D I S C I P L I N A
Astronomia
Leis de Kepler e a
gravitação universal
Autores
Joel Câmara de Carvalho Filho
Auta Stella Medeiros Germano
aula
10
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Revisora das Normas da ABNT
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Eugenio Tavares Borges
Thalyta Mabel Nobre Barbosa
Divisão de Serviços Técnicos
Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”
Carvalho Filho, Joel Câmara de.
Astronomia: Interdisciplinar / Joel Câmara de Carvalho Filho, Auta Stella de Medeiros Germano. – Natal,
RN: EDUFRN, 2007.
300 p. : il.
1. Astronomia. 2. Sistema Solar. 3. Fenômenos astronômicos. 4. Astrofísica. 5. Cosmologia. I. Germano, Auta Stella de Medeiros.
ISBN
RN/UF/BCZM
2007/54
CDD 520
CDU 52
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- Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Apresentação
N
esta aula, veremos como as observações cuidadosas do movimento dos planetas
levaram, através de uma análise rigorosa, à formulação correta das leis que regem o
movimento dos mesmos em torno do Sol: as chamadas Leis de Kepler. Estudaremos
também como Isaac Newton, posteriormente, criou uma teoria para explicar esse movimento
baseando-se na força de atração entre os corpos, ou seja, a gravitação universal.
Objetivos
1
Entender como as observações do movimento dos
planetas em torno do Sol permitiram a concepção das
leis que regem tal movimento.
2
Perceber as principais diferenças entre as órbitas
circulares do sistema heliocêntrico de Copérnico e as
órbitas elípticas introduzidas por Kepler.
3
Conhecer a lei da gravitação universal concebida por
Newton e conhecer como ela pode explicar tanto o
movimento dos corpos celestes como, por exemplo, a
queda livre de um corpo na superfície da Terra.
Aula 10 Astronomia
As observações de Tycho Brahe
A
FONTE: <http://www.nada.kth.se/~fred/tycho/index.html>.
Acesso em: 04 set. 2007.
descoberta das leis do movimento dos planetas e o posterior desenvolvimento da lei
da gravitação universal que estudaremos nesta aula só se tornaram possíveis devido
às observações sistemáticas do céu. Tais observações foram levadas a cabo desde a
Antiguidade até o início da Era Moderna por grandes astrônomos, que dedicaram suas vidas
a esse extenuante trabalho. Entre estes, destaca-se Tycho Brahe (Figura 1).
Figura 1 - O grande astrônomo dinamarquês Tycho Brahe
Antes da invenção do telescópio, as observações astronômicas eram feitas a olho nu.
Diversos instrumentos foram desenvolvidos para tal fim. Apesar de, quando comparados
com os instrumentos modernos, parecerem rudimentares, eles ofereciam uma precisão
na medida da posição dos astros razoavelmente boa para que fosse possível determinar e
realizar previsões sobre o movimento dos corpos celestes.
Já na Grécia Antiga, o astrônomo Hiparcus, que viveu no segundo século a.C., realizou
um trabalho sistemático de observação do céu. A maior parte do sistema geocêntrico de
Ptolomeu, por exemplo, discutido na aula 8 (Sistemas cosmológicos), foi baseado nas suas
conclusões. Hiparcus determinou os comprimentos das estações, mediu o ano com precisão,
descobriu a precessão dos equinócios e calculou o diâmetro do Sol e da Lua usando os
eclipses. Mais importante ainda, Hiparcus elaborou a primeira carta celeste detalhada dando
as posições de mais de 850 estrelas.
Contudo, o maior astrônomo do início da Era Moderna é, sem dúvida alguma, Tycho
Brahe (1546-1601). Brahe nasceu na Dinamarca sendo descendente de uma família de
nobres. Seu interesse pela Astronomia começou aos 14 anos quando assistiu maravilhado
a um eclipse solar.
