Probabilidade Geométrica: trabalhando com o
problema das agulhas de buffon e algumas aplicações
Alba Regina Moretti
Prof. Adjunto, Dep. de Matemática da Universidade
Federal Rural do Rio de Janeiro.
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Campo Grande, Rio de Janeiro, RJ
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Tel: (21) 9129-8669
Viviane Das Graças Dos Santos
Aluna do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade
Federal Rural do Rio de Janeiro
RESUMO: MORETTI, A. R.; SANTOS, V. G. Probabilidade geométrica: Trabalhando
com o Problema das Agulhas de Buffon e Algumas Aplicações. A origem da Probabilidade
Geométrica se deu com o problema das Agulhas de Buffon , proposto no século XVIII, e
desenvolvida pouco depois por Laplace. Mais tarde, a Probabilidade Geométrica foi convertida
em Geometria Integral, cujas aplicações incluem, por exemplo, a Estereologia e a Tomografia
Computadorizada, dentre outras.
Palavras-chave: Probabilidade Geométrica; Agulhas de Buffon.
ABSTRACT: MORETTI, A. R.; SANTOS, V. G. Geometric probability: Working with the
Buffon’s Needles Problem. The origin of the Geometric Probability felt with the Buffon’s
Needles Problem, proposed in the century XVIII, and developed little later by Laplace. Later the
Rev. de Ci. Exatas v. 27_31 n. 1 xx-xx janeiro/junho 2012
Geometric Probability was converted in Integral Geometry whose applications include
Estereologia and the Computerized Tomography.
Key words: Geometric Probability; Buffon’s Needles.
INTRODUÇÃO
Neste trabalho, utilizando a probabilidade geométrica e, por meio de seus métodos,
apresentamos as soluções do clássico Problema das Agulhas de Buffon e algumas aplicações.
Alguns problemas de probabilidades são equivalentes à seleção aleatória de pontos em
espaços amostrais representados por figuras geométricas. No problema em estudo, a
probabilidade de um determinado evento se reduz à relação entre medidas geométricas
homogêneas tais como o comprimento e a área.
George Louis Leclerc, Conde de Buffon (1707-1788), foi um naturalista francês formado
em Medicina e Direito, que demonstrou enorme paixão pelas ciências naturais e pela
matemática. Sua obra mais importante foi a Historie Naturelle, uma enciclopédia de 36 volumes,
onde descreve tudo o que se sabia sobre o mundo natural, despertando o interesse da comunidade
européia no século XIII.
Em 1777, Buffon incluiu no volume IV do Suplemento à Historie Naturelle seu trabalho
Essai d'Arithmetique Morale, onde adapta a matemática com a realidade humana, procurando
medir seus medos, emoções e esperanças. Nesse estudo, Buffon relaciona o dinheiro com os
jogos de azar e sua influência no comportamento das pessoas, razão pelo qual deu o nome
Morale ao título desse artigo.
Buffon introduziu o cálculo diferencial e integral na Teoria das Probabilidades, onde a
ferramenta mais usada era a análise e, com o Problema das Agulhas de Buffon, deu origem a
chamada Probabilidade Geométrica, mais tarde convertida em Geometria Integral e Estocástica.
O PROBLEMA DAS AGULHAS DE BUFFON
Problema: Considere um plano com retas paralelas com espaçamento d. Lança-se uma
agulha de comprimento l nesse plano, qual é a probabilidade da agulha cruzar uma dessas
retas?
(Figura 1).
Este problema foi formulado por BUFFON (1733), posteriormente reproduzido por
BUFFON (1777) e generalizado por LAPLACE (1812). Apresentaremos a resolução do presente
Rev. de Ci. Exatas v. 27_31 n. 1 xx-xx janeiro/junho 2012
problema considerando três casos: l < d, l = d e l > d , este último caso apresentado por
KUNKEL (2003) .
