Matemática
Polícia Rodoviária Federal
2ª Parte
Prof. Pacher
Em 2004, 60% das
Vagas do TRF no PR e SC
Data de impressão: 28/02/2007
1° lugar no MPU em 2004
Daniel dos Santos Biu (PR)
Marcos Antronio Santos (SC)
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MATERIAL DIDÁTICO EXCLUSIVO PARA ALUNOS DO CURSO APROVAÇÃO
Polícia Rodoviária Federal
Matemática
Profº Pacher
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
DEFINIÇÃO
Sistema de equações é o conjunto de equações que são
satisfeitas simultaneamente pelos mesmos valores das
incógnitas. As equações que formam um sistema, são
denominadas equações simultâneas.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Sistemas de equações lineares é o conjunto de equações
com todas as incógnitas de expoente 1 (um) ou, também
denominadas de grau 1 (um).
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA
Solução de um sistema é o conjunto de valores, um para
cada incógnita, pelos quais as incógnitas devem ser
substituídas, para que todas as equações se reduzam a
igualdades numéricas ou a identidades algébricas.
Costuma-se dizer que este sistema de valores verifica ou
satisfaz todas as equações. Um sistema de equações
pode ter uma única solução, mais de uma solução ou
não ter nenhuma solução.
SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES COM
DUAS INCÓGNITAS
É o sistema formado por duas equações lineares com
duas incógnitas. O sistema neste formato, será estudado
neste capítulo.
Fazendo a comparação ( I ) = ( II ), obtemos a equação:
21 - y = 3 + y
⇒ 2y = 24
⇒
y = 12
Substituindo y=9 em qualquer uma das equações,
obtemos x=12.
Resultado final (12; 9).
RESOLUÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Consiste em isolar uma incógnita arbitrariamente a
eliminar e substituí-la na outra equação.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
⎧x + y = 21
⎨
x-y= 3
01. Seja o sistema linear: ⎩
Resolução:
x =21- y
⎧ x + y = 21 (I) isolando x ⇒
⎨
⎩x - y = 3 (II)
x =21- y na equação ( II ), obtemos:
Substituindo
(21 - y )- y =3
21 - y - y = 3
-2y = -18
2y = 18
y= 9
RESOLUÇÃO POR ADIÇÃO
Consiste em adicionar termo a termo semelhantes nos
membros, para eliminar uma das incógnitas. Há quatro
casos a considerar conforme a natureza dos coeficientes
da incógnita a eliminar. No estudo para resolução de
sistemas de equações, apresento testes que
possibilitarão fazer contato com os quatro casos.
Substituindo y=9 em qualquer uma das equações,
obtemos x=12.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Resultado final (12; 9).
⎧x + y = 21
⎨
x-y= 3
01. Seja o sistema linear: ⎩
02.Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmão e pagou a
dívida com notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Se, ao
todo, o irmão de Geraldo recebeu 7 notas, quantas
eram as notas de R$ 10,00?
Resolução:
Resolução:
⎧x + y = 21
+ ⎨
⎩x - y = 3
2x
= 24
⇒
x=
24
2
⇒
x = 12
Substituindo x=12 em qualquer uma das equações,
obtemos y=9.
Resultado final (12; 9).
RESOLUÇÃO POR COMPARAÇÃO
Consiste em isolar a mesma incógnita nas duas
equações e, compará-las pela igualdade.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Seja o sistema linear:
Resolução:
⎧x + y = 21
⎨
⎩x - y = 3
x = número de notas de R$ 5,00
y = número de notas de R$ 10,00
⎧5x + 10y = 55
⎨
⎩ x+y=7
...se desejar pode dividir a 1ª equação
por 5
⎧x + 2y = 11
⎨
⎩ x + y = 7 .......isole o x na 2ª equação
⎧x + 2y = 11
⎨
⎩ x = 7 - y .......substitua x = 7 - y
na 1ª equação x
+ 2y = 11
⎧x + y = 21 isolando x ⇒
⎨
⎩ x - y = 3 isolando x ⇒
Atualizada 28/02/2007
I) Duas grandezas, número de notas e valor das notas
com duas incógnitas número de notas de R$ 5,00 e de
R$ 10,00. Neste caso é possível elaborar um sistema de
duas equações com duas incógnitas.
x =21- y (I)
x = 3 + y (II)
(7-y) + 2y = 11........7-y + 2y = 11
y = 4.
Resposta: 4 notas de R$ 10,00
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TESTES
Resolva os próximos sistemas lineares:
01.
{
{
x + y = 17
x-y =5
2x + 5y = 18
02.
04. (CEFET-PR) Sabendo-se que a diferença de preço
entre uma boneca e uma bola é R$ 15,00 e que a
soma dos preços de duas bonecas com duas bolas é
R$ 118,00 , podemos afirmar que o preço de um dos
brinquedos é:
a) R$ 15,00.
b) R$ 80,00.
c) R$ 65,00.
d) R$ 37,00.
e) R$ 10,00.
05. (FCC) Com um balde de água, eu encho 3
garrafas. Com uma garrafa, eu encho 5 copos. Assim,
o número de copos necessários para encher 1 balde
é:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 15
e) 20
06. (FCC) Uma empresa resolveu aumentar seu
a
quadro de funcionários. Numa 1 etapa contratou 20
mulheres, ficando o número de funcionários na razão
de 4 homens para cada 3 mulheres. Numa 2a etapa
foram contratados 10 homens, ficando o número de
funcionários na razão de 3 homens para cada 2
mulheres. Inicialmente, o total de funcionários dessa
empresa era:
a) 90
b) 120
c) 150
d) 180
e) 200
07. (FCC) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num
total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as galinhas
e os coelhos?
08. (FCC) A soma de dois números é 50 e o maior
deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são
os números?
09. Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos
metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso
do copo vazio é?
a) 20g
b) 25g
c) 35g
d) 40g
e) 45g
Atualizada 28/02/2007
10. (FCC) Somando-se os 2/3 de um número x como
os 3/5 do número y, obtém-se 84. Se o número x é
metade do número y, então a diferença y-x é igual a:
a) 18
b) 25
c) 30
d) 45
e) 60
11. Cachorro quente com uma salsicha por $
15,00.Cachorro quente com duas salsichas por $
18,00.O gerente sabe quantos sanduíches vendeu
contando os pães. Com essa promoção ele "faturou"
$ 810,00. Quantas salsichas foram consumidas nos
sanduíches sabendo que usou 46 pães?
x = 60 - y
⎧ 2x - 3y = 3
⎨
3x + 2y = 37
03. ⎩
2
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12. Uma pessoa comprou bicicletas de 2 rodas e
quarda-chuvas de 12 varetas. Se o total de rodas e
varetas é 38 000e o número de guarda-chuvas é o
triplo do de bicicletas, então o número de guardachuvas é.
13. (UNB-CESPE) Se Roberto tivesse 6 anos mais, ele
teria 4/5 da idade do seu irmão. Juntos eles têm 30
anos. A idade de Roberto é:
a) 24
b) 20
c) 16
d) 12
e) 10
14. Um baleiro vende dois tipos de balas: b1 e b2. Três
balas do tipo b1 custam R$ 0,10 e a unidade da bala b2
custa R$ 0,15. No final de um dia de trabalho, ele
vendeu 127 balas e arrecadou R$ 5,75. O número de
balas do tipo b1 vendidas foi:
a) 114
b) 113
c) 112
d) 111
e) 110
15. Três latas iguais de massa de tomate mais uma
lata de atum custam, juntas, R$ 3,00. Duas latas de
massa de tomate mais duas latas de atum (todas
iguais às anteriores) custam, juntas, R$ 3,40.Qual é o
preço de uma lata de massa de tomate?
a) R$ 0,65
b) R$ 0,70
c) R$ 0,75
d) R$ 0,80
e) R$ 0,95
16. (OBM) Rafael tem 2/3 da idade de Roberto e é 2
anos mais jovem que Reinaldo. A idade de Roberto
representa 4/3 da idade de Reinaldo. Em anos, a
soma das idades dos três é:
a) 48
b) 72
c) 58
d) 60
e) 34
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17. (UNB-CESPE) Se eu gastar R$1.200,00 ficarei com
3/4 da quantia que Paulo possui. Juntos temos R$
4.000,00. Nestas condições, Paulo possui a
importância de R$:
a) 1.200
b) 1.680
c) 1.600
d) 2.320
e) 2.400
18. (FATEC-SP) Uma loja vendeu 112 pneus para 37
veículos entre "Fuscas" e motos. Somente dois
"Fuscas" trocaram também o pneu de estepe.
Quantas motos trocaram pneus?
19. Um cavalo e um burro caminhavam juntos,
carregando cada um pesados sacos. Como o cavalo
reclamava muito de sua pesada carga, respondeu-lhe
o burro: de que te queixas? se me desses um saco,
minha carga seria o dobro da tua, mas se eu te der
um saco tua carga será igual a minha. Quantos sacos
cada um deles levava?
20. (FGV-SP) Num pátio existem automóveis e
bicicletas. O número total de rodas é 130 e o número
de bicicletas é o triplo do número de automóveis.
Então, o número total de veículos que se encontram
no pátio é:
a) 50
b) 42
c) 52
d) 54
e) 62
21. Num pátio existem automóveis e motocicletas. O
número total de rodas é 130 e o número de veículos é
40. Quantos veículos de cada tipo se encontram no
pátio?
22. (FCC) Um criador tinha num sítio unicamente
cachorros de raça e pavões. Contando os ‘pés’ de
todos os animais, observou que o total de ‘pés’ era
igual ao quadrado do número de pavões. Uma
semana depois, vendeu seis cachorros e dois pavões
e verificou que de novo o fato se dava, ou seja, o
número total de ‘pés’era o quadrado do número de
pavões. Assim, podemos afirmar que, antes da
venda, havia no sítio um número de cachorros igual
a:
a) 20
b) 18
c) 16
d) 14
e) 12
23. (UDE-SC) Em um treino de basquete, um jogador
ganha 5 pontos por cada cesta que acerta e perde 3
pontos por cada cesta que erra. Em 10 tentativas, um
jogador obteve 26 pontos. Logo, o número de cestas
que ele acertou foi:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Atualizada 28/02/2007
Matemática
24. (OBM) Ronaldo, sempre que pode, guarda moedas
de 50 centavos ou 1 real. Atualmente, ele tem 100
moedas, num total de 76 reais. Quantas moedas de
um valor ele tem a mais do que a de outro valor ?
a) 48
b) 4
c) 8
d) 52
e) 96
25. (BANESPA). Um fazendeiro cria galinhas e
coelhos. Num dado momento, esses animais somam
um total de 50 cabeças e 140 pés. Pode-se concluir
que a razão entre o número de coelhos e o número de
galinhas é:
a) 1/3
b) 1/2
c) 2/3
d) 3/2
e) 3/4
26. (CESGRANRIO-RJ) Geraldo devia R$ 55,00 a seu
irmão e pagou a dívida com notas de R$ 5,00 e de R$
10,00. Se, ao todo, o irmão de Geraldo recebeu 7
notas, quantas eram as notas de R$ 10,00?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
27.(OCM) Um zoológico tem vários macacos e várias
girafas. Contando os olhos e as pernas dos macacos
e das girafas obtém-se 30 olhos e 44 pernas. Quantos
macacos e quantas girafas há no zoológico? (Um
macaco tem duas pernas.)
a) 8 m e 7 g
b) 9 m e 6 g
c) 7 m e 8 g
d) 6 m e 9 g
e) 8 m e 9 g
28.(ESAF) Um copo completamente cheio de água
“pesa” 275 gramas. Mas se metade da água for
jogada fora, seu “peso” cairá para 165 gramas. Então,
o “peso” deste copo é em gramas:
a) 32,5
b) 42,5
c) 55
d) 75
e) 110
29.(FGV-SP) Em uma prova de 20 questões, o
candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e
perde 1 ponto por cada questão não respondida
corretamente. André obteve 20 pontos. Qual seria a
nota de André, se cada resposta certa valesse 6
pontos e cada resposta errada fizesse com que ele
perdesse 2 pontos?
a) 12
b) 16
c) 20
d) 22
e) 24
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30.(OBM) No alvo abaixo, uma certa pontuação é
dada para a flecha que cai na região A e outra para a
flecha que cai na região B. Alberto lançou 3 flechas:
uma caiu em B e duas em A, e obteve 17 pontos.
Carlos também lançou 3 flechas: uma caiu em A e
duas em B, e obteve 22 pontos. Quantos pontos são
atribuídos para uma flecha que cai na região A?
A
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35.(UNB-CESPE) A metade da diferença entre dois
números é 325 e o dobro de seu quociente é 28.
Calcule o menor:
a) 28
b) 25
c) 14
d) 50
36.(CESPE) Dois números tais que, multiplicando-se
por 5 e o menor por 6, os produtos são iguais. Se o
maior deles, diminuído de 3 é igual ao menor
aumentado de 1, então um deles é:
a) 4
b) 7
c) 18
d) 24
B
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
31. (FCC) Na entrada de um estádio, em um dia de
jogo, 150 pessoas foram revistadas pelos soldados
Mauro, Norberto e Orlando. O número das revistadas
por Mauro correspondeu a 3/4 do número das
revistadas por Orlando, e o número das revistadas
por Orlando correspondeu a 14/13 do número das
revistadas por Norberto. O número de pessoas
revistadas por:
a) Mauro foi 45.
b) Norberto foi 54.
c) Orlando foi 52.
d) Norberto foi 42.
e) Mauro foi 42.
32. (UEL-PR) Fernando fez um pedido de 4 m2 de um
piso tipo A e alguns metros quadrados de um piso
tipo B. O piso tipo A custa o dobro do piso tipo B. Ao
anotar o pedido, o vendedor trocou os tipos de piso,
ou seja, 4 m2 de piso tipo B e o resto tipo A. Isso fez o
pedido ficar 50% mais caro. A quantidade de piso tipo
B no pedido original era:
a) 32
b) 16
c) 8
d) 6
e) 4
33. (UFF-RJ) Um jogador de basquete fez o seguinte
acordo com o seu clube: cada vez que ele
convertesse um arremesso, receberia R$ 10,00 do
clube e cada vez que ele errasse, pagaria R$ 5,00 ao
clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20
vezes, ele recebeu R$ 50,00. Pode-se afirmar que o
número de arremessos convertidos pelo jogador
nesta partida foi:
a) 0
b) 5
c) 10
d) 15
e) 20
37.(UNB-CESPE) A quantia de R$ 8,75 é composta de
42 moedas de, 1 centavo e de 50 centavos. A
diferença entre as quantidades de moedas de 1
centavo e 50 centavos é de:
a) 6 moedas
b) 7 moedas
c) 8 moedas
d) 9 moedas
e) 10 moedas
38.(UNB-CESPE) Dois
R$ 1.080,00 por 20
especializado recebeu
por dia de trabalho.
especializado foi de:
a) R$ 23,00
b) R$ 23,50
c) R$ 24,00
d) R$ 24,50
e) R$ 25,00
trabalhadores recebem juntos
dias de trabalho. O mais
R$ 4,00 a mais do que o outro,
A diária do operário menos
39.(ESAF) Numa eleição em que dois candidatos
disputaram I mesmo cargo, votaram 2 150 eleitores. O
candidato vencedor obteve 148 votos a mais que o
candidato derrotado. Sabendo-se que houve 242
votos nulos, quantos votos obteve cada candidato?
a) 1 149 e 1 001
b) 1 100 e 952
c) 1 223 e 1 075
d) 1 028 e 880
e) 1 001 e 907
34.(CESPE) A diferença entre dois números é 144 e o
quociente entre eles é 5. Um desses números é:
a) 35
b) 180
c) 60
d) 80
4
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GABARITO
SISTEMA DE
EQUAÇÃO DO 1º
GRAU
01
11 e 6
02
94 e -34
03
9e5
04
D
05
D
06
B
07
18 e 5
08
17 e 33
09
C
10
D
11
86
12
3 000
13
E
14
A
15
A
16
C
17
C
18
18
19
7e5
20
C
21
25 e 15
22
E
23
E
24
B
25
C
26
C
27
A
28
C
29
E
30
C
31
E
32
B
33
C
34
B
35
D
36
D
37
C
38
E
39
D
Matemática
FUNÇÕES DO 1º GRAU
FUNÇÃO CONSTANTE
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k ,
onde k é um número real que não depende de x .
Exemplos:
a) f(x) = 9
b) f(x) = -2
Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta
paralela ao eixo dos x .
Veja o gráfico a seguir:
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax +
b , onde a ≠ 0 .
Exemplos :
01. f(x) = 2x + 8 ( a = 2 ; b = 8 )
02. f(x) = -5x + 5 (a = -5; b = 5).
CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
I) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta
decrescente quando a<0.
II) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta
crescente quando a>0.
III) Na função f(x) = ax + b ,
• se b = 0 , f é dita função linear e
• se b ≠ 0, f é dita função afim .
IV) O gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação
f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = - b/a .
V) O gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b), que
é o termo independente b, onde b é chamado coeficiente
linear .
VI) O valor a é chamado coeficiente angular e dá a
inclinação da reta.
VII) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o
gráfico é uma reta que sempre passa na origem, no ponto
(0, 0).
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06. ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b,
quando :
PRATICANDO
01.(NC.UFPR)
expressão
Calculando
(a+b)
2
a2 − b2
, para
o
valor
a = 0,25
Matemática
numérico
e
da
b = 0,15,
obtemos o valor:
a) 1,75
b) 4,00
c) 2,50
d) 3,20
e) 3,75
02. Assinale a alternativa que corresponde a função
de acordo com o gráfico:
a) a < 2
b) a < 0
c) a = 0
d) a > 0
e) a = 2
07. ( ITAJUBA-MG ) O gráfico abaixo pode representar
qual das expressões ?
a) f(x)= -x+2
b) f(x) = -x/2 + 1
c) f(x)= -x/2 + 2
d) f(x)=4x
e) f(x)= -x
03. Obtenha a função do 1º grau na variável x que
passa pelos pontos ( 0, 1 ) e ( -3, 0):
a) y= x/3
b) y=-x/3 + 1
c) y= 2x
d) y= x/3 +1
e) y= -x
04. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b .
Assinale a alternativa correta:
05. ( UF-MA ) A representação da função y = -3 é uma
reta :
a) paralela aos eixo das ordenadas
b) perpendicular ao eixo das ordenadas
c) perpendicular ao eixo das abscissas
d) que intercepta os dois eixos
e) nda
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08. ( FGV - SP ) O gráfico da função f(x) = mx + n
passa pelos pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor de
m+né:
a) 13/5
b) 22/5
c) 7/5
d) 13/5
e) 2,4
09. ( PUC - MG ) Uma função do 1o grau é tal que
f(-1) = 5 e f(3)=-3. Então f(0) é igual a :
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) -1
a) a = 0 ; b = 0
b) a > 0 ; b > 0
c) a < 0 ; b > 0
d) a > 0 ; b = 0
e) a > 0 ; b < 0
6
a) y = 2x - 3
b) y = - 2x + 3
c) y = 1,5 x + 3
d) 3y = - 2x
e) y = - 1,5x + 3
10. ( FUVEST-SP ) A função que representa o valor a
ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de
uma mercadoria é :
a) f(x)= x-3
b) f(x)= 0,97x
c) f(x)=1,3x
d) f(x)=-3x
e) f(x)= 1,03x
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11. ( UF-RN ) Seja a função linear y = ax - 4 . Se y = 10
para x = -2 então o valor de y para x = -1 é:
a) 3
b) 4
c) -7
d) -11
e) nda
12. ( MACK - SP ) A função f é definida por f(x)= ax + b
. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor de f( 3 ) é :
a) 0
b) 2
c) -5
d) -3
e) -1
13. ( UNIFOR ) Seja a função f de R em R definida por
f(x) = mx + t representada pelo gráfico abaixo. Nestas
condições:
16. A função f é representada graficamente por
f
y
0
a
x
Pode-se concluir que
a) se f(x) < 0 então x > a.
b) se f(x) < 0 então x < 0.
c) se x < a então f(x) < 0.
d) se 0 < b < a e x > b então f(x) > f(b).
17 .(EPCAR) A reta do gráfico abaixo indica a
quantidade de soro (em ml) que uma pessoa deve
tomar, em função de seu peso (dado em Kgf), num
tratamento de imunização.
A quantidade total de soro a ser tomada será dividida
em 10 injeções idênticas.
Quantos ml de soro receberá um indivíduo de 65 Kgf
em cada aplicação?
ml
30
a) m = 2t
b) t = 2m
c) m = t
d) m + t = 0
e) m - t=4
10
0
14. (AFA)
Hotel Fazenda B
Chalés com acomodação para até 10 pessoas.
Diária do Chalé: 80 reais
Refeição opcional (14 reais por dia por pessoa)
O Sr. Souza, esposa e filhos optaram pelo passeio
acima anunciado e, aproveitando as férias escolares,
passaram 5 dias hospedados no Hotel Fazenda B
fazendo todas as refeições, gastando ao todo 1100
reais, dos quais 280 reais cobriram despesas com
telefone, frigobar e lazer.
É correto afirmar que
a) a família levou 6 filhos.
b) as despesas com refeições totalizaram 400 reais.
c) no chalé sobraram 4 acomodações.
d) se não tivessem ocorrido as despesas extras com
frigobar, telefone e lazer, eles poderiam ter ficado mais
1 dia e teriam economizado ainda 120 reais.
15.(FAE-PR) Dois números inteiros positivos são tais
que a sua soma mais a sua diferença mais o seu
produto é igual a 50. Quantas são as possíveis
soluções para esse problema?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Atualizada 28/02/2007
20
50
80
Kgf
a) 20
b) 2
c) 40
d) 4
18. (EXPCEX) Sabendo que a função
y = ax + b, pode-se afirmar que:
a) O gráfico da função passa sempre pela origem.
b) O gráfico da função corta sempre o eixo das
ordenadas.
c) O zero da função é b/a.
d) A função é crescente para a < 0 .
e) O gráfico da função nunca passa pela origem.
19.(NC.UF-PR) Qual das histórias melhor se adapta ao
gráfico abaixo?
distância
de casa
tempo
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a) Saí de casa calmamente, mas quando vi que poderia
me atrasar, comecei a caminhar mais rápido.
b) Eu tinha acabado de sair de casa quando tive a
sensação de ter esquecido as chaves do escritório.
Parei para procurá-las na minha mala, mas não as
encontrei. Voltei para buscá-las e depois pude seguir
para o escritório.
c) Tinha acabado de sair de casa quando o pneu furou.
Como meu carro estava sem estepe, precisei ficar
horas esperando pelo borracheiro. Ele veio, consertou
o pneu, e eu pude seguir viagem.
d) Logo que saí de casa encontrei um amigo que não via
há muito tempo. Parei para conversar um pouco e
depois segui para o escritório.
e) Saí de casa sem destino, dei uma volta na quadra e
resolvi voltar para casa. O tempo estava para chuva e
resolvi não sair mais de casa.
20.(ACAFE-SC) Suponha que uma companhia de
água cobre o consumo residencial pela seguinte
tabela:
Faixa de consumo Valor em reais
3
3
por m
por m
0 - 10
1,20
11 - 25
2,00
mais de 25
2,50
O proprietário de uma residência, que num
determinado mês consumiu 27m3 de água, pagará,
em reais:
a) 55,00
b) 67,50
c) 54,00
d) 45,00
e) 47,00
21. (ACAFE-SC) Dois atiradores, A e B, numa série de
20 tiros num alvo com a forma indicada na figura
abaixo, obtiveram os resultados que estão anotados
no quadro dado.
0
10
20
30
50
atiradores 50
A
5
B
6
30
4
2
20
3
3
10
7
8
0
1
1
Observando a média de pontos dos atiradores A e B,
a alternativa correta é:
a) O atirador B superou o atirador A em 2 pontos.
b) O atirador A teve melhor desempenho que o atirador
B.
c) Os atiradores tiveram o mesmo desempenho.
d) A média de pontos do atirador B é de 20 pontos.
e) A média de pontos do atirador A é de 24 pontos.
8
Atualizada 28/02/2007
22. (ACAFE-SC) Dois atletas A e B fazem teste de
Cooper numa pista retilínea, ambos correndo com
velocidade constante. A distância (d) que cada um
percorre é mostrada no gráfico abaixo.
d(m)
B
500
400
300
200
100
0
A
x
t(min)
10 20 30
Com base no gráfico, a alternativa correta é:
a) A é mais veloz que B, pois percorre 600m em 20 min.
b) B percorre 1km em 20 min.
c) B é mais veloz que A, pois percorre 400m em 5 min.
d) A e B correm na mesma velocidade.
e) A percorre 400m em 30 min.
23.(MACK-SP) Considere as funções f (x) = 3 x – 5,
g (x) = 3x2 + 2x – 4 h(x) = x – x2 e o número real
A=
f ( 0 ) ÷ g ( − 1)
.
h( 2 )
Então 5 . A– 1 vale:
a) 1/6
b) 6
c) – 6
d) 5
e) 1/5
GABARITO
FUNÇÃO DO 1º
GRAU
01
B
02
C
03
D
04
E
05
B
06
B
07
C
08
B
09
C
10
B
11
A
12
E
13
C
14
C
15
D
16
A
17
D
18
B
19
A
20
E
21
C
22
B
23
B
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EQUAÇÕES DO 2º GRAU
DEFINIÇÃO
É toda a equação que pode ser reduzida à forma:
ax2 + bx + c = 0
a≠0
Em que:
• x é a incógnita
• a, b e c são constantes reais denominadas
coeficientes.
• c é o termo independente
RESOLUÇÃO
Nas equações, é costume chamar os valores que
satisfazem as equações de raízes.
Resolver uma
equação significa determinar o seu
conjunto-verdade, isto é, o conjunto de suas raízes.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Em certo momento, o número de funcionários
presentes em uma agência bancária era tal que, se ao
seu quadrado somássemos o seu quádruplo, o
resultado obtido seria 572. Se 10 deles saíssem da
agência, o número de funcionários na agência
passaria a ser:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
Resolução:
x é o número de funcionários
x2=quadrado de x
4x=quádruplo de x
(x-10) é o que o teste solicita
I)
x2+4x=572
2
x +4x-572=0
Para a equação do 2º grau
ax2 + bx + c = 0
Use a formula de Báskara
Aplicando a fórmula de Bháskara, temos:
-b ± b2 - 4ac
x=
2a
x=
2
-b ± b - 4ac
2a
O conjunto solução é:
⎧⎪ -b + b2 - 4ac -b - b2 - 4ac ⎫⎪
;
S= ⎨
⎬
2a
2a
⎪⎩
⎪⎭
Considerações
Para a equação do 2º grau, quando o
discriminante da equação, radicando na
fórmula de Báskara:
b2 - 4ac = ∆
I)
Quando ∆ > 0, ∆ maior que zero, a equação
tem duas raízes reais e diferentes entre si..