Aula 10 Astronomia
Aos 16 anos, foi enviado a Leipzig, na Alemanha, para estudar Direito, mas seu maior
interesse era a Astronomia. Começou a observar os astros e, em 1563, observando a
passagem de Júpiter perto de Saturno, verificou que a previsão do fenômeno pelas tabelas
existentes produziu erros de vários dias. Então, Brahe concluiu: somente tabelas calculadas
através de observações precisas e sistemáticas das posições dos planetas levadas a cabo
por um longo período de tempo solucionariam esse tipo de problema. Por outro lado,
estudando as observações existentes na sua época, descobriu erros aos quais atribuiu o fato
dos instrumentos utilizados até então serem pequenos e mal calibrados. Teve início, assim,
um trabalho que o acompanharia até o fim de sua vida. Financiado pelo Rei Frederico II, da
Dinamarca, Tycho construiu seu próprio observatório, chamado Uraniborg, numa ilha doada
a ele pelo rei e onde realizou suas observações; contratou artesãos com grande habilidade e
supervisionou a construção de instrumentos de grande porte e alta precisão.
FONTE: <http://www.soteorias.info/cosmologia/tycho.htm>.
Acesso em: 05 set. 2007.
Alguns exemplos dos seus instrumentos são mostrados na Figura 2: o quadrante
de azimute, o sextante e a grande armilar equatorial cujo círculo de declinação media 2,9
metros de diâmetro. Esses instrumentos foram instalados no seu observatório de Uraniborg
e, mais tarde, no outro observatório por ele construído, o Stjerneborg, que significa
“castelo das estrelas”.
Figura 2 - Instrumentos usados por Tycho Brahe. À esquerda, o quadrante de azimute de 3 metros, no centro
o sextante de cerca de 1,8 metro e a grande armilar equatorial à direita, com cerca de 4,8 metros de altura.
Em 1599, a convite do rei da Boêmia Rudolf II, Tycho Brahe mudou-se para Praga onde
instalou seus instrumentos. Nesse período, ele recebe como ajudante o jovem astrônomo
Johannes Kepler para o qual passaria suas observações.
Tycho Brahe foi, sem dúvida alguma, um dos maiores observadores de todos os
tempos, suas observações de alta precisão permitiram a Kepler deduzir as leis sobre as
órbitas dos planetas.
Aula 10 Astronomia
Breve biografia
de Johannes Kepler
J
FONTE: <http://wind.caspercollege.edu/~marquard/astronomy/
europe1.html> Acesso em: 06 set. 2007.
ohannes Kepler (Figura 3) nasceu na atual Alemanha em 1571 de parto prematuro e teve
várias enfermidades durante a infância, tendo sido uma criança fraca e doente. Mesmo
assim, foi um menino brilhante e fez todos se surpreenderem com suas habilidades
matemáticas. Na juventude, entrou num seminário protestante a fim de seguir a carreira de
pastor, mas, pouco antes de ordenar-se sacerdote, recebeu o convite para ensinar Astronomia
na escola protestante de Graz, na Áustria, e para lá partiu em 1594, aos 23 anos.
Figura 3 - Johannes Kepler (1571-1630)
Kepler era profundamente religioso e místico. Tinha uma visão pitagórica do Universo,
ou seja, acreditava na natureza matemática da sua estrutura. Durante o período em que viveu
em Graz, o primeiro trabalho de Kepler tratou de uma teoria para as órbitas dos planetas do
Sistema Solar baseada nas idéias de Platão acerca da existência dos sólidos geométricos
“perfeitos”. Esses sólidos são os únicos poliedros regulares: tetraedro, hexaedro (cubo),
octaedro, dodecaedro e icosaedro. Kepler verificou que os cinco sólidos platônicos poderiam
ser inscritos e circunscritos por esferas. Dispondo tais esferas de forma concêntrica, tendo
cada uma delas um dos cinco sólidos inscrito, ele produziria seis camadas, correspondendo
aos seis planetas conhecidos: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno. Se a ordem
dos sólidos inscritos nas esferas concêntricas fosse (de dentro para fora) octaedro, icosaedro,
dodecaedro, tetraedro e cubo seria possível as esferas serem dispostas em intervalos que
corresponderiam aos tamanhos relativos das órbitas de cada planeta (Figura 4). Esse modelo
supunha, naturalmente, que o Sistema Solar era heliocêntrico (de Copérnico) e que as órbitas
planetárias eram circulares. Kepler publicou esse trabalho em 1596, sob o título de Mysterium
Cosmographicum (O Mistério Cósmico), consolidando-se como um grande astrônomo.
