UNIVERSIDADE ESTADUAL
DE SANTA CRUZ
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
PROFÍSICA
Flávio Santos Sampaio
ESTUDO DA DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES EM
AGLOMERADOS DE GALÁXIAS
TESTES DE NORMALIDADE
E METANÁLISE DE FISHER
DISSERTAÇÃO
Ilhéus, BA, Brasil
2013
ESTUDO DA DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES EM
AGLOMERADOS DE GALÁXIAS
TESTES DE NORMALIDADE
E METANÁLISE DE FISHER
por
Flávio S. Sampaio
Dissertação apresentada, para obtenção do grau
de Mestre em Física, à Universidade Estadual
de Santa Cruz.
Área de Concentração: Física
Orientador: André Luís Batista Ribeiro
Ilhéus, BA, Brasil
2013
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
PROFÍSICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
A Comissão Examinadora, abaixo assinada,
aprova a Dissertação
ESTUDO DA DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES EM
AGLOMERADOS DE GALÁXIAS
TESTES DE NORMALIDADE E METANÁLISE DE FISHER
elaborada por
Flávio Santos Sampaio
como requisito parcial para obtenção do grau de
Mestre em Física
COMISSÃO EXAMINADORA:
Dr. ANDRÉ L. B. RIBEIRO (UESC)
(Orientador)
Dr. HENRI PLANA, (UESC)
Dr. REINALDO DE CARVALHO (INPE)
Ilhéus, 05 de Julho de 2013.
dedicatória
Aos meus pais, família e a minha Índia.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a todos que, de formas diversas, colaboraram para a realização deste trabalho. Em particular:
Ao meu pai Nailton Sampaio (Tito) pelo seu exemplo, força e sucesso representa
para mim uma meta a ser atingida.
A minha mãe Elisia que com muito carinho e abnegação fez de minha felicidade uma
extensão da sua vida.
A Edna (Jana) que esteve sempre ao meu lado me incentivando a não desistir diante
dos obstáculos.
Aos familiares, amigos e professores que sempre acreditaram em mim.
E durante
toda essa jornada acadêmica, que tem sido a vida, me proporcionaram valiosas contribuições
na minha formação pessoal.
A minha namorada Marluzia de Souza (Índia) que com carinho, amor e paciência
faz meus dias mais felizes.
Aos professores Zolacir T. O. Jr., Alejandro J. D. e Arturo R. S. pela paciência,
solicitude e disponibilidade com que sempre me atenderam. O que fez deles, professores com
os quais sempre pude contar.
Ao meu orientador André Ribeiro por ter rolado essa bola para mim, na cara do gol
e nos acréscimos do segundo tempo da prorrogação.
Se me fosse dado tempo para pensar
eu possivelmente faria uma poesia.
mas, só me resta tempo para rimar
com muito esforço e pouca imaginação,
deixo apenas uma Dissertação.
Sampaio, F.
RESUMO
DISTRIBUIÇÃO DE MATÉRIA EM TORNO DE GRUPOS E
AGLOMERADOS DE GALÁXIAS
Autor: Flávio Santos Sampaio
Orientador: André L. B. Ribeiro
Data e Local da Defesa: Ilhéus, 05 de Julho de 2013.
Estudamos 416 sistemas de galáxias contendo pelo menos 8 membros, selecionados do
catálogo do Two Micron All Sky Survey (2MASS). Aplicamos cinco testes de normalidade às
distribuições de velocidades desses sistemas para distingui-los em gaussianos e não-gaussianos.
Usando amostras controladas, estimamos os erros de tipo I e II para cada teste e vericamos
que os testes individualmente minimizam as chances de classicar um sistemas gaussiano como
não-gaussiano. Introduzimos também a metanálise de Fisher para combinar os valores-p dos
testes estatísticos, visando a minimizar as chances de classicar um sistema não-gaussiano
como gaussiano.
Levando em conta os aspectos positivos de cada método, assim como o
fato de que a principal causa de não-gaussianidade é devida à multimodalidade no espaço de
velocidades, denimos um critério objetivo e estatisticamente robusto para separar aglomerados de acordo com suas distribuições de velocidades.
Nossa análise indica que 50-56%
dos sistemas são gaussianos, uma fração signicativamente mais baixa do que aquela que
encontramos usando os testes de normalidade individualmente, 71-87%. Encontramos também que algumas das propriedades dos aglomerados são distintas entre sistemas gaussianos
e não-gaussianos.
valores de
m12 .
Por exemplo, grupos gaussianos são mais densos e apresentam maiores
Finalmente, discutimos a importância da escolha do método quando se deseja
classicar aglomerados de acordo com suas distribuições de velocidades. Ressaltamos ainda o
fato de que diferentes critérios para denição dos próprios aglomerados podem também levar
a diferentes resultados do ponto de vista estatístico.
Palavras-chave: Aglomerados de galáxias; metanálise de Fisher.
ABSTRACT
We study 416 galaxy systems with more than 7 members selected from the 2MASS
catalog.
We apply ve well known normality tests to the velocity distributions of these
systems to distinguish Gaussian and non-Gaussian clusters.
estimate type I and II errors for each test.
Using controlled samples, we
We verify that individual tests minimize the
chances of classifying a Gaussian system as non-Gaussian, while the Fisher's meta-analysis
method, a procedure to combine p-values from statistical tests, minimizes the chances of
classifying a non-Gaussian system as Gaussian. Taking the positive aspects of each method
and also including a modality analysis of the velocity distribution, we dene objective criteria
to split up the sample into Gaussian and non-Gaussian clusters.
Our analysis indicates
that 50-56% of groups have Gaussian distribution, a lower fraction than that we found using
individual normality tests, 71% - 87%. We also nd that some properties of galaxy clusters are
signicantly dierent between Gaussian and non-Gaussian systems. For instance, Gaussian
clusters are denser and have larger
m12
gaps. Finally, we discuss the importance of choosing
the adequate methodology to classify galaxy systems from their velocity distributions and
also the dependence of the results on the criteria used to identify clusters in galaxy surveys.
LISTA DE FIGURAS
5.1
Amostra BCD dividida em G (salmão) e NG (azul) via Procedimento I. Os
diagramas superiores mostram o diagnóstico do teste DP. Os diagramas do
meio mostram o diagnóstico da técnica MA, mantendo o número de sistemas
NG classicados pelo teste DP. Os diagramas inferiores mostram o diagnóstico
combinado usando DP + MA + dip. O número de grupos é indicado ao lado
de cada diagrama e nas interseções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
31
Amostra BCD dividida em G (salmão) e NG (azul) via Procedimento I. Os
diagramas superiores mostram o diagnóstico do teste DP. Os diagramas do
meio mostram o diagnóstico da técnica MA, mantendo o número de sistemas
NG classicados pelo teste DP. Os diagramas inferiores mostram o diagnóstico
combinado usando DP + MA + dip. O número de grupos é indicado ao lado
de cada diagrama e nas interseções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3
32
Amostra BCD amostra dividida em unimodais (salmão) e multimodais (azul)
via Procedimento II. Os diagramas superiores mostram o diagnóstico do teste
dip. Os diagramas intermediários mostram o diagnóstico da técnica MA, mantendo o número de sistemas NG encontrados pelo teste DP. A parte de baixo
do diagrama mostra o uso da combinação da análise conjunta DP + MA + dip.
O número de galáxias é apresentado ao lado de cada diagrama e nas interseções.
5.4
33
Amostra BCD amostra dividida em unimodais (salmão) e multimodais (azul)
via Procedimento II. Os diagramas superiores mostram o diagnóstico do teste
dip. Os diagramas intermediários mostram o diagnóstico da técnica MA, mantendo o número de sistemas NG encontrados pelo teste DP. A parte de baixo
do diagrama mostra o uso da combinação da análise conjunta DP + MA + dip.
O número de galáxias é apresentado ao lado de cada diagrama e nas interseções. 34
5.5
Distribuição de massa para sistemas BCD (branco) e ACD (cinza).
vermelha marca a massa média dos grupos mock do SDSS.
A linha
. . . . . . . . . . .
35
LISTA DE TABELAS
4.1
Propriedades de grupos BCD e ACD da amostra de Crook et al. (2007).
. . .
4.2
Comparação entre testes de normalidade e técnica MA. A parte superior se
refere a erros de tipo I, enquanto a parte inferior se refere a erros de tipo II.
5.1
25
.
28
comparação de sistemas G e NG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO
13
2 MOTIVAÇÃO PARA O TRABALHO
16
3 FERRAMENTAS ESTATÍSTICAS UTILIZADAS
18
3.1
Teste de Hipótese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2
Testes de Normalidade
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.3
Testes Utilizados
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
3.3.5
3.4
Teste de Multimodalidade
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.4.2
Teste dip . . . . . . . .
Metanálise de Fisher
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.4.3
Teste de comparação múltipla Tukey-Kramer . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.4.1
3.5
Teste de Anderson-Darling (AD) .
D'Agostino-Pearson (DP) . . . . .
Robust Jarque-Bera . . . . . . . . .
Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . .
Shapiro-Wilk . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Aplicação dos testes: o ambiente R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 DADOS E METODOLOGIA
24
25
4.1
Catálogo Utilizado
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.2
Comparação dos Testes Estatísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.3
Método de separação de Grupos Gaussianos e Não-Gaussianos . . . . . . . . .
28
4.3.1
Procedimento I
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.3.2
Procedimento II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5 ANÁLISE
30
5.1
Usando processo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.2
Usando processo II
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.3
Resumindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.4
Comparando sistemas G e NG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
6 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
6.1
Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
39
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
40
A DINÂMICA DOS AGLOMERADOS DE GALÁXIAS
46
O estudo da distribuição de velocidades em aglomerados pode
fornecer informações importantes sobre o seu estágio evolutivo,
assim como sobre os processos que controlam a formação e
evolução de suas galáxias constituintes.