Primeiro Caso: l < d
Seja Y a variável aleatória que representa a distância do centro agulha à reta mais próxima
e Θ a variável aleatória que indica o ângulo formado pelo centro da agulha às retas, sendo que
0£ y£
l
p
l
e 0 £ q £ . A agulha só interceptará uma das retas se y £ senq , agora, se y = 0
2
2
2
podemos afirmar que o centro da agulha está exatamente sobre uma das retas. Figura2
A probabilidade P de a agulha cruzar uma das retas é dada pela razão entre a área do retângulo Q
e o gráfico da função Y =
l
senq , considerando Ar = área do retângulo e Af = área da função
2
Y.
Assim,
Ar =
p d
2
ò
e Af =
p
0
l
l
senq dq = [ - cos q ]p0 = l.
2
2
Então, a probabilidade P será
P=
Af
l
=
Ar pd
2
Þ P=
2l
pd .
Segundo Caso: l=d
Quando o comprimento da agulha é igual a distância entre as retas, forma o caso mais
simples do problema. Considerando o primeiro caso ( l < d), basta substituir d por l, assim
teremos
P=
2l 2l 2
2
=
=
Þ P= .
pd lp p
p
Terceiro Caso: l > d
Seguindo KUNKEL (2003), o sucesso do evento só ocorrerá se a posição em que a
agulha cair estiver abaixo da curva Y =
l
senq e dentro do retângulo Q, figuras 3,4 e 5.
2
Para calcular a área da região de sucesso, dividiremos em três partes como mostra a
Figura 3. Na região retangular A3, o ponto A é a primeira interseção da curva com o retângulo.
Logo, A tem ordenada d e a abscissa q1 é dada por
Y = lsenq Þ d = lsenq1 Þ senq1 =
d
d
Þ q1 = sen -1 .
l
l
Rev. de Ci. Exatas v. 27_31 n. 1 xx-xx janeiro/junho 2012
O retângulo tem base (p - 2sen -1
A3 = d (p - 2 sen -1
d
) e altura d, então sua área A3 é dada por
l
dù
d
é
). Calculando a área A1 da curva y = lsenq no intervalo ê0, sen -1 ú ,
lû
l
ë
conforme Figura 5.
A1 = ò
sen -1
d
l
0
ydq = ò
0
sen - 1
= -l [cosq ]0
Para calcular cos(sen-1
sen -1
d
l
d
l
lsenqdq =
é æ
dö ù
= -l êcosç sen -1 ÷ - 1ú.
lø û
ë è
d
d
d
) , consideremos o ângulo sen -1 = a Þ sena =
e como
l
l
l
sen 2a + cos 2 a = 1 , teremos
cos a = 1 -
d2
d2
-1 d
e
Þ
cos(
sen
)
=
1
l2
l
l2
é æ
d
A1 = -l êcosç sen -1
l
ë è
é
d2 ù .
ö ù
1
=
l
1
1
ê
ú
÷ ú
l 2 úû
ø û
êë
A área da região de sucesso do evento é A3+ 2A1 dada por
é
dö
d2 ù
æ
A3 + 2 A1 = d ç p - 2 sen -1 ÷ + 2l ê1 - 1 - 2 ú
l ø
l ûú
è
ëê
A probabilidade P, quando l>d, é o quociente entre A3+ 2A1 e a área do retângulo Q.
æd ö
2l - 2d sen-1 ç ÷ - 2 l 2 - d 2
.
èl ø
P = 1+
pd
GENERALIZAÇAO DE LAPLACE
A generalização, feita por LAPLACE (1812), para o Problema das Agulhas de Buffon é
a seguinte:“Considere um plano dividido em retângulos de lados d1 e d2. Atira-se sobre este
plano uma agulha de tamanho l, menor que os lados d1 e d2. Qual é a probabilidade de que a
agulha corte algum dos lados dos retângulos desse plano?” (Figura 6).
