Seu pé direito nas melhores faculdades
IBMEC - 28 maio 2006
MATEMÁTICA
01. a) Fatore a expressão 3x3 – x2 – 18x + 6.
b) Resolva, em ¡ , a inequação 3x3 + 6 ≤ x2 + 18x.
Resolução:
a) 3x3 – x2 – 18x + 6 = x2(3x – 1) – 6(3x – 1) = (x2 – 6)(3x – 1) = (x + 6 ) (x − 6 ) (3x – 1) é a forma fatorada da expressão.
b) 3x3 + 6 ≤ x2 + 18x ⇒ 3x3 – x2 – 18x + 6 ≤ 0. Aproveitando a fatoração do item (a), resulta: (x + 6 ) (x − 6 ) (3x – 1) ≤ 0
–
− 6
+
1
3
S = {x ∈ IR | x ≤ − 6 ∨
02.
–
6
1
≤x≤
3
+
x
6}
Descrição e regras do jogo de dominó
Em um jogo de dominó, a parte de cima de cada peça tem dois lados e cada lado pode ter nenhum, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pontos
marcados. Cada combinação de pares de números de pontos aparece uma única vez. Por exemplo: há uma única peça com 2
pontos de um lado e 3 pontos de outro, assim como há uma única peça com 5 pontos de cada lado. Cada jogador recebe de início
7 peças. Um deles inicia posicionando uma peça qualquer sobre a mesa. O outro deve colocar uma peça com o mesmo número
de pontos que um dos lados da peça que já estiver sobre a mesa, posicionando-a de modo que os lados de mesmo número de
pontos fiquem adjacentes. O próximo jogador deve fazer o mesmo, considerando uma das extremidades livres, e assim
sucessivamente. Caso na sua vez um jogador não tenha alguma peça que se encaixe no jogo, deve tomar aleatoriamente uma do
monte de peças que eventualmente tenham sobrado. Se não houver peça alguma no monte, então deve passar sua vez. Ganha
o jogo o primeiro a ficar sem peças na mão. Considere, na figura abaixo, um jogo de dominó entre duas pessoas, após algumas
rodadas.
a) Quantas são as peças de um jogo de dominó?
b) Suponha que, no momento da situação descrita na figura, nenhum dos dois jogadores tivesse tomado qualquer peça do
monte. Sabendo que nenhum deles tem em suas mãos alguma peça que se encaixe no jogo, calcule a probabilidade de que o
jogador da vez, ao tomar uma peça do monte, encontre uma que se encaixe.
CPV
ibmecNOV2005
1
2
IBMEC - 28/05/2006
Seu pé direito nas melhores Faculdades
Resolução:
a) Cálculo do número total de peças:
De 0 (sem marcação) até 6 pontos consideramos 7 marcações.
1) Para os casos de número de pontos iguais, como 0 e 0, 1 e 1, até 7 e 7, temos 7 . 1 = 7 peças
7.6
7!
= 21 peças
2) Para os casos de número de pontos diferentes, temos: C7,2 =
=
2
2! 5!
Resposta: O número total de peças do jogo é 7 + 21 = 28 peças.
b) Se cada jogador recebe inicialmente 7 peças, 2 jogadores . 7 peças = 14 peças recebidas. Restam, portanto, 28 - 14 = 14 peças no monte.
? são seis: 1 e 0; 1 e 1; 1 e 2; 1 e 3; 1 e 4 e 1 e 5.
Portanto, para continuar a jogar, as possibilidades de encaixe para a peça
As possibilidades de encaixe para a peça
?
são três: 5 e 0; 5 e 4 e 5 e 6.
Portanto 6 + 3 = 9 em um espaço amostral de 14 peças.
Resposta: A probabilidade de que o jogador da vez, ao tomar uma peça do monte, encontre uma que se encaixe é
9
.
14
03. Atendendo à exigência do estatuto do torcedor, uma federação de futebol designa os árbitros das partidas por meio de sorteio.
Numa rodada em que serão realizadas quatro partidas, cinco árbitros (A, B, C, D, E) foram previamente selecionados. Para cada
partida, dois desses árbitros participarão do sorteio, com iguais probabilidades de serem escolhidos, sendo o vencedor do
sorteio designado para dirigir aquela partida. A tabela a seguir mostra detalhadamente como o sorteio será conduzido.
Partida
Árbitros que participarão do sorteio
1
AeB
2
Perdedor do sorteio da partida 1 e C
3
Perdedor do sorteio da partida 2 e D
4
Perdedor do sorteio da partida 3 e E
a) Qual a probabilidade de que o árbitro A dirija uma das quatro partidas?
b) Apenas as partidas 2 e 4 serão realizadas no interior do estado.
Qual a probabilidade de que o árbitro B dirija uma partida no interior do estado?
c) Sabendo que o árbitro E foi sorteado para dirigir a partida 4, qual a probabilidade de que o árbitro C tenha sido
sorteado para dirigir alguma partida desta rodada?
Resolução:
4
1
1
a) A probabilidade de que (A) não seja sorteado em nenhuma partida é   =
2
16
 
