
0
a2
..
.
···
···
..
.
0
0
..
.
0
0
···
aN






 B=


1
1
..
.



,

(7)
1
tal que as funções de transferência da entrada (ou
saı́da) para os estados em (6) são dadas por


1
 z − a1 
e
e


U(z)
Y(z)
..
−1
 . (8)
=
= (zI − A) B = 
.


Y0 (z)
U0 (z)


1
z − aN
Entretanto, se an e an+1 formam um par complexo conjugado a∗n = an+1 , então as submatrizes
correspondentes em (7) são substituı́das por
<e{an }
Imag{an }
2
b
b
An =
Bn =
,
−Imag{an }
<e{an }
0
1
de modo com que as funções
z − an
1
e
em (8) são substituı́das por
z − an+1
1
j
1
j
e
, res+
−
z − an
z − a∗n
z − an
z − a∗n
pectivamente. Dessa forma, o modelo em espaço
de estados em (6) apresenta respostas reais ao impulso mesmo na presença de polos complexos.
Finalmente, a abordagem VF-DT em tempo
discreto (zVF-DT) é obtida aplicando-se a transformada Z inversa em (6):1
ũ(k) = A ũ(k − 1) + B u0 (k − 1),
ỹ(k) = A ỹ(k − 1) + B y0 (k − 1),
y(k) = r0 u0 (k) + r ũ(k) − r̃ ỹ(k),
(9)
ou, de forma equivalente,
y(k) = r0 u(k) +
N
X
rn ũn (k) −
n=1
N
X
r̃n ỹn (k). (10)
n=1
A estimativa para os resı́duos {rn } e {r̃n }
em (10) pode ser encontrada a partir de um
conjunto de amostras discretizadas (y0 (k), u0 (k)),
k = 1, ..., K, utilizando-se a solução mı́nima quadrática:
−1 T
θest = XT X
X y,
(11)
onde θest =



X=

est
r0
u(1)
u(2)
..
.
rest
ũT (1)
ũT (2)
..
.
r̃est
T
,
−ỹT (1)
−ỹT (2)
..
.
u(K) ũT (K) −ỹT (K)
T
y = y(1) y(2) . . . y(K)





(12)
Assim como no VF tradicional, o conjunto de
polos {an } a ser utilizado na próxima iteração é
encontrado como sendo os zeros de σ(z), que podem ser facilmente obtidos a partir do cálculo dos
autovalores da matriz (A − Br̃est ). Polos instáveis são realocados para a região estável |z| < 1
invertendo-se seus respectivos módulos.
O processo iterativo converge quando os resı́duos {r̃n } tendem a zero. Quando isso acontece,
a diferença entre os polos e zeros de σ(z) tornase suficientemente pequena, fazendo com que σ(z)
tenda a unidade. O modelo final pode então ser
estimado desprezando-se ỹ(k) em (12) e r̃est em
(11), de modo com que o modelo em espaço de
estados resultante é dado por
ũ(k) = A ũ(k − 1) + B u0 (k − 1),
y(k) = r0 u0 (k) + r ũ(k).
(13)
O algoritmo zVF-DT pode ser resumido da
seguinte maneira:
1 Para sistemas com um atraso de transporte (d) inicialmente conhecido, pode-se incluir tal atraso diretamente
nas equações de estado do modelo, substituindo-se os termos u0 (k − 1), y0 (k − 1) e u0 (k) em (9) por u0 (k − 1 − d),
y0 (k − 1 − d) e u0 (k − d), respectivamente.
1. Define-se o número de iterações, a ordem
do modelo e o conjunto de polos iniciais.
Seleciona-se o conjunto de dados (no domı́nio do tempo) de estimação (y0 (k), u0 (k)),
k = 1, ..., K.
2. Obtém-se A e B.
3. Calcula-se a matriz X a partir das equações
de estado em (9) e obtém-se a solução mı́nima
quadrática em (11).
4. Caso seja a última iteração, obtém-se o modelo final em (13) e valida-se esse modelo a
partir de um conjunto de dados de validação.
Caso contrário, calcula-se o conjunto de polos
{an } a ser usado na próxima iteração (autovalores da matriz A − Br̃est ) e retorna-se ao
passo 2.
3
Orthonormal Vector Fitting no
Domı́nio do Tempo (zOVF-DT)
Assim como na abordagem OVF tradicional
(Deschrijver et al., 2007), a técnica zOVF-DT
pode ser obtida substituindo-se as funções tradicionais em (5) pelas chamadas funções ortonormais
de Takenaka-Malmquist (Heuberger et al., 2005).
Como pode ser percebido em (8), as matrizes A e
B são as responsáveis pela determinação da base
de funções usada no modelo e, portanto, os algoritmos zVF-DT e zOVF-DT são iguais, exceto pela
construção (a cada iteração) dessas duas matrizes.
Na técnica zOVF-DT, se an é real e |an | < 1,
a entrada U0 (z) e a saı́da Y0 (z) são filtradas pelas
funções
p
Φn (z)
Ln (z)
1 − a2n
Ln (z),
z − an
n−1
Y 1 − a∗j z =
,
z − aj
j=1
=
(14)
(15)
e o par de matrizes A e B em (9) é dado pela
construção em cascata:





A=



A1
B2 C1
B3 D2 C1
B4 D3 D2 C1
..
.
0
A2
B3 C2
B4 D3 C2
..
.
···
···
···
···
..
.
 BN DN −1 · · · D2 C1 BN DN −1 · · · D3 C2 · · ·
B1


B
2 D1




B
D
D
3
2
1


B =  B4 D3 D2 D1
,




..


.
BN DN −1 · · · D1
(16)
0
0
0
0
..
.
AN









onde
An
Cn
Bn
Dn
=
p an
1 − a2n
p
1 − a2n
, (17)
−an
tal que


Φ1 (z)
e
e
Y(z)
U(z)


..
=
= (zI − A)−1 B = 
 . (18)
.
Y0 (z)
U0 (z)
ΦN (z)
Entretanto, para que o modelo em (9) tenha respostas reais ao impulso no caso em que a∗n = an+1 ,
Φn (z) e Φn+1 (z) em (14) são substituı́das pelas
funções
p
1 − c2n (z − bn )
Ln (z),
Φn (z)
=
∗
(z − an )(z
p − an )
p
(19)
2
2
1 − c n 1 − bn
Ln (z),
Φn+1 (z) =
(z − an )(z − a∗n )
2<e{an }
e cn = −|an |2 . De forma
1 + |an |2
equivalente, isso significa que, quando existe um
par complexo conjugado de polos, as quádruplas
(An , Bn , Cn , Dn ) e (An+1 , Bn+1 , Cn+1 , Dn+1 ) na
construção em cascata em (16) devem ser substituı́das pela quádrupla:
"
#
bn B
bn
A
bn D
bn =
C
p
p