⎧⎪ -b + b2 - 4ac -b - b2 - 4ac ⎫⎪
;
S= ⎨
⎬
2a
2a
⎩⎪
⎭⎪
II)
Quando ∆ = 0, ∆ igual a zero, a equação tem
duas raízes reais e iguais.
⎧ -b -b ⎫
;
⎬
⎩ 2a 2a ⎭
S= ⎨
III)
Quando ∆ < 0, ∆ menor que zero, a equação
tem duas raízes não reais e diferentes entre
si.
S = φ conjunto vazio, as raízes não são
reais.
OBTER AS RAÍZES PELO PRODUTO E SOMA
(RELAÇÕES DE GIRARD)
x=
x=
2
-(4) ± (4) - 4(1)(-572)
2(1)
-4 ± 48
2
x1=-26 não serve por ser negativo.
x2=22 serve
II) Resposta: (x-10)=(22-10)=12
PRATICANDO
01. (FUVEST) O conjunto verdade da equação
x+2
2
-1
+
=
2
x-2 2
02. Sobre a equação (x + 2) (x + 3) = x² + 6x + 3 é
verdade que:
a) x é igual a 0
b) x é igual a 3
c) x é igual a 6
d) todos os números são soluções
e) x é igual a 2
2
03. 6x – x – 1 = 0
04. x2 - 8x + 7 = 0
2
05. x - 6x + 9 = 0
Seja a equação:
1x2 - Sx + P = 0
a=1
e x1 e x2 as raízes da equação, então podemos ter:
soma
produto
x1 + x2 = S
x1 . x2 = P
Atualizada 28/02/2007
2
06. x - 2x + 5 = 0
07. 3x2 + 12x = 0
08. 9 - 4x2 = 0
09. x2 - 5x + 6 = 0
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10. O número de soluções inteiras da equação
GABARITO
x-3 4
4
- =
x - 4 x x(x - 4)
EQUAÇÃO DO 2º
GRAU
01
1 e -2
02
B
03
-1/3 e 1/2
04
1e7
05
3
06
Vazio em R
07
-4 e 0
08
-3/2 e 3/2
09
2e3
10
B
11
A
12
D
13
C
14
D
15
D
16
A
17
D
a) 0
b)1
c)2
d)3
e) 4
11. A razão entre a soma e o produto das raízes da
2
equação 2x - 7x + 3 = 0.
a) 7/3
b) 7/2
c) 3/2
d) 3/7
e) 2/7
12. Qual o menor número que se deve somar a cada
fator do produto de 5 x 13 , para que este produto ,
aumente de 175 unidades ?
a) 7
b) 25
c) –7
d) –25
e) 13
13. Qual é o menor valor de "x" de modo que a
divisão de 0,5 por "x" tenha o mesmo resultado da
adição de 0,5 com "x"?
a) 0,5
b) –0,5
c) –1
d) 1
e) 0
14. A soma de um número e o seu quadrado é 4032.
Qual é esse número ?
a) 66
b) 61
c) 62
d) 63
e) 64
15.(MACK-SP) Se (x – y)2 – (x + y)2 = – 20, então x . y é
igual a:
a) – 1
b) 0
c) 10
d) 5
e) 20
16.(ACAFE-SC) Uma torneira deixa cair x gotas de
água a cada 20 segundos. Sabendo-se que esse
número x corresponde à raiz positiva da equação x(
x-2 ) = 21 + 2x, o volume de água que vaza por hora,
supondo que cada gota corresponde a 0,4ml, é:
a) 504ml
b) 540ml
c) 5040ml
d) 50,4ml
e) 5400ml
17. (EXPCEX-97) Sejam m e n dois números inteiros
positivos tais que m e n são ímpares consecutivos,
com m.n=483. Nestas condições, o valor de m+n é
igual a:
a) 64
b) 52
c) 46
d) 44
e) 32
10
Atualizada 28/02/2007
FUNÇÃO DO 2° GRAU
VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA
Toda a função do 2° grau tem um ponto de máximo ou de
mínimo.
f( x ) = ax2 + bx + c = 0
a≠0
PONTO DE MÁXIMO V( xv , yv )
O ponto de máximo é ponto de maior ordenada ( yv ) da
função:
f( x ) = ax2 + bx + c = 0
a<0
Obs.: O coeficiente a de x2 é NEGATIVO.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
y
V
Ponto de
máximo
yv
0
xv
PONTO DE MÍNIMO V( xv , yv )
O ponto de mínimo é ponto de menor ordenada ( yv ) da
função:
f( x ) = ax2 + bx + c = 0
a>0
Obs.: O coeficiente a de x2 é POSITIVO.
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03. (CEFET-PR) O maior valor que y pode de assumir
2
na expressão y= - x +2x é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
y
04. (UEL-PR) Se x e y são as coordenadas do vértice
2
da parábola y= 3x -5x + 9, então x + y é igual a:
a) 5/6
b) 31 /14
c) 83/12
d) 89/18
e) 93/12
xv
0
x
yv
V
Ponto de
mínimo
05. (MACK-SP) O ponto (k, 3k) pertence à curva dada
por f(x) = x2 - 2x + k; então k pode ser:
a) -2
b) -1
c) 2
d) 3
e) 4
CÁCULO DO VÉRTICE DA FUNÇÃO DO 2° GRAU
CÁLCULO DA ABSCISSA xv DO VÉRTICE
xv =
−b
2⋅a
Ou também, calculando a média aritmética das raízes ( x1
e x2 ):
xv =
x1 + x 2
2
CÁLCULO DA ORDENADA yv DO VÉRTICE (MÁXIMO
OU MÍNIMO)
− (b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c)
yv =
4⋅a
Ou também, substituindo xv na função:
f ( x v ) = a ⋅ ( x v )2 + b ⋅ ( x v ) + c
y ≥ yv
2) Se a < 0
y ≤ yv
09. (UEPG-PR) Seja a função f(x) = 3x2 + 4 definida
para todo x real. Seu conjunto - imagem é:
PRATICANDO
2
01. (ACAFE-SC) A função f(x) = x - 2x + 1 tem
mínimo no ponto em que x vale:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
2
02. (PUC-MG) O valor máximo da função f(x) = - x +
2x + 2 é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Atualizada 28/02/2007
07. (UF-GO) Se f(x) = x - 3, o conjunto de valores de x
tais que f(x2) = f(x) é:
a) {0; 1 }
b) {- 1 ; 0}
c) {1 }
d) {- 2; 3}
e) {3; 4}
08. (PUC-RS) A imagem da função f: IR è IR, definida
2
por f(x) = x - 1, é o intervalo:
a) [-1; ºº )
b) (-1;ºº )
c) [0; ºº )
d) (-°° ;-1)
e) (-ºº ;-11 ]
IMAGEM DA FUNÇÃO DO 2° GRAU
Imagem
1) Se a > 0
06. (UF-CE) Considere a função f: IR è IR, definida
por f(x) = x2 - 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente
que:
a) vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4);
b) f possui dois zeros reais e distintos;
c) f atinge um máximo para x = 1;
d) gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas.
e) nda
a) {y E IR/y 4}
b) {y E IR/-4<y<4}
c) {y E IR/y>4}
d) {y E IR/y
e) REAIS
4}
10.. Em uma partida de vôlei, um jogador deu um
saque em que a bola atingiu uma altura h em metros,
num tempo t, em segundos, de acordo com a relação
h(t) = -t² + 8t.
a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima?
[Nota]: observem o vértice
b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela
bola?
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11
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11.(FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado
2
por L = - x + 30x - 5, onde x é a quantidade mensal
vendida.
Qual o lucro mensal máximo possível?
12.(UNIFAP-FUNDAP)
Segundo
afirmam
os
Fisiologistas, o número N de batimentos cardíacos
por minuto, para um indivíduo sadio e em repouso,
varia em função da temperatura ambiente T, em graus
Celsius, e é dado pela função N(T) = (0,1) T2 – 4 T +
90.
a) Essa função possui máximo ou mínimo?
b) A que temperatura o número de batimentos cardíacos
por minuto de uma pessoa sadia e em repouso será 90?
c) Se uma pessoa sadia estiver dormindo em um quarto
com refrigeração de 20º C, qual será o número de seus
batimentos cardíacos por minuto?
13.(FAE-PR) Para se produzir “x” unidades de um
certo produto, uma empresa tem como expressar o
seu custo por C(x) = x2 - 50 x + 2500. Analise as
proposições a seguir:
I) A empresa deve produzir 25 unidades para que o
custo seja mínimo.
II) O custo mínimo da empresa é de R$ 2500,00.
III) O custo de produção de 10 unidades é maior que o
custo de produção de 30 unidades.
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas I está correta.
b) Apenas I e II estão corretas.
c) Apenas I e III estão corretas.
d) Apenas II e III estão corretas.
e) Todas estão corretas.
14. (UF-PR) Um grupo de funcionários vai viajar para
participar de um congresso. Eles tiveram a idéia de
fretar um ônibus no qual todos viajariam juntos e
cada um pagaria o preço do fretamento dividido pelo
número de pessoas. Ao pesquisar os preços,
descobriram que uma empresa de turismo só
aceitava grupos de 15 a 40 passageiros para cada
ônibus, e calculava o preço (em reais) do fretamento
2
do ônibus pela fórmula p(x) = – x + 70x + 50, onde x
representa o número de passageiros. Considere as
seguintes afirmações a respeito dos preços nessa
empresa.
I) Se viajarem 40 pessoas, cada pessoa pagará mais de
R$ 30,00.
II) Se viajarem 30 pessoas, o preço do fretamento será
menor do que o preço correspondente a 40 pessoas.
III) Existe um número x de pessoas para o qual o preço
do fretamento é igual a R$ 1.150,00.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) Somente a afirmativa II é verdadeira.
c) Somente a afirmativa III é verdadeira.
d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
12
Atualizada 28/02/2007
Matemática
15. (UF-PR) Se a soma de dois números é 14/3 e o
produto é −5/3, então um dos números é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
16. (UF-RG) O movimento de um projétil, lançado para
cima verticalmente, é descrito pela equação y=2
40x +200x. Onde y é a altura, em metros, atingida
pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura
máxima atingida e o tempo que esse projétil
permanece no ar corresponde, respectivamente, a:
a) 6,25 m, 5s
b) 250 m, 0 s
c) 250 m, 5s
d) 250 m, 200 s
e) 10.000 m, 5s
17. (EXPCEX) O projétil disparado por um canhão,
posicionado num ponto de altitude igual a 200
metros, atinge um alvo localizado num ponto de
altitude igual a 1200 metros.
Considerando-se que:
• I) A trajetória descrita pelo projétil é dada pela equação
8
4
y = x − x2 ,
3
3
• II) Com x e y em quilômetros, e referenciada a um
sistema cartesiano com origem no canhão.
•III) O alvo é atingido quando o projétil encontra-se no
ramo descendente da sua trajetória.
Nas condições acima descritas, pode-se afirmar que
a distância horizontal entre as posições do canhão e
do alvo é:
a) 0,5 km
b) 1,0 km
c) 1,5 km
d) 2,0 km
e) 2,5 km
18. (EXPCEX) Um curral retangular será construído
aproveitando-se um muro pré-existente no terreno,
por medida de economia. Para cercar os outros três
lados, serão utilizados 600 metros de tela de arame.
Para que a área do curral seja a maior possível, a
razão entre as suas menor e maior dimensões será:
a)0,25
b)0,50
c)0,75
d)1,00
e)1,25
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
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19. (EXPCEX) Na criação de um determinado animal
para abate, o criador dispõe de estudos que lhe
informam que o custo da criação evolui no tempo
segundo a relação PC =
GABARITO
FUNÇÃO DO 2º
GRAU
01
B
02
B
03
A
04
E
05
E
06
A
07
A
08
A
09
D
10
4 e 16
11
220
12
a) mínimo
b) 40
c) 50
13
C
14
A
15
E
16
C
17
C
18
B
19
B
20
125 000
21
B
2 2
t + 2 2 t + 200 2 ; o
120
preço obtido pelo criador ao vender o produto evolui
no
tempo
segundo
a
relação
PV = −
2 2
t + 3 2 t + 200 2 ; onde PC e PV são
120
respectivamente os preços de custo e de venda da
arroba de carne, em reais, e t, o tempo de engorda, em
dias. Nestas condições pode-se afirmar que o tempo
de engorda que fornece maior lucro (PV – PC) é em
dias de:
a) 20 .
b) 30 .
c) 90
d) 60
e) 50
20.(UFF-RJ) Um fazendeiro pretende destinar um
terreno retangular à plantação de mudas. Para limitar
o terreno, deverá estender 1000 m de tela ao longo de
três de seus lados — o quarto lado coincidirá com
um muro reto. Nestas condições calcule, em metros
quadrados, a maior área possível de ser limitada.
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
21.(UNB-CESPE) Em um terreno, que tem a forma de
um triângulo retângulo com catetos medindo 30 m e
40 m, deseja-se construir uma casa retangular de
dimensões x e y, como indicado na figura que segue.
Nessas condições, para que a área ocupada pela
casa seja a maior possível, o valor de seu semiperímetro, em metros, deverá ser igual a
DEFINIÇÃO
Chama-se inequação do 1º grau a toda sentença
aberta do tipo:
ax + b > 0
ax + b ≥0
ax + b < 0
ax + b ≤ 0
, onde a ∈ R* e b ∈R.
Resolver em R, uma inequação do 1º grau, é determinar
o conjunto de todos os valores da variável x para os quais
a desigualdade fique satisfeita.
INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
DEFINIÇÃO
Chama-se inequação do 2º grau a toda sentença aberta
do tipo:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≤ 0
com a ∈R*, b ∈R e c ∈R;
Resolver, em R, uma inequação do 2º grau, é
determinar o conjunto de todos os valores da variável
x para os quais a desigualdade fique satisfeita.
EXISTÊNCIA DE UMA FUNÇÃO
Seja y = f(x) uma função de variável x, para as funções
que seguem devemos impor a condição de existência:
a) 30
b ) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Atualizada 28/02/2007
1
y=
1
f( x )
2
y=
P AR
3
y=
⇒
f( x )
1
PAR
f( x )
f( x ) ≠ 0
⇒
⇒
f( x ) ≥ 0
f( x ) > 0
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TESTES
01. Resolva em IR a inequação, 2x – 10 < 4.
02. Resolva em IR a inequação, –3x + 5 ≥ 2.
03. Resolva em IR a inequação, -x-2 ≥-2 + x.
04. Resolva em IR a inequação, x – 3 ≥3-x.
2
05. Resolva em IR a inequação, x – 5x + 4 > 0.
06. Resolva em IR a inequação, x2 – 5x + 4 ≤ 0.
07. Resolva em IR a inequação, x2 – 4x + 4 > 0.
Matemática
SISTEMA DE INEQUAÇÕES
14. (CESCEM-SP) O conjunto de valores de x que
satisfaz o sistema de inequações
⎧⎪x 2 − 4x + 3 > 0
é:
⎨
⎪⎩ x 2 − 2x < 0
a) 0 < x < 1
b) IR
c) x < 0 ou x > 3
d) 2 < x < 3
e) nda
15. (UNESP) Os valores de x
IR que satisfazem o
⎧⎪ x 2 − 4 < 0
são tais que:
sistema ⎨
⎪⎩x 2 − 3x < 0
a) 1 < x < 3
b) -3 < x < -2
c) 0 < x < 2
d) 2 < x < 3
e) -2 < x < 0
INEQUAÇÕES PRODUTO - QUOCIENTE
2
08. Resolva em IR a inequação, x – 4x + 4 ≥ 0.
2
09. Resolva em IR a inequação, x – 4x + 4 < 0.
2
10. Resolva em IR a inequação, -x + 3x - 4 > 0.
11. (FCC) Perguntaram a José quantos anos tinha
sua filha e ele respondeu: "A idade dela é
numericamente igual à maior das soluções inteiras da
inequação 2x2 − 31x − 90 < 0." É correto afirmar que
a idade da filha de José é um número
a) quadrado perfeito.
b) primo.
c) menor que 10.
d) divisível por 4.
e) múltiplo de 6.
O conjunto solução da
12. (CESGRANRIO-RJ)
inequação x2 - 3x - 10 < 0 é:
a) (- °° , - 2)
b) (- °° , - 2)
(5, °°)
c) (- 2, 5)
d) (0, 3)
e) (3, 10)
13. (UF-SE) O trinômio y = x2 + 2kx + 4k admitirá duas
raízes reais e distintas se, e somente se:
a) k > 4
b) k > 0 e k 4
c) k < 0 ou k > 4
d) k 0 e k 4
e) 0 < k < 4
14
Atualizada 28/02/2007
16. (UEPG-PR) Resolvendo-se a inequação
2
( x-5) . ( x - 2x -15 ) 0 obtém-se:
a) S = { x R / x < 3 }
b) S = { x R / -3 x 5 }
c) S = { x R / x 3 ou x 5 }
{5}
d) S = { x R / x - 3 }
e) nda
17. (CESCEA-SP) A solução da inequação
( x - 3 ) . ( - x2 + 3x + 10 ) > 0 é:
a) -2 < x < 3 ou x > 5
b) 3 < x < 5 ou x < -2
c) -2 < x < 5
d) X > 6
e) x < 3
18. ( PUC - PR ) A solução da inequação
( x - 2 ) . ( - x2 + 3x + 10 ) > 0 é :
a) x < - 2 ou 2 < x < 5
b) -2 < x < 2 ou x > 5
c) -2 < x < 2
d) x > 2
e) x < 5
19. (UF-SE) O conjunto solução da inequação
x+3
≤ 0 em R é:
2x − 5
a) [ -3, 5/2 )
b) ( -3, 5/2 )
c) [-3 , 5/2 ]
d) ] -ºº , -3 ]
e) ] -ºº, -3 ]
[ 5/2. ºº[
20. (UEL-PR) Quantos números inteiros satisfazem a
4- x
inequação
≥ 0?
1+ x
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
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GABARITO
INEQUAÇÕES
01
x<7
x ≤1
02
x≤0
03
x≥3
04
05
x<1 ou x>4
1≤ x ≤ 4
06
07
Reais – { 2 }
08
Reais
09
Vazio
10
Vazio
11
B
12
C
13
C
14
A
15
C
16
E
x≥−3
17
18
19
20
B
A
A
D
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
DEFINIÇÃO:
Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de números
reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo termo,
a3=terceiro termo, assim sucessivamente até o último
termo an, é uma progressão aritmética (PA), se a
diferença entre um termo qualquer a partir do segundo,
pelo seu antecessor imediato, produzir um resultado
(resto) constante real, denominado razão ( r ) da
progressão.
r = a2 - a1
r = a3 - a2
r = a4 - a3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
r = a n - a n-1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
CLASSIFICAÇÃO
ARITMÉTICA
UMA
Seja r a razão de uma progressão
que:
1 PA estritamente crescente
2 PA estritamente decrescente
3 PA constante
PROGRESSÃO
aritmética (PA), temos
r>0
r<0
r=0
TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
(PA)
A definição de progressão aritmética (PA), sugere que:
a 2 = a 1 + 1r
a 3 = a 1 + 2r
a 4 = a 1 + 3r
a 5 = a 1 + 4r
a 6 = a 1 + 5r
e assim sucessivamente
Generalizando para termo de ordem n (n = ao número de
termos da progressão), temos a fórmula geral:
a n = a 1 + ( n-1 )r
Podemos ter um termo de ordem n relacionado com
qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste caso
a fórmula do termo geral abrangente, é:
a n = a k + ( n-k )r
Por exemplo:
01. Na seqüência (10, 6, 2, ...), calcular o décimo
termos.
Resolução:
a n = a 1 + ( n-1 )r
a 10 = a 1 + (10 - 1)r
r=a2-a1=6-10 = -4
a 10 = 10 + 9(-4)
a 10 = 10 - 36
a 10 = -26
PROGRESSÃO ARITMÉTICA COM TRÊS TERMOS
Forma simplificada para a representação de uma
progressão aritmética com três termos em duas variáveis.
( x-r, x , x+r )
SOMA DOS
ARITMÉTICA
01. Verificar se a seqüência (2, 4, 6, 8, 10) é uma
progressão aritmética (PA) de razão 2.
Resolução
r = a2 - a1 = 4–2=2
r = a3 - a2 = 6–4=2
r = a4 - a3 = 8–6=2
r = a 5 - a 4 = 10 – 8 = 2
A constante 2, obtida pela diferença, conforme mostra
quadro, define a seqüência como uma progressão
aritmética (PA) de razão.
DE
TERMOS
DE
UMA
PROGRESSÃO
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão
aritmética e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+
a4+a5+ ... +an .
Segue a fórmula para o somatório de qualquer
progressão aritmética.
n é igual ao número
de termos somados.
(a + a )
Sn =
1
n
2
⋅n
an é o último termo.
FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( r )
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
r = a n+1 - a n
Para todo o n pertencente
aos naturais positivos
01. Calcular a soma dos 20 primeiros termos de
progressão aritmética (2, 5, 8, ...).
Resolução:
I) Dados para cálculo da soma: a1=2, n=20 e a20 não foi
fornecido, deverá ser calculado, veja item II.
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II) Pela fórmula do termo geral,
a n = a 1 + ( n-1 )r
a 20 = a 1 + ( 20-1 )r
a 20 = 2 + 19x3
a 20 = 2 + 57
a 20 = 59
09. A soma dos n primeiros números naturais
ímpares é dada por:
r=a2-a1=5-2=3
10. Determinar x tal que 2x-3, 2x+1, 3x+1, sejam três
termos de uma progressão aritmética.
11. A seqüência:
3y, y+1,5 é uma progressão
aritmética. Determine a razão.
II) A soma dos 20 primeiros termos, S20.
(a1 + an )
⋅n
2
(2 + 59)
=
× 20
2
= 61×10
Sn =
S20
S20
Matemática
12. Sabendo que a seqüência (1-3x, x-2, 2x+1,...) é
uma PA, então o 10º termo da PA (5-3x, x+7,...), é:
13. Em uma progressão aritmética em que a4=12 e
a9=27. Calcular a5.
S20 = 610
TESTES
01. Determine os seis primeiros termos da seqüência
definidos pela lei de formação an=1+2n, com n
pertencente aos números naturais diferentes de zero.
02. Determine o 20º termo da seqüência (26, 31, 36,
41,...).
03.(NC.UFPR)
Quais das seqüências
constituem Progressão Aritméticas?
I. (1, 6, 11, 16, 21, 26)
II. (-8,-6,-4,-2,0)
III. (19,17,15,13,11)
abaixo
IV. (1, 2 , 3 , 2, 5 )
V. (-5/2, -1/2, 3/2, 7/2, 11/2)
VI. (2x, 3x/2, x, x/2, 0, -x/2)
Estão corretas as proposições:
a) I, II, IV, V e VI
b) I, II, III, V e VI
c) I, III, IV, V e VI
d) I, II, III, IV e VI
e) II, III, IV, V e VI
04.(NC.UFPR) Em uma progressão aritmética, o 11º
termo excede o 2º em 27. Sabendo-se que o 5º termo
é 14, então o 12º é:
a) 33
b) 34
c) 35
d) 36
e) 37
05. Determine o sexto termo de uma seqüência em
que a1=2 e a10=47.
14. Numa progressão aritmética com 51 termos, o
26o é 2. A soma dos termos dessa progressão é:
a) 13
d) 104
b) 52
e) 112
c) 102
15.(UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4
anos, em geral, mas a sua caracterização exata é a
seguinte: são anos bissextos aqueles que são
divisíveis por 4, mas não por 100; a exceção a essa
regra são os anos divisíveis por 400, que também são
bissextos. Assim, o número de anos bissextos entre
1895 e 2102 é:
a) 50
b) 47
c) 48
d) 49
e) 51
16. Anos bissextos são os múltiplos de 4 que não são
múltiplos de 100 e, além desses, os múltiplos de 400.
Quantos anos bissextos há no conjunto {2015, 2018,
2020, 2100, 2400}?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
17. O termo geral de uma progressão aritmética é
dado por an=3n+7 , n natural positivo. Calcule o valor
de a1 e r.
18. Num programa de condicionamento físico uma
pessoa começa correndo 300 metros num dia, 400
metros no dia seguinte, 500 metros no próximo dia e
assim sucessivamente até chegar aos dois
quilômetros por dia. A partir de que dia ela estará
correndo dois quilômentros por dia?
06. Qual é o 100º numeral ímpar?
07. Quantos números pares existem entre 43 e 535?
08. Calcule a soma dos 20 primeiros termos múltiplos
de 3 positivos.
16
Atualizada 28/02/2007
19. Determine o sexto termo de uma seqüência em
que a1=2 e a10=47.
20. Qual é o 100º numeral ímpar?
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21. (FCC) Assinale a opção que apresenta
corretamente o oitavo termo de uma PA onde a 5 = 6 e
a 17 = 30.
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
27. (UFSM-RS)
Tisiu ficou sem parceiro para jogar
bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de
bolitas e formou uma seqüência de “T” (a inicial de
seu nome), conforme a figura
22. (AFA) Se a soma dos n primeiros termos de uma
progressão aritmética (PA) é dada pela fórmula
Sn =
3n
2
2
+n
, então a soma do quarto com o sexto
termo dessa PA é
a) 25
b) 28
c) 31
d) 34
23. (EXPCEX) Numa modalidade de corrida, ganha a
equipe que percorre uma determinada distância em
menor tempo, revezando seus atletas a cada 800
metros. A equipe Verde utilizou a tática de organizar
seus atletas na ordem crescente de suas velocidades.
Sabe-se que o atleta menos veloz dessa equipe
gastou 5 minutos no revezamento e que a diferença
de tempo entre dois atletas consecutivos foi sempre
de 30 segundos. Sabendo que a equipe Verde
realizou a prova em 26 minutos, a distância total
percorrida foi de
a) 4000 metros.
b) 4160 metros.
c) 6400 metros.
d) 10400 metros.
e) 20800 metros.
24. Numa progressão aritmética com 51 termos, o
o
26 é 2. A soma dos termos dessa progressão é:
a) 13
b) 104
c) 52
d) 112
e) 102
25.(FAE-PR) Um maratonista inicia um treinamento
para uma prova de 50 km, 40 semanas antes de sua
realização. Na primeira semana de treinamento ele
percorre 30 km. Na segunda semana ele percorre ½
km a mais que na semana anterior e assim
sucessivamente. O maratonista:
a) percorrerá 50 km no treino da 37ª semana;
b) percorrerá 50 km no treino da 38ª semana;
c) percorrerá 50 km no treino da 39ª semana;
d) percorrerá 50 km no treino da 40ª semana;
e) percorrerá 50 km no treino da semana da maratona.
26.(FAE-PR) Em um plano especial de consórcio, uma
pessoa pagará 50 prestações, cujos valores estão em
progressão aritmética totalizando R$ 11.125,00.
