matA12
limites
1.
Considere as sucessões:
un  2 
1.1.
lim  un 
1.1.2.
2.2.
Calcule lim  wn 
4.
2
n
1.1.3.
1.2.2.
Considere a sucessão wn 
Mostre que wn  3 
3.1.
tn  5 
lim  vn 
lim  an   4
2.1.
3.
3
n 1
lim  tn 
Dê exemplo de uma sucessão an tal que:
1.2.1.
2.
vn 
Calcule:
1.1.1.
1.2.
1
n
lim  an   0
3n  2
.
n 1
1
n 1
Determine o limite de cada uma das sucessões:
an 
7n  1
n
3.2.
bn 
3n  5
n2
3.3.
cn 
n 1
n3
Considere a função g, definida por:

 x  1
g  x  
 1
 x
,
x3
,
x3
e sejam an e bn as sucessões definidas por:
an  3 
4.1.
bn 
3n  5
n
Mostre que:
4.1.1.
4.2.
2
n
g  an  
n
3n  2
4.1.2.
g  bn   4 
4.2.2.
lim g  bn 
5
n
Determine o valor de:
4.2.1.
lim g  an 
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1/7
matA12
limites
5.
Considere a função f representada graficamente.
Determine lim f  un  , sabendo que:
5.1.
6.
un 
1
n
5.2.
un  
1
n
5.3.
un  e n
5.4.
 n  
un  ln 

 n 
lim f
6.4.
lim f
Considere a função f representada graficamente.
Indique o valor de:
6.1.
7.
7.1.
lim f
lim f
6.3.
x  2
x  2
x 1
Considere as funções f e g representadas graficamente.
Indique o valor de:
7.1.1.
7.2.
6.2.
x  0
lim f  x 
x  0
7.1.2.
lim f  x 
7.1.3.
x 1
lim f  g  x  
x e 
Comente a afirmação “Existe lim g  x  , mas não existe lim f  x  .”
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x e
x 1
2/7
matA12
limites
8.
Considere as funções f e g representadas graficamente.
Indique o valor de:
8.1.
8.4.
9.
lim  f  g  x 
x 2
lim  f  g  x 
x  
2
lim  f  g  x 
8.3.
8.5.
g
lim    x 
x 
f 
8.6.
lim
1
x 4
9.3.
lim
x2
 x 2  3x  2
9.6.
lim  2 x 2  x  1
9.9.
3
x  x 3
9.12. lim  2 x3  x  30 
x 0
lim
 f  g  x 
lim
x 1
x2
lim
2
x 1
x  2
Determine:
9.1.
lim
x 1
x2
9.2.
9.4.
lim
11
x4
9.5.
x2
x2 x  2
9.8.
9.7.
g
lim    x 
x 2
 f 
8.2.
x 1
x 4
lim
9.10. lim
x 0
x3
x2
x 2
x 2
2
x 
9.11. lim
x 2
x 1
lim   x 2  x 
x 
x 
10. Escreva o polinómio p  x  como um produto de fatores do primeiro grau.
10.1. p  x   9  x 2
10.2. p  x   x 2  4 x  4
10.3. p  x   x 2
10.4. p  x   x3  x 2  2 x
10.5. p  x   3x 2  3
1
7
10.6. p  x   x 4  x3  4 x 2
3
3
10.7. p  x   x2  1    x  
10.8. p  x   x 2  2  5 x  2 5
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

3/7
matA12
limites
11. Considere f  x  
x
x x
2
11.1. Escreva o denominador de f como um produto de fatores.
11.2. Prove que lim f  x   1
x 0
0
12. Determine cada um dos limites   .
0
x2  4
x 2 x 2  3x  2
12.1. lim
12.4. lim
x 1
x 2  3x  2
x3  2 x 2  x  2
x3
x 3
12.7. lim
x 3
x3  1
x 1 x 2  1
12.3. lim
x3  27
x 3 x 2  9
12.6. lim
x2  6 x  5
x 5
x 2  25
12.2. lim
2 x 3
x 7
x 2  49
12.5. lim
12.8. lim
x 2
x2  4
12.9. lim
x2
x 2   a  1 x  a
x3  a3
x a
13. Determine cada um dos limites      .
13.1. lim  3x 2  2 x  1
1

13.2. lim  7 x3  x 2  
x 
2

 5

13.4. lim   x3  3x  1
x 
2


13.5. lim
x 
13.7. lim
x 

x2  3  x

x 

13.8. lim  x
x  

x2  1  x

13.3. lim  2 x  x 4 
x 

13.6. lim

x  x 1
13.9. lim

xa  x
x 

x2  1  x 

x 



14. Determine cada um dos limites   .

7 x2  4 x
x 
x2
14.2. lim
x 2  3x  2
x  8 x 2  4 x
14.5. lim
14.1. lim
14.4. lim
14.7.
 x  1
lim
x 
2
x2  1
x5  5
x  2 x  1
x3  1
x  x 2  1
14.3. lim
x2  4
x  5 x 3  2
14.6. lim
x 
 2 x  3  3 x  2 
lim
3
14.8.
x 
x5  5
2
x 1
x 1
2x  3
x  x  3 x
14.9. lim
15. Determine cada um dos limites  0    .
1