−bn cn
cn 1 − b2n
1 − c2n
p


1 − b2n
bnp
0
p
p
2
2
2
−bn 1 − cn
1 − bn 1 − c n
−cn
(20)
onde bn =
4
4.1
Resultados
Sistema de 5a Ordem
Considere o sistema não amortecido de 5a ordem
descrito por (Schumacher et al., 2015):
(s2 + 0,1s + 15)(s2 + 0,1s + 30)
.
(s + 1)(s2 + 0,1s + 5)(s2 + 0,1s + 20)
(21)
Hz (z) é obtida a partir da aproximação bilinear
(Tustin) de Hs (s) considerando-se um intervalo
de amostragem de 0,1s. O sinal de entrada u0 (k),
k = 1, ..., 3000 é então filtrado por esse sistema
dando origem a saı́da
As primeiras 1000 amostras da simulação são
descartadas devido aos transitórios iniciais. O
conjunto de dados de estimação é formado pelas
amostras (y0 (k), u0 (k)) referentes à primeira metade do conjunto de amostras restantes. A outra metade do conjunto é deixada para validação
dos modelos. Neste exemplo, são utilizadas vinte
iterações no processo de estimação e modelos de
5a ordem (N = 5)2 com todos os polos iniciais
em 0,6065. Uma vez que o intervalo de amostragem é conhecido, o respectivo conjunto de polos iniciais no domı́nio s para as técnicas “VFDT usando CR” e “VF-DT usando IT” (GrivetTalocia, 2003; Ubolli and Gustavsen, 2011) pode
ser obtido a partir do mapeamento s = ln(z)/∆t,
onde ∆t denota o intervalo de amostragem.
A Figura 1 mostra o EQM obtido para cada
modelo durante o processo de realocação dos polos. Estes valores de EQMs, foram calculados a
partir dos modelos finais (estimados) em (13), ao
término de cada iteração. É possı́vel observar que
o modelo zOVF-DT converge mais rapidamente
(na terceira iteração) e para um valor próximo ao
apresentado pelo zVF-DT, sendo que este segundo
modelo converge uma iteração após (quarta iteração). Os modelos “VF-DT usando CR” e “VF-DT
usando IT” apresentam um pior desempenho (em
termos de EQM) quando comparados aos modelos
zVF-DT e zOVF-DT. Para este exemplo, o método de integração IT apresenta um menor EQM
final se comparado ao método de integração CR.
As saı́das dos modelos são agora comparadas frente aos dados de validação. Como pode
ser visto comparando-se as Figuras 2 e 3, os modelos “VF-DT usando IT”, VF-DT e zOVF-DT
adequam-se à saı́da medida. Os EQMs obtidos na
validação (para cada modelo) são apresentados na
Tabela 1. Observa-se que ambas as técnicas propostas neste trabalho apresentam vantagens significativas (em termos de aproximação) quando
comparadas com as técnicas propostas anteriormente.
Hs (s) =
y00 (k) = Hz (q)u0 (k),
(22)
onde u0 (k) possui uma distribuição normal com
média 0 e desvio padrão unitário. A saı́da é então
perturbada por um ruı́do de medição, tal que a
saı́da medida é dada por
y0 (k) = y00 (k) + ny (k),
(23)
onde ny (k) possui uma distribuição normal com
média 0 e desvio padrão 0,5.
4.2
Braço Robótico
Este exemplo trata da identificação de um braço
robótico instalado num motor elétrico. Os dados
(disponibilizados de forma online pela base de dados DaISy (De Moor, 2005)) são coletados a partir
da medição da aceleração do braço robótico devido ao torque de reação (em relação ao solo) na
estrutura. O intervalo de amostragem não é fornecido pela base de dados e, portanto, considera-se
∆t = 1s.
De um total de 1024 medições (torqueaceleração), as primeiras 512 amostras são escolhidas para formar o conjunto de dados de estimação,
enquanto a outra metade é usada para validação
2 Os critérios de informação de Akaike também podem
ser utilizados como método para seleção de N .
VF−DT usando CR
VF−DT usando IT
zVF−DT
zOVF−DT
5
4
Tabela 1: Sistema de 5a ordem: EQMs dos modelos
para dados de validação.
EQM
3
2
Modelo
EQM (validação)
VF-DT usando CR
VF-DT usando IT
zVF-DT
zOVF-DT
4.635
0.934
0.470
0.470
1
0
0
5
10
iteração
15
20
Figura 1: Sistema de 5a ordem: EQM no processo de
estimação dos modelos.
4
amplitude do sinal de saída
3
Medição
VF−DT usando CR
VF−DT usando IT
2
1
0
−1
−2
−3
−4
20
25
30
tempo [s]
35
40
Figura 2: Sistema de 5a ordem: Saı́das dos modelos
“VF-DT usando CR” e “VF-DT usando IT” para dados
de validação.
4
amplitude do sinal de saída
3
Medição
zVF−DT
zOVF−DT
2
1
0
−1
−2
−3
−4
20
25
30
tempo [s]
35
40
Figura 3: Sistema de 5a ordem: Saı́das dos modelos
zVF-DT e zOVF-DT para dados de validação.
dos modelos. Neste exemplo, são utilizadas dez
iterações no processo de estimação e modelos de
2a ordem (N = 2) com polos iniciais polos iniciais
(no domı́nio z) em {0,6065; 0,6065}.
A Figura 4 mostra os EQMs obtidos para cada