Concluída a metade do prazo do plano, o total pago é
de R$ 4.000,00. Com base nessas informações, qual o
valor da primeira prestação?
a) R$ 97,50
b) R$ 100,00
c) R$ 115,00
d) R$ 160,00
e) R$ 222,50
Atualizada 28/02/2007
Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T”
completos pode-se, seguindo o mesmo padrão,
afirmar que ele possuía
a) mais de 300 bolitas.
b) pelo menos 230 bolitas.
c) menos de 220 bolitas.
d) exatamente 300 bolitas.
e) exatamente 41 bolitas.
28.(FAE-PR) Partindo-se de dois quadrados de lado
unitário e acrescentando-se progressivamente outros
quadrados de lados também unitários, pode-se
representar a soma dos primeiros inteiros pares e
positivos, conforme a figura. Essa soma é dada por:
2
a) n2
b) n2 - n
c) n2 + 1
2+4
2 + 4 + 6 + ...
2
d)
n +n
2
e) n2 + n
GABARITO
PROGRESSÃO
ARITMÉTICA
01
(3,5,7,11,13)
02
121
03
B
04
C
05
27
06
199
07
246
08
630
2
09
n
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
4
7
89
15
C
A
B
10 e 3
18
27
199
B
B
C
E
E
B
B
E
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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
DEFINIÇÃO:
Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de números
reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo termo,
a3=terceiro termo, assim sucessivamente até o último
termo an, é uma progressão geométrica (PG), se a
divisão entre um termo qualquer a partir do segundo, pelo
seu antecessor imediato, produzir um resultado
(quociente) constante real, denominado razão ( q ) da
progressão geométrica.
a
q= 2
a1
q=
a3
a2
q=
a4
a3
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Na seqüência (3, 6, 12, ...), calcular o décimo termos.
Resolução:
a n = a 1 x q n-1
a 10 = a 1 x(q) 10-1
r=a2/a1=6/ 3= 2
a 10 = 3 x (2) 9
a 10 = 3 x 512
a 10 = 1536
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA COM TRÊS TERMOS
Forma simplificada para a representação de uma
progressão geométrica com três termos em duas
variáveis.
.
q=
Generalizando para termo de ordem n (n = ao número de
termos da progressão), temos a fórmula geral:
a n = a 1 x q n-1
Podemos ter um termo de ordem n relacionado com
qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste caso
a fórmula do termo geral abrangente, é:
a n = a k x q n-k
an
an-1
(
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Verificar se a seqüência (2, 4, 8, 16, 32) é uma
progressão geométrica (PG).
Resolução
q=
a2 4
= =2
a1 2
q=
a 4 16
=
=2
a3
8
q=
a3 8
= =2
a2 4
q=
a 5 32
=
=2
a 4 16
A constante 2 obtida pela divisão, conforme mostra
quadro, define a seqüência como uma progressão
geométrica (PG) de razão 2.
FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( q )
q=
an
an-1
Para todo o n pertencente
aos naturais positivos
CLASSIFICAÇÃO
DE
UMA
PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA
Seja q a razão de uma progressão geométrica (PG),
temos que:
1 PG estritamente a1 > 0 e q > 1 ou
crescente
a1 < 0 e 0 < q < 1
2 PG estritamente a1 > 0 e 0 < q < 1 ou
decrescente
a1 < 0 e q > 1
3 PG constante
q=1
4 PG alternante
a1 ≠ 0 e q < 0
TERMO
GERAL
DE
UMA
PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA (PG)
A definição de progressão geométrica (PG), sugere que:
a 2 = a 1 x q1
a 3 = a 1 x q2
a 4 = a 1 x q3
a 5 = a 1 x q4
a 6 = a 1 x q5
e assim sucessivamente
18
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x
, x , x ⋅q )
q
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA FINITA
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão
geométrica e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+
a4+a5+ ... +an .
Segue a fórmula para o somatório de qualquer
progressão geométrica finita.
n é igual ao número
n
de termos somados.
a (q - 1)
Sn =
1
q-1
an é o último termo.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Calcular a soma dos 10 primeiros termos de
progressão geométrica ( 1, 2, 4, ...).
Resolução:
I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n=10 e a10 não foi
fornecido, deverá ser calculado, veja item II.
II) Pela fórmula do termo geral,
a n = a 1 x q n-1
a 10 = a 1 x q 10-1
r=a2/a1=2-1=2
a 10 = 1 x (2) 9
a 10 = 1 x 512
a 10 = 512
II) A soma dos 10 primeiros termos, S20.
Sn =
a1 (qn - 1)
q-1
1× (210 - 1)
2 -1
1× (1024 - 1)
Sn =
2 -1
1023
Sn =
1
Sn = 1023
Sn =
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SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA INFINITA
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão
geométrica de razão –1<q<1e Sn a soma desses termos,
Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ...
, temos uma forma
simplificada para o somatório de qualquer seqüência
infinita em PG, dada pela fórmula:
∞ = símbolo que
a
S∞ = 1
representa o infinito
06. Qual é a razão de uma PG em que 0 1º termo é
EXERCÍCIO RESOLVIDO
08. Calcule a soma dos 7 primeiros termos da PG (4, 12, 36,...).
50 2
e o 6º termo é 400?
07. A seqüência (x, 3, 7) é uma PA, e a seqüência (x-1,
6, y) é uma PG. Quais são os valores de x e y?
1- q
01. Calcular a soma dos termos da progressão
geométrica ( 1, 1/2, 1/4, ...).
Resolução:
I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n= ∞ e a razão não
foi fornecida, deverá ser calculado, veja item II.
09. Determine o número que deve ser somado a 2, 4
e 7, a fim de obtermos uma PG?
II) Pela fórmula do termo geral,
10. Calcule o número de termos da seqüência (2, 6,
18,...,4374)?
1
2
1
1
q = = x1 =
1 2
2
II) A soma dos infinitos ( ∞ ) termos, S ∞ , é:
S∞ =
a1
1- q
11. Calcule o valor de
2 2 2 2...
n i
12. Determinar n tal que ∑ 2 = 4088 .
i=3
1
1
12
1
S∞ =
1
2
S∞ = 2
S∞ =
13. Calcular a soma das 10 parcelas iniciais da série
1+1/2+1/4+1/8+...
TESTES
01. Calcular o quinto termo da seqüência (2, 6, 18,...).
02. Determinar o décimo quarto termo da PG de razão
–2 e décimo primeiro termo –2048.
14.O financiamento de um carro foi feito nos
seguintes moldes. Sem entrada e a
primeira
mensalidade de R$ 1,00, no segundo mês R$ 2,00, no
terceiro mês R$ 4,00, e assim por diante até um total
de 12 prestações. Qual é o custo final do carro.
15. Obter a razão de uma PG em que, a2+a4+a6=10 e
a3+a5+a7=30.
03. Calcular a soma dos 8 primeiros termos da
seqüência (1, 3, 9,...).
04. Calcule a soma
3 3 3
S = 3 + + + + ...
2 4 8
05. A seqüência (4x, 2x+1, x-1,...) é uma PG, calcule o
valor de x.
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16.(FAE-PR) Diz a lenda que um jovem hindu ofereceu
ao seu rei um jogo que inventou para ser praticado
sobre um tabuleiro: o xadrez. O jovem pediu sua
recompensa em grãos de trigo, na seguinte
seqüência: 1 grão de trigo para a primeira casa do
tabuleiro, 2 pela segunda casa, 4 pela terceira casa, 8
pela quarta casa e assim sucessivamente, até a
sexagésima quarta e última casa do tabuleiro. O rei
riu julgando ser insignificante o pedido, mas não
pôde atendê-lo quando soube da enorme quantidade
de grãos calculada por seus assessores! Supondo
que se leve 1 s para contar 3 grãos de trigo, qual o
tempo necessário para contar os grãos das dez
primeiras casas do tabuleiro?
a) 17,2 s
b) cerca de 34 s
c) 5 min 41 s
d) 2 min 52 s
e) 17 min 3 s
17. (FCC) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro
termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de a5 é:
a) 20/3
b) 18/7
c) 16/5
d) 14/5
e) 12/7
x–4
18. (FCC) A seqüência (x, x – 4,
, ...) é uma
3
progressão geométrica
decrescente. O
quarto
termo dessa progressão é:
a)2/3
b)4/9
c)1/3
d)2/9
e)1/9
19. (BB) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro
termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de a5 é:
a) 20/3
b) 18/7
c) 16/5
d) 14/5
e) 12/7
20.(EPCAR) Se a soma dos n primeiros termos de
uma seqüência infinita é 4n2 + 6n, então a seqüência
é uma
a) seqüência limitada.
b) progressão aritmética.
c) progressão geométrica de razão 8.
d) progressão geométrica decrescente.
21.(EPCAR)
9x
5
+
3x
5
+
O
x
5
+L =
valor
27
4
3
5
5
b)
2
4
c)
3
45
d)
8
a)
20
Atualizada 28/02/2007
de
é igual a
x
na
equação
22. (EXPCEX) Numa progressão geométrica (PG)
crescente de 5 termos, o primeiro e o último
correspondem, respectivamente, às raízes da equação x2
- 51x + 144 = 0. O valor da soma do segundo, terceiro e
quarto termos dessa PG é
a)12
b)24
c)28
d)36
e)42
23.(EXPCEX) Sendo
X=
π
3
+
π
+
π
6 12
+ .... e Y =
π
4
+
π
5
+
4π 16π
+
+ ..... , o calcule
25 125
(X + Y ) .
24.(UFF-RJ) Considere a seqüência (x1, x2, ... , xn, ...) tal
x1 =
1
modo que
x
que
2
e xn+1 = 0,5
1
= 10
k 2
x n. Determine o valor de k de
.
25.(ACAFE-SC) O vazamento em um tanque de água
provocou a perda de 2 litros de água no primeiro dia.
Como o orifício responsável pela perda ia aumentando,
no dia seguinte o vazamento foi o dobro do dia anterior.
Se essa perda foi dobrando a cada dia, o número total de
litros de água perdidos, até o 100 dia, foi de:
a) 2046
b) 1024
c) 1023
d) 2048
e) 512
GABARITO
PROGRESSÃO
Geométrica
01
(3,5,7,11,13)
02
121
03
B
04
C
05
27
06
199
07
246
08
630
09
2
n
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
4
7
89
15
-5 3
610
54
10 e 3
18
27
199
B
B
C
E
E
B
B
E
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PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
POTENCIAÇÃO
Definição
Se n ∈ N
a
i)
n
01. Se 8x = 32, então x é igual a:
a) 5/2
b) 5/3
c) 3/5
d) 2/5
e) 4
e a ∈ R , defini-se:
=a
× a4
×244
a × ... 3
×a
14
n fatores
ii)
1
a =a
iii)
Se a ≠ 0,
e a
n>1
zero
02. Se 8x-9 = 16x/2, então 3 x é igual a:
=1
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
e) 3
1
-n
n =a
a
Propriedades
1) a
m
m
2) a
3) a
×a
n
4) a
n
n
÷a
×b
n
=a
m+n
=a
m-n
03. O valor de x que satisfaz a equação
3x-1
. 92x+3 = 273-x é:
3
com a ≠ 0
n
n
= (a × b)
n
n
= (a ÷ b) com b ≠ 0
÷b
TESTES
a) 1
b) 3
c) 5/2
d) 1/3
e) 2/5
n m
n×m
5) (a ) = a
3
RADICIAÇÃO
Definição
n
a =x ⇒ x
n
=a
Propriedades
1)
2)
3)
n
n
a×
a ÷
nm
n
n
b =
b =
a =
n
n
n×m
05. Se 2x = 2048, então, x vale :
a) 7
b) 11
c) 13
d) 17
e) 19
a×b
a÷b
a
4)
p×n p×m
n m
a
=
a
5)
n m
n m
a
= ( a)
06. ( FCC - BA ) A solução da equação 0,52x = 0,251-x é
um número x, tal que:
a) 0 < x < 1
b) 1 < x < 2
c) 2 < x < 3
d) x > 3
e) x < 0
(p ≠ 0)
Potência de um expoente racional
m
n m
an = a
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
3
07. Se (7 )-x+2 =
x
x
É toda a equação do tipo a 1 = a 2 , em que a base
é um valor real positivo e diferente de 1, x1 e x2 variáveis
reais.
a) 7
b) -9
c) 49
Procedimento
exponencial
2
2 e z = 23 , calcule x . y .
04. Sendo x = (22)3 , y = 2
z:
a) 221
b) 210
c) 223
d) 24
e) 220
para
resolver
uma
x
x
a 1= a 2
simplifique a base
x
x
e
iguale os expoentes
→ x =x
a/ 1 = a/ 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1
2
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equação
1
, x1/2 valerá:
343
d) 3
e) 1
1+x + 1 = 8
, é:
08. A soma das raízes da equação 7
x
7
a)0
b)-1
c)1
d)7
e)8
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09. A raiz da equação (7x - 2 10)(7 x + 2 10) =9 é um
número:
a) irracional negativo
b) irracional positivo
c) par
d) inteiro negativo
e) inteiro positivo
x
2-x
10. Se 3 - 3
a)16
b)15
c)14
d)11
e)6
3
2
= 2 , então 15 - x vale:
11.(UEPG-PR) A soma das raízes da equação
(2x)x+3 = 16 é:
a) -3
b) 4
c) -4
d) 0
e) 3
3+x
x-3
2
-2
12. A expressão
é igual a:
x
x-3
2 +2
a) 2x
b) 2-x
c) 2-3
d) 7
e) 8
13.(UEL-PR) Para todo x real, a expressão
3x + 3x+1 +3x+2 +3x+3 +3x+4 +3x+5 é equivalente a:
6 x +15
a) 3
b) 5 . 3x
c) 6 . 3x
d) 243x
e) 364 . 3x
14.Se x ∈ IR e 7 5x = 243, então 297(7 –3x) é igual a:
a)11
b)13
c)15
d)17
e)16
15. Se y = 10x é um número entre 1000 e 100 000,
então x está entre:
a) -1 e 0
b) 2 e 3
c) 3 e 5
d) 5 e 10
e) 10 e 100
16.(FAE-PR) O montante da aplicação de um capital
de R$ 100,00, por t anos, é dado pela expressão M(t) =
100 . (1,5)t. Sabendo-se que o montante obtido foi de
R$ 337,50, o tempo durante o qual o capital ficou
aplicado foi de:
a) 9 meses;
b) 12 meses;
c) 18 meses;
d) 24 meses;
e) 36 meses.
22
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17. O produto das soluções da equação
2x – 2-x = 5 (1 – 2-x) é
a) 0
b) 2
c) 1
d) 4
18. (EXPCEX) A soma das raízes da equação
3 x + 31− x = 4
é:
a) 2
b)-2
c) 0
d)-1
e) 1
19. (EXPCEX) O valor da soma das raízes reais da
3x −1
2
equação 10 x +1
a)3
b)1
c)0
d)9
e)2
− 10 = 0
é:
20. (EXPCEX) A soma e o produto das raízes da
⎛3⎞
equação 9. ⎜ ⎟
⎝5⎠
x 2 − x −9
=
243
são, respectivamente:
125
a) 1 e -12
b) 7 e 12
c) 2 e -8
d) -1 e 12
e) 7 e 10
GABARITO
EXPONENCIAL
01
B
02
E
03
E
04
C
05
B
06
A
07
D
08
B
09
E
10
D
11
A
12
D
13
E
14
A
15
C
16
E
17
A
18
E
19
A
20
A
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LOGARITMOS
Definição
Chama-se logaritmo de um número N>0 numa base a,
com a>0 e a ≠ 1 , o expoente x a que se deve elevar a
base a para que a potência obtida seja igual a N.
Simbolicamente
loga N = x ∴ a
x
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
É toda a equação do tipo log a x1 = loga x 2 , em que a
base é um valor real positivo e diferente de 1, x1 e x2
variáveis reais positivas.
Procedimento
exponencial
para
resolver
uma
equação
=N
log a x1 = loga x 2
Condição de existência
N > 0 positivo
simplifique os loga e
iguale os logaritmandos
a>0ea≠1
log
/ a x1 = log
/ a x2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x1 = x2
x qualquer valor real
Conseqüências da definição
01.( MACK - SP ) Se log3 1/27 = x, então o valor de x é:
a)-9
b)-3
c)-1/3
d)1/3
e)3
1) log a 1 = 0
2) log a a = 1
log a N
3) a
=N
Atenção !
4) log N
1
TESTES
% existe)
(nao
% existe)
5) log -a N (nao
% existe)
6) log a (-N) (nao
02. Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01 valem
respectivamente:
a) 2, 1 e -3
b) 1, 0 e -2
c) 3, 1 e -2
d) 4, -2 e -3
e) 3, 0 e -2
Propriedades
1) logaM + logaN = logaM × N
2) logaM - logaN = loga
M
N
p
3) logaN = p × logaN
p
4) loga N =
1
p
04.( FGV - RJ ) O valor de log9 27 é igual a:
a)2/3
b)3/2
c)2
d)3
e)4
× logaN
Mudança de base
logaN =
lognova N
base
⎧⎪ 27x = 9 y
05. Se ⎨
, então x + y é igual a:
⎪logy x = 2
⎩
lognova a
base
a)5/3
b)10/9
c)8/9
d)2/3
e)5/9
Observe:
I) A nova base deve ser positiva e diferente de um.
II) O N continua sendo logaritmando e, o a passa a ser
logaritmando (deixa de ser base).
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03. Se log ( 2x -5 ) = 0, então x vale:
a)5
b)4
c)3
d)7/3
e)5/2
06. Se log16 N = - 1/2, o valor de 4N é:
a)1
b)4
c)1/4
d)16
e)1/16
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07. ( FEMPAR - PR ) Se 2x - y = 1 e x - 3y = -7,
log4 (xy+8y) é igual a:
a) 0,5
b) 2,5
c) 2,0
d) 1,5
e) 1,0
16. ( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual
será o valor de log 28 ?
a) 1,146
b) 1,447
c) 1,690
d) 2,107
e) 1,107
08. Seja K a solução da equação log4 ( log2x ) = -1. O
valor de k4 é:
a)1/8
b)1/2
c)1
d)4
e)2
17. Se log 2 = 0,3010 então log 5 é igual a:
a) 0,6990
b) 0,6880
c) 0,6500
d) 0,6770
e) 0,6440
18. Se log2 b - log2 a = 5, então o quociente b/a vale:
a)10
b)25
c)32
d)64
e)128
09. O número real x, tal que logx ( 9/4 ) = 1/2 é:
a) 81/16
b) -3/2
c) 1/2
d) 3/2
e) -81/16
19. Sendo loga2 = 0,69 e loga 3 = 1,10, o valor de loga
10. Seja loga 8 = - 3/4, a > 0. O valor da base a é:
a)1/16
b)1/8
c)2
d)10
e)16
é:
a) 0,62
b) 0,31
c) -0,48
d) 0,15
e) 0,14
11. O logaritmo de 7 5 na base 1/625 é igual a:
a)7
b)5
c)1/7
d)-1/28
e)8
20. O valor de log ( 217,2) - log ( 21,72 ) é:
12. Se x + y = 20 e x - y = 5 então log ( x2 - y2 ) é igual
a:
a) 100
b) 2
c) 25
d) 12,5
e) 15
13. A solução da equação log2 0,5 + log2x - log2
2=2
está contida no intervalo :
21. Dado log 4 = 0, 602 , o valor de log 325 é:
a) 15,050
b) 13,725
c) 11,050
d) 9,675
e) 7,525
22.Se log 5 = 0,70 o valor de log 250 é:
a) 2,40
b) 2,70
c) 2,80
d) 3,40
e) 3,80
a) [ 10, 12 ]
b) [ 5, 7 ]
c) [ 2, 4 ]
d) [ 0, 1 ]
e) [ 8, 9 ]
23. Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de log23 é:
a) 1,6
b) 0,8
c) 0,625
d) 0,5
e) 0,275
14. Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 60
vale:
a) 1,77
b) 1,41
c) 1,041
d) 2,141
e) 0,141
24. ( ESAL) O valor de x tal que log 64 8 = x é:
a)2
b)3
c)2/3
d)1/2
e)3/2
15. Considerando que log 2 = 0,3010300, log 125 é:
a) 376,29000
b) 188,15000
c) 1,9030900
d) 2,9818000
e) 2,0969100
24
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25. ( CONSART - SP ) A solução da equação
log8x + log8 (3x-2) = 1 é dada por:
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35.(FEM-PR) Se log 2 = P e log 3 =m, com P ≠ 1,
26. O conjunto verdade da equação
2. log x = log 4 +log ( x + 3 ) é:
o valor de log 5
a)
27. (FCC) Dado log 3 = 0,477, podemos afirmar que o
log 9.000 é:
a) 3,459
b) 3,594
c) 3,954
d) 5,493
e) 5,943
28. (FCC) Que número real é solução da equação
5x-1 + 5x + 5x+1 = 62? (Considere: log 2 = 0,30)
a) 3/7
b) 8/7
c) 10/7
d) 12/7
e) 15/7
29.(FGV) Sabendo que log2 = 0,30, assinale a melhor
aproximação da solução da equação 2x = 80.
a) 6,1
b) 6,3
c) 6,5
d) 6,6
e) 6,7
30.(UFF-RJ) Determine o valor de x na equação
log x + log x2 + log x3 + ... + log x18 =342.
b)
c)
d)
e)
32.(EPCAR) Sabendo que a, b e c são três números
inteiros e positivos e que log ab = 12,6 e log ac = 0,2,
b
é igual a
então log
c
a) 6,3
b) 2,52
c) 12,8
d) 12,4
33 .(EPCAR) O
log a ( log a (
2
aa
valor
a )
da
expressão
27 é:
3
4(1 − P)
4P
4 − 4P
3m
4(1 − P)
4m
3(1 − P)
2
3(1 − P)
36.(UEPG-PR) A expressão
log 1 81 + log10 0,001 + log10
3
10
vale:
3
4
3
4
3
20
3
21
3
19
3
a) b)
c)
d)
31.(FGV-SP) Se x é um número real positivo e
diferente
de
1,
a
solução
da
equação
log x (18,4 ) − log x (2,3 ) = 3 é um número real
a) divisor de 12
b) múltiplo de 3
c) menor que 1
d) maior que 5
4
e)
37.(PUC-PR) Se 3 5 x =32 ,então 3 - x é igual a:
1
2
1
b)
4
a)
c) −
1
4
d)
e) −
1
2
, onde a é um número inteiro e a
≥2 é
a) 2a
b) 1
c) –2a
d) –1
34. (EXPCEX) Sabendo que log M + log N = 0, pode-se
afirmar que:
a) M e N são nulos
b) M e N têm sinais contrários
c) M é o inverso de N
d) M e N são números inteiros positivos
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Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial
GABARITO
y = a x e logarítmica
LOGARITMOS
01
B
02
C
03
C
04
B
05
B
06
A
07
B
08
E
09
A
10
A
11
D
12
B
13
A
14
A
15
E
16
B
17
A
18
C
19
A
20
1
21
E
22
A
23
A
24
D
25
2
26
6
27
C
28
C
29
B
30
100
31
A
32
D
33
D
34
C
35
C
36
C
37
A
Considere a função y = a x , denominada função
exponencial, onde a base a é um número positivo e
diferente de 1, definida para todo x real.
Observe que nestas condições, ax é um número positivo,
para todo x ∈ R, onde R é o conjunto dos números reais.
Denotando o conjunto dos números reais positivos por
R+* , poderemos escrever a função exponencial como
segue:
f : R → R+ * , 0 < a < 1
Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e,
portanto, é uma função inversível, ou seja, admite uma
função inversa.
onde 0 < a < 1
, para os casos
a > 1 e 0 < a < 1.
Observe que, sendo as funções, inversas, os seus
gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do
primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em
relação à reta y = x.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTIMICA
Vamos determinar a função inversa da função
y = loga x
y=a x ,
Da simples observação dos gráficos acima, podemos
concluir que:
I) para a > 1 , as funções exponencial e logarítmica são
CRESCENTES.
II) para 0 < a < 1 , elas são DECRESCENTES.
y = loga x é o conjunto R+* .
o conjunto imagem da função y = loga x é o
III) o domínio da função
IV)
conjunto R dos números reais.
V) o domínio da função
números reais.
y = a x é o conjunto R dos
VI) o conjunto imagem da função y = a x é o conjunto
R+* .
VII) observe que o domínio da função exponencial é
igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o
domínio da função logarítmica é igual ao conjunto
imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as
funções são inversas entre si.
Permutando x por y, vem:
x = a y implica y = loga x .
Portanto, a função logarítmica é então:
f : R + * → R ; y = loga x , 0 < a < 1 .
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TESTES
07.(FAE-PR) O número de bactérias B em uma
determinada cultura, após t horas, pode ser
01. Se f ( x ) = 161+1/x, então f ( -1 ) + f ( -2 ) + f ( -4 ) é
igual a :
a)11
b)13
c)15
d)17
e)16
t
30
determinado por meio da equação B(t) = 800 ⋅ 2
.
02.
Seja
a
função
composta
⎧2x , para - 1 ≤ x ≤ 1
⎪
então f ( 0 ) - f ( 3/2 ) é igual
f(x) = ⎨ 1
x >1
⎪⎩ x , para
a:
a)5/2
b)5/3
c)1/3
d)-1/3
e)2/3
03. Se y = 10x é um número entre 1000 e 100 000,
então x está entre:
a) -1 e 0
b) 2 e 3
c) 3 e 5
d) 5 e 10
e) 10 e 100
04. Seja a função f: IR em IR definida por f ( x ) = 2x .
Então f ( a+1) - f (a) é igual a:
a) 2
b) 1
c) f(a)
d) f(1)
e) 2f(a)
05.
(UFPR) Uma cidade cuja população vem
diminuindo sistematicamente tem hoje 30000
habitantes. Se o ritmo de diminuição se mantiver,
então o número de habitantes daqui a t anos, P(t), é
calculado aplicando-se a fórmula: P(t) = 30000 .(0,9) t .
Supondo que o ritmo de diminuição se mantenha, é
correto afirmar:
Daqui a 2 anos, a população será de:
06. (FATEC-SP) Qualquer quantidade de massa do
chumbo 210 diminuiu em função do tempo devido à
desintegração radioativa. Essa variação pode ser
descrita pela função exponencial dada por
m =
-xt
. Nessa sentença, m é a massa (em gramas)
mO.2
no tempo t (em anos), mO é a massa inicial e x é uma
constante real.
Sabendo-se que, após 66 anos, tem-se apenas 1/8 da
massa inicial, o valor x é:
a)-3
b)1/3
c)-22
d)1/22
e)1/3
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Após quanto tempo o número de bactérias é o
quíntuplo do número inicial? (Considere log 2 = 0,30)
a) 65 horas;
b) 68 horas;
c) 70 horas;
d) 72 horas;
e) 75 horas.
08.(UNIOESTE-PR) A quantia de R$ 5.000,00 é
aplicada à taxa fixa de 2% ao mês. Em se tratando de
juros compostos e não havendo retirada, o número
de meses necessários para que o montante
ultrapasse R$ 7.000,00 é:
Considere log 102 = 2,008 e log 14 = 1,146.