(A. Biviano & P. Katgert)
1
INTRODUÇÃO
As primeiras evidências de aglomerados de galáxias surgiram por volta do século XVIII,
quando William Hershel e Charles Messier notaram a existência de nebulosas difusas nas
constelações de Coma e Virgem, respectivamente (vide Souza, 2004).
Entre 1920 e 1930,
muitas das nebulosas difusas, principalmente as de aspecto elíptico e espiral, foram reconhecidas como galáxias após os trabalhos de Edwin Hubble que ao observar estrelas variáveis
em algumas destas nebulosas brilhantes percebeu que estas encontravam-se a distâncias muito
maiores do que os limites de nossa Galáxia. Contudo, os primeiros estudos sistemáticos de
aglomerados de galáxias têm início sobretudo após o catálogo organizado por George O. Abell
por meio dos mais avançados critérios de classicação da época (Abell, 1958)
Podemos entender um aglomerado de galáxias como um complexo sistema denido basicamente por três componentes: galáxias, meio intra-aglomerado aquecido e matéria escura.
Eles formam os maiores sistemas gravitacionalmente ligados do universo com massa total ao
redor de
∼ 1014 −1015 M , onde M = 1.989×1030 kg equivale a uma massa solar e um raio de
16
1.5 Mpc, onde 1 pc=3.261 anos-luz =3.086 × 10
m. A maior parte da massa do aglomerado,
cerca de 80% a 90% do total, é composta de matéria escura (não bariônica), que não emite
luz e interage apenas gravitacionalmente.
O restante da matéria, na forma bariônica, está
quase que totalmente presente no meio intra-aglomerado, sob a forma de gás aquecido, e nas
galáxias. As estrelas das galáxias contribuem com apenas cerca de 20% da matéria bariônica,
≈ 5% da massa total.
O gás quente emite raios-X por efeito bremmstrahlung térmico, de onde
vem a quase totalidade da luminosidade do aglomerado,
≈ 95%,
porém a obtenção de dados
em raio-X, dependente do lançamento de satélites espaciais, iniciou-se somente a partir dos
anos 1970, por questões que envolviam aprimoramentos tecnológicos.
Apesar de emitirem apenas 5% da emissão luminosa de um aglomerado, as galáxias emitem em uma ampla faixa da do espectro, incluindo a luz visível.
Por esta razão as
pesquisas, os catálogos e as metodologias envolvendo aglomerados de galáxias foram inicialmente feitas a partir de luz visível proveniente das galáxias (Kaastra et al., 2008).
Com base na proporção de massas, ca claro que a dinâmica dos aglomerados é basicamente governada pela matéria escura. Porém como todos os componentes do aglomerado
respondem a um mesmo potencial gravitacional, cada uma a sua maneira, podemos fazer
algumas inferências sobre a dinâmica do aglomerado com base em qualquer uma de suas componentes. O fato de possuirmos uma maior quantidade de informações disponíveis em forma
14
luz visível faz das galáxias candidatas naturais ao estudo da dinâmica de aglomerados. Em
particular, as leis de distribuição de velocidades formam a base de nosso entendimento teórico
sobre a dinâmica de estruturas virializadas (Lynden-Bell, 1967).
A determinação da forma como estão distribuídas as velocidades radiais das galáxias
em aglomerados pode ser uma importante maneira de traçar a sua dinâmica e prover informações sobre o estado evolutivo desses sistemas. Estudos baseados na mecânica estatística
predizem que a evolução dinâmica de um aglomerado de galáxias leva a um estado relaxado
onde as galáxias apresentam uma distribuição maxweliana de velocidades no espaço, e uma
distribuição gaussiana para uma componente, a componente de velocidades radiais (LyndenBell 1967; Ueda, Ioto & Suto, 1993). Portanto, a normalidade da distribuição de velocidades
radiais das galáxias estaria relacionada com o equilíbrio dinâmico do aglomerado, podendo
assim ser tomada como um indicador de evolução. Tornar-se "evoluído", neste contexto, signica o sistema ter alcançado um estado estacionário em que seja válido o teorema do virial
(TV). Uma consequência importante de se determinar se um sistema encontra-se em equilíbrio
é que nesse estado é possível determinar a sua massa através do TV. Por exemplo, assumindo
que o aglomerado de Coma constituía um sistema em equilíbrio, Zwicky foi o primeiro a
realizar estimativas de massa de um aglomerado (Zwicky, 1933).
Com o intuito de vericar se a distribuição de velocidades radiais das galáxias era
consistente com uma distribuição normal, Yahil & Vidal (1977) realizaram extensa análise estatística, fazendo uso de vários testes de normalidade. A partir desses testes estatísticos, eles
concluíram que a distribuição de velocidades radiais observadas em aglomerados de galáxias
contendo entre 10 e 122 membros são sempre consistentes com gaussianas, exceto, segundo
eles, por contaminação de galáxias de campo, que poderiam ser removidas através do critério
da exclusão sucessiva de objetos com velocidades discrepantes por mais de
3σ
que a média em
módulo, que foram considerados outliers. Logo, segundo Yahil & Vidal (1977) a grande maioria dos aglomerados eram evoluídos dinamicamente. Contudo, à medida que mais redshifts
se tornaram disponíveis por aglomerado, e novas amostras foram analisadas, evidências de
desvios da gaussianidade tornaram-se mais frequentes (ex. Merrit 1987; Sarazin 1987, Fichett
1988; Bird & Beers 1993).
Ao mesmo tempo, Beers et al. (1990) apontam para a diculdade em determinar se
uma dada distribuição de velocidades difere signicativamente de uma gaussiana. Essas diculdades cam mais severas à medida que diminuímos o tamanho das amostras (Beers et al.
1990). Surge então um problema metodológico: qual teste (e em que condições) é apropriado
para realização da inferência estatística?
O problema vem do fato de diferentes testes de
15
normalidade, quando aplicados a uma mesma amostra, levarem a resultados diferentes, no
sentido de que podem rejeitar ou não a hipótese de normalidade da amostra, dentro de um
determinado nível de signicância (α) estabelecido. Assim, um sistema pode ser classicado
tanto como gaussiano quanto não-gaussiano dependendo do teste de normalidade utilizado e
da multiplicidade do aglomerado em questão. Nesse contexto, torna-se fundamental a determinação de critérios objetivos para a escolha do método apropriado para testar a normalidade
da distribuição de velocidades de galáxias em aglomerados.
O ponto central do presente trabalho é a ideia de combinar os valores-p de diferentes
testes de normalidade para gerar um resultado mais conável na categorização de aglomerados
de galáxias como gaussianos ou não-gaussianos.
Com este propósito, implementamos uma
combinação de testes de normalidade conhecida como metanálise de Fisher (Fisher 1925).
Esta técnica depende apenas dos valores-p dos testes individuais de normalidade e encontra
resultados mais seguros que os das análises dos testes (tomados individualmente) do ponto de
vista da ocorrência de erros estatísticos de tipo II (ex. Hedges & Olkin, 1985). O trabalho está
organizado da seguinte forma: no Capítulo 2 apresentamos a motivação para este trabalho
e nosso objetivo central; no Capítulo 3 descrevemos os conceitos e ferramentas estatísticas
utilizados; no Capítulo 4 apresentamos os dados e metodologia empregada; no Capítulo 5
são apresentados os resultados de nossa análise; o Capítulo 6 contém nossas conclusões e
perspectivas. No apêndice discorremos brevemente sobre a dinâmica interna de aglomerados
e a expectativa teórica sobre a distribuição de velocidades das galáxias neles contidas.
16
2
MOTIVAÇÃO PARA O TRABALHO
Grupos de galáxias contêm a maior parte das galáxias no Universo e são o elo entre
galáxias individuais e estruturas em grandes escalas (Huchra & Geller 1982; Geller & Huchra
1983; Nolthenius & White 1987; Ramella et al. 1989). Condições iniciais de natureza cosmológia denem a evolução de um sistema de galáxias, que primeio expande seguindo o uxo de
Hubble, então se desacopla dele, atinge uma escala de máxima expansão, realiza o turnaround
e começa a colapsar para enm se virializar (vide Gunn & Gott 1972). Este cenário global
possui ainda importantes lacunas, não havendo uma metodologia única e plenamente conável para se determinar o estágio dinâmico de um grupo de galáxias, apesar dos esforços nos
últimos 30 anos (Yahil & Vidal 1977; Menci & Fusco-Femiano 1996; Robotham et al. 2008).
A evolução não-dissipativa de sistemas de galáxias é dominada pela gravidade. Interações sobre o tempo de relaxação tendem a distribuir as velocidades das galáxias membro em
uma distribuição gaussiana (ex. Bird & Beers 1993). Embora a distribuição de velocidades
na linha de visada esperada para sistemas de galáxias não seja exatamente gaussiana (ex.
Merritt 1987; Kazantzidis et al. 2004), evidência fenomenológica ao longo dos anos tem sugerido que a normalidade da distribuição de velocidades pode ser assumida para sistemas em
equilíbrio dinâmico (ex. Yahil & Vidal 1977). De fato, várias propriedades importantes de
grupos podem ser estudadas desta perspectiva. Por exemplo, Hou et al. (2009) encontraram
pers ascendentes de dispersão de velocidades para grupos com distribuição de velocidades
não-gaussiana traço este em geral associado a sistemas em interação; Hou et al.
