ESTUDANDO SEMELHANÇA E GEOMETRIA DAS TRANSFORMAÇÕES
ATRAVÉS DA GEOMETRIA DINÂMICA
Fernanda Cristina A G. de Souza
Professora da SME-RIO e FAETEC
[email protected]
Kátia Maria Pereira Dutra
Professora da SME-RIO e FAETEC
[email protected]
Introdução
As transformações que tem a propriedade de não modificar o comprimento de
nenhum segmento de reta são chamadas isometrias (medidas iguais). Quando rodamos,
refletimos ou transladamos um segmento temos uma isometria.
Já os casos de semelhança de figuras podem ser obtidos por homotetia.
Nesta oficina de laboratório elaboramos atividades através dos recursos do
TABULAE. para a realização de reflexões, rotações, translações e homotetias.
Veremos também algumas propriedades destas transformações no plano, as quais
necessariamente preservam congruências, tais como: tamanho e forma e o mais
importante é que podemos expressar qualquer congruência em termos de rotação,
reflexão e translação.
Veremos também que qualquer caso de semelhança de figuras no plano podem
ser obtidas através da composição de homotetia com um ou mais tipos de isometrias.
Translação
Atividade 1: Na barra de ferramentas clique em Arquivo e abra a Tela 1. Nela se
encontra um pentágono irregular ABCDE e um vetor PQ.
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Q
P
B
A
C
E
D
Como mover uma figura na tela: Clique com o mouse sobre a figura e com o botão
esquerdo pressionado, arraste a figura na tela.
Observando o caminhar dessa figura percebemos que cada segmento permanece
do mesmo tamanho, e paralelo à sua direção original (vetor PQ).
Para verificarmos as propriedades dessa transformação, vamos utilizar os
recursos do TABULAE. O vetor PQ que está desenhado na tela pode ser modificado
bastando clicar com o mouse sobre um de seus pontos e arrastá-lo.
Selecionando a direção da translação: Com a tecla shift pressionada, marque nesta
ordem, o ponto P, o vetor e a figura. Vá na barra de ferramentas e clique em
Transformar e selecione Translação. O vetor PQ nos dará a direção da translação.
Mova os pontos P e Q e observe o que aconteceu na tela.
Medindo segmentos: Usando a tecla “shift”, marque um vértice na figura original (por
exemplo, o vértice D) e seu correspondente na figura. Vá na barra de ferramentas e
clique em Construir e selecione Segmento. Com o segmento que você acabou de
construir marcado, vá na barra de ferramentas, clique em Medir e selecione
Comprimento. Meça também o comprimento do segmento PQ, para isso clique sobre o
vetor PQ, e na barra de ferramentas em Medir, e selecione Comprimento. Meça
também o comprimento do segmento PQ, para isso clique sobre o vetor PQ, e na barra
de ferramentas em Medir, escolha Comprimento.
Agora, nomeie os vértices correspondentes A’, B’, C’, D’e E’do seguinte modo:clique sobre o vértice e vá no ícone ABC e selecione identificar clique OK, a tela se
abrirá e em seguida digite o nome do ponto.
Proceda da mesma forma para os outros pares de vértices correspondentes.
Escreva a sua conclusão: _________________________________________________
______________________________________________________________________
A translação é um deslocamento da figura em que todos os seus pontos
descrevem segmentos de medidas iguais e paralelos a uma determinada
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direção prefixada por uma reta.
Rotação
É um outro tipo de isometria, ou seja, é uma transformação rígida, que preserva a
forma e o tamanho. Uma rotação é determinada dados:
o centro;
o ângulo;
e o sentido do movimento.
Atividade 1: Vamos treinar a execução de rotações no TABULAE dada a figura, o
centro e o ângulo de rotação.
Vá o menu Arquivo e abra a Tela 2.
C
m BOA = 48°
B
O
A
Nela você encontra uma figura, um ponto G, que será o centro de rotação e um ângulo
JHI que pode variar de 0° a 180°. No canto, à esquerda temos a medida de JHI, em
graus. Experimente variar o ângulo movendo o ponto J.
Para criarmos a rotação da figura, marcaremos na seguinte ordem: centro G, figura e
a medida de ângulo (não esquecer da tecla shift apertada). Em seguida, vá na barra de
ferramentas e clique em Transformar a selecione Rotação.