09. (UNESP-SP) A trajetória de um salto de um
golfinho nas proximidades de uma praia, do instante
em que ele saiu da água (t = 0) até o instante em que
mergulhou
(t = T), foi descrita por um observador
através
do
seguinte
modelo
matemático
h (t) = 4 ⋅ t - t ⋅ 2 0 , 2⋅t , com t em segundos, h(t) em
metros e 0 ≤ t ≤ T.
O tempo, em segundos, em que o golfinho esteve
fora da água durante este salto foi
a) 1
b) 2
c) 4
d) 8
e) 10
10.(NC.UF-PR) Experiências feitas com um certo tipo
de bactéria mostraram que o número de indivíduos
numa cultura, em função do tempo, pode ser
aproximado pela expressão F(t) = 50.20,4.t, sendo t o
tempo medido em horas. Após quantas horas essa
cultura terá 800 indivíduos?
a) 10 horas
b) 12 horas
c) 15 horas
d) 18 horas
e) 24 horas
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11. (FEPAR-PR) Enquanto a caderneta de poupança
proporciona rendimentos próximos a 1% ao mês, o
State Bank oferece uma taxa mensal de 4% para as
pessoas que o procuram para fazer aplicações de
suas economias. O cálculo do capital final se faz pela
t
fórmula: C f = C i (1 + i) , na qual
Cf
= capital final;
C i = capital inicial;
i = taxa ao mês, em percentagem;
15.(FGV-SP) Adotando-se os valores log 2 = 0,30 e
log 3 = 0,48 , a raiz da equação 5
GABARITO
FUNÇÕES
EXDPONENCIAIS E
LOGARÍTMICAS
01
B
02
C
03
C
04
C
05
24300
06
D
07
C
08
19
09
E
10
A
11
C
12
D
07
C
08
19
09
E
10
A
11
C
12
D
13
A
14
B
15
D
12. (UEL-PR) Em certa cultura de bactérias, o número
de bactérias presentes no instante t é determinado
k ⋅ t , onde N é o número
pela função N (t) = N ⋅ e
0
0
13. A fórmula N = 6 . 108 . V -3/2 relaciona, numa dada
sociedade, o número N de indivíduos que possuem
renda anual superior ao valor V, em reais. Nessas
condições, pode-se afirmar que , para pertencer ao
grupo dos 600 indivíduos mais ricos dessa sociedade
é preciso ter no mínimo uma renda anual de
a)R$ 10.000,00.
b)R$ 100.000,00.
c)R$ 1.000.000,00.
d)R$ 10.000.000,00.
e)R$ 100.000.000,00.
14. (PUC-SP) Um estudante quer resolver a equação
2x = 5, utilizando uma calculadora que possui a tecla
log x. Para obter um valor aproximado de x, o
estudante deverá usar a calculadora para obter os
seguintes números:
a) log 2, log 5 e log 5 – log 2
b) log 2, log 5 e log 5 ÷ log 2
c) log 2, log 5 e log 25
5
5
d)
e log
2
2
e)
5 e log 5
= 60 vale
aproximadamente:
a) 2,15
b) 2,28
c) 41
d) 2,54
e) 2,67
t = tempo de aplicação, em meses.
Para que um capital inicial de R$ 1000,00 resulte
num montante final de R$ 1601,00 no Banco citado, é
necessário
um
período
de
aplicação
de,
aproximadamente:
(Dados: log 1,601 = 0,2043 e log 1,040 = 0,0170)
a) 6 meses
b) 4 meses
c) 12 meses
d) 15 meses
e) 18 meses
inicial de bactérias e k uma constante positiva.
Sabendo-se que o número de bactérias duplica ao
final das duas primeiras horas, calcule o tempo
necessário para que a população de bactérias atinja
96 N0 .
loge 3
( Use :
≅ 1,59 onde e ≅ 2,71 )
loge 2
a) 12 horas, 16 minutos e 24 segundos.
b) 12 horas, 58 minutos e 15 segundos.
c) 12 horas e trinta segundos.
d) 13 horas, 10 minutos e 48 segundos.
e) 13 horas e meia.
x
ESTATÍSTICA
MÉDIAS
MÉDIA ARITMÉTICA (MA)
Média aritmética de n parcelas (n>1), é a soma de todas
as
parcelas{x1,x2,x3,...xn},
dividida
pelo
número
(quantidade) dessas parcelas (n).
FÓRMULA
x + x + x + ... + xn
3
MA = 1 2
n
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA (MAP)
Média aritmética ponderada de n (n>1) parcelas
{x1,x2,x3,...xn} e seus respectivos pesos {p1,p2,p3,...pn}, é
igual a soma dos produtos das parcelas com os seus
respectivos pesos, dividida pela soma dos seus pesos.
FÓRMULA
p x + p x + p3 x 3 + ... + pn xn
MAP = 1 1 2 2
p1 + p2 + p3 + ... + pn
MÉDIA GEOMÉTRICA (MG)
Média geométrica de n parcelas (n>1), é a raiz n-ésima
do produto dos n fatores {x1,x2,x3,...xn}.
FÓRMULA
MG = n x x x ...xn
1 2 3
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MÉDIA HARMONICA (MH)
Média harmônica é o inverso da média aritmética dos
inversos das parcelas n parcelas {x1,x2,x3,...xn}.
FÓRMULA
MH =
1
x
1
+
1
x
+
2
DP = V
+ ... +
3
n
1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
xn
01. Dada a seqüência {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21}, a sua
moda é:
a) 54
b) 5
d) 1
e) 6,75
ESTATÍSTICA
Noções de Estatística
A Estatística trata do conjunto de métodos utilizados para
a obtenção de dados, sua organização em tabelas e
gráficos e a análise desses dados.
NOTAÇÕES
População é o grupo observado, geralmente numeroso.
Amostra é um subconjunto da população observada.
FREQUÊNCIAS
Freqüência absoluta (F) é o número de vezes que a
variável assume valor.
Freqüência relativa (f) é o quociente entre a freqüência
absoluta e o número de elementos da população
estatística (N). A freqüência relativa geralmente é dada
na forma de porcentagem.
F
fi = i
N
VARIÂNCIA (V)
A idéia básica de variância é tomar os desvios dosI)
valores x; em relação à média aritmética (x, - MA). Mas a
soma desses desvios é igual a 0 (por uma propriedade da
média). Uma opção possível, então, é considerar o total
n
dos quadrados dos desvios
∑
(xi-MA)2 e expressar a
i=1
Resolução
Para responder este teste basta conhecer a definição de
moda, que segue:
Definição: Denominamos MODA o valor que ocorre com
maior freqüência em uma série de valores.
Então, basta de acordo com a definição, procurar o valor
que mais se repete. Na série do enunciado, o valor que
mais se repete é valor 1.
Resposta, letra: D
02. (ICMS-MG-Adaptada) Um candidato obteve, nas
diversas provas de um concurso, as seguintes notas
com os respectivos pesos:
Matéria
nota
peso
Português
x1 = 66
p1 = 3
Contabilidade
x2 = 63
p2 = 3
Estatística
x3 = 70
p3 = 2
Direito
x4 = 79
p4 = 2
Calcule média aritmética ponderada.
Resolução:
Substituindo os dados na fórmula.
p ⋅ x + p2 ⋅ x 2 + p3 ⋅ x 3 + ... + pn ⋅ xn
MAP = 1 1
p1 + p2 + p3 + ... + pn
MAP =
variância (V) como a média dos quadrados dos desvios
absolutos, ou seja:
n
2
∑ (xi - MA)
V = i=1
n
MAP =
MAP =
ou
2
V=
2
2
(DA1 ) + (DA 2 ) + (DA 3 ) + ... + (DA n )
DESVIO ABSOLUTO (DA)
DA = x - MA
i
DESVIO ABSOLUTO MÉDIO (DAM)
x1 - MA + x 2 - MA + x 3 - MA + ... + x n - MA
n
ou
DAM =
DA1 + DA 2 + DA 3 + ... + DA n
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3 × 66 + 3 × 63 + 2 × 70 + 2 × 79
3+3+2+2
198 + 189 + 140 + 158
10
685
10
, finalmente: MAP = 68,5
2
n
DAM =
2
(DP) = V
V=variância
1
1
x
DESVIO PADRÃO (DP)
03. (TTN) A media aritmética da distribuição e igual
a:
Coluna 1
Coluna 2
Classe
Freqüências Simples
Peso (kg)
Absolutas
2 ├─ 4
9
4 ├─ 6
12
6 ├─ 8
6
8 ├─ 10
2
10 ├─ 12
1
a) 5,27 kg
d) 5,19 kg
b) 5,24 kg
e) 5,30 kg
c) 5,21 kg
n
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Resolução:
I) Para obter a média com intervalo de classe e a
freqüência absoluta, calcule o ponto médio (média
aritmética) de cada intervalo de classe.
Classe
Ponto médio da classe.
Peso (kg)
2+4
2 ├─ 4
2
4+6
4 ├─ 6
2
6+8
6 ├─ 8
2
8 + 10
8 ├─ 10
2
10 + 12
10 ├─ 12
2
=3
Classe
Peso (kg)
2 ├─
4 ├─
6 ├─
8 ├─
10 ├─
4
6
8
10
12
Coluna 2
Freqüências
Simples
Absolutas
f1 = 9
f2 = 12
f3 = 6
f4 = 2
f5 = 1
=5
03. Calcular a média harmônica entre os números 1, 3
e 6.
=7
=9
= 11
Ponto médio
da classe
x1=3
x2=5
x3=7
x4=9
x5=3
f ⋅ x + f ⋅ x + f ⋅ x + ... + fn ⋅ xn
MAP = 1 1 2 2 3 3
f + f + f + ... + fn
1 2 3
MAP =
MAP =
MAP =
04. (FUVEST) Ache a média aritmética dos números
3 13
,
5 4
e
1
.
2
Coluna 3
Na coluna 2 representa a freqüência (ou peso) que ocorre
cada um dos pontos médios.
MAP =
01.Calcular a média aritmética entre os números 3, 4,
6, 9 e 13.
02. Calcular a média geométrica entre os números 12,
45 e 50.
III) A seguir a tabela com todas as informações para obter
a média desejada.
Coluna 1
TESTES
9 × 3 + 12 × 5 + 6 × 7 + 2 × 9 + 1× 11
05. (SANTA CASA) – A média aritmética dos
elementos de um conjunto de 28 números é 27. Se
retirarmos desse conjunto três números, de valores
25, 28 e 30, a média aritmética dos elementos do novo
conjunto é:
06. (PUC) – A média aritmética de um conjunto de 12
números é 9. Se os números 10, 15 e 20 forem
retirados do conjunto, a média aritmética dos
restantes é:
07. (UBERABA) – Comprei 5 doces a R$ 1,80 cada um,
3 doces a cada R$ 1,50 cada e 2 doces a R$ 2,50 cada.
O preço médio por doce foi de:
9 + 12 + 6 + 2 + 1
27 + 60 + 42 + 18 + 11
08. Um fabricante de café misturou café x de R$
750,00 o Kg com café y de R$ 950,00 o Kg. Qual o
valor do Kg da mistura de 15 kg de café x com 15 kg
de café y.
30
27 + 60 + 42 + 18 + 11
30
158
30
finalmente
MAP = 5, 666... ≅ 5, 27
09. Na tabela a seguir vemos o consumo mensal de
água de uma família durante os 5 primeiros meses de
2003.
Meses
Consumo (m3)
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
12,5
13,8
13,7
11,4
12,1
O consumo mensal médio dessa família durante os 5
meses foi:
a) 11,3 m3
b) 11,7 m3
c) 12,7 m3
3
3
d) 63,5 m
e) 317,5 m
30
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10. (ICMS/MG) As alturas dos jogadores de basquete
da Seleção Brasileira são 1,98 m; 2,04 m; 2,06 m; 2,02
m e 2,05 m. A média de altura dessa seleção, em m, é
de:
a) 2,01
b) 2,02
c) 2,03
d) 2, 04
e) 2,05
11. Determine a média geométrica dos números 1, 4 e
16:
12. Calcule a média ponderada dos números 5, 8 e 9
com pesos 4, 6 e 10, respectivamente:
13. Qual a média harmônica entre os números 2 e 3?
14. Sabe-se que os números 2, 5, 7 e 11 têm pesos
iguais a 1, 2, 3 e 5, respectivamente. Qual é média
ponderada entre esses números?
15. (FCC) A média aritmética de quatro números é 25.
A média aritmética de três desses números é 21. O
número que consta no primeiro grupo de números e
não consta no segundo grupo é:
a) 37
b) 39
c) 47
d) 48
e) 59
16. (OBM) A média aritmética de seis números é 4.
Quando acrescentamos um sétimo número, a nova
média é 5. O número que foi acrescentado é:
a) 5
b) 6
c) 8
d) 10
e) 11
17. (UF-PR) Em levantamento feito numa sala de aula
de um curso da UFPR, verificou-se que a média das
idades dos 42 alunos matriculados era de 20,5 anos.
Nesse levantamento foram considerados apenas os
anos completos e desconsideradas todas as frações
(meses, dias etc.). Passadas algumas semanas, a
coordenação do curso verificou que um aluno havia
desistido, e que a média das idades caiu para 20
anos. Como nesse período nenhum dos alunos da
turma fez aniversário, qual a idade do aluno que
desistiu?
a) 41 anos
b) 25 anos
c) 29 anos
d) 33 anos
e) 37 anos
Matemática
18.(UFPR) Um automóvel pode ser abastecido com
gasolina e álcool, em qualquer proporção. O
motorista parou num posto em que o preço de um
litro de gasolina era R$ 2,50 e o de álcool era R$ 2,00.
Foram colocados no tanque de combustível 16 litros
de gasolina e 24 litros de álcool. Qual é o preço por
litro
do
combustível
misto
obtido
nesse
abastecimento?
a) R$ 2,45.
b) R$ 2,40.
c) R$ 2,32.
d) R$ 2,20.
e) R$ 2,18.
19. A distribuição dos salários de uma empresa é
dada na seguinte tabela:
Salário em R$
Número de funcionários
500,00
10
1.000,00
5
1.500,00
1
2.000,00
10
5.000,00
4
10.500,00
1
a) Qual é a média dos salários dessa empresa?
20. Dois torneiros, Paulo e João, concorrendo a uma
vaga em uma metalúrgica, submeteram-se ao
seguinte teste de precisão: cada um deles construiu
quatro rodas de ferro, que deveriam ter 5 cm de
diâmetro. A tabela abaixo descreve o desempenho de
cada um.
Média
DiâDiâDiâDiâdo
metro metro metro metro Diâem
em
em
em
metro
cm
cm
cm
cm
em
cm
Paulo 4,8
5,2
5,0
5,0
5,0
João
4,7
5,3
5,0
5,0
5,0
Como os diâmetros médios foram iguais, o critério de
desempate foi a regularidade, isto é, quem teve o
desempenho mais regular foi o merecedor da vaga.
a) Calcule o desvio padrão do conjunto de diâmetros
obtidos por Paulo e João. (Use a aproximação
2 = 1, 41 )
b) Qual dos dois candidatos teve o desempenho mais
regular?
21. (ICMS-MG) Os tempos gastos por cinco operários
para fazer um trabalho foram: 4 min, 6 min, 7 min, 8
min, 10 min. A variância dessa distribuição é:
a) 4,0
b) 3,5
c) 3,0
d) 2,0
e) 1,0
22. (ICMS-MG) O desvio padrão do conjunto de dados
A = {6, 10, 4, 8, 7} é igual a:
a) 1,25
b) 1,5
c) 2,0
d) 3,0
e) 4,0
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23. (GDF) Uma empresa que possui 5 máquinas
copiadoras registrou em cada uma delas no último
mês ( em 1.000 unidades): 20, 23, 25, 27 e 30 cópias,
respectivamente. O valor da variância desta
população é:
a) 5
b) 11,6
c) 14,5
d) 25
e) 12
24. A tabela a seguir representa uma pesquisa sobre
o peso (em quilogramas) de um grupo de pessoas,
Peso kg
FA
VM
1
42
40 |⎯ 44
3
46
44 |⎯ 48
7
50
48 |⎯ 52
6
54
52 |⎯ 56
3
58
56 |⎯ 60
Total
20
Determine a media aritmética.
25.(PUC-SP) O histograma seguinte apresenta a
distribuição de freqüência das faixas salariais numa
pequena empresa.
14
12
10
8
6
4
2
27. Uma máquina empacotadora de leite está
regulada para que cada embalagem contenha 1 000
ml. No entanto, o perfeito empacotamento depende
de vários fatores, como variação da temperatura
ambiente, variação da corrente elétrica, bom
funcionamento mecânico da máquina etc. O controle
de qualidade desse laticínio obteve amostras com
suas
respectivas
freqüências.
Determine
a
porcentagem, em relação ao total das amostras, que
está acima da média mais o desvio padrão.
Capacidade (ml)
Freqüência
994
6
995
6
998
8
1 000
20
1 010
10
1 050
10
28.(FUVEST) A distribuição dos salários de uma
empresa é dada na tabela a seguir:
Salário
Funcionários
500
10
1 000
5
1 500
1
2 000
10
5 000
4
10 500
1
Total
31
a) Qual a média e qual a mediana dos salários dessa
empresa?
Resposta: R$ 2 000,00 e Md=1 500,00
0
500 1000 1500 2000 2500
Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a
média desses salários é, aproximadamente:
a) R$ 420,00
b) R$ 536,00
c) R$ 562,00
d) R$ 640,00
e) R$ 708,00
26. Manoel e Maria, prestaram o vestibular e
obtiveram os seguintes resultados:
Matéria
Manoel
Maria
Matemática
9,0
9,0
Física
9,0
6,0
Química
8,0
6,0
Biologia
5,0
6,0
Português
5,0
8,0
História
5,0
7,0
Geografia
6,0
7,0
Inglês
7,0
6,0
a) Qual é a média de notas de cada um?
b) Suponhamos que sejam contratados dois novos
funcionários com salários de R$ 2 000,00 cada. A
variância da nova distribuição de salários ficará menor,
igual ou maior que a anterior?
29.(UNICAMP-SP) Para um conjunto X={x1, x2, x3, x4}
a média aritmética de X é definida por:
x1 + x 2 + x 3 + x 4
e a variância de X é definida
x=
4
1
por: v = ⎡(x - x)2 + ... + (x 4 - x)2 ⎤ .
⎦
4⎣ 1
Dado o conjunto X={2, 5, 8, 9}, pede-se:
a) Calcular a média aritmética de X.
b) Calcular a variância de X.
Resposta: 7,0 Manoel e 6,9 Maria.
b) Pelo cálculo do desvio padrão, determine qual dos
candidatos teve a maior variabilidade.
32
Atualizada 28/02/2007
c) Quais elementos de X pertencem ao intervalo
⎡ x - v, x + v ⎤ ?
⎣
⎦
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30.(FGV-SP) A tabela a seguir representa a
distribuição de freqüências dos salários de um grupo
de 50 empregados de uma empresa, num certo mês.
Número de Salário do mês em Número de
classe
R$
empregados
20
1
1 000 |⎯ 2 000
18
2
2 000 |⎯ 3 000
9
3
3 000 |⎯ 4 000
3
4
4 000 |⎯ 5 000
O salário médio desses empregados, nesse mês, foi
de:
a) R$ 2 637,00
b) R$ 2 420,00
c) R$ 2 520,00
d) R$ 2 400,00
e) R$ 2 500,00
31.(NC.UFPR) Em uma escola, para verificação da
aprendizagem em certa disciplina, são aplicadas três
provas, com pesos 2, 3 e 5, respectivamente. Para um
aluno ser aprovado nessa disciplina, deve ser no
mínimo 5,0 a média aritmética ponderada das notas
que ele obtiver nas três provas relativamente aos
pesos mencionados. Se nas duas primeiras provas
um dos alunos obteve notas 4,0 e 3,5,
respectivamente, então, para que seja aprovado, a
nota mínima que ele deve obter na terceira prova é:
a) 6,0
b) 6,1
c) 6,2
d) 6,3
e) 6,4
32.(NC.UFPR) A média aritmética de 3 números (x, y e
z) é 6, e a média aritmética ponderada desses
números relativa aos pesos 1, 3 e 4, respectivamente,
é 6,75. Sabendo-se que z = 6, então um dos outros
dois números é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
GABARITO
ESTATÍSTICA
01 7
02 30
03 2
04 29/20
05 26,92
06 7
07 1,85
08 8,50
09 C
10 C
11 4
12 7,9
13 2,4
14 8
15 A
16 E
17 A
18 d
19 2000
20 a) Paulo
DP= 0,016
João
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Atualizada 28/02/2007
DP= 0,018
b) Paulo
7
C
B
51,4
E
a)Manoel 7,0
e Maria 6,9
b) Manoel 1,7
e Maria 1,1
17%
Ficará
menor
a) 6,0
b) 7,5
c) 5 e 8
E
D
E
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INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS
A
No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns
conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos
sem definição.
ALGUNS CONCEITOS PRIMITIVOS
1
CONJUNTO
i
O conjunto de todos os brasileiros.
ii
O conjunto de todos os números naturais.
iii
O conjunto dos números naturais tal que
x<6.
•O conjunto é representado por uma letra maiúscula
do alfabeto: A, B, C, ..., Z.
ou
2
ELEMENTO
i
ii
iii
Pelé é um elemento do conjunto dos
brasileiros.
1, 2, 3, . . . são elementos do conjunto dos
números naturais.
–1, 2 e 3 é um elemento do conjunto dos
números reais que satisfaz à inequação:
x<6.
• Em geral, um elemento de um conjunto, é
representado por uma letra minúscula do alfabeto: a,
b, c, ..., z.
ou
3
PERTINÊNCIA
i
ii
iii
Pelé pertence ao conjunto dos brasileiros.
1 pertence ao conjunto dos números naturais.
-5 pertence ao conjunto de números reais
que satisfaz à inequação: x< 6.
• Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos
o símbolo ∈ , que lê-se: "pertence" e, caso ele não
pertença utilizamos o símbolo ∉ , que lê-se: “não
pertence”.
SUBCONJUNTOS
Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer
pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é
um subconjunto de B, ou seja A ⊂ B . Observações:
> Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja
A ⊂ A;
>O
conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de
qualquer conjunto, ou seja φ ⊂ A .
ALGUNS CONJUNTOS ESPECIAIS
CONJUNTO VAZIO: É um conjunto que não possui
elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou φ .
CONJUNTO UNIVERSO: É um conjunto que contém
todos os elementos do contexto no qual estamos
trabalhando e também contém todos os conjuntos desse
contexto. O conjunto universo é representado por uma
letra U.
REUNIÃO DE CONJUNTOS
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os
elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto
B.
A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}
A
Por exemplo:
> Para afirmar que 1 é um número natural N,
escrevemos: 1 ∈ N.
> Para afirmar que - 5 não é um número natural (N) ,
escrevemos: - 5 ∉ N.
ALGUMAS NOTAÇÕES PARA CONJUNTOS
1
Extensão: Os elementos do conjunto estão
dentro de duas chaves {
}, separados por
vírgula ou ponto e vírgula
A = { a, e, i, o, u }
i
ii
o
2
34
A
∪ B
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos
os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto
B.
A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}
A
B
Compreensão: O conjunto é descrito por uma ou
mais propriedades.
A = { x : x é uma vogal}
i
ii
o
3
N = { 1; 2; 3; 4; ... }
B
N = { x : x é um número natural}
A ∩B
Diagrama de Venn-Euler Os conjuntos são
mostrados delimitados por uma região.
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Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o
conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são
disjuntos.
A
B
DIFERENÇA SIMÉTRICA
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o
conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião
dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos
conjuntos A e B.
A ∆ B = {x : x ∈ A ∪ B e x ∉ A ∩ B}
A situação gráfica para a diferença simétrica é:
A
Conjunto vazio: é um conjunto que não possui
elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou φ .
B
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de
todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não
pertencem ao conjunto B.
A − B = {x : x ∈ A e x ∉ B}
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista
como:
A
A ∆B
TEORIA DOS CONJUNTOS
Símbolos
: pertence
B
: existe
: não pertence
A-B
:
para
todo
qualquer que seja)
: está contido
COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO
:
não
contido
O complemento do conjunto B contido no conjunto A,
denotado por C A B, é a diferença entre os conjuntos A e
B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que
pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
C B = A − B = {x : x ∈ A e x ∉ B}
A
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto
A, é dado por:
A
está
se
: conjunto vazio
N: conjunto dos números
naturais
: não contém
Z : conjunto dos números
inteiros
: implica que
A-B
(ou
: contém
/ : tal que
B
: não existe
Q: conjunto dos números
racionais
Q'=
I:
conjunto
números irracionais
dos
: se, e somente R: conjunto dos números
reais
: A intersecção B
Ou também:
: A união B
A
B
a - b: diferença de A com B
a < b: a menor que b
C AB
: a menor ou igual a b
Quando não existe dúvida sobre o universo U em que
trabalhamos, simplesmente utilizamos a letra c posta
como um expoente no conjunto, para indicar o
complemento deste conjunto. Exemplos especiais são:
Øc=U e Uc=Ø.
a > b: a maior que b
: a maior ou igual a b
:aeb
: a ou b
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TESTES
01. Uma pesquisa mostrou que 33% dos
entrevistados lêem o Jornal A, 29% lêem o jornal B,
13% lêem A e B, 22% lêem o jornal C e 6% lêem B e C,
14% lêem A e C e 6% lêem os três jornais.
a) Quanto por cento não lê nenhum desses jornais?
b) Quanto por cento lê os jornais A e B e não lê o C?
c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal?
02.(EPPG) Numa pequena cidade com 400
residências, 60% delas têm água encanada, 45%
dispõem de sistema de esgoto e 5% não têm água
encanada nem esgoto. Nessas condições, é verdade
que :
a) 60 residências têm água encanada e esgoto.
b) 120 residências não têm água encanada.
c) 200 residências têm água encanada mas não esgoto.
d) 160 residências têm esgoto mas não água encanada.
e) 360 residências têm água encanada ou esgoto.
03. (ESAF-TTN) Uma pessoa entre 800 consumidores,
sendo 400 homens e 400 mulheres, mostrou os
seguintes resultados:
•do total de pessoas entrevistadas:
500 assinam o jornal X.
350 têm curso superior.
250 assinam o jornal X e têm curso superior.
•do total de mulheres entrevistadas:
200 assinam o jornal X.
150 têm curso superior.
50 assinam o jornal X e têm curso superior
O número de homens entrevistados que não assinam
o jornal X e não tem curso superior é, portanto, igual
a:
a) 50
b) 200
c) 25
d) 0
e) 100
04.(EsPCEX) Numa pesquisa feita junto a 200
universitários sobre o hábito de leitura de dois
jornais (A e B), chegou-se às seguintes conclusões:
(1) 80 universitários lêem apenas um jornal;
(2) o número dos que não lêem nenhum dos jornais é o
dobro do número dos que lêem ambos os jornais.