(2012)
também mostraram que a maioria dos grupos não-gaussianos apresentam subestruturas; resultado este que está em acordo com estudos de Einasto et al. (2012a, 2012b) e Ribeiro et
al. (2013) que encontram uma fração signicativa de sistemas multimodais em aglomerados
selecionados a partir do SDSS em particular, Ribeiro et al. (2011, 2013a) mostram que a
multimodalidade pode ser a causa principal de não-gaussianidade nas distribuições de velocidades em grupos de galáxias; ainda, Ribeiro et al. (2010) encontraram efeitos de segregação
em luminosidade, tal que sistemas com distribuição de velocidades gaussiana contêm uma
maior fração de objetos brilhantes nas regiões centrais dos grupos; este último resultado é
reforçado pelo estudo de Martinez & Zandivarez (2011) que, comparando a função de luminosidade de sistemas gaussianos e não-gaussianos, encontraram uma magnitude característica
mais brilhante para sistemas gaussianos; Ribeiro et al. (2013b) também encontraram uma
deciência de galáxias de baixo uxo em sistemas não-gaussianos em comparação com sis-
17
temas gaussianos; nalmente, Krause et al.
(2013) estudam grupos de galáxias na região
do superaglomerado de Ursa Maior e encontram que grupos gaussianos encontram-se preferencialmente nas regiões mais densas do superaglomerado e possuem menores separações
grupo-grupo que grupos não-gaussianos.
Estes resultados recentes indicam a importância de se classicar sistemas de galáxias
de acordo com a sua distribuição de velocidades como um meio para acessar o seu estado
dinâmico. Contudo, a já mencionada diculdade em se determinar se um desvio signicativo
da gaussianidade foi de fato encontrado, indica a importância de se realizar estudos sobre as
metodologias empregadas para este m. Por exemplo, Ribeiro et al. (2013a) mostram que o
uso de uma medida conhecida como "distância de Hellinger"pode ser de grande utilidade na
categorização de grupos e aglomerados de galáxias. Neste estudo, este autores mostram como
é possível melhorar tanto a taxa de erros estatísticos de tipo I e tipo II (vide Capítulo 3) em
relação a estudos baseados apenas em testes estatísticos de normalidade. Entretanto, apesar
do progresso signicativo (em termos metodológicos) deste trabalho, Ribeiro et al. (2013a),
mesmo após a introdução da distância de Hellinger, ainda convivem com uma considerável
taxa de erros de tipo II, que pode chegar a mais de 40% para sistemas com 30 ou menos
galáxias.
A redução da taxa de erros de tipo II na categorização de sistemas de galáxias com
base em sua distribuição de velocidades é o objetivo central desta dissertação. Para isto, introduziremos o conceito de metanálise de Fisher. Uma vez que o próprio conceito de metanálise
representa um tópico especíco da estatística inferencial, apresentamos no Capítulo 3 uma
breve revisão sobre as ferramentas estatísticas utilizadas neste trabalho. Esta revisão, naturalmente, não tem a pretensão de descrever os detalhes de cada ferramenta, senão fazer uma
apresentação geral da terminologia que será usada no decorrer do trabalho.
18
3
FERRAMENTAS ESTATÍSTICAS UTILIZADAS
Este capítulo fornece uma introdução à estatística inferencial, apresentando os conceitos mais importantes utilizados ao longo do texto.
3.1 Teste de Hipótese
O principal objetivo da análise estatística é fazer inferência sobre uma população a
partir da análise de uma amostra desta população. Inicialmente, uma hipótese é enunciada a
respeito de algum atributo (ou propriedade) da amostra que se pretende estudar a chamada
hipótese nula (H0 ), uma nova hipótese pode
pode ou não haver uma hipótese alternativa
hipótese nula. Caso o exame dos dados rejeite a
ser formulada. Este procedimento, em que
(H1 ), é denominado
teste de Hipótese.
É necessário estabelecer um critério objetivo para rejeitar ou não a
H0
para um teste
estatístico. O que nos leva a perguntar o quão pequena deve ser a probabilidade de que
H0
seja verdadeira para que possamos rejeitá-la. Esta resposta ca a cargo do pesquisador. Uma
probabilidade de 5% é comumente usada como critério de rejeição. A probabilidade usada
como critério de rejeição é chamada de
que existe a possibilidade de que uma
com uma frequência
Erro do tipo I.
α.
A rejeição da
Por outro lado,
H0
nível de signicância, denotada por α É evidente
H0
verdadeira seja rejeitada. Este erro será cometido
H0
quando ela é de fato verdadeira é conhecida como
pode ser de fato falsa e este fato não ser detectado
por um teste estatístico. Este erro de não rejeição da
representado pela letra
disso deni-se o
β,
H0
é denominado
a probabilidade de não rejeição de
poder de um teste estatístico 1-β
H0
erro do tipo II é
quando ela é falsa. A partir
como a probabilidade de rejeitar a
H0
quando ela é de fato falsa.
Enquanto a probabilidade de cometer um erro do tipo I é
pesquisador, a probabilidade de cometer um erro do tipo II,
e nem especicamos.
valor de
α
β,
α,
especicada a priori pelo
é um valor que não sabemos
O que nós sabemos é que para uma dada amostra de tamanho N, o
é inversamente relacionado com o valor de
β.
Quanto mais baixa a probabilidade
de cometer um erro do tipo I mais alta a probabilidade de cometer um erro do tipo II (Seier
2011).
Os testes de hipótese correspondem a regras ou procedimentos para decidir se uma
hipótese nula deve ser rejeitada ou não.
Há duas abordagens, o intervalo de conança e o
teste de signicância. Ambas pressupõem que a variável (estatística ou estimador) que esta
19
sendo considerada tenha alguma distribuição de probabilidade e que o teste de hipótese faça
declarações ou armações sobre os parâmetros dessa distribuição.
A abordagem do teste
de signicância foi desenvolvida independentemente por R.A Fisher e conjuntamente por E.
Pearson e J. Neyman.
Ela consiste em um procedimento pelo qual os resultados de uma
amostra são usados para vericar a validade ou não de uma
H0 .
A ideia chave por trás do
teste é de uma estatística de teste (estimador) e a distribuição de amostragem dessa estatística
conforme a
H0 .
A decisão de aceitar ou rejeitar
H0
é tomada com base no valor da estatística
do teste obtida com os dados disponíveis.
3.2 Testes de Normalidade
Em estatística, os testes de normalidade são usados para determinar se um conjunto de
dados de uma dada variável aleatória é bem modelado por uma distribuição normal ou não, ou
para calcular a probabilidade da variável aleatória subjacente estar normalmente distribuída.
Em geral, qualquer teste relacionado a uma hipótese cientíca é conservador no sentido
de preservar a hipótese nula. Portanto os testes de normalidade são estruturados para serem
mais complacentes com erros do tipo II. Ou seja é preferível não rejeitar a hipótese nula
quando ela é falsa do que rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Isto é, os testes
são desenvolvidos para que se cometam poucos erros de tipo I, enquanto aceita-se um maior
índice de erros de tipo II.
O resultado que nos interessa após a aplicação de um determinado teste é o seu valor-p,
que corresponde à probabilidade de ocorrerem valores da estatística especíca daquele teste
mais extremos que o observado, supondo a hipótese nula verdadeira. Se o valor-p for menor
que o nível de signicância, então a hipótese nula é rejeitada. Em outras palavras, o valor-p
corresponde ao menor nível de signicância que pode ser assumido para rejeitar a hipótese
nula. Dizemos então que há signicância estatística quando o valor-p é menor que o nível de
signicância adotado .
3.3 Testes Utilizados
Para avaliar a suposição de normalidade a respeito da distribuição de velocidades em
aglomerados de galáxias, utilizamos cinco testes muito conhecidos na literatura estatística:
o teste de Anderson-Darling (Anderson & Darling, 1952); o teste de D'Agostino-Pearson
(D'Agostino, 1970); o teste de Jarque-Bera robusto (RJB) (Jarque & Bera, 1987); o teste de
Kolmogorov-Smirnov na versão de Lilliefors (vide Lilliefors, 1967); e o teste de Shapiro-Wilk
20
(Shapiro & Wilk, 1965).
testes.
3.3.1
A seguir, apresentamos uma breve descrição de cada um desses
1
Teste de Anderson-Darling (AD)
Proposto por Anderson e Darling (1952), o teste é especialmente ecaz quando temos
amostras de tamanho pequeno, como bem é descrito por Hou et al.
(2009).
O teste AD
é baseado na comparação entre a Função de Distribuição Empírica (FDE) e a Função de
Distribuição Cumulativa (FDC) hipotética. A estatística do teste, como descrita por Stephens
(1987), é denida como:
n
1X
A = −n −
[2i − 1][ln(p(i) ) + ln(1 − p(n−i+1) )],
n i=1
2
onde
p(i) = Φ([x( i) − x̄]/σ)
e
distribuição normal pardrão, e
xi ≤ x < xi+1 .
x̄
e
empírica, respectivamente. O valor
Aqui,
Φ
(3.1)
é a FDC hipotética, no caso a
σ
representam a média e o desvio padrão da distribuição
p
é obtido da estatística modicada de
Z = A2 (1.0 + 0.75/n + 2.25/n2 )A,
(3.2)
caso os parâmetros da distribuição não sejam conhecidos a priori (Stephens, 1987).
3.3.2
D'Agostino-Pearson (DP)
Também conhecido como teste D foi proposto por D'Agostino (1970).
Neste teste,
verica-se a hipótese de normalidade como medida de assimetria dos dados. A hipótese nula
é que a distribuição observada tem assimetria nula. A estatística DP é dada por:
DP =
onde,
1É
T
,
n2 σ
n X
n+1
T =
i−
x(i)
2
i=1
(3.3)
(3.4)
importante ressaltar que cada teste possui um estimador (ou estatística) que pode ser mais sensível a
diferentes regiões da variável amostrada. Existem testes mais sensíveis à região central (valores próximos da
média) assim como testes mais sensíves às caudas da distribuição.
21
Se a amostra é da distribuição normal, temos
(n − 1)Γ n2 − 12
1
√
E{D} =
≈ √ ≈ 0.28209479.
n
2 π
2 2nπΓ( 2 )
(3.5)
O valor-p é obtido através de
D∗ =
3.3.3
D − E(D)
.
