ACIDENTES DE TRÂNSITO:
COLISÕES UNIDIMENSIONAIS
Copyright 2014: Sérgio Gustavo de Miranda
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I- INTRODUÇÃO:
Este documento apresenta uma metodologia de exame de local e de cálculo de velocidades em acidentes de
trânsito onde a colisão entre os veículos ocorrem aproximadamente em uma mesma direção, recebendo por isso a
designação de colisão unidimensional.
As colisões unidimensionais ocorrem principalmente em quando os veículos encontram-se na mesma via,
deslocando em sentidos opostos ou com velocidades diferentes. Em especial, essas colisões ocorrem com frequência nas
proximidades de redutores de velocidade (semáforos, radares, faixas de pedestre, etc.), sendo comumente chamadas de
batidas de traseira.
Neste trabalho, iremos incialmente apresentar os principais elementos do exame de local. Em seguida,
realizaremos uma revisão de conceitos e o desenvolvimento matemático necessário para determinação das velocidades
iniciais dos veículos, das velocidades de danos e dos erros envolvidos.
II- EXAME DE LOCAL:
Especificamente com relação às colisões unidimensionais, as medidas necessárias para determinar a velocidade
dos veículos estão relacionadas à avaliação da energia total dissipada pela colisão e da distribuição de momento linear
entre os veículos durante a colisão.
Os principais vestígios e elementos no exame de local, para a determinação das velocidades, são:
1) comprimentos das marcas produzidas pelos veículos (frenagem, derrapagem, etc.);
2) avarias e danos causados pela colisão entre os veículos e obstáculos fixos (postes, meio-fio, árvores, etc.);
II-1) MARCAS DE FRENAGEM, DERRAPAGEM E OUTRAS
É necessário medir de forma acurada os comprimentos das marcas (frenagens, derrapagens, sulcagens, etc.) e os
comprimentos das trajetórias dos veículos antes e depois da colisão, pois estas serão utilizadas no cálculo das velocidades.
Vale lembrar que, nesse caso, o que importa é o comprimento da trajetória do veículo e não a distância entre o ponto de
colisão e ponto de repouso do veículo.
O exame de local deve igualmente registrar as condições em que as marcas foram produzidas, já que estes fatores
influenciam na avaliação do coeficiente de atrito. Estas condições incluem a intensidade das marcas, o tipo do pavimento
(asfalto, concreto, terra, grama, etc.), o estado do pavimento (seco, molhado, com óleo, com areia, etc.) e a inclinação do
terreno.
Na avaliação de frenagens, os sistemas ABS de freios são um desafio considerável. Como esse sistema impede o
travamento das rodas, e consequentemente a produção de marcas por deposição de borracha no pavimento, cuidado
especial deve ser tomado com veículos que possuam esse dispositivo.
II-2) AVARIAS E DANOS NOS VEÍCULOS E OBSTÁCULOS
Avarias provocadas por colisões entre os veículos e obstáculos fixos como meios-fios, postes e árvores também
influenciam no cálculo da velocidade e devem ser registradas com cuidado, isto inclui tanto aquelas nos veículos quanto
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aquelas nos obstáculos. Os danos causados na colisão entre os veículos não alteram os cálculos de velocidade nas colisões
bidimensionais, mas seu registro também é importante e pode ser usado de forma complementar.
III- CONCEITOS E CÁLCULOS
Tendo em mãos as informações coletadas no tópico anterior, o próximo passo é calcular as velocidades dos
veículos depois, no momento e antes da colisão, nesta ordem. Antes de partimos para o cálculo destas velocidades, vamos
rever alguns conceitos como velocidade equivalente, velocidade de danos e conservação bidimensional de momento.
III-1) VELOCIDADE EQUIVALENTE
Toda velocidade implica em energia cinética, o que faremos então é calcular a energia dissipada pelos veículos e
depois encontrar a velocidade equivalente a essa energia.
No final das contas, toda energia dissipada acaba transformando-se em calor, as principais formas de dissipação
no caso de acidentes de trânsito são: a) o atrito dos pneus com o solo (frenagens, derrapagens, sulcagens); b) a colisão
entre os veículos e c) a colisão entre os veículos e obstáculos fixos. Também é possível que parte da energia cinética
transforme-se em energia gravitacional, o que ocorre quanto existe desníveis no terreno, não levaremos este fator em
conta neste trabalho.