Conforme SANTALÓ (1984), a probabilidade da agulha cruzar um desses retângulos
será dada por
P=
2l ( d 1 + d 2 ) - l 2
.
p d1d 2
Rev. de Ci. Exatas v. 27_31 n. 1 xx-xx janeiro/junho 2012
Se em vez de uma agulha de comprimento l, for lançada sobre esse plano, ao acaso, uma
curva de comprimento L (Figura 7), a esperança matemática ou valor médio do número de
pontos em que a curva corta os lados dessa rede de retângulos será:
E( N ) =
2 L( d1 + d 2 )
.
p d1d 2
Por exemplo, tomando-se uma rede de quadrados de lados d1 = d 2 = 15 cm , e
lançando-se ao acaso, sobre a mesma, uma curva de comprimento L=25 cm, teremos
E(N ) =
6,67
p
= 2,12 . Ou seja, espera-se que a curva cruze a rede em dois pontos. Isto significa
que, se em um jogo de azar o jogador recebe de prêmio tantas unidades quantos forem os pontos
de interseção entre a curva e a rede de quadrados, o jogo será eqüitativo se o valor da aposta for
de 2,12 unidades.
Cobrando-se menos, o jogo será favorável ao jogador e cobrando-se mais, o jogo será
favorável à banca. Ou seja, como o prêmio do jogador vale uma unidade para cada interseção, se
o valor da aposta for, por exemplo, R$ 1,00 (um real), o jogador espera ganhar no mínimo
R$2,00 (dois reais). Se o valor da aposta for R$ 2,00 (dois reais), o jogador irá empatar o valor
do prêmio com o valor da aposta. Se o valor da aposta for R$3,00 (três reais) mesmo o jogador
obtendo duas interseções terá um prejuízo de R$ 1,00 (um real) dado que a aposta será maior que
o prêmio esperado.
APLICAÇÕES DO PROBLEMA DA AGULHA DE BUFFON
Nesta seção apresentamos algumas aplicações do problema da Agulha de Buffom como a
estimação do valor
p , a descoberta da Tomografia Computadorizada apoiada na Estereologia,
conforme SANDALÓ (1984), e a estimativa do comprimento total dos canais de escoamento
numa bacia hidrográfica estudada por BATISTA (1987).
O número
p
A busca pelo valor de p , tem acompanhado a matemática ao longo da sua história, desde
cedo se teve ciência de que seu valor é uma constante. Muitos foram os matemáticos que
estimaram o valor de
p
e sua expansão decimal como, por exemplo, Arquimedes, Newton,
Gauss, Euler e Leibniz. Inicialmente esses valores eram determinados recorrendo-se a medições
Rev. de Ci. Exatas v. 27_31 n. 1 xx-xx janeiro/junho 2012
e seus valores eram distintos. No Antigo Testamento o valor de era
p=
3 e na Babilônia
p = 4(8 9) 2 = 3,16.
Apesar de ter sido definido originalmente na geometria como sendo
p =
perímetro da circunferência
diâmetro da circunferência
este número surge em diversas áreas da matemática, conforme exemplos abaixo.
3
V1 , sendo V1 o volume de uma esfera de raio 1.
4
i)
Na geometria p =
ii)
Na análise temos as seguintes fórmulas de Leibniz e no cálculo integral:
4
p
iii)
¥
= å (-1) n ´
n=0
1
2n + 1
p =
e
ò
¥
e - x dx .
2
-¥
Na probabilidade através do Problema da Agulha de Buffon ( caso l=d ), onde
P=
p
2
.
A partir da definição frequentista de probabilidade temos
P=
Número de casos favoráveis
.
Número de casos possíveis
2
Número de casos favoráveis
Número de casos possíveis
Desta forma,
p
=
.
Então,
p »
2 ´ Número de casos possíveis
Número de casos favoráveis .
Portanto, quanto maior for o número de lançamentos, maior será a aproximação de
p,
fato mostrado pelo matemático LAZZERINI (1901), que realizou 34080 lançamentos obtendo
p = 3,1415929.
ESTEREOLOGIA E A TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
Conforme SANTALÓ (1984), com a generalização do Problema das Agulhas de Buffon,
em 1812, Laplace observou-se que seria possível fazer uso do cálculo de probabilidades para
retificar curvas ou quadrar superfícies. Quase dois séculos depois esses resultados passaram a ser
aplicadas para medir comprimentos de curvas sobre preparações microscópicas da seguinte
forma: Sobre uma preparação microscópica coloca-se um reticulado quadrangular ou um feixe
de paralelas eqüidistantes, a seguir conta-se o número de vezes que seus lados ou suas paralelas
Rev. de Ci. Exatas v. 27_31 n. 1 xx-xx janeiro/junho 2012
cortam a curva cujo comprimento se deseja medir. Finalmente, gira-se o reticulado várias vezes
e tomam-se os valores médios. Dessa forma, é mais fácil "contar" do que medir comprimentos.