A probabilidade de qe A dirija uma das quatro partidas será: P = 1 –
b) Quadro de possibilidades:
1) Não e sim
a
2)
a
1a
2
,
não sim
P=
1 1
1
. =
2 2
4
P=
1
1 1 1 1
. . . =
2 2 2 2 16
a
3a 4a
1
2
,
,
,
não não não sim
1
15 − 1
15
.
⇒ P=
⇒ P=
16
16
16
1
1
4 +1
5
.
+
=
=
4 16
16
16
c) Como para a partida 1 só podem disputar os árbitros A e B, sobram apenas as partidas 2 e 3 para serem disputadas pelo árbitro C.
Possibilidades: 2a ou
2a , 3a
sim
não
sim
2 +1 3
1 1 1 1 1
Resposta: A probabilidade de que o árbitro C dirija alguma partida desta rodada é + . = + =
= .
4
4
2 2 2 2 4
Resposta: A probabilidade de que o árbitro B dirija uma partida no interior do estado é P =
CPV
ibmecNOV2005
Seu pé direito nas melhores Faculdades
04. Considere um cubo ABCDEFGH, cujas arestas medem 8 cm.
3
IBMEC - 28/05/2006
H
G
Tomam-se os pontos J, K, L e M sobre as arestas AE , BF , CG e
d
M
DH , respectivamente, de modo que AJ = BK = 2d cm e
GL = HM = d cm, em que 0 < d < 4, como mostra a figura.
L
E
F
Seja S a área, em cm2, do quadrilátero JKLM.
a) Calcule S para que d seja igual a 1.
b) Calcule S para que d seja igual a 3.
c) Determine d para que S seja a menor possível.
J
K
D
C
2d
A
8
Resolução:
a) Marcando K’ de modo que KK’//BC, se BC = 8 então KK’ = 8
O triângulo formado LK’K é retângulo, portanto, para d = 1:
x2 = 52 + 82 ⇒ x2 = 25 + 64 ⇒ x2 = 89 ⇒ x =
Nesse caso, a área S é igual a: S = 8 . x ⇒ S = 8 .
H
b) Se d for igual a 3, a figura passa a ser a desenhada abaixo, onde:
89
x2 = 82 + 12 ⇒ x2 = 64 + 1 ⇒ x2 = 65 ⇒ x = 65
Nesse caso, a área S é igual a S = 8 . x ⇒ S = 8 . 65 cm2
89 cm2
H
G
1
M
d
E
F
2
5
x
G
2
L
E
B
F
M
1
L
8
x
J
K
S
K’
J
8
D 8
K
2
2d
6
D
C
2
C
8
8
A
8
A
B
8
c) Para que S seja a menor área possível, ela deverá ser a de um quadrado. Logo, d + 2d = 8 ⇒ d =
B
8
3
05. Considere a transformação em diferença de quadrados: a4 + b4 = a4 + 2a2b2 + b4 – 2a2b2 = (a2 + b2)2 – ( 2ab)2
a) Resolva em C a equação x4 + 1 = 0.
b) Calcule a área do quadrilátero formado pelas raízes da equação do item (a), quando representadas no plano Argand-Gauss.
Resolução:
Sabendo que a4 + b4 = a4 + 2a2b2 + b4 – 2a2b2 = (a2 + b2)2 – ( 2 ab)
é dado do problema, vamos resolver o item a)
a) x4 + 1 = (x2 + 12)2 – ( 2 x . 1)2
Podemos representar a equação por: L2 – M2 = (L + M)(L – M)
Portanto: (x2 + 1 + x 2 )(x2 + 1 – x 2 ) = 0
(I)
(II)
(I) x2 + x 2 + 1 = 0 ⇒ x =
− 2 ±i 2
2
(II) x2 – x 2 + 1 = 0 ⇒ x =
2 ±i 2
2
 − 2 − i 2 − 2 + i 2
;
;
Resposta: S = 
2
2