15.1. lim  3 x  
x 0 
x
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 x3  1
1 
 3
15.2. lim 

x 
x 1
 2
3x
x

15.3. lim   3

x  2
x  2x 1 

4/7
matA12
limites
2 

15.4. lim  x  3 

x 
x 1 

7

15.5. lim   3  x 
x  x


 3

15.6. lim  2
  2  x 
x 2 x  4


 x2  x
1 
15.7. lim 


x 1
x 1
 3

5
9  x2 
15.8. lim 


x 3
6 
 x 3
x 1 
15.9. lim  

x 0
x
2
16. Determine cada um dos limites envolvendo exponenciais.
e3 x  e x
x 0
2x
16.3. lim  e x  e x 1 
ex  1
x 0 5 x 3
16.6. lim
e x  e x  2
x 0
x2  2x
16.9. lim
2e x  2
x 0
x
16.2. lim
16.4. lim
ex  1
x  3  2e x
16.5. lim
16.7. lim  x 2 e x 
16.8. lim
16.1. lim
x 
x 
1  e7 x
x 0
x
ex  1
x  0 1  e3 x
17. Determine cada um dos limites envolvendo logaritmos.
17.1. lim
x 0
17.4. lim
ln  x  1
x 0
17.2. lim
x 0
2x
ln  x  5  ln 5
x 0
17.7. lim
5
x
ln  x  1
ln  2 x  1
17.5. lim
x 0
ln  3x  1
ln  x  1
x 2  3x
x 0
2x
8x
ln  x  1
17.3. lim
2
 1  x3  
17.8. lim  ln 

x  x
 x  2 

17.6. lim
x 
2 x  ln x
2x
17.9. lim  x  ln x 
x 
18. Determine cada um dos limites, utilizando substituições convenientes.
e x 1  1
x 1 3 x  3
18.2. lim xe x
x 1
x 1 ln
x
18.5. lim
ex2  1
x 2 x 2  2 x
18.8. lim
18.1. lim
18.4. lim
18.7. lim
1
x 0
18.3. lim
x 1
x2  5x  6
x 3 ln  x  2 
18.6. lim
ex
x e ln x  1
18.9. lim
ln x
x 1
e x  e5
x 5 x  5
xe x 1  2e
x 2
x2
Bom trabalho!!
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5/7
matA12
limites
Soluções
1.
1.1.
1.1.1. 21.2.
1.1.2. 0
an  4 
1.2.1.
1
n
2.2.
7+
3.2.
1.1.3. 5
an  
1.2.2.
2.
2.1.
3.
3.1.
+
-3+
x.x
x  x  1 x  2 
10.5.
3 x  1 x  1
+
1
x.x  x  3 x  4 
3
 x    x  1
10.6.
3
n
10.7.
3-
3.3.
10.3.
10.4.
1+
10.8.
 x  5   x  2
11.
11.1.
11.2.
x  x  1
12.
4.
4.1.
4.2.
12.1. 4
1
3
4.2.1.

12.4.
4
4.2.2.
1
2
12.7. 2 3
5.
5.1.
5.3.
1

6.
6.1.
4
6.2.
0
5.2.
5.4.

0
6.3.
4
13.
13.1. 
13.4. 
6.4.
7.
7.1.
7.1.1. 0
7.1.2. 0
7.1.3. 1
7.2.
Afirmação verdadeira.
8.
8.1.
0
8.2.
4
8.3.
8.4.
36
8.5.
0
8.6.
1
2
8
4
13.7. 0
14.
14.1. 7
1
14.4.
8
14.7. 1
2
3
9.4. 
9.7. 
9.10. 
9.2.

9.5. 
9.8. 
9.11. 0
10.
10.1.
  x  3 x  3
10.2.
 x  2 x  2
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9.3.

9.6. 
9.9. 
9.12. 
12.8.  lim
12.3.
2
5
1
56
a 1
12.9.
3a 2
12.6. 
13.2. 
13.5. 0
1
13.8.
2
13.3. 
13.6. 0
14.2. 
14.3. 
14.5. 0
14.6. 1
14.8. 72
14.9. 2
13.9. 0
15.
15.1. 
15.2.
1
2
15.3. 0
15.4. 2
15.5. -7
15.6. 
15.8. 10 3
15.9. 0
9.
9.1.
3
2
9
12.5. 
2
12.2. 
15.7.
1
3
16.
16.1. 2
1
16.4. 
2
3
4
16.2. 1
16.3. 
16.5. 
16.6. 7
6/7
matA12
limites
16.7. 0
16.8. 0
16.9. 
1
3
17.
5
2
1
17.4.
5
1
17.7.
2
17.1.
17.2.
3
2
17.5. 4
1
3
3
17.6.
2
17.3.
17.8. 0
17.9. 
18.2. 
18.3. 1
18.5. 1
18.6. e5
18.8. e
18.9. 3e
18.
1
3
18.4. 2
18.1.
18.7. 
1
2
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7/7