Com os estudos de Buffon e Laplace, surgiu a necessidade de se medir conjuntos de
elementos geométricos (retas, curvas, figuras congruentes). Esses estudos influenciaram
estudiosos como CROFTON (1869), que definiu uma medida para conjuntos de retas no plano,
DELTHEIL (1929) e BLASCHKE (1936) realizaram estudos que determinaram um modo de se
medir um conjunto de retas, de planos no espaço e, também, conjuntos de variedades em espaços
de mais dimensões. Assim, em 1936, com essas medidas e os cálculos feitos a partir delas,
surgiu a Geometria Integral, nome dado por Blaschke, também chamada de Geometria
Estocática por KENDALL & HARDING (1974). Essa teoria foi aplicada em áreas distintas da
Matemática Pura (Teoria dos Corpos Convexos) e da Matemática Aplicada, sendo suas
aplicações mais importante em dois ramos modernos da tecnologia: a Estereologia e a
Tomografia Computadorizada.
Em 1961, numa reunião de especialistas em diferentes áreas (Mineralogia, Biologia,
Anatomia, Botânica, etc) na Alemanha, fundou-se a Sociedade Internacional de Estereologia,
definida como um conjunto de métodos para a exploração de um espaço tridimensional a partir
do conhecimento de seções bidimensionais ou projeções sobre o plano.
Com base em casos clássicos da Estereologia, aqui não tratados, suponha um corpo
convexo K do qual dentro há uma massa de densidade variável dada por uma função f(x, y, z),
isto é, que varia para cada ponto (x, y, z). A função f(x, y, z) representa a densidade da substância
no interior de K no ponto (x, y, z), Figura 5. Suponha que K seja atravessado por uma radiação
qualquer (raios-X, laser) cuja trajetória seja uma reta G, da qual se possa medir a intensidade na
entrada e na saída. A diferença entre as intensidades será a absorção do raio pela matéria no
interior de K e dependerá da reta G, por onde o raio se propaga.
Assim, é possível medir experimentalmente uma função de G, F(G). Então, a questão é:
Como determinar f(x, y, z) a partir de F(G), que se supõe conhecida para todas as retas que
atravessam K?
Em 1917, o matemática alemão J. Radon (1887-1956) encontrou um fórmula para
cálcular f(x, y, z), que ficou conhecida como a transformada de Radon (HELGASON, 1980).
A princípio o problema foi encarado como puramente matemático, mais tarde pensou-se
em possíveis aplicações práticas dos resultados de Radon.
Desta forma, se os raios que atravessam K são raios-X, ou outros, cuja diferença de
intensidade na entrada e na saída pode ser medida com suficiente aproximação, tem-se um
método para reconhecer a distribuição f(x, y, z) da matéria no interior de K, tornando possível a
Rev. de Ci. Exatas v. 27_31 n. 1 xx-xx janeiro/junho 2012
reconstrução do interior de K a partir dos dados proporcionados pelos raios que o atravessam.
Assim, será possível conhecer com exatidão o interior de K, com suas possíveis anormalidades
ou patologias.
Em 1963, o físico A. M. Comarck apontou a possibilidade prática dessas medições e suas
possíveis aplicações na medicina, surgindo assim a Tomografia Computadorizada. Dez anos
depois o engenheiro inglês Honsfield aperfeiçoou os dispositivos de Comarck, iniciando a era
comercial dos aparelhos de Tomografia. Esse equipamento reconstrói com precisão o interior do
corpo, indicando a posição exata de cada um dos seus pontos no espaço e a densidade da sua
matéria.