Aula 10 Astronomia
FONTE: <http://cse.ssl.berkeley.edu/bmendez/ay10/2002/
notes/lec6.html> Acesso em: 06 set. 2007.
Figura 4 - Modelo dos sólidos platônicos de Kepler para o sistema solar
Em 1600, Kepler havia se tornado bastante conhecido como astrônomo e matemático
e foi convidado por Tycho Brahe para trabalhar como seu assistente no seu observatório em
Praga. Após a morte de Brahe, Kepler foi nomeado diretor do observatório, tendo também
herdado todas as suas observações. Ali, desenvolveu o trabalho que o levaria mais tarde a
descobrir as três leis sobre as órbitas planetárias. Em 1612, mudou-se de Praga para ser
professor em uma pequena escola em Linz, na Áustria, e faleceu em novembro de 1630.
As Leis de Kepler
Q
uando Kepler foi trabalhar em Praga no observatório de Tycho Brahe, este lhe sugeriu
estudar o problema da órbita de Marte. Kepler logo iniciou esses estudos e continuou
por mais de cinco anos. Como vimos nas aulas 8 (Sistemas cosmológicos) e 9
(Galileu e a nova Física), a idéia dominante na época era a de que os planetas deveriam
descrever órbitas circulares. Isso estava de acordo com a concepção aristotélica da perfeição
do círculo associada à perfeição que deveria existir no mundo astral. Além disso, Kepler
era um defensor da teoria de Copérnico, o qual afirmava que as órbitas dos planetas eram
circulares. Durante anos, Kepler tentou, sem sucesso, ajustar os dados das observações
de Brahe da órbita de Marte a um círculo. No entanto, o ajuste sempre resultava numa
diferença de alguns minutos de arco e ele sabia que as observações do grande astrônomo
não poderiam estar tão incorretas.
Assim, apesar de uma relutância inicial, Kepler começa a abandonar a idéia considerada
intocável, há quase dois mil anos, da perfeição da forma circular. Ele verificou que se
supusesse que a órbita de Marte era oval, ou seja, possuísse uma forma elíptica em vez
de circular (Figura 5), as observações de Brahe sobre as posições do planeta concordavam
muito bem com seus cálculos. Kepler imediatamente concluiu que as órbitas dos planetas
eram elípticas com o Sol ocupando um dos focos.
Aula 10 Astronomia
FONTE: <http://csep10.phys.utk.edu/astr161/lect/
history/kepler.html> Acesso em: 07 set. 2007.
Circulo
Elípse
C
b
A
e
a
F1
F2
D
B
X
Figura 6 - Características de uma elipse
A elipse, como você pôde verificar na disciplina Álgebra Linear II, na aula 14 (Quadráticas),
é uma figura geométrica plana (Figura 6) definida como uma curva cuja soma das distâncias
(F1 X + F2 X) de qualquer um ponto (X) sobre a mesma a dois pontos fixos (F1 e F2 ),
chamados focos, é constante.
Ela possui as seguintes propriedades: a linha AB é chamada eixo maior; a linha CD
é o eixo menor; e os pontos F1 e F2 são chamados focos da elipse. As distâncias a e b são
o semi-eixo maior e o semi-eixo menor, respectivamente. Ela também é caracterizada por
um número e, chamado excentricidade, que é igual à distância entre os focos F1 F2 dividida
pelo eixo maior, ou seja,
e=
F1 F2
.
AB
A excentricidade é uma grandeza que varia de 0 a 1. Quando a excentricidade é igual a
0, a elipse torna-se um círculo, pois F1 coincide com F2 , sendo a distância F1 F2 igual a 0,
e a distância AB o diâmetro do círculo. Quanto maior a excentricidade, mais alongada será
a elipse (Figura 7).
Aula 10 Astronomia
FONTE: <http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/
Elipse.png> Acesso em: 06 set. 2007.
Figura 5 - Diferença entre círculo e elipse
FONTE: <http://csep10.phys.utk.edu/astr161/lect/
history/kepler.html> Acesso em: 07 set. 2007.