σ(D)
(3.6)
Robust Jarque-Bera
O RJB é uma versão robusta do teste estatístico de normalidade Jarque-Bera (JB).
O RJB utiliza os coecientes de assimetria e curtose dos dados empíricos.
Incorporando a
Average Absolute Deviation from the Median (MAAD) às medidas de assimetria e curtose,
faz-se com que o teste seja menos sensível a outliers. Em linhas gerais, o teste funciona da
seguinte forma.
Seja
X1 , X2 , . . . , Xn
tribuídas. Sejam
e
σ
n
variáveis independentes identicamente dis-
a média, mediana e desvio padrão da população. Denem-se
como os estimadores de
ν ,v
e
σ.
X̄ ,
M
k , o k -ésimo momento
P
n
k
central νk é denido por µk = E(X −µ) e sua estimativa por µ̂k =
i−1 (Xi − X̄). Utilizando
e
Sn
ν, v
uma sequência de
Para qualquer inteiro positivo
o estimador robusto MAAD denido por
n
CX
Jn =
|Xi − M |,
n i−1
obtemos estimadores robustos de assimetria
RJB dado por
n
RJB =
C1
onde
e
C1 e C2
C2 = 64
3.3.4
ν̂3
Jn3
C=
= ν̂3 /Jn3
2
n
+
C2
p
π/2,
e curtose
= ν̂4 /Jn4
p
que levam ao teste
2
ν̂4
−3 ,
Jn4
são constantes positivas. Para um nível de signicância
(Gel & Gastwirth, 2006). O valor
(3.7)
(3.8)
α = 5% indica-se C1 = 6
é obtido pela solução da (eq.3.8).
Kolmogorov-Smirnov
É uma versão modicada do teste estatístico Kolmogorov-Smirnov, baseada na difer-
ença máxima entre a FDE e a FDC. A estatística do teste é dada por
D = max{D+ , D− },
(3.9)
22
onde
D+ =
maxi=1,...,n {i/n
FDC normal padrão com
− p(i) }, D− =
x̄
e
σ
maxi=1,...,n {p(i)
−
i−1
}e
n
p(i) = Φ(|x(i) − x̄|σ . Φ
é a
sendo média e desvio padrão respectivamente.
As distribuições de probabilidade destas duas estatísticas, dado que a hipótese nula de
igualdade das distribuições é verdadeira, não depende daquilo que a distribuição em hipótese é,
desde que ela seja contínua. O teste Kolmogorov-Smirnov é mais sensível em pontos próximos
da mediana da distribuição do que nas caudas.
O teste Anderson-Darling é um teste que
providencia igual sensibilidade nas caudas (vide Thode 2002).
3.3.5
Shapiro-Wilk
O teste de Shapiro-Wilk é um reconhecido e eciente teste de desvio de normalidade,
desenvolvido em 1965 por Samuel Shapiro e Martin Wilk. A estatística deste teste, conhecida
como a estatística-w é dada por:
w=
b2
n
X
(3.10)
(xi − x̄)2
i=1
onde
xi
são os valores da amostra ordenados. Menores valores de
w
indicam que os dados são
normais.
A constante
b
é determinada da seguinte forma:
b=
n/2
X
an−i+1 × [xn−i+1 − xi ],
(3.11)
i
se
n
é par. Ou
(n+1)/2
b=
X
an−i+1 × xn−i+1 − xi ,
(3.12)
i
se
n
é ímpar. As constantes
a
são geradas pelas médias, variâncias e covariâncias das estatís-
ticas de ordem de uma amostra de tamanho
n
de uma distribuição normal. Seus valores são
tabelados (vide Thode 2002).
A tomada de decisão do teste SW segue a seguinte comparação: rejeita-se a hipótese
nula a um nível de signicância
α
se
w < wα
(estes últimos tabelados).
3.4 Teste de Multimodalidade
Dado que a multimodalidade pode ser uma causa frequente de não gaussianidade
(Ribeiro et al.
2011; Einasto et al.
2012), utilizamos também neste trabalho o teste dip
23
(Hartigan & Hartigan, 1985)
3.4.1
Teste dip
O teste dip estima a multimodalidade em uma amostra pela diferença máxima (sobre
todos os pontos da amostra) entre a função de distribuição empírica e a função de distribuição
unimodal que minimiza o cálculo da diferença. Esta diferença é a chamada estatística dip.
Hartigan & Hartigan (1985) mostram que a estatística dip é assintoticamente maior
para a distribuição uniforme do que para uma ampla classe de distribuições unimodais, sobretudo aquelas com caudas exponenciais. O valor-p é calculado da seguinte forma:
1. Primeiro se calcula a estatística dip para a distribuição observada, gerando
dipobs
2. Então são realizadas N realizações de uma distribuição uniforme de mesmo tamanho
que a distribuição observada, gerando N
dipboot
3. O valor-p é dado pela razão do número de casos em que
dipobs < dipboot
dividido pelo
número N de realizações.
3.4.2
Metanálise de Fisher
Em muitas situações a quantidade de dados insuciente, bem como as características
próprias de cada teste estatístico, pode impedir uma resposta segura para as questões de
interesse sobre um determinado estudo.
Isto pode levar à rejeição (ou não) prematura de
uma hipótese sobre a natureza do sistema em estudo. Uma abordagem alternativa que atenua
em parte estes problemas é conhecida como metanálise, que é denida como uma coleção
de técnicas pelas quais o resultado de dois ou mais estudos estatísticos independentes são
combinados para obtenção de um resultado global para questão de interesse.
A combinação de valores-p provindo de múltiplos testes estatísticos tem uma longa
história em ciência (vide Hedges & Olkin 1985). Há duas vantagens principais neste tipo de
abordagem: simplicidade e extensibilidade. O método de Fisher pode se usado para combinar
resultados de diversos testes independentes relacionados à mesma hipótese nula. O método
combina valores extremos de cada teste comumente conhecidos como valor-p, gerando um
único teste estatístico S, dado pela formula:
S = −2
k
X
i=1
ln pi ,
(3.13)
24
Onde
pi
é o valor-p do
iesimo
teste a quantidade S é comparada a distribuição-χ
graus de liberdade. Este método é baseado na aditividade dos
que quando a hipótese nula é verdadeira
−2 ln pi
χ2
2
com 2K
independentes, e no fato de
2
é distribuída com uma distribuição-χ (e.g.
Hedges & Olkin 1985).
A metanálise de Fisher, apesar de sua simplicidade de implementação, não é uma
metodologia usualmente empregada em Astrofísica. Neste trabalho, aplicamos esta técnica
à tarefa de categorizar grupos de galáxias em gaussianos e não-gaussianos a partir de sua
distribuição de velocidades.
3.4.3
Teste de comparação múltipla Tukey-Kramer
Finalmente, a comparação entre propriedades médias de grupos classicados como
gaussianos e não-gaussianos teve como ferramenta o teste de Tukey-Kramer. Resumidamente,
este teste de comparação múltipla é usado para determinar se duas ou mais médias diferem
signicativamente entre si.
Um dos aspectos vantajosos do uso deste teste é que ele não
assume igualdade no tamanho das amostras, nem igualdade de variâncias (vide Hayter 1984).
3.5 Aplicação dos testes: o ambiente R
Os testes foram aplicados utilizando o ambiente estatístico R, ao mesmo tempo uma
ferramenta estatística e uma linguagem de programação, voltado para análise de dados. O R
é mantido e atualizado por estatísticos e colaboradores de diversas áreas do conhecimento. É
um sistema gratuito disponível para os sistemas operacionais Linux, Windows e Macintosh.
Ao conjunto de pacotes operacionais originais do R incluímos os seguintes pacotes:
•
diptest utilizado para realizar o teste dip de análise de multimodalidade
•
nortest utilizado para realizar os testes AD e KS.
•
lawstat utilizado para realizar o teste de normalidade de RJB
•
fBasics utilizado para realizar os testes DP e SW.
Todos estes pacotes estão disponíveis gratuitamente na rede e podem ser baixados do próprio
R R Development Core Team (2011)
4
DADOS E METODOLOGIA
4.1 Catálogo Utilizado
A amostra utilizada neste trabalho foi retirada do catálogo Two Micron All Sky Survey
Source Catalog (2MASS). O 2MASS corresponde a uma varredura aproximadamente uniforme
do céu em três bandas no infravermelho próximo, J (1.25 microns), H (1.65 microns), e K (2.17
microns). Dentro do catálogo do 2MASS, estudamos 416 grupos de galáxias selecionados do
trabalho de Crook et al. (2007), usando dados do 2MASS Redshift Survey, que é aproximadamente completo para
K < 11.25
mag e
|b| > 5◦ ,
incluindo objetos até
z ≤ 0.07.
O catálogo
do Crook et al. (2007) utiliza como algoritmo de seleção dos aglomerados o Friends-of-friends
cuja identicação dos grupos se baseia tanto na posição como no redshift dos objetos (e.g.,
Huchra & Geller 1982). O Friends-of-friends é um algoritmo de percolação largamente aceito
na comunidade astrofísica que utiliza parâmetros de vínculo linking-lenght como critérios de
seleção.
Os grupos do 2MASS são denidos por dois contrastes de densidades
δρ/ρ ≥ 12
gerando 274 grupos com 8 ou mais membros indicado como a amostra de Baixo Contraste de
Densidade, BCD e
δρ/ρ ≥ 80 gerando
142 grupos com 8 ou mais membros indicado como
a amostra de Alto Contraste de Densidade, ACD. A diferença nos catálogos está na escolha
dos parâmetros de vínculo (vide Crook et al. 2007). O catálogo BCD é produzido usando os
parâmetros
350Km/s).