(3) o número dos que lêem o jornal A é o mesmo dos
que lêem apenas o jornal B.
Com base nesses dados, podemos afirmar que o
número de universitários que lêem o jornal B é:
a) 160
b) 140
c) 120
d) 100
e) 80
05.(CESGRANRIO) Do total de funcionários da
empresa Fios S/A, 20% são da área de informática e
outros 14% ocupam os 21 cargos de chefia. Quantos
funcionários dessa empresa NÃO trabalham na área
de informática?
a) 30
b) 99
c) 110
d) 120
e) 150
36
Atualizada 28/02/2007
Matemática
06. (UFPE) Objetivando conhecer a preferência
musical dos seus ouvintes, certa emissora realizou
uma pesquisa, dando como opção três compositores:
M, B e S. Os resultados são:
Votos
Opções
27
gostam de B
34
gostam de M
40
gostam de S
16
gostam de B e M
12
gostam de B e S
14
gostam de M e S
6
gostam de B, M e S
4
não gostam de B, M e S
Considerando esses dados podemos classificar em
verdadeiras (V) ou falsas (F) as seguintes afirmações:
a) 42 não gostam de B.
b) 18 gostam de M e não gostam de B.
c) 20 gostam exclusivamente de S.
d) 24 gostam de exatamente dois compositores.
e) 25 não gostam de M.
07. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) e
justifique:
a) ( ) Se A tem 3 elementos e B tem 4 elementos,
então A ∪ B tem 7 elementos.
b) ( ) Se A tem 2 elementos e B tem 3 elementos,
então A ∩ B tem 2 elementos.
c) ( ) Se A ∩ B = ∅. A tem 5 elementos e B tem 4
elementos, então A ∪ B tem 9 elementos.
(CESPE) Os empregados de um determinado setor de
uma empresa foram convocados para votar uma
proposta de modificação no plano de cargos e
salários. Esse setor é composto por empregados de
níveis I, II e III e, na votação não houve nenhuma
abstenção. Votaram a favor da proposta 40% dos
empregados de nível I, 84% dos de nível II e 80% dos
de nível III. A soma dos votos favoráveis à proposta
foi de 80% do total de votantes. Considerando essas
informações, conclui-se que a empresa possui
08. dez vezes mais empregados de nível II que
empregados de nível I.
09.(ESAF) Numa escola de apenas 800 alunos, é
sabido que 200 deles gostam de pagode, 300 de rock
e 130 de pagode e rock. Quantos alunos não gostam
nem de pagode e nem de rock?
a) 430
b) 560
c) 670
d) 730
e) 800
10.(PUC-RJ) Um levantamento sócio-econômico entre
os habitantes de uma cidade revelou que,
exatamente:
17% Têm casa própria;
22% Têm automóvel;
8%
Têm casa própria e automóvel.
Qual o percentual dos que não têm casa própria nem
automóvel?
a) 69%
b) 70%
c) 32%
d) 75%
e) 60%
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11. Numa escola mista existem 84 meninas, 48
crianças loiras, 26 meninos não loiros e 18 meninos
loiros. Determine o número de crianças:
(CESPE)
Um
posto
de
abastecimento
de
combustíveis vende gasolina comum (GC), álcool
anidro (AA) e óleo diesel (OD). Em uma pesquisa
realizada com 200 clientes, cada entrevistado
declarou que seus veículos consomem pelo menos
um dos produtos citados, de acordo com a tabela
abaixo. Produto quantidade de clientes proprietários
de veículos que consomem o produto
Quantidade de clientes
proprietários de veículos
Produto
que consomem o produto
GC
120
AA
75
GC e OD
60
AA e OD
50
GC e AA
30
GC, AA e OD
20
Considerando essas informações e que cada veículo
consome apenas um tipo de combustível, é correto
afirmar que
12. 35 clientes possuem apenas veículos que consomem
OD.
13. pelo menos dois produtos são consumidos pelos
veículos de mais de 120 clientes.
14. 10 clientes possuem mais de um veículo, sendo que
pelo menos um desses veículos consome GC e outro
consome AA, mas não possuem nenhum veículo que
consome OD.
15.(NC.UFPR) Uma pesquisa feita em um universo de
12000 pessoas apontou que 42% delas preferem uma
marca de cerveja X e 58% preferem uma marca Y. A
fim de que, nesse mesmo universo, a marca X venha
a ter mais do que 50% de preferência, é necessário
que haja mudança de preferência de, no mínimo:
a) 961 dessas pessoas
b) 1201 dessas pessoas
c) 1441 dessas pessoas
d) 1681 dessas pessoas
16.(NC.UFPR) Considere as seguintes informações
sobre o número de candidatos em um concurso aos
cargos A e B, sabendo que ninguém podia se
candidatar simultaneamente aos dois cargos: 75% do
total de candidatos escolheram o cargo A; 60% do
total de candidatos eram homens; 30% dos
candidatos ao cargo B eram homens; 2.100 mulheres
se candidataram ao cargo B. Assim, o número de
homens que se candidataram ao cargo A foi de:
a) 7.200
b) 6.300
c) 5.040
d) 2.300
e) 900
17.(NC.UFPR) Em uma creche, há 130 crianças.
Dessas crianças, 56 tomaram só a vacina A, 37
tomaram as vacinas A e B, e 25 não tomaram vacina.
Então, o número de crianças que tomaram somente a
vacina B é:
a) 12
b) 111
c) 86
d) 63
e) 44
18. Na porta de um supermercado foi realizada uma
enquete com 100 pessoas, sobre três produtos. As
respostas foram 10 pessoas compram somente o
produto A, 30 pessoas compram somente o produto
B, 15 pessoas compram somente o produto C, 8
pessoas compram A e B, 5 pessoas compram A e C, 6
pessoas compram B e C, e 4 compram os três
produtos.
a) Quantas pessoas compram pelo menos um dos três
produtos?
b) Quantas pessoas não compram nenhum desses
produtos?
c) Quantas pessoas compram os produtos A e B e não
compram C?
d) Quantas pessoas compram os produtos A ou B?
e) Quantas pessoas compram o produto A?
f) Quantas pessoas compram o produto B?
19. Numa pesquisa sobre audiência de tevê entre 125
entrevistados, obteve-se: 60 assistem ao canal X, 40
ao canal Y, 15 ao canal Z, 25 assistem a X e Y, 8 a Y e
Z, 3 a X e Z, e 1 assiste aos três.
a) Quantos não assistem a nenhum desses canais?
b) Quantos assistem somente ao canal X?
c) Quantos não assistem nem a X nem a Y?
GABARITO
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Atualizada 28/02/2007
TEORIA DOS
CONJUNTOS
a) 43%
b) 7%
c) 57%
C
E
E
B
a) V
b) V
c) V
d) V
e) E
a) F
b) F
c) V
Correta
A
A
A
Correta
Errada
Correta
A
B
A
a) 66
b) 34
c) 4
d) 51
e) 19
f) 40
a) 45
b) 33
c) 50
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ANALISE COMBINATÓRIA
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e se,
uma vez tomada à decisão d1, a decisão d2 pode ser
tomada de y maneiras, então, o número de maneiras de
se tomarem às decisões d1 e d2, é igual ao produto x.y.
01
SEM REPETIÇÃO DE ELEMENTOS (PFC)
Determinada formação com k etapas e n
elementos, sem repeti-los nas etapas, o total T de
maneiras em que ocorre a formação é dada por:
Multiplicando entre si os valores da 3ª coluna,
5x4x3x2x1=120, obtemos o total de formações diferentes
possíveis.
Resposta, no máximo obterá 120 senhas.
FATORIAL - SÍMBOLO !
Fatorial ! é um operador.
Seja n um número natural N, definimos fatorial de n, e
indicamos por n!, através da relação:
01
T = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)...(n - (k - 1))
1444424444
3
k fatores
02
03
k etapas
02
COM REPETIÇÃO DE ELEMENTOS (PFC)
Determinada formação com k etapas e n
elementos, podendo repeti-los nas etapas, o total T
de maneiras em que ocorre a formação é dada por:
03
04
k
T = n ⋅ n ⋅ n ⋅ n ⋅ ... ⋅ n = n
2!=2.1=2
3!=3.2.1=6
4!=4.3.2.1=24
5!=5.4.3.2.1=120
6!=6.5.4.3.2.1=720
7!=7.6.5.4.3.2.1=5040
Identidades importantes
0! = 1
1! = 1
Como conseqüência: Se m ! =1, m pode ser igual a
0 (m = 0) ou 1 (m = 1).
14243
k fatores
04
n!=n(n-1)(n-2)(n-3)...3.2.1 para (n ≥ 2)
PERMUTAÇÃO - SÍMBOLO P
k etapas
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Para ter acesso a um arquivo, um operador de
computador precisa digitar uma seqüência de 5
símbolos distintos, formada de duas letras e três
algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da
seqüência em que aparecem. O maior número de
tentativas diferentes que o operador pode fazer para
acessar o arquivo é:
a) 115
b) 120 d) 150 d) 200 e) 249
Resolução
I) A senha de acesso é formada por duas letras e três
números, uma formação possível é:
São agrupamentos com n elementos, que diferem entre
si apenas pela ORDEM dos seus elementos.
A permutação é um caso particular de arranjo em que
n=p.
Se um ou mais elementos aparecem repetidos no total
dos n elementos, o número de repetições de cada
natureza, serão indicadas por: a, b, c, d, ...
01
Permutação sem repetição P
02
Pn = n!
03
Permutação com repetição P
04
a,b,c,d,...
Pn
=
n!
a! b! c! d!...
6
7
P
K
9
Considerando que a senha seja a sugerida acima, e
considerando que não pode haver repetição de qualquer
um dos 5 símbolos, é facilmente resolvida pelo princípio
multiplicativo ou por permutação simples.
1ª
digitada
2ª
digitada
3ª
digitada
4ª
digitada
5ª
digitada
38
Poderá escolher,
7, 9, P ou K
Poderá escolher,
9, P ou K
Poderá escolher
9 ou K
Poderá escolher
ou K
Só resta o 9
Atualizada 28/02/2007
6,
6,
6,
9
5
4
3
2
1
Supondo
digitou 7
Supondo
digitou P
Supondo
digitou 6
Supondo
digitou K
que
que
que
que
Única opção
7
P
6
K
9
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TESTE PARA IDENTIFICAR A APLICAÇÃO
ARRANJO “A” OU COMBINAÇÃO “C”.
DE
Matemática
TESTES
01.Quantos números pares de três algarismos com
algarismos repetidos podem ser formados com os
algarismos 1, 2, 3 e 4?
a) 16
b) 48
c) 64
d) 24
e) 32
Início do teste
Forme um agrupamento
conforme orientação do
enunciado.
02. Quantos números pares de três algarismos com
algarismos sem repetição podem ser formados com
os algarismos 1, 2, 3 e 4?
a) 30
b) 24
c) 16
d) 22
e) 12
Troque a ordem de pelo menos
dois elementos (entre si) nesse
agrupamento formado e
pergunte.
03. De quantas formas diferentes podem sentar-se em
linha, alternadamente, quatro rapazes e três moças ?
O
agrupamento
mudou ?
NÃO
Use
Combinação
Use
C
Arranjo
Fim
25.5.
SIM
05. Quantos números, superiores a 4000 e inferiores a
7000 e formados de algarismos distintos podemos
escrever usando os algarismos 3, 4, 5, 6 e 7 ?
Fim
ARRANJO - SÍMBOLO A
São agrupamentos com p (p∈N) elementos, que diferem
entre si ou pela NATUREZA ou pela ORDEM dos seus
elementos.
01
Arranjo sem repetição
02
n!
A n ,p =
( n − p) !
03
Arranjo com repetição
04
=n p
A n ,p
04. De quantas formas diferentes podemos atribuir
um primeiro, segundo e terceiro prêmios em uma
classe de 5 alunos ?
a) 64
b) 36
c) 240
d) 120
e) 60
(n ≥ p)
(n ≥ p)
COMBINAÇÃO- SÍMBOLO C
06. (UCS) Uma prova compõe-se de vinte questões do
tipo múltipla escolha, tendo cada uma quatro
alternativas distintas. Se todas as vinte questões
foram respondidas ao acaso, o número máximo de
maneiras de preencher a folha de respostas será.
07. Quantas seqüências de 5 algarismos podemos
formar com os algarismos 0 e 1 ?
08. Ordenando de modo crescente as permutações
dos algarismos 2, 5, 6, 7 e 8, qual o lugar que ocupará
a permutação 68275?
a) 70
b) 68
c) 67
d) 66
e) 69
São agrupamentos com p (p∈N) elementos, que diferem
entre si apenas pela NATUREZA dos seus elementos.
01
Combinação sem repetição
02
n!
Cn, p =
(n - p)! p!
Atualizada 28/02/2007
(n ≥ p)
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Matemática
09. ( FGV - SP) Um restaurante oferece no cardápio 2
saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5
variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes.
Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne,
uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a
pessoa poderá fazer seu pedido ?
a)90
b)100
c)110
d)130
e)120
15.(CEFET-PR) Numa reunião definida como “Queijos
e Vinhos”, estavam disponíveis no “buffet” 8 tipos de
queijos e 6 tipos de vinhos. Sabendo que Jaime
serve-se de dois tipos diferentes de queijo e um tipo
de vinho cada vez que vai ao “buffet”, o número total
de opções distintas para servir-se é:
a) 34
b) 62
c) 42
d) 168
e) 336
10. Do quantos modos pode vestir-se um homem que
tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças
diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e
um par de sapatos ?
a) 52
b) 86
c) 24
d) 32
e) 48
16. Um cofre possui um disco marcado com os
dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por
uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa
tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá
fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?
11.(OBM) Na figura abaixo, temos 4 circunferências e
alguns pontos destacados no interior dessas
circunferências. Escolhendo exatamente um desses
pontos dentro de cada uma das circunferências, e
unindo-os por segmentos de reta que não se cruzam,
formamos um quadrilátero. Quantos quadriláteros
diferentes seremos capazes de desenhar nessas
condições?
17. Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z e
os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantas placas de
carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas
de 4 algarismos?
18. Existem quatro estradas ligando duas cidades A e
B, e três estradas ligando as cidades B e C. De
quantos modos diferentes uma pessoa pode se
deslocar da cidade A até a cidade C?
19. Uma sala possui 3 portas. Quantas possibilidades
existem para que uma pessoa possa entrar e sair
desta sala?
a) 4
b) 14
c) 60
d) 120
e) 24
12.(OBM) O alfabeto usado no planeta X tem somente
duas letras: X e x. O sobrenome (nome de família) de
cada um de seus habitantes é uma seqüência
formada por 4 letras. Por exemplo, xXxx é um
possível sobrenome utilizado nesse planeta. O maior
número de sobrenomes diferentes que podem ser
dados no planeta X é:
a) 12
b) 14
c) 15
d) 16
e) 18
13. As finalista do concurso Miss Universo, são Miss
Brasil, Miss Japão, Miss Venezuela, Miss Itália e Miss
França. De quantas formas os juizes poderão escolher o
primeiro, o segundo e terceiro lugar neste concurso ?
14. Qual é o número possível de anagramas que se
pode montar com as letras da palavra AMOR?
20. (UFBA) Num determinado país, todo rádio-amador
possui um prefixo formado por cinco símbolos, assim
disposto: um par de letras, um algarismo diferente de
zero, outro par de letras; por exemplo: PY-6-CF. O
primeiro par de letras é sempre PY, PT ou PV; o
segundo par só pode ser constituído das dez
primeiras letras do alfabeto, não havendo letras
repetidas. Nesse país, o número de prefixos
disponíveis é:
a) 270
b) 1230
c) 2430
d) 2700
e) 3.9.10
21. Sejam A, B, C, D, quatro cidades.
De quantos modos uma pessoa pode ir de A à D
passando pelas cidades B e C.
22. Um salão tem 6 portas. De quantos modos
distintos esse salão pode estar aberto?
23. De quantos modos podemos dispor 5 livros de
Matemática, 3 de Física e 2 de Química em uma
prateleira, de modo que os livros do mesmo assunto
fiquem sempre juntos?
40
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24. (TRF) Para entrar na sala da diretoria de uma
empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada
cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada
senha é constituída por 3 algarismos distintos.
Nessas condições, o número máximo de tentativas
para abrir os cadeados é
a) 54
b) 120
c) 720
d) 1 440
e) 518 400
25. Se ( n - 6 )! = 720 então:
a) 12
b) 11
c) 10
d) 13
e) 14
26. O conjunto solução da equação (x!)2 = 36
é:
a) { 3, -3 }
b) { 6, -6 }
c) { 3, 6 }
d) { 6 }
e) { 3 }
27. A soma das raízes da equação ( 5x - 7 )! = 1 vale:
a) 5
b) 7
c) 12
d) 3
e) 4
28. (UCS) Se n é tal que
n(n - 1)!
= 6 , calcule o valor
(n - 2)!
de n.
29. Considere os eixos coordenados x e y e o
conjunto M = { M1, M2, ... , M12 } cujos elementos estão
assinalados na figura abaixo.
Matemática
30.(AFA) Colocam-se em ordem crescente todos os
números com 5 algarismos distintos, sem repetição,
formados com 2, 4, 5, 7 e 8. A posição do número
72584 é
a) 76a
b) 78a
c) 80a
d) 82a
31. De quantos modos distintos 5 pessoas podem
sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?
32. Dentre as permutações das letras da palavra
TRIÂNGULO, o número das que começam por vogal
é:
a) P9
b) P8
c) 2P8
d) 4P8
e) 4P7
33. O número de anagramas da palavra NÚMERO, em
que nem vogal, nem consoantes fiquem juntas é:
a) 12
b) 36
c) 48
d) 60
e) 72
34. (UFPR) Numa certa rede bancária, cada um dos
clientes possui um cartão magnético e uma senha
formada por seis dígitos. Para aumentar a segurança
e evitar que os clientes utilizem datas de aniversário
como senha, o banco não permite o cadastro de
senhas nas quais os dois dígitos centrais
correspondem aos doze meses do ano, ou seja,
senhas em que os dois dígitos centrais sejam
01,02,...,12 não podem ser cadastradas. Quantas
senhas diferentes podem ser compostas dessa
forma?
SENHA:
dígitos centrais
4
a) 106 – 12 . 10
6
b) 10 – 12
c) 106 – 12 . 102
4
d) 10 + 12 . 102
4
e) 10 - 12
O número de quadriláteros convexos que possuem
vértices pertencentes a M e diagonais sobre os eixos
é:
a) 216
d) 36
b) 108
e) 12
c) 72
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35. O número de anagramas da palavra ALUNO que
tem as vogais em ordem alfabética é:
a) 20
b) 30
c) 60
d) 80
e) 100
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36. Quantos anagramas da palavra PALCO podemos
formar de maneira que as letras A e L apareçam
sempre juntas ?
a) 48
b) 24
c) 96
d) 120
e) 36
37. Quantos são os anagramas possíveis com as
letras da palavra: MATEMATICA?
38. Qual é o número possível de anagramas que se
pode montar com as letras da palavra AMA?
39. (OCM) Paula e Isis moram numa região cortada
por ruas, conforme o mapa ao lado. Paula mora na
esquina indicada pelo ponto A do mapa e Isis na
esquina do ponto B. Para Paula visitar Isis ela
percorre um
caminho formado por trechos
horizontais ou verticais movendo-se sempre para a
direita ou para cima. Um desses caminhos está
ilustrado no mapa. Determine a quantidade de
caminhos diferentes que Paula pode fazer para visitar
Isis, seguindo esta regra.
B
A
40. Quantos números de cinco algarismos podemos
escrever apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3
respeitadas as repetições apresentadas ?
a) 12
b) 30
c) 6
d) 24
e) 18
41.
Quantos anagramas da palavra SUCESSO
começam por S e terminam com O ?
a) 7 !
b) 5 !
c) 30
d) 60
e) 90
42.(UFSM-RS) De quantas maneiras distintas podemse alinhar cinco estacas azuis idênticas, uma
vermelha e uma branca?
a) 12
b) 30
c) 42
d) 240
e) 5040
42
Atualizada 28/02/2007
Matemática
43. (UEM -PR) Quinze garotas estão posicionadas
numa quadra esportiva para uma apresentação de
ginástica, de modo que não se encontram três em
uma linha reta, com exceção das garotas que trazem
uma letra estampada na camiseta e que estão
alinhadas formando a palavra AERÓBICA. O número
de retas determinadas pelas posições das quinze
garotas é........
44.(UFF-RJ) Cinco casais vão-se sentar em um
banco de 10 lugares, de modo que cada casal
permaneça sempre junto ao sentar-se.
Determine de quantas maneiras distintas todos os
casais podem, ao mesmo tempo, sentar-se no banco
45.(FAE-PR) Com os n engenheiros de uma construtora
forma-se a mesma quantidade de grupos, reunindo-os
de 3 em 3 ou de 4 em 4. De quantos modos distintos
podem-se escolher 2 dentre os n engenheiros para que
um seja o responsável técnico de um projeto e o outro
seja o auxiliar?
a) 21
b) 35
c) 42
d) 105
e) 132
46. Uma prova consta de 15 questões das quais o
aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá
escolher as 10 questões?
47. Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número
de modos distintos das pessoas ocuparem as
cadeiras é:
a) 1680
b) 8 !
c) 8 . 4 !
d) 8 ! / 4
e) 32
48. Se An,2=42, qual é o valor de n?
49.(CESGRANRIO) Para ter acesso a um arquivo, um
operador de computador precisa digitar uma
seqüência de 5 símbolos distintos, formada de duas
letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos,
mas não da seqüência em que aparecem. O maior
número de tentativas diferentes que o operador pode
fazer para acessar o arquivo é:
a) 115
b) 120
d) 150
d) 200
e) 249
50. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4
alunos, desejamos formar comissões contendo 3
professores e 2 alunos. Quantas são as
possibilidades?
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(CESPE) Em uma reunião social, cada convidado
cumprimentou uma única vez todos os outros com
um aperto de mão, o que resultou em 45 desses
cumprimentos. Nesse contexto, é correto afirmar que
51. apenas 12 pessoas participaram da reunião.
52. (UFS) O número de comissões de quatro pessoas
formadas com um grupo de quatro rapazes e três
moças, tendo cada comissão no máximo dois
rapazes, é:
a) 35
b) 22
c) 18
d) 10
e) 28
53. As diretorias de 4 membros que podemos formar
com 10 sócios de uma empresa são:
a) 5040
b) 40
c) 2
d) 210
e) 5400
54. (UCS) Calculando-se A6,2 + 3.C5,2, o resultado
obtido é um número:
a) maior que 70
b) divisível por 6
c) menor que 39
d) múltiplo de 8
e) cubo perfeito
Matemática
59.(UFF-RJ) A partir de um grupo de 6 alunos e 5
professores será formada uma comissão constituída
por 4 pessoas das quais, pelo menos duas devem ser
professores.
Determine de quantas formas distintas tal comissão
pode ser formada.
60. Com seis homens e quatro mulheres, quantas
comissões de quatro pessoas podemos formar?
61. Com seis homens e quatro mulheres, quantas
comissões de cinco pessoas podemos formar,
constituídas por dois homens e três mulheres?
62. A Diretoria de uma Empresa tem seis membros.
Quantas comissões de quatro membros podem ser
formadas, com a condição de que em cada comissão
figurem sempre o Presidente e o Vice-Presidente?
63.(ACAFE-SC) Sobre uma reta r se marcam 7 pontos
e sobre uma outra reta s paralela a r, se marcam 4
pontos. O número de triângulos que se pode obter,
unindo 3 quaisquer desses pontos, é:
a) 304
b) 152
c) 165
d) 330
e) 126
55. (UFBA) C 100, 98 é um número entre;
a) 1000 e 2000
b) 2000 e 3000
c) 3000 e 2000
d) 3000 e 4000
e) 4000 e 5000
56. Com um conjunto de 10 peças distintas, o número
de grupos diferentes, de três peças, que podem ser
formadas, é:
a) 3 !
b) 7 !
c) 10 !
d) 720
e) 120
57. O numero de triângulos determinados por 7
pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre uma
paralela á primeira, é:
a) 60
b) 30
c) 20
d) 10
e) 5
58. Se Cn,2=28, qual é o valor de n?
Atualizada 28/02/2007
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GABARITO
ANÁLISE
COMBINATÓRIA
01
E
02
E
03
144
04
E
05
72
40
06
2
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
44
Atualizada 28/02/2007
32
B
E
E
D
D
60
24
E
720
175 760 000
12
9
C
24
63
8 640
E
A
E
D
3
C
A
120
D
E
A
A
A
151 200
12
35
B
D
C
78
3 840
A
3 003
A
7
B
120
Errada
B
D
B
E
E
B
B
8
210
60
6
E
PROBABILIDADE
Introdução
A teoria da probabilidade é o ramo da matemática que
cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que
podem ser utilizados para estudar experimentos
aleatórios ou não determinísticos.
Experimentos determinísticos
Um experimento é determinístico quando repetido em
condições
semelhantes
conduz
a
resultados
essencialmente idênticos.
Experimentos aleatórios
Experimentos que repetidos sob as mesmas condições
produzem resultados geralmente diferentes serão
chamados experimentos aleatórios.
Por exemplo:
01. Um dado de seis faces, numeradas de 1 até 6, ao ser
lançado ao ar, é certo que cairá, mas não é certo que,
digamos apareça voltada para cima à face que está
registrada com o número 3. Em n lançamentos, o número
de sucessos s (apareça a face 3), após feita uma
observação empírica, a freqüência relativa f=s/n, tende a
estabilizar-se quando n tende a um limite.
Espaço amostral (S).
É o conjunto de todos os elementos possíveis do
experimento.
Nesta etapa, podemos descrever os elementos e/ou
calcular o número de elementos.
Evento (A)
É um subconjunto do espaço amostral.
Eventos elementares
Denominamos de eventos elementares, quaisquer
elementos do espaço amostral, igualmente prováveis.
Casos favoráveis
É o conjunto do espaço amostral (S).
Casos possíveis
É um subconjunto do espaço amostral (A).
È o conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento.
Um elemento deste conjunto de resultados, é chamado
de ponto amostral.
DEFINIÇÃO
A probabilidade do evento A é um subconjunto de um
espaço amostral S.
s
A
P(A) =
n(A)
n(S)
n(A)=nº de elementos de A
n(S)=nº de elementos de S
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Resolução
I) Use S = conjunto dos elementos do espaço amostral,
casos possíveis, e n(s) o número de elementos deste
conjunto.
DECORRÊNCIA DA DEFINIÇÃO
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A) + P(A) = 1
P(φ) = 0
P(S) = 1
I)
II)
III)
IV)
φ= conj. vazio
UNIÃO DE EVENTOS
A
I)
II)
Use ~D = conjunto dos elementos das peças não
defeituosas, e n(~D) o número de elementos deste
conjunto. Neste caso, é o conjunto dos casos favoráveis.