Nos cálculos envolvendo acidentes de trânsitos, tornou-se comum expressar toda energia em termos de energia
cinética, encontrando, neste caso, a velocidade equivalente a esta energia. Por exemplo, se um veículo dissipou a energia
Efren durante certa frenagem, calculamos a velocidade equivalente (Vfren) à mesma energia:
Deste modo, interpreta-se Vfren como a velocidade que o veículo teria para parar completamente depois de uma
frenagem que dissipasse a energia Efren. Observe que no caso real o veículo pode não ter parado após a frenagem, são as
situações onde a energia cinética inicial é maior que a energia dissipada em uma frenagem ou processo específico.
Por exemplo, imagine um veículo com velocidade de 100km/h realizando uma frenagem e depois da frenagem o
veículo prosseguindo com velocidade de 60km/h. A energia dissipada, e consequentemente a velocidade equivalente a
essa energia, pode ser calculada:
Observe que a velocidade equivalente foi de 80km/h, enquanto a redução de velocidade foi de apenas 40km/h, o
que ocorre devido à relação quadrática entre energia e velocidade.
Supondo agora que o veículo realizou uma frenagem (Vfren) e depois uma derrapagem (Vderr) antes de parar, sua a
velocidade inicial é a soma quadrática destas duas velocidades:
Isso ocorre porque estamos trabalhando com energias e estas envolvem o quadrado da velocidade:
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As energias dissipadas por atrito são calculadas através do coeficiente de atrito, assim a velocidade dissipada por
atrito (em Km/h) pode ser expressa da seguinte forma:
Onde g é a aceleração da gravidade em metros por segundo ao quadrado (m/s2), K é o coeficiente de atrito e L é o
comprimento em metros. Na prática, g é tomado como constante (9,8m/s2) e L é medido no exame de local.
A maior dificuldade e fonte de erro se encontram na determinação do coeficiente de atrito (K). Normalmente
encontra-se este valor tabelado, contudo ele pode variar bastante de acordo com o tipo processo (frenagem, derrapagem,
etc.), com o estado do pavimento (seco, molhado, rugoso, etc.) ou mesmo com o tipo de veículo (moto, caminhão, etc.).
III-2) VELOCIDADE DE DANOS
Não obstante o erro associado ao coeficiente de atrito ser grande, o “Calcanhar de Aquiles” nos cálculos de
velocidade é a velocidades de danos. Da mesma forma como as energias dissipadas por atrito são expressas como
velocidades, a energia dissipada na forma de danos produzidos por colisões também o é:
Interpreta-se a velocidade de danos como a velocidade que o veículo teria numa colisão totalmente inelástica
(veículo para após a colisão) contra uma barreira completamente rígida, indeformável e que não pode ser movida.
Como o conceito de velocidade de danos é fundamental nas perícias de acidente de trânsito, discorreremos mais
sobre o assunto.
O mais importante é notar que:
1) a velocidade de danos NÃO é a velocidade que o veículo tinha de fato no momento da colisão, ela é a
velocidade que o veículo teria se tivesse colidido com um objeto de aço maciço fixo ao solo e na qual tivessem
sido produzidas as mesmas avarias;
2) a velocidade de danos corresponde apenas à energia dissipada no veículo, ela não inclui a energia dissipada
no objeto (outro veículo ou obstáculo fixo) com o qual colidiu.
A velocidade de danos é específica do veículo (não depende do objeto com o qual colidiu de fato), contudo ela
depende da massa deste veículo. Assim, se o veículo estiver carregado, será preciso uma menor velocidade para produzir a
mesma quantidade de energia.
Podemos dividir a velocidade de danos em dois tipos: 1) Velocidade de danos dissipada no veículo pela colisão
com o outro veículo (Vdanos col) e 2) Velocidade de danos dissipada no veículo pela colisão com um obstáculo fixo (Vdanos obst).
A primeira delas tem influência nos cálculos apenas quando a colisão é unidimensional (todos os veículos na mesma
direção), a segunda sempre influencia os cálculos.
Agora chegamos a um dos momentos mais difíceis na perícia de acidentes de trânsito: Como avaliar a velocidade
de danos de um veículo?
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A velocidade de danos é equivalente à energia dissipada, ela depende de quais estruturas foram atingidas e de
qual a extensão dos danos causados a essas estruturas. Obviamente, o tipo e a resistência dessas estruturas variam não
somente de veículo para veículo como também variam de uma parte para outra do mesmo veículo.
O ponto de partida para a avaliação da velocidade de danos é a análise dos “Crash Tests”, que são testes onde
veículos são arremessados contra obstáculos ou vice-versa. Normalmente esses testes são realizados por montadoras e
instituições públicas para avaliar a segurança dos automóveis.