Com a imagem selecionada, vá na barra de ferramentas e clique em Formatar e
selecione Cor e troque a cor da imagem obtida para não confundi-la com a original.
Experimente variar o ângulo de rotação movendo o ponto A varie de posição também o
ponto G.
Dadas duas figuras, como verificar no TABULAE se foi efetuada uma rotação?
Como localizar o centro e determinar o ângulo? Para isso, devemos sempre nos reportar
aos conceitos de Desenho Geométrico, que será verificado na atividade em seguida.
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Atividade 2: Vá na barra de ferramentas e abra a Tela 3
a) Para construir o centro de Homotetia, constrói-se a mediatriz entre os vértices
homólogos.
A interseção das mediatrizes é o centro de Homotetia.
O ângulo dado terá a mesma medida entre os vértices homólogos e o centro de
homotetia (vértice).
A figura 2 foi obtida por uma translação ou por uma rotação? Para verificarmos
se há uma translação basta verificarmos as distâncias entre os pontos originais e seus
respectivos transformados. Para verificarmos se é uma rotação devemos encontrar o
centro e verificarmos o ângulo de rotação.
Observe que o centro de rotação está à mesma distância de um ponto da figura
original e seu transformado. Logo, basta encontrarmos a interseção das mediatrizes.
Traçando a mediatriz: A mediatriz é a reta que é perpendicular ao segmento e que passa
pelo ponto médio. Para construí-la, marque o segmento (BB´), vá na barra de opções
selecione Construir e clique em Segmento e em seguida volte a barra de ferramentas
clique em Construir, selecione Segmento e vá em Mediatriz.
Trace a mediatriz de outros dois pontos correspondentes. O centro de rotação é o ponto
de interseção das mediatrizes, para localiza-lo marque as duas mediatrizes com a tecla
shift pressionada e vá na barra de ferramentas clique em construir, selecione o ponto e a
seguir Ponto de Interseção.Chame-o de ponto O.
Para descobrir qual foi o ângulo de rotação, basta medir qualquer ângulo formado por
um ponto e seu correspondente, com vértice em O. Vamos verificar?
Medindo ângulos: Para medir o ângulo BÔB´, marque sucessivamente nesta ordem os
pontos B, O e B´ (mantenha a tecla shift pressionada). Vá a barra de opções e clique em
Medir e selecione Ângulo. Repita o processo para os outros pares de ângulos.
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O que você conclui? _____________________________________________________
Fixado um ponto O no plano, chamamos de rotação em torno de O a
transformação que gira, de um certo ângulo em torno de O, toda a figura
do plano. Esse ângulo recebe o nome de ângulo de rotação, onde o ponto O
é o centro dessa rotação.
Simetria
As figuras simétricas que tão bem expressam suas belezas quer sejam nos
mosaicos ou na própria natureza nos parecem harmoniosas e equilibradas e não
poderiam deixar de ter esse encanto, pois simetria é uma palavra que vem do grego e
significa “com harmonia”.
Atividade 1: Abra a Tela 4. Vamos compor uma simetria, com a figura que está na
tela.
B
D
C
E
F
A
Criando uma reta: Com a tecla shift pressionada no teclado, clique com o
mouse os pontos A e B. Solte a tecla shift assim que terminar de marcar. Clique com o
mouse em Construir e escolha a opção Segmento.
Efetuando a reflexão: Marque nesta ordem A, B. segmento A, C, segmento AC,
segmento BC, ponto D segmento CD, segmento DE, segmento EF, ponto F e segmento
FB mantendo pressionada a tecla shift. Vá na barra de ferramentas e clique em
Transformar e escolha Reflexão.
O eixo de simetria divide a figura em duas partes que coincidem por
superposição. Podemos obter várias figuras diferentes conservando-as simétricas
movimentando seus vértices. Faça a experiência.
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Efetuando outra reflexão a partir da nova figura: Retorne a posição inicial, conforme a
figura abaixo e vamos construir outro eixo de simetria.
Marque os pontos A e F e construa a reta que passa por esses pontos. Marque
esta reta como eixo de simetria e em seguida marque toda a figura, escolha a opção
Transformar e clique sobre a palavra Refletir.