B
A∩B
II) n(S) = 360 , n(D) = 40 e
Se A∩B≠0
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Se A∩B = 0
P(A∪B) = P(A) + P(B)
PROBABILIDADE CONDICIONADA
B
A
A probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo que já
ocorreu o evento B, é chamada de probabilidade de A
condicionada a B.
P(A ∩ B)
P(B)
INTERSECÇÃO DE EVENTOS
I)
Se A∩B = 0
P(A∩B) = P(A) . P(B)
C n, k . pk . (1-p)n-k
EXERCÍCOS RESOLVIDOS
01. Analisando um lote de 360 peças para computador, o
departamento de controle de qualidade de uma fábrica
constatou que 40 peças estavam com defeito. Retirandose uma das 360 peças, ao acaso, a probabilidade de esta
peça NÃO ser defeituosa é:
b) 2/9
c) 5/9
Atualizada 28/02/2007
d) 7/9
III) Para calcular a probabilidade de, retirada uma peça
que seja não defeituosa, proceda assim:
n(~ D) 320
........simplifique,
dividindo
P(~ D) =
=
n(S)
360
numerador e denominador por 40
P(~ D) =
n(~ D) 320 ÷ 40 8
=
=
n(S)
360 ÷ 40 9
02. Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela
Europa. Com as informações que dispõe, ele estima
corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje
em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar
hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas,
Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos,
então, recebe um telefonema de Ana informando que
ela está hoje em Paris. Com a informação recebida
pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima
corretamente que a probabilidade de Beatriz também
estar hoje em Paris é igual a
a) 1/7.
b) 1/3.
c) 2/3.
d) 5/7.
e) 4/7.
Resolução
LEI BINOMIAL DE PROBABILIDADE
Repetindo n vezes uma experiência em que um evento A
tem probabilidade de ocorrer igual a p, a probabilidade de
ocorrer apenas k vezes o evento A, é:
a) 1/9
n(~D) = 320
Resposta: 8/9
S
P(A/B) =
Use D = conjunto de elementos das peças defeituosas, e
n(D) o número de elementos deste conjunto.
PROBABILIDADE CONDICIONAL
A probabilidade de Beatriz (B) estar em Paris, uma vez
que Ana (A) está em Paris, a condicional é representado
por P(B/A).
P(B/A)=a probabilidade de B condicionado a A que está
satisfeito(está em Paris).
Dados:
P(Beatriz)=P(B)=2/7
P(Ana)=P(A)=3/7
P(A ∩ B) =1/7
a probabilidade de Ana e Beatriz
estarem em Paris.
Fórmula e cálculo:
1
P( A ∩ B) 7 1 7 1
P (B / A ) =
= =
=
3 73 3
P ( A)
7
RESPOSTA 1/3 LETRA B
e) 8/9
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
45
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TESTES
01.(UF-PR) Suponha que a chance de um filho nascer
do sexo masculino ou do sexo feminino seja
exatamente igual. Qual é a probabilidade de que
todos os filhos nasçam do mesmo sexo no caso de
um casal que esteja planejando ter quatro filhos?
a) 20%
b) 14,3%
c) 17,5%
d) 16,7%
e) 12,5%
02. Um cartão é retirado aleatoriamente de um
conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50.
Determine a probabilidade do cartão retirado ser de
um número primo.
03. O número da chapa do carro é par. A
probabilidade de o algarismo das unidades ser zero
é:
a) 5
b) 1/2
c) 4/9
d) 5/9
e) 1/5
04. Em uma certa comunidade existem dois jornais J
e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do
jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são
assinantes de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a
probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso
seja assinante de ambos os jornais?
05. Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas
bolas brancas. Calcule as probabilidades de:
a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola
retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola
branca (B).
b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola
retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola
branca.
06. Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são
cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as
caras. Determine a probabilidade de num lançamento
sair coroa.
07. (USP) Uma carta é retirada de um baralho comum,
de 52 cartas, e, sem saber qual é a carta, é misturada
com as cartas de um outro baralho idêntico ao
primeiro. Retirando, em seguida, uma carta do
segundo baralho, a probabilidade de se obter uma
dama é:
a) 3/51
b) 5/53 5
c) 5/676
d) 1/13
e) 5/689
46
Atualizada 28/02/2007
Matemática
08.(CESGRANRIO) Analisando um lote de 360 peças
para computador, o departamento de controle de
qualidade de uma fábrica constatou que 40 peças
estavam com defeito. Retirando-se uma das 360
peças, ao acaso, a probabilidade de esta peça NÃO
ser defeituosa é:
a) 1/9
b) 2/9
c) 5/9
d) 7/9
e) 8/9
09. Três estudantes A, B e C estão em uma
competição de natação. A e B têm as mesmas
“chances” de vencer e, cada um, tem duas vezes
mais “chances” de vencer do que C.
Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer.
10. Suponha que no lançamento de um dado, desejase saber qual a probabilidade de se obter um número
par ou um número menor do que 2.
11. Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco
bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas e
três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é
transferida da primeira caixa para a segunda, e que
uma bola é retirada da segunda caixa, podemos
afirmar que a probabilidade de que a bola retirada
seja da cor vermelha é:
a) 18/75
b) 19/45
c) 19/48
d) 18/45
e) 19/75
(CESPE) Em 2001, no relatório de pesquisa rodoviária
publicado
pela
Confederação
Nacional
de
Transportes, foi divulgada a tabela ao lado, que
mostra as condições de conservação de 45.294
quilômetros de estradas brasileiras. Com base
nesses dados, julgue os itens seguintes.
Estado geral
Extensão avaliada (km)
Ótimo
1.291
Bom
12.864
deficiente
30.009
Ruim
980
Péssimo
150
total
45.294
12. A probabilidade de um viajante que transita nessas
estradas passar por pelo menos 1 km de estrada em
condições ótimas e boas é maior que 30%.
13. Da extensão total de estradas avaliadas, menos de
3/5 estão em condições deficientes.
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GABARITO
14.(FGV-SP) Uma urna contém 11 bolas numeradas
de 1 a 11, todas iguais e indistinguíveis ao tato.
Retirando-se uma delas ao acaso, observa-se que a
mesma traz um número ímpar. A probabilidade de
este número ser maior ou igual a 5 é
a)
b)
c)
d)
PROBABILIDADE
01
E
02
3/10
03
E
04
6/43
05
a) 5/21
b) 10/49
06
5/6
07
D
08
E
09
3/5
10
2/3
11
C
12
Correta
13
Errada
14
D
15
5/34
16
B
17
B
18
D
4
11
7
11
1
3
2
3
15. (FEI-SP) – Uma urna contém 10 bolas pretas e 8
bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposição.
Qual é a probabilidade de as duas primeira serem
pretas e a terceira vermelha?
16.(MPU) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão
viajando pela Europa. Com as informações que
dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade
de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade
de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a
probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje
em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema
de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a
informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos
agora estima corretamente que a probabilidade de
Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:
a) 1/7
b) 1/3
c) 2/3
d) 5/7
e) 4/7
17.(FAE-PR) Num teste de seleção com 10 questões
do tipo “verdadeiro ou falso”, a probabilidade de um
candidato que responde a todas as questões ao
acaso acertar exatamente 6 questões é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
1
1024
105
512
1
32
3
16
1
105
1. MATRIZES
1.1. NOTAÇÃO DE MATRIZES
ÄMatriz M de ordem m x n, onde:
M=nome da matriz
m=número de linhas da matriz, m é um número natural
positivo (m∈N).
n=número de colunas da matriz, n é um número natural
positivo (n∈N).
ÄNa matriz M=(a i j) m x n, os elementos são
representados por ai j, onde:
a = representa qualquer elemento da matriz.
i indica a linha que o elemento se encontra na matriz,
com (i∈N).
j indica a coluna que o elemento se encontra na matriz,
com (j(N).
1.2. REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA
M=(aij)mxn
1.3. REPRESENTAÇÃO POR TABELA
⎡ a1 1
⎢
⎢ a2 1
⎢
M= ⎢ .
.
⎢
⎢ .
⎢ am 1
⎣
18.(NC.UFPR) Lança-se um dado. Se ocorrer um
número par, qual a probabilidade de que seja primo?
a) 2/3
b) 3/6
c) 3/2
d) 1/3
e) 1/6
a1 2
a2 2
...
.
...
.
...
.
...
am 2
...
⎤
⎥
⎥
. ⎥
⎥
.
⎥
. ⎥
am n ⎥
⎦
a1 n
a2 n
1.4. Matriz NULA [O m x n]
O = (x i j) m x n, é uma matriz nula, tal que, todo o elemento
x i j da matriz O é nulo.
1.5. Matriz IDENTIDADE ou matriz UNIDADE [I n x n]
BSó existe matriz identidade ou unidade de ordem
quadrada.
BRepresentação: I n x n ou simplesmente I n.
⎧⎪ xij
= 1, se i = j
⎪⎩xij
= 0, se i ≠ j
I n = ( xij) nxn ⎨
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...
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1.6. Matriz OPOSTA [(-1) x matriz]
ÄSe A = (a i j)m x n é uma matriz, então B = (b i j)m x n é a
matriz oposta de A se, e somente se:
B A = - B implica a i j = - b i j ou
B B = - A implica b i j = - a i j.
1.7. Matriz TRANSPOSTA
ÄSe A = (a i j ) m x n é uma matriz, então
At = (at j i ) n x m é a matriz transposta de A se, e somente
se: a i j = at j i.
Muita atenção: observe a troca de ordem da matriz
transposta, m x n para n x m, e a troca de
endereçamento i e j para j e i, dos elementos.
1.8. Matrizes IGUAIS
ÄA=(a i j) m x n e B=(b i j)
somente se, a i j = b i j.
mxn
são matrizes iguais se, e
Observe: A multiplicação entre duas matrizes Am x p e
Bq x n, será possível quando, observada a ordem dos
fatores matrizes A x B, estejam satisfeitos:
>O número de colunas p da primeira matriz A, for
igual ao número de linhas q da segunda matriz B.
>O resultado produto, será uma matriz C de ordem
igual ao número de linhas m da primeira matriz pelo
número de colunas n da segunda matriz.
1.12.1.PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO entre
matrizes
I) Existem matrizes A e B,tais que A x B ≠ B x A.
II) Pode-se ter A x B = 0 mesmo que A ≠ 0 e B ≠ 0.
III) Pode-se ter A x C = B x C mesmo com A ≠ B e
C ≠ 0.
IV) (A x B)t =B t x At, houve permuta das bases.
V) (k.A)t = k.At,com k ∈ reais.
VI) (At )t = A.
VII) (A +B) t = At +Bt.
TESTES RESOLVIDOS
1.9. ADIÇÃO de matrizes
Bse A = (a i j) m x n, B = (b i j) m x n e
C=(c i j) m x n, então C = A + B se, e somente se,
c i j = a i j+b i j.
Observe: A ordem das matrizes envolvidas na
operação deve ser a mesma, como também o
resultado produzido na operação terá a mesma
ordem.
1.10. SUBTRAÇÃO de matrizes
ÄSe A = (a i j) m x n, B = (b i j ) m x n e
C = (c i j) m x n, então A – B = C se, e somente se,
ai j – bi j = c i j.
Observe: A ordem das matrizes envolvidas na
operação deve ser a mesma, como também o
resultado produzido na operação terá a mesma
ordem.
1.11.MULTIPLICAÇÃO de um número real por uma
matriz
ÄSe A = (a i j ) m x n, B = (b i j ) m x n e k é um número real
qualquer, então B = kA se, e somente se, b i j = k.a j j.
BTodos os elementos da matriz A serão
multiplicados pelo número real k.
1.11.1.PROPRIEDADES
A multiplicação de um ou mais números reis por uma
matriz, goza das propriedades:
Seja a e b números reais quaisquer e A e B
matrizes de mesma ordem m x n.
I) a.(b .A) = (ab).A
II) a (A +B) = aA + aB
III) (a+b).A = a. A+ b.A
IV) 1.A = A.
1.12.MULTIPLICAÇÃO entre matrizes
ÄSe A=(ai j) m x p, B=(bi j) q x n e C=(c i j) m x n, então A x B
= C se, e somente se,
p = q e c i j=ai1.b1j+ai2.b2j+...+ai p.b q j.
48
Atualizada 28/02/2007
⎡1 4⎤
A = ⎢⎢ 2 6 ⎥⎥
⎣⎢3 3 ⎥⎦
01.(FCC-MPU). Sejam as matrizes
e
1
3
4
5
⎡
⎤
B=⎢
⎥
1
2
3
4
⎣
⎦ e seja xij o elemento genérico de
uma matriz X tal que X =(A.B)t , isto é, a matriz X é a
matriz transposta do produto entre as matrizes A e B.
Assim, a razão entre
x31 e x12 é igual a
a) 2.
b) 1/2.
c) 3.
d) 1/3.
e) 1.
ddiz
RESOLUÇÃO
I) Determinando o produto de A por B, obtemos:
⎡1 4⎤
⎡5 11 16 21⎤
⎢ 2 6 ⎥ ⎡1 3 4 5 ⎤ = ⎢8 18 26 34 ⎥
⎢
⎥ ⎢1 2 3 4 ⎥ ⎢
⎥
⎦ ⎢9 15 21 27 ⎥
⎢⎣3 3 ⎥⎦ ⎣
⎣
⎦
Logo a matriz produto é igual a:
⎡5 11 16 21⎤
( AB ) = ⎢⎢8 18 26 34 ⎥⎥
⎢⎣9 15 21 27 ⎥⎦
II) Conforme enunciado, a matriz X é a matriz transposta
da matriz produto (AB):
(Troca-se linha por coluna, ordenadamente)
⎡5 8 9⎤
⎢11 18 15 ⎥
⎥
X = ( AB )t = ⎢
⎢16 26 21⎥
⎢
⎥
⎣ 21 34 27 ⎦
III) Igualando-se a matriz X com a matriz produto (AB)t,
conforme segue:
⎡ x11
⎢x
X = ⎢ 21
⎢ x31
⎢
⎣ x 41
x12
x22
x32
x42
x13 ⎤ ⎡ 5 8 9 ⎤
x23 ⎥⎥ ⎢11 18 15 ⎥
⎥
=⎢
x33 ⎥ ⎢16 26 21⎥
⎥ ⎢
⎥
x 43 ⎦ ⎣ 21 34 27 ⎦
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RESPOSTA 2 LETRA D
temos que x31=16 e x12=8
IV) Foi solicitada a razão,
razão =
03.(UFPR). A tabela a seguir é uma matriz que
representa as temperaturas, registradas de hora em
hora, em três dias de uma determinada semana, no
período das 8h00min às 11h00min.
x31 16
=
=2
8
x12
RESPOSTA 2 LETRA A
02.(FCC-MPU). A matriz S = sij, de terceira ordem, é a
matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e
B=(bij). Sabendo-se que (aij )= i2 +j2 e que bij = ij, então
a razão entre os elementos s22 e s12 determinante da
matriz S é igual a
a) 1.
b) 3.
c) 4.
d) 2.
e) 6.
RESOLUÇÃO
Segunda-feira
Terçafeira
Quartafeira
a) a
b13 ⎤ ⎡ s11 s12
b23 ⎥⎥ = ⎢⎢s21 s22
b33 ⎥⎦ ⎢⎣s31 s32
s13 ⎤
s23 ⎥⎥
s33 ⎥⎦
A adição de matrizes é a adição dos elementos
correspondentes no mesmo endereçamento, linha e
coluna.
Precisamos de s12:
s12
sij
sij
s12
s12
s12
s12
a22
aij
I2+j2
22+22
4+4
8
12
18°C
19°C
22°C
23°C
17°C
20°C
22°C
26°C
13°C
14°C
17°C
18°C
23
dessa
matriz,
representa a temperatura de
c) a soma a24+ a32 resulta 40º C.
d) a matriz acima é do tipo 4x4.
e) existe um determinante associado a esta
matriz.
RESOLUÇÃO
A+B=S
=
=
=
=
=
=
=
11 h
b) o elemento a11 é igual ao elemento a33
III) Precisamos somente de s22 e s12. Fazendo a
montagem da adição com seu resultado, não será
necessário calcular todos os elementos de A e de B, veja:
Precisamos de s22:
s22
sij
sij
s22
s22
s22
s22
10 h
segunda-feira às 9h00min.
II) S=A+B, só será possível a adição de duas matrizes, se
forem de mesma ordem, por conseqüência resulta numa
matriz de mesma ordem.
Como a matriz resultante da adição S é de terceira ordem
(ver enunciado), então, a matriz A é de terceira ordem e a
matriz B também é de mesma ordem.
a13 ⎤ ⎡ b11 b12
a23 ⎥⎥ + ⎢⎢b21 b22
a33 ⎥⎦ ⎢⎣ b31 b32
9h
Sendo aij um elemento qualquer
posicionado na linha “i“ e coluna
“j“, é correto afirmar que:
I) A matriz S é de terceira ordem, logo, 3 linhas por 3
colunas, S33.
⎡ a11 a12
⎢a
⎢ 21 a22
⎢⎣a31 a32
8h
+
+
+
+
+
+
b22
bij
ij
22
4
4
I) Construímos uma matriz genérica de mesma ordem da
apresentada, para identificar os elementos e suas
posições na tabela.
⎡ a11
⎢a 21
⎢a
⎣ 31
=
a 12
a 22
a 13
a 23
a 14 ⎤
a 24 ⎥
⎥
a 32 a 33 a 34 ⎦
⎡18 19 22 23 ⎤
⎢17 20 22 26 ⎥
⎢⎣13 14 17 18 ⎥⎦
=
II) Julgamos todas as alternativas.
a) a
23
= 22, representa a temperatura de
terça-feira às 10h00min.
=
=
=
=
=
=
=
a12
aij
I2+j2
12+22
1+4
5
+
+
+
+
+
+
6
b12
bij
ij
12
1
1
IV) Foi solicitada a razão entre s22 e s12:
s
12
razão = 22 =
=2
6
s 12
Atualizada 28/02/2007
b) o elemento a11 = 18 e o elemento a33 =
17, são diferentes
c) a soma a24+ a32 = 26° + 14° = 40º.
CORRETA
d) a matriz acima é do tipo 3x4.
e) Não existe determinante associado a
matriz de ordem retangular
Alternativa C
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TESTES
10.
01. Seja X = (xij) uma matriz quadrada de ordem 2,
onde i + j para i = j ;1 - j para i > j e 1 se i < j . A soma
dos seus elementos é igual a:
a) - 1
b) 1
c) 6
d) 7
e) 8
02. Se M = ( aij)3x2 é uma matriz tal que i j+1 , para i = j e
j para i j. Então, M é:
03. A matriz A = (aij)3x3 é definida de tal modo que (1)i+j para i j e 0 se i = j. Então, A é igual a:
B=
4, onde 1
i,j
{
⎡1
⎢⎣0
-1 2 ⎤
e
4 ⎥⎦
3
, então, 3 A - 4B é igual a:
3 ⎥⎦
12.
Sendo
⎡ -1 ⎤
e C = ⎢10 ⎥ , e então
⎢ -1 ⎥
⎣ ⎦
⎛
as
2
5⎞
matrizes A = ⎜
⎟
⎝ 12 -1⎠
e
⎛ x - y x + y ⎞ , calcule x e y de modo que A = B t .
⎜ 2y - 5 -1 ⎟
⎝
⎠
Determinar
x,
y
e
z
sabendo
que:
⎛ x - 2 4 ⎞ + ⎛ 1 2z - 3 ⎞ = ⎛ 3 z ⎞ .
⎜ y + 1 3 ⎟ ⎜ -3
⎟ ⎜
⎟
1 ⎠ ⎝2 4⎠
⎝
⎠ ⎝
⎛1
⎝3
14. Sejam as matrizes A = ⎜
⎛ -2 5 ⎞
e B = ⎜ 4 -3 ⎟ , o
⎟
4⎠
⎜2 1⎟
⎝
⎠
2 -1⎞
1
produto determine AxB.
3, então a matriz
15. Sejam as matrizes
07.Seja A = {aij} uma matriz 3 x 3 dada por
ai j =
-3 ⎤
A=
a matriz X, tal que A + B - C - X = 0 é:
13.
4 e bij = 0 se i + j
A + B é:
0
-2
matrizes:
⎡5 ⎤
⎡− 5 ⎤
⎥ B = ⎢-8⎥
⎢3⎥
⎣ ⎦
⎣⎢ − 3 ⎦⎥
04. Determine a matriz transposta da matriz A = ( aij),
do tipo 3x2, onde aij = 2i - 3j.
06. Se as matrizes A = ( aij ) e B = ( bij ) estão assim
definidas: aij = 1 se i = j, aij = 0 se i j, bij = 1 se i + j =
⎡4
⎢⎣-1
as
11. Se ( PUCSP) A = ⎢ 8
B=
05. Considere a matriz A = (aij) 3x4, na qual i - j se i j
e i . j se i > j . O elemento que pertence à 3ª linha e à 2ª
coluna da matriz At , transposta de A, é:
a) 4
b) 2
c) 1
d) - 1
e) - 2
Dadas
A=
⎛1
⎜0
⎝
1⎞
⎟ e
1⎠
B=
⎛0
⎜1
⎝
0⎞
calcule as matriz produto AB:
i + j se, i = j
se, i ≠ j
1
16. ( FGV - SP ) Dadas as matrizes A =
A matriz pode ser escrita como:
B=
08. ( FGV - SP ) Dadas as matrizes
⎡x y ⎤
A=⎢
⎥
⎣z w ⎦
,
⎡x
B=
⎣⎢-1
⎤e
2w ⎦⎥
6
⎡ 4
C=
⎣⎢z + w
x + y⎤
3
e sendo
⎦⎥
3A = B + C, então:
a) x + y + z + w = 11
b) x + y + z + w = 10
c) x + y - z - w = 0
d) x + y - y - w = -1
e) x + y + z + w > 11
⎡1
3⎤
⎢3
⎣
0⎦
⎡ 0 1 2 ⎤ , se
09. Dadas as matrizes A = ⎢2 4 ⎥ e B =
⎥
⎢⎣-1
2 0 ⎥⎦
⎡n⎤ e
⎢⎣ 1⎥⎦
C=
⎡2
⎣⎢ 1
Atualizada 28/02/2007
m⎤
4 ⎦⎥
,
⎡4 ⎤ , sabendo-se que AB = C, podemos
⎢⎣0 ⎥⎦
concluir que:
a) m + n = 10
b) m - n = 8
c) m . n = -48
d) m/n = 3
e) mn = 144
17. ( FGV - SP ) A matriz A é do tipo 5x7 e a matriz B,
do tipo 7x5. Assinale a alternativa correta.
a) A matriz AB tem 49 elementos
b) A matriz BA tem 25 elementos
c) A matriz (AB)2 tem 625 elementos
d) A matriz (BA)2 tem 49 elementos
e) A matriz (AB) admite inversa
At é a matriz transposta de A, então ( At - B ) é:
50
⎟ ,
1⎠
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18. ( FGV - SP ) Considere as matrizes A =
⎡2
⎢⎣ 1
3
-1
1⎤
e
7 ⎥⎦
⎡1 3⎤
B = ⎢0 4 ⎥ . A soma dos elementos da primeira linha
⎢2 2 ⎥
⎣
⎦
de AxB é:
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
19. A somas dos valores de x e y que satisfazem à
equação matricial
⎡ 1 3 ⎤ . ⎡x 2 ⎤ = ⎡2 5 ⎤ é:
⎣⎢2 5 ⎦⎥ ⎢⎣ y 1⎦⎥ ⎢⎣3 9 ⎦⎥
a) 1
b) 0
c) 2
d) -1
e) -2
20.(UEL-PR) Sendo A uma matriz m × n e B uma matriz
p × q, é correto afirmar que
a) (A t ) t = A e (B t ) t = B
b) Sempre é possível efetuar (A + B)
c) Se n = p, então A . B = B . A
d) Sempre é possível efetuar o produto A . B
e) Se n = p, então A . B t = B t . A
21. ( CEFET - PR ) Se A, B e C são matrizes do tipo
2x3, 3x1 e 1x4, respectivamente, então o produto A .
B.C
a) É matriz do tipo 4x2
b) É matriz do tipo 2x4
c) É matriz do tipo 3x4
d) É matriz do tipo 4x3
e) Não é definido.
22. (CEFET-PR) Chama-se "traço" de uma matriz
quadrada a soma dos elementos da
diagonal
principal. Se as matrizes A = (aij)3x2 e B = (bij)2x3,
e aij = i – j e bij = j – i, o traço da matriz A . B será
igual a:
a) 0
b) 1
c) 3
d) 5
e) 7
24.(FCC-MPU). A matriz S = sij, de terceira ordem, é a
matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e
j
B=(bij). Sabendo-se que (aij )= i2 +j2 e que bij = i ,
então a razão entre os elementos s22 e s12
determinante da matriz S é igual a
a) 1.
b) 3.
c) 4.
d) 2.
e) 6.
25.(UFPR). A tabela a seguir é uma matriz que
representa as temperaturas, registradas de hora em
hora, em três dias de uma determinada semana, no
período das 8h00min às 11h00min.
Segunda-feira
Terçafeira
Quartafeira
8h
9h
10 h
11 h
18°C
19°C
22°C
23°C
17°C
20°C
22°C
26°C
13°C
14°C
17°C
18°C
Sendo aij um elemento qualquer
posicionado na linha “i“ e coluna
“j“, é correto afirmar que:
a) a
23
dessa
matriz,
representa a temperatura de
segunda-feira às 9h00min.
b) o elemento a11 é igual ao elemento
a33
c) a soma a24+ a32 resulta 40º C.
d) a matriz acima é do tipo 4x4.
e) existe um determinante associado a
esta matriz.
⎡1 4⎤
A = ⎢⎢ 2 6 ⎥⎥
⎢⎣3 3 ⎥⎦
23.(FCC-MPU). Sejam as matrizes
e
⎡1 3 4 5 ⎤
B=⎢
⎥
⎣1 2 3 4 ⎦ e seja xij o elemento genérico de
uma matriz X tal que X =(A.B)t , isto é, a matriz X é a
matriz transposta do produto entre as matrizes A e B.
Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a
a) 2.
b) 1/2.
c) 3.
d) 1/3.
e) 1.
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1.3. DETERMINANTE de ordem 1x1 ou simplesmente
de ordem 1.
GABARITO
01
MATRIZES
E
02
⎡0
⎢− 1
⎣1
03
1
−1
0
−1
D
D
⎡1
⎢0
⎣1
⎡2
⎢1
⎣1
06
07
08
det.(M) = a11.a22 +(-1)a12.a21.
⎤
0⎥
1⎦
1⎤
1⎥
6⎦
0 1
2
0
1
4
1
[
[ ]
Ba11 e a22, são elementos pertencentes a diagonal
principal e a12 e a21, são elementos pertencentes a
diagonal secundária.
BObserve que o produto resultante dos elementos da
diagonal secundária é multiplicado por (-1).