A ESTIMATIVA DO COMPRIMENTO TOTAL DOS CANAIS DE ESCOAMENTO
NUMA BACIA HIDROGRÁFICA
A partir do Problema das Agulhas de Buffon, BATISTA (1987) desenvolveu um método para
estimar o comprimento total
a dos canais de uma rede de drenagem a partir do número médio
de interseções dessa rede de retângulos. Esse valor é obtido lançando-se várias vezes sobre o
mapa da bacia hidrográfica um feixe de retas paralelas com distância D conhecida. Sabendo-se
2a
2a
que a probabilidade de interseção é P = p D . O valor esperado é dado por E ( N ) = p D .
Assim, o comprimento total será
a=
E ( N )p D
.
2
Se considerarmos a bacia hidrográfica
numa rede de retângulos, por LAPLACE (1812), teremos que a probabilidade será dada por:
P=
2a ( D1 + D2 ) - a 2
p D1 D2
e a esperança será dada por:
E(N ) =
Dessa forma, o comprimento
2a( D1 + D2 )
.
p D1 D2
a será estimado por:
a=
E ( N )p D1 D2 )
.
2( D1 + D 2 )
A determinação do comprimento dos canais de escoamento numa bacia hidrográfica é
trabalhosa e demorada quando se usa o curvímetro (um aparelho específico).
Através da
Probabilidade Geométrica, podem-se obter estimativas tão precisas do comprimento dessas
redes quanto às obtidas pelo curvímetro, de uma forma mais simples e menos passíveis de
erros.
Rev. de Ci. Exatas v. 27_31 n. 1 xx-xx janeiro/junho 2012
REFERÊNCIAS
BATISTA, J. L. F. “Uso da Teoria de Probabilidade Geométrica para Estimar o
Comprimento Total dos Canais de Escoamento numa Bacia Hidrográfica”. Depto. de
Ciências Florestais. USP- Piracicaba, São Paulo, 1987.
BLASCHKE, W. Integralgeometrie. Erstes Heft - Leipzig, Berlin: Bernd G. Teubner,1936.
BUFFON, G. “Editor´s note concerning a lecture givem 1733 by Mr. Le Clerc de Buffon”.
Histoire de IÁcad. Roy. Des Sci., pp. 43-45, 1733.
BUFFON, G. “Essai dárithmétique morale”. Histoire naturelle générale er particuliere
Supplément, 4, pp. 46-123, 1777.
CROFTON, M. V. “On the theory of local probability, applied to straight lines drawn at
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DELTHEIL, R. “ Sur la théorie des probabilités géométriques”. Ann. Fac. Sci. Toulouse
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HELGASON, S. The Radon transform. Progress in Mathematics, Birkhauser, Boston, 1980.
KENDALL, D. G., HARDING, E. F. Stochastic Geometry. London, John Wiley and Sons, pp.
416, 1974.
KUNKEL, P. “Buffon´s Needle”. http:/whistleralley.com/buffon/buffon.htm, 2003. Acessado
em: Janeiro de 2006.
LAPLACE, P. S. Théorie analytique des probabilities. Paris; Veuve,Courcier, 1812.
LAZZARINI,M. Un' applicazione del calcolo della probabilita all ricerca sperimentale di un
valore approssimato di p. Periodico di Matematica ,1901.
RADON, J. “Uber die Bestimmiung von Funktionen durch ihre integralwerte lãngs gewisser
Mannigfaltigkeiten”. Ber. Verch. Sachs.Akad.Wiss. Leipzig Math. Nat. Kd., 69, pp. 262-277,
1917.
SANTALÓ, L.A. “As Seções Indiscretas: Geometria Integral, Estereologia e
Tomografia Computadorizada”. Ciência Hoje, Rio de Janeiro, pp. 27-32, 1984.
Rev. de Ci. Exatas v. 27_31 n. 1 xx-xx janeiro/junho 2012
7- Figuras
l
2
sen
d
agulha
y
Figura 1
d
2
l
2
Q
p
l
senq
2
q
2
Figura 2
y
y = lsenq
d
Q
p q
0
Figura 3
Rev. de Ci. Exatas v. 27_31 n. 1 xx-xx janeiro/junho 2012
l
y
q
d
lsenq
Figura 4
y
y = lsenq
B
d
Q
A3
A1
0
A2
p q
q1
Figura 5
l
d1
d2
Figura 6
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d1
d2
Figura 7
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