(D0 , V0 )=(1.04
Mpc, 399Km/s), enquanto que o ACD usa
(D0 , V0 )=(0.89
Mpc,
1
Indicamos algumas propriedades dos grupos BCD e ACD na Tabelas 4.1. Para maiores
detalhes, consulte Crook et al. (2007).
Propriedade
Catálogo BCD
catálogo ACD
δρ/ρ
12
80
D0 (Mpc)
V0 (Km/s)
σ (Km/s)
RP V (Mpc)
1.04
0.89
399
350
197
183
1.71
0.97
Tabela 4.1: Propriedades de grupos BCD e ACD da amostra de Crook et al. (2007).
Um aspecto importante a se considerar é que os grupos BCD e ACD possuem algumas
1 Os
grupos identicados por Crook et al. (2007) possuem 5 ou mais galáxias, mas neste trabalho utilizamos
apenas aqueles com 8 ou mais membros. Esta seleção visa diminuir os efeitos estatísticos do tamanho da
amostra, aumentando a eciência dos estimadores e técnicas utilizados.
26
propriedades que apresentam diferenças signicativas vide Crook et al.
(2007).
Isto nos
permite discutir a dependência da classicação de grupos gaussianos e não-gaussianos não
apenas em termos dos métodos empregados, como também do critério particular usado para
identicar os grupos isto é, os parâmetros de vínculo do algoritmo FoF.
4.2 Comparação dos Testes Estatísticos
O poder de um teste estatístico é a probabilidade de que o teste rejeite a hipótese nula
quando ele é falsa.
Isto é, o poder do teste reete a probabilidade de o teste não cometer
um erro do tipo II. Testes de normalidade são baseados em diferentes características da distribuição normal e a eciência de cada teste varia dependendo da natureza da não-normalidade
apresentada pela amostra, assim como pelo tamanho da amostra (Seier, 2011). Neste trabalho,
comparamos a eciência de cinco testes de normalidade comumente utilizados na literatura
Anderson-Darling (AD), D'Agostino-Pearson (DP), Jarque-Bera (JB), Kolmogorov-Smirnov
(KS) e Shapiro-Wilks (SW) com a método de metanalise de Fisher (vide Capítulo 3).
Devemos então escolher um procedimento capaz de, baseado em critérios objetivos,
quanticar a robustez de um teste estatístico. Isto equivale a denir a "eciência"do teste, ou
seja, desejamos investigar a percentagem de vezes que um teste aceita a hipótese nula quando
esta é verdadeira. Isso pode ser feito criando uma amostra de controle, em que a fração de
elementos amostrais que desviam da normalidade é conhecida, e então aplicar os testes de
normalidade para avaliar a eciência do teste.
Para este m, zemos realizações de diferentes distribuições não-normais tomadas de
uma distribuição
Levy em 1920.
α-estável
2
α-estável, que é classe de distribuições de probabilidade caracterizadas por
Exceto em casos especícos, a função de densidade de uma variável aleatória
não pode ser dada de forma fechada.
Contudo, sua função característica sempre
pode ser dada por
φ(x) =
A função


exp {ixδ − γ α |x|α [1 − iβ sgn(x) tan( πα )]},
2
if

exp {ixδ − γ|x|[1 + iβ sgn(x) 2 ln |x|},
π
if
α-estável
α 6= 1
(4.1)
α=1
permite uma ampla gama de variações de assimetria e curtose,
dependendo dos valores dados para seus quatro parâmetros (Nolan 1998). O parâmetro de
estabilidade descreve o "peso"da cauda da distribuição:
α
0 < α ≤ 2 quanto menor o valor de
mais "pesada"é a cauda da distribuição. O parâmetro de simetria
2 Ribeiro
β
controla a assimetria
et al. (2013a) também utilizam variações da distribuição α-estável para avaliar a eciência de
diversos testes de normalidade em comparação com a distância de Hellinger.
27
da distribuição,
enviesada.
−1 ≤ β ≤ 1.
Se
β = 0
a distribuição é simétrica; caso contrário, ela é
γ > 0.
O parâmetro de curtose é similar à variância da distribuição normal:
Finalmente, existe um parâmetro de localização:
distribuição normal.
caso, o parâmetro
β
A distribuição
α-estável
é redundante, com
γ
média da distribuição (vide Nolan 1998).
criamos distribuições
α-estáveis
com
δ
e
−∞ < δ < ∞,
equivalente à média da
corresponde à normal quando
α = 2.
Neste
correspondendo respectivamente à variância e
Para comparar a eciência dos diferentes testes,
α ∈ (0, 2), β ∈ (−1, 1)
(exceto zero),
γ ∈ (0, 2]
e
δ=0
Para encontrar erros do tipo I (aqueles que ocorrem quando a hipótese nula é rejeitada
quando ela é verdadeira) os dados foram gerados da seguinte forma:
1. geramos um conjunto de dados de tamanho N de uma distribuição normal (α
uma distribuição
=2
em
α-estável);
2. repetimos o procedimento (1) 1000 vezes para cada amostra de tamanho N, com
8 ≤ N ≤ 100;
3. a cada replicação aplicamos todos os testes descritos no Capítulo 3;
4. contamos a fração de vezes em que os testes e a metanálise falham na não rejeição de
gaussianidade para cada N (ou seja, se
p < 0.05);
Para encontrar erros de tipo II, repetimos os passos acima para distribuições não-normais
(α
6= 2
em uma distribuição
α-estável);
e vericamos a fração de vezes em que os testes e a
metanálise falham na rejeição da gaussianidade para cada amostra de tamanho N (ou seja, se
p ≥ 0.05).
Os resultados desta comparação de métodos são apresentados na Tabela 4.2.
O nível de signicância de um teste estatístico é a probabilidade de cometer um erro
do tipo I. Na prática, primeiro escolhemos
α
(neste trabalho
α = 0.05)
e buscamos o teste
com menor probabilidade de cometer erros de tipo I. Então, selecionamos aquele que apresente
menor probabilidade de cometer erros de tipo II (ou seja, o teste com maior poder). Seguindo a
primeira parte deste procedimento, concluímos que o teste DP é o melhor teste de normalidade
(veja a parte superior da Tabela 1). Usando este teste minimizamos as chances de classicar
um sistema gaussiano como não-gaussiano.
Contudo, o teste DP (assim como os demais
testes) apresenta probabilidades de cometer erros de tipo II indesejavelmente altas (veja a
parte inferior da Tabela 1). Portanto, a chance de classicar um sistema não-gaussiano como
gaussiano é consideravelmente alta em todos os casos. Isto indica que testes de normalidade
superestimam o número de sistemas gaussianos, um viés a ser corrigido.
A metanálise de
Fisher foi introduzida para atenuar este problema. Contudo, embora a técnica MA nos leve
28
a cometer menos erros de tipo II, ela aumenta as chances de cometermos erros de tipo I (veja
a Tabela 4.2).
Isto nos leva a um beco-sem-saída estatístico.
Erros do tipo I
N
AD
DP
JB
KS
SW
MA
8
3%
3%
5%
5%
4%
27%
15
3%
4%
8%
3%
5%
24%
20
8%
3%
7%
7%
6%
26%
30
8%
5%
6%
6%
8%
23%
40
8%
3%
7%
4%
8%
20%
50
2%
3%
9%
5%
3%
22%
80
6%
2%
7%
6%
7%
25%
100
6%
1%
4%
6%
4%
23%
Erros do tipo II
N
AD
DP
JB
KS
SW
MA
8
35%
66%
41%
45%
37%
27%
15
24%
25%
30%
28%
40%
16%
20
17%
19%
17%
22%
26%
8%
30
17%
19%
13%
20%
16%
4%
40
12%
14%
6%
15%
8%
2%
50
10%
10%
5%
15%
6%
2%
80
4%
4%
3%
10%
3%
1%
100
1%
2%
2%
5%
2%
0%
Tabela 4.2: Comparação entre testes de normalidade e técnica MA. A parte superior se refere a erros
de tipo I, enquanto a parte inferior se refere a erros de tipo II.
4.3 Método de separação de Grupos Gaussianos e Não-Gaussianos
Esta embaraçosa situação pode ser resolvida se soubermos explorar as vantagens de
cada método. Por um lado, vimos que o teste DP é a melhor escolha se não desejamos cometer
um erro de tipo I. Assim, quando o teste DP rejeita a normalidade, podemos presumir que um
"real"desvio de gaussianidade está presente na distribuição. Por outro lado, a técnica MA é
desenvolvida para minimizar erros de tipo II. Então, quando a MA não rejeita a normalidade,
podemos presumir que a distribuição deve ser gaussiana.
Estes argumentos podem sugerir
que devemos denir sistemas não-gaussianos a partir do teste DP, e sistemas gaussianos a
partir da técnica MA. Contudo, devemos notar que este critério não impede a ocorrência de
interseções entre diagnósticos entre DP e MA. Para lidar com estas interseções, usamos o
fato de que multimodalidade é uma causa frequente de não-gaussianidade.
modalidade, usamos o teste Dip (vide Capítulo 3).
Para sondar a
29
4.3.1
Procedimento I
Desta forma introduzimos o seguinte procedimento:
1. Um sistema de galáxias tem distribuição NG de velocidades se o teste DP rejeita a
normalidade para
α = 0.05
2. Um sistema de galáxias tem distribuição de velocidades G se a técnica MA não rejeita
a normalidade para
α = 0.05.
3. Grupos na intersecção entre o teste DP e a técnica MA podem ser diagnosticados através
de análise multimodal.
4. O número nal de sistemas G é denido como soma daquele identicados em (2) e dos
unimodais identicados em (3).
5. O número nal de sistemas NG é denido como a soma daqueles identicados em (1) e
dos objetos multimodais identicados em (3).
