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Muitos dos dispersos pitagóricos acorreram a Atenas e Zenão e Parmênides, da
escola eleática, foram ao grande centro para ensinar. Zenão de Eléia, filósofo e
matemático viveu por volta de (495 - 430 a.C.), enunciou argumentos para provar a
inconsistência dos conceitos de multiplicidade e divisibilidade. A concepção dos
números figurados e a idéia de que o espaço e o tempo podem ser pensados como
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consistindo cada um de elementos separados, foram atacados por Zenão por meio de
quatro paradoxos: Dicotomia, Aquiles e a Tartaruga, A flecha e O estádio. A Zenão
foram atribuídos os exercícios de lógica, que são discutidos até hoje pelos matemáticos.
Arquitas, matemático, astrônomo, músico e político grego de Tarento continuou a
tradição pitagórica, colocando a aritmética acima da geometria. Escreveu sobre a
aplicação das médias aritméticas e geométricas, sobre métodos interativos para
determinação de raízes quadradas e, também, sobre geometria analítica e introduziu o
estudo da média harmônica na música. Ele parece ter dado considerável atenção ao
papel da matemática no aprendizado, e foi-lhe atribuída à designação dos quatro ramos
no quadrivium matemático: aritmética (ou número em repouso), geometria (ou
grandezas em repouso), música (ou números em movimento), astronomia (as grandezas
em movimento).
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Um dos mais conhecidos matemáticos de sua época foi Eudoxo, pois dominou
muitas técnicas da geometria. Eudoxo estudou um procedimento matemático para
calcular a área de superfícies, que chamou de Método da Exaustão, que articula os
conhecimentos de infinitésimos, o conceito de Soma Superior (Sup) e Soma Inferior
(Inf), o que influenciaria os criadores do cálculo integral.
Menaecmus, amigo de Platão e discípulo de Eudoxo descobriu as curvas que mais
tarde foram chamadas elipses, parábola e hipérbole e deduziu as propriedades das
secções cônicas. Seu irmão Dinostrato foi um geômetra competente.
Teetetos discutiu a natureza das grandezas incomensuráveis, fez estudos mais
extensos dos cinco sólidos regulares e talvez seja o responsável pelos cálculos das
razões das arestas dos sólidos regulares para o raio da esfera circunscrita. Grande parte
do material do décimo e do décimo terceiro livros de Euclides deve-se a ele.
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Ao longo desses trezentos anos existem três distintas linhas de desenvolvimento da
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A primeira é o desenvolvimento material que acabou se organizando em os
Elementos, iniciado habilmente pelos pitagóricos e acrescido depois por Hipócrates,
Eudoxo, Teodoro e outros.
A segunda linha consiste no desenvolvimento de noções relacionadas com
infinitésimos e infinitos e processos somatórios, que só foram esclarecidos de vez com a
invenção do cálculo nos tempos modernos. Os paradoxos de Zenão, o método de
exaustão de Antífon e Eudoxo e a teoria atomística associada ao nome de Demócrito
inserem-se nesta segunda linha.
Por último a linha de desenvolvimento da geometria superior, ou geometria de
curvas que não a reta e a circunferência e superfícies outras que não o plano e a esfera.
Essa geometria surgiu na tentativa de solucionar os três famosos problemas de
construção.
, Os três grandes problemas são os seguintes:
1. Duplicação do cubo ou problema de construir o lado de um cubo,
cujo volume é o dobro do de um cubo dado;
2. Trissecção do ângulo ou problema de dividir um ângulo arbitrário
dado em três partes iguais;
3. Quadratura do círculo ou problema de construir um quadrado
com área igual à de um círculo dado.
Esses problemas tiveram grande importância, pois eles não podem ser resolvidos,
a não ser aproximadamente, com régua e compasso. Alem disso, eles foram importantes
para o desenvolvimento de novas teorias. Na época em que foram criados houve
descobertas das secções cônicas e estudos de curvas. Vários anos depois
desenvolveram-se teorias como a das equações ligadas a domínios de racionalidade,
números algébricos e teoria dos grupos. Somente no século XIX se estabeleceu a
impossibilidade das três construções.
3.1 Sobre a impossibilidade
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habitada. Anaxágoras faleceu em 428 a.C.
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