2
2
O lado do quadrado (l) é o dobro de AB, portanto:
b) Os vértices são de um quadrado, em que AB =
 2
l = 2 AB ⇒ l = 2 .  2  ⇒ l = 2


A área do quadrado é: S = l2 ⇒ S = ( 2) 2 ⇒ S = 2
− 2 +i 2
2
2−i 2
;
2
2 + i 2 

2

ibmecNOV2005
l
B
− 2 −i 2
2
CPV
A
2 +i 2
2
2 −i 2
2
4
Seu pé direito nas melhores Faculdades
IBMEC - 28/05/2006
 x + 1 se x ≥ 0
06. Considere a função f(x) = 
.
1 − − x se x < 0
a) Esboce (no plano abaixo) os gráficos de f(x) e de sua
função inversa, f–1(x).
Resolução:
 x + 1 se x ≥ 0 (I)
f(x) = 
1 − − x se x < 0 (II)
Para a função f(x), vamos tomar alguns pontos:
(I) x
0
y
1
(II)
x y
–1 0
1
2
–2 –0,41
2
3
3
2
–4 –1
Para f–1(x), vamos trocar x por y, ou seja:
•
se y =
x +1 ⇒ x=
y + 1 ⇒ x2 = y + 1 ⇒ y = x2 – 1
para x ≥ 1
•
se y = 1 – − x
x = 1 – −y ⇒ – −y = x – 1
⇒
2
⇒ –y = (x – 1) ⇒ y = –(x – 1)2 para x < 1
 x 2 − 1, x ≥ 1 (I)

Temos então que f–1(x) = 
−(x − 1)2 , x < 1 (II)
Para a função f–1(x) = vamos tomar alguns pontos:
(I) x
y
1
0
2
3
–1 –4
2 1
–0,41 –2
3
(II)
x
y
0
–1
2
Observe, na figura ao lado, que os gráficos obtidos são
simétricos.
CPV
ibmecNOV2005
b) Resolva a equação f(x) –
Resolução:
5x 13
=
f(x) −
7
7
13
5
x=
7
7
5x 13
+
7
7
5x 13
Chamando a função acima de g(x) =
+ ,
7
7
resulta que g(3) = 4 e g(–4) = –1.
é o mesmo que f(x) =
Da intersecção dos gráficos y = f(x) e e y = g(x) abaixo,
podemos observar a única solução é x = –4.
Seu pé direito nas melhores Faculdades
IBMEC - 28/05/2006
5
07. A primeira quadratura rigorosa de uma área curvilínea, conhecida como Lunas de Hipócrates, feita por volta de 430 a.C. pelo
filósofo e geômetra de mesmo nome, está descrita na construção abaixo.
F
E
C
A
B
Os arcos ACB, BFC e AEC são semi-circunferências.
a) Se as medidas dos diâmetros AC e BC são, respectivamente, iguais a 2 13 e 3 13 , calcule a soma das áreas das regiões
sombreadas.
b) Chamando de c a medida do segmento AB e de h a medida da altura do triângulo ABC com relação ao lado AB , determine a
soma das áreas das regiões sombreadas em termos de c e h.
Resolução:
a) Vamos considerar as seguintes áreas parciais:
F
AC
A1 é a área do semi-círculo de raio
;
2
E
BC
A2 é a área do semi-círculo de raio
;
2
A3 é a área do triângulo ABC;
C
AB
.
2
A área total (A) pedida é A = A1 + A2 + A3 – A4, portanto:
2 13
A4 é a área do semi-círculo de raio
2
A=
2
 3 13 
1
1
1  13 
2 1
 + 2 13 . 3 13 – π  
π( 13) + π 
2
2  2 
2
2  2