Algumas metodologias foram desenvolvidas na avalição da velocidade de danos (Campbell, McHenry, Prasad,
etc.), todas se baseando em dados colhidos nos testes citados. Também há softwares no mercado, como o “Crash 3”, que
utiliza a metodologia de McHenry, e o “Aras 360”.
Uma das melhores fontes sobre o assunto é a NHTSA (http://www.nhtsa.gov/), mas outras também podem ser
encontradas (ex: http://www.accidentreconstruction.com/products/crash-test-data.asp)
Infelizmente, toda metodologia citada anteriormente é cara e demanda tempo demais para as condições
brasileiras, tanto com relação ao exame de local quanto com relação à elaboração do laudo. Além disso, a vasta maioria
dos dados experimentais é de veículos estrangeiros.
Na prática, utiliza-se a experiência e, idealmente, uma boa dose de conservadorismo. Nos acidentes
bidimensionais, a energia dissipada na colisão entre os veículos pode ser calculada através das equações de conservação de
momento, essa seria uma técnica viável para estimar as velocidades de danos, contudo, há pouco trabalho nesse respeito.
Um cuidado especial deve ser tomado nos veículos com estruturas de absorção de impacto (“crash box”). Neles o
dano aparente é muito menor do que a energia absorvida.
É importante lembrar que, quando dois corpos colidem, a energia dissipada na colisão se distribui entre os dois
corpos, contudo, essa distribuição não é equitativa. Um corpo pode dissipar várias vezes mais energia que o outro
dependendo das estruturas e dos materiais envolvidos.
Não obstante a energia se distribuir de maneira desigual, a terceira lei de Newton garante que, durante todo o
tempo que os corpos estiverem em contato, o módulo da força entre eles será igual. Como a energia dissipada é igual à
força multiplicada pela deformação, a proporção entre as energias dissipadas entre os dois corpos é aproximadamente
proporcional à deformação inelástica desses corpos.
A)
B)
C)
D1inel
D2inel
Importante: Note que o desenho se refere às deformações nos veículos e não às suas posições!
Na figura A os veículos entram em contato, ainda não houve deformação das estruturas. Durante a colisão as
estruturas se deformam (figura B), independentemente da deformação as forças nos dois veículos é a mesma. Após a
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colisão (figura C), parte da deformação é recuperada elasticamente. A parcela da deformação não recuperada (Dinel) pode
ser usada para estimar a distribuição da energia de danos:
Por fim, temos também a energia dissipada nos obstáculos (Eobst). Ela não está incluída na velocidade de danos
do veículo e constitui um problema ainda maior de avaliação. Sendo raros os dados experimentais, não há outra solução
que não o bom senso. Na verdade, seria possível realizar simulações computacionais, mas estas são inviáveis no contexto
comum.
Uma maneira de estimar a velocidade de danos produzida em um obstáculo, já convertida para a massa do
veículo que a produziu, é imaginar qual a velocidade necessária para que um corpo de aço maciço, com a mesma massa do
veículo, produzisse os danos observados e parasse depois da colisão.
Também é possível estimar a velocidade de danos em um obstáculo por um método indireto, utilizando para isto
a velocidade de danos equivalente no veículo. Por exemplo, na colisão de um veículo com um poste a velocidade de danos
no veículo foi estimada em 30km/h e a deformação inelástica do veículo foi 40cm, enquanto que no poste a deformação
(ou deslocamento) inelástico foi de 20cm, assim a velocidade de danos no pode ser estimada como:
40cm
20cm
Importante: Note que o desenho se refere às deformações no veículo e no poste e não às suas posições!
A velocidade acima deve ser somada à velocidade de danos no veículo para encontrar a velocidade de danos total
devido à colisão:
III-3) VELOCIDADE APÓS A COLISÃO
Revistos os conceitos acima, podemos encontrar a velocidade dos veículos depois da colisão (Vpos) utilizando a
soma quadrática de todos os componentes (frenagens, derrapagens, colisões com obstáculos fixos, etc.) que ocorreram
após o contato entre os veículos.
Também podemos expressar a energia dissipada nos obstáculos fixos como uma velocidade de dano para o
veículo.
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III-4) VELOCIDAE NO MOMENTO DA COLISÃO (CONSERVAÇÃO DE MOMENTO LINEAR E ENERGIA)
Depois do cálculo das velocidades após a colisão, usaremos as equações de conservação de momento e de
conservação de energia para encontrar as velocidades no momento anterior à colisão (Vcol).