1 1 1
1.5. DETERMINANTE de ordem 3 ou 3x3.
4 2 0
⎡a 11 a 12 a 13 ⎤
⎢
⎥
BSeja M= ⎢a 21 a 22 a 23 ⎥ , então o determinante
⎢⎣a 31 a 32 a 33 ⎥⎦
- 13 - 3 18
10
4
17
0
]
⎡1⎤
⎢- 10 ⎥
⎣ − 1⎦
11
x=7 e y=5
x=4, y=-4 e z=1
15
[ ]
[]
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
C
D
E
B
A
B
E
A
D
C
4 -2
14
6
11
1 1
1.1. CONCEITO
BDeterminante é um número associado a uma matriz,
matriz de ordem quadrada, obtido operando-se seus
elementos através de regras ou teoremas.
1.2. NOTAÇÃO
BNotação de DETERMINANTE
Seja A uma matriz quadrada, seu determinante será
representado, por:
A
ou
pela REGRA DE SARRUS , é calculado seguindo os
passos:
a
primeira
e
segunda
coluna
P1BRepita
imediatamente à direita das colunas existentes,
assim:
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
1 1
1. DETERMINANTES
det(A) ou DA ou
⎡ a 11 a 12 ⎤
⎥ , então o determinante de M,
⎢a 21 a 22 ⎥
⎣
⎦
BSeja M= ⎢
B
09
13
1.4. DETERMINANTE de ordem 2x2 ou simplesmente
de ordem 2.
⎤
⎥
0 ⎦
−1
04
05
12
BSe M=(ai j) 1 x 1, então det.(M)=a i j.
⎡1 2 ⎤
⎢1 8 ⎥
⎣1 2 ⎦
∆
(delta)
P2BMultiplique as três diagonais principais( d p)
assim
1ª d p) a11.a22.a33
2ª d p) a12.a23.a31
3ª d p) a13.a21.a32,
e depois.
multiplique às três diagonais secundárias (d s),
trocando o sinal, assim:
1ª d s) a13.a22.a31.(-1)
2ª d s) a11.a23.a32 (-1)
3ª d s) a12.a21.a33.(-1)
P3B Finalmente, adicione os seis produtos, três das
diagonais principais (d p) com os três das diagonais
secundárias (d s), obtendo o determinante procurado.
1.6. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
1.6.1. Teorema de BINET
BSe A=(a i j)
então:
n x n
e B=(b i j)
n x n,
n natural positivo,
det.(A . B) = det.(A) . det.(B)
52
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OBSERVE SEMPRE: As ordens das matrizes envolvidas
na propriedade devem ser rigorosamente iguais.
1.6.2. Determinante quando um NÚMERO REAL que
MULTIPLICA uma matriz
BQuando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz
quadrada for multiplicada ou dividida ou um número
diferente de zero, o determinante, também sofrerá as
mesmas operações.
BSe A=(ai j) n x n e k um número real, então:
2.MATRIZ INVERSA
det(k.A n x n) = kn.det(A n x n)
Cálculo da
determinante.
1.6.3.determinante da TRANSPOSTA
BRegra prática válida somente para matriz de ordem
2.
BSeja A=(a i j)
então:
det(A) = det(At)
n x n
e At a matriz transposta de A,
Seja A=
matriz
BSe acima, abaixo ou em ambos os lados da diagonal
principal, todos os elementos forem nulos, o
determinante é calculado multiplicando-se os
elementos da diagonal principal.
uso
de
⎡a b ⎤ , com det.(A) ≠ 0, então a matriz inversa
⎢⎣c d⎥⎦
⎡ d
⎢ det(A)
A-1 = ⎢
⎢ -c
⎣⎢ det(A)
BSe pelo menos uma fila (linha ou coluna) de uma
matriz quadrada for nula, o determinante é igual a
ZERO.
1.6.6. Determinante da matriz com FILAS PARALELAS
IGUAIS
⎤
det(A) ⎥
⎥.
a ⎥
det(A) ⎦⎥
-b
2.1. PROPRIEDADE importante da matriz INVERSA
det(A-1)=
1.6.5.Determinante da matriz com FILA NULA
1
det(A)
BIMPORTANTE: Condição de existência da matriz
inversa, det(A) ≠ 0.
BSe det(A) ≠ 0 então, A é inversível, invertível, ou
admite inversa.
BSe em uma matriz quadrada, duas ou mais filas
(linhas ou colunas) paralelas forem iguais,o
determinante é igual a ZERO.
da
matriz
com
FILAS
BSe ao multiplicarmos ou dividirmos uma fila (linha
ou coluna) por um número diferente de zero,
obtermos elementos iguais a uma fila paralela a fila
operada, podemos afirmar que essas filas são
proporcionais. Neste caso o determinante é igual a
ZERO.
1.6.8. Determinante da matriz com FILA
COMBINAÇÃO LINAR de outras paralelas.
que é
BSe uma fila (linha ou coluna), for o correspondente
resultado em fila, da adição, subtração ou ambas as
operações, de filas paralelas,então dizemos que há
COMBINAÇÃO LINEAR. Neste caso o determinante é
igual a ZERO.
1.6.9. Determinante quando há TROCA de FILAS
PARALELAS
BUm determinante muda de sinal,quando são
trocadas as posições de duas filas, linhas ou colunas
entre si.
1.6.10. Determinante quando há MULTIPLICAÇÀO ou
DIVISÃO em uma FILA
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com
de A, representada por A-1, será obtida assim:
1.6.4.Determinante de matriz TRIANGULAR “principal”
1.6.7.
Determinante
PROPORCIONAIS.
INVERSA,
TESTES
⎛1
0⎞
⎛ -2
01.Seja A = ⎜
⎟ e B=⎜3
⎝ 0 1⎠
⎝
-1⎞
⎟ , Calcule:
2⎠
a) det A
b) detB
c) det(A.B)
d) det (B.A)
⎛7
2⎞
02. Dadas as matrizes A = ⎜
⎟
⎝1 4⎠
e
B=
⎛3
⎜2
⎝
5⎞
⎟,
6⎠
Calcule:
a) detA
b) detB
c) det(A.B)
d) det (B.A)
03. Se A = ( a i j ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que
a i j = i - j então podemos afirmar que o seu
determinante é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) -4
1 2 0
04. Calcule o valor do determinante: 0 3 2 =?
1 4 5
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05. Calcule os determinantes:
14. (FEM-PR). Se
3 -2 2
4 5 0 =?
1 6 -1
⎛4
-2 ⎞
06. Seja A = ⎜
⎟ , calcule o determinante dessa
⎝6 7 ⎠
matriz.
07.Seja B =
⎡5
⎢⎣4
3⎤
, calcule o determinante dessa
2 ⎥⎦
⎡1
⎢
B = ⎢0
⎢⎣ 4
− 2⎤
⎥
− 1⎥
5⎥⎦
,
⎡2
A= ⎢
⎣3
−1
4
diferença entre AB e ( AB )t,
a) -55
b) 25
c) -80
d) -30
e) 4
2
3 -1
2 -1 1
2 3 0
b) 1 0 0
c) 0 1 2
-3 2
1
0
1 0
1 3 2
x
1 -1
09.O conjunto verdade da equação -1 0 x = 0 , no
0
1 0
universo dos reais.
2 4
2
será:
3x2
, onde bij =
⎧⎪1, se i > j
⎨
⎪⎩− 1, se i ≤ j
e
C = A . B e as proposições:
I) ) det (C) = 8, onde det (C) é o determinante da matriz
C
⎛2 0⎞
⎜
⎟ , onde Ct é a matriz transposta de C
2
4
⎝
⎠
⎛− 2 1 ⎞
III) 4. C-1 = ⎜
⎟ , onde C-1 é a matriz inversa de C
0
−
1
⎝
⎠
II) Ct =
É correto afirmar que:
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas I e III são verdadeiras.
c) Apenas I e II são verdadeiras.
d) Apenas II e III são verdadeiras.
e) Apenas II é verdadeira.
16.(UFF-RJ). Considere a matriz A = (a i j)3 x 3
a i j = 2i – j.Calcule o determinante de A
10.Calcular: 2 4 4 .
da
15. (FAE-PR). Sejam as matrizes A = ( aij ) 2x3 , onde
aij = 2i – j, B = ( bij )
a) 4 1 2
e
o valor do determinante
matriz.
08. Calcular os determinantes das matrizes pela regra
de Sarrus:
0⎤
− 2 ⎥⎦
tal que
2 4 -2
17.(UFPR) Considere as seguintes afirmações a
0 -3
2
11.Calcular: 0 3
1
0
5
⎡a b⎤
⎥:
⎣c d⎦
respeito da matriz A = ⎢
-6
12.Resolva a equação
13. (CEFET-PR). Se
2x 3
= 0 ,no reais.
x -x
⎡ 2 – 3⎤
⎥
⎣– 5 7 ⎦
A = ⎢
e M = At +
A–1, então o determinante da matriz M é igual a:
a) – 89.
b) – 39.
c) 0.
d) – 1.
e) 39.
54
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• I. Se a = d e b = c então o determinante de A é positivo.
• II. Se det (A) = 5, então o determinante da matriz B =
2A é igual a 10.
• III. O determinante de A é igual ao determinante de sua
transposta At.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) Somente a afirmativa II é verdadeira.
c) Somente a afirmativa III é verdadeira.
d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
18.(AFA). Sejam A uma matriz quadrada de ordem 3,
det A = d, det( 2A ⋅ At ) = 4k, onde At é a matriz
transposta de A, e d é a ordem da matriz quadrada B.
Se det B = 2 e det 3B = 162, então o valor de k + d é
a) 4
b) 8
c) 32.
d) 36
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19. Obter a matriz inversa de A =
⎡1
⎢⎣1
2⎤
.
3⎥
⎦
SISTEMAS LINEARES
1. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR DE ORDEM
2X2
20. Considere P a matriz inversa da matriz M, onde:
M=
⎡1/3
⎢⎣1/7
0⎤
1⎥⎦
. A soma dos elementos da diagonal
principal ma matriz P é:
a) 9/4
b) 4/9
c) 5/9
d) 4
e) –1/9
⎧ a1 ⋅ x + b1 ⋅ y = c1
⎩a 2 ⋅ x + b 2 ⋅ y = c 2
Seja o sistema: ⎨
e o quadro:
21. O produto da inversa da matriz A =
⎡1
matriz I =
⎢⎣0
0⎤
1⎥⎦
Para discutir um sistema linear de duas equações m por
duas incógnitas n (2x2), basta seguir a orientação que
segue.
⎡1
⎢⎣1
1⎤
2 ⎥⎦
SPD – SISTEMA POSSÍVEL E
DETERMINADO
pela
a1
1)
é igual a:
a2
≠
b1
SPD – única
solução
⇒
b2
SPI – SISTEMA POSSÍVEL E
INDETERMINADO
22.(FGV-SP) A é uma matriz quadrada de ordem 2 e
det(A) = 7 . Nessas condições, det(3A) e det(A
valem: respectivamente:
a) 7 e –7
b) 21 e 1/7
c) 21 e –7
d) 63 e –7
e) 63 e 1/7
GABARITO
DETERMINATES
01 a) 1
b) -1
c) -1
d) -1
02 a) 26
b) 8
c) 208
d) 208
03 A
04 11
05 15
06 16
07 - 2
08 a) -47
b) 1
c) -2
09 1 e -1
10 0
11 0
12 0 e -3/2
13 A
14 E
15 13
16 4
17 C
18 D
19
A
20
D
21
A
22
E
Atualizada 28/02/2007
−1
−1
=
=
[ ]
[ ]
3
−2
−1
1
2
−1
−1
1
−1
)
2)
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
⇒
SPI – infinitas
soluções
SI – SISTEMA IMPOSSÍVEL
3)
a1
b
c
= 1 ≠ 1
a2
b2
c2
⇒
2. DISCUSSÃO E RESOLUÇÃO
LINEARES DE QUALQUER ORDEM
SI – não tem
solução
DE
SISTEMAS
Dado um sistema linear S:
⎧ a 11x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n x n = b 1
⎪⎪ a 21x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2n x n = b 2
⎨ ..........................................................................
⎪
⎪⎩a m1x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + ... + a mn x n = b m
Escalonar um sistema é o procedimento que objetiva
eliminar o maior número de incógnitas de um sistema de
equações lineares através de operações elementares,
como:
• I) Trocar de lugar entre si duas ou mais equações.
• II) Multiplicar uma equação por um número real não
nulo.
• III) Somar a uma equação uma outra equação do
sistema previamente multiplicada por um número real
diferente de zero.
Produzindo um novo sistema equivalente ao original, ou
seja, que admita a mesma resposta.
Sistemas equivalente possuem
Conjuntos soluções IGUAIS
Resultados possíveis após escalonar um sistema:
• I) Quando uma ou mais equações do sistema
escalonado, for do tipo:
0 ⋅ x 1 + 0 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x 3 + .... + 0 ⋅ x n = 0
será(ão) eliminada(s) do sistema.
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• II) Quando pelo menos uma das equações do sistema for
do tipo:
01. (EXPCEX) A soma dos valores de x, y e z que
0 ⋅ x 1 + 0 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x 3 + .... + 0 ⋅ x n = b
com (b ≠ 0 )
o sistema será impossível, não terá solução.
• III) Para o bom entendimento, apresento os exemplos que
seguem, mostrando sistemas lineares já escalonados, para o
parecer final.
1)
SISTEMA
POSSÍVEL
E
DETERMINADO - SPD
POSSÍVEL
E
INDETERMINADO - SPI
⎧x + y + z = 0
⎨
⎩ 3y − 6z = 0
variável livre.
SISTEMA IMPOSSÍVEL - SI
9
0
,
situação de impossibilidade.
Solução: não tem solução
A partir dos exemplos anteriores, podemos discutir um
sistema impondo as condições observadas.
3. SISTEMA HOMOGÊNEO
Seja o sistema:
⎧ a 11x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n x n = b 1
⎪⎪ a 21x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2n x n = b 2
⎨ .........................................................................
⎪
⎪⎩a m1x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + ... + a mn x n = b m
será classificado como homogêneo, quando todos os termos
independentes b1, b2, b3, ..., bm, forem nulos.
Um sistema homogêneo é sempre possível.
56
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⎪
, então a + b + c é igual a
⎨2y + z = 3
⎪3x + 2y + z = 7
⎩
⎧ x−y+z =8
⎪
⎨ 2x + y + z = 5
⎪x + 2y − z = −8
⎩
⎧ 9x − 2y + 3z − t = 1
⎪⎪ 4y − 2z + 4t = 6
⎨
5z + 2t = 3
⎪
0 ⋅ t =9
⎩⎪
⎧ a 11x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n x n = 0
⎪⎪ a 21x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2n x n = 0
⎨ ........................................................................
⎪
⎩⎪a m1x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + ... + a mn x n = 0
Se (a, b, c) é solução do sistema
a)
2
b) – 2
c)
0
d)
1
04. (EXPCEX) A soma das soluções do sistema
Solução: z = k, y = 2k e x = - 3k
Da última equação teremos t =
a) 5
b) 6
c) 7
d) 9
e) 10
03.(FGV-SP)
⎧2x + y = 5
Fazemos z = k e chamamos de
3)
a) 1
b) 3
c) 2
d) 5
e) 4
⎧ x+y+z =1
⎪
sistema ⎨ x − y + 2z = 3 , o valor de x2 + y2 + z2 é:
⎪2x + 3y − z = 1
⎩
Solução: z = 2, y = 1 e x = -2
SISTEMA
⎧ 2x + y − z = 5
⎪
tornam o sistema ⎨3x − 2y + z = −2 verdadeiro é:
⎪
x+z=0
⎩
02. (EXPCEX) Sabendo que (x, y, z) é solução do
⎧ 3x − 2y + z = − 6
⎪
4y − 2z = 0
⎨
⎪
5z = 10
⎩
2)
TESTES
é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
05. (UFSM-RS) Duas vacas e um touro foram
trocados por oito porcos. Em outra ocasião, uma
vaca foi trocada por um touro e um porco. De acordo
com a regra desses dois “negócios”, uma vaca deve
ser trocada por ___ porcos; um touro, por ___
porcos.
Assinale a alternativa que preenche corretamente os
espaços.
a) 3; 2
b) 2; 5
c) 2; 3
d) 3; 4
06. (CEFET-PR) Para a festa do Natal, uma creche
necessitava de 120 brinquedos.
Recebeu uma
doação de R$ 370,00. Esperava-se comprar carrinhos
a R$ 2,00 cada, bonecas a R$ 3,00 e bolas a R$ 3,50.
Se o número de bolas deveria ser igual ao número de
bonecas e carrinhos juntos, a solução seria comprar:
a) 60 bonecas, 30 carrinhos e 30 bolas.
b) 20 bonecas, 40 carrinhos e 60 bolas.
c) 30 bonecas, 30 carrinhos e 60 bolas.
d) 25 bonecas, 45 carrinhos e 70 bolas.
e) 40 bonecas, 20 carrinhos e 60 bolas.
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07.(OBM) Rafael tem 2/3 da idade de Roberto e é 2
anos mais jovem que Reinaldo. A idade de Roberto
representa 4/3 da idade de Reinaldo. Em anos, a
soma das idades dos três é:
a) 48
b) 72
c) 58
d) 60
e) 34
08. (FCC) Dado o sistema de equações, os valores
das incógnitas x, y e z são, respectivamente:
⎧x + y − y = − 4
⎪
⎨2x + y + 2z = 6
⎪⎩ 3x − y + z = 8
⎧2x + y = 5
⎪
, então a + b + c é igual a
⎨2y + z = 3
⎪3 x + 2y + z = 7
⎩
c) 0
d) 1
10. (UFSM-RS)
Considere o seguinte sistema de
equações lineares:
⎧ x + y + z =1
⎪
⎨2x + 2y + 2z = m
⎪ 3x + 3y + 3z = 4
⎩
Então, pode-se afirmar que o sistema é
a) possível e indeterminado.
b) impossível para qualquer valor de m.
c) possível e determinado.
d) possível para m ≠ 2.
e) impossível apenas quando m ≠ 2.
11. Determine x e y, sabendo que as matrizes
⎛ 2x + 5y ⎞
⎜ x-y ⎟
⎝
⎠=
⎛9⎞
⎜ -1⎟
⎝ ⎠ são iguais.
13.(UF-MT) Para quaisquer valores reais de a, o
sistema
⎧(a − 1)x + (a − 1)y = a
⎨
⎩ ax + ay = = a + 1
é
indeterminado para
a) a ≠ 6 e b = 5
b) a = 6 e b = 5
c) a = 6 e b ≠ 5
d) a ≠ 6 e b ≠ 5
trivial, é:
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
17. (EXPCEX) Dado o sistema linear
⎧a 2 x + y = 1
,
⎨
⎩ x+y=a
onde a é uma constante real, pode-se afirmar que:
a)o sistema é possível e determinado para a = -1
b)existe um único valor de a que torna o sistema possível
e indeterminado
c)o sistema é possível e determinado somente se a ≠ -1
d)o sistema é possível e determinado
e)o sistema é impossível
18.
∀a ∈ ℜ
(EXPCEX) O sistema
∀a ∈ R
⎧ 3x + ky + z = 0
⎪
⎨5x + 4y + 5z = 0 admite
⎪ x + y + kz = 0
⎩
k=
7
6
k=
7
ou k = 2
5
a)
b)
c)k = 7 ou k = -2
k=
1
2
ou k =
2
3
d)
e)k = 0
19. (EXPCEX) Os valores de K para que o sistema
a) possível e determinado
b) possível e indeterminado
c) impossível
d) homogêneo
e) nada pode ser afirmado
⎧Kx + 2y + 2z = 5
⎪
linear ⎨ 2x + Ky + z = 3 seja possível e tenha uma
⎪ 2x + 3y + z = 8
⎩
⎧ x + 2y = 1
tem
14. (FMU - SP) O sistema linear ⎨
⎩ax + by = 5
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⎧x + y + az = 1
⎪
⎨x + 2y + z = 2
⎪2x + 5y − 3z = b
⎩
mais de uma solução se, e somente se:
⎛ x + y a + b ⎞ ⎛ 5 -1⎞
⎜ x - y a - b ⎟ ⎜1 3⎟
⎠ =⎝
⎠ , determine x, y, a e b.
12. Se ⎝
solução única para:
a) todo a ≠ 0 e b ≠ 0
b) b ≠ 2 a
c) b ≠ a
d) toda a IR e b IR
e) todo a > 0 e b > 0
sistema
⎧ − x − 2y + 3z = 0
⎪
⎨ 2x + y − 4z = 0 admita soluções além da solução
⎪4x + my − 10z = 0
⎩
09. (SPTRANS ) Se (a, b, c) é solução do sistema
b) - 2
O
16. (EXPCEX) O valor de m, para que o sistema
a) 3, -2 e 1
b) 1, -2 e 3
c) 1, -2 e -3
d) -1, 2 e -3
e) -1, -2 e 3
a) 2
15.(AFA)
única solução são
a) K = R - {-1, 2 }
b) K = R - {-2, 2 }
c) K = R - {1, 2 }
d) K = R - {3, 4 }
e) K = R - {1, -2 }
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20. Sobre o sistema:
TRIÂNGULO RETÂNGULO
⎧ ax + y = 0
⎪
⎨ 2x + z = 0 , é correto
⎪3x + y + 2z = 0
⎩
ângulo B̂
afirmar:
a) É determinado para todo a ≠ 1.
b) É indeterminado para a = -1.
c) Nunca será indeterminado.
d) Depende do valor de a para ser impossível.
e) Apresenta somente a solução trivial para a = -1.
B
ângulo Ĉ
a
c
⎧6x + ky = 9
de incógnitas x
21. (CEFET–PR) O sistema ⎨
⎩ 2x − 7y = 1
e y é:
a) impossível, para todo k real diferente de –21
b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de
–63
c) possível e determinado, para todo k diferente e –21
d) possível e indeterminado, para todo k real diferente de
–3
e) possível e determinado, para todo k real diferente de –
1 e –63
GABARITO
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
SISTEMAS
C
A
A
A
A
E
C
B
A
A
4/7 e 11/7
a) x=3 e y=2
b) a=1 e
b=-2
C
B
B
C
B
B
D
B
C
C
b
A
Elementos do triângulo:
• a, b e c são os lados.
• A, B e C são os vértices.
ˆ são os ângulos
ˆ B
ˆ eC
• A,
respectivos vértices.
internos,
relativos
aos
•O ângulo  é igual a 90º .
ˆ = 90º
• B̂ + C
• Em relação ao ângulo B̂ , o b é cateto oposto e cateto
c adjacente.
• Em relação ao ângulo Ĉ , o c é cateto oposto e cateto
b adjacente.
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
• Os elementos usados nas fórmulas apresentadas a
seguir obedecem a disposição conforme figura inicial
• No espaço determinado pelo pontilhado, poderá ser
usado um dos ângulos agudos, B̂ ou Ĉ , ajustando
corretamente a razão conforme os dados.
• O lado a é a hipotenusa e os lados b e c são os catetos
Obs.: A hipotenusa é o lado maior. È o lado oposto ao
ângulo reto.
1
sen..... =
cateto oposto
hipotenusa
2
cos..... =
cateto adjacente
hipotenusa
3
tan..... =
cateto oposto
cateto adjacente
TEOREMA DE PITÁGORAS
• O lado a é a hipotenusa e os lados b e c são os catetos
Obs.: A hipotenusa é o lado maior. È o lado oposto ao
ângulo reto.
• Os elementos usados na fórmula apresentada a seguir
obedecem a disposição conforme figura inicial
(HIP) 2
a2
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Atualizada 28/02/2007
= (CAT) 2
=
b2
+ (CAT) 2
+
c2
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TABELA DOS VALORES NOTÁVEIS
C1
C2
C3
C4
L1
π
6
π
4
π
3
L2
30 º
45º
60º
2
2
3
2
1
2
1
2
L3
sen
L4
cos
3
2
L5
tan
3
3
2
2
1
3
EQUIVALÊNCIAS ENTRE GRAUS E RADIANOS
Pela regra de três diretamente proporcional, pode-se
converter graus para radianos ou radianos para graus.
•Na proporção que segue, conhecido G (graus) pode-se
obter R (radianos).
• Na proporção que segue, conhecido R (radianos) podese obter G (graus).
Graus
180º
G
A
60
1 grau
= minutos
1º
60’
1 minuto
60
=
1’
60”
B
Sendo a largura do rio 60 metros, a distância, em
metros, percorrida pelo barco foi de:
a) 40 2
b) 45 3
c) 60 3
MEDIDAS DE ÂNGULOS
Símbolos
Segundos
Graus
1
Minutos ‘
º
“
Um giro completo na circunferência tem 360º
2
e um ângulo reto 90º
segundos
TESTES
01. Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10º
em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m
de comprimento, a quantos metros o caminhão se
eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa?
Dados: sen10º=0,17, cos10º=0,98 e tan10º=0,18.
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04. (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o rio.
A direção de seu deslocamento forma um ângulo de
120º com a margem do rio.
120º
R
QUADRO DE TRANSFORMAÇÃO
4
03.(UNISINOS-RS) Um avião levanta vôo sob um
ângulo constante de 20º. Após percorrer 2 000 metros
em linha reta, a altura atingida pelo avião será de,
aproximadamente:
Dados: sen20º=0,342, cos20º=0,94 e tan20º=0,364.
a) 728 m
b) 1 880 m
c) 1 000 m
d) 1 720 m
e) 684 m
Radianos
π
está para
assim como
está para
Importante:
• A letra grega π é usada para tornar mais cômodo
quando se deseja escrever o número irracional
3,141592654....
Quando se usa π indicado por radianos, entende-se que
o valor a ser considerado é seu valor, 3,141592654....
3
02. Uma escada rolante liga dois andares de uma loja
e tem uma inclinação de 30º. Sabendo que a escada
rolante tem 10 m de comprimento, qual é a altura
entre os dois andares?
d) 40 3
e) 50 3
05.(NC.UFPR) Um avião está a 450m de altura,
quando se vê a cabeceira da pista sob um ângulo de
declive de 30º. A que distância o avião está da
cabeceira da pista?
a) 450m
b) 600m
c) 890m
d) 900m
e) 800m
06.(NC.UFPR) Um prédio está sendo reformado para
abrigar um hospital. Constatou-se que será
necessário construir uma rampa na saída de
emergência do prédio, entre o 1o andar e o nível do
solo. Sabendo que o desnível é de 2,30 m, e que o
ângulo de elevação da rampa em relação à horizontal
deverá ser de 20º, calcule o comprimento aproximado
da rampa. (São dados: sen20º = 0,34; cos20º = 0,94)
a) 4,6 m
b) 5,2 m
c) 5,8 m
d) 6,7 m
e) 7,2 m
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07. (UFJF) Um topógrafo foi chamado para obter a
altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um
teodolito (instrumento para medir ângulos) a 200
metros do edifício e mediu um ângulo de 30º, como
indicação na figura abaixo.