Excentricidade crescente
Figura 7 - Excentricidade de uma elipse
Atividade 1
eixo maior
eixo menor
foco
FONTE: <http://www.daviddarling.info/encyclopedia/E/ellipse.html> Acesso em: 06 set. 2007.
Tome um pedaço de barbante e marque dois pontos (os focos da elipse) sobre
uma reta (a distância entre os dois pontos deve ser menor que o comprimento do
barbante). Fixe as extremidades do barbante nestes dois pontos e, tencionando
o barbante com um lápis, desenhe uma curva fechada, como mostrado na
Figura 8. Dessa forma, você deverá obter uma elipse.
foco
semi-eixo maior
Figura 8 - Como construir uma elipse
Com a descoberta de que a órbita de Marte não era circular e sim elíptica, Kepler fez
imediatamente uma generalização e enunciou a sua primeira lei, como veremos a seguir.
Aula 10 Astronomia
Primeira Lei de Kepler do movimento planetário
sol
planeta
xx
x
foco
Figura 9 - Primeira Lei de Kepler
Na Figura 9, vemos uma ilustração dessa lei. Como podemos observar, o Sol não está
no centro da elipse e sim num dos focos. Como o planeta segue a elipse, a distância, por
exemplo, da Terra ao Sol está sempre mudando. Numa órbita circular, essa distância seria
constante, igual ao raio do círculo. Na ilustração anterior, mostramos uma órbita bastante
excêntrica. As órbitas reais são muito menos excêntricas do que esta.
Os cálculos realizados por Kepler levaram-no a descobrir duas outras leis as quais
discutiremos a seguir.
Segunda Lei de Kepler do movimento planetário
Se traçarmos uma linha imaginária unindo o Sol a um planeta, ela varrerá áreas
iguais em intervalos de tempo iguais enquanto o planeta viaja em torno do Sol
sobre a elipse no seu movimento orbital.
Aula 10 Astronomia
FONTE: <http://csep10.phys.utk.edu/astr161/lect/history/kepler.
html> Acesso em: 07 set. 2007.
Os planetas descrevem elípticas em torno do Sol estando este situado em um
dos focos da elipse.
FONTE: <http://csep10.phys.utk.edu/astr161/lect/history/
kepler.html> Acesso em: 07 set. 2007.
Figura 10 - Segunda Lei de Kepler
A Figura 10 ilustra bem essa lei: o planeta executa o movimento elíptico mudando
constantemente a sua velocidade angular enquanto se move sobre sua órbita. Quando está
mais afastado do Sol, o planeta se move mais lentamente enquanto seu movimento será
mais rápido ao se aproximar do Sol.
O ponto de maior aproximação do planeta ao Sol é denominado periélio e o ponto de
máxima separação é denominado afélio. Assim, de acordo com a Segunda Lei de Kepler, o
planeta move-se mais rapidamente quando está no periélio e mais lentamente quando está
próximo ao afélio.
Terceira Lei de Kepler do movimento planetário
A razão dos quadrados dos períodos P1 e P2 de revolução em torno do Sol de
dois planetas é igual à razão dos cubos de seus semi-eixos maiores R1 e R2 .
P12
R13
=
P22
R23
Colocamos essa lei sob a forma de uma relação matemática simples. Outra forma de
enunciá-la é dizer que P 2 é proporcional a R3 , em que P é o período orbital de um planeta
e R, o semi-eixo maior da elipse que ele descreve.
De acordo com a Terceira Lei de Kepler, o período de um planeta em torno do Sol
aumenta rapidamente com o raio de sua órbita. Por exemplo, Mercúrio, que é o planeta mais
próximo do Sol, leva somente 88 dias para completar uma órbita em torno do Sol, enquanto
o planeta mais externo, Netuno, leva 60.190 dias, ou seja, 165 anos para fazer o mesmo,
conforme você vai estudar na aula 11 – O Sistema Solar.
Aula 10 Astronomia
As Leis de Kepler representam uma grande realização e triunfo de uma Astronomia
moderna que naquele momento dava seus primeiros passos. Kepler teve a coragem de
formular leis que, de certo modo, iam de encontro às suas próprias crenças, pois sabia que
mais importantes eram as evidências empíricas reveladas através dos dados observacionais.