Atividade 2: Abra a Tela 5. Há figuras que são simétricas a outras em relação a um eixo
de simetria (Simetria Axial).
Vamos verificar se o triângulo A’B’C’ é a reflexão do triângulo ABC.
r
C
B
C'
B'
A
A'
Considerando a reta r como eixo de simetria, cabe então investigar se os pares de
pontos correspondentes estão a uma mesma distância da reta r.
Investigando as distâncias:
Sabemos que a distancia é a medida de uma reta perpendicular ao eixo. Criaremos então
essa perpendicular. Marque o ponto A e a reta r, na barra de ferramentas em Construir,
selecione a reta e em seguida Reta Perpendicular. Com a tecla shift, selecione a reta r,
vá em Construir e selecione Ponto e Ponto de Interseção. Chame-o de O. Para medir
a distância entre A e O, marque A e O, vá em Construir e selecione Segmento. Em
seguida, na barra de ferramentas clique em, Medir e selecione Comprimento. Cuidado!
Após aparecer a medida, arraste-a para o conto esquerdo da tela). Proceda da mesma
forma para obter a distancia dos outros pares de pontos correspondentes à reta r. O
movimento que é necessário fazer para colocar uma figura exatamente sobre a sua
imagem se chama rebatimento ou reflexão.
Uma figura é a reflexão de outra se:
A linha que une cada par de pontos correspondentes é
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perpendicular ao eixo de simetria.
Dois pontos correspondentes estão a mesma distância
(perpendicular) do eixo de simetria, em lados opostos.
Atividade 3: Abra a Tela 6
C
A
D
B
Marque na área de trabalho um ponto e nomeio de P exterior à figura. Una cada
vértice do polígono ao ponto P. Para isso, vá em Construir e acione o ícone Segmento
de reta e trace a AP, BP, CP e DP, um de cada vez. Se transportarmos as medidas
iguais com o compasso, obtemos os simétricos de cada vértice em relação ao ponto fixo
P. esse ponto será o centro de simetria. Vamos comprovar essa idéia.
Construindo uma circunferência dados o centro e o raio: Marque nesta ordem o ponto
P e o vértice A. Escolha na barra de opção Construir e escolha Círculo. Em seguida
trace a semi-reta AP, clicando em A e depois em B, vá na barra de ferramentas e clique
em Construir e escolha Semi-reta.
Obtendo o ponto de interseção: Para obter o ponto de interseção da curva com a semireta AP, marque a circunferência e também a semi-reta. Vá a barra de ferramentas
Construir e selecione Ponto de Interseção. Nomeie-o A’esconda o círculo e proceda
da mesma forma para obter os outros pontos B’, C’ e D’.
Agora é só unir os vértices que dão sentido ao polígono e teremos então a
transformação do quadrilátero ABCD pela Simetria Central.
Para superpor uma figura à outra, giramos o polígono original até atingir o
simétrico. Já vimos que essa transformação é a rotação. Nessa atividade efetuamos uma
rotação de 1800.
Homotetia
Atividade 1: Abra a Tela 7 e observe a figura e as medidas dos seus lados:
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B'
A'
D'
B
C'
A
Determinando da razão no TABULAE. Para calcular
D
C
OA
calcule as medidas dos segmentos AO e AO’, marque
OA'
O
sobre o segmento OA, pressione shift marque OA’ vá em Medir e selecione Razão.
A vantagem de calcular com p próprio TABULAE, é que além da praticidade, o
valor da razão
OA
se altera quando os segmentos AO, (ou OA’) são alterados.
OA'
Experimente! (Para isso arraste com o mouse o ponto B. serve também o ponto B, A ou
A’.
Indique os pares dos lados homólogos no quadrilátero ABCD e A’B’C’D’:
______ e ________ e _______ e ________e_________________
O quadrilátero A’B’C’D’é uma cópia que ampliou o quadrilátero ABCD.