As leis de conservação exigem que o momento linear imediatamente antes da colisão seja igual ao momento
linear imediatamente após a colisão:
Igualmente, as leis da conservação pregam que a energia cinética antes da colisão deve ser igual a energia
cinética após a colisão acrescida da parcela de energia que foi dissipada pela colisão entre os veículos:
Quando as duas soluções acima são resolvidas simultaneamente, dois conjuntos de solução são obtidos:
Onde:
Observe que as soluções tem o sinal de mais e menos invertidos. Isso significa que na primeira solução usamos o
negativo para calcular V1col e o positivo para calcular V2col, na segunda solução invertemos estes sinais.
Como há duas soluções para o conjunto de equações, será preciso escolher qual delas se aplica ao caso em
estudo. Nesse caso basta notar que uma das soluções será sempre incompatível com o caso real, por exemplo, imagine que
no caso real V1 e V2 trafegavam na mesma direção e V1 colide na traseira de V2. Uma das soluções deve ser algo que, se
fosse verdadeiro, não existiria colisão como. Por exemplo, se a velocidade V2 fosse maior que a de V1, não seria possível
haver colisão, neste caso a solução é impossível.
III-5) VELOCIDADE INCIAL DOS VEÍCULOS
Aplicando as equações acima encontramos as velocidades no momento da colisão, caso haja processos de
dissipação de energia antes da colisão, as velocidades equivalentes deverão ser somadas quadraticamente para encontrar
a velocidade inicial dos veículos.
Novamente, podemos substituir a energia dissipada no obstáculo por uma velocidade de danos equivalente no
veículo:
Encontradas as velocidades iniciais dos veículos, terminamos a reconstrução do acidente.
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IV- ERROS
Neste tópico vamos analisar como os erros e incertezas na determinação dos coeficientes de atrito, dos
comprimentos e das velocidades de danos podem ser utilizados para determinar a incerteza sobre as velocidades iniciais
calculadas.
IV-1) PROPAGAÇÃO DE ERROS
Para encontrar o erro na velocidade inicial dos veículos, a qual é calcula através de variáveis que também
possuem uma incerteza associada, usaremos o conceito de propagação de erros.
Se f é uma função das variáveis x e y, as quais possuem erros ex e ey respectivamente, então o erro no valor
calculado de f (ef) será:
A expressão acima assume que as variáveis x e y são estatisticamente independentes. Assim o erro no resultado
da função f é depende do erro nas variáveis x e y e da derivada da função com relação a estas variáveis. A demonstração
desta expressão não será abordada neste documento.
Uma expressão frequentemente encontrada em cálculos de velocidade é a raiz da soma quadrática:
Logo, a derivada com relação a um dos termos (an) será:
Por fim, o erro no cálculo de f (ef) se escreve:
IV-2) INCERTEZA NA VELOCIDADE PÓS COLISÃO
Para encontrar a velocidade após a colisão entre os veículos, normalmente começamos encontrando as
velocidades equivalentes aos processos de atrito, com indicado no item II-3, de forma que a velocidade é calculada pela
expressão:
Sendo o erro na aceleração da gravidade relativamente pequeno, nos preocupamos apenas com os erros em K
(ek) e L (eL). Obtemos então a incerteza na velocidade equivalente de atrito (eVatr):
Outra parcela da velocidade pós-colisão pode se originar dos danos causados em colisões com obstáculos fixos.
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Ao final, encontramos a velocidade pós-colisão realizando a soma quadrática de todas as velocidades
equivalentes (atrito e danos). Desta forma, achamos a incerteza na velocidade pós-colisão (eVpos) usando a expressão vista
no final do item IV-1:
O valor acima definido será agora utilizado para encontrar a incerteza nas velocidades no momento da colisão
entre os veículos.
IV-3) INCERTEZA NA VELOCIDADE NO MOMENTO DA COLISÃO
Aplicaremos agora a expressão de propagação de erros para cada uma das fórmulas que definem as velocidades
no momento da colisão, assim, o erro na velocidade de colisão do veículo 1 será:
Os erros nas variáveis de entrada devem ser estimados de acordo com as condições do local, assim resta apenas
encontrar o valor de cada uma das seis derivadas:
E, para o veículo 2:
As equações acima são para a primeira solução da equação, as equações para a segunda solução são o recíproco
destas.
IV-3) INCERTEZA NA VELOCIDADE INICIAL
O erro na velocidade inicial dos veículos é calculado de forma similar ao erro na velocidade pós-colisão, a única
diferença é que agora temos um termo a mais: aquele relacionado com a velocidade no momento da colisão.
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Então, usando agora as velocidades equivalentes de atrito e colisão com obstáculos que ocorreram antes do
contato entre os veículos teremos:
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