Fórmula de Herão
A =
p .(p - a ).(p - b ).(p - c )
(onde p é o semiperímetro do triângulo)
•
Área do triângulo em função dos lados e do raio da
circunferência inscrita.
30º
b
Sabendo que o teodolito está a 1,5 m do solo, podese concluir que, dentre os valores abaixo, o que
melhor aproxima a altura do edifício em metros é:
Dados: sen30º=0,5, cos30º=0,866 e tan30º=0, 577.
a) 112
b) 117
c) 124
d) 115
e) 120
c
a
TRIÂNGULO RETÂNGULO EM A (Â=90º)
A
08. Sabendo que tg α=1/4 , então a altura do muro
representado na figura abaixo é igual a 3 m.
c
Área :
A=
b
h
B
GABARITO
TRIGONOMETRIA
TRIÂNGULO
RETÂNGULO
01
5,1
02
5
03
E
04
D
05
D
06
D
A = p .r
r
C
a
b.c
2
ou
A=
a.h
2
Teorema de Pitágoras ⇒ a 2 = b2 + c2
Perímetro: 2p = a + b + c
QUADRILÁTEROS
Retângulo
Paralelogramo
h
h
GEOMETRIA PLANA
ÁREAS DAS SUPERFÍCIES PLANAS
b
A = b .h
b
A = b .h
Observação: Por abuso de linguagem, quando for citada
a palavra área será de uma superfície.
Quadrado
Losango
TRIÂNGULOS
•
De modo geral podemos calcular a área de um
triângulo usando a fórmula a seguir.
c
a
h
b
60
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A =
b .h
2
l
l
d
l
D
l
A = l2
A =
D .d
2
Perímetro: 2p = soma dos lados
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Trapézio
02. Na figura a seguir são dados dois setores
circulares com vértices em A e C e um quadrado com
16 cm de perímetro. Calcule a área sombreada.
b
h
A =
(B + b )
.h
2
B
C
B
Perímetro: 2p = soma dos lados
A
CÍRCULO E SETOR CIRCULAR
D
O raio dos setores circulares valem metade da diagonal
do quadrado.
R
Área :
.c
R
.c
α
l
A = π.R 2
Perímetro :
R=
d
⇒ R = 8 2 cm
2
A Sombreada = A Quadrado − 2 ⋅ A Setor
π ⋅ (8 2)2
4
A S = 256 − 64π
AS = 162 – 2.
C = 2π.R
Área setor :
d = l 2 ⇒ d = 16 2 ⇒
A SETOR
α.π.R 2
=
360 º
Resposta:
A S = 64.(4 − π)cm2
TESTES
Arco : l = α.R
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Uma rampa de inclinação constante, como a que
dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4
metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa,
tendo começado a subi-la, nota que após caminhar
12,3 metros sobre a rampa está 1,5 metros de altura
em relação ao solo.
a) Fazer uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcular quantos metros a pessoa ainda deve
caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
Resolução:
a)
01.(EPCAR) Sendo DEFG um quadrado inscrito no
triângulo ABC, conforme se apresenta na figura
abaixo, pode-se afirmar que a área do pentágono
CDEFG, em cm2, mede
C
G
D
8 cm
A
E
F
B
24 cm
a) 24
b) 36
c) 38
d) 42
02.(UF-MT)Considere a posição da escada na figura
abaixo.
x
4
12,3
1,5
20 cm
4
x + 12,3
=
⇒ 49,2 = 1,5x + 18,45 ⇒
1,5
12,3
Resposta x = 20,5m
b)
h
h/
4
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Sabendo que
h = 200cm , e que o comprimento da
H
escada é H cm, calcule
17
.
03.(UFF-RJ) O triângulo PQR é retângulo em Q, N é
ponto médio de QR e N M é perpendicular a
conforme a figura abaixo.
PR ,
a) 8
b) 12
c) 10
d) 16
06.(ESAF) Se o lado do quadrado é aumentado em
50%, então a área do quadrado é aumentada em:
a) 100%
b) 125%
c) 175%
d) 225%
e) 250%
07.(UF-SC) O triângulo ABC está inscrito em uma
circunferência de centro O, cujo diâmetro mede
10cm. Se a corda AB mede 6cm, então a área
sombreada, em centímetros quadrados, é:
08.(UFF-RJ) Considere o triângulo PMN, retângulo em
M, representado na figura abaixo.
Determine a medida de
NM.
04.(UNB-CESPE) Sobre uma rampa de inclinação
constante, que tem 6 m de altura na sua parte mais
alta, uma pessoa notou que, após caminhar 15 m,
estava a 1,5 m de altura em relação ao solo, conforme
mostra a figura que segue. Nessas condições, a
distância que essa pessoa ainda terá de caminhar
para chegar ao ponto mais alto dessa rampa é igual a
pontos médios de
a) 4
b) 6
c) 12
d) 20
e) 24
09.(UFF-RJ)
dimensões
a)
b)
c)
d)
e)
é:
Considere
BC = 3m
e
o
retângulo
CD = 4m
A
B
D
C
ABCD
de
.
30 m
38 m
45 m
35 m
40 m
05.(AFA) Na figura, A e B são os centros de duas
circunferências tangentes exteriormente. Os raios
são R = 1 m e R’ = 4 m. CD é uma tangente comum às
duas curvas.
A área do trapézio ABCD, medida em m2 , é igual a
62
, do triângulo obtido, unindo-se os
A área, em
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Calcule a diagonal do retângulo.
10.(FGV-SP) Uma corda AB de um circulo mede 6 cm
e a distância desta corda ao centro do circulo é de 3
cm. O raio do circulo, em centímetros, é
a)
5 3
b)
c)
d)
8
3
3 2
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11. Um triângulo ABC está inscrito em uma
circunferência de 10cm de raio, onde A e B são
15. A diagonal do quadrado inscrito no círculo mede
4cm, calcule a área da região sombreada.
extremidades de um diâmetro. Se a corda AC mede
12cm, então a área do triângulo ABC, em cm2, vale:
a) 96
b) 240
c) 48
d) 24
e) 12 3
12. (FCC) Uma pessoa sai do ponto A e, passando
por B e C, percorre um total de 270 m até chegar ao
ponto D, como indicado na figura abaixo.
16. Os quatro círculos da figura a seguir tem 10cm de
raio e são tangentes entre si. Calcule a área
sombreada.
Se essa pessoa saísse de A e fosse diretamente para
o ponto D, a distância total percorrida, em metros,
seria de:
a) 100
b) 110
c) 120
d) 130
e) 150
17. Os diâmetros dos três semicírculos estão sobre o
segmento AB, que mede 20cm. Sendo O centro do
semicírculo maior e ponto de tangência dos dois
menores e sabendo que AO ≡ OB, calcule a área da
região assinalada.
13.(UFF-RJ) A razão entre o lado do quadrado inscrito
e o lado do quadrado circunscrito em uma
circunferência de raio R é:
a)
b)
c)
d)
e)
1
3
1
2
3
3
2
2
2
A
O
B
18. O lado do quadrado da figura a seguir mede 4cm e
os semicírculos se tangenciam no centro do
quadrado. Calcule a área sombreada.
14. (OBM) Na figura, os triângulos ABC e EGF são
eqüiláteros. O perímetro do triângulo ABC é 132cm e,
além disso,
AE = EC
BD = DC
DG = GE
EF = FC
B
19.(UNICAMP-SP) O quadrilátero formado unindo-se
os pontos médios dos lados de um quadrado é
também um quadrado.
Supondo que a área do quadrado menor seja de
72cm2, calcule o comprimento do lado do quadrado
maior
D
G
A
E
F
C
Qual o perímetro da área sombreada?
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20.(ACAFE-SC) No trapézio da figura a seguir, o
perímetro, em unidades de comprimento, mede:
X+6
3
1
+
+
X
X
25.(CESGRANRIO)
x+3
X
a)
b)
c)
d)
e)
32
28
30
38
18
x+1
21.(ACAFE-SC) Um terreno tem a forma e as medidas
indicadas na figura a seguir. Querendo gramar 3/7
desse terreno, sendo que cada placa de grama cobre
2,5m2 do mesmo, o número de placas que se deve
usar é:
60m
40m
60m
A área da região retangular mostrada acima é de 15
m2. Considerando que as medidas indicadas na figura
estão em metros, pode-se afirmar que o perímetro do
retângulo, em metros, é igual a:
a) 16
b) 14
c) 12
d) 10
e) 8
26. A figura a seguir mostra duas circunferências
concêntricas. A corda AB mede 8 cm e é tangente à
circunferência menor. Calcule a área da coroa
circular.
30m
a)
b)
c)
d)
e)
24.(FGV-SP) Uma pizzaria vende pizzas com preços
proporcionais às suas áreas. Se a pizza média tiver
raio igual a 80% do raio da grande, seu preço será:
a) 59% do preço da grande.
b) 64% do preço da grande.
c) 69% do preço da grande.
d) 74% do preço da grande.
e) 80% do preço da grande.
480
720
600
800
1200
A
22. (FUVEST)
Na figura a seguir, ABCD é um
quadrado e BCE é um triângulo eqüilátero. A medida
do ângulo EAD, em graus, é:
a) 15
b) 30
c) 60
d) 75
e) 90
A
D
D
’
B
B
27. (FUVEST) Aumentando-se os lados a e b de um
retângulo de 15% e 20% respectivamente, a área do
retângulo é aumentada de:
a) 35%
b) 30%
c) 3,5%
d) 3,8%
e) 38%
C
23.(FAE-PR) Do alto de uma torre vertical de 40 m de
altura emitem-se ondas de rádio que atingem no
máximo uma distância de 160 m. A uma distância de
40 3 m da base da torre existe uma estrada retilínea
e horizontal. Qual o comprimento, em m, do trecho da
estrada no qual se pode captar a transmissão?
a) 160
b) 80 3
c) 160 3
d) 320
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28. (UEPG-PR) Sobre as sete figuras abaixo,
considerando que a menor delas tem 1 u.a. de área e
4 u.c. de perímetro, assinale o que for correto.
I.(
II.(
III.(
IV.(
V.(
VI.(
GABARITO
GEOMETRIA
PLANA
01
D
02
55
03
3,6
04
C
05
C
06
B
07
24
08
B
09
5
10
B
11
A
12
A
13
D
14
121
15
4 π -8
16
25 π
17
400-100 π
18
16-4 π
19
18 2
20
D
21
B
22
A
23
B
24
B
25
A
26
16 π
27
E
28
FVVVFV
29
B
30
A
31
E
32
E
) O perímetro do losango é de 8 u.c.
) A área do retângulo é de 6 u.a.
) O comprimento da circunferência é de 4π u.c.
) A área do paralelogramo é de 4 u.a.
) O perímetro do maior quadrado é de 9 u.c.
) A área do triângulo é de 6 u.a.
29.(NC.UFPR) O comprimento de um retângulo é igual
a 3 vezes sua altura, e sua área é de 243 cm2. Então a
altura do retângulo é de:
a) 3 cm
b) 9 cm
c) 18 cm
d) 27 cm
e) 30 cm
30.(CESPE) Uma bicicleta tem rodas diferentes. A
maior tem raio de 50 cm; o raio da menor mede 12
cm. Para percorrer um mesmo percurso, enquanto a
roda maior dá 30 voltas, a roda menor dá:
a) 125
b) 140
c) 150
d) 225
e) 250
31.(UNB-CESPE) Uma usina utiliza placas de aço
quadradas de 1 metro de lado, para fazer chapas
quadradas de 30 cm de lado. A parte que sobra da
placa original é vendida como sucata. De cada placa,
são vendidos como sucata:
a) 0,18 cm2
b) 0,19 cm2
c) 180 cm2
d) 1800 cm2
e) 1900 cm2
32. (OBMEP)
Com seis retângulos idênticos
formamos um retângulo maior com um dos lados
medindo 21 cm, como na figura. Qual é a área do
retângulo maior?
a) 210cm
d) 504cm
b) 280cm
e) 588cm
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GEOMETRIA ESPACIAL
PRISMA
h
l
FÓRMULAS
Área da base
Depende
do Ab
formato da base
Área lateral
Depende
do AL
formato da base
Área total
AT = AL + 2. Ab
Volume
V = Ab.h
c) 430cm
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PARALELEPÍPEDO
OCTAEDRO REGULAR
FÓRMULAS
Diagonal do sólido
c
b
a
FÓRMULAS
Diagonal do sólido
Área total
Volume
Área total
8.a 2 3
4
d
a2 ⋅
2
V =2
3
A total =
Volume
D2 = a2 + b2 + c2
AT = 2.(ab+ac+bc)
V = a.b.c
d=a 2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Para tratar a água armazenada em cisternas, a
recomendação do Ministério da Saúde é usar duas gotas
de hipoclorito de sódio para cada litro de água e deixar
repousar por 30 minutos antes de consumir. Seguindo
esta recomendação, quantas gotas de hipoclorito de
sódio deverão ser utilizadas para tratar a água
armazenada num reservatório no formato de
paralelepípedo de 80 cm de frente, por 40 cm de altura e
50 cm de largura, no momento em que ele está com
metade de sua capacidade total?
a) 120
b) 240
c) 80
d) 160
e) 320
CUBO
a
a
a
RESOLUÇÃO
FÓRMULAS
Diagonal do sólido
D=a 3
Área total
Volume
AT = 6.a2
V = a3
PIRÂMIDE
I) Cisterna
25
cm
50 cm
40 cm
80 cm
h
A cisterna está ocupada com metade (altura 25 cm) do
total (altura 50 cm).
l
FÓRMULAS
Área da base
Depende
do Ab
formato da base
Área lateral
Depende
do AL
formato da base
Área total
AT = AL + Ab
Volume
Ab ⋅ h
V=
3
II) Use a equivalência, 1 dm3 = 1 litro.
Para melhor relacionar volume com capacidade,
converta as medidas em cm para dm, assim:
Altura
Largura
Frente
25 cm = 2,5 dm
40 cm = 4,0 dm
80 cm = 8,0 dm
III) Calcule o volume (V) desse paralelepípedo retângulo.
V = largura x comprimento x altura
V = 2,5 dm x 4,0 dm x 8,0 dm
V = 80 dm3
equivalente a
V = 80 litros
IV) Para cada litro de água utilize 2 gotas de hipoclorito
de sódio, como orientado no enunciado.
80 litros x 2 gotas = 160 gotas
Resposta: letra D
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02. Procura-se construir um cubo grande empilhando
cubos pequenos e todos iguais.
Quando se coloca um certo número de cubos
pequenos em cada aresta, sobram cinco; se se
tentasse acrescentar um cubo a mais em cada aresta,
ficariam faltando trinta e dois. Quantos são os cubos
pequenos?
Resolução:
a3 + 5 = (a + 1)3 – 32
a3 + 5 = a3 + 3 a2 + 3a + 13 – 32
3 a2 + 3a + 36 = 0
a2 + a + 12 = 0
raízes:
a = - 4 (não serve)
a=3
Então, como temos a3 + 5 = (a + 1)3 – 32, substituindo a
= 3, teremos 32 cubos
03. O transporte de um determinado cereal para
exportação é feito em vagões que têm a forma de um
paralelepípedo retângulo com 4,00m de comprimento,
2,20m de largura e 0,80m de altura. Sabendo-se que
o volume útil aproveitável de cada vagão é de 80% de
seu volume total, o número de vagões necessários
para transportar 140,80m3 de cereais é:
Resolução:
Volume Total do Vagão = 4,00 x 2,20 x 0,80 = 7,04 m3
Volume Útil do Vagão = 7,04 x 80% =
= 5,63 m3
Sendo n o número de vagões temos:
n=
140,80
5,632
Resposta:
n = 25
04. Na figura a seguir, o cubo tem aresta igual a 9 cm e a
pirâmide tem um vértice no centro de uma face e como
base o centro da face oposta. Se V cm3 é o volume da
pirâmide, determine
1 V.
3
Resolução:
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9
9
9
V=
1 2
⋅ 9 ⋅ 9 = 243
3
V = 243 ⋅
1
3
V = 81 cm3
TESTES
Em uma unidade de atendimento a
01. (UEL)
adolescentes será feito o revestimento completo das
quatro paredes da cozinha com azulejos. Cada
azulejo tem 0,25m de comprimento por 0,20m de
largura. A cozinha possui a forma e as dimensões
representadas a seguir.
Nessa cozinha as duas portas medem 1,00m por
2,00m cada uma e as duas janelas 2,50m por 1,20m
cada. Considerando que deve ser acrescentado 5%
do valor da área a ser azulejada para perdas com
quebras de azulejos e que cada caixa de azulejos vem
com 30 peças, quantas caixas serão necessárias para
executar o serviço? Despreze o espaçamento de
rejunte.
a) 36
b) 37
c) 38
d) 40
e) 42
02. (MACK-SP)
Dispondo-se de uma folha de
cartolina medindo 50 cm de comprimento por 30 cm
de largura, pode-se construir uma caixa aberta,
cortando-se um quadrado de 8 cm de lado em cada
canto da folha. O volume dessa caixa, em cm3, será:
a) 1244
b) 1828
c) 2324
d) 3808
e) 12000
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03. (UF-PR ) Considere uma caixa de vidro, fechada,
cujo formato interno é o de um paralelepípedo retoretângulo, de dimensões 20 cm, 20 cm e 50 cm. A
caixa contém líquido que atinge a altura de 16 cm
quando uma face não quadrada está no plano
horizontal. É correto afirmar que:
I. A área total do interior da caixa é igual a 4800cm2.
II. O volume do líquido contido na caixa é de 16 litros.
III. Se for alterada a posição da caixa, de modo que uma
face quadrada fique no plano horizontal, então a altura do
líquido será 40 cm.
04.(UF-SC).Usando um pedaço retangular de papelão,
de dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma
caixa sem tampa, cortando, em seus cantos,
quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando,
convenientemente, a parte restante. A terça parte do
volume da caixa, em cm3, é:
05.(FAE-PR) Um depósito tem a forma de um prisma
reto trapezoidal de dimensões internas conforme a
figura abaixo:
10
25
10
10
22 m
Deseja-se saber o custo da pintura interna das
paredes laterais, frontal, dos fundos e teto,
desprezando-se portas e janelas. Qual a área, em m2,
dessa superfície?
a) 1006
b) 1556
c) 878
d) 1428
e) 1070
06. (VUNESP-SP) Uma piscina retangular de 10 m X
15 m e fundo horizontal está com água até a altura de
1,5 m. Um produto químico em pó deve ser misturado
à água à razão de um pacote para cada 4500 litros. O
número de pacotes a serem usados é:
a) 45
b) 50
c) 55
d) 60
e) 75
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08. (CEFET-PR) Considere um quadrado de papelão
com 18 cm de lado. Cortando quadradinhos de lado
x, iguais nos quatro cantos, pode-se montar uma
caixa sem tampa, em forma de paralelepípedo com
288 cm2 de área. Com base nessa informação,
calcule o lado do quadradinho cortado em cm:
a) 10
b) 3
c) 16
d) 9
e) 4
09. (CEFET-PR) "Para cada peixinho ornamental,
você vai precisar de um litro de água", informou o
vendedor. Luana deseja construir um aquário em
forma de paralelepípedo retângulo para 40 peixinhos.
Se a base tiver dimensões 40 cm e 20 cm. A medida
da altura será igual a:
a) 6 dm
b) 7 dm
c) 8 cm
d) 5 dm
e) 12 dm
10. (FEPAR – PR) – O transporte de um determinado
cereal para exportação é feito em vagões que têm a
forma de um paralelepípedo retângulo com 4,00 m de
comprimento, 2,20 m de largura e 0,80 m de altura.
Sabendo-se que o volume útil aproveitável de cada
vagão é de 80% de seu volume total, o número de
vagões necessários para transportar 140,80 m3 de
cereais é:
a) 14
b) 18
c) 20
d) 24
e) 25
07.(NC.UF-PR) A caixa de água de um certo prédio
possui o formato de um prisma reto de base
quadrada com 1,6 m de altura e aresta da base
medindo 2,5 m. Quantos litros de água há nessa caixa
no instante em que 3/5 de sua capacidade estão
ocupados?
a) 2400 litros
b) 4800 litros
c) 5600 litros
d) 6000 litros
e) 7200 litros
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11. (OBMEP) Um bloco retangular de madeira tem
320cm de comprimento, 60cm de largura e 75cm de
altura. O bloco é cortado várias vezes, com cortes
paralelos às suas faces, de modo a subdividi-lo em
de
blocos
também
retangulares
de
80cm
comprimento por 30cmde largura por 15cm de altura.
CONE
h
g
R
FÓRMULAS
Área da base
Área lateral
Área total
Volume
Ab = π .R2
AL = π.R.g
AT = AL + Ab
V=
Ab ⋅ h
3
Cone Equilátero: g = 2.R
ESFERA
a) Quantas peças foram obtidas?
b)
Um
metro
cúbico
dessa
madeira
aproximadamente 900 quilogramas.
Qual é o peso de cada uma dessas peças?
pesa
R
GABARITO
GEOMETRIA
ESPACIAL
PRISMAS E
PIRÂMIDES
01
D
02
D
03
VVV
04
64
05
A
06
B
07
D
08
B
09
D
10
E
11
a) 40
b) 32,4
FÓRMULAS
Área
A = 4.π.R2
Volume
V=
4.π.R 3
3
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Na figura seguinte, tem-se uma esfera de maior
raio contida num cone reto e tangente ao plano da
base do mesmo. Sabe-se que o raio da base e a altura
desse cone são, respectivamente, iguais a 6 cm e 8
cm. A metade do volume da região do cone exterior à
esfera é, em cm3, igual a
CILINDRO RETO
A
r
h
R
B
D
C
FÓRMULAS
Área da base
Ab =π .R2
Área lateral
AL = 2.π.R.h
Área total
AT = AL + 2. Ab
Volume
V = π .R2. h
Cilindro Equilátero: h = 2.R
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Resolução:
03.(PUC-SP)
O
retângulo
ABCD
seguinte,
representado
num
sistema
de
coordenadas
cartesianas ortogonais, é tal que A = (2; 8), B = (4; 8),
C = (4; 0) e D = (2; 0).
A
4
10
D
8 r
O
6
6
6
B
C
Os triângulos ABC e ADO são semelhantes, então:
8 4
= ⇒ r = 3 cm
6 r
1
4
⋅ π ⋅ 6 2 ⋅ 8 − ⋅ π ⋅ 33
Vcone − Vesfera
3
3
=
⇒
2
2
30π cm2 resposta
02. Calcular a área e o volume de uma esfera de raio 2
m.
R
a)Área A = 4.π.R2 = 4π(2)2=8π m2
b) Volume
V=
V=
4.π.R
3
3
32π 2
m
3
TESTES
01.(NC.UF-PR) Se aumentarmos o diâmetro de um
cilindro em 20%, quanto aumentará seu volume?
a) 44%
b) 40%
c) 33%
d) 24%
e) 20%
02. (PUC-SP) Se triplicarmos o raio da base de um
cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro fica
multiplicado por:
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 15
Girando-se esse retângulo em torno do eixo das
ordenadas, obtém-se um sólido de revolução cujo
volume é:
a) 24π
b) 32π
c) 36π
d) 48π
e) 96π
04. (UEM - PR) Um barril de bebida tem a forma de
um cilindro, cuja altura mede 28 cm e o raio da base
mede 10 cm. Se dois consumidores bebem,
diariamente 25 π ml cada um, do conteúdo do barril,
o tempo gasto, em dias, para esvaziarem o barril será
de...
05. (UDESC-SC) Uma caixa d’água tem a forma de um
cilindro, medindo internamente 60 dm de diâmetro e
15 dm de altura. Estando a água até 2/3 da altura
interna, quantos litros de água estão na caixa?
(Dados: π = 3,14 e 1litro = 1 dm3)
a) 113.040
b) 2.826
c) 28.260
d) 11.304
e) 6.280
06. (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em forma
de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm são
levados juntos à fusão e em seguida o alumínio
líquido é moldado como um paralelepípedo reto de
arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é:
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
07. (UEL – PR) – Certa peça de um motor é feita de
aço maciço e tem a forma de três cilindros retos, de
alturas iguais, um sobre o outro. Se a peça for
seccionada por um plano contendo os centros das
bases dos cilindros, tem-se a situação abaixo
ilustrada:
a = 9cm
Raio = c
Raio = b
30 cm
altura total
b=
2
a
3
c=
2
b
3
Raio = a
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O volume dessa peça, em centímetros cúbicos, é:
a) 1580 π
b) 1330 π
c) 1170 π
d) 970 π
e) 190 π
08.(UFF-RJ) A figura representa um triângulo retângulo
MNP, cujo cateto
11. (FUVEST-SP) No jogo de bocha, disputado num
terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola
de raio 8 o mais próximo possível de uma bola
menor, de raio 2. Num lançamento, um jogador
conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem
encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. A
distância entre os pontos A e B, em que as bolas
tocam o chão, é:
MN é perpendicular ao eixo r.
A
O volume, em cm3, do sólido obtido pela rotação de
MNP em torno de r é:
a)
π
b) 24π
c) 7π
d) 36π
e) 12π
09. (PUC-SP) Um recipiente em forma de cone circular
reto tem raio 12 cm e altura 16 cm. O líquido ocupa
1/8 do volume do recipiente. A altura do líquido é:
a) 8
d) 34
b) 26
e) 36
B
c) 28
12. (UFAL) Se o volume de uma esfera é 288π cm3, a
medida de seu diâmetro é, em cm, igual a:
a) 6
b) 12
c) 6 6
d) 12 6
e) 24 6
13.(FAE-PR) Um fabricante de extintores produz um
modelo pequeno, cujo corpo é um cilindro circular reto
de altura 22cm e diâmetro das bases 8cm, nas quais
há semi-esferas de diâmetro também 8cm. Adotandose π = 3, qual a capacidade, em cm3, desse extintor?
a) 1248
b) 1312
c) 1632
d) 1696
e) 6272
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 4 cm
d) 6 cm
e) 8 cm
10. (AFA) A área do sólido gerado pela rotação do
polígono ABCDE em torno do eixo y, que contém o
igual
a:
lado
AE,
é
em
m2,
Dados AE = 2m AB = 6m BC = 6m CD = 3m .
14.(UF-MT) O dono de uma fábrica de sorvetes, no
final de cada ano, tem a tradição de premiar o melhor
revendedor de seus produtos. Para o ano de 2001,
mandou fazer um troféu maciço com a forma de
sorvete em casquinha cuja parte superior é um
hemisfério de 6 cm de raio e a parte inferior é um
cone circular reto de altura h cm, conforme figura.
Sabendo que o volume do troféu é 288π cm3, calcule
o valor da altura h.
y
D
C
E
A
B
a) 120π
b) 144π
c) 150π
d) 168π
e) 170π
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GABARITO
GEOMETRIA
ESPACIAL
CILINDROS,
CONES E
ESFERAS
01
A
02
C
03
E
04
112
05
C
06
D
07
B
08
B
09
E
10
C
11
A
12
B
13
B
14
1/8
72
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Anotações
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