A=
13π 117π
169π
+
+ 39 –
⇒ A = 39
8
2
8
3 13
A
x
B
A soma das áreas das regiões sombreadas é 39.
b) Seja AC = x e BC = y. Aplicando Pitágoras, resulta: c2 = x2 + y2
2
Substituindo em A =
2
1
1 c
1 y
1 x
π
+ π  + c . h – π 
2
2 2
2  2 
2 2
C
2
x
π 2 π 2 1
π
x + y + ch – c2
8
8
8
2
1
π 2
A = (x + y2 – c2) + ch
2
8
y
h
A=
Substituindo o valor de c2 = x2 + y2 na equação acima, resulta A =
A
ibmecNOV2005
c
1
1
π 2
(x + y2 – x2 – y2) + ch = 0 + ch
2
2
8
A soma das áreas das regiões sombreadas em termos de c e h é A =
CPV
H
1
ch .
2
B
6
IBMEC - 28/05/2006
Seu pé direito nas melhores Faculdades
08. Um professor decidiu dividir os alunos de uma classe
em grupos para realizar um trabalho. Ao tentar dividílos em grupos de 4 componentes, constatou que
restaria um aluno sem grupo. Quando tentou dividir a
sala em grupos de 5 componentes, novamente sobrou
um aluno sem grupo. Por fim, o professor percebeu
que, formando iguais quantidade de grupos de 4 e 5
componentes, nenhum aluno ficaria sem grupo. Calcule
o número de alunos dessa classe, sabendo que esse
número é menor do que 100.
Resolução:
Seja T o total de alunos desta classe.
Como sobrou 1 aluno, se subtrairmos 1 de T resulta (T – 1),
e este número restante passa a ser múltiplo de 4 e 5 e, portanto,
múltiplo de 20.
T – 1 ∈ {0; 20; 40; 60; 80}
Como o número de alunos da classe é menor que 100, ou seja,
T < 100, temos então que: T ∈ {1; 21; 41; 61; 81}
Como o professor conseguiu formar igual número de grupos
(x) de 4 e de 5 alunos, temos que
T = 4x + 5x ⇒ T = 9x ∴ T é múltiplo de 9.
O único elemento do conjunto T múltiplo de 9 é o 81.
Portanto, do número de alunos dessa classe é 81.
09. Considere o sistema linear abaixo.
 x1

 x1
x
 1

 x1
x
 1

+ x 2 + x3 + x 4 + x5
= 19
+ x 2 + x3 + x 4
+ x 6 = 24
+ x 2 + x3 +
+ x 5 + x 6 = 27
+ x2 +
+ x 4 + x 5 + x 6 = 29
+ x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 30
x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 31
a) Calcule x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6.
b) Resolva o sistema linear dado.
Resolução:
a) Observando o sistema, notamos que a soma, membro a
membro, de todas as equações resulta:
5x1 + 5x2 + 5x3 + 5x4 + 5x5 + 5x6 = 160
Simplificando, obtemos x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 32
b) Se subtrairmos do resultado obtido no item (a) as equações
do sistema dado, resulta:
x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3; x4 = 5; x5 = 8; x6 = 13
Portanto, a solução do sistema é S = {1; 2; 3; 5; 8; 13}
CPV
ibmecNOV2005
10. Um programa de computador associa, a cada um dos seis números
inteiros de 1 a 6, sempre uma mesma figura, dentre as quatro
apresentadas abaixo:
quadrado claro :
polígonos → 
 triângulo escuro :
coração claro :
curvas → 
círculo escuro :
Assim, o usuário deve digitar um número inteiro de 1 a 6,
aparecendo na tela, em seguida, a figura associada àquele número.
Das regras que o programa segue para fazer as associações, as 3 a
seguir foram descobertas por um usuário:
• se o número digitado é par, desenhe um polígono;
• se o número digitado é múltiplo de 3, desenhe uma figura clara;
• se o número digitado é menor do que 3, desenhe uma figura
escura.
Sabe-se ainda que um usuário desse programa que digitou 3
números distintos obteve a seguinte seqüência de figuras:
a) Qual a seqüência obtida por um usuário que digite, nessa
ordem, os números 2, 6 e 5?
b) Outro usuário do programa digitou quatro números
consecutivos e obteve quatro figuras diferentes entre si. Qual
a figura associada ao número 4? Justifique sua resposta.
Resolução:
a) Substituindo valores às condições dadas no enunciado, temos:
1) Se digitarmos 2; 4 ou 6 →
ou
2) Se digitarmos 3 ou 6 →
ou
3) Se digitarmos 1 ou 2 →
ou
4) Se digitarmos 3 números distintos →
Colocando os dados acima em seqüência, resulta:
1 → ou
Como
2→
3→
4→
6→
5→
ou
ou
ou
3
ou
ou
5
3
1
5
Portanto
3 →
5
5 →
1 →
Portanto, ficamos com as seguintes associações
1 → ; 2 → ; 3 → ; 5 → ; 6 →
O usuário que digitar, nesta sequência, os números 2, 6 e 5
obterá os símbolos ; e .
b) Os quatro números consecutivos digitados podem estar dispostos
das seguintes maneiras:
a) 1; 2; 3; 4 →
b) 2; 3; 4; 5 →
c) 3; 4; 5; 6 →
; ; ; x
; ; x;
; x; ;
A primeira sequência é a única que pode ter quatro figuras distintas e,
para isso, devemos associadar ao número 4 o
.