Contudo, a grande síntese das novas idéias da Mecânica de Galileu sobre o movimento dos
corpos celestes e terrenos, contrárias aos antigos conceitos aristotélicos, e das leis de Kepler
sobre o movimento dos planetas seria alcançada alguns anos depois por Isaac Newton.
Atividade 2
Use a Terceira Lei de Kepler para calcular o período de rotação do planeta Júpiter,
sabendo que sua distância média ao Sol é 7, 78 × 1011 m e que a distância
média Terra-Sol é aproximadamente 150 milhões de quilômetros.
Atividade 3
O período de rotação de Marte em torno do Sol é 687 dias. Use os dados da
atividade 2 relativos à órbita da Terra e à Terceira Lei de Kepler para calcular a
distância média entre Marte e o Sol.
10
Aula 10 Astronomia
Isaac Newton
I
FONTE: <http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history//PictDisplay/
Newton.html> Acesso em: 07 set. 2007.
saac Newton (Figura 11) foi um dos maiores cientistas de todos os tempos. A Física
moderna tem ele e Einstein como seus dois grandes pilares de sustentação. Nasceu em
4 de janeiro de 1643, em Woolsthorpe, condado de Lincolnshire, Inglaterra. Segundo
seus biógrafos, ele não revelou nenhum grande talento quando criança. Após completar os
estudos secundários, foi enviado para estudar na Universidade de Cambridge. Ali, estudou
Matemática e Física e em 1664 completou seus estudos ganhando o título de bacharel sem,
mais uma vez, ter mostrado maiores habilidades.
Figura 11 - Isaac Newton
Em 1665, eclodiu uma epidemia de praga, a universidade foi fechada e ele foi obrigado
a retornar para a sua cidade natal. Nesse período de dois anos, com apenas 25 anos, Newton
iniciou estudos revolucionários sobre Física, Óptica, Matemática e Astronomia. Ele retornou
a Cambridge em 1667 e em 1669, com apenas 27anos, tornou-se Professor Lucasiano,
um dos mais altos postos na hierarquia acadêmica. Seus primeiros trabalhos versavam
sobre Óptica e descobriu que a luz branca era uma mistura de todas as cores do arco-íris.
Estudando o problema da aberração das imagens produzidas pelas lentes dos telescópios de
refração, achou uma solução: inventou e construiu o telescópio refletor. Em 1672, Newton foi
eleito membro da Royal Society (Sociedade Real inglesa) e em 1703 publicou os resultados
de suas pesquisas no campo da Óptica sob o título Opticks.
Sua realização mais importante foram suas descobertas na área da Física e da Mecânica
celeste, culminando com a teoria da gravitação universal. Desde 1666, vinha pesquisando e
já tinha uma versão preliminar das suas famosas três leis do movimento: a lei da inércia, a lei
da força e a lei da ação e reação. Ao mesmo tempo, estudava o problema do movimento da
Lua em torno da Terra e dos planetas em torno do Sol, procurando explicar as Leis de Kepler.
Os resultados de anos de trabalho foram finalmente publicados em 1687 no famoso livro
Philosophiae naturalis principia mathematica (Princípios matemáticos da filosofia natural) ou,
simplesmente, Principia. Este é considerado o trabalho científico mais importante de todos
os tempos. Nele, são analisados os movimentos dos corpos e aplicam-se os resultados a
pêndulos, corpos em órbita, corpos em queda livre e projéteis balísticos. Finalmente, Newton
Aula 10 Astronomia
11
cria a teoria da gravitação universal para explicar a atração entre todos os corpos materiais
e o movimento dos astros.
Famoso em todo o mundo como o maior matemático do seu tempo, Newton foi
escolhido para ocupar uma cadeira no Parlamento em 1689. Mudou-se de Cambridge para
Londres, onde passou a ocupar o cargo de Guardião e depois Mestre da Casa da Moeda. Foi
feito cavaleiro do império britânico, em 1705, em 1703 foi eleito presidente da Royal Society
(Sociedade Real inglesa), cargo que ocupou até a sua morte em 31 de março de 1727.