4.3.2
Procedimento II
Alternativamente, podemos aplicar uma análise modalidade como primeiro passo, e
então aplicar os testes de normalidade para identicar sistemas com G e NG. Por denição,
todos os grupos identicados com multimodais são NG . Para os sistemas unimodais restantes
aplicamos a técnica MA e o teste DP. Neste caso:
1. Todos os grupos passam por uma análise de modalidade.
Sistemas multimodais são
classicados como NG.
2. Sistemas de galáxias unimodais tem distribuição de velocidades G se a técnica MA não
rejeita a normalidade para
α = 0.05.
3. Sistemas de galáxias unimodais tem distribuição de velocidades NG se o teste DP rejeita
a normalidade para
α = 0.05.
4. Se existir intersecção entre os resultados de (2) e (3) a amostra é considerada como G
(uma decisão conservadora).
Os procedimentos I e II são aplicados às amostras BCD e ACD dos grupos de galáxias
do 2MASS Redshift Survey. Os resultados desta análise são apresentados no próximo capítulo.
30
5
ANÁLISE
Aplicamos os procedimentos de denição de grupos G e NG para as amostras BCD e
ACD. Neste trabalho, adotamos a cosmologia
A análise virial é feita seguindo (Carlberg et
3R200 σ 2 /G.
de
Ωm = 0.3, Ωλ = 0.7 e H0 = 100 h kms−1 Mpc−1 .
√
al. 1997), onde R200 =
3σ/[10H(z)] e M200 =
O estudo da distribuição de velocidades toma em conta somente galáxias dentro
R200 .
5.1 Usando processo I
Na amostra BCD, nós encontramos 85 grupos de galáxias classicadas como NG pelo
teste DP, e 111 grupos classicados com G pela técnica MA. Dos 78 grupos na zona de intersecção 27 foram classicados com unimodais e 51 como multimodais pelo teste Dip.
Figura 5.1 apresenta o total de G e NG, 138 e 136 respectivamente.
A
Assim, aproximada-
mente 50% dos grupos tem distribuição de velocidades gaussianas na amostra BCD, usando
o procedimento I. Na amostra ACD, encontramos 50 grupos de galáxias classicadas como
NG pelo teste DP, e 78 grupos classicados como G pela técnica MA. Dos 14 grupos na zona
de intersecção 4 foram classicados com unimodais e 10 como multimodais pelo teste dip. A
Figura 5.2 apresenta o total de G e NG, 82 e 60 respectivamente. Assim, aproximadamente
56% dos grupos tem distribuição de velocidades gaussianas na amostra ACD. Note que a
fração de grupos G é um pouco mais baixa na amostra BCD, o que é um resultado esperado,
uma vez que esta amostra é composto por grupos com maior multiplicidade, em muitos casos
envolvendo grupos ACD como subestruturas (vide Crook et al. 2007). Este resultado indica
que além da escolha dos métodos e critérios usados para classicar os grupos como G e NG,
é importante levar em conta os parâmetros de vínculo utilizados na identicação dos grupos
de um determinado catálogo.
5.2 Usando processo II
Para os grupos BCD, encontramos 131 sistemas multimodais, diretamente classicados como NG. Para os 143 sistemas unimodais restantes, aplicamos a técnica MA e encontramos 111 sistemas G. Aplicando o teste DP, encontramos 32 sistemas NG. Na zona de
intersecção encontramos 27 objetos que foram classicados diretamente como G, com 5 grupos
NG restantes. Os números nais são: 138 G e 136 NG veja Figura 5.3. Consequentemente
31
low density contrast
NG
G
85
189
NG
G
85
78
NG
111
G
136
138
Figura 5.1: Amostra BCD dividida em G (salmão) e NG (azul) via Procedimento I. Os diagramas
superiores mostram o diagnóstico do teste DP. Os diagramas do meio mostram o diagnóstico da
técnica MA, mantendo o número de sistemas NG classicados pelo teste DP. Os diagramas inferiores
mostram o diagnóstico combinado usando DP + MA + dip. O número de grupos é indicado ao lado
de cada diagrama e nas interseções.
50% das amostras tem distribuição gaussiana de velocidades na amostra BCD. Aplicando o
processo II para a amostra ACD, encontramos 61 sistemas multimodais, diretamente classicadas como NG. Para os 81 sistemas unimodais restantes, 78 grupos foram classicados
como G pela técnica MA. Aplicando o teste DP, classicamos 3 grupos unimodais como NG,
dois deles estavam na zona de intersecção. Os números nais são: 80 sistemas G e 62 NG veja a Figura 5.4. Consequentemente, aproximadamente 56% dos grupos tem distribuição de
velocidades gaussianas de acordo com o processo II.
5.3 Resumindo
Vimos que a aplicação dos procedimentos I e II produz os mesmos resultados, com
56% dos grupos sendo classicados como gaussianos, no caso de grupos ACD, enquanto 50%
do grupos são gaussianos nos grupos BCD.
1
Este proporção de sistemas G é inferior àquelas
encontradas em estudos anteriores (Hou et al. 2009, 2012; Ribeiro et al. 2010,2011,2013ab;
Einasto et al. 2012ab) que indicam valores no intervalo
1 Os
∼60-80%.
mesmos grupos G são identicados usando os procedimentos I ou II.
32
high density contrast
NG
G
50
92
NG
G
14
50
NG
60
78
G
82
Figura 5.2: Amostra BCD dividida em G (salmão) e NG (azul) via Procedimento I. Os diagramas
superiores mostram o diagnóstico do teste DP. Os diagramas do meio mostram o diagnóstico da
técnica MA, mantendo o número de sistemas NG classicados pelo teste DP. Os diagramas inferiores
mostram o diagnóstico combinado usando DP + MA + dip. O número de grupos é indicado ao lado
de cada diagrama e nas interseções.
Nossa motivação foi a de reduzir a taxa de erros de tipo II em estudos que buscam
classicar grupos de galáxias de acordo com a sua distribuição de velocidades. A redução nesta
taxa implica em reduzir a fração de grupos gaussianos, uma vez que os testes de normalidade
introduzem um viés no sentido de superestimar a população de gaussianos (isto é, eles rejeitam
menos a gaussianidade do que deveriam). A técnica MA foi introduzida para este m, portanto
uma redução do número de sistemas G era esperada.
Complementando esta etapa do trabalho, realizamos uma comparação entre algumas
propriedades de sistemas G e NG para as amostras BCD e ACD. Esta análise, que não tem
a pretensão de ser extensiva, é apresentada a seguir.
5.4 Comparando sistemas G e NG
Depois de dividir os grupos em G e NG, podemos comparar suas propriedades. A ideia
aqui é apenas comparar as médias e distribuições das seguintes propriedades: o raio projetado virial RP V
luminosidade (Mpc); a massa projetada virial MP V /L(M /L );
MP V (M );
a relação massa projetada-
a diferença de magnitude entre as duas galáxias mais bril-
33
low density contrast
UM
MM
131
143
NG
5
27
NG
136
G
111
G
138
Figura 5.3: Amostra BCD amostra dividida em unimodais (salmão) e multimodais (azul) via Procedimento II. Os diagramas superiores mostram o diagnóstico do teste dip. Os diagramas intermediários
mostram o diagnóstico da técnica MA, mantendo o número de sistemas NG encontrados pelo teste
DP. A parte de baixo do diagrama mostra o uso da combinação da análise conjunta DP + MA +
dip. O número de galáxias é apresentado ao lado de cada diagrama e nas interseções.
hantes m12
na banda K; e a densidade numérica de galáxias ν(Ngals M pc−3 )
nos catálogos
ACD e BCD. Para comparar médias, usamos uma versão modicada do teste de comparação
múltipla de Tukey-Kramer (Dunnett 1980) .
Este teste conduz a um teste de compara-
ção múltipla emparelhada para as diferentes médias com amostras de tamanhos diferentes e
sem assumir igualdade na variância das populações. Para comparar a distribuição das propriedades escolhidas, usamos o teste de Kolmogorov-Smirnov, um teste não paramétrico para
determinar se duas amostras independentes são provenientes de uma mesma distribuição (e.g.
Conover 1971). O valor-p derivado desta análise comparativa é resumido na Tabela 5.1. A
análise inclui a comparação dos tipos G×NG, G×G e NG×NG (comparando-se ACD e BCD,
interna e mutuamente).
Note que a primeira diferença signicativa entre sistemas G e NG para objetos da
amostra ACD acontece na massa projetada, a qual apresenta médias diferentes
[hMP V iG '
(1.54±0.52)hMP V iNG ] e são improváveis de serem tiradas de uma mesma população.
gaussianos também apresentam média e distribuição diferentes para
e
ν G ' (1.29 ± 0.23)ν NG .
Sistemas
NG
mG
12 ' (1.32 ± 0.24)m12
Encontramos também diferenças signicativas, para amostras ACD
34
high density contrast
UM
MM
61
81
NG
1
G
2
NG
78
G
62
80
Figura 5.4: Amostra BCD amostra dividida em unimodais (salmão) e multimodais (azul) via Procedimento II. Os diagramas superiores mostram o diagnóstico do teste dip. Os diagramas intermediários
mostram o diagnóstico da técnica MA, mantendo o número de sistemas NG encontrados pelo teste
DP. A parte de baixo do diagrama mostra o uso da combinação da análise conjunta DP + MA +
dip. O número de galáxias é apresentado ao lado de cada diagrama e nas interseções.
e BCD, na massa e raio projetados viriais
[hMP V iG ' (1.54 ± 0.52)hMP V iNG
e
hRP V iG '
(1.35 ± 0.36)hRP V iNG ], sendo ambos improváveis de serem obtidos de uma mesma população,
com
NG
mG
12 ' (1.32 ± 0.24)m12
e
ν G ' (1.29 ± 0.23)ν NG .
que NG e tem valores maiores de
Assim, sistemas G são mais densos
m12 .