modelo durante o processo de realocação dos polos. Assim como no exemplo anterior, o modelo
zOVF-DT converge mais rapidamente (na terceira
iteração) e para um valor próximo ao apresentado
pelo zVF-DT, sendo que este segundo modelo converge uma iteração após (quarta iteração). Os modelos “VF-DT usando CR” e “VF-DT usando IT”
apresentam um pior desempenho (em termos de
EQM) quando comparados aos modelos propostos neste trabalho. Entretanto, pode-se perceber
que, para este exemplo, o método de integração
CR é mais adequado.
As saı́das dos modelos são agora comparadas frente aos dados de validação. Como pode
ser visto comparando-se as Figuras 5 e 6, os modelos VF-DT e zOVF-DT melhor adequam-se à
saı́da medida. Os EQMs obtidos na validação
(para cada modelo) são apresentados na Tabela
2. Observa-se, novamente, que as técnicas VFDT e zOVF-DT apresentam vantagens significativas (em termos de aproximação) se comparadas
com as técnicas propostas anteriormente.
5
Conclusões
Neste trabalho, a técnica zVF-DT, baseada em
modelos formados por funções racionais em tempo
discreto, foi proposta. Sua extensão para a técnica zOVF-DT, onde modelos com funções ortonormais são usados ao invés de modelos com funções do tipo polo-resı́duo, também foi apresentada. Nessa nova abordagem em tempo discreto,
os sinais filtrados {ũn (k)} e {ỹn (k)} podem ser obtidos a partir das equações de estado do modelo,
diferentemente das técnicas VF-DT propostas anteriormente em tempo contı́nuo, onde {ũn (k)} e
{ỹn (k)} são estimados por integração numérica.
A partir dos resultados apresentados, pode-se observar que as técnicas propostas apresentam uma
melhora (em até 16 vezes) no desempenho, em termos do EQM, se comparadas com as técnicas “VFDT usando CR” e “VF-DT usando IT”, propostas
anteriormente. Em ambos os exemplos utilizados,
as técnicas zVF-DT e zOVF-DT convergiram com
3 e 4 iterações, respectivamente, acelerando assim
a taxa de convergência do processo iterativo. O
sucesso na aplicabilidade da abordagem proposta
também foi observado em diversos casos diferentes dos dois apresentados nesse trabalho. Em trabalhos futuros, pretende-se estender a abordagem
VF-DT proposta para estruturas de modelos do
tipo ARX.
Agradecimentos
0.08
Os autores deste trabalho agradecem à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior (CAPES) pelo suporte financeiro recebido
e à base de dados DaISy pela disponibilização gratuita dos dados utilizados neste trabalho.
0.07
0.06
VF−DT usando CR
VF−DT usando IT
zVF−DT
zOVF−DT
EQM
0.05
0.04
0.03
Referências
0.02
0.01
0
0
2
4
6
8
10
iteração
Figura 4: Sistema Braço Robótico: EQM no processo
de estimação dos modelos.
aceleração normalizada (ms−2)
0.8
Medição
VF−DT usando CR
VF−DT usando IT
0.6
0.4
0.2
0
−0.4
−0.6
750
800
tempo [s]
850
900
Figura 5: Sistema Braço Robótico: Saı́das dos modelos “VF-DT usando CR” e “VF-DT usando IT” para
dados de validação.
0.8
aceleração normalizada (ms−2)
De Moor, B. L. R. (2005).
DaISy: Database for the Identification of Systems,
Departament of Electrical Engineering,
ESAT/STADIUS, Belgium. URL: http:
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visitado em 22/04/2015. [Base de dados
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IEEE Transactions on Advanced Packaging
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−0.2
−0.8
Aguirre, L. A. (2007). Introdução à Identificação
de Sistemas: técnicas lineares e não-lineares
aplicadas a sistemas reais, 3 edn, Editora da
UFMG, Belo Horizonte.
Medição
zVF−DT
zOVF−DT
0.6
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Gustavsen, B. and Semlyen, A. (1999). Rational
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0.4
Heuberger, P. S. C., Van den Hof, P. M. J. and
Wahlberg, B. (2005). Modeling and Identification with Rational Orthogonal Basis Functions, Springer, London.
0.2
0
−0.2
Ljung, L. (1999). System Identification: Theory
for the User, 2 edn, Prentice Hall.
−0.4
−0.6
−0.8
750
800
tempo [s]
850
900
Figura 6: Sistema Braço Robótico: Saı́das dos modelos zVF-DT e zOVF-DT para dados de validação.
Tabela 2: Sistema Braço Robótico: EQMs dos modelos para dados de validação.
Modelo
EQM (validação)
VF-DT usando CR
VF-DT usando IT
zVF-DT
zOVF-DT
0.0588
0.0695
0.0042
0.0042
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Schumacher, R., Oliveira, G. H. C. and Mitchell,
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