O quadrilátero A’B’C’D’é uma isometria? Por quê?____________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
O quadrilátero A’B’C’D’ é o transformado do quadrilátero ABCD. Você suspeita que
transformação seja esta? __________________________________________________
______________________________________________________________________.
Atividade 2: Abra a Tela 8 e observe a figura e as medidas dos seus lados:
B'
A'
D'
B
A
C'
D
C
O
OA = 2,75 cm
OB = 5,19 cm
OC = 2,92 cm
OD = 3,06 cm
OA' = 5,49 cm
OB' = 10,37 cm
OC' = 5,83 cm
OD' = 6,12 cm
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Usando a calculadora do TABULAE para determinar as razões: Para calcular
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OA
,
OA'
marque a medida de AO, vá vá a barra de ferramentas, clique em Medir e selecione
Calculadora. Uma tela auxiliar com uma calculadora se abrirá. Clique com o mouse em
Valor fixo: aparecerá OA na tela da calculadora. Clique com o mouse na operação de
divisão (tecla “/”) marque na medida de OA’ e clique em =. O resultado aparecerá na
tela do TABULAE. A vantagem de calcular com o próprio TABULAE, é que além da
praticidade, o valor da razão
OA
se atualiza automaticamente quando os segmentos
OA'
AO, (ou OA´) são alterados. Experimente! (Para isso arraste com o mouse o ponto B´.
Serve também o ponto B, A ou A´).
Encontre as razões:
_
O que você pode concluir em relação aos segmentos?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Indique os pares de lados homólogos no quadrilátero ABCD e A’B’C’D’:
______e ______; ________e _______; _______ e ________; ________e _________.
O quadrilátero A’B’C’D’ é uma “cópia” que ampliou o quadrilátero ABCD
O quadrilátero A’B’C’D’ é uma isometria? Por quê? ___________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
O quadrilátero A’B’C’D’ é o transformado do quadrilátero ABCD. Você suspeita que
transformação seja esta? __________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
A transformação ocorrida possui as seguintes características:
o ponto O é fixo,
a razão é uma constante,
o ponto fixo e os correspondentes são colineares.
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A transformação que amplia (ou reduz) uma figura a partir de um
ponto recebe o nome de homotetia de centro O e razão k.
Observe que a homotetia é um caso particular de semelhança de figura no plano,
quando as figuras têm seus lados homólogos (correspondentes) paralelos.
0 quadrilátero O A’B’C’D’ é o transformado homotético de ABCD, com razão k= 2
Atividade 3: Abra a Tela 9, nela você encontra um pentágono irregular.
B
B'
C
C'
A
O
A'
D'
E'
D
E'
Meça os ângulos do pentágono ABCD e do pentágono A’B’C’D’E’
Observando que o ponto fixo e os correspondentes são colineares, e que as medidas dos
ângulos correspondentes são congruentes temos aí, mais um caso de homotetia.
O polígono que possui lados homólogos proporcionais, lados
correspondentes paralelos e ângulos correspondentes congruentes são
semelhantes. Podemos concluir que homotetia é um caso particular de
semelhança.
Atividade 4: Abra a Tela 10, nela temos um hexágono irregular. Vamos agora construir
uma homotetia diferente.
B
D
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Construindo uma homotetia de razão negativa: Marque o ponto B, ele será o centro da
homotetia. Marque agora todo o polígono e a razão desejada (-1 e 1) .1. Vá ao menu
Transformação e selecione Dilatação.
Que característica chama sua atenção nessa homotetia?__________________________
O que você pôde observar nas três últimas atividades:
Quanto à posição do centro homotético em relação à figura? ______________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Quanto ao valor da razão k? _________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Semelhança e Transformações
Nas atividades seguintes, vamos relacionar semelhança com transformações no
plano (isometrias e homotetia). O problema que nos propomos a resolver é como
transformar um triângulo para que sua imagem seja outro triângulo semelhante a ele, em
qualquer posição no plano. Vamos estudar o problema em diversas etapas.
Atividade 1: Vá à barra de ferramentas em Arquivo e abra a Tela 11
AD
= 2,10
AB
E
D
AE
= 2,10
AC
B
A
C
Nela você encontra triângulos semelhantes com um vértice comum, e numa
posição tal que seus lados correspondentes não são mais paralelos.
Se você mover o ponto B, poderá verificar que estes triângulos têm um ângulo
de medida igual. Juntando esta informação com a informação no canto superior da tela,
podemos concluir que os triângulos são semelhantes (que caso?).
Neste caso, se queremos transformar o triângulo ABC no triângulo ADE
devemos aplicar sucessivamente que transformações?