Quando comparamos mutuamente as amostras ACD e BCD, encontramos que a massa
projetada, raio projetado e razão massa-luminosidade tem valores sistematicamente mais elevados nos grupos BCD, como esperado, independentemente da classicação G ou NG. Contudo, notemos que a comparação de
m12 e ν
G
cativas nas médias e distribuições [m12
para sistemas gaussianos indicam diferenças signi-
' (1.32 ± 0.24)mNG
12
e
ν G ' (1.29 ± 0.23)ν NG ].
Assim,
grupos gaussianos indenticados na amostra ACD são mais densos e tem valores maiores de
m12
do que grupos gaussianos identicados em BCD. Curiosamente, não encontramos difer-
enças signicativas entre essas propriedades para sistemas NG quando mutuamente testadas
para amostras ACD e BCD.
Para interpretar estes resultados precisamos entender o porquê de sistemas G serem
mais massivos que grupos NG tanto nas amostras ACD como BCD, o que não é consistente
5
10
N
15
20
25
35
0
SDSS
12
13
14
15
16
log MP (M )
Figura 5.5: Distribuição de massa para sistemas BCD (branco) e ACD (cinza). A linha vermelha
marca a massa média dos grupos mock do SDSS.
com resultados prévios (p.ex.
Ribeiro et al.
2011, 2013ab), cujos trabalhos indicam que
sistemas NG são maiores e mais massivos que sistemas G. Situação exatamente oposta à
encontrada neste trabalho.
Uma possível explicação estaria associada ao cálculo de massa
usando o teorema do virial em objetos não-virializados.
Outra proposta para explicar a
discrepância nos resultados é a distribuição de massa dos grupos, pois pode existir uma
correlação entre massa e gaussianidade levando a um viés nos resultados.
Para explorar este efeito, aplicamos nosso algoritmo para separação de grupos G e
NG sobre o catálogo mock de Berlind et al.
(2006) gerado para ter as propriedades de
grupos do SDSS.Primeiro, aplicamos nosso algoritmo sobre a amostra selecionando apenas
grupos com mais de 7 galáxias
N > 7,
selecionando apenas galáxias dentro de
R200 .2
En-
contramos que 47% sistemas são G. Então, dividimos a amostra em grupos mais e menos
massivos do que a massa média para o catálogo mock
hlog M i ≈ 13.55 M .
Para subamostra
mais massiva, encontramos 69% dos sistemas como G, enquanto para amostra menos massiva, encontramos 25% dos sistemas como G. Estes resultados aproximadamente se repetem
para todos os catálogos mock disponíveis, gerados usando-se diferentes parametrizações para
popular os halos com galáxias (Berlind et al. 2006). Consequentemente, parece haver cor-
2 Aplicando
a mesma anlálise virial que utilizamos na amostra do 2MASS.
36
Tabela 5.1: comparação de sistemas G e NG
TK test (A,A)
(B,B)
(A,B)
(A,B)
RP V
MP V
MP V /L
m12
ν
KS test
RP V
MP V
MP V /L
m12
ν
G × NG
G × NG
G×G
NG × NG
0.2979
0.0238
0.0761
0.0449
0.0115
(H,H)
0.0620
0.0319
0.4265
0.0763
0.0463
(L,L)
0.0000
0.0045
0.0048
0.0240
0.0071
(H,L)
0.0000
0.0039
0.0000
0.1569
0.2671
(H,L)
G × NG
G × NG
G×G
NG × NG
0.0960
0.0079
0.0659
0.0385
0.0241
0.0159
0.0179
0.1758
0.0383
0.0236
0.0000
0.0019
0.0009
0.0239
0.0219
0.0000
0.0059
0.0000
0.0609
0.0729
relação entre a distribuição de massa de um catálogo de grupos de galáxia e a fração de
sistemas gaussianos nela encontrados. Na Figura 5.5, plotamos o histograma de massas para
as amostras ACD e BCD. Note que ambos contêm objetos mais massivos (em média) do que
a amostra mock do SDSS. Para a amostra ACD, tomando grupos mais massivos do que a média,
hlog M i ≈ 13.88 M ,
encontramos 65% de sistemas G, enquanto tomando grupos menos
massivos que a média nós encontramos 46% classicados como G. Para amostras BCD, com
massa média
hlog M i ≈ 14.05 M ,
encontramos 60% e 44% dos sistemas classicados como
G para grupos mais e menos massivos que a média, respectivamente.
Tomando raio e massa médios para grupos menos massivos da amostra ACD, encontramos que
hRP V iNG ' (1.21 ± 0.43)hRP V iG ,
mesmo acontece para amostra BCD,
(1.32 ± 0.44)hlog MP V iG .
menos massivos.
e
hlog MP V iNG ' (1.18 ± 0.34)hlog MP V iG .
hRP V iNG ' (1.27 ± 0.33)hRP V iG ,
e
hlog MP V iNG '
Isto é, NG são maiores e mais massivos que G, para grupos
Fazendo o mesmo para grupos mais massivos, encontramos
(1.17 ± 0.35)hRP V iNG ,
e
O
hlog MP V iG ' (1.36 ± 0.24)hlog MP V iNG ,
hRP V iG ' (1.28 ± 0.37)hRP V iNG
e
hRP V iG '
para amostra ACD; e
hlog MP V iG ' (1.46 ± 0.41)hlog MP V iNG ,
para amostra
BCD. Consequentemente, para grupos menos massivos, temos sistemas NG maiores e mais
massivos do que G. Enquanto para grupos mais massivos, temos sistemas G maiores e mais
massivos que sistemas NG.
37
6
CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
Distribuições de velocidades gaussianas, usualmente truncadas (ex.
Yahill & Vidal
1977), descrevem as velocidades em modelos de esfera isotérmica de sistemas de galáxias (King
1966) vide Apêndice. Simulações de N-corpos têm mostrado que a relaxação de sistemas
acolisionais isolados levam a uma distribuição gaussiana de velocidades dentro do crossing
time dos sistemas, embora em sistemas experimentando fusões a relaxação pode levar tempos
consideravelmente maiores (Merrall & Henriksen 2003, Hansen et al. 2005, 2006). Este fato
leva à expectativa teórica de que a distribuição de velocidades seja normal para um sistema
em equilíbrio dinâmico.
Neste trabalho, usamos a técnica de metanálise Fisher combinando cinco testes de
normalidade, um teste multimodalidade e o mais eciente dentre os cinco testes que combinados em um procedimento para separar sistemas G e NG de acordo com suas distribuições
de velocidades.
Mostramos que o teste DP é a melhor escolha para evitar erros do tipo I,
enquanto a técnica MA é a melhor escolha para evitar erros do tipo II. Introduzimos dois
procedimentos para categorizar sistemas G e NG. No procedimento I, utilizamos os diagnósticos DP e MA antes do estudo de modalidade, enquanto no procedimento II, utilizamos o
estudo de modalidade antes dos diagnósticos DP e MA. Estes procedimentos mostraram-se
consistentes entre si.
Aplicando estes procedimentos, encontramos que
∼ 50%
e
∼ 56%
sicados como G, para as amostras BCD e ACD, respectivamente.
dos grupos são clas-
Comparando algumas
propriedades desses sistemas, encontramos que sistemas G são mais densos que NG e têm
maiores valores de
m12 .
Além disso, grupos G identicados na amostra ACD são mais densos
e têm valores maiores de
m12
que grupos G identicados na amostra BCD. Explorando o
resultado de que sistemas G são mais massivos que sistemas NG em ambas amostras, encontramos que em média grupos de menor massa têm sistemas NG maiores e mais massivos que
sistemas G, enquanto que grupos de maior massa têm objetos G maiores e mais massivos que
NG. Isto concilia os resultados encontrados neste trabalho com estudos prévios de distribuição
de velocidades em sistemas de galáxias (ex Ribeiro et al. 2011, 2013ab; Krause et al 2013).
Finalmente, enfatizamos a importância da escolha do método para dividir sistemas
em G e NG. Usando o procedimento desenvolvido neste trabalho nós encontramos 50-56%
de sistemas G no catálogo 2MASSS. Se utilizássemos testes individuais teríamos encontrado
uma fração muito maior de sistemas G (72-78%) teste AD, (74-83%) teste DP, (75-80%)
39
teste JB, (71-84%) teste KS, and (73-82%) testes SW. Além disso, a taxa de erros de tipo
II, usando-se a MA é consideravelmente mais baixa (4-27% para
N ≤ 30)
do que em todos
os testes individuais avaliados, assim como no estudo de Ribeiro et al. 2013a, que introduz
a distância de Hellinger como nova metodologia para categorizar sistemas G e NG. Embora
a distância de Hellinger melhore a performance com relação tanto a erros de tipo I como de
tipo II, a incidência destes últimos ainda pode ser alta (>
40%)
para para
N ≤ 30.
Finalmente, vericamos diferenças signicativas quando comparamos as propriedades
das amostras ACD e BCD, indicando que a maneira especíca da identicação dos grupos
em levantamentos de galáxias pode levar a conclusões diferentes quando tentamos explorar
as propriedades dinâmicas dos aglomerados utilizando suas distribuições de velocidades.
6.1 Perspectivas
O estudo com a metanálise de Fisher se restringe a apenas a cinco testes de normalidade. Não vericamos se combinações de diferentes testes podem produzir uma metanálise
mais eciente. No desenvolvimento subsequente deste trabalho, pretendemos estender nosso
estudo da seguinte maneira:
•
Dentro de amostras controladas, incluir novos testes de normalidade para serem combinados na MA.
•
Aplicar a nossa metodologia para revisar os resultados de outros trabalhos.
•
Estudar amostras em redshift mais altos.
•
Aplicar nossos procedimentos de separação G/NG para amostras mais numerosas melhorando a estatística dos testes.
•
Finalmente, após chegarmos a um diagnóstico mais completo, determinar com maior
precisão as propriedades físicas dos grupos gaussianos e não-gaussianos.