A teoria da gravitação universal
Q
uando largamos uma pedra de uma dada altura, ela cai em direção ao chão. Sabemos
que a pedra se encontra inicialmente em repouso. Mas, como você estudou na aula
9 – Galileu e a nova física –, segundo o princípio da inércia descoberto por Galileu e
posteriormente sistematizado sob forma de lei por Isaac Newton, um corpo permanecerá em
repouso se nenhuma força atuar sobre ele. Se a pedra começa a mover-se em direção à Terra,
é sinal de que uma força de atração está agindo sobre ela. É essa força que denominamos
força gravitacional ou de gravidade.
Diz a lenda que um dia Newton observou
a queda de uma maçã (Figura 12) e se
perguntou se a força que fazia cair a
maçã não seria o mesmo tipo de força
que atraía a Lua para a Terra. Newton
concluiu que as duas forças eram uma
só: a força gravitacional. Concluiu
ainda que ela não existe apenas na
superfície da Terra, mas se estende
por todo o Universo. Dessa forma, a
Lua está sujeita à força gravitacional
da Terra e é puxada para a Terra do
mesmo modo que uma maçã. Ou seja,
a Lua é como uma maçã, que está
eternamente caindo em direção à Terra.
Esta, por sua vez, está sempre caindo
em direção ao Sol, já que está sujeita à
atração gravitacional do mesmo.
Figura 12 - Newton, a maçã e a força gravitacional
12
Aula 10 Astronomia
FONTE: <http://courses.nnu.edu/ph106wj/Motions%20of%20
the%20planets.htm> Acesso em: 07 set. 2007.
Mas, como pode a Lua estar caindo para a Terra, se nunca nos atinge? Para entender
tal questionamento, analisemos a seguinte experiência imaginária.
Figura 13 - Um corpo em órbita está sempre caindo
Um super-canhão localizado no topo de uma montanha atira horizontalmente uma bala
com certa velocidade, que cai a uma distância do mesmo (Figura 13). Atirada com uma
velocidade ainda maior, a bala cairá bem mais longe. Agora, por indução, podemos concluir
que, se o canhão for verdadeiramente potente e atirar a bala com uma velocidade apropriada,
ela dará uma volta completa em torno da Terra sem nunca atingir o solo. A bala está sempre
caindo para o centro da Terra, mas nunca atinge o solo. Nesse caso, dizemos que a bala
entrou em órbita. Portanto, para que um corpo esteja em órbita em torno da Terra, é somente
necessário que ele tenha uma velocidade mínima suficiente para descrever uma trajetória
com raio maior que o raio da Terra.
Este é o caso da Lua e dos satélites artificiais lançados pelo homem através de foguetes
potentes o suficiente para imprimir aos mesmos a velocidade necessária. Uma vez atingida
essa velocidade, o corpo permanecerá indefinidamente em órbita, desde que o atrito com
a parte superior da atmosfera seja desprezível e não reduza sua velocidade. Por exemplo, a
velocidade do ônibus espacial em órbita é aproximadamente 8 mil m/s ou 29.000 km/h.
Ao estudar o movimento dos planetas, Kepler já tinha a compreensão de que algum tipo
de força deveria atraí-los em direção ao Sol. Mas, coube a Newton intuir que essa força é a
mesma que fazia um corpo cair na superfície da Terra, ou seja, ela tem um caráter universal.
Ele foi capaz de enunciar então a lei da gravitação universal, descrita a seguir.
A força de atração entre dois corpos é proporcional ao produto das suas massas
e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.
Aula 10 Astronomia
13
Podemos expressar essa lei numa forma matemática. Suponha que os dois corpos
tenham massas m1 e m2 e que a distância que os separa seja d. De acordo com a lei da
gravitação, a força F que um exerce sobre o outro é dada pela seguinte expressão:
F =G
m1 m2
,
d2
em que G é uma constante denominada constante gravitacional e vale 6, 67 × 10−11 N.m2 /kg 2 .
O grande triunfo de Newton é que ele conseguiu deduzir as três leis de Kepler fazendo uso
da lei da gravitação e de suas leis do movimento.