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A de cima é a nova razão, para a figura que você vai construir, e a debaixo é a razão para
a figura que já está na tela.
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Esperamos que você tenha concluído que após a homotetia, devemos rodar o
novo triângulo obtido. Para fazer esta transformação composta, iniciaremos pela
homotetia.
Criando uma homotetia com razão dada:
Clique sobre o ponto A,que será o centro de
transformação, clique agora sobre uma das razões no canto superior esquerdo da tela, vá
à barra de ferramentas e clique em Transformar e selecione Dilatação. Estamos
prontos para transformar o triângulo ABC. Efetue a transformação observe o resultado.
Este novo triângulo é congruente ao triângulo ADE, e nosso objetivo agora e fazê-los
coincidir.
Já sabemos que devemos realizar uma rotação, pelo ângulo dado (rotação com
ângulo fixo do TABULAE).
Usaremos como ângulo fixo o BÂD. Para rodar o triângulo que você construiu,
faça como visto anteriormente em Rotação.
Atividade 2: Vamos agora analisar uma terceira situação, um pouco diferente. Vá à
barra de ferramentas em Arquivo e abra a Tela 12.
(m EC)
(m FE)
= 2,00
(m CD)
(m AB)
= 2,00
(m DE)
(m EA)
= 2,00
D
E
A
B
Mostre "cópia" de ABE
C
Oculte
Nela você encontra dois triângulos semelhantes (observe as razões entre os lados
correspondentes no canto superior esquerdo da tela).
Como você não poderá mover o triângulo ABE para verificar a dificuldade extra
que aparece neste caso, criamos uma 'cópia’ deste triângulo, com lados paralelos a ele, e
que pode se mover livremente pela tela. Para que ela apareça, basta clicar rapidamente 2
vezes sobre o ícone 'Mostre cópia de ABE', que aparece no canto inferior esquerdo se
sua tela. Depois de usá-la, para fazê-la sumir outra vez, basta clicar rapidamente 2 vezes
sobre o ícone 'Oculte' neste mesmo canto da tela.
Mova a sua cópia do triângulo ABE para se convencer que não será possível
obter o triângulo ampliado como imagem de ADE nem usando translação, nem usando
rotação (por que?).
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Você deve ter concluído que a imagem está 'espelhada', ou seja, se queremos
obter o triângulo CDE como imagem de ABE, devemos usar uma homotetia, seguida de
uma reflexão.
Para construir esta transformação, vamos mais uma vez iniciar pela homotetia.
Para isto, repita os procedimentos anteriores para informar ao software que o centro da
homotetia será o ponto E, e que o fator de escala será uma das razões escritas na sua
tela.
Você deve sumir com a sua cópia do triângulo ABE para não confundí-lo com o
original. Após ter feito isso, selecione o interior do triângulo ABE, vá ao menu
Transformar e selecione Dilação e observe o resultado. Você construiu um triângulo
congruente ao triângulo CDE.
Finalmente, para sobrepô-los, devemos fazer uma reflexão. Que eixo devemos
usar?
Você deve ter concluído que o eixo deve ser a reta CE. O software aceita o
segmento como eixo, portanto, clique sobre ele, certifique-se que ele foi marcado na tela
e será o espelho de reflexão. Efetue a reflexão com foi feito anteriormente e observe o
resultado.
Assim, parece que na pior das hipóteses, sempre poderemos sobrepor um
triângulo a outro semelhante a ele pela composição de uma homotetia com movimentos
rígidos (translação + rotação + reflexão).
Isso sugere uma nova definição para figuras semelhantes: Duas figuras
planas são semelhantes se e somente se podemos fazê-las coincidir a
partir da composição de uma homotetia com movimentos rígidos
(isometrias).
Na prática, para fazer esta sobreposição necessitaremos apenas de dois
movimentos rígidos: translação e rotação no caso em que as figuras não estiverem
'espelhadas' e, no caso contrário, translação e reflexão.
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DUTRA, Kátia M. Pereira, SOUZA, Fernanda Cristina A. G. e LIMA, Silvana R.
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KAUFMAN SAINGUELERNT, Estela e outros. Trabalhando com Geometria, v.2 e
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PUTNOKI, José Carlos. Elementos de Geometria & Desenho Geométrico, v. 2. São
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