7
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[63] SOUZA, R. Introdução à Cosmologia São Paulo: edusp, 2004. 320 p.
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[66] UEDA, H., ITOH, M., & SUTO, Y. Clusters and Groups of Galaxies as Cosmological
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N◦
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[68] YAHIL, A & VIDAL, N. V The Velocity Distribution Of Galaxies In Clusters Ap. J.
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N◦
APÊNDICE
46
A
DINÂMICA DOS AGLOMERADOS DE GALÁXIAS
Existe uma diferença fundamental entre galáxias e sistemas com os quais normalmente
lida a mecânica estatística, como moléculas connadas.
forças que atuam sobre as partículas constituintes.
A diferença está na natureza das
As forças entre duas moléculas no gás
são muito pequenas a menos que as distâncias entre elas sejam muito curtas. Neste caso as
partículas são violentamente repelidas.
Por outro lado, as forças gravitacionais que atuam
sobre as galáxias têm natureza inteiramente diferente: atuam a longa distância e são sempre
atrativas.
Imagine um grande número de galáxias movendo-se sob inuência de um potencial
Φ(x, t).
Num tempo
t
qualquer, uma descrição completa do estado de qualquer sistema
acolisional é dada pelo número especíco de componentes
um pequeno volume
v.
A quantidade
d3 x
centrado em
f (x, v, t)
x
f (x, v, t)d3 xd3 v
tendo posição em
e velocidade em uma pequena taxa
d3 v
centrada em
é chamada de função de distribuição ou densidade do espaço de
fase do sistema. As coordenadas no espaço de fase são
(x, v) ≡ W ≡ (w1 , . . . , w6 )
(A.1)
A velocidade desse uxo pode ser escrita como:
Ẇ = (ẋ, v̇) = (v, −∇Φ).
A densidade
f (w, t)
(A.2)
de galáxias deve satisfazer a equação de continuidade análoga a que é
satisfeita pela densidade
ρ(x, t)
de um uxo de uido arbitrário.
6
∂f X ∂(f ẇα )
+
=0
∂t α=1 ∂wα
(A.3)
Ao mesmo tempo,
6
X
∂ ẇα
α=1
Aqui
∂vi
∂xi
=0
porque
xi
e
3
3
X
X
∂vi ∂ v̇i
∂ ∂Φ
=
(
+
)=
−
(
) = 0.
∂wα
∂xi ∂vi
∂vi ∂xi
i=1
i=1
vi
são variáveis independentes, e
Combinando as duas últimas equações temos:
∇Φ
(A.4)
não depende das velocidades.
47
6
∂f X
∂f
+
ẇα
=0
∂t α=1
∂wα
(A.5)
i.e.,
3
∂Φ ∂f
∂f X ∂f
+
(vi
−
) = 0.
∂t
∂xi ∂xi ∂vi
i=1
(A.6)
∂f
∂f
+ v · ∇Φf − ∇Φ ·
= 0,
∂t
∂v
(A.7)
ou em notação vetorial:
que é a equação de Boltzmann acolisional.
Uma completa solução da equação de Boltzmann usualmente é muito difícil.
Con-
tudo, podemos tomar os momentos da equação acolisional de Boltzmann. Por exemplo, se
integrarmos a equação de Boltzmann sobre todas as velocidades, obtemos
Z
∂f 3
d v=
∂t
Z
∂f 3
∂Φ
vi
d v−
∂xi
∂xi
Z
∂f 3
d v = 0,
∂t
(A.8)
Como as velocidades sobre as quais estamos integrando não dependem do tempo, então
a derivada parcial
∂/∂t
pode ser tomada fora da integral no primeiro termo da equação. De
forma similar, uma vez que
vi
não depende de
xi ,
a derivada parcial
∂/∂xi
pode ser tirada
da integral no segundo termo da equação e o último termo da equação zera com a aplicação
do teorema da divergência e usando o fato de que
f (x, v, t) = 0
para
v ≡ |v|
sucientemente
grande, i.e., não existem galáxias que se movem innitamente rápidas. Portanto, se denirmos
a densidade espacial de galáxias
ρ(x)
Z
ρ≡
e a média de velocidades
3
fd v
;
1
hvi i ≡
ρ
Z
hv(x)i
por
f vi d3 v
(A.9)
e lembrando a equação de continuidade,
∂ρ ∂(ρhvi i)
+
=0
∂t
∂xi
podemos multiplicar a equação por
∂
∂t
Z
3
f vj d v +
(A.10)
vi
e integrar sobre todas as velocidades e obter
Z
∂f 3
∂Φ
vi vj
d v−
∂xi
∂xi
Usando o teorema da divergência e o fato de que
f
Z
vi
zera para
∂f 3
d v=0
∂vi
v
grande temos
(A.11)
48
Z
∂f 3
vj
d v=−
∂vi
Z
∂vj 3
fd v = −
∂vi
Z
δij d3 v = −δij ρ,
(A.12)
Então a (eq.A.11) pode ser escrita como
∂Φ
∂(ρhvi) ∂(ρhvi vj i)
+
+ρ
= 0,
∂t
∂xi
∂xi
(A.13)
onde
1
hvi vj i ≡
ρ
Z
vi vj f d3 v.
a (eq.A.13) pode ser posta numa forma mais familiar subtraindo-lhe
ρ
(A.14)
hvij
para obter
∂hvi
∂(ρhvi i) ∂(ρhvi vj i)
∂Φ
− hvj i
+
= −ρ
= 0,
∂t
∂xi
∂xi
∂xj
então notando que o valor médio de
vi vj
pode ser divido em partes
hvi ihvj i
(A.15)
que se deve ao
movimento e a parte
σij2 ≡ (hvi − hvi i)(vj − hvj i) = hvi vj i − hvi ihvj i
que surge porque as galáxias próximas ao ponto
x
(A.16)
podem ter diferentes velocidades. Então,
usando a (eq.A.16) na (eq.A.15) obtemos a equação de uxo:
ρ
∂(ρσij2 )
∂hvi
∂hvj i
∂Φ
− ρhvi i
= −ρ
−
,.
∂t
∂xi
∂xj
∂xi
(A.17)
A Eq.A.18 é chamada de equação de Jeans. Esta equação descreve o uxo de um conjunto de
partículas através do espaço de fase em resposta à aceleração induzida por algum potencial
gravitacional
Φ(r).
Reescrecendo Eq.A.18 como
ρ
∂Φ
∂hvi
∂hvj i ∂(ρσij2 )
= −ρ
+ ρhvi i
−
,.
∂xj
∂t
∂xi
∂xi
(A.18)
vemos que seu lado direito depende apenas dos momentos de mais baixa ordem da função
de distribuição
f (~r, ~v ),
que em geral são mais acessíveis à observação do que a função de
distribuição em si. Contudo, a Eq.A.18 é incompleta no sentido em que ela não é unicamente
especicada por seus momentos de mais baixa ordem. Ou seja, é possível encontrar diferentes
soluções a esta equação para diferentes distribuições de massa e anisotropias do sistema (vide
Merritt 1987). Na verdade, a distribuição de velocidades projetada pode variar considerav-
49
elmente dependendo de o sistema ser dominado por movimentos radiais ou tangenciais (vide
Dejonghe 1987).
Se aglomerados se formam através de fusões de grupos menores, simulações numéricas indicam que interações de maré rapidamente conduzem o potencial gravitacional a uma
condição isotérmica (Ueda, Itoh & Suto 1993). Aglomerados com um halo de matéria escura
isotérmico devem corresponder a um único pico em densidade numérica, com simetria esférica
ou elíptica, e mostrando nenhuma correlação entre posição e velocidade das galáxias membro.
Esta condição deve ser obtida também no contexto da mecânica estatística. De fato, LyndenBell (1967) deduziu a função de distribuição para sistemas autogravitantes basendo-se na
relaxação completa (e violenta) e ergodicidade dos sistemas. Isto conduz naturalmente a um
perl de massa isotérmico, com massa, energia e extensão espacial innitas. Por esta razão,
Lynden-Bell (1967), Shu (1978) e Madsen (1987) consideraram que algum tipo de relaxação
incompleta poderia ocorrer. A relaxação incompleta representaria um truncamento no espaço
de fase, como se a relaxação violenta estivesse connada àquela região particular.
Por exemplo, para o caso de uma esfera isotérmica truncada, a distribuição de velocidades seria aproximadamente gaussiana (King 1966). Seja a densidade de galáxias num ponto
x
qualquer
Z
ρ(x, t) = m
respondendo ao potencial gravitacional
φ(x, t),
f (x, v, t)d3 v
(A.19)
onde
∇2 φ = 4πGρ.
(A.20)
Podemos assumir que cada galáxia se move nesse potencial gravitacional suave em alguma órbita especíca. Para esferas isotérmicas, este modelo correspondente à função de distribuição
f () =
parametrizada por duas constantes
da velocidade
central é
hv 2 i é 3σ 2
ρ e σ.
ρ0
exp
(2πσ 2 )3/2
σ2
Podemos facilmente vericar que a média quadrática
e que a distribuição de densidade é
ρc = ρo exp[ψ(0)/σ 2 ].
(A.21)
ρ(r) = ρo exp(ψ/σ 2 ).
A densidade
É convencional denir o raio do núcleo e um conjunto de
variáveis adimensionais por
r0 =
9σ 2
4πGρc
1/2
,
l=
r
,
r0
ξ=
ρ
.
ρc
(A.22)
50
Esta seria uma descrição simples da estrutura de um aglomerado.
Porém, muitos
aglomerados apresentam distribuição de velocidades não-gaussiana (ex. Zabludo, Franx &
Geller 1993). Estes desvios podem indicar uma quantidade de órbitas anisotrópicas e/ou uma
mistura de duas ou mais sub-populações de galáxias (Merritt 1988; Bird 1994).