Dedução da Terceira
Lei de Kepler
V
amos fazer uma dedução simples da Terceira Lei de Kepler usando a teoria gravitacional
de Newton. Para tanto, façamos uma hipótese simplificadora de que a órbita do
planeta é circular. O raio da órbita é r, a massa do planeta é m e a massa do Sol
é M . Se o planeta se move num círculo com velocidade v, ele está sujeito a uma força F
centrípeta igual a
v2
Fc = m
r
e o seu período de rotação é
P =
2π r
.
v
Calculando a velocidade da última equação, ou seja,
2π r
,
P
e substituindo na expressão para a força centrípeta, obtemos
v=
Fc =
m 4π 2 r2
4π 2 r m
=
.
2
r P
P2
A força responsável pela força centrípeta é a força gravitacional que o Sol exerce sobre
o planeta,
Mm
Fg = G 2 .
r
Igualando essas duas forças, obtemos
Fg = Fc ,
G
14
Aula 10 Astronomia
Mm
4π 2 r m
=
.
r2
P2
Podemos agora reescrever essa equação na seguinte forma
P2 =

4π 2
GM

r3 .
Essa é exatamente a expressão da Terceira Lei de Kepler, ou seja, P 2 é proporcional a


4π 2
3
r . A constante de proporcionalidade é
.
GM
Podemos fazer uma aplicação para o caso da Terra. A distância média Terra-Sol é
150 × 106 km = 1.5 × 1011 m e a massa do Sol é aproximadamente 2 × 1030 kg . Usando
o valor da constante universal da gravitação G = 6, 67 × 10−11 N.m2 /kg 2 e a expressão
que obtivemos anteriormente para o período, teremos


3
4π 2 r3
4 × 3.142 × (1, 5 × 1011 )
P =
=
.
GM
6, 67 × 10−11 × 2 × 1030
Fazendo os cálculos, obtemos P = 3, 159 × 107 s. Dividindo esse valor pelo número
de segundo em um dia, ou seja, 24 × 60 × 60 = 86.400, teremos
P =
3, 159 × 107 ∼
= 365, 6 dias.
86.400
Esse é, com precisão razoável, o período de rotação da Terra em torno do Sol. O valor
que encontramos não coincide com o valor real (365,3 dias) porque tomamos valores
aproximados para o raio da órbita e para a massa do Sol.
Atividade 4
Calcule o período de rotação da Lua em torno da Terra, sabendo que sua
distância média é 384.000 km e a massa da Terra é igual a 5, 97 × 1024 kg.
Aula 10 Astronomia
15
Atividade 5
Calcule a distância média de Vênus ao Sol, sabendo que seu período de rotação
é igual a 224,7 dias e a massa do Sol é aproximadamente 2 × 1030 kg .
Resumo
Nesta aula, vimos a importância do trabalho cuidadoso de observação feito por
Tycho Brahe, que forneceu dados de grande precisão levando Johannes Kepler
a descobrir que as órbitas dos planetas não eram circulares, mas elípticas e,
assim, enunciar as três leis que regem o movimento planetário. Estudamos
também que Isaac Newton, através de um extraordinário trabalho de criação,
descobriu que a força de atração que faz os corpos serem atraídos para o centro
da Terra é a mesma que mantém a Lua girando na sua órbita. Ele encontrou
a expressão matemática para a lei da gravitação e estabeleceu o seu caráter
universal sendo capaz de explicar as Leis de Kepler.
16
Aula 10 Astronomia
Auto-avaliação
1
2
3
Discuta a contribuição dada por Tycho Brahe à Astronomia moderna.
O que levou Kepler a abandonar o conceito de órbitas circulares para o movimento
dos planetas?
Faça um breve resumo das três Leis de Kepler para o movimento planetário.
4
Qual a ligação que Newton fez entre a queda de uma maçã na superfície terrestre e
o movimento de rotação da Lua em torno da Terra?
5
Faça uma comparação entre o enunciado da lei da gravitação universal de Newton
e a sua expressão matemática.
6
Faça uma revisão detalhada da dedução da Terceira Lei de Kepler a partir da teoria
da gravitação de Newton.
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Referências
CENTRO DE DIVULGAÇÃO CIENTÍFICA E CULTURAL. O movimento gravitacional e as
leis de Kepler. Disponível em: <http://educar.sc.usp.br/fisica/movgrav.html>. Acesso em:
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Técnica / Agencia para el desarollo Internacional, 1968